集合概念与符号
集合的全部知识点总结
集合的全部知识点总结集合是数学中的一个基本概念，它是由确定的元素组成的整体。
在数学中，集合论是一个独立的分支，它研究集合的性质、运算和关系。
本文将对集合的基本概念、运算和性质进行总结。
一、集合的基本概念1. 集合符号：集合常用大写字母表示，如A、B、C。
元素通常用小写字母表示，如a、b、c。
2. 集合的表示方法：集合可以通过列举元素的方式表示，例如A={1, 2, 3}；也可以用描述性的方式表示，例如B={x | x是自然数，且x<5}。
3. 空集：不包含任何元素的集合被称为空集，用符号∅表示。
二、集合的运算1. 并集：若A和B是两个集合，它们的并集是由两个集合中的所有元素组成的集合，用符号∪表示，即A∪B。
2. 交集：若A和B是两个集合，它们的交集是同时属于A和B的元素组成的集合，用符号∩表示，即A∩B。
3. 差集：若A和B是两个集合，它们的差集是属于A而不属于B的元素组成的集合，用符号A-B表示。
4. 互斥：若A∩B=∅，即A和B的交集为空集，称A和B是互斥的。
三、集合的性质1. 子集：若集合A中的所有元素都属于集合B，则称A是B的子集，用符号A⊆B表示。
2. 包含关系：若A是B的子集，且B不等于A，则称B包含A，用符号B⊇A表示。
3. 相等关系：当A⊆B且B⊆A时，称A和B相等，用符号A=B表示。
4. 幂集：集合A的所有子集构成的集合被称为A的幂集，用符号P(A)表示。
5. 交换律：并集和交集满足交换律，即A∪B=B∪A，A∩B=B∩A。
6. 结合律：并集和交集满足结合律，即(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。
7. 分配律：并集和交集满足分配律，即A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)。
四、常用集合1. 自然数集：包括0、1、2、3......的集合，用符号N表示。
2. 整数集：包括负整数、0、正整数的集合，用符号Z表示。
高一数学集合到区间知识点总结
高一数学集合到区间知识点总结集合是数学中重要的基础概念之一，而区间则是集合的一个特殊类型。
在高一数学学习中，我们需要掌握集合和区间的相关知识点。
本文将对高一数学集合到区间知识点进行总结。
一、集合的概念及常见符号集合是由一些确定的对象所组成的整体，这些对象被称为集合的元素。
常见的表示集合的方法有：1. 列举法：直接列出集合中的元素，用花括号{}表示，例如：A = {1, 2, 3}。
2. 描述法：利用一个性质描述集合中的元素，用大括号{}表示，例如：B = {x | x 是偶数}。
在集合的表示中，常见的符号有：1. ∈：表示属于，例如：a ∈ A，表示元素a属于集合A。
2. ∉：表示不属于，例如：b ∉A，表示元素b不属于集合A。
3. ⊆：表示包含关系，例如：A ⊆ B，表示集合A是集合B的子集。
4. ⊂：表示真包含关系，例如：A ⊂ B，表示集合A是集合B的真子集。
二、集合的运算集合的运算包括交集、并集、差集和补集，在解决实际问题时，灵活运用集合运算可以简化问题的处理过程。
1. 交集：两个集合中共有的元素构成的集合，用符号∩表示，例如：A ∩ B。
2. 并集：两个集合中所有的元素构成的集合，用符号∪表示，例如：A ∪ B。
3. 差集：从一个集合中减去另一个集合中的公共元素所得的集合，用符号－表示，例如：A - B。
4. 补集：相对于某个给定的全集，在全集中不属于该集合的元素构成的集合，用符号'表示，例如：A'。
三、区间的定义及分类在数轴上，区间是表示一段连续的实数集合。
根据区间的开闭性，可以分为以下几种类型：1. 闭区间：包含端点的区间，用方括号[]表示，例如：[a, b]。
2. 开区间：不包含端点的区间，用圆括号()表示，例如：(a, b)。
3. 半开半闭区间：包含一个端点但不包含另一个端点的区间，例如：[a, b)。
4. 半闭半开区间：不包含一个端点但包含另一个端点的区间，例如：(a, b]。
集合中不包含于的符号
集合中不包含于的符号一、介绍在数学中，集合是由一些确定的元素构成的整体。
元素与集合之间的关系可以用符号来表示。
而集合中不包含于的符号则用来表示某个元素不属于给定的集合。
本文将讨论集合中不包含于的符号以及其在数学中的应用。
二、集合符号的基本概念在数学中，常用的集合符号有“属于”和“不属于”两种。
1.属于符号：∈–表示某个元素属于某个集合。
例如，若a∈A，则表示a是集合A的一个元素。
2.不属于符号：∉–表示某个元素不属于某个集合。
例如，若b∉B，则表示b不是集合B 的一个元素。
三、集合中不包含于的符号的应用集合中不包含于的符号在数学中的应用非常广泛，可以用于表示某些特定的关系或条件。
1.集合的定义–在数学中，集合的定义通常使用属于符号和不属于符号。
例如，若A={1,2,3}，则可以表示为1∈A，4∉A。
2.集合的运算–在集合的并、交、差等运算中，不属于符号可以用来表示某些元素不属于特定的集合。
例如，若A={1,2,3}，B={2,3,4}，则可以表示A∪B={1,2,3,4}，A∩B={2,3}，A-B={1}。
–在集合的补集运算中，不属于符号可以用来表示某些元素不属于某个集合的补集。
例如，若A={1,2,3}，则可以表示A的补集为A’={x∣x∉A}。
3.条件的表示–在数学中，经常需要表示某个元素满足或不满足某个特定条件。
不属于符号可以用来表示某些元素不满足特定的条件。
例如，若集合A表示所有正整数，可以表示为A={x∣x>0}，则可以表示所有非正整数的集合为A’={x∣x∉A}。
四、结论集合中不包含于的符号在数学中是一种非常常用的符号，用来表示某个元素不属于给定的集合。
它在集合的定义、运算以及条件表示中起到重要的作用。
熟练掌握集合中不包含于的符号的使用方法，对于数学问题的解决具有重要的意义。
集合的全部知识点总结
集合的全部知识点总结集合是数学中的一个基本概念，广泛应用于各个领域。
本文将对集合的相关概念、运算、性质以及其在实际中的应用进行总结。
一、集合的基本概念1. 集合的定义：集合是由确定的元素组成的整体，没有重复元素，顺序不重要。
2. 元素和集合的关系：元素是集合的组成部分，用于描述集合的特征。
3. 表示方法：- 列举法：将集合的所有元素逐个列举出来。
- 描述法：通过一定的特征或条件来描述集合。
4. 空集和全集：- 空集：不含有任何元素的集合，用符号∅表示。
- 全集：包含所有元素的集合，用符号U表示。
二、集合的运算1. 交集：两个集合中具有相同元素的部分构成的新集合，用符号∩表示。
2. 并集：两个集合的所有元素组成的新集合，用符号∪表示。
3. 差集：一个集合中去掉与另一个集合共有元素后的新集合，用符号－表示。
4. 互补集：在全集中与某个集合没有交集的元素所构成的新集合，用符号A'表示。
5. 笛卡尔积：由两个集合的所有有序对构成的集合，用符号×表示。
三、集合的性质1. 包含关系：集合A包含于集合B，表示为A⊆B，当且仅当A的每个元素都是B的元素。
2. 相等关系：如果两个集合A和B互相包含，即A⊆B且B⊆A，则称A和B相等，表示为A=B。
3. 幂集：一个集合的所有子集所构成的集合，用符号P(A)表示。
4. 交换律、结合律和分配律：集合的交换律、结合律与数的运算性质类似，具有相似的性质。
四、集合的应用1. 概率论与统计学：集合论为概率论和统计学提供了重要的数学基础，通过对事件的集合进行分析与运算。
2. 数据库管理系统：集合运算在数据库查询和数据处理中起着重要的作用，用于筛选、合并和处理数据。
3. 逻辑学与集合论关系：集合论与逻辑学相辅相成，通过集合的运算和逻辑连接词（与、或、非）进行逻辑推理。
4. 集合在数学证明中的应用：集合的性质和运算方式在数学证明中经常被使用，可以简化证明过程。
总结：集合是数学中不可或缺的重要概念，它具有基本的定义、运算和性质。
集合与符号
第一章 准备知识§1.1 集合与符号一、集合1．定义：由确定的一些对象汇集的总体称为集合；组成集合的这些对象被称为集合的元素． 2．表示：用大写字母A 、B 、C …表示集合；用小写字母a 、b 、c …表示集合的元素． x 是集合E 的元素，记为E x ∈(读作：x 属于E );y 不是集合E 的元素，记为E y ∉(读作：y 不属于E )．不含任何元素的集合称为空集合，记作Φ 3．集合间的关系（1）子集合：如果集合E 的任何元素都是集合F 的元素，那末我们就说E 是F 的子集合，简称为子集，记为 (F E ⊂读作E 包含于F ）, 或者E F ⊃（读作F 包含E ）．（2）相等：如果集合E 的任何元素都是集合F 的元素，并且集合F 的任何元素也都是集合E 的元素（即F E ⊂并且E F ⊂），那末我们说集合E 与集合F 相等，记为F E =．我们约定：空集合Φ是任何集合E 的子集，即 Φ⊂E ． 二、数集1． N 自然数集; Z 整数集;Q ——有理数集; R ——实数集; C把非负整数、非负有理数和非负实数的集合分别记为Z +，Q +和R +,显然有N ⊂Z ⊂Q ⊂R ⊂C ．和N ⊂Z +⊂Q +⊂R +．2．区间 ——数轴上的一段所有点组成的集合3．邻域 设∈a R ，.0>δ数集 {}δ<-a x x 称为a 的δ邻域，记为 ),(δa U ={}δ<-a x x =()δδ+-a a ,,a 称为邻域的中心；δ称为邻域的半径。
当不需要注明邻域的半径δ时，常把它表为)(a U ，简称a 的邻域． 数集 {}δ<-<a x x 0表示在a 的δ邻域),(δa U 中去掉a 的集合，称为a 的δ去心邻域，记作),(δa U={}δ<-<a x x 0=()δδ+-a a ,-{}a ，当不需要注明邻域半径δ时，常将它表为)(a U，简称a 的去心邻域． 三、逻辑符号1．符号“⇒”表示“蕴涵”或“推得”，或“若…，则…”．A ⇒B ——若命题A 成立，则命题B 成立;或命题A 蕴涵命题B ;称A 是B 充分条件，同时也称B 是A 的必要条例如：n 是整数⇒n 是有理数 符号“⇔”表示“必要充分”，或“等价”，或“当且仅当”．A ⇔B 表示命题A 与命题B 等价;或命题A 蕴涵命题B （A ⇒B ），同时命题B 也蕴涵命题A （B ⇒A ）例如：A ⊂B ⇔任意x ∈A ，有x ∈B ． 2.量词符号符号“∀”表示“任意”，或“任意一个”，它是将英文字母A 倒过来． 符号“∃”表示“存在”，或“能找到”，它是将英文字母E 反过来．应用上述的数理逻辑符号表述定义、定理比较简练明确．例如，数集A 有上界、有下界和有界的定义：数集A 有上界⇔∃b ∈R ，∀x ∈A ，有x ≤b ．数集A 有下界⇔∃a ∈R ，∀x ∈A ，有a ≤x ．数集A 有界⇔∃0>M ，∀x ∈A ，有M x ≤．⇔A 既有上界，又有下界。
高中数学集合符号读法大全
高中数学集合符号读法大全【原创版】目录1.集合符号的定义与概念2.集合符号的读法3.集合符号的应用示例4.集合与集合之间的关系5.总结正文一、集合符号的定义与概念集合符号是高中数学中用于表示集合的符号，它可以用来描述一组确定的、互不相同的元素。
集合符号通常用大写字母表示，如 A、B 等。
集合中的元素用小写字母表示，如 a、b 等。
二、集合符号的读法1.并集：用符号"∪"表示，读作“并”。
例如，A∪B 表示 A 和 B 的并集，即包含在集合 A 或集合 B 中的所有元素的集合。
2.交集：用符号"∩"表示，读作“交”。
例如，A∩B 表示 A 和 B 的交集，即同时属于集合 A 和集合 B 的所有元素的集合。
3.补集：用符号""表示，读作“补”。
例如，A 的补集表示为A，即不属于集合 A 的所有元素的集合。
4.属于：用符号"∈"表示，读作“属于”。
例如，a∈A 表示元素 a 属于集合 A。
5.不属于：用符号""表示，读作“不属于”。
例如，aA 表示元素 a 不属于集合 A。
三、集合符号的应用示例1.判断两个集合是否相等：如果两个集合的元素完全相同，则它们是相等集合。
例如，A={1, 2, 3}，B={1, 2, 3}，则 A=B。
2.求两个集合的并集：例如，A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则 A∪B={1, 2, 3, 4, 5}。
3.求两个集合的交集：例如，A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则 A∩B={3}。
4.求一个集合的补集：例如，A={1, 2, 3}，则A={x | xA}={x | x{1, 2, 3}}={x | x{1, 2, 3, 4,5...}}={x | xN}，其中 N 表示自然数集合。
四、集合与集合之间的关系1.包含关系：如果一个集合的所有元素都属于另一个集合，则前者包含于后者，用符号""表示，读作“包含于”。
集合的数学符号
集合的数学符号集合是数学中一个基础的概念，也是许多数学分支的基础。
它描述了一个由一些元素组成的整体，这些元素可以是任何东西，包括数字、字母、单词、图形等等。
为了描述集合，人们使用了一些特殊的符号和术语，这些符号和术语被称为集合的数学符号。
本文将介绍集合的数学符号及其应用。
一、集合的基础符号集合的基础符号是花括号 {}，它用来表示集合的元素。
例如，{1, 2, 3} 表示一个由数字 1、2、3 组成的集合。
在这个集合中，1、2、3 都是元素。
如果一个集合没有任何元素，那么它就是一个空集，用符号 {} 表示。
二、集合的运算符号1. 并集并集是指两个或多个集合中所有元素的集合。
并集用符号∪表示。
例如，如果 A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，那么 A ∪ B = {1, 2, 3, 4}。
2. 交集交集是指两个或多个集合中共有的元素的集合。
交集用符号∩表示。
例如，如果 A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，那么 A ∩ B = {2, 3}。
3. 补集补集是指一个集合中不属于另一个集合的元素的集合。
补集用符号 A' 表示，其中 A 是一个集合。
例如，如果 A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，那么 A' = {4}。
4. 差集差集是指一个集合中不属于另一个集合的元素的集合。
差集用符号 - 表示，例如，如果 A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，那么 A -B = {1}。
5. 对称差对称差是指两个集合中所有不同元素的集合。
对称差用符号⊕表示，例如，如果 A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，那么 A ⊕ B = {1, 4}。
三、集合的关系符号1. 包含关系包含关系是指一个集合是否包含另一个集合。
包含关系用符号或表示，例如，如果 A = {1, 2, 3}，B = {2, 3}，那么 B A。
2. 相等关系相等关系是指两个集合是否完全相同。
集合的基本概念
集合的基本概念集合是数学中基础而重要的概念之一。
它被广泛应用于各个数学分支和其他科学领域。
本文将介绍集合的基本概念、符号表示法以及一些常见的集合运算。
1. 集合的定义在数学中，集合可以被定义为由确定的对象所构成的整体。
这些对象可以是任何事物，如数、字母、图形等。
一个集合可以包含零个或多个对象，而且每个对象在集合中只能出现一次。
2. 集合的符号表示法数学中，集合通常用大写字母表示，例如A、B、C等。
对于属于集合的对象，可以用小写字母表示，例如a、b、c等。
表示一个对象属于某个集合，可以使用符号“∈”。
例如，如果a属于集合A，我们可以写作a ∈ A。
相反地，如果一个对象不属于某个集合，可以使用符号“∉”。
例如，如果b不属于集合A，我们可以写作b ∉ A。
3. 集合的描述方法有时，我们需要对集合中的对象进行描述。
有两种常见方法可以描述集合：a. 列举法：通过列举集合中的所有对象来描述集合。
例如，如果集合A包含元素1、2和3，我们可以写作A = {1, 2, 3}。
b. 描述法：通过给出满足某个条件的对象来描述集合。
例如，如果集合B包含所有大于0的整数，我们可以写作B = {x | x > 0}，其中“|”表示“满足条件”。
4. 集合的基本运算集合之间可以进行一些常见的运算，包括并集、交集、差集和补集。
a. 并集：两个集合A和B的并集，表示为A ∪ B，包含了A和B中所有的元素。
例如，如果A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，则A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}。
b. 交集：两个集合A和B的交集，表示为A ∩ B，包含了A和B共有的元素。
例如，如果A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，则A ∩ B = {3}。
c. 差集：两个集合A和B的差集，表示为A - B，包含了属于A但不属于B的元素。
例如，如果A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，则A - B= {1, 2}。
集合符号及其含义大全
集合符号及其含义大全集合符号是数学中常用的符号之一，用于表示集合的概念。
在数学中，集合是由一些元素组成的整体，这些元素可以是数字、字母、符号等等。
集合符号的使用可以让我们更加清晰地表达集合的概念，下面是一些常见的集合符号及其含义。
1. {}：大括号表示集合的符号，例如{1,2,3}表示由元素1、2、3组成的集合。
2. ∅：空集符号，表示一个不包含任何元素的集合。
3. ∈：属于符号，表示某个元素属于某个集合，例如a∈{a,b,c}表示元素a属于集合{a,b,c}。
4. ∉：不属于符号，表示某个元素不属于某个集合，例如d∉{a,b,c}表示元素d不属于集合{a,b,c}。
5. ⊆：包含符号，表示一个集合包含另一个集合中的所有元素，例如{a,b}⊆{a,b,c}表示集合{a,b}包含在集合{a,b,c}中。
6. ⊂：真包含符号，表示一个集合包含另一个集合中的所有元素，并且两个集合不相等，例如{a,b}⊂{a,b,c}表示集合{a,b}真包含在集合{a,b,c}中。
7. ∪：并集符号，表示两个集合中所有元素的集合，例如{a,b}∪{c,d}表示集合{a,b,c,d}。
8. ∩：交集符号，表示两个集合中共有的元素的集合，例如{a,b}∩{b,c}表示集合{b}。
9. \：差集符号，表示一个集合中去掉另一个集合中的元素后的集合，例如{a,b,c}\{b,c}表示集合{a}。
10. ⊕：对称差集符号，表示两个集合中不相同的元素的集合，例如{a,b}⊕{b,c}表示集合{a,c}。
以上是一些常见的集合符号及其含义，它们在数学中的应用非常广泛。
在集合论、概率论、统计学等领域中，集合符号的使用可以让我们更加方便地表达和计算各种问题。
同时，集合符号也是数学学习中的基础知识，掌握它们对于深入理解数学知识非常重要。
集合的概念知识点
集合的概念知识点集合是数学中的基本概念之一，它用于描述一组具有共同特征的对象的集合。
在集合论中，对象被称为元素。
而集合本身则是无序的，其中的元素没有重复。
首先，我们需要了解集合的符号表示。
通常，大写字母A、B、C等表示集合，小写字母a、b、c等表示集合中的元素。
如果一个元素x属于集合A，我们会用x∈A表示“x是A的元素”，如果x不属于集合A，我们会用x∉A表示“x不是A的元素”。
集合的描述方式有两种：列举法和描述法。
列举法是通过列举集合中的元素来描述集合，例如，集合A={1,2,3}表示集合A包含元素1、2和3。
描述法则是通过描述元素的特征来定义集合，例如，集合A={x|x是自然数且小于5}表示集合A包含所有小于5的自然数。
集合之间的关系可以用几个基本操作来描述。
交集是指两个集合中共同的元素组成的新集合，用符号∩表示，例如，如果A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩B={2,3}。
并集是指将两个集合中的所有元素组成的新集合，用符号∪表示，例如，如果A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∪B={1,2,3,4}。
差集是指从一个集合中去掉与另一个集合相同的元素后剩下的元素组成的新集合，用符号\表示，例如，如果A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A\B={1}。
补集是指在给定的全集中，与集合A中的元素不相同的元素组成的新集合，用符号A'表示，例如，如果全集为U={1,2,3,4,5}，A={2,3,4}，则A'={1,5}。
集合还有一个重要的概念是子集。
如果集合A的所有元素都是集合B的元素，我们称A是B的子集，用符号A⊆B表示。
同时，如果集合A不仅是B的子集，而且还有至少一个元素不属于B，我们称A是B的真子集，用符号A⊂B表示。
最后，集合还有一个特殊的集合，即空集。
空集是不包含任何元素的集合，用符号∅表示。
空集是任何集合的子集。
这些都是关于集合的概念知识点，它们是理解和应用集合的基础。
集合概念与符号_图文
幂集合
• 空集的幂集合是什么？集合{Φ }的幂集 合是什么？ • P(Φ )={Φ } P({Φ })={Φ ,{Φ }} • 如果一个集合有n个元素，那么它的幂集 合有2n个元素。
2. 笛卡尔积
• 定义7 有序n元组（a1,a2,…,an)是以a1为第 一个元素，a2为第2个元素，…，an为第n 个元素的有序组。 • 2元组特称为有序偶。 • 集合A和B的笛卡尔积C=AB表示所有有 序偶(a,b)的集合, 其中aA, bB. 也就是 AB={(a,b) | aA且 bB}
• 由此原发许多数学家哲学家为克服这些矛盾而建立了 各种公理化集合论体系，其中尤以本世纪初、中期的 ZFS(E . Zermelo, A . Fraenkel, T . Skolem)和NBG(Von Neurnann, P . Bernavs, K . Gö del)公理化体系最为流行. 到 20世纪 60年代，P . L . Cohen发明了强制方法而得 到了关于连续统与选择公理的独立性成果，尔后的研 究结果推陈出新，大量涌现．在同一时代，美国数学 家 L . A.Zadeh提出了Fuzzy集理论, 以及 20世纪80年 代波兰数学家Z . Pawlak发表了Rough集理论，这两种 理论区别于以往的集合论， 是一种新的模糊集理论， 受到了学术界的重视和青睐，取得了喜人成果．还有 多位著名学者也为集合论的发展作出了重要贡献．
集合论
1. 集合概念与符号
• • • • 集合(直观描述) 集合相等和子集合 子集的表示方式和全集 常用数学符号和常用集合记号
起源
• 集合论(Set Theory)是现代数学的基础．它的起源可追 溯到16世纪末，主要是对数集进行卓有成效的研 究．但集合论实际发展是由 19世纪 70年代德国数学家 康托尔(G . Cantor) 在无穷序列和分析的有关课题的理 论研究中创立的．康托尔对具有任意特性的无穷集合 进入了深入的探讨，提出了关于基数、序数、超穷数 和良序集等理论，奠定了集合论的深厚基础．因此， 康托尔被誉为集合论的创始人．但随着集合论的发展， 以及它与数学哲学密切联系所作的讨论，在本世纪初， 出现了许多似是而非、自相矛盾的悖论，如著名的罗 素(B . A . W . Russell)悖论，有力冲击了或者说动摇了 集合论的发展．
集合的概念和定义
集合的概念和定义
集合是指具有一定特性的事物的总体，是由一些个体构成的整体。
集合中的个体称为元素，元素不重复，且没有顺序。
集合的定义包括以下几个要素：
1. 元素：集合中的个体，可以是任意事物，例如数字、字母、人、动物等。
2. 集合符号：用大括号{}表示一个集合，元素用逗号分隔并放入大括号中。
例如，{1, 2, 3}表示一个包含元素1、2、3的集合。
3. 空集：不包含任何元素的集合，用符号{}表示。
4. 元素的判断：对于集合中的任意一个元素，要么属于集合，要么不属于集合，用符号"∈"表示属于，用符号"∉"表示不属于。
5. 元素的重复：集合中的元素是唯一的，不会有重复的元素。
即使多次出现同一个元素，也只算作一个元素。
6. 无序性：集合中的元素没有顺序，元素之间没有先后关系。
7. 相等性：集合的相等性是指两个集合包含的元素完全相同，不考虑元素的顺序。
8. 子集和超集：若集合A中的所有元素都属于集合B，那么
集合A称为集合B的子集，集合B称为集合A的超集，用符号"⊆"表示子集，用符号"⊇"表示超集。
以上是集合的基本概念和定义，集合理论是数学中的一个基础概念，被广泛应用于各个领域。
高一数学集合符号大全
高一数学集合符号大全一、集合的基本概念在高一数学的学习中，我们经常会遇到集合的概念和符号。
集合是数学中的一种基本概念，用来描述同类元素的集合体。
在集合的表示中，我们通常使用集合符号来表达不同的集合关系。
下面是一些高一数学中常用的集合符号的介绍。
1. 集合集合是由元素组成的整体，用大括号{}表示。
例如，{1, 2, 3}表示一个由元素1、2和3组成的集合。
2. 元素集合中的个体称为元素。
例如，集合{1, 2, 3}中的元素有1、2和3。
3. 空集不含任何元素的集合称为空集，记作Φ或{}。
空集是任何集合的子集。
4. 相等关系两个集合A和B相等，表示A中的每一个元素都是B中的元素，反之亦然。
用符号A = B表示。
5. 包含关系集合A中的每个元素都是集合B中的元素，则称A是B的子集，记作A ⊆ B。
如果A是B的子集，但A与B不相等，则记作A ⊂ B。
6. 真子集如果A是B的子集，且A与B不相等，则称A为B的真子集，记作A ⊂ B。
二、集合运算在数学中，我们经常需要进行集合之间的运算。
下面介绍一些高一数学中常用的集合运算符号。
1. 并集设A和B为两个集合，A和B的并集表示由A和B中所有元素组成的集合，记作A ∪ B。
2. 交集设A和B为两个集合，A和B的交集表示同时属于A和B的元素所组成的集合，记作A ∩ B。
3. 差集设A和B为两个集合，A和B的差集表示在A中存在但在B中不存在的元素所组成的集合，记作A - B。
4. 余集设U为全集，A为U的子集，则A在U中剩下的元素组成的集合称为A的余集，记作A'。
三、集合运算的性质在集合运算中，存在一些重要的性质需要掌握。
1. 交换律对于任意两个集合A和B，A ∪ B = B ∪ A，A ∩ B = B ∩ A。
2. 结合律对于任意三个集合A、B和C，(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)，(A∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)。
3. 分配律对于任意三个集合A、B和C，A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)，A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)。
集合的全部知识点总结
集合的全部知识点总结在数学中，集合是一种把具有相同特征的对象聚集在一起的概念。
学习集合理论可以帮助我们更好地理解数学，并在解决问题和证明定理时提供基础。
下面将对集合的基本概念、运算、特殊集合和应用进行总结。
一、基本概念1. 集合的定义：集合是由确定的对象组成的整体，这些对象称为集合的元素。
用大写字母A、B、C等表示集合，用小写字母a、b、c等表示元素。
2. 元素的归属关系：如果某个元素a属于集合A，可以表示为a∈A；如果元素a不属于集合A，可以表示为a∉A。
3. 空集：不包含任何元素的集合称为空集，用符号∅表示。
4. 全集：包含所有可能元素的集合称为全集，用符号U表示。
二、运算1. 交集：集合A和集合B的交集是包含同时属于A和B的所有元素的集合，用符号表示为A∩B。
2. 并集：集合A和集合B的并集是包含属于A或属于B的所有元素的集合，用符号表示为A∪B。
3. 差集：集合A相对于集合B的差集是包含属于A但不属于B的元素的集合，用符号表示为A-B。
4. 互斥集：如果两个集合的交集为空集，则它们被称为互斥集。
5. 补集：相对于全集U，集合A中不属于U的元素组成的集合称为集合A的补集，用符号表示为A'。
三、特殊集合1. 单元素集：只包含一个元素的集合称为单元素集。
2. 空集和全集：空集和全集在集合论中具有特殊的地位，空集是任意集合的子集，全集是任意集合的超集。
3. 自身元素：集合A中的元素也可以是集合A本身，这种集合称为自身元素。
四、应用1. 表示和描述：集合可用于表示和描述各种情况，如自然数集、整数集、有理数集和实数集等。
2. 集合关系：集合的交集、并集和差集等运算可以用于分析和研究集合间的关系。
3. 映射和函数：集合论为映射和函数提供了理论基础，映射是从一个集合到另一个集合的对应关系。
4. 概率和统计：概率和统计学中的事件和样本空间等概念可以用集合表示和运算。
总结：集合论是数学中重要的分支之一，可以帮助我们更好地理解数学概念和解决实际问题。
集合概念和表示方法义
集合一．集合的概念：集合没有确切定义，是一个基本概念。
对其描述：某些具有共同属性的对象集在一起就成为一个集合。
符号表示为{}，表示的意思为全体。
这些对象我们称之为元素。
集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示，集合的元素常用小写的拉丁字母来表示。
如a、b、c、p、q…… 例如A={1,3,a,c,a+b}注意：（1）集合是数学中原始的、不定义的概念，只作描述.（2）集合是一个“整体.（3）构成集合的对象必须是“确定的”且“不同”的例如：指出下列对象是否构成集合，如果是，指出该集合的元素。
（1）我国的直辖市；（2）五中高一（1）班全体学生；（3）较大的数（4）young 中的字母；（5）大于100的数；（6）小于0的正数。
【典例分析】：1.下列各组对象中，不能组成集合的是（）A 所有的正六边形B《数学》必修1中的所有习题C 所有的数学容易题D 所有的有理数2.由下列对象组成的集体属于集合的是（）（1）不超过π的正整数；（2）高一数学课本中所有的难题；（3）中国的大城市（4）平方后等于自身的数；（5）某校高一（2）班中考成绩在500分以上的学生.A.（1）（2）（3）B.（3）（4）（5）C.（1）（4）（5）D. （1）（2）（4）二．元素的特性a、确定性（有一个确定的衡量标准）b、互异性（集合里的元素都不一样）c、无序性（没有顺序）（确定性）例题1：下列各组对象能否构成一个集合（1）著名的数学家（2）某校2006年在校的所有高个子同学（3）不超过10的非负数（4）方程240x-=在实数范围内的解（5）2的近似值的全体例题2：下列各对象不能够成集合的是（）A 某校大于50岁的教师B 某校30岁的教师C 某校的年轻教师D 某校的女教师（互异性）例题3：已知集合S 中的元素是a,b,c,其中a,b,c 为△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是（ ）A. 锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形例题4：若-3∈{a-3,2a-1,a 2+4},求实数a 的值，并求此时的实数集。
高一数学集合的概念知识点笔记
高一数学集合的概念知识点笔记一、集合的概念集合是由一些特定对象组成的整体，这些对象被称为集合的元素。
表示一个集合的方式有两种：列举法和描述法。
在列举法中，将集合的元素一一列举出来；在描述法中，通过一定的条件来描述集合的元素。
二、集合的运算1. 并集：并集是将多个集合的所有元素合并在一起得到的集合。
用符号“∪”表示。
例如，集合A={1, 2, 3}和集合B={3, 4, 5}的并集为A∪B={1, 2, 3, 4, 5}。
2. 交集：交集是多个集合中共有的元素组成的集合。
用符号“∩”表示。
例如，集合A={1, 2, 3}和集合B={3, 4, 5}的交集为A∩B={3}。
3. 差集：差集是从一个集合中减去另一个集合中的元素得到的集合。
用符号“-”表示。
例如，集合A={1, 2, 3}减去集合B={3, 4, 5}的差集为A-B={1, 2}。
4. 互斥：两个集合没有共同元素时称为互斥。
即两个集合的交集为空集。
三、集合的性质1. 子集关系：如果一个集合的所有元素都是另一个集合的元素，则称前者为后者的子集。
用符号“⊆”表示。
“A⊆B”表示集合A是集合B的子集。
2. 空集：一个不包含任何元素的集合称为空集，用符号“∅”表示。
3. 幂集：由一个集合的所有子集构成的集合称为幂集。
例如，集合A={1, 2}的幂集为P(A)={{}, {1}, {2}, {1, 2}}。
四、集合的表示与求解1. 集合的表示：利用集合的运算符号可以将集合的关系用简洁的符号表示出来，以便进行计算和求解。
例如，对于集合A={1, 2, 3}的表示，可以写作A={x | x是正整数，1≤x≤3}。
2. 集合的求解：在数学问题中，需要求解集合的交集、并集、差集等操作。
通过利用集合的性质和运算法则，可以得出集合的具体元素或描述。
五、应用实例集合在实际问题中有着广泛的应用。
以下列举几个常见的实际应用实例：1. 人员分类：将一群人根据不同的条件进行分类，根据年龄、性别、兴趣爱好等条件可以形成不同的集合。
集合的定义和表示法
集合的定义和表示法集合是数学中一个基本的概念。
它可以看作是将一组对象放在一起形成的整体。
在集合中，每个对象都是独特的，没有重复的成员。
1. 集合的定义集合由一些称为元素的对象组成。
集合的定义可以用以下形式表示：由一些称为元素的对象组成。
集合的定义可以用以下形式表示：集合 = {元素1, 元素2, 元素3, ...}在集合的定义中，用大括号 `{}` 来表示集合。
括号内的元素由逗号 `,` 分隔。
元素可以是任何事物，如数字、字母、符号等。
2. 集合的表示法表示集合的方法有几种常见形式：a. 列举法列举法是最直接的一种表示集合元素的方法，即将集合中的元素逐个列举出来。
例如，表示自然数集合的列举法如下：是最直接的一种表示集合元素的方法，即将集合中的元素逐个列举出来。
例如，表示自然数集合的列举法如下：自然数集合 = {1, 2, 3, 4, ...}b. 描述法描述法是通过对集合中元素的性质进行描述来定义集合。
例如，表示正偶数集合的描述法如下：是通过对集合中元素的性质进行描述来定义集合。
例如，表示正偶数集合的描述法如下：正偶数集合 = {x | x 是正整数且 x 是偶数}其中，符号 `|` 表示 "满足条件"，即属于该集合。
c. 空集和全集空集是不包含任何元素的集合，用符号 `{}` 或 `∅` 表示。
是不包含任何元素的集合，用符号 `{}` 或 `∅` 表示。
全集是包含所有可能元素的集合，通常用`U` 或其他符号表示。
是包含所有可能元素的集合，通常用 `U` 或其他符号表示。
3. 集合运算在数学中，常见的集合运算有并集、交集和补集。
a. 并集并集是指将两个或多个集合中的所有元素合并成一个新的集合。
并集的运算符号是 `∪`。
例如，设集合 A 和集合 B 如下：是指将两个或多个集合中的所有元素合并成一个新的集合。
并集的运算符号是 `∪`。
例如，设集合 A 和集合 B 如下：A = {1, 2, 3}B = {3, 4, 5}则 A 和 B 的并集为：A ∪B = {1, 2, 3, 4, 5}b. 交集交集是指两个或多个集合中共有的元素构成的新的集合。
集合的所有知识点总结
集合的所有知识点总结集合是数学中的一个基础概念，它是一个由确定的对象组成的整体。
集合论是研究集合性质、集合关系以及集合运算的数学分支。
一、集合的基本概念：1.元素：集合中的每个对象都被称为元素，通常用小写字母a、b、c等表示。
2.空集：不含任何元素的集合称为空集，通常用符号∅表示。
3.子集：若集合A中的每个元素都是集合B的元素，则称A为B的子集，用符号A⊆B表示。
4.相等集合：若两个集合A和B具有相同的元素，则称A等于B，用符号A＝B表示。
5.无限集合：元素个数无穷多的集合称为无限集合，如自然数集、整数集等。
二、集合的表示方法：1.描述法：通过描述集合元素的特征，将其写成一组确定的元素的方式，如“x是大于0且小于10的整数”的集合{x|0<x<10}。
2.列举法：直接将集合中的每个元素列出来，用大括号{}表示，元素之间用逗号隔开，如集合{1, 2, 3}。
3.集合的图示法：用图形的方式表示集合，如Venn图等。
三、集合间的关系：1.包含关系：若集合A中的每个元素都是集合B的元素，则称A包含于B，用符号A⊆B表示。
2.真子集关系：如果A包含于B，并且A不等于B，则称A 为B的真子集，用符号A⊂B表示。
3.相等集合：若集合A包含于集合B，并且集合B包含于集合A，则称A等于B，用符号A＝B表示。
四、集合的运算：1.并集运算：将属于集合A或集合B的元素组成一个新的集合，用符号A∪B表示，即A∪B={x|x∈A或x∈B}。
2.交集运算：将同时属于集合A和集合B的元素组成一个新的集合，用符号A∩B表示，即A∩B={x|x∈A且x∈B}。
3.补集运算：对于给定的全集U，集合A中不属于集合B的元素组成一个新的集合，用符号A-B表示，即A-B={x|x∈A 且x∉B}。
4.差集运算：集合A中属于A而不属于B的元素组成一个新的集合，用符号A-B或A\B表示，即A-B={x|x∈A且x∉B}。
五、集合的性质：1.幂集：给定集合A，由A的所有子集构成的集合称为A的幂集，记作P(A)。
集合的基本概念
集合的基本概念集合是数学中一个基本概念，它是由一些确定的事物所组成的，这些事物称为元素。
在集合中，元素是没有顺序的，而且每个元素在集合中是唯一的。
本文将讨论集合的基本概念、符号表示和基本操作。
一、集合的符号表示在数学中，集合可以用不同的符号表示。
常见的表示方法有两种：列表法和描述法。
1. 列表法：列表法是将集合中的元素写在大括号{}中，中间用逗号隔开。
例如，集合A={1,2,3,4,5}表示集合A包含元素1、2、3、4和5。
2. 描述法：描述法是通过一定的条件来描述集合中的元素。
例如，集合B={x|x是正偶数}表示集合B包含所有正偶数。
二、集合的基本操作在集合的处理中，有一些基本的操作，包括并集、交集、补集和差集。
1. 并集：将两个集合A和B中的所有元素合并在一起，构成一个新的集合，这个新的集合称为A和B的并集。
并集用符号∪表示。
例如，集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，则A∪B={1,2,3,4,5}。
2. 交集：将两个集合A和B中的共有元素提取出来，构成一个新的集合，这个新的集合称为A和B的交集。
交集用符号∩表示。
例如，集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，则A∩B={3}。
3. 补集：对于给定的集合A和全集U，全集U中包含了所有元素，而集合A中包含了一部分元素，那么全集U减去集合A中的所有元素所得到的集合称为集合A的补集，补集用符号A'表示。
例如，全集U={1,2,3,4,5}，集合A={1,2,3}，则A'={4,5}。
4. 差集：将一个集合A中去掉与另一个集合B相同的元素后，所得到的集合称为集合A和B的差集，差集用符号\表示。
例如，集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，则A\B={1,2}。
三、集合的特点在集合的处理中，有两个基本的特点，分别是空集和全集。
1. 空集：空集是一个不包含任何元素的集合，用符号∅或{}表示。
例如，集合C={}就是一个空集。
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3. 集合运算
• • • • 集合的并 集合的交 集合的差运算和余(补)运算 集合运算的性质
集合的并
• 集合A和B的并是由A或B的所有元素组成 的集合, 记为A∪B, 也就是 A∪B={x | x∈A或x∈B} • 集合并运算的性质：
– 交换律 A ∪ B= B ∪ A – 结合律A ∪ (B ∪ C)= (A ∪ B) ∪ C
幂集合
• 空集的幂集合是什么？集合{Φ}的幂集 合是什么？ • P(Φ)={Φ} P({Φ})={Φ,{Φ}} • 如果一个集合有n个元素，那么它的幂集 合有2n个元素。
2. 笛卡尔积
• 定义7 有序n元组（a1,a2,…,an)是以a1为第 一个元素，a2为第2个元素，…，an为第n 个元素的有序组。 • 2元组特称为有序偶。 • 集合A和B的笛卡尔积C=A×B表示所有有 序偶(a,b)的集合, 其中a∈A, b∈B. 也就是 A×B={(a,b) | a∈A且 b∈B}
集合的交
• 集合A和B的交是由所有A和B的公共元素 组成的集合, 记为A ∩ B, 也就是 A ∩ B={x | x∈A且x∈B} • 集合交运算的性质：
– 交换律 A ∩ B= B ∩ A – 结合律A ∩ (B ∩ C)= (A ∩ B) ∩ C
集合的差运算和余(补)运算
• 集合的差运算：由集合A中不在集合B中的元 素所组成的集合叫做集合A与集合B的差，记 作A-B, 也就是 A-B={x∈A | x∉B} • 设全集为U，集合A⊂U, U-A叫做A关于U的补 集，当U是公认的时候，简称为A的补集，记 为A
幂集合
• 很多问题都要检查一个集合的元素的所 有可能的组合，看它们是否具有某种性 质。为了考虑集合元素所有可能的组合， 我们构造一个新集合，它以S的所有子集 作为它的元素。
幂集合
• 定义6 已知集合S, S的幂集合是集合S所 有子集的集合，用P(S)表示。 • 例 集合{0, 1, 2}的幂集合是 P({0,1,2}={Φ,{0},{1},{2},{0,1},{0,2 },{1,2},{0,1,2}}。 • 空集的幂集合是什么？集合{Φ}的幂集 合是什么？
• 集合论在计算机科学、人工智能领域、逻辑学及语言 学等方面都有着重要的应用．对子从事计算机科学的 工作者来说，集合论是不可缺少的理论知识，熟悉和 掌握它是十分必要的．
集合(直观描述)
• 具有某种属性的对象总体(通常用大写字 母表示，如A,B等)，这些对象称为其元 素 (通常用小写字母表示，如x,y等). • x A x是A的元素记为: x∈A ( : (读作x属于A) x A) • x不是A的元素记为: x∉A (读作x不属于A) • 集合的基本特性是，对于给定的集合A， 任何对象x, x∈A与x∉A中有且只有一个 成立.
集合的基数
• 定义4 令S为集合。若S中恰有n个不同元 素，n是非负整数，就说S是有限集合， 而n是集合S的基数，用| S |表示。 • 例 令A为小于10的正奇数集合，则|| A | = A 10 5 • 空集Φ没有元素，所以| Φ | = 0 • 定义5 如果一个集合不是有限的，就说 它是无限合的并集、交集和差集等运算会 浪费时间，因为这些运算需要大量元素检索
集合的计算机表示
• 利用全集元素的一个任意排序存放元素 以表示集合。
– 假定全集U是有限的，首先为U的元素任意 规定一个顺序，例如a1,a2,…,an。于是可以用 长度为n的位串表示U的子集A：如果ai属于 A，则位串中第i位是1；如果ai不属于A，则 位串中第i位是0。
6. 集合的势
• • • • • 等势的概念 自然数和有限集 可数集 幂集 不可数集
等势的概念
• 如何说清有限集: 自然数的构造 • 数数的澄清和推广--等势: 如果两个集合 A B A和B之间存在双射,就说A与B是对等的 , A B 或等势的.记做A~B. . A~B. • 等势的性质:
– 1. 自返性: A~A; – 2. 对称性: A~B⇒B~A; – 3. 传递性: A~B, B~C⇒A~C.
• 小于10的正奇数集合A={1, 3, 5, 7, 9} • 表面看起来不相干的元素所构成的集合 {a, 2, Fred, New Jerseg} • 集合B={x | x是小于10的正奇数} • 上例中集合A=B
集合相等和子集合
• 集合相等 集合相等：如果两个集合A和B有同样的 元素组成，就说集合A和B相等，记作A= B或B=A. • 子集合: 如果集合B的元素都是集合A的 : B A 元素，B叫做A的子集合(简称子集). 记作 B⊂A (读作B包含于A)，或A⊃B (读作A包 含B). • 命题： A= B当且仅当A⊂B且A⊃B.
笛卡尔积
• 定义9 集合A1, A2,…,An的笛卡儿积用 A1×A2×…×An表示，这是有序n元组 (a1,a2,…,an)的集合，其中对于i=1,2,…,n， ai∈Ai。 • 什么是笛卡儿积A×B×C，其中 A={0,1},B={1,2},C={0,1,2}?
笛卡尔积
• 什么是笛卡儿积A×B×C，其中 A={0,1},B={1,2},C={0,1,2}? • 解： A×B×C={(0,1,0),(01,1),(0,1,2),(0,2,0),(0, 2,1),(0,2,2),(1,1,0),(1,1,1),(1,1,2),(1,2,0),(1, 2,1),(1,2,2)}
自然数和有限集
• 自然数:
– 0:=∅, 1:={∅} – 递归定义: n+1:={0,1,…,n} – 自然数集: N={0,1,…}, N+ ={1,2,…}
• 有限集: 如果集合A与某个自然数对等， 就说A是有限集. 约定: 空集是有限集 • 两个不同自然数是不对等的. 自然数可以 看成是有限集势的代表
• 由此原发许多数学家哲学家为克服这些矛盾而建立了 各种公理化集合论体系，其中尤以本世纪初、中期的 ZFS(E . Zermelo, A . Fraenkel, T . Skolem)和NBG(Von Neurnann, P . Bernavs, K . Gödel)公理化体系最为流行. 20 60 P Cohen 到 20世纪 60年代，P . L . Cohen发明了强制方法而得 到了关于连续统与选择公理的独立性成果，尔后的研 究结果推陈出新，大量涌现．在同一时代，美国数学 家 L . A.Zadeh提出了Fuzzy集理论, 以及 20世纪80年 代波兰数学家Z . Pawlak发表了Rough集理论，这两种 理论区别于以往的集合论， 是一种新的模糊集理论， 受到了学术界的重视和青睐，取得了喜人成果．还有 多位著名学者也为集合论的发展作出了重要贡献．
集合相等
集合相等的证明
• 可以考虑用成员表来证明集合相等。我 们考虑一个元素可能属于的集合的每一 种组合，并证明在同样的集合组合中的 元素属于等式两边的集合。用1表示元素 数属于一个集合，用0表示元素不属于一 个集合。
集合相等的证明
• 例 用成员表证明 A∩(B∪C)=(A ∩B) ∪ (A∩C)
子集的表示方式和全集
• 设A是一个集合,其子集B通常用下面的形 式表示：B={x∈A | P(x)}, 其中P(x)表示x 在B中所要满足的条件 • 空集：不含任何元素的集合叫做空集,用 符号∅表示,空集是任何集合的子集： ∅={x∈A | x ≠x} • 在数学的讨论中，常常涉及到的是某个 固定集合的子集，例如，实数的子集. 这 个固定集合叫做全集. 一般用E表示.
不可数集
• 不可数集: 不对等于N的无限集叫做不可 数的 • 连续统势: 与P(N)对等的集合叫做具有连 : P(N) 续统的势 • 事实3. F={f: N→{0,1}}与P(N)等势 • 事实4. X={A∈P(N) | ∃k∈N, ∀n≥k, n∈A} 是可数的 • 事实5. 在二进制中1=0.11….(1循环)
可数集(I)
• 无限集: 不是有限集的集合叫做无限集 • 可数集: 与自然数集N等势的集合叫做可 数集 • 命题1. 有理数集Q={m/n | m∈Z, n∈N+}是 可数的 • 证明：利用高度h=|m|+n • 命题2. 可数集的子集是有限的或可数的
可数集(II)
• 命题3. 有限多个或可数多个可数集的并 集仍然是可数的 • 证明: 次对角排列法. : . • 事实1. 任何无限集都有可数子集 • 事实2.设A是无限集, B可数集,则A∪B~B • 说明: 有些数学书或文章中把有限或可数 集一起叫做至多可数的(at most countable) 或可列的(enumeratable),甚至就叫可数的
集合论
1. 集合概念与符号
• • • • 集合(直观描述) 集合相等和子集合 子集的表示方式和全集 常用数学符号和常用集合记号
起源
• 集合论(Set Theory)是现代数学的基础．它的起源可追 溯到16世纪末，主要是对数集进行卓有成效的研 究．但集合论实际发展是由 19世纪 70年代德国数学家 康托尔(G . Cantor) 在无穷序列和分析的有关课题的理 论研究中创立的．康托尔对具有任意特性的无穷集合 进入了深入的探讨，提出了关于基数、序数、超穷数 和良序集等理论，奠定了集合论的深厚基础．因此， 康托尔被誉为集合论的创始人．但随着集合论的发展， 以及它与数学哲学密切联系所作的讨论，在本世纪初， 出现了许多似是而非、自相矛盾的悖论，如著名的罗 素(B . A . W . Russell)悖论，有力冲击了或者说动摇了 集合论的发展．
集合的计算机表示
• 例 令U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，而且U的 元素从小到大排序，即ai=i。表示U中所 有奇数的子集、所有偶数的子集和不超 过5的整数的子集的位串分别是什么？ • 解：U中所有奇数的子集即{1,3,5,7,9}的 位串，第1，3，5，7，9位为1，其他位 位0，即 10101 01010