随机变量及其概率分布

第二章 随机变量及其概率分布【内容提要】一、随机变量及其分布函数设()X X ω=是定义于随机试验E 的样本空间Ω上的实值函数，且x R ∀∈，{}()X x ωω≤是随机事件，则称()X X ω=为随机变量，而称()()()F x P X x ω=≤为其概率分布函数。

随机变量()X X ω=的概率分布函数()()()F x P X x ω=≤具有如下性质: ⑴．非负性: x R ∀∈，有0()1F x ≤≤； ⑵．规范性: ()0,()1F F -∞=+∞=； ⑶．单调性: 若12x x ≤，则12()()F x F x ≤； ⑷．右连续性: x R ∀∈，有(0)()F x F x +=。

二、离散型随机变量1．离散型随机变量及其概率分布律若随机变量()X X ω=只取一些离散值12n x x x -∞<<<⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅<+∞，且取到这些值的概率()()0,1,2,...k k p x P X x k ==≥=满足1()1k k p x ≤<+∞=∑，则称()X X ω=为离散型随机变量，而称{}()1k p x k ≥为其概率分布律，记为(),1,2,...k Xp x k =，也可用下表来表示:X1x 2x n x P1()p x2()p x()n p x而其概率分布函数()()()k k x xF x P X x p x ≤=≤=∑是单增、右连续的阶梯形函数。

2．常用离散型分布⑴．单点分布: ()1,P X C C R ==∈其中为常数；⑵．二项分布(,)B n p : (),1,01,1,0,1,2,...,k k n kn P X k C p qn p q p k n -==≥<<=-=其中而； 特别当1n =时，二项分布退化为两点分布(1),(0)1P X p P X q p =====-；⑶．超几何分布(,,)H n M N : (),1,,0,1,2,...,k n k nM N M N P X k C C C n M N k n --==≤<=其中而； ⑷．Pascal 分布(,)P r p : 11(),1,01,1,,1,...r r k rk P X k C p qr p q p k r r ---==≥<<=-=+其中而； 特别当1r =时，Pascal 分布退化为几何分布1(),1,2,...k P X k pq k -===；⑸．Poisson 分布()πλ: (),0,0,1,2,...!kP X k e k k λλλ-==>=其中而。

三、连续型随机变量1．连续型随机变量及其概率密度函数若随机变量()X X ω=的一切可能取值充满了某一区间，且存在一个实值函数()0p x ≥，使其概率分布函数()()()()xF x P X x p t dt ω-∞=≤=⎰，且()1p x dx +∞-∞=⎰，则称()X X ω=为连续型随机变量，而称()p x 为其概率密度函数，记为()Xp x 。

连续型随机变量的密度函数()p x 与分布函数()F x 之间有满足()(),()()xF x p t dt p x F x -∞'==⎰。

2．常用连续型分布⑴．Bata 分布:设,0a b αβ><及为常数，则Bata 分布的密度函数为:111()()(),(,)()()()()0,(,)x a b x x a b b a p x x a b αβαβαβαβΓΓΓ--+-⎧+--∈⎪-=⎨⎪∉⎩若若,特别当1αβ==时，Bata 分布即均匀(,)U a b : 1,(,)()0,(,)x a b b a p x x a b ⎧∈⎪-=⎨⎪∉⎩若若；⑵．Γ分布:设,0αλ>为常数，则Γ分布的密度函数为:1,0()()0,0xx e x p x x ααλλαΓ--⎧>⎪=⎨⎪≤⎩若若, 特别当1α=时，Γ分布即指数分布()e λ: ,0()0,0xe x p x x λλ-⎧>⎪=⎨≤⎪⎩若若；⑶．正态分布2(,)N μσ: 22()2(),,0,(,)2x p x R x μσμσπσ--=∈>∈-∞+∞其中为常数而。

四、随机变量函数的分布设X 为随机变量，而()f x 为连续的确定型函数。

⑴．若X 为离散型随机变量，且()1,2,...k Xp x k =，，则()Y f X =也是离散型随机变量，其概率分布律为:()()()()i kk k i f x y Yg y P Y y p x ====∑；⑵．若X 为连续型随机变量，且()X p x ，则()Y f X =也是连续型随机变量，其概率密度函数为:[]()()()()f x y d d Yg y P Y y p x dx dy dy ≤⎡⎤=≤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰。

【第二章作业】1、从110的自然数中随机地取出5个数，用X 表示所取的5个数中的最大值，求其概率分布。

解:X k =发生⇐⇒所取的5个数中有一个是k ，其余4个是从1,2,...,1k -中取到的，故14511101()(1)(2)(3)(4)24252k P X k C C C k k k k -===----⨯，5,6,...,10k =，即X 5678910P125252521525235252702521262522解:用k A 表示将一枚均匀的硬币连掷3次时，正面出现了k 次，则0313031323332333(3)()(12)18(1)()(12)38(1)()(12)3(3)()(12)18P X P A C P X P A C P X P A C P X P A C ⎧=-====-===⎪⎨=+====+===⎪⎩，，，即 X 3-1-1+3+P183838183X 0 1 2 3 4 5P116 316 116 416 316 416解:由题设知所求概率为:02(2)()16161616k P X P X k ≤≤≤===++=∑， 45347(3)()161616k P X P X k ≤≤>===+=∑，12314(0.53)()161616k P X P X k ≤≤≤<===+=∑。

4、设随机变量X 的概率分布为()4,1,2,3,....kP X k c k ===，求常数c 。

解:由001()43kk k P X k c c ≤<+∞≤<+∞====∑∑得3c =。

5、设一辆汽车在开往目的地的道路上需经过4盏信号灯，每盏信号灯以12的概率允许或禁止汽车通过，用X 表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的数目，求其概率分布。

解:由题意知11214()12,0,1,2,3()()12,4k k k P A A A A k P X k P A A A A k ++⎧⋅⋅⋅==⎪==⎨⎪==⎩若若，即X0 1 2 3 4P12 14 18 116 1166猜测至少能答对4道题的概率是多少? 解:5545(4)(14)(34)164k k kk P X C -≤≤≥==∑。

7、对同一目标进行300n =次独立射击，每次射击的命中率为0.44p =，问这300n =次射击中最可能命中多少次?其相应的概率是多少?解:()k k n kn P X k C p q -==，0,1,...,k n =，其中300,0.44,10.56n p q p ===-=，由于111()(1)11(1)(1)(1)k k n k n k k n k n C p q P X k n k pk n p P X k C p q k q----+=-+≤==⇐⇒≤≤+=-+，即()k k n k n P X k C p q -==在0(1)k n p ≤≤+内是单调递增的，而在(1)n p k n +≤≤内是单调递减的，故()k k n kn P X k C p q -==的最大值点为:[](1)(1)1,(1)(1),(1)n p n p n p k n p n p ++-+⎧⎪=⎨++⎪⎩及若为整数若非整数。

对于本题，由于(1)3010.44132.44n p +=⨯=，故()k k n kn P X k C p q -==的最大值点为132k =，即300n =次射击中最可能命中132次，且相应的概率为: 132132168300600(132)0.440.560.04640264336P X C πππ==≈=⨯。

注:当n →+∞时，有斯特林公式 !2()n n n n e π⋅ 。

8、设随机变量X 服从参数为0λ>的Poisson 分布，且(1)(2)P X P X ===，求(4)P X =。

解:由2(1)(2)2!eP X P X e λλλλ--=====知，2λ=，而42222(4)0.090224!3e P X e --====。

9、对同一目标进行独立射击，每次射击的命中率为0.64p =，直到命中目标为止，用X 表示命中首次目标时的射击次数，求其概率分布，并计算至少需射击2次才能命中目标的概率。

解: 11()(1)0.640.36,1,2,...k k P X k p p k --==-=⨯=，而(2)1(1)110.640.36P X P X p ≥=-==-=-=。

10、袋中有5个同样大小的球，分别给其编号为1,2,...,5，从中同时取出3个球，用X 表示所取的3个球上号码的最大值，求其概率分布及分布函数。

解:X k =发生⇐⇒所取的3个球中有一个的号码是k ，其余2个的号码是从1,2,...,1k -中取到的，故1231151()(1)(2)20k P X k C C k k -===--，3,4,5k =，即 X 345P110 310 610其分布函数及其图形如下：0,30.1,34()()()0.4,451,5k xx x F x P X x P X k x x ≤<⎧⎪≤<⎪=≤===⎨≤<⎪⎪≥⎩∑若若若若，11、设随机变量X 的分布函数为()arctan ,F x A B x x =+-∞<<+∞，求常数,A B 。

解:由分布函数的性质得:0()21()2F A B F A B ππ=-∞=-⎧⎪⎨=+∞=+⎪⎩，解之得121A B =⎧⎪⎨=⎪⎩，即11()arctan ,2F x x x π=+-∞<<+∞。

12、设随机变量X 的概率密度函数为2(42),(0,2)()0,(0,2)c x x x f x x ⎧-∈=⎨∈⎩若若，求常数及(1)P X >。