总体标准差的置信区间为

体均值的置信区间为以 X 为中心，以 t ( n 1) S n 2 为边际误差的区间。
中心

为未知时，总
S S , X t ( n 1) X t ( n 1) n n 2 2
边际误差
案例8.5 斯切尔公司对培训企业维修工的计算机辅 助程序感兴趣.为了了解这种计算机辅助程序能缩 短多少培训时间,需要评估这种程序在95%置信水 平下培训时间平均值的置信区间。已知培训时间总 体是正态分布，管理者对15名维修工进行了测试， 所得培训时间如表8-2所示，试估计95%置信水平 下总体均值的置信区间。 返回案例8.10 表8-2 15名维修工的培训天数
X P U 2 / n 1
, X U a X U 2 2 n n

（8.16）
在置信区间中，X 为点估计值。置信区间实际上是 以 X 为中心，以 U 为半径的区间。我们 将 U
2

n
称为边际误差。
1 0.95 ，则 2 0.025。通过查正态分布
82 3.92, 82 3.92
即 78.08, 85.92 。即有95%的把握认为顾客的满 意分数落在区间 78.08, 85.92 内。
案例8.4 在一批包装商品中，抽取100个小包装袋， 已知样本的质量平均数是21克，总体标准差为6克， 在置信度为95%的要求下，计算置信区间。 解：计算平均误差： 6 0.6
x
i
n

15
53.87
s
1 n 651.73 2 ( xi x ) 6.82 （天） n 1 i 1 14
置信水平为95%，则 0.025,自由度为n 1 14, 2 查表得 t ( n 1) 2.1448

2
所以边际误差 ： t ( n 1)
维修 工编 号 培训 天数 52 44 55 44 45 59 50 54 62 46 54 58 60 62 63 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
解：已知总体是正态分布，但总体方差
用（8.17）式进行计算，首先计算样本均值和样 本方差. x 808
未知，应
即这批小包装的质量平均在22.18至19.82之间，可 信度为95 %。
2．标准差
未知时，均值
的区间估计
S S , X t ( n 1) X t ( n 1) （8.17） n n 2 2 t ( n 1) 其中， 为自由度为 n 1 的 分布的双
的数 (0 1, 常取5%或1%) 按概率1 估 ˆ , ˆ ) 的概率。1 计总体参数 可能落入区间 ( 1 2 称为置信度或置信水平, 称为检验水平(估计不成 区间。
1 2
1
2
ˆ , ˆ ) 称为置信度为 功的概率),区间 ( 1 的置信 1 2

2百度文库
1 0.95, 0.05
n
100
0.025
2
由( u ) 1
2

2
0.975,
查表得 u 1.96
置信区间的上限是：X 1.96

100
100
＝21 ＋1.96 0.6＝22.18
置信区间的下限是： X 1.96 21 1.96 0.6 19.82
2
n
中心
, X U X U 2 2 n n
边际误差
案例8.3 CJW公司是一家专营体育设备和器材的
邮购公司.为了跟踪服务质量,CJW每个月选取100
位顾客的邮购订单组成简单随机样本.每位顾客对
公司的服务水平在0(最差等级)到100(最好等级)间 打分,然后计算样本平均值. 根据以往的资料显示, 每个月顾客满意得分的平均值都在变动,但满意得 分的样本标准差趋于稳定的数值20附近.所以我们
§8.2.3 区间估计
区间估计的具体做法是，构造两个统计量 ˆ1 ( X1 , X2 , Xn ) ˆ , ˆ ) 来估计未 ˆ ˆ ，用区间 ( 及ˆ2 ( x1, X 2 , , X n )， 且 1 2 知参数
ˆ , ˆ) 的可能取值范围，要求 落在区间( 1 2 的概率尽可能的大。通常，我们事先给定一个很小 ˆ ˆ
侧 分位点， 1 n 差即
S
对于正态分布总体（对其它分布的总体，当样本 容量 30时，可近似看成正态分布）如果已知样 本均值为 X ，但总体标准差 为未知，则总 体均值 在置信度1 下的置信区间为

2
n
(X n 1
i 1
为样本容量，S 2 。
i
t为样本标准
X)
（8.17）式说明，总体标准差
2
s n
2.1448
6.82 15
3.78
因而由（8.17）式在应用辅助程序后该公司
培训维修工时间在95%置信度下的置信区间
为
53.87 3.78, 53.87 3.78
即：
50.09, 57.65
案例8.6 表8-3列出了选取36名投保人组成的简单随 机样本的年龄数据。在90%置信水平下，求总体年 龄均值的置信区间。 表8-3 投保人样本的年龄
一、正态总体数学期望的区间估计
1．标准差

已知时，均值

的区间估计
对于正态分布总体（对其他分布的总体，当容量 30时，可近似看成正态分布）如果已知总体 标准差为 ，样本均值为 X ，则在置信度1 下总体均值 的置信区间为

U 为标准正态分布的双侧 其中： n为样本容量， 2 分位点，即
假定总体标准差为20.又最近一次顾客对CJW满意
程度的平均值为82.试求置信度为95%的总体均值 的置信区间。
解：样本容量大于30，近似按正态分布处理。总体 方差 20，样本均值 X 82。置信度为
表得 U0.025 1.96 ，代入公式（10.1）得置信度 为95%时，顾客满意度的边际误差 为 1.96 20 3.92 ，所以置信区间为 100