2013年全国高校自主招生数学模拟试卷九

2 2
S
x
Q
O
R
1 1 反之， 若a2+b2=1 成立， 则对于椭圆上任一点 P(r1cosθ， r1sinθ)， 取椭圆上点 Q(r2cos(θ+90°)， 1 cos2θ sin2θ 1 sin2θ cos2θ 1 1 1 1 r2sin(θ+90°)，则 2= a2 + b2 ， ， 2= a2 + b2 ， ，于是 2+ 2=a2+b2=1，此时 PQ 与 C0 相切．即 r1 r2 r1 r2 存在满足条件的平行四边形． 故证．
2013 年全国高校自主招生数学模拟试卷九
一、选择题（36 分，每小题 6 分） 1．设全集是实数，若 A={x| x－2≤0}，B={x|10 (A){2} (B){1}
x2－2
=10x}，则 A∩∁RB 是( (D) )
)
(C){x|x≤2}
α α α 2．设 sin＞0，cos＜0，且 sin3＞cos3 ，则3的取值范围是( π π (A)(2k+6，2k+3)， kZ 5π (C)(2k+ 6 ，2k+)，k Z
n+1 3 1 1 1 2 2 2
1 n(n+1) 解：Sn=2n(n+1)，f(n)= (n+32)(n+1)(n+2) = 得最大值)．
1 1 ≤ ．(n=8 时取 64 50错误！未指定书签。 n+ n +34
1 13 2．若函数 f(x)=－2x2+ 2 在区间[a，b]上的最小值为 2a，最大值为 2b，求[a，b]． 1 13 1 13 解：⑴ 若 a≤b<0，则最大值为 f(b)=－2b2+ 2 =2b．最小值为 f(a)=－2a2+ 2 =2a．即 a， b 是方程 x2+4x－13=0 的两个根，而此方程两根异号．故不可能． 13 13 ⑵ 若 a<0<b，当 x=0 时，f(x)取最大值，故 2b= 2 ，得 b= 4 ． 1 13 当 x=a 或 x=b 时 f(x)取最小值，①f(a)=－2a2+ 2 =2a 时．a=－2± 17，但 a<0，故取 a= 1 13 39 －2－ 17．由于|a|>|b|，从而 f(a)是最小值．②f(b)=－2b2+ 2 =32=2a>0．与 a<0 矛盾．故 舍． ⑶ 0≤a<b．此时，最大值为 f(a)=2b，最小值为 f(b)=2a． 1 13 1 13 ∴ －2b2+ 2 =2a．－2a2+ 2 =2b．相减得 a+b=4．解得 a=1，b=3．
y
B A
3 解：A(－1，0)，AB 方程：y= 3 (x+1)，代入双曲线方程，解得 B(2， 3)， ∴ S=3 3．选 C． 4．给定正数 p，q，a，b，c，其中 pq，若 p，a，q 是等比数列，p，b，c，q 是等差数列，则一元二次方程 bx22ax+c=0( ) (A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有 两个异号实根 2p+q p+2q 解：a2=pq，b+c=p+q．b= 3 ，c= 3 ； 1 1 2 2 2 4△=a －bc=pq－9(2p+q)(p+2q)=－9(p－q) <0．选 A． 5 4 5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线 y=3x+5的距离中的最小值是( )
O
C
x
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34 (A) 170
34 (B) 85
1 (C) 20
1 (D) 30 |25x－15y+12| 5 34
解 ： 直 线 即 25x － 15y+12=0 ． 平 面 上 点 (x ， y) 到 直 线 的 距 离 = = |5(5x－3y+2)+2| ． 5 34
∵5x－3y+2 为整数，故|5(5x－3y+2)+2|≥2．且当 x=y=－1 时即可取到 2．选 B． π π 6．设 ω=cos5+isin5，则以，3，7，9 为根的方程是( )
n→∞
2 3 n
3 2· 3 18 2 － 解：an=3n 2Cn．∴ a = k－2 = ，故填 18． 3 n ( n － 1) n ( n －1) k 3．等比数列 a+log23，a+log43，a+log83 的公比是____________. a+log43 a+log83 (a+log43)－(a+log83) log43－log83 1 1 解：q=a+log 3=a+log 3= = =3．填3． ( a +log 3) － ( a +log 3) log 3 － log 3 2 4 2 4 2 4 x2 y2 4．在椭圆a2+b2=1 (a＞b＞0)中，记左焦点为 F，右顶点为 A，短轴上方的端点为 B.若该 椭圆的离心率是 5－1 2 ，则∠ABF=_________.
5．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为 a，则这个球的体积是 ________. 6．如果：(1)a，b，c，d 都属于{1，2，3，4}；
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(2)ab，bc，cd，da； (3)a 是 a，b，c，d 中的最小值， ____ 那么，可以组成的不同的四位数abcd的个数是_________ 三、解答题(60 分，每小题 20 分) Sn 1．设 Sn=1+2+3+…+n，nN*，求 f(n)=(n+32)S 的最大值．
4．给定正数 p，q，a，b，c，其中 pq，若 p，a，q 是等比数列，p，b，c，q 是等差 数列，则一元二次方程 bx22ax+c=0( ) (A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有 两个异号实根 5 4 5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线 y=3x+5的距离中的最小值是( 34 (A) 170 34 (B) 85 1 (C) 20 ) 1 (D) 30 )
π α 2kπ π 解：满足 sin＞0，cos＜0 的 α 的范围是(2k+2，2k+π)，于是3 的取值范围是( 3 +6， 2kπ π 3 + 3 )， α α α π 5π π 满 足 sin 3 ＞ cos 3 的 3 的 取 值 范 围 为 (2k+ 4 ， 2k+ 4 ) ． 故 所 求 范 围 是 (2k+ 4 ， π 5π 2k+3)∪(2k+ 6 ，2k+)，kZ．选 D． 3．已知点 A 为双曲线 x2y2=1 的左顶点，点 B 和点 C 在双曲线的右分支上，△ABC 是 等边三角形，则△ABC 的面积是( ) 3 (A) 3 ( B) 3 3 2 (C)3 3 (D)6 3
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2013 年全国高，每小题 6 分） 1．设全集是实数，若 A={x| x－2≤0}，B={x|10 (A){2} (B){1} 解：A={2}，B={2，－1}，故选 D．
x2－2
=10x}，则 A∩∁RB 是( (D)
)
B F
k
2
y
5－1 5+1 5+3 解：c= 2 a，∴|AF|= 2 a．|BF|=a，|AB|2=|AO|2+|OB|2= 2 a2． 故有|AF|2=|AB|2+|BF|2．即∠ABF=90°．填 90°． 或由 b2=a2－c2= 5－1 2 2 a =ac，得解．
H
O
A x
5．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为 a，则这个 球的体积是________. 3 解：取球心 O 与任一棱的距离即为所求．如图，AE=BE= 2 a， 6 6 3 AG= 3 a，AO= 4 a，BG= 3 a，AB∶AO=BG∶OH．
(A)x4+x3+x2+x+1=0 (B) x4x3+x2x+1=0 (C) x4x3x2+x+1=0 (D) x4+x3+x2x1=0 解：ω5+1=0，故，3，7，9 都是方程 x5+1=0 的根．x5+1=(x+1)(x4－x3+x2－x+1)=0．选 B． 二．填空题（本题满分 54 分，每小题 9 分） 1．arcsin(sin2000)=__________. π 解：2000°=180°×12－160°．故填－20°或－9． 32 33 3n 2． 设 an 是(3 x)n 的展开式中 x 项的系数(n=2， 3， 4， …)， 则 lim (a +a +…+a ))=________.
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13 ∴ [a，b]=[1，3]或[－2－ 17， 4 ]． x2 y2 3．已知 C0：x +y =1 和 C1：a2+a2=1 (a＞b＞0)．试问：当且仅当 a，b 满足什么条件时，
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对 C1 上任意一点 P，均存在以 P 为顶点，与 C0 外切，与 C1 内接的平行四边形？并证明你的 结论． 解：设 PQRS 是与 C0 外切且与 C1 内接的平行四边形．易知圆的 y 外切平行四边形是菱形．即 PQRS 是菱形．于是 OP⊥OQ． P 设 P(r1cosθ，r1sinθ)，Q(r2cos(θ+90°)，r2sin(θ+90°)，则在直角三 1 1 角形 POQ 中有 r12+r22=r12r22(利用△POQ 的面积)．即 2+ 2=1． r1 r2 r1cos2θ r2sin2θ 1 cos2θ sin2θ 但 a2 + b2 =1，即 2= a2 + b2 ， r1 1 sin2θ cos2θ 1 1 同理， 2= a2 + b2 ，相加得a2+b2=1． r2