上海市嘉定区2021届新高考数学模拟试题(2)含解析
2021年上海市嘉定区高考数学一模试卷(含详细解析)
2021年上海市嘉定区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）1．（4分）已知集合A ＝{0，2，4}，B ＝（0，+∞），则A ∩B ＝ ．2．（4分）抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为 ．3．（4分）不等式|x 41x|≤0的解为 ． 4．（4分）已知复数z 满足（1+i ）•z ＝2（i 为虚数单位），则|z |＝ ．5．（4分）已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边经过点P （3，4），则tan(π2+α)= ．6．（4分）设函数f （x ）＝a x +1﹣2（a ＞1）的反函数为y ＝f ﹣1（x ），若f ﹣1（2）＝1，则f （2）＝ ．7．（5分）设各项均为正数的无穷等比数列{a n }满足：a 1＝1，a 2+2a 3＝1，则数列{a 2n }的各项的和为 ．8．（5分）在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，将△ABC 绕边AC 所在直线旋转一周得到几何体Γ，则Γ的侧面积为 ．9．（5分）在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝2，CE →=16CB →+23CA →，则AE →⋅BC →= ． 10．（5分）甲和乙等5名志愿者参加进博会A 、B 、C 、D 四个不同的岗位服务，每人一个岗位，每个岗位至少1人，且甲和乙不在同一个岗位服务，则共有 种不同的参加方法（结果用数值表示）．11．（5分）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，首项a 1＞0，公差d ＜0，若对任意的n ∈N *，总存在k ∈N *，使S 2k ﹣1＝（2k ﹣1）S n ，则k ﹣3n 的最小值为 ．12．（5分）已知函数f （x ）＝x |x ﹣a |+3x ．若存在a ∈[﹣3，4]，使得关于x 的方程f （x ）＝tf （a ）有三个不相等的实数根，则实数t 的取值范围是 ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．】13．（5分）已知x ≠0，n ∈N *，则“n ＝2”是“(x +1x )n 的二项展开式中存在常数项”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件 14．（5分）已知a 、b ∈R ，且a ＞b ，则下列不等式恒成立的是（ ）A ．1a ＜1bB ．lna ＞lnbC ．a 2＞b 2D ．2a ＞2b15．（5分）过双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于点A ，若以C 的右焦点为圆心，以2为半径的圆经过A 、O 两点（O 为坐标原点），则双曲线C 的方程为（ ）A ．x 23−y 2=1 B ．x 2−y 23=1 C ．x 22−y 22=1 D ．x 22−y 26=116．（5分）如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 是该正方体棱上一点．若满足|PB |+|PC 1|＝m （m ＞0）的点的个数为4，则m 的取值范围是（ ）A ．[2√2，4]B ．[4，2+2√3]C ．[4，4√2]D ．[2+2√3，4√2]三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）如图，正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面边长为2，A 1D ＝4．（1）求该正四棱柱的表面积和体积；（2）求异面直线A 1D 与AC 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）．18．（14分）已知函数f （x ）＝cos （ωx ）（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值及函数g(x)=√3f(π4−x)−f(x)，x ∈[0，π2]的值域；（2）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边长分别为a ，b ，c ，若A ∈(0，π2)，f(A)=−12，△ABC 的面积为3√3，b ﹣c ＝2，求a 的值．19．（14分）提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况．在一般情况下，隧道内的车流速度v （单位：千米/小时）和车流密度x （单位：辆/千米）满足关系式：v ={50，0＜x ≤2060−k 140−x ，20＜x ≤120(k ∈R)．研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时．（1）若车流速度v 不小于40千米/小时，求车流密度x 的取值范围；（2）隧道内的车流量y （单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足y ＝x ⋅v ，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）．20．（16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆Γ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的长轴长为6，且经过点Q(32，√3)，A 为左顶点，B 为下顶点，椭圆上的点P 在第一象限，P A 交y 轴于点C ，PB 交x 轴于点D ．（1）求椭圆的标准方程；（2）若OB →+2OC →=0→，求线段P A 的长；（3）试问：四边形ABCD 的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．21．（18分）若有穷数列{a n }满足：0≤a 1＜a 2＜…＜a k （k ∈N *，k ≥3）且对任意的i ，j （1≤i ≤j ≤k ），a j +a i 与a j ﹣a i 至少有一个是数列{a n }中的项，则称数列{a n }具有性质P ．（1）判断数列1，2，4，8是否具有性质P ，并说明理由；（2）设项数为k （k ∈N *，k ≥3）的数列{a n }具有性质P ，求证：ka k ＝2（a 1+a 2+…+a k ﹣1+a k ）；（3）若项数为k （k ∈N *，k ≥3）的数列{a n }具有性质P ，写出一个当k ＝4时，{a n }不是等差数列的例子，并证明当k＞4时，数列{a n}是等差数列．2021年上海市嘉定区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）1．（4分）已知集合A ＝{0，2，4}，B ＝（0，+∞），则A ∩B ＝ {2，4} ．【解答】解：集合A ＝{0，2，4}，B ＝（0，+∞），则A ∩B ＝{2，4}．故答案为：{2，4}．2．（4分）抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为 （1，0） ．【解答】解：∵抛物线y 2＝4x 是焦点在x 轴正半轴的标准方程，p ＝2∴焦点坐标为：（1，0）故答案为：（1，0）3．（4分）不等式|x 41x|≤0的解为 {x |﹣2≤x ≤2} ． 【解答】解：不等式|x 41x |≤0，化为：x 2﹣4≤0， 解得﹣2≤x ≤2，所以不等式的解：{x |﹣2≤x ≤2}．故答案为：{x |﹣2≤x ≤2}．4．（4分）已知复数z 满足（1+i ）•z ＝2（i 为虚数单位），则|z |＝ √2 ．【解答】解：∵（1+i ）•z ＝2，∴|1+i |•|z |＝2，∴√2|z |＝2，∴|z |=√2，故答案为：√2．5．（4分）已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边经过点P （3，4），则tan(π2+α)= −34 ．【解答】解：角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边经过点P （3，4）， 可得sin α=45，cos α=35，tan(π2+α)=sin(α+π2)cos(α+π2)=cosα−sinα=35−45=−34． 故答案为：−34．6．（4分）设函数f （x ）＝a x +1﹣2（a ＞1）的反函数为y ＝f ﹣1（x ），若f ﹣1（2）＝1，则f （2）＝ 6 ．【解答】解：由题意得：函数f （x ）＝a x +1﹣2（a ＞1）过（1，2），将（1，2）代入f （x ）得：a 2﹣2＝2，解得：a ＝2，故f （x ）＝2x +1﹣2，故f （2）＝6，故答案为：6．7．（5分）设各项均为正数的无穷等比数列{a n }满足：a 1＝1，a 2+2a 3＝1，则数列{a 2n }的各项的和为 23（1﹣2﹣2n ） ．【解答】解：由题意设公比是q （q ＞0），而a 1＝1，则a 2＝q ，a 3＝q 2，∵a 2+2a 3＝1，∴q +2q 2＝1，解得：q 1=12（﹣1舍），故a n =(12)n−1，则数列{a 2n }的首项是12，公比是q 2=14， 故数列{a 2n }的各项的和S =a 1(1−q n )1−q =12[1−(14)n ]1−14=23（1﹣2﹣2n ）， 故答案为：23（1﹣2﹣2n ）．8．（5分）在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，将△ABC 绕边AC 所在直线旋转一周得到几何体Γ，则Γ的侧面积为 15π ．【解答】解：如图示：，将△ABC 绕边AC 所在直线旋转一周得到几何体Γ，得到的是高为4，底面半径为3，母线长为5的圆锥，。
【最新】上海市2022-2021年高考二模数学试卷(理)含答案
上海市2022-2021年高考模拟考试数学试卷（理科）考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行并在规定的位置书写，写在试卷、草稿纸上的解答一律无效；2．答卷前，考生务必将学校、姓名、准考证号等相关信息填写清楚，并贴好条形码； 3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟．一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．已知集合{1,3,21}A m =--，集合2{3,}B m =．若B A ⊆，则实数m =．2．计算：131lim 32n n nn +→∞+=+． 3．函数3()1f x x =的反函数1()f x -=． 4．函数2()(sin cos )f x x x =-的最小正周期为．5．在极坐标系中，直线(cos 2sin )1ρθθ+=与直线sin 1ρθ=的夹角大小为（结果用反三角函数值表示）．6．已知菱形ABCD ，若||1AB =，3A π=，则向量AC 在AB 上的投影为． 7．已知一个凸多面体的平面展开图由两个正六边形和六个正方形构成，如右图所示，若该凸多面体所有棱长均为1，则其体积V =．8．已知函数32()lg(1)f x x x x =++，若()f x 的定义域中的a 、b 满足f (-a )+f (-b )-3=f (a )+f (b )+3，则()()f a f b +=．9．在代数式5221(425)1x x x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数等于．10．若椭圆上的点到其一个焦点的距离的最小值为5，最大值为15，则该椭圆的短轴长为．11．有红、黄、蓝三种颜色，大小相同的小球各3个，在每种颜色的3个小球上分别标上号码第7题1、2和3，现任取出3个，它们的颜色与号码均不相同的概率是（结果用最简分数表示）． 12．设离散型随机变量ξ可能取的值为1，2，3，()P k ak b ξ==+（1,2,3k =），若ξ的数学期望73E ξ=，则a b +=． 13．正整数a 、b 满足1a b <<，若关于x 、y 的方程组24033,|1|||||y x y x x a x b =-+⎧⎨=-+-+-⎩有且只有一组解，则a 的最大值为．14．数列{}n a 中，若10a =，2i a k =（*i ∈N ，122k k i +<≤，1,2,3,k =），则满足2100i i a a +≥的i 的最小值为．二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．已知直角坐标平面上两条直线的方程分别为1111:0l a x b y c ++=，2222:0l a x b y c ++=，那么“11220a b a b =”是“两直线1l 、2l 平行”的[答] ( )． A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件16．复数i1im z +=-（m ∈R ，i 为虚数单位）在复平面上的点不可能位于[答] ( )． A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限17．若△ABC 的三条边a ，b ，c 满足()()()7910a b b c c a +++=∶∶∶∶，则△ABC [答] ( )． A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形 C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形18．若函数()lg[sin()sin(2)sin(3)sin(4)]f x x x x x =π⋅π⋅π⋅π的定义域与区间[0,1]的交集由n 个开区间组成，则n 的值为[答] ( )．A ．2B ．3C ．4D ．5三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）如图，小凳凳面为圆形，凳脚为三根细钢管．考虑到钢管的受力等因素，设计的小凳应满足：三根细钢管相交处的节点P 与凳面圆形的圆心O 的连线垂直于凳面和地面，且P 分细钢管上下两段的比值为0.618，三只凳脚与地面所成的角均为60︒．若A 、B 、C 是凳面圆周的三等分点，18AB =厘米，求凳子的高度h 及三根细钢管的总长度（精确到0.01）．20．（本题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分7分． 已知函数()sin cos f x a x b x =+，其中a 、b 为非零实常数．（1）若24f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()f x 10，求a 、b 的值．（2）若1a =，6x π=是()f x 图像的一条对称轴，求0x 的值，使其满足0()3f x =0[0,2]x ∈π．21．（本题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分7分．已知函数2()1x x f x a x -=++，其中1a >． （1）证明：函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数．（2）证明：不存在负实数0x 使得0()0f x =．22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．ABC PO已知数列{}n a 的通项公式为12()()n a n k n k =--，其中*n ∈N ，1k 、2k ∈Z ． （1）试写出一组1k 、2k 的值，使得数列{}n a 中的各项均为正数． （2）若11k =，*2k ∈N ，数列{}n b 满足nn a b n=，且对任意的*m ∈N （3m ≠），均有3m b b <，写出所有满足条件的2k 的值．（3）若12k k <，数列{}n c 满足||n n n c a a =+，其前n 项和为n S ，且使0i j c c =≠（i 、*j ∈N ，i j <）的i 和j 有且仅有4组，1S 、2S 、…、n S 中有至少3个连续项的值相等，其它项的值均不相等，求1k 、2k 的最小值．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．对于双曲线(,)a b C ：22221x y a b -=（,0a b >），若点00(,)P x y 满足2200221x y a b-<，则称P 在(,)a b C 的外部；若点00(,)P x y 满足2200221x y a b->，则称P 在(,)a b C 的内部．（1）若直线1y kx =+上点都在(1,1)C 的外部，求k 的取值范围．（2）若(,)a b C 过点(2,1)，圆222x y r +=（0r >）在(,)a b C 内部及(,)a b C 上的点构成的圆弧长等于该圆周长的一半，求b 、r 满足的关系式及r 的取值范围．（3）若曲线2||1xy mx =+（0m >）上的点都在(,)a b C 的外部，求m 的取值范围．数学试卷（文理）参考答案一、填空题(本大题满分56分)1．1 2．13．3(1)x -，x ∈R 4．π 5．25 6．327．33 8．3- 9．（理）15（文）123n - 10．（理）103（文）1511．（理）114（文）103．（理）16（文）213．（理）2016（文）11414．（理）128（文）2016二、选择题(本大题满分20分)15．B 16．D17．C 18．C 三、解答题(本大题满分74分) 19．(本题满分12分)[解] 联结PO ，AO ，由题意，PO ⊥平面ABC ，因为凳面与地面平行， 所以PAO ∠就是PA 与平面ABC 所成的角，即60PAO ∠=︒．（2分） 在等边三角形ABC 中，18AB =，得63AO =（4分） 在直角三角形PAO 中，318OP AO ==，（6分）由0.618OPh OP=-，解得47.13h ≈厘米．（9分） 三根细钢管的总长度3163.25sin60h≈︒厘米．（12分） 20．(本题满分13分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分7分． [解]（1）因为22()sin cos )f x a x b x a b x θ=+++（其中22sin a bθ=+，22cos a bθ=+），所以()f x 22a b + 2210a b +（2分）及2224f π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭（4分）解得1a =-，3b =或3a =，1b =-．（6分）（2）易知，当x π=21b +21b -+ 于是213162f b π⎛⎫=+=±+ ⎪⎝⎭3b =（8分）于是()sin 3cos 2sin()3f x x x x π==+，（10分）当()3f x =2x k =π或23x k π=π+（k ∈Z ）．（12分）因为0[0,2]x ∈π，故所求0x 的值为0，3π，2π．（13分）21．(本题满分13分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分7分．[证明]（1）任取121x x -<<，1212121222()()11x x x x f x f x a a x x ---=+--++ 121212121212223()()()11(1)(1)x x x x x x x x a a a a x x x x ⎛⎫---=-+-=-+ ⎪++++⎝⎭．（3分） 因为121x x -<<，1a >，所以12x x a a <，110x +>，210x +>，120x x -<，于是120x x a a -<，12123()0(1)(1)x x x x -<++，得12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <． 因此，函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数．（6分）（2）（反证法）若存在负实数0x （01x ≠-），使得0()0f x =，即方程201x x a x -+=+有负实数根．（8分）对于21x x a x -=-+，当00x <且01x ≠-时，因为1a >，所以0110,,1x a a a ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（10分）而000231(,1)(2,)11x x x --=-+∈-∞-+∞++．（13分） 因此，不存在负实数0x 使得21x x a x -=-+，得证． 22．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．（理）[解]（1）11k =-、22k =-（答案不唯一）．（4分）（2）由题设，22(1)n n a kb n k n n==+-+．（6分） 当21k =，2时，2()kf n n n =+均单调递增，不合题意，因此，23k ≥．当23k ≥时，对于2()kf n n n=+，当2n k ()f n 单调递减；当2n k ()f n 单调递增．由题设，有123b b b >>，34b b <<．（8分）于是由23b b >及43b b >，可解得2612k <<． 因此，2k 的值为7，8，9，10，11．（10分）（3）2,0,||0,0.n n n n n n a a c a a a >⎧=+=⎨⎩≤其中2121212()()()n a n k n k n k k n k k =--=-++，且12k k <．当120k k <≤时，{}n a 各项均为正数，且单调递增，2n n c a =，也单调递增，不合题意；当120k k <≤时，222,,0,.n n a n k c n k >⎧=⎨⎩≤不合题意；（12分）于是，有120k k <<，此时12122,,0,.n n a n k or n k c k n k <>⎧=⎨⎩≤≤（14分）因为0i j c c =≠（i 、*j ∈N ，i j <），所以i 、12(,)j k k ∉． 于是由212121222()()2[()]n n c a n k n k n k k n k k ==--=-++，可得1222k k i j++=，进一步得120i k k j <<<<，此时，i 的四个值为1，2，3，4，因此，1k 的最小值为5．（16分） 又1S 、2S 、…、n S 中有至少3个连续项的值相等，其它项的值均不相等， 不妨设+1+2==m m m S S S =，于是有+1+2==0m m c c =，因为当12k n k ≤≤时，0n c =，所以12512k m m k =+<+<≤≤， 因此，26k ≥，即2k 的最小值为6．（18分） （文）[解]（1）设直线310x y -+=上点的坐标为00(,31)x x +，代入22x y -，得2222200031(31)8()88x y x x x -=-+=--+，（2分） 对于x ∈R ，22118x y -<≤，因此，直线31y x =+上的点都在(1,1)C 的外部．（4分）（2）设点N 的坐标为00(,)x y ，由题设22001x y -≥．（6分） 2200||(1)MN x y =++22001x y +≥，得22200013||1(1)2()22MN y y y +++=++≥，（8分）对于0y ∈R 201362()22y ++6||MN ≥，（10分）因此，||MN 6（3）因为圆222x y r +=和双曲线(,)a b C 均关于坐标轴和原点对称，所以只需考虑这两个曲线在第一象限及x 、y 轴正半轴的情况．由题设，圆与双曲线的交点平分该圆在第一象限内的圆弧，它们交点的坐标为22,22r r ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．（12分） 将2r x ，2ry =代入双曲线(,)a b C 方程，得2222122r r a b -=（*），（13分）又因为(,)a b C 过点(2,1)，所以22411a b-=，（15分）将22241b a b =+代入（*）式，得22283b r b =-．（17分）由222308r b r =>-，解得28r >．因此，r 的取值范围为(22,)+∞．（18分） 23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．（理）[解]（1）由题意，直线1y kx =+上点00(,1)x kx +满足221x y -<，即求不等式2200(1)1x kx -+<的解为一切实数时k 的取值范围．（1分） 对于不等式220(1)220k x kx ---<，当1k =±时，不等式的解集不为一切实数，（2分）于是有22210,48(1)0,k k k ⎧-<⎪⎨∆=+-<⎪⎩解得||2k 故k 的取值范围为(,2)(2,)-∞-+∞．（4分）（2）因为圆222x y r +=和双曲线(,)a b C 均关于坐标轴和原点对称，所以只需考虑这两个曲线在第一象限及x 、y 轴正半轴的情况．由题设，圆与双曲线的交点平分该圆在第一象限内的圆弧，它们交点的坐标为22r r ⎝⎭．将2r x ，2ry =代入双曲线(,)a b C 方程，得2222122r r a b -=（*），（6分）又因为(,)a b C 过点(2,1)，所以22411a b-=，（7分）将22241b a b =+代入（*）式，得22283b r b =-．（9分）由222308r b r =>-，解得28r >．因此，r 的取值范围为(22,)+∞．（10分） （3）由2||1xy mx =+，得1||||||y m x x =+．将1||||||y m x x =+代入22221x y a b -<，由题设，不等式22221||||1m x x x a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-<对任意非零实数x 均成立．（12分） 其中22222222222221||||1[()2]m x x x a b a m x a m a b a b x⎛⎫+ ⎪⎝⎭-=---． 令2x t =，设22222()()2af t b a m t a m t=---，（0t >）． 当2220b a m ->时，函数()f t 在(0,)+∞上单调递增，()1f t <不恒成立；（14分） 当2220b a m -<时，22222222()2()a b a m t a m b a t----≤，函数()f t 的最大值为222222()2a m b a a m --，因为0m >222222()201a m b a a m---<<；（16分）当2220b a m -=时，22()201a f t a m t =--<<．（17分）综上，2220b a m -≤，解得b m a ≥．因此，m 的取值范围为,b a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．（18分）（文） [解]（1）11k =-、22k =-（答案不唯一）．（4分）（2）由题设，22(1)n n a kb n k n n==+-+．（6分） 当21k =，2时，2()kf n n n =+均单调递增，不合题意，因此，23k ≥．当23k ≥时，对于2()kf n n n=+，当2n k ()f n 单调递减；当2n k ()f n 单调递增．由题设，有123b b b >>，34b b <<．（8分）于是由23b b >及43b b >，可解得2612k <<． 因此，2k 的值为7，8，9，10，11．（10分）（3）因为2121212()()()n a n k n k n k k n k k =--=-++，且120k k <<，所以12122,,||0,.n n n n a n k or n k c a a k n k <>⎧=+=⎨⎩≤≤（12分）因为0i j c c =≠（i 、*j ∈N ，i j <），所以i 、12(,)j k k ∉．（14分）于是由212122[()]n c n k k n k k =-++，可得1222k k i j++=，进一步得120i k k j <<<<， 此时，i 的四个值为1，2，3，4，因此，1k 的最小值为5．（16分）又1S 、2S 、…、n S 中有至少3个连续项的值相等，其它项的值均不相等，不妨设+1+2==m m m S S S =，于是有+1+2==0m m c c =，因为当12k n k ≤≤时，0n c =，所以12512k m m k =+<+<≤≤， 因此，26k ≥，即2k 的最小值为6．（18分）。
上海市嘉定区2021届高三二模数学答案
上海市嘉定区2021届高三二模数学试题参考答案1．{0,1}【思路点拨】根据交集定义计算．【解析】因为{12},{0,1,2,3}A xx B =-<<=∣，所以{0,1}A B =.2本题首先可根据11i z =-得出1z i =-，然后求出共轭复数z ，最后通过复数的模的相关性质即可得出结果. 【解析】因为11i z =-， 所以21111z i iii=+=+=-，则1z i =+，z ==，3．4【思路点拨】利用1,a d 表示2438a a =-，整理可得5a .【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则由2438a a =-得：()11338a d a d +=+-， 整理可得：()1128248a d a d +=+=，即5144a a d =+=.4．6【思路点拨】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得最优解，将最优解代入目标函数即可得最值.【解析】由约束条件作出可行域如图，由图可知直线2z x y =-，即2y x z =-过点()3,0A 时，直线在y 轴上的截距最小，此时z 有最大值为6.5．13【思路点拨】函数与其反函数图象关于直线y x =对称，则(2,1)在已知函数图象上，代入求解a .【解析】()f x 与其反函数图象关于直线y x =对称，()y f x =的反函数的图像经过点(1,2)，则()2log (1)a f x x =++的图像经过点(2,1)，所以12log (21)a =++， 即log 31a =-，解得13a =. 【名师指导】函数与其反函数的图象关于直线y x =对称.6．8【思路点拨】由三视图，还原原几何体，确定几何体的结构尺寸，然后由体积公式计算． 【解析】由三视图得该几何体是底面为直角边为3和4的直角三角形， 高为4的三棱锥，故体积11434832V =⨯⨯⨯⨯=.7．9【思路点拨】根据114y y x x x y ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用基本不等式求得结果.【解析】1144559y y x xy x x y xy ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（当且仅当4xy xy =，即2xy =时取等号），1y x∴+的最小值为9. 8．4【思路点拨】由行列式得4n n S a +=，然后根据n S 与n a 的关系得数列{}n a 是等比数列，代入等比数列的前n 项和即可求得.【解析】411n nn n a a S S =+=-（1），当1n =时，124a =，即12a =；当2n ≥时，114n n S a --+=（2），（1）和（2）相减得12n n a a -=，所以数列{}n a 是112,2a q ==的等比数列， 所以()1121122lim limlim 41111122nnn n n n a q S q→∞→∞→∞⎛⎫- ⎪-⎝⎭====---. 9．114【思路点拨】根据二项式定理确定二项展开式中有理项的项数以及总的项数，然后求出排列的个数，再由概率公式计算概率． 【解析】7x ⎛+⎝的展开式的通项为137722177rrr r r r T C x x C x ---+⎛⎫== ⎪⎝⎭，当0,2,4,6r =时，为有理项，一共4项， 当1,3,5,7r =时，为无理项，一共4项，要使得有理项互不相邻，采用插空法，先把无理项排好，再把有理项插到无理项的5个空档中，共有44542880P P ⋅=种情况， 全部的情况有8840320P =种，故所求概率444588288014032014P P P P ===.10．x ±y ＝0【解析】如图所示，过点P 作PC ⊥x 轴，因为|AB |＝|PB |＝2a ，∠PBC ＝60°，所以|BC |＝a ，y P ＝|PC |＝3a，点P (2a ，3a )，将P 代入2222x y a b-＝1中得a ＝b ，所以其渐近线方程为x ±y ＝0.11．[)1,5-【思路点拨】求得x ≥2时的值域，方法一，只需使x ＜2时对应的函数图像在该值域区间上只有一个交点即可，利用数形结合的办法，对参数分类讨论，写出满足的不等式组，求得a 的取值范围；方法二：对a 分类讨论，求得函数单调性，利用单调性满足只有一个交点，且值域要比上面求的值域要大，来求得参数的取值范围.【解析】【法1】当[)2,x ∈+∞时，2()28xf x x =+．因为1()42f x x x =⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 而4424x x x x+≥⨯=，当且仅当4x x =，即2x =时，等号成立，所以()y f x =的取值范围是108⎛⎤ ⎥⎝⎦，．由题意及函数1()22x af x x -⎛⎫=<⎪⎝⎭，的图像与性质可得 221128aa -≥⎧⎪⎨⎛⎫>⎪⎪⎝⎭⎩或 221128a a -<⎧⎪⎨⎛⎫≥⎪⎪⎝⎭⎩，如上图所示．解得 25a ≤< 或 12a -≤<，所以所求实数a 的取值范围是 [)1,5-．【法2】当[)2,x ∈+∞时，2()28xf x x =+，即1()42f x x x =⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因为4424x x x x+≥⨯=，当且仅当4x x =，即2x =时，等号成立，所以()y f x =的取值范围是108⎛⎤ ⎥⎝⎦，；当(),2x ∈-∞时，（1）若2a ≥，则||11()22x a a xf x --⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（(),2x ∈-∞），它是增函数，此时()y f x =的取值范围是210,2a -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．由题意可得21128a -⎛⎫> ⎪⎝⎭，解得 5a <，又2a ≥，所以 25a ≤<；（2）若2a <，则1,,2()1,22a xx ax a f x a x --⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪≤< ⎪⎪⎝⎭⎩．函数()y f x =在(],a -∞上是增函数，此时()y f x =的取值范围是(]0,1；而函数()y f x =在[),2a 上是减函数，此时()y f x =的取值范围是21,12a -⎛⎤⎛⎫ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎥⎝⎦．由题意可得21128a-⎛⎫≥⎪⎝⎭，解得1a ≥-，又 2a <，所以 12a -≤<．综上，所求实数a 的取值范围是[)1,5- ．【名师指导】数形结合将函数值问题转化为交点问题，值域范围问题，对参数分类讨论，借助单调性求解问题.12．12+由a c b d T -+-≥转化为求a c b d -+-的最小值，转化为求AE BF +的最大值，再由梯形中位线转化为求MN 的最大值得解.【解析】设a OA b OB ==，，c OC d OD ==，，则点A 、B 在单位圆上，点C 、D 在直线10x y +-=上，a b ，的夹角为23π．如图所示．根据m 、n 的任意性，即求点A 、B 到直线10x y +-=距离之和的最小值， 即AE BF + （点E 、F 分别是点A 、B 在直线10x y +-=上的射影点）； 同时根据,a b 的存在性，问题转化为求AE AF +的最大值．设AB 的中点为M ，设点M 、O 在直线10x y +-=上射影点分别为N 、'O ， 则22(')AE BF MN MO OO +=≤+122122=+=+（ 当且仅当点M 、O 、'O 依次在一条直线上时，等号成立． 所以12T ≤T 的最大值是12+ 【名师指导】把向量模长最值转化为点到直线的距离.13．B 【思路点拨】根据最小正周期计算ω，再利用充分必要性判断即可. 【解析】因为最小正周期2T ππω==，故2ω=±，所以“函数()sin()f x x ω=（x 、ω∈R ，且0ω≠）的最小正周期为π”是“2ω=”的必要非充分条件. 故选：B.14．A 【思路点拨】利用平均数可构造方程求得a ，由方差公式计算可求得结果. 【解析】由题意得：346855a ++++=，解得：4a =，∴方差()()()()()2222223545456585 3.25s -+-+-+-+-==.故选：A.15．D 【思路点拨】先消参将参数方程转化为普通方程，得A 、B 两点关于原点对称，转化PA PB +为2PO ，则问题转化为定点O 到直线上一点P 距离为1，建立不等式求斜率范围即可.【解析】椭圆方程为2214x y +=，椭圆中心在原点，直线y x =与椭圆交于A 、B 两点，则由对称性可知，A 、B 关于原点对称，所以|||2|2PA PB PO +==，所以||1PO =，故原点到直线3y kx =+的距离1d =≤，解得k ≥k ≤- 故选：D.【名师指导】关于三角形中线的向量表示：在ABC 中，AM 是边BC 上的中线，则1122AM AB AC =+. 16．A 【思路点拨】设函数3()202120212x x g x x x -=+-+，判断其单调性与奇偶性；从而得出()f x 单调性与对称性，将所求不等式化为2(4)(3)f x f x -≤，根据函数单调性，即可求出结果.【解析】设函数3()202120212x x g x x x -=+-+，则函数()g x 是定义域为R ， 根据指数函数与幂函数的单调性可得，2021x y =是增函数，2021x y -=是减函数，3y x =是增函数，所以3()202120212x x g x x x -=+-+在R 上单调递增；又3()202120212()x x g x x x g x --=-=---，所以()g x 是奇函数，其图象关于原点对称； 又()131()2021(1)202121)212x x f x x x g x --=+--+-+=-+（，即()f x 的图象可由()g x 向右平移一个单位，再向上平移两个单位后得到， 所以131()2021(1)202121)2x x f x x x --=+--+-+（是定义域为R 的增函数， 且其图像关于点(1,2)对称，即有()(2)4f x f x +-=，即 (2)4()f x f x -=-．由2(4)(23)4f x f x -+-≤得 2(4)4(23)f x f x -≤--，即()()242(23)f x f x -≤--，即2(4)(3)f x f x -≤，所以 243x x -≤，解得 14x -≤≤． 故选：A ．【名师指导】求解本题的关键在于根据函数的解析式，判断函数()f x 的单调性与对称性，进而即可求解不等式.17．【思路点拨】（1）根据题意可证1AM DD ⊥，AM CD ⊥，由线面垂直的判定定理可证AM ⊥平面1CDD ，即得1AM CD ⊥；（2）由题意得异面直线CM 与AD 所成的角等于直线CM 与直线BC 所成的角，即BCM ∠，然后计算各边长，利用余弦定理求解. 【解析】（1）由题意知，1AM DD ⊥，因为CD 是圆柱的一条母线，所以CD 垂直于圆柱的底面，则得CD AM ⊥，即AM CD ⊥， 又因为1DD CD D =，且1DD 、CD ⊂平面1CDD ，所以AM ⊥平面1CDD ，因为1CD ⊂平面1CDD ，所以1AM CD ⊥． （2）连接BM ．由题意知，BC ∥AD ，所以异面直线CM 与AD 所成的角等于直线CM 与直线BC 所成的角，即BCM ∠. 因为1BC =，2AB =，在BCM 中，CM ===2BM ===，由余弦定理得 222222323212cos 23221BC CM BM BCM BC CM +-+-⎝⎭⎝⎭∠===⋅⋅⋅⋅所以2BCM ∠=． 所以异面直线CM 与AD 所成的角的大小为2arccos6． 【名师指导】本题考查了立体几何中的线面垂直的判定和线线角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理证明.18．【思路点拨】（1）根据奇函数定义可构造方程求得结果；（2）将问题转化为13203xx a a ⋅++=在[]0,1上有实数解，令3x t =，可将问题进一步转化为2210at at ++=在[]1,3有实数解，通过分离变量法可得[]()2121,3t t t a-=+∈，由[]()221,3y t t t =+∈的值域可构造不等式求得a 的范围.【解析】（1）由题意知：函数()f x 的定义域为R ，()f x 是奇函数，()()f x f x ∴-=-，即113333x xx x a a --⎛⎫⋅+=-⋅+ ⎪⎝⎭， 即13333x xx x a a ⎛⎫+=-⋅+ ⎪⎝⎭，整理可得：()()1910xa ++=，对任意x ∈R 都成立，10a ∴+=，解得：1a =-．（2）将问题转化为()20f x a +=在区间[]0,1上有实数解，即关于x 的方程13203xxa a ⋅++=在区间[]0,1上有实数解． 设3x t =，[]0,1x ∈，[]1,3t ∴∈，则原问题等价于关于t 的方程2210at at ++=（*）在区间[]1,3上有实数解． 当0a =时，方程（*）不成立，0a ∴≠， 则方程（*）可化为：[]()2121,3t t t a-=+∈， 即函数1=-y a与函数[]()221,3y t t t =+∈的图象有公共点． 函数[]()221,3y t t t =+∈为增函数，则该函数的值域为[]3,15，∴1315a ≤-≤，解得：11315a -≤≤-，即实数a 取值范围为11,315⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【名师指导】已知函数有零点(方程根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.19．【思路点拨】（1）由正弦定理求得ON ，再计算停车场面积S 关于θ的函数关系式； （2）首先利用正弦定理表示ON ，并表示2sin OPNS S OP ON θ==⋅⋅化简函数解析式S ，求出S 的最大值以及取最大值时对应θ的值． 【解析】（1）在OPN 中，2π3ONP ∠=， π6PON OPN ∠=∠=， 由正弦定理得sin sin ON OPOPN ONP=∠∠，即 π2πsin sin 63ON OP=，即ON =则停车场面积π2sin 90303sin135032338.36OPNS SOP ON θ==⋅⋅=⨯⨯=≈（平方米）， 即停车场面积约为2338.3平方米．（2）在OPN 中，2π3ONP ∠=，π3OPN θ∠=-． 由正弦定理得sin sin ON OPOPN ONP=∠∠，即 2ππsin sin 33ON OPθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，即 π603sin()3ON θ=-．则停车场面积π2sin 54003sin()3OPNS SOP ON θθθ==⋅⋅=-，即 π54003sin()3S θθ=-，其中 π03θ<<． π54003sin()3S θθ=-3154003sin (sin )2θθθ=- 31127003(2cos 2)22θθ=+- 27003)135036πθ=+-因为π03θ<<，所以 ππ5π2666θ<+<，则当π262πθ+=，即 π6θ=时，停车场面积S 取得最大值． 所以当π6θ=时，停车场面积S 取得最大值．【名师指导】本题考查三角函数的实际应用，本题的关键是根据图象，利用正弦定理，正确表示ON ，并利用三角函数正确表示停车场的面积.20．【思路点拨】（1）由焦点坐标可求得p ，由此得到抛物线方程；（2）根据抛物线焦半径公式可构造方程求得P 点横坐标，代入抛物线方程可求得结果； （3）设:AB yk x t ，与抛物线方程联立可得韦达定理的形式，求得M 点坐标，利用直线,AB CD 互相垂直可同理求得N 点坐标，由两点间距离公式表示出,TM TN 后，根据12TMNSTM TN =⋅，利用基本不等式可求得结果. 【解析】（1）抛物线Γ的焦点为()2,0F ，即 22p=，解得：4p = ∴抛物线Γ的方程为：28y x =；（2）设点(),P x y ，由抛物线的定义得：252pPF x x =+=+=，解得：3x =，点P 在抛物线Γ上，∴把3x =代入28y x =，解得：y =±∴点P 的坐标为(3,-或(3,；（3）由题意知：直线,AB CD 的斜率存在，且不为零， 可设直线AB 的斜率为k ，则直线CD 的斜率为1k-， 则直线AB 的方程为()y k x t =-，直线CD 的方程为()1y x t k=--， 设()11,A x y ，()22,B x y ， 由()28y k x t y x⎧=-⎨=⎩消去y 整理得：()22222240k x k t x k t -++=，由一元二方程根与系数的关系得：()212224k t x x k ++=，()()()()2121212224822k t y y k x t k x t k x x kt k kt k k+∴+=-+-=+-=⋅-=，即128y y k +=，2244,k t M kk ⎛⎫+∴ ⎪⎝⎭，同理可得：()24,4N k t k +-，214TM k ∴==⨯，4TN =1188162TMNSTM TN k k ⎛⎫∴=⋅=+≥⨯ ⎪ ⎪⎝⎭（当且仅当1k =，即1k =±时，等号成立），TMN ∴的面积的最小值等于16．【名师指导】求解直线与圆锥曲线综合应用中的三角形或四边形面积最值（取值范围）问题的基本思路如下：①假设直线方程，与曲线方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式； ②利用0∆>求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式； ③利用面积公式表示出所求图形的面积；④将所求面积表示为关于某一变量的函数的形式，利用基本不等式或函数的单调性求解出最值（范围）.21．【思路点拨】（1）由{}n a 是递增数列，先得到1nn n a a p +-=；再由1233,4,5a a a 成等差数列，11a =，列出方程求出p 的值，即可得出结果；（2）先由题中条件，得到2210n n a a -->，2120n n a a +-<，推出11(1)3n n n na a ++--=，再由累加法，即可求出数列{}n a 的通项公式；（3）由11n n a a +-=，得到11n n a a +=±；讨论4n k =或43n k =-（*k ∈N ）；42n k =-或41n k =-（*k ∈N ）两类情况，即可分别得出结论.【解析】（1）因为{}n a 是递增数列，所以11nn n n n a a a a p ++-=-=．因为11a =，所以 21a p =+，231a p p =++．又因为1233,4,5a a a 成等差数列，所以213835a a a =+，即()()281351p p p +=+++即2530p p -=，解得0p =或35p =． 当0p =时，1n n a a +=，这与{}n a 是递增数列相矛盾，所以35p =． （2）因为{}21n a -是递增数列，则有21210n n a a +-->，于是212221()()0n n n n a a a a +--+->① 因为2211133n n -<，所以212221n n n n a a a a +--<-② 由①、②得，2210n n a a -->，因此2122113n n n a a --⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即222121(1)3nn n n a a ----= ③又因为{}2n a 是递减数列，则有2220n n a a +-<，于是2221212()()0n n n n a a a a +++-+-< ④ 因为2121133n n+<，所以2221212n n n n a a a a +++-<- ⑤ 由④、⑤得，2120n n a a +-<，因此221213nn n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即212122(1)3n n n n a a ++--=⑥由③、⑥可得11(1)3n n n na a ++--=． 于是当2n ≥时，121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-+⋅⋅⋅+-2111(1)1333n n --=+-+⋅⋅⋅+1111()151(1)311344313n n n -----=+⨯=+⨯+ 即 151(1)443nn n a --=+⨯．当1n =时，代入上式得11a =，与已知条件相吻合．所以所求数列{}n a 的通项公式是 151(1)443nn n a --=+⨯，*n ∈N ．（3）当4n k =或43n k =- （*k ∈N ）时，存在数列{}n a ，使得n S n =． 此时数列{}n a 满足43414241,0,2k k k k a a a a ---====， 则有44(1012)44k k S k =⨯+++=，4-3144(0121)434k k S a k -=+⨯+++=-， 即n S n =．当42n k =-或41n k =- （*k ∈N ）时，不存在数列{}n a ，使得n S n =．理由如下：因为11n n a a +-=，所以 11n n a a +=±；又因为11a =为奇数，则当*n ∈N 时，21n a -为奇数，2n a 为偶数， 所以当*k ∈N 时，42k S -为奇数，41k S -为偶数， 因此4242k S k -=-，4141k S k -=-均不可能成立．于是当42n k =-或41n k =- （*k ∈N ）时，不存在数列{}n a ，使得n S n =． 【名师指导】求解本题的关键在于对题中条件1nn n a a p +-=的处理，求解每一问时，要根据题干中所给的信息，去绝对值；再利用所学的数列相关知识（等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、累加法求数列的通项等），即可逐问求解.。
2022年上海市嘉定区高三下学期高考二模数学试卷含逐题详解
2021学年第二学期高三年级模拟练习数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1.已知集合()1,3A =，()2,B =+∞，则A B = ______．2.不等式12x x -<+的解集是________.3.若等差数列{}n a 满足3516a a +=，则4a =_______．4.已知函数2()1log f x x=+，它的反函数为1()y fx -=，则1(3)f -=_______．5.在6(21)x +展开式中，2x 的系数为________（结果用数值表示）．6.若实数x 、y 满足022y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最大值为_______．7.《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的体积为________．8.若数列{}n a 是首项为12，公比为12a -的无穷等比数列，且{}n a 各项的和为a ，则a 的值为________9.从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数中任取5个不同的数，则这5个不同的数的中位数为6的概率为________（结果用最简分数表示）．10.已知函数()y f x =是定义域为R 的奇函数，且当0x <时，()1af x x x =++．若函数()y f x =在[)3,+∞上的最小值为3，则实数a 的值为________．11.已知椭圆cos Γ:(sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数，0a >，0)b >的焦点分别1(2,0)F -、2(2,0)F ，点A 为椭圆Γ的上顶点，直线2AF 与椭圆Γ的另一个交点为B ．若12||3||BF BF =，则椭圆Γ的普通方程为__．12.已知函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0ω>，0πϕ<<，π()()4f x f ≤恒成立，且()y f x =在区间3π0,8⎛⎫ ⎪⎝⎭上恰有3个零点，则ω的取值范围是______________．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.已知复数2sin 1)i z α=-+（（i 为虚数单位），则“z 为纯虚数”是“π6α=”的（）．A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件14.若0a >、0b >，且411a b+=，则ab 的最小值为（）．A.16B.4C.116 D.1415.在ABC 中，3AB AC ==，2B D D C =．若4AD BC ⋅=u u u r u u u r ，则AB AC ⋅= （）．A.3B.3- C.2D.2-16.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是线段AB 、1BD 上的动点，且直线EF 与1AA所成的角为，则下列直线中与EF 所成的角必为2arctan2的是（）．A.CDB.BDC.1BC D.1DC 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17.如图，圆锥的底面半径2OA =，高6PO =，点C 是底面直径AB 所对弧的中点，点D 是母线PA的中点．求：（1）该圆锥的表面积；（2）直线CD 与平面PAB 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．18.设常数R a ∈，函数1()22x xaf x +=+．（1）若函数()f x 是偶函数，求实数a 的值；（2）若对任意[)1x ∈+∞，，()3f x >，求实数a 的取值范围．19.某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱AB 与地面垂直，灯杆BC 与灯柱AB 所在的平面与道路走向垂直，路灯C 采用锥形灯罩，射出的光线与平面ABC 的部分截面如图中阴影部分所示．已知2π3ABC ∠=，π3ACD ∠=，路宽24AD =米．设ACB θ∠=（ππ64θ≤≤）．（1）当π6θ=时，求ABC 的面积；（2）求灯杆BC 与灯柱AB 长度之和L （米）关于θ的函数解析式，并求当θ为何值时，L 取得最小值．20.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线的方程为0113x y =，它的右顶点与抛物线2Γ3y =：的焦点重合，经过点(9,0)A -且不垂直于x 轴的直线与双曲线C 交于M 、N 两点．（1）求双曲线C 的标准方程；（2）若点M 是线段AN 的中点，求点N 的坐标；（3）设P 、Q 是直线9x =-上关于x 轴对称的两点，求证：直线PM 与QN 的交点必在直线13x =-上．21.若项数为k （*k ∈N 且3k ≥）的有穷数列{}n a 满足：12231||||||k k a a a a a a ---⋅⋅⋅- ，则称数列{}n a 具有“性质M ”．（1）判断下列数列是否具有“性质M ”，并说明理由；①1,2,4,3；②2,4,8,16．（2）设1||(1m m m b a a m +=-=，2，⋅⋅⋅，1)k -，若数列{}n a 具有“性质M ”，且各项互不相同．求证：“数列{}n a 为等差数列”的充要条件是“数列{}m b 为常数列”；（3）已知数列{}n a 具有“性质M ”．若存在数列{}n a ，使得数列{}n a 是连续k 个正整数1，2，⋅⋅⋅，k 的一个排列，且12231||||||2k k a a a a a a k --+-+⋅⋅⋅+-=+，求k 的所有可能的值．2021学年第二学期高三年级模拟练习数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1.已知集合()1,3A =，()2,B =+∞，则A B = ______．【答案】()2,3【分析】利用交集定义直接求解．【详解】解： 集合(1,3)A =，(2,)B =+∞，(2,3)A B ∴= ．故答案为：(2,3)．2.不等式102x x -<+的解集是________.【答案】{}21x x -<<【分析】将分式不等式化为整式不等式，利用二次不等式的求解方法，即可求得结果.【详解】()()10120212x x x x x -<⇔-+<⇔-<<+.故答案为：{|21}x x -<<【点睛】本题考查了分式不等式的解法，一元二次不等式的解法，考查了转化的思想.属于基础题.3.若等差数列{}n a 满足3516a a +=，则4a =_______．【答案】8【分析】由{}n a 是等差数列可得3542a a a +=，从而即可求出4a 的值．【详解】解：{}n a 是等差数列，354216a a a ∴+==，48a ∴=．故答案为：8．4.已知函数2()1log f x x =+，它的反函数为1()y f x -=，则1(3)f -=_______．【答案】4【分析】令2()1log 3=+=f x x ，求函数的自变量即为对应反函数的函数值()13f -.【详解】因为2()1log f x x =+，所以令2()1log 3=+=f x x ，解得4x =，根据互为反函数之间的关系，可得()134f -=.故答案为：4.5.在6(21)x +展开式中，2x 的系数为________（结果用数值表示）．【答案】60【分析】根据二项式定理求出展开式中含2x 的项，由此即可求解．【详解】解：展开式中含2x 的项为4226(2)60C x x =，所以2x 的系数为60，故答案为：60．6.若实数x 、y 满足0022y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最大值为_______．【答案】6【分析】先画出不等式组表示的可行域，然后由2z x y =+，得2y x z =-+，作出直线2y x =-，向上平移过点A 时，目标函数取得最大值，求出点A 的坐标，代入目标函数可求得结果【详解】不等式组表示的可行域如图所示由2z x y =+，得2y x z =-+，作出直线2y x =-，向上平移过点A 时，目标函数取得最大值，由022x y x y -=⎧⎨-=⎩，得22x y =⎧⎨=⎩，即(2,2)A ，所以2z x y =+的最大值为2226⨯+=，故答案为：67.《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的体积为________．【答案】2【分析】由三视图确定三棱柱的底面面积和高，即可求得答案.【详解】由“堑堵”的三视图可知，直三棱柱的底面直角三角形斜边为2，其上的高为1，三棱柱高为2，原几何体如图示：则底面积为12112⨯⨯=，故三棱柱的体积为：122⨯=，故答案为：28.若数列{}n a 是首项为12，公比为12a -的无穷等比数列，且{}n a 各项的和为a ，则a 的值为________【答案】1【分析】由题意可得：1211()2a a =--，化为：22310a a -+=，解得a 并验证即可得出．【详解】由题意可得：1211()2a a =--，化为：22310a a -+=，解得1a =或12，12a =时，公比为0，舍去．1a ∴=．故答案为：1．【点睛】本题考查无穷等比数列的求和公式，考查推理能力与计算能力，属于中档题．9.从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数中任取5个不同的数，则这5个不同的数的中位数为6的概率为________（结果用最简分数表示）．【答案】528【分析】算出10个数中任取5个的可能数量，再算出所选5个不同的数的中位数为6的可能种数，根据古典概型的概率公式，即可求得答案.【详解】由题意知，从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数中任取5个不同的数，有510C 252=种可能，所选5个不同的数的中位数为6，则比6小的数有2个，共有2615C =种可能，比6大的数有2个，有23C 3=种可能，故所选5个不同的数的中位数为6的情况共有15345⨯=种可能，故这5个不同的数的中位数为6的概率为45525228P ==,故答案为：52810.已知函数()y f x =是定义域为R 的奇函数，且当0x <时，()1af x x x=++．若函数()y f x =在[)3,+∞上的最小值为3，则实数a 的值为________．【答案】3【分析】根据已知条件及奇函数的定义求出当0x <时函数的解析式，再利用函数的单调性对a 进行分类讨论，确定单调性即可求解.【详解】由题意可知，因为0x >，所以0x -<，所以()1af x x x-=--+，因为函数()f x 是定义域为R 的奇函数，所以()()1a f x f x x x=--=+-.因为函数()y f x =在[)3,+∞上的最小值为3当0a ≤时，由函数的性质知，函数()f x 在[)3,+∞上单调递增；当3x =时，()f x 取得最小值为(3)23a f =+，因为函数()y f x =在[)3,+∞上的最小值为3，所以233a+=，解得3a =（舍），当09a <≤时，由函数的性质知，函数()f x 在[)3,+∞上单调递增；当3x =时，()f x 取得最小值为(3)23a f =+，因为函数()y f x =在[)3,+∞上的最小值为3，所以233a+=，解得3a =，当9a >时，由对勾函数的性质知，函数()f x 在)+∞上单调递增；在(上单调递减；当x =()f x 取得最小值为11f=+=，因为函数()y f x =在[)3,+∞上的最小值为3，所以13=，解得1a =（舍），综上，实数a 的值为3.故答案为：3.11.已知椭圆cos Γ:(sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数，0a >，0)b >的焦点分别1(2,0)F -、2(2,0)F ，点A 为椭圆Γ的上顶点，直线2AF 与椭圆Γ的另一个交点为B ．若12||3||BF BF =，则椭圆Γ的普通方程为__．【答案】221128x y +=【分析】根据题意，由椭圆的焦点坐标可得2c =，即可得224a b =+，结合椭圆的性质可得1||BF 、2||BF 的长，分析可得B 的坐标，进而可得2229(32)44b a ++=，两式联立解可得a 、b 的值，即可得答案．【详解】解：根据题意，椭圆cos Γ:(sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数，0a >，0)b >，其普通方程为22221x y a b +=，若其焦点分别1(2,0)F -、2(2,0)F ，则2c =，则有224a b =+，①点A 为椭圆Γ的上顶点，则A 的坐标为(0,)b ，又由12||3||BF BF =，而12||||2BF BF a +=，则13||2a BF =，2||2aBF =，又由2||AF a =，且A 、B 、2F 三点共线，则B 的坐标为3,2b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又由13||2a BF =，则有2229(32)44b a ++=，②联立①②，解可得：212a =，28b =；故椭圆的方程为221128x y +=；故答案为：221128x y +=．12.已知函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0ω>，0πϕ<<，π()()4f x f ≤恒成立，且()y f x =在区间3π0,8⎛⎫⎪⎝⎭上恰有3个零点，则ω的取值范围是______________．【答案】()6,10【分析】确定函数的max π()()4f x f =，由此可得ππ2π,Z 24k k ωϕ=-+∈，再利用()y f x =在区间3π0,8⎛⎫ ⎪⎝⎭上恰有3个零点得到ππ02ππ243πππ3π2π4π824k k ωωω⎧<-+<⎪⎪⎨⎪<+-+≤⎪⎩，求得答案.【详解】由已知得：π()(4f x f ≤恒成立，则max π()()4f x f =，ππππ2π,Z 2π,Z 4224k k k k ωωϕϕ+=+∈⇒=-+∈，由3π0,8x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得3π(,)8x ωϕϕωϕ+∈+，由于()y f x =在区间3π0,8⎛⎫⎪⎝⎭上恰有3个零点，故0π3π3π4π8ϕωϕ<<⎧⎪⎨<+≤⎪⎩，则ππ02ππ243πππ3π2π4π824k k ωωω⎧<-+<⎪⎪⎨⎪<+-+≤⎪⎩，Z k ∈，则8282,Z 20162816k k k k k ωω-<<+⎧∈⎨-<≤-⎩,只有当1k =时，不等式组有解，此时610412ωω<<⎧⎨<≤⎩，故610ω<<，故答案为：()6,10二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.已知复数2sin 1)i z α=-+（（i 为虚数单位），则“z 为纯虚数”是“π6α=”的（）．A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】B【分析】求z 为纯虚数的等价条件，结合充要条件判断得解.【详解】当π6α=时，π62sin 1)i=i z =-+（，所以z 为纯虚数；若z 为纯虚数，2sin 10α-=，所以1sin 2α=，所以26k παπ=+或526k παπ=+，所以“z 为纯虚数”是“π6α=”的必要非充分条件.故选：B.14.若0a >、0b >，且411a b+=，则ab 的最小值为（）．A.16B.4C.116D.14【答案】A【分析】根据基本不等式计算求解.【详解】因为0a >、0b >，所以41+≥=a b ，即1≥4≥，即16ab ≥，当仅当41a b=，即82a b ==，时，等号成立.故选：A.15.在ABC 中，3AB AC ==，2B D D C =．若4AD BC ⋅=u u u r u u u r ，则AB AC ⋅= （）．A.3B.3- C.2D.2-【答案】B【分析】根据向量的线性运算，将4AD BC ⋅=u u u r u u u r 转化为12()()433AB AC AC AB +⋅-=，结合数量积的运算，即可求得答案.【详解】由题意可得2()()()()43AD BC AB BD AC AB AB AC AB ⋅=+⋅-=+⋅-=,即212[()]()()()4333AB AC AB AC AB AB AC AC AB +-⋅-=+⋅-=,即221214333AB AC AB AC -+-⋅= ，即2139433AB AC -+⨯-⋅=，解得3AB AC ⋅=-，故选：B16.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是线段AB 、1BD 上的动点，且直线EF 与1AA所成的角为，则下列直线中与EF 所成的角必为arctan2的是（）．A.CDB.BDC.1BC D.1DC 【答案】C【分析】在1BD 上取一点T ，使 AT EF ，则直线EF 与1AA 所成的角即直线AT 与1AA 所成的角，建立空间直角坐标系，根据EF 与1AA 所成的角为，找出点T 位置，利用空间向量计算线线角分别验证答案即可.【详解】在1BD 上取一点T ，使 AT EF ，则直线EF 与1AA 所成的角即直线AT 与1AA 所成的角，设直线AT 与1AA 所成的角为θ，则tan θ=，cos 3θ=，以D 为原点建立如图空间坐标系，则()()()()()()111,0,01,1,01,0,10,0,10,1,00,0,0、、、、、A B A D C D ，所以()10,0,1=AA ，()()()111,0,11,1,11,,1λλλλλ=+=-+-=--AT AD D B ，所以11cos 3θ⋅====⋅AA ATAA AT ，化简得12λ=，所以111,,222⎛⎫=- ⎪⎝⎭AT ，对于A ：()0,1,0-CD=，所以CD 与EF 所成的角的余弦值即AT 与EF所成的角的余弦值，即33⋅=⋅CD AT CD AT，CD 与EF ，故A 错误；同理，对于B ：BD 与EF 所成的角的正切值为，故B 错误；对于C ：1BC 与EF 所成的角的正切值为22，故C 正确；对于D ：1DC 与EF 所成的角为2π，故D 错误；故选：C.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17.如图，圆锥的底面半径2OA=，高6PO =，点C 是底面直径AB 所对弧的中点，点D 是母线PA 的中点．求：（1）该圆锥的表面积；（2）直线CD与平面PAB 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【答案】（1）)41π（2）arctan5【分析】（1）求出圆锥母线长，求得圆锥侧面积，即可求得答案；（2）作辅助线，找到直线CD 与平面PAB 所成角，解直角三角形可得答案.【小问1详解】由已知，得OA =2，PO =6，则==PA所以圆锥的侧面积为ππ2S rl ==⨯⨯，于是圆锥的表面积为)4π41πS =+=,即所求圆锥的表面积为)41π．【小问2详解】连接OD ,由题意得PO ⊥平面ABC ，因为OC ⊂平面ABC ，所以PO OC ⊥．又因为点C 是底面直径AB 所对弧的中点，所以OC AB ⊥．而PO 、AB ⊂平面ABC ，PO AB O ⋂=，所以OC ⊥平面PAB ,即OD 是CD 在平面PAB 上的射影，所以CDO ∠是直线CD 与平面PAB 所成角．在Rt CDO △中，2OC =，12OD PA ==则10tan5OC CDO OD ∠==，由于CDO ∠为锐角，所以10arctan 5CDO ∠=,因此直线CD 与平面PAB 所成角的大小为10arctan 5．18.设常数R a ∈，函数1()22x xa f x +=+．（1）若函数()f x 是偶函数，求实数a 的值；（2）若对任意[)1x ∈+∞，，()3f x >，求实数a 的取值范围．【答案】（1）2（2）(2,)-+∞【分析】（1）根据函数的偶函数的定义即可求解；（2）利用分离参数法解决函数恒成立问题，再利用换元法及二次函数在区间上的最值问题的处理办法即可求解.【小问1详解】函数1()22x xaf x +=+的定义域为R ．因为函数()f x 是偶函数，所以()()f x f x -=．即112222x x x x a a -++-+=+，即222(22)x x x x a ---=-（），即(22)(2)0x x a ---=．因为x ∈R ，所以20a -=，解得2a =．所以实数a 的值为2．【小问2详解】因为()1f x >，即1232x x a++>，因为20x >，可得2432x x a -<⋅-⋅．令2x t =，因为[)1x ∈+∞，，所以t 的取值范围是[2,)+∞，于是223a t t -<-对任意[2,)t ∈+∞都成立．令函数2239()23248g t t t t ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，对称轴为3t 4=，开口向上，由二次函数的性质知，()g t 在区间[2,)+∞上是增函数，所以当2t =时，函数()g t 取得的最小值为()2222322g =⨯-⨯=，则得2a -<，解得2a >-．所以实数a 的取值范围是(2,)-+∞．19.某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱AB 与地面垂直，灯杆BC 与灯柱AB 所在的平面与道路走向垂直，路灯C 采用锥形灯罩，射出的光线与平面ABC 的部分截面如图中阴影部分所示．已知2π3ABC ∠=，π3ACD ∠=，路宽24AD =米．设ACB θ∠=（ππ64θ≤≤）．（1）当π6θ=时，求ABC 的面积；（2）求灯杆BC 与灯柱AB 长度之和L （米）关于θ的函数解析式，并求当θ为何值时，L 取得最小值．【答案】（1）平方米π16sin 23y θ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（2）π16sin 23y θ⎛⎫=+⎪⎝⎭（ππ64θ≤≤），且当π4θ=时，L 取得最小值【分析】（1）利用三角形的内角和定理及正弦定理，结合三角形的面积公式即可求解；（2）根据已知条件的出角之间的关系，利用正弦定理求出AC ,BC ，AB 及两角差的正弦公式及二倍角公式，结合辅助角公式及正弦函数的性质即可求解.【小问1详解】因为π6ACB ∠=，2π3ABC ∠=，所以π6BAC ∠=．由题意得π2BAD ∠=，所以π3CAD ∠=，因此ACD 是等边三角形，所以24AC =．在ABC 中，由正弦定理得sin sin AB AC ACB B=∠∠，即24π2πsin sin 63AB =，解得AB =所以ABC的面积等于1π11sin 242622AC AB ⋅⋅⋅=⨯⨯=．所以ABC的面积等于【小问2详解】因为2π3ABC ∠=，ACB θ∠=，所以π3BAC θ∠=-．又因为灯柱AB 与地面垂直，即π2BAD ∠=，所以π6CAD θ∠=+．因为π3ACD ∠=，所以π2ADC θ∠=-．在ACD 中，由正弦定理得sin sin AD ACACD ADC =∠∠，即24ππsin sin 32ACθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得AC θ=．又在ABC 中，由正弦定理得sin sin sin AB AC BCACB B BAC==∠∠∠，即163cos 2ππsin sin sin 33AB BCθθθ==⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得16sin2AB θ=，π32cos sin 3BC θθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则得28sin 2BC θθ=-，所以8sin2L AB BC θθ=+=+，化简得π16sin 23y θ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（ππ64θ≤≤）．因为ππ64θ≤≤，则得2ππ5π2336θ≤+≤，所以当π5π236θ+=，即π4θ=时，)min 81y =（米）．所以L 关于θ的函数解析式为π16sin 23y θ⎛⎫=++⎪⎝⎭（ππ64θ≤≤），且当π4θ=时，L 取得最小值．20.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线的方程为01x =，它的右顶点与抛物线2Γy =：的焦点重合，经过点(9,0)A -且不垂直于x 轴的直线与双曲线C 交于M 、N 两点．（1）求双曲线C 的标准方程；（2）若点M 是线段AN 的中点，求点N 的坐标；（3）设P 、Q 是直线9x =-上关于x 轴对称的两点，求证：直线PM 与QN 的交点必在直线13x =-上．【答案】（1）221339x y -=（2）点N 的坐标为4,13)（或4,13)-（（3）证明见解析【分析】（1）由题意得b a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即可求解；（2）设0(N x ，0)y ，因为M 是线段AN 的中点，所以009(,)22x y M -，代入双曲线方程即可求解；（3）由题意可设直线MN 的方程为(9)y k x =+，与双曲线方程联立后整理即可得证．【小问1详解】由题意得b a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以双曲线C 的标准方程为221339x y -=；【小问2详解】设0(N x ，0)y ，因为M 是线段AN 的中点，所以009(,)22x y M -，则得22220000(9)1,133934394x y x y --=-=⨯⨯，解得04x =，013y =±，所以所求点N 的坐标为(4,13)或(4,13)-；【小问3详解】证明：由题意可设直线MN 的方程为(9)y k x =+，联立方程组221339(9)x y y k x ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，并整理得22222(13)183(2713)0(130)k x k x k k ---+=-≠，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，由一元二次方程根与系数的关系，得22121222183(2713),1313k k x x x x k k ++==---，又设(9,)P t -，(9Q -，)(0)t t -≠，则得直线PM 的方程为11(9)9y ty t x x --=++，直线QN 的方程为22(9)9y ty t x x ++=++，两个方程相减得21212(9)99y t y tt x x x +-=-+++①，因为21211221211212(9)(9)(18)99999()81y t y t k x t k x t t x x x x x x x x x x +-+++-++-=-=+++++++，把它代入①得121212182(9)9()81x x x x x x x ++=⋅++++，所以2222121221223(2713)182[]9()29()11313181831813k k x x x x k k x k x x k +⨯-+++--===-+++-，因此直线PM 与QN 的交点在直线13x =-上．21.若项数为k （*k ∈N 且3k ≥）的有穷数列{}n a 满足：12231||||||k k a a a a a a ---⋅⋅⋅- ，则称数列{}n a 具有“性质M ”．（1）判断下列数列是否具有“性质M ”，并说明理由；①1,2,4,3；②2,4,8,16．（2）设1||(1m m m b a a m +=-=，2，⋅⋅⋅，1)k -，若数列{}n a 具有“性质M ”，且各项互不相同．求证：“数列{}n a 为等差数列”的充要条件是“数列{}m b 为常数列”；（3）已知数列{}n a 具有“性质M ”．若存在数列{}n a ，使得数列{}n a 是连续k 个正整数1，2，⋅⋅⋅，k 的一个排列，且12231||||||2k k a a a a a a k --+-+⋅⋅⋅+-=+，求k 的所有可能的值．【答案】（1）①不是M 数列，理由见解细；②是M 数列，理由见解析；（2）证明见解析；（3）4或5【分析】（1）按照题目给出的定义：数列{}n a 具有“性质M ”直接判断；（2）根据充要条件的概念直接证明；（3）根据条件可知12||a a -，23||a a -，1||k k a a -⋅⋅⋅-逐渐增大，且最小值为1，分情况可求之．【小问1详解】解：①|24||43|->- ，即2334||||a a a a ->-∴该数列不具有“性质M ”；②|24||48||816|-<-<- ，即122334||||||a a a a a a --- ∴该数列具有“性质M ”；【小问2详解】证明：充分性，若数列{}m b 是常数列，则1(1,2,3,1}m m b m k b +==⋅⋅-，即112||||m m m m a a a a ++-+-=，112m m m m a a a a +++∴-=-或112()m m m m a a a a +++-=--又数列{}n a 且各项互不相同，112m m m m a a a a +++∴-=-，∴数列{}n a 为等差数列；必要性，若数列{}n a 为等差数列，则1||||m m a a d +-=，即||m b d =，∴数列{}m b 为常数列；【小问3详解】数列{}n a 是连续k 个正整数1，2，⋅⋅⋅，k 的一个排列，∴当3k =时，1||2(1,2)m m a a k +-= ，1223|||||45a a a a ∴-+-< ，不符合题意；当4k =时，数列3，2，4，1满足，122334||||||6a a a a a a -+-+-=，符合题意；当5k =时，数列2，3，4，5，1满足12233445|||||||7a a a a a a a a -+-+-+-=，符合题意；当6k时，令1||(1m m m b a a m +=-=，2，⋅⋅⋅，1)k -，则12311k b b b b -⋅⋅⋅ ，且1212k b b b k -++⋅⋅⋅+=+，m b ∴的取值有以下三种可能①1(1,2,,2)4(1)m m k b m k =⋅⋅⋅-⎧=⎨=-⎩，②1(1,2,4)2(3,2,1)m m k b m k k k =⋅⋅⋅-⎧=⎨=---⎩，③1(1,2,,3)2(2)3(1)m m k b m k m k =⋅⋅⋅-⎧⎪==-⎨⎪=-⎩，当1(1,2,,2)4(1)m m k b m k =⋅⋅⋅-⎧=⎨=-⎩时，1232k b b b b -===⋅⋅⋅=，由（2）知1a ，2a ，3a ⋅⋅⋅，,1k a -是公差为1或1-的等差数列，若公差为1时，由14k b -=得14k k a a -=+或14k k a a -=-，1142k k a a a k k -∴=+=++>，不合题意，11546k k k a a a k a --=-=+-=不合题意；若公差为1-，同上述方法可得不符合题意；当满足②1(1,2,4)2(3,2,1)m m k b m k k k =⋅⋅⋅-⎧=⎨=---⎩，③1(1,2,,3)2(2)3(1)m m k b m k m k =⋅⋅⋅-⎧⎪==-⎨⎪=-⎩时，同理可证不符合题意，故：4k =或5．【点睛】本题考查了给出新定义“性质M ”的求解问题，利用数列的通项公式，充要条件等知识，理解辨析，综合性较强，是难题．。
2021届上海市长宁区、嘉定区高三二模文科数学试卷
如图，四棱锥 的底面 为菱形， 平面 ， ， ， 、 分别为 、 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求三棱锥 的体积．
21．（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分5分,第2小题满分9分．
某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后,发现一天中环境综合污染指数 与时刻 （时）的关系为 , ,其中 是与气象有关的参数,且 ．若用每天 的最大值为当天的综合污染指数,并记作 ．
2021年上海市长宁区、嘉定区高三二模文科数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．已知集合 , ,则 ________．
2．抛物线 的焦点到准线的距离是______________．
3．若 ,其中 、 , 是虚数单位,则 _________．
A． B． C． D．
18．在四棱锥 中, , 分别为侧棱 , 的中点,则四面体 的体积与四棱锥 的体积之比为（）
A． B． C． D．
三、解答题
19．（本题满分12分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分．
在△ 中,已知 ,外接圆半径 ．
（1）求角 的大小；
（2）若角 ,求△ 面积的大小.
二、单选题
15．在△ 中,“ ”是“ ”的（）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件
16．已知平面直角坐标系内的两个向量 , ,且平面内的任一向量 都可以唯一的表示成 为实数）,则实数 的取值范围是（）
A． B．
C． D．
17．设双曲线 的虚轴长为2，焦距为 ，则双曲线的渐近线方程为
2021年嘉定、长宁区高三数学(文)二模试卷与答案
嘉定区高三数学试卷（文）考生注意：本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟．解答必须写在答题纸上的规定区域，写在试卷或草稿纸上的答案一律不予评分．1．已知集合},2||{R ∈≤=x x x A ，},01{2R ∈≥-=x x x B ，则=B A ________． 2．抛物线28x y =的焦点到准线的距离是______________．3．若bi i ai -=+2)1(，其中a 、b R ∈，i 是虚数单位，则=+||bi a _________． 4．已知函数xx g 2)(=，且有2)()(=b g a g ，若0>a 且0>b ，则ab 的最大值是_______． 5．设等差数列{}n a 满足115=a ，312-=a ，{}n a 的前n 项和n S 的最大值为M ，则lg M =__________．6．若8822108...)(x a x a x a a x a ++++=-（R ∈a ），且565=a ，则=++++8210...a a a a_______________．7. 方程0cos 3sin =+x x 在],0[π∈x 上的解为_____________．8. 设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥+-≥,03,01,0y x y x y 则y x z +=2的最大值为_____________．9. 若一个正三棱柱的三视图如图所示， 则这个正三棱柱的表面积为__________．10．已知定义在R 上的单调函数)(x f 的图像经过点)2,3(-A 、)2,2(-B ，若函数()f x 的反函数为)(1x f-，则不等式51)(21<+-x f 的解集为 ．11. 现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色.则不同取法的种数为____________． 12．已知函数x a x x x f 2||)(+-=，若0>a ，关于x 的方程9)(=x f 有三个不相等的实主视图左视图俯视图数解，则a的取值范围是__________．13．在平面直角坐标系xOy中，点列),(111yxA，),(222yxA，…，),(nnnyxA，…，满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=++,)(21,)(2111nnnnnnyxyyxx若)1,1(1A，则=+++∞→|)||||(|lim21nnOAOAOA _______．14．把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{}na，若2015=na，则n=____________．15．在△ABC中，“21sin=A”是“6π=A”的……………………………………（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件16．已知平面直角坐标系内的两个向量)2,1(=→a，)23,(-=→mmb，且平面内的任一向量→c都可以唯一的表示成→→→+=bacμλμλ,(为实数），则实数m的取值范围是（）A．(,2)-∞B．(2,)+∞C．(,)-∞+∞D．(,2)(2,)-∞+∞17．设双曲线12222=-byax（0>a，0>b）的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为……………………………………………………………………………（）A．xy2±=B．xy2±=C．xy22±=D．xy21±=18．在四棱锥ABCDV-中，1B，1D分别为侧棱VB，VD的中点，则四面体11CDAB的体积与四棱锥ABCDV-的体积之比为……………………………………………（）A．6:1B．5:1C．4:1D．3:119.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．在△ABC 中，已知12cos 2sin 22=++C BA ，外接圆半径2=R ． （1）求角C 的大小； （2）若角6π=A ，求△ABC 面积的大小.20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 为菱形，⊥PD 平面ABCD ，2==AD PD ，︒=∠60BAD ，E 、E 分别为BC 、PA 的中点．（1）求证：⊥ED 平面PAD ； （2）求三棱锥DEF P -的体积．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分．某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数)(x f 与时刻x （时）的关系为4321)(2++-+=a a x x x f ，)24,0[∈x ，其中a 是与气象有关的参数，且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,0a ．若用每天)(x f 的最大值为当天的综合污染指数，并记作)(a M ．（1）令12+=x xt ，)24,0[∈x ，求t 的取值范围； （2）求)(a M 的表达式，并规定当2)(≤a M 时为综合污染指数不超标，求当a 在什么范围内时，该市市中心的综合污染指数不超标．22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．E P AC D F已知椭圆1:2222=+by a x C （0>>b a ）的焦距为2，且椭圆C 的短轴的一个端点与左、右焦点1F 、2F 构成等边三角形．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设M 为椭圆上C 上任意一点，求21MF MF ⋅的最大值与最小值；（3）试问在x 轴上是否存在一点B ，使得对于椭圆上任意一点P ，P 到B 的距离与P 到直线4=x 的距离之比为定值．若存在，求出点B 的坐标，若不存在，请说明理由．23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知函数m x x f +=2)(，其中R ∈m ．定义数列}{n a 如下：01=a ，)(1n n a f a =+,*N ∈n ．（1）当1=m 时，求2a ，3a ，4a 的值；（2）是否存在实数m ，使2a ，3a ，4a 构成公差不为0的等差数列？若存在，请求出实数m 的值；若不存在，请说明理由；（3）求证：当41>m 时，总能找到*N ∈k ，使得2015>k a ． 2014学年嘉定区高三年级第二次质量调研 数学试卷（文）参考答案与评分标准一．填空题（本大题有14题，每题4分，满分56分）1．12{-≤≤-x x 或}21≤≤x 2．4 3．5 4．41 5．2 6．256 7．32π=x 8．6 9．3824+ 10．)2,2(- 11．54412．⎪⎭⎫⎝⎛29,4 13．222+ 14．1030二．选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分） 15．B 16．D 17．C 18．C三．解答题（本大题共有5题，满分74分）19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分． （1）由题意，12cos )cos(1=++-C B A ，因为π=++C B A ，所以C B A cos )cos(-=+，故01cos cos 22=-+C C ，……（2分） 解得1cos -=C （舍），或21cos =C ． ………………（5分） 所以，3π=C ． ………………（6分）（2）由正弦定理，R C c 2sin =，得43sin =πc，所以323sin 4==πc ． ………（2分）因为6π=A ，由R A a2sin =，得2=a ， …………（4分）又2π=B ，所以△ABC 的面积3221==ac S ． …………（6分）20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． （1）连结BD ，由已知得△ABD 与△BCD 都是正三角形，所以，2=BD ，BC DE ⊥， ………………（1分） 因为AD ∥BC ，所以AD DE ⊥，……………（2分） 又⊥PD 平面ABCD ，所以DE PD ⊥，……（4分） 因为D PD AD = ，所以⊥DE 平面PAD ．…（6分） （2）因为122121212=⨯⨯==∆∆PDA PDF S S ，……（2分） 且3=DE ， …………………………（4分）所以，33313131=⨯⨯=⋅==∆--DE S V V PDF PDF E DEF P ． ………………（8分） 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分．（1）当0=x 时，0=t ； ………………（2分） 当240<<x 时，因为0212>≥+x x ，所以21102≤+<x x ， ……………………（4分） 即t 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0． ……………………………………（5分） （2）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,0a 时，由（1），令12+=x x t ，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,0t ， …………（1分）所以432||)()(++-==a a t t g x f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<++≤≤+-=,21,43,0,433t a a t a t t a ………………（3分）于是，)(t g 在[]a t ,0∈时是关于t 的减函数，在⎥⎦⎤⎝⎛∈21,a t 时是增函数，E PACDBF因为433)0(+=a g ，4521+=⎪⎭⎫ ⎝⎛a g ，由21221)0(-=⎪⎭⎫⎝⎛-a g g ，所以，当410≤≤a 时，4521)(+=⎪⎭⎫⎝⎛=a g a M ；当2141≤<a 时，433)0()(+==a g a M ， 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<+≤≤+=.2141,433,410,45)(a a a a a M ………………………………（6分）由2)(≤a M ，解得1250≤≤a ． ………………………………（8分）所以，当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈125,0a 时，综合污染指数不超标． …………………………（9分）22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．（1）已知，1=c ，22==c a ， ……………………（2分） 所以3222=-=c a b ， ……………………………………（3分）所以椭圆的标准方程为13422=+y x ． ……………………（4分） （2）)0,1(1-F ，)0,1(2F ，设),(y x M ，则),1(1y x MF ---=，),1(2y x MF --=，12221-+=⋅y x MF MF （22≤≤-x ）， ……………………（2分）因为13422=+y x ，所以，24141312222221+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-+=⋅x x x y x MF ，…（4分） 由402≤≤x ，得21MF MF ⋅的最大值为3，最小值为2． …………………………（6分）（3）假设存在点)0,(m B ，设),(y x P ，P 到B 的距离与P 到直线4=x 的距离之比为定值λ，则有λ=-+-|4|)(22x y m x ， ………………………………………………（1分）整理得22222)4(2-=+-+x m mx y x λ， ……………………………………（2分）由13422=+y x ，得0163)28(4122222=-++-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-λλλm x m x 对任意的]2,2[-∈x 都成立． ………………………………………………………………（3分）令22222163)28(41)(λλλ-++-+⎪⎭⎫⎝⎛-=m x m x x F ， 则由0)0(=F 得06322=1-+λm ①由0)2(=F 得044422=-+-λm m ② 由0)2(=-F ，得0364422=-++λm m ③ 由①②③解得得21=λ，1=m ． …………………………（5分）所以，存在满足条件的点B ，B 的坐标为)0,1(． ………………………（6分）23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．（1）因为1=m ，故1)(2+=x x f ， ………………………………（1分） 因为01=a ，所以1)0()(12===f a f a ，…………（2分）2)1()(23===f a f a ， …………（3分） 5)2()(34===f a f a ． …………（4分）（2）解法一：假设存在实数m ，使得2a ，3a ，4a 构成公差不为0的等差数列． 则得到2(0)==a f m ，23()==+a f m m m ，()()2243==++a f a m mm ．…（2分）因为2a ，3a ，4a 成等差数列，所以3242=+a a a ， …………3分 所以，()()2222m m m m mm +=+++，化简得()22210m m m +-=，解得0m =（舍）,1m =- …………………………………（5分）经检验，此时234,,a a a 的公差不为0， 所以存在21±=m ，使得2a ，3a ，4a 构成公差不为0的等差数列． …………（6分）方法二：因为2a ，3a ，4a 成等差数列，所以3243-=-a a a a ，即222233+-=+-a m a a m a ， …………………………………………（2分）所以()()2232320---=a a a a ，即()()323210-+-=a a a a ．因为公差0≠d ，故320-≠a a ，所以3210a a +-=解得1m =-． ………（5分） 经检验，此时2a ，3a ，4a 的公差不为0．所以存在21±-=m ，使得2a ，3a ，4a 构成公差不为0的等差数列． …………（6分）（3）因为221111244n n n n n a a a m a a m m +⎛⎫⎛⎫-=+-=-+-≥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, …………（2分）又 14m >, 所以令041≥-=m t …………………………（3分）由t a a n n ≥--1，t a a n n ≥---21，……，t a a ≥-12，将上述不等式全部相加得t n a a n )1(1-≥-，即t n a n )1(-≥， …………………（5分） 因此要使2015>k a 成立，只需2015)1(>-t k ，所以，只要取正整数12015+>t k ，就有20152015)1(=⋅>-≥t tt k a k ． 综上，当41>m 时，总能找到*N ∈k ，使得2015>k a ．。
上海市嘉定区2021届新高考数学三模考试卷含解析
上海市嘉定区2021届新高考数学三模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知AB 是过抛物线24y x =焦点F 的弦，O 是原点，则OA OB ⋅=（ ） A ．－2 B ．－4C ．3D ．－3【答案】D 【解析】 【分析】设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设AB ：1x my =+，联立方程得到124y y =-，计算 22121216y y OA OB y y ⋅=+得到答案.【详解】设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故22121216y y OA OB y y ⋅=+.易知直线斜率不为0，设AB ：1x my =+，联立方程214x my y x =+⎧⎨=⎩，得到2440y my --=，故124y y =-，故221212316y y OA OB y y ⋅=+=-.故选：D . 【点睛】本题考查了抛物线中的向量的数量积，设直线为1x my =+可以简化运算，是解题的关键 .2．设不等式组00x y x +≥⎧⎪⎨-≤⎪⎩表示的平面区域为Ω，若从圆C ：224x y +=的内部随机选取一点P ，则P取自Ω的概率为（ ） A ．524B ．724C ．1124D ．1724【答案】B 【解析】 【分析】画出不等式组表示的可行域，求得阴影部分扇形对应的圆心角，根据几何概型概率计算公式，计算出所求概率. 【详解】作出Ω中在圆C 内部的区域，如图所示， 因为直线0x y +=，30x -=的倾斜角分别为34π，6π， 所以由图可得P 取自Ω的概率为3746224πππ-=.故选：B 【点睛】本小题主要考查几何概型的计算，考查线性可行域的画法，属于基础题.3．若复数()(1)2z i i =++（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A 【解析】 【分析】将z 整理成a bi +的形式，得到复数所对应的的点，从而可选出所在象限. 【详解】解：221()()2313z i i i i i =++=++=+，所以z 所对应的点为()1,3在第一象限.故选:A. 【点睛】本题考查了复数的乘法运算，考查了复数对应的坐标.易错点是误把2i 当成1进行计算. 4．在ABC ∆中，,,a b c 分别为,,A B C ∠∠∠所对的边，若函数()()322213f x x bx a c ac x =+++- 1+有极值点，则B 的范围是（ ）A ．0,3π⎛⎫⎪⎝⎭ B ．0,3π⎛⎤⎥⎝⎦C ．,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,3π⎛⎫π⎪⎝⎭【答案】D 【解析】试题分析：由已知可得()()222'20f x x bx a c ac =+++-=有两个不等实根()2222222221440cos 22a cb b ac ac a c b ac B B ac +-⇒∆=-+->⇒+-<⇒=<⇒∈,3π⎛⎫π ⎪⎝⎭.考点：1、余弦定理；2、函数的极值.【方法点晴】本题考查余弦定理，函数的极值，涉及函数与方程思想思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 首先利用转化化归思想将原命题转化为()()222'20f x x bx a c ac =+++-=有两个不等实根，从而可得()2222222221440cos 22a cb b ac ac a c b ac B B ac +-∆=-+->⇒+-<⇒=<⇒∈,3π⎛⎫π ⎪⎝⎭.5．一个盒子里有4个分别标有号码为1，2，3，4的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是4的取法有（ ） A ．17种 B ．27种C ．37种D ．47种【答案】C 【解析】 【分析】由于是放回抽取,故每次的情况有4种,共有64种；先找到最大值不是4的情况,即三次取出标号均不为4的球的情况,进而求解. 【详解】所有可能的情况有3464=种,其中最大值不是4的情况有3327=种,所以取得小球标号最大值是4的取法有642737-=种, 故选:C 【点睛】本题考查古典概型,考查补集思想的应用,属于基础题.6．若1(1)z a i =+-（a R ∈），||z =a =（ ）A ．0或2B ．0C ．1或2D ．1【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的模的运算列方程，解方程求得a 的值. 【详解】由于1(1)z a i =+-（a R ∈），||z ==0a =或2a =.故选：A 【点睛】本小题主要考查复数模的运算，属于基础题. 7．已知随机变量X 的分布列如下表：其中a ，b ，0c >.若X 的方差()13D X ≤对所有()0,1a b ∈-都成立，则（ ） A ．13b ≤B ．23b ≤C ．13b ≥D ．23b ≥【答案】D 【解析】 【分析】根据X 的分布列列式求出期望,方差,再利用1a b c ++=将方差变形为21()412b D X a b -⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭,从而可以利用二次函数的性质求出其最大值为113b -≤,进而得出结论. 【详解】由X 的分布列可得X 的期望为()E X a c =-+, 又1a b c ++=,所以X 的方差()()()()22211D X a c a a c b a c c =-+-+-++-()()()222a c a b c a c a c =-++--++ ()2a c a c =--++()2211a b b =--++- 21412b a b -⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭,因为()0,1a b ∈-,所以当且仅当12ba -=时,()D X 取最大值1b -, 又()13D X ≤对所有()0,1a b ∈-成立, 所以113b -≤,解得23b ≥,故选:D.【点睛】本题综合考查了随机变量的期望､方差的求法,结合了概率､二次函数等相关知识,需要学生具备一定的计算能力,属于中档题.8．已知二次函数2()f x x bx a =-+的部分图象如图所示，则函数()'()x g x e f x =+的零点所在区间为（ ）A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)【答案】B 【解析】由函数f(x)的图象可知，0＜f(0)＝a ＜1，f(1)＝1－b ＋a ＝0，所以1＜b ＜2.又f′(x)＝2x －b ，所以g(x)＝e x ＋2x －b ，所以g′(x)＝e x ＋2＞0，所以g(x)在R 上单调递增， 又g(0)＝1－b ＜0，g(1)＝e ＋2－b ＞0，根据函数的零点存在性定理可知，函数g(x)的零点所在的区间是(0，1)， 故选B.9．已知l 为抛物线24x y =的准线，抛物线上的点M 到l 的距离为d ，点P 的坐标为()4,1，则MP d +的最小值是（ ） A 17 B ．4C ．2D ．117+【答案】B 【解析】 【分析】设抛物线焦点为F ，由题意利用抛物线的定义可得，当,,P M F 共线时，MP d +取得最小值，由此求得答案. 【详解】解：抛物线焦点()0,1F ，准线1y =-， 过M 作MN l ⊥交l 于点N ，连接FM由抛物线定义MN MF d ==，244MP d MP MF PF ∴+=+≥==，当且仅当,,P M F 三点共线时，取“＝”号， ∴MP d +的最小值为4. 故选：B. 【点睛】本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题. 10．在三角形ABC 中，1a =，sin sin sin sin b c a bA AB C++=+-，求sin b A =（ ） A ．32B ．23C ．12D ．62【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理边角互化思想结合余弦定理可求得角B 的值，再利用正弦定理可求得sin b A 的值. 【详解】sin sin sin sin b c a b A A B C ++=+-，由正弦定理得b c a ba ab c++=+-，整理得222a c b ac +-=， 由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，0B π<<，3B π∴=.由正弦定理sin sin a b A B =得3sin sin 1sin 3b A a B π==⨯=. 故选：A. 【点睛】本题考查利用正弦定理求值，涉及正弦定理边角互化思想以及余弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.11．双曲线22:21C x y -=的渐近线方程为( ) A ．20x ±=B ．20x y ±=C0y ±= D ．20x y ±=【答案】A 【解析】 【分析】将双曲线方程化为标准方程为22112y x -=，其渐近线方程为2212y x -=，化简整理即得渐近线方程. 【详解】双曲线22:21C x y -=得22112y x -=，则其渐近线方程为22012y x -=，整理得0x =. 故选：A 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的简单性质的应用.12．设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，3412a a +=，则公比q =（ ） A ．4± B ．4C ．2±D ．2【答案】D 【解析】 【分析】由23S =得123a a +=，又23412()12a a a a q +=+=，两式相除即可解出q ．【详解】解：由23S =得123a a +=，又23412()12a a a a q +=+=，∴24q =，∴2q =-，或2q，又正项等比数列{}n a 得0q >， ∴2q，故选：D ． 【点睛】本题主要考查等比数列的性质的应用，属于基础题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021-2022学年上海嘉定区高考数学一模试卷含解析
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在函数：①cos |2|y x =；②|cos |y x =；③cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；④tan 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭中，最小正周期为π的所有函数为（ ） A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③2．已知a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a ⊂α，b ⊂β，a //β，b //α，则“a //b “是“α//β”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．执行如图所示的程序框图，若输入ln10a =，lg b e =，则输出的值为（ ）A ．0B ．1C ．2lg eD ．2lg104．已知集合{}2lgsin 9A x y x x==+-，则()cos22sin f x x x x A =+∈，的值域为（ ）A ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．2,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭5．已知集合{}22|A x y x ==-，2{|}10B x x x =-+≤，则A B =( ) A ．[12]-， B ．[12]-，C ．(12]-，D ．2,2⎡⎤-⎣⎦6．已知数列满足，且，则数列的通项公式为（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知函数2()e (2)e xx f x t t x =+--（0t ≥），若函数()f x 在x ∈R 上有唯一零点，则t 的值为（ ）A ．1B ．12或0 C ．1或0 D ．2或08．若双曲线E ：22221x y a b-=（0,0a b >>）的一个焦点为(3,0)F ，过F 点的直线l 与双曲线E 交于A 、B 两点，且AB 的中点为()3,6P --，则E 的方程为（ ）A ．22154x y -=B ．22145x y -=C ．22163x y -=D ．22136x y -=9．过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 3C 于点M (M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为（ ） A 5B ．22C ．3D ．3310．我国宋代数学家秦九韶（1202-1261）在《数书九章》（1247）一书中提出“三斜求积术”，即：以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积. 其实质是根据三角形的三边长a ，b ，c 求三角形面积S ，即2222221[()]42c a b S a c +-=-若ABC ∆的面积112S =，3a =2b =，则sin A 等于（ ）A ．5510B ．116C ．5510或116D ．1120或113611．如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边,AB AC .已知以直角边,AC AB 为直径的半圆的面积之比为14，记ABC α∠=，则sin 2α=（ ）A ．925B ．1225C ．35D ．4512．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为A ．15B ．625C ．825D ．25二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年嘉定、长宁区高三数学(理)二模试卷与答案
嘉定区高三考生注意：本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟．解答必须写在答题纸上的规定区域，写在试卷或草稿纸上的答案一律不予评分．1．已知集合},2||{R ∈≤=x x x A ，},01{2R ∈≥-=x x x B ，则=B A ________． 2．抛物线28x y =的焦点到准线的距离是______________．3．若bi i ai -=+2)1(，其中a 、b R ∈，i 是虚数单位，则=+||bi a _________． 4．已知函数xx g 2)(=，若0>a ，0>b 且2)()(=b g a g ，则ab 的取值范围是_______． 5．设等差数列{}n a 满足115=a ，312-=a ，{}n a 的前n 项和n S 的最大值为M ，则lg M =__________．6．若8822108...)(x a x a x a a x a ++++=-（R ∈a ），且565=a ，则=++++8210...a a a a_______________．7. 已知对任意*N ∈n ，向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++n n n n n a a a a d 211,41都是直线x y =的方向向量，设数列}{n a 的前n 项和为n S ，若11=a ，则=∞→n n S lim _____________．8．已知定义在R 上的单调函数)(x f 的图像经过点)2,3(-A 、)2,2(-B ，若函数()f x 的反函数为)(1x f-，则不等式51)2(21<+--x f 的解集为 ．9. 已知方程1cos 3sin +=+m x x 在],0[π∈x 上有两个不相等的实数解，则实数m 的取 值范围是____________．10. 随机变量ξ的分布律如下表所示，其中a ，b ，c 成等差数列，若31=ξE ，则D ξ的值 是___________．11．现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．则不同取法的种数为__________．12. 在平面直角坐标系xOy 中，点),(P P y x P 和点),(Q Q y x Q 满足⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=,,P P QP P Q y x y y x x 按此规则由点P 得到点Q ，称为直角坐标平面的一个“点变换”．在此变换下，m OQ OP =||，向量OP 与OQ 的夹角为θ，其中O 为坐标原点，则θsin m 的值为____________．13. 设定义域为R 的函数⎩⎨⎧≤-->=,0,2,0,|lg |)(2x x x x x x f 若关于x 的函数1)(2)(22++=x bf x f y 有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是____________．14．把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{}n a ，若2015=n a ，则n =________．15．在△ABC 中，“21sin =A ”是“6π=A ”的……………………………………（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件16．已知平面直角坐标系内的两个向量)2,1(=→a ，)23,(-=→m m b ，且平面内的任一向量→c 都可以唯一的表示成→→→+=b a c μλμλ,(为实数），则实数m 的取值范围是（ ）A ．(,2)-∞B ．(2,)+∞C ．(,)-∞+∞D ．(,2)(2,)-∞+∞17．极坐标方程0))(1(=--πθρ（0≥ρ）表示的图形是…………………………（ ）A ．两个圆B ．两条直线C ．一个圆和一条射线D ．一条直线和一条射线18．在四棱锥ABCD V -中，1B ，1D 分别为侧棱VB ，VD 的中点，则四面体11CD AB 的体积与四棱锥ABCD V -的体积之比为……………………………………………（ ） A ．6:1 B ．5:1 C ．4:1 D ．3:119.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．在△ABC 中，已知12cos 2sin 22=++C BA ，外接圆半径2=R ． （1）求角C 的大小；（2）若角6π=A ，求△ABC 面积的大小.20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 为菱形，⊥PD 平面ABCD ，2==AD PD ，︒=∠60BAD ，E 为BC 的中点．（1）求证：⊥ED 平面PAD ；（2）求平面PAD 与平面PBC 所成的锐二面角大小的余弦值．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分．某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数)(x f 与时刻x （时）的关系为4321)(2++-+=a a x x x f ，)24,0[∈x ，其中a 是与气象有关的参数，且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,0a ．若用每天)(x f 的最大值为当天的综合污染指数，并记作)(a M ．（1）令12+=x xt ，)24,0[∈x ，求t 的取值范围； （2）求)(a M 的表达式，并规定当2)(≤a M 时为综合污染指数不超标，求当a 在什么范围内时，该市市中心的综合污染指数不超标．22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知椭圆1:2222=+by a x C （0>>b a ）的左、右焦点分别为1F 、2F ，点B ),0(b ，E P AC D过点B 且与2BF 垂直的直线交x 轴负半轴于点D ，且→=+02221D F F F ．（1）求证：△21F BF 是等边三角形；（2）若过B 、D 、2F 三点的圆恰好与直线l ：033=--y x 相切，求椭圆C 的方程；（3）设过（2）中椭圆C 的右焦点2F 且不与坐标轴垂直的直线l 与C 交于P 、Q 两点，M 是点P 关于x 轴的对称点．在x 轴上是否存在一个定点N ，使得M 、Q 、N 三点共线，若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知数列}{n a 中，31=a ，52=a ，}{n a 的前n 项和为n S ，且满足11222---+=+n n n n S S S （3≥n ）．（1）试求数列{}n a 的通项公式；（2）令112+-⋅=n n n n a a b ，n T 是数列}{n b 的前n 项和，证明：61<n T ；（3）证明：对任意给定的⎪⎭⎫ ⎝⎛∈61,0m ，均存在*∈N 0n ，使得当0n n ≥时，（2）中的m T n >恒成立．2014学年嘉定区高三年级第二次质量调研 数学试卷（理）参考答案与评分标准一．填空题（本大题有14题，每题4分，满分56分）1．12{-≤≤-x x 或}21≤≤x 2．4 3．5 4．⎥⎦⎤ ⎝⎛41,0 5．2 6．256 7．2 8．)4,0( 9．)1,13[- 10．9511．472 12．21 13．⎪⎭⎫⎝⎛--2,23 14．1030二．选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分） 15．B 16．D 17．C 18．C三．解答题（本大题共有5题，满分74分）19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分． （1）由题意，12cos )cos(1=++-C B A ，因为π=++C B A ，所以C B A cos )cos(-=+，故01cos cos 22=-+C C ，……（2分） 解得1cos -=C （舍），或21cos =C ． ………………（5分） 所以，3π=C ． ………………（6分）（2）由正弦定理，R C c 2sin =，得43sin =πc，所以323sin 4==πc ． ………（2分）因为6π=A ，由R A a2sin =，得2=a ， …………（4分）又2π=B ，所以△ABC 的面积3221==ac S ． …………（6分）20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．（1）连结BD ，由已知得△ABD 与△BCD 都是正三角形， 所以，2=BD ，BC DE ⊥， ………………（1分）因为AD ∥BC ，所以AD DE ⊥，……………（2分） 又⊥PD 平面ABCD ，所以DE PD ⊥，……（4分） 因为D PD AD = ，所以⊥DE 平面PAD ．…（6分）（2）以D 为原点，DA ，DE ，DP 所在直线 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系． 由（1）知平面PAD 的一个法向量为)0,1,0(1=n ， 又)0,3,1(B ，)0,3,1(-C ，)2,0,0(P ，)0,3,0(E ，所以)0,0,2(=CB ，)2,3,0(-=PE ，……（2分）设平面PBC 的一个法向量为),,(2z y x n =，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,022n n 得⎩⎨⎧=-=,023,0z y x取2=y ，则3=z ，故)3,2,0(2=n ， …………（4设1n 与2n 的夹角为θ，则772712cos =⨯==n n θ．…………（7分） 所以，平面PAD 与平面PBC 所成的锐二面角大小的余弦值为772．……（8分） （2）解法二（图略）在平面PAD 上，过P 作PF ∥DA 且DA PF =，连结BF ，则四边形PCBF 是平行四边形，即直线PF 是平面PAD 与平面PBC 的交线．………………（2分）E P ACD因为DE BC ⊥，PD BC ⊥，所以⊥BC 平面PDE ，故PE BC ⊥，所以PF PE ⊥，又PF PD ⊥，所以DPE ∠就是平面PAD 与平面PBC 所成二面角的平面角． …………（5分） 在Rt △PDE 中，3=DE ，722=+=DE PD PE ，…………（6分）77272cos ===∠PE PD DPE ． ……………………（7分） 所以，平面PAD 与平面PBC 所成的锐二面角大小的余弦值为772．……（8分） 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分． （1）当0=x 时，0=t ； ………………（2分） 当240<<x 时，因为0212>≥+x x ，所以21102≤+<x x ， ……………………（4分） 即t 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0． ……………………………………（5分） （2）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,0a 时，由（1），令12+=x x t ，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,0t ， …………（1分）所以432||)()(++-==a a t t g x f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<++≤≤+-=,21,43,0,433t a a t a t t a ………………（3分）于是，)(t g 在[]a t ,0∈时是关于t 的减函数，在⎥⎦⎤⎝⎛∈21,a t 时是增函数，因为433)0(+=a g ，4521+=⎪⎭⎫ ⎝⎛a g ，由21221)0(-=⎪⎭⎫⎝⎛-a g g ，所以，当410≤≤a 时，4521)(+=⎪⎭⎫⎝⎛=a g a M ；当2141≤<a 时，433)0()(+==a g a M ， 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<+≤≤+=.2141,433,410,45)(a a a a a M ………………………………（6分）由2)(≤a M ，解得1250≤≤a ． ………………………………（8分）所以，当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈125,0a 时，综合污染指数不超标． …………………………（9分）22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．（1）设)0,(0x D （00<x ），由)0,(2c F ，),0(b B ，故),(2b c F -=，),(0b x BD -=，因为BD B F ⊥2，所以020=--b cx ， …………（1分）c b x 20-=，故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=0,22c c b D F ，……（2分） 又)0,2(21c F F =，故由02221 =+F F F 得032=-cb c ，所以，223c b =．……（3分） 所以，3tan 12==∠cbF BF ，︒=∠6012F BF ，即△21F BF 是等边三角形．………（4分）（2）由（1）知，c b 3=，故c a 2=，此时，点D 的坐标为)0,3(c -，……（1分） 又△2BDF 是直角三角形，故其外接圆圆心为)0,(1c F -，半径为c 2，…………（3分）所以，c c 22|3|=--，1=c ，3=b ，2=a ， ……………………（5分）所求椭圆C 的方程为13422=+y x ． ……………………（6分） （3）由（2）得)0,1(2F ，因为直线l 过2F 且不与坐标轴垂直，故可设直线l 的方程为： )1(-=x k y ，0≠k ． ………………（1分） 由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,134,)1(22y x x k y 得01248)43(2222=-+-+k x k x k ， ………………（2分）设),(11y x P ，),(22y x Q ，则有2221438k k x x +=+，222143124k k x x +-=，……（3分）由题意，),(11y x M -，故直线QM 的方向向量为),(1212y y x x d +-=，所以直线QM 的方程为121121y y y y x x x x ++=--， ………………（4分）令0=y ，得)1()1()1()1()(121221121*********-+--+-=++=++-=x k x k x x k x x k y y x y x y x y y x x y xk x x k x x k x kx 2)()(2212121-++-=2)()(2212121-++-=x x x x x x 2438438431242222222-++-+-⋅=kk k k k k 4624=--=．…（5分）即直线QM 与x 轴交于定点）0,4(．所以，存在点)0,4(N ，使得M 、Q 、N 三点共线． ………………（6分）（注：若设)0,(0x N ，由M 、Q 、N 三点共线，得0101102211=-x y x y x ， 得2112210y y y x y x x ++=．）23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．（1）由11222---+=+n n n n S S S （3≥n ），得12112----+-=-n n n n n S S S S （3≥n ）， 所以112--+=n n n a a （3≥n ）， 即112--=-n n n a a （3≥n ） ……………………（2分）又212=-a a ，所以11223211)()()()(a a a a a a a a a a n n n n n +-+-++-+-=---12321)21(2322221221+=+--=+++++=---n n n n ． ……………………（4分）（2）112+-⋅=n n n n a a b ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=++=++-12112121)12)(12(2111n n n n n ，………………（2分）所以，⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++=+1211219151513121121n n n n b b b T ⎪⎭⎫⎝⎛+-=+12131211n ． …………………………………………………………（5分） 所以，61<n T ．（3）由（2），⎪⎭⎫⎝⎛+-=+12131211n n T ，因为)12)(12(2211++=-+++n n n n n T T 0>，所以n T 随着n 的增大而增大． ………………………………………………（1分）若m T n >，则m n >⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+12131211，化简得1213611+>-+n m ， …………（2分） 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛∈61,0m ，所以061>-m ，所以161321-->+m n ，11613log 2-⎪⎭⎫⎝⎛-->m n ， ……………………………………（4分）当111613log 2<-⎪⎭⎫⎝⎛--m ，即1510<<m 时，取10=n 即可． …………（5分） 当111613log 2≥-⎪⎭⎫⎝⎛--m ，即61151<≤m 时，记11613log 2-⎪⎭⎫⎝⎛--m 的整数部分为p ， 取10+=p n 即可． ……………………………………………………………（7分）综上可知，对任意给定的⎪⎭⎫ ⎝⎛∈61,0m ，均存在*∈N 0n ，使得当0n n ≥时，（2）中的m T n >恒成立． ……………………………………（8分）。
2021年上海嘉定区高三二模数学试卷-学生用卷
2021年上海嘉定区高三二模数学试卷-学生用卷一、填空题（本大题共12小题，共54分）1、【来源】 2021年上海嘉定区高三二模第1题4分已知集合A={x|−1<x<2}，B={0,1,2,3}，则A∩B=．2、【来源】 2021年上海嘉定区高三二模第2题4分已知复数z满足1z−1=i（i为虚数单位），则|z|=．3、【来源】 2021年上海嘉定区高三二模第3题4分已知等差数列{a n}满足a2=3a4−8，则a5=．4、【来源】 2021年上海嘉定区高三二模第4题4分若实数x、y满足{x+y−2⩾0x+2y−3⩽0y⩾0，则z=2x−y的最大值为．5、【来源】 2021年上海嘉定区高三二模第5题4分已知函数f(x)=2+loga(x+1)（a>0，且a≠1）．若y=f(x)的反函数的图象经过点(1,2)，则a=．6、【来源】 2021年上海嘉定区高三二模第6题4分《九章算术》中，称四个面均为直角三角形的四面体为“鳖臑”．已知某“鳖臑”的三视图如图所示，则该“鳖臑”的体积为．7、【来源】 2021年上海嘉定区高三二模第7题5分已知正数x、y满足x+4y=1，则1x+y的最小值为．8、【来源】 2021年上海嘉定区高三二模第8题5分设数列{a n}的前n项和为S n，且满足|S n−1a n1|=4，则limn→∞S n=．9、【来源】 2021年上海嘉定区高三二模第9题5分将(x√x )7的二项展开式的各项重新随机排列，则有理项互不相邻的概率为．10、【来源】 2021年上海嘉定区高三二模第10题5分已知点A、B是双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右顶点，点P是该双曲线上异于A、B的另外一点，若△ABP是顶角为120°的等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程是．11、【来源】 2021年上海嘉定区高三二模第11题5分已知函数f(x)={x2x2+8,x⩾2(12)|x−a|,x<2，若对任意的x1∈[2,+∞)，都存在唯一的x2∈(−∞,2)，满足f(x1)=f(x2)，则实数a的取值范围是．12、【来源】 2021年上海嘉定区高三二模第12题5分在平面直角坐标系xOy 中，起点为坐标原点的向量a →，b →满足|a →|=|b →|=1，且a →⋅b →=−12，c →=(m,1−m )，d →=(n,1−n ) (m,n ∈R )．若存在向量a →，b →，对于任意实数m ，n ，不等式|a →−c →|+|b →−d →|⩾T 成立，则实数T 的最大值为 ．二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2021年上海嘉定区高三二模第13题5分“函数f (x )=sin(ωx )（x ，ω∈R ，且ω≠0）的最小正周期为π”是“ω=2”的（ ）． A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件14、【来源】 2021年上海嘉定区高三二模第14题5分已知一组数据3、4、a 、6、8的平均数是5，则这组数据的方差是（ ）．A. 3.2B. 3.5C. 4D. 515、【来源】 2021年上海嘉定区高三二模第15题5分设直线y =x 与椭圆{x =2cosθy =sinθ交于A 、B 两点，点P 在直线y =kx +3上．若|PA →+PB →|=2，则实数k 的取值范围是（ ）．A. (−2,2)B. [−2√2,2√2]C. (−∞,−2)∪(2,+∞)D. (−∞,−2√2]∪[2√2,+∞)16、【来源】 2021年上海嘉定区高三二模第16题5分已知函数f (x )=2021x−1+(x −1)3−20211−x +2x ，则不等式f (x 2−4)+f (2−3x )⩽4的解集为（ ）．A. [−1,4]B. [−4,1]C. (−∞,−1]∪[4,+∞)D. (−∞,−4]∪[1,+∞)三、解答题（本大题共5小题，共76分）17、【来源】 2021年上海嘉定区高三二模第17题14分在矩形ABCD 中，AB =2，BC =1，矩形ABCD 绕AB 旋转形成一个圆柱．如图，矩形ABCD 绕AB 顺时针旋转π2至ABC 1D 1，线段DD 1的中点为M ．(1) 求证：AM ⊥CD 1．(2) 求异面直线CM 与AD 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）．18、【来源】 2021年上海嘉定区高三二模第18题14分设常数a ∈R ，函数f(x)=a ⋅3x +13x ． (1) 若函数f(x)是奇函数，求实数a 的值．(2) 若函数y =f(x)+2a 在x ∈[0,1]时有零点，求实数a 的取值范围．19、【来源】 2021年上海嘉定区高三二模第19题14分某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地 AOB 进行改造．如图所示，平行四边形OMPN区域为停车场，其余部分建成绿地，点P在围墙AB弧上，点M和点N分别在道路OA和道路OB上，且OA=90米，设∠AOB=π3，∠PON=θ．(1) 当θ=π6时，求停车场的面积（精确到0.1平方米）．(2) 写出停车场面积S关于θ的函数关系式，并求当θ为何值时，停车场面积S取得最大值．20、【来源】 2021年上海嘉定区高三二模第20题16分已知抛物线Γ:y2=2px的焦点为F(2,0)，点P在抛物线Γ上．(1) 求抛物线Γ的方程．(2) 若|PF|=5，求点P的坐标．(3) 过点T(t,0)(t>0)作两条互相垂直的直线分别交抛物线Γ于A、B、C、D四点，且点M、N分别为线段AB、CD的中点，求△TMN的面积的最小值．21、【来源】 2021年上海嘉定区高三二模第21题18分已知数列{a n}满足：a1=1，|a n+1−a n|=p n，n∈N∗，S n为数列{a n}的前n项和．(1) 若{a n}是递增数列，且3a1，4a2，5a3成等差数列，求p的值．(2) 已知p=13，且{a2n+1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{a n}的通项公式．(3) 已知p=1，对于给定的正整数n，试探究是否存在一个满足条件的数列{a n}，使得S n=n，若存在，写出一个满足条件的数列{a n}；若不存在，请说明理由．1 、【答案】{0,1};2 、【答案】√2;3 、【答案】4;4 、【答案】6;5 、【答案】1;36 、【答案】8;7 、【答案】9;8 、【答案】4;;9 、【答案】11410 、【答案】x±y=0;11 、【答案】[−1,5);12 、【答案】1+√2;13 、【答案】 B;14 、【答案】 A;15 、【答案】 D;16 、【答案】 A;17 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) arccos√2．6;18 、【答案】 (1) a=−1．;(2) [−13,−115]．;19 、【答案】 (1) 2338.3平方米．;(2) S=2700√3sin(2θ+π6)−1350√3；θ=π6．;20 、【答案】 (1) y2=8x．;(2) (3,2√6)或(3,−2√6)．;(3) 16．;21 、【答案】 (1) p=35．;(2) a n=54+14×(−1)n3n−1(n∈N∗)．;(3) 当n=4k或n=4k−3时，存在数列{a n}，使得S n=n，此时数列{a n}，满足a4k−3= a4k−1=1，a4k−2=0，a4k=2；当n=4k−2或n=4k−1时，不存在，证明见解析．;。
嘉定区 2021届第一次高考模拟考试数学试卷 (解析版)
C52 P44 - P44 =216
11.设等差数列an 的前 n 项和为 Sn ，首项 a1 0 ，公差 d 0 ，若对任意的 n N* ，总存
在 k N* ，使 S2k−1 = (2k −1)Sn . 则 k − 3n 的最小值为
.
【答案】： − 8
( ) 【解析】： s2k−1 =
2k
−1
sn , sn
=
s2k −1 2k −1
=
ak
s2 = a1 + a2 = ak a2 , s2 = a1,a1 = −d
sn
=
ak ,na1
+
n(n −1) d
2
=
a1
+
(k
−1)d
k
=
n2
− 3n + 4 2
， k
− 3n
=
n2
− 9n + 4 , n 2
=
4or5，(k
− 3n)min
.
【答案】 (1, 0)
【解析】由性质得 (1, 0)
x4
3.不等式
0 的解为 .
1x
【答案】 −2 x 2
【解析】 x2 − 4 0? −2 x 2
4.已知复数 z 满足 (1+ i) z = 2 （ i 为虚数单位），则 z =
.
【答案】 2 【解析】 z = 2 = 2(1− i) = 1− i | z |= 2
4
6
又0 x ，− 2x − 5
26
66
g(x) 的值域为：[−1,2]
（2） f ( A) = cos(2A) = - 1 ，A (0, ) ，2A(0, ) ，则 A = ，
2021年上海市嘉定区高考数学一模试卷(附答案详解)
2021年上海市嘉定区高考数学一模试卷一、单选题（本大题共4小题，共20.0分）1.已知x≠0，n∈N∗，则“n=2”是“(x+1x)n的二项展开式中存在常数项”的()A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件2.已知a、b∈R，且a>b，则下列不等式恒成立的是()A. 1a <1bB. lna>lnbC. a2>b2D. 2a>2b3.过双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于A.若以C的右焦点为圆心、半径为2的圆经过A、O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为()A. x2−y23=1 B. x2−y24=1 C. x24−y212=1 D. x212−y24=14.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P是该正方体棱上一点．若满足|PB|+|PC1|=m(m>0)的点的个数为4，则m的取值范围是()A. [2√2,4]B. [4,2+2√3]C. [4,4√2]D. [2+2√3,4√2]二、单空题（本大题共12小题，共54.0分）5.已知集合A={0,2,4}，B=(0,+∞)，则A∩B=______．6.抛物线y2=4x的焦点坐标为______．7.不等式∣∣∣x41x∣∣∣≤0的解为______．8.若复数z满足(1+i)⋅z=2(i是虚数单位)，则|z|=______．9.已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边经过点P(3,4)，则tan(π2+α)=______．10.设函数f(x)=a x+1−2(a>1)的反函数为y=f−1(x)，若f−1(2)=1，则f(2)=______．11.设各项均为正数的无穷等比数列{a n}满足：a1=1，a2+2a3=1，则数列{a2n}的各项的和为______．12. 在△ABC 中，∠A =90°，AB =3，AC =4，将△ABC 绕边AC 所在直线旋转一周得到几何体Γ，则Γ的侧面积为______．13. 在△ABC 中，AB =1，AC =2，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =16CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 14. 甲和乙等5名志愿者参加进博会A 、B 、C 、D 四个不同的岗位服务，每人一个岗位，每个岗位至少1人，且甲和乙不在同一个岗位服务，则共有______种不同的参加方法(结果用数值表示)．15. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，首项a 1>0，公差d <0，若对任意的n ∈N ∗，总存在k ∈N ∗，使S 2k−1=(2k −1)S n ，则k −3n 的最小值为______．16. 已知函数f(x)=x|x −a|+3x.若存在a ∈[−3,4]，使得关于x 的方程f(x)=tf(a)有三个不相等的实数根，则实数t 的取值范围是______． 三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17. 如图，正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面边长为2，A 1D =4．(1)求该正四棱柱的表面积和体积；(2)求异面直线A 1D 与AC 所成的角的大小(结果用反三角函数值表示)．18. 已知函数f(x)=cos(ωx)(ω>0)的最小正周期为π．(1)求ω的值及函数g(x)=√3f(π4−x)−f(x),x ∈[0,π2]的值域；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边长分别为a ，b ，c ，若A ∈(0,π2)，f(A)=−12，△ABC 的面积为3√3，b −c =2，求a 的值．19. 提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况．在一般情况下，隧道内的车流速度v(单位：千米/小时)和车流密度x(单位：辆/千米)满足关系式：v ={50,0<x ≤2060−k140−x ,20<x ≤120(k ∈R)．研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时．(1)若车流速度v 不小于40千米/小时，求车流密度x 的取值范围；(2)隧道内的车流量y(单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时)满足y =x ⋅v ，求隧道内车流量的最大值(精确到1辆/小时)，并指出当车流量最大时的车流密度(精确到1辆/千米)．20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆Γ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的长轴长为6，且经过点Q(32,√3)，A 为左顶点，B 为下顶点，椭圆上的点P 在第一象限，PA 交y 轴于点C ，PB 交x 轴于点D ． (1)求椭圆的标准方程；(2)若OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，求线段PA 的长； (3)试问：四边形ABCD 的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．21.若有穷数列{a n}满足：0≤a1<a2<⋯<a k(k∈N∗,k≥3)且对任意的i，j(1≤i≤j≤k)，a j+a i与a j−a i至少有一个是数列{a n}中的项，则称数列{a n}具有性质P．(1)判断数列1，2，4，8是否具有性质P，并说明理由；(2)设项数为k(k∈N∗,k≥3)的数列{a n}具有性质P，求证：ka k=2(a1+a2+⋯+a k−1+a k)；(3)若项数为k(k∈N∗,k≥3)的数列{a n}具有性质P，写出一个当k=4时，{a n}不是等差数列的例子，并证明当k>4时，数列{a n}是等差数列．答案和解析1.【答案】A【解析】解：①n=2时，(x+1x )2=x2+1x2+2，∴“n=2“是“(x+1x)n的二项展开式中存在常数项“的充分条件；②若(x+1x )n的二项展开式中存在常数项，设常数项为C n r x n−r⋅(1x)r=C n r x n−2r，则n−2r=0，∴r=n2，r为正整数，∴n能被2整除，即得不出n=2，∴“n=2“不是“(x+1x)n的二项展开式中存在常数项”的必要条件；综上得，“n=2”是“(x+1x)n的二项展开式中存在常数项”的充分非必要条件．故选：A．从两个方面看：看n=2时，能否得出“(x+1x)n的二项展开式中存在常数项”，即验证充分性是否成立；然后看“(x+1x)n的二项展开式中存在常数项”时，能否得出n=2，即验证必要性是否成立，最后即可得出“n=2”和“(x+1x)n的二项展开式中存在常数项”的关系．本题考查了充分条件、必要条件和充分不必要条件的定义，二项展开式公式，考查了计算能力和推理能力，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：当a=1，b=−1时显然a>b，但A不成立，当0>a>b时B显然不成立，当a=1，b=−1时，C显然不成立，由于y=2x单调递增，由a>b可得2a>2b，D成立．故选：D．由已知结合不等式的性质及指数与对数函数的性质分别检验各选项即可判断．本题主要考查了不等式的性质，属于基础试题．3.【答案】A【解析】解：双曲线的右顶点为(a,0)，右焦点F为(c,0)，x，可得A(a,b)，由x=a和一条渐近线y=ba以C的右焦点为圆心、半径为2的圆经过A、O两点(O为坐标原点)，则|AF|=|OF|=c=2，即有√(a−c)2+b2=2，c2=a2+b2=4，解得a=1，b=√3，=1，即有双曲线的方程为x2−y23故选A．求出双曲线的右顶点和右焦点以及渐近线方程，可得A，再由圆的性质可得|AF|=|OF|=c=2，解方程可得a，b，进而得到双曲线方程．本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用和圆的性质，考查运算能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：先计算正方体的8个顶点到B，C1两点的距离，如图所示，(1)当点P分别在棱BB1，BC，CC1，B1C1上运动时，m的取值范围是[2√2,4]；(2)当点P分别棱C1D1，AB上运动时，m的取值范围是[2√2,2+2√3]；(3)当点P分另在棱A1B1，CD上运动时，m的取值范围是[4,4√2]；(4)当点P分别在棱A1D1，DD1，AD，AA1上运动时，m的取值范围是[2+2√3,4√2].由几何直观可知，点P在正方体的每一条棱上运动时，它所在的位置与m的值是一一对应的，则当|PB|+|PC1|=m(m>0)的点P的个数为4时，m的取值范围是[4,2+2√3].先计算正方体的8个顶点到B ，C 1两点的距离，由几何直观可知，点P 在正方体的每一条棱上运动时，它所在的位置与m 的值是一一对应的，数形结合能求出当|PB|+|PC 1|=m(m >0)的点P 的个数为4时，m 的取值范围．本题考查实数的取值范围的求法，考查运算求解能力，是中档题．5.【答案】{2,4}【解析】解：集合A ={0,2,4}，B =(0,+∞)，则A ∩B ={2,4}． 故答案为：{2,4}．直接利用交集的运算法则化简求解即可． 本题考查交集的运算法则的应用，是基础题．6.【答案】(1,0)【解析】 【分析】本题主要考查抛物线的焦点坐标．属基础题．先确定焦点位置，即在x 轴正半轴，再求出P 的值，可得到焦点坐标． 【解答】解：∵抛物线y 2=4x 是焦点在x 轴正半轴的标准方程， p =2∴焦点坐标为：(1,0) 故答案为(1,0)7.【答案】{x|−2≤x ≤2}【解析】解：不等式∣∣∣x 41x ∣∣∣≤0，化为：x 2−4≤0， 解得−2≤x ≤2，所以不等式的解：{x|−2≤x ≤2}． 故答案为：{x|−2≤x ≤2}．利用行列式的运算法则，推出不等式，求解即可． 本题考查行列式的应用，二次不等式的解法，是基础题．【解析】解：∵(1+i)⋅z=2，∴|1+i|⋅|z|=2，∴√2|z|=2，∴|z|=√2，故答案为：√2．根据复数模的性质即可求出．本题考查了复数模的计算，考查了运算能力和转化能力，属于基础题9.【答案】−34【解析】解：角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边经过点P(3,4)，可得sinα=45，cosα=35，tan(π2+α)=sin(α+π2)cos(α+π2)=cosα−sinα=35−45=−34．故答案为：−34．利用任意角的三角函数的定义，求出sinα，cosα，结合诱导公式化简求解即可．本题考查任意角的三角函数的应用，诱导公式的应用，是基本知识的考查．10.【答案】6【解析】解：由题意得：函数f(x)=a x+1−2(a>1)过(1,2)，将(1,2)代入f(x)得：a2−2=2，解得：a=2，故f(x)=2x+1−2，故f(2)=6，故答案为：6．根据反函数的定义得到f(x)过(1,2)，求出a的值，求出f(x)的解析式，从而求出f(2)的值即可．本题考查反函数求函数值，理解掌握反函数概念是基础，利用反函数与原函数的关系是关键．11.【答案】23(1−2−2n )【解析】解：由题意设公比是q(q >0)，而a 1=1， 则a 2=q ，a 3=q 2，∵a 2+2a 3=1，∴q +2q 2=1，解得：q 1=12(−1舍)， 故a n =(12)n−1，则数列{a 2n }的首项是12，公比是q 2=14， 故数列{a 2n }的各项的和S =a 1(1−q n )1−q=12[1−(14)n ]1−14=23(1−2−2n )，故答案为：23(1−2−2n ).设出公比q ，得到关于q 的方程，求出数列{a n }的公比是12，求出数列{a n }的各项的和即可．本题考查了数列求和，考查等比数列的定义和性质，是一道基础题．12.【答案】15π【解析】解：如图示：，将△ABC 绕边AC 所在直线旋转一周得到几何体Γ， 得到的是高为4，底面半径为3，母线长为5的圆锥， 故侧面展开图是半径为5，弧长为6π的扇形， 故Γ的侧面积为S =12×5×6π=15π， 故答案为：15π．画出几何体Γ，结合图象求出Γ的侧面积即可．本题考查了圆锥的侧面展开图，考查扇形面积公式以及弧长公式，是一道基础题．13.【答案】12【解析】解：AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗=(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +16CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗=(13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −16BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =[13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −16(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )](AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =16(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =16(4−1)=12， 故答案为：12．根据平面向量的运算性质分别计算即可．本题考查了平面向量的运算性质，考查转化思想，是一道基础题．14.【答案】216【解析】解：由题意得，有且只有2人分在一组，然后平均分到4个不同的岗位，则有C 52A 44=240种不同的分配方案．甲乙两人在同一岗位的分配方法有A 44=24种故甲、乙两人不在同一个岗位服务的分配方法有240−24=216种． 故答案为：216．先求出没有条件限制的种数，再求出甲乙两人在同一岗位的分配方法24，利用间接法，问题得以解决．本题主要考查了排列组合中的分配问题，关键是如何分组，属于中档题．15.【答案】−8【解析】解：由题意可得(2k−1)(a 1+a 2k−1)2=(2k −1)S n ，则得(2k−1)⋅a 12=(2k −1)S n ，即a k =S n ，令n =2得：a k =S 2，即a 1+(k −1)d =2a 1+d (∗)，即得k −2=a 1d，因为首项a 1>0，公差d <0，则得k −2=a 1d<0，即k <2，又∵k ∈N ∗，所以k =1，代入(∗)得：d =−a 1， 当d =−a 1时，由a k =S n 得a 1−(k −1)a 1=na 1−n(n−1)a 12，即k =(n−1)(n−2)2+1，所以k −3n =12n 2−92n +2，即k −3n =12[(n −92)2]−772，因此当n =4或5时，k −3n 的最小值为−8． 故答案为：−8．由题意可知a k =S n ，令n =2得a 1+(k −1)d =2a 1+d (∗)，即得k −2=a 1d，因为首项a 1>0，公差d <0，所以k <2，从而k =1，代入(∗)得：d =−a 1，再利用等差数列的前n 项和公式即可求出结果．本题主要考查了等差数列的性质和等差数列的前n 项和公式，是中档题．16.【答案】(1,4948)【解析】解：由题意f(x)={x 2+(3−a)x,x ≥a−x 2+(3+a)x,x <a ，且关于x 的方程f(x)=3at 有三个不相等的实数根， (1)当−3≤a ≤3时，−3−a 2≤a ≤a+32，且−3−a 2≤0≤a+32，可得f(x)在(−∞,+∞)上是单调递增函数，所以方程f(x)=3at 没有三个不相等的实数根， (2)当3<a ≤4时，0<−3−a 2<a+32<a ，可得f(x)在(−∞,a+32)，(a,+∞)上是单调递增函数，在(a+32,a)单调减增函数，(如图) 当且仅当3a <2at <(a+3)24时，方程f(x)=3at 没有三个不相等的实数根， 可得1<t <(a+3)212a =112(a +1a +6)，令g(a)=a +1a ，a ∈(3,4]，可得g(a)在区间(3,4]上单调递增函数，则t <g(4)=254所以则实数t的取值范围是(1,4948).故答案为(1,4948).对a进行讨论，转化为分段函数，方程f(x)=tf(a)有三个不相等的实数根，转化为y= f(x)与y=3at有三个交点问题，即可求解实数t的取值范围．本题考查了函数的存在性问题，转化思想的应用，讨论方程的根的关系，属于中档题．17.【答案】解：(1)由题意，得AA1=√A1D2−AD2=√3，则该正四棱柱的表面积为S全=22⋅2+2⋅2√3⋅4=8+16√3，该正四棱柱的体积为V=22×2√3=8√3．(2)连接A1C1，DC1，则AC//A1C1，∴直线A1D，A1C1所成角就是异面直线A1D，AC所成角，在△A1DC1中，A1D=DC1=2√3，A1C1=2√2，由余弦定理得cos∠DA1C1=A1D2+A1C12−DC122×A1D×A1C1=42+(2√2)2−422×4×2√2=√24．∴异面直线A1D与AC所成的角的大小为arccos√24．【解析】(1)由题意求出AA1=√A1D2−AD2，由此能求出该正四棱柱的表面积和体积．(2)连接A1C1，DC1，则AC//A1C1，直线A1D，A1C1所成角就是异面直线A1D，AC所成角，由余弦定理能求出异面直线A1D与AC所成的角的大小．本题考查该正四棱柱的表面积和体积、异面直线A1D与AC所成的角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.【答案】解：(1)∵函数f(x)=cos(ωx)(ω>0)的最小正周期为π．∴T=2π|ω|=π，由ω>0，得ω=2，此时f(x)=cos2x，则g(x)=2sin(2x−π6)，当x∈[0,π2]时，2x−π6∈[−π6,5π6]，2sin(2x−π6)∈[−1m2]，∴函数g(x)=√3f(π4−x)−f(x),x∈[0,π2]的值域为[−1,2]．(2)由题意得cos2A=−12，∵A ∈(0,π2)，则得2A ∈(0,π)，∴2A =2π3，解得A =π3， ∵△ABC 的面积为3√3，则得12bcsinA =3√3， 即12bcsin π3=3√3，即bc =12，∵b −c =2，∴由余弦定理得a =√b 2+c 2−2bccosA =√b 2+c 2−bc =√(b −c)2+bc =√22+12=4．【解析】(1)由函数f(x)=cos(ωx)(ω>0)的最小正周期为π.求出ω=2，从而得到f(x)=cos2x ，g(x)=2sin(2x −π6)，由此能求出函数g(x)的值域．(2)由题意得cos2A =−12，推导出A ，由△ABC 的面积为3√3，推导出bc ，再由b −c =2，利用余弦定理能求出a ．本题考查实数值、函数的值域的求法，考查三角函数的性质、恒等式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：(1)由题意，当x =120(辆/千米)时，v =0(千米/小时)，代入v =60−k140−x ，得0=60−k140−120，解得k =1200． ∴v ={50,0<x ≤2060−1200140−x ,20<x ≤120， 当0<x ≤20时，v =50≥40，符合题意；当20<x ≤120时，令60−1200140−x ≥40，解得x ≤80， ∴20<x ≤80． 综上，0<x ≤80．故车流速度v 不小于40千米/小时，车流密度x 的取值范围为(0,80]； (2)由题意得，y ={50x,0<x ≤2060x −1200x 140−x ,20<x ≤120， 当0<x ≤20时，y =50x 单调递增，∴y ≤20×50=1000，等号当且仅当x =20时成立； 当20<x ≤120时，y =60x −1200x 140−x =60(x −20x 140−x )=60[x +20(140−x)−2800140−x]=60(20+x −2800140−x )=60[160−(140−x)−2800140−x] ≤60(160−2√(140−x)⋅2800140−x )=60(160−40√7)≈3250．当且仅当140−x =2800140−x ，即x =140−20√7≈87∈(20,120]时成立， 综上，y 的最大值约为3250，此时x 约为87．故隧道内车流量的最大值为3250辆/小时，车流量最大时的车流密度87辆/千米．【解析】本题考查函数模型的选择及应用，考查分式不等式的解法，训练了利用基本不等式求最值，考查运算求解能力，是中档题．(1)由x =120(辆/千米)时，v =0(千米/小时)求得k ，可得v 关于x 的关系式，再由v ≥40求解x 的范围得结论；(2)结合(1)写出隧道内的车流量y 关于x 的函数，再由函数的单调性及基本不等式求出分段函数的最值，则答案可求．20.【答案】解：(1)由题意得：2a =6，解得a =3，把点Q 的坐标代入椭圆C 的方程x 2a2+y 2b 2=1，得94a 2+3b 2=1，解得b =2， 所以所求椭圆的标准方程为：x 29+y 24=1．(2)解：因为OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， 则得OC ⃗⃗⃗⃗⃗=−12OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1)，即C(0,1)， 又因为A(−3,0)，所以直线AP 的方程为y =13(x +3)，由{y =13(x +3)x 29+y 24=1，解得{x =−3y =0(舍去)或{x =2715y =2415，即得P(2715,2415)， 所以|AP|=√(2715−(−3))2+(2415)2=24√1015，即线段AP 长为24√1015．(3)由题知直线PB 的斜率存在， 可设直线PB ：y =kx −2，(k >23) 令y =0得D(2k ,0)，由{y =kx −2x 29+y 24=1，得(4k 2+9)x 2−36kx =0，解得x =0或x =36k 4k 2+9，所以y =18k 2−84+9k 2，即P(36k 4k 2+9,18k 2−84+9k 2)，于是直线AP 的方程为y =18k 2−84k 2+936k1+4k 2+3(x +3)，即y =2(3k−2)3(3k+2)(x +3)， 令x =0，得y =2(3k−2)3k+2即C(0,2(3k−2)3k+2)，所以四边形ABCD 的面积等于12×|AD|×|BC|=12(2k +3)(2(3k−2)3k+2+2)=12⋅3k+2k⋅12k3k+2=6，即四边形ABCD 的面积为定值．【解析】(1)由题意得：2a =6，94a 2+3b 2=1，解得a ，b ，进而可得椭圆的标准方程． (2)根据题意可得OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1)，推出C(0,1)，写出直线AP 的方程，联立直线AP 方程与椭圆的方程解得交点P ，由两点之间的距离公式可得线段AP 长．(3)设直线PB ：y =kx −2，(k >23)，推出得D 坐标，联立直线PB 与椭圆的方程，消掉y 得关于x 的一元二次方程，解得P 坐标，进而写出直线AP 的方程，推出C 坐标，进而推出四边形ABCD 的面积为定值．本题考查椭圆方程，直线与椭圆的相交问题，定值问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)数列1，2，4，8不具有性质P ，∵0≤1<2<4<8，但是4+1=5，4−1=3，它们均不是数列1，2，4，8中的项， 故数列1，2，4，8不具有性质P ；(2)证明：∵a k +a k ∉M ，∴a k −a k ∈M ，即0∈M ，故a 1=0， 设2≤i ≤k ，∵a k +a i ∉M ，∴a k −a i ∈M ，则得0=a k −a k <a k −a k−1<a k −a k−2<⋯<a k −a 2<a k −a 1， ∵0≤a 1<a 2<a 3<⋯<a k−1<a k ，故a k −a k =a 1，a k −a k−1=a 2，a k −a k−2=a 3，…，a k −a 2=a k−1，a k −a 1=a k ， 累加得：ka k −(a k +a k−1+a k−2+⋯+a 2+a 1)=a 1+a 2+a 3+⋯+a k−1+a k ， 故ka k =2(a 1+a 2+a 3+⋯+a k−1+a k )，(3)数列0，1，4，5具有性质P ，但该数列不是等差数列， 下面证明当k >4，即k ≥5时，数列{a n }是等差数列，由(2)得a1=0，①设2≤i≤k，由(2)知0=a k−a k<a k−a k−1<a k−a k−2<⋯<a k−a2<a k−a1，∵0≤a1<a2<a3<⋯<a k−1<a k，故a k−a k=a1，a k−a k−1=a2，a k−a k−2=a3，…，a k−a2=a k−1，a k−a1=a k，故a k−a k−i=a i+1(1≤i≤k−1)(∗)，②设3≤i≤k−2，则a k−1+a i>a k−1+a2=a k，故a k−1+a i∉M，得a k−1−a i∈M，由0=a k−1−a k−1<a k−1−a k−2<⋯<a k−1−a3<a k−a3=a k−2，及0≤a1<a2<a3<⋯<a k−3<a k−2，可得a k−1−a k−1=a1，a k−1−a k−2=a2，a k−1−a k−3=a3，…，a k−1−a3=a k−3，故a k−1−a k−1=a i(1≤i≤k−3)，∵k≥5，由以上可知：a k−1−a k−1=a1，且a k−1−a k−2=a2，故a k−1−a1=a k−1且a k−1−a2=a k−2，故a k−1−a k−i=a i(1≤i≤k−1)(∗∗)，由(∗)知：a k−a k−i=a i+1(1≤i≤k−1)，两式相减得a k−a k−1=a i+1−a i(1≤i≤k−1)，故当k>4时，数列{a n}是等差数列．【解析】(1)根据数列{a n}具有性质P的性质判断即可；(2)根据项数为k(k∈N∗,k≥3)的数列{a n}具有性质P，设2≤i≤k，累加证明即可；(3)①设2≤i≤k，②设3≤i≤k−2，根据数列{a n}具有性质P，证明即可．本题考查了新定义问题，考查数列的性质以及等式的证明，考查转化思想，是一道综合题．。
2021年上海市嘉定区高考数学二模试卷
2021年上海市嘉定区高考数学二模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．（4分）已知集合{|12}A x x =-<<，{0B =，1，2，3}，则A B = ．2．（4分）已知复数z 满足1(1i i z =-为虚数单位），则||z = ． 3．（4分）已知等差数列{}n a 满足2438a a =-，则5a = ．4．（4分）若实数x 、y 满足202300x y x y y +-⎧⎪+-⎨⎪⎩，则2z x y =-的最大值为 ．5．（4分）已知函数()2log (1)(0a f x x a =++>，且1)a ≠．若()y f x =的反函数的图象经过点(1,2)，则a = ．6．（4分）《九章算术》中，称四个面均为直角三角形的四面体为“鳖臑”．已知某“鳖臑”的三视图如图所示，则该“鳖臑”的体积为 ．7．（5分）已知正数x 、y 满足41x y +=，则1y x+的最小值为 ． 8．（5分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足411n nS a =-，则lim n n S →∞= ．9．（5分）将7()x x的二项展开式的各项重新随机排列，则有理项互不相邻的概率为 ．10．（5分）已知点A 、B 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右顶点，点P 是该双曲线上异于A 、B 的另外一点，若ABP ∆是顶角为120︒的等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程是 ．11．（5分）已知函数2||,228()1(),22x a xx x f x x -⎧⎪⎪+=⎨⎪<⎪⎩，若对任意的1[2x ∈，)+∞，都存在唯一的2(,2)x ∈-∞，满足12()()f x f x =，则实数a 的取值范围是 ．12．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，起点为坐标原点的向量a ，b 满足||||1a b ==，且12a b ⋅=-，(,1)c m m =-，(d n =，1)(n m -，)n R ∈．若存在向量a 、b ，对于任意实数m ，n ，不等式||||a c b d T -+-成立，则实数T 的最大值为 ．二、选择题(本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．（5分）“函数()sin()(f x x x ω=、R ω∈，且0)ω≠的最小正周期为π”是“2ω=”的()A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件14．（5分）已知一组数据3、4、a 、6、8的平均数是5，则这组数据的方差是( ) A ．3.2B ．3.5C ．4D ．515．（5分）设直线y x =与椭圆2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩交于A 、B 两点，点P 在直线3y kx =+上．若||2PA PB +=，则实数k 的取值范围是( )A ．(2,2)-B．[-C ．(-∞，2)(2-⋃，)+∞D ．(-∞，[22-，)+∞16．（5分）已知函数131()2021(1)20212x x f x x x --=+--+，则不等式2(4)(23)4f x f x -+-的解集为( ) A ．[1-，4] B ．[4-，1] C ．(-∞，1][4-，)+∞ D ．(-∞，4][1-，)+∞三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（14分）在矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，矩形ABCD 绕AB 旋转形成一个圆柱．如图，矩形ABCD 绕AB 顺时针旋转2π至11ABC D ，线段1DD 的中点为M ． （1）求证：1AM CD ⊥；（2）求异面直线CM 与AD 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）．18．（14分）设常数a R ∈，函数1()33x x f x a =⋅+． （1）若函数()f x 是奇函数，求实数a 的值；（2）若函数()2y f x a =+在[0x ∈，1]时有零点，求实数a 的取值范围．19．（14分）某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地AOB 进行改造．如图所示，平行四边形OMPN 区域为停车场，其余部分建成绿地，点P 在围墙AB 弧上，点M 和点N 分别在道路OA 和道路OB 上，且90OA =米，3AOB π∠=，设POB θ∠=．（1）当6πθ=时，求停车场的面积（精确到0.1平方米）；（2）写出停车场面积S 关于θ的函数关系式，并求当θ为何值时，停车场面积S 取得最大值．20．（16分）已知抛物线2:2y px Γ=的焦点为(2,0)F ，点P 在抛物线Γ上． （1）求抛物线Γ的方程； （2）若||5PF =，求点P 的坐标；（3）过点(T t ，0)(0)t >作两条互相垂直的直线分别交抛物线Γ于A 、B 、C 、D 四点，且点M 、N 分别为线段AB 、CD 的中点，求TMN ∆的面积的最小值．21．（18分）已知数列{}n a 满足：11a =，1||n n n a a p +-=，*n N ∈，n S 为数列{}n a 的前n 项和．（1）若{}n a 是递增数列，且13a ，24a ，35a 成等差数列，求p 的值；（2）已知13p =，且21{}n a +是递增数列，2{}n a 是递减数列，求数列{}n a 的通项公式；（3）已知1p =，对于给定的正整数n ，试探究是否存在一个满足条件的数列{}n a ，使得n S n =．若存在，写出一个满足条件的数列{}n a ；若不存在，请说明理由．2021年上海市嘉定区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．（4分）已知集合{|12}A x x =-<<，{0B =，1，2，3}，则A B = {0，1} ．【解答】解：{|12}A x x =-<<，{0B =，1，2，3}，{0AB ∴=，1}．故答案为：{0，1}． 2．（4分）已知复数z 满足1(1i i z =-为虚数单位），则||z =【解答】解：由11i z =-，得1zi i -=， 即21(1)()1i i i z i i i ++-===--， ∴1z i =+，||z ∴=，3．（4分）已知等差数列{}n a 满足2438a a =-，则5a = 4 ． 【解答】解：因为2438a a =-， 所11398a d a d +=+-， 即144a d +=， 所以5144a a d =+=， 故答案为：4．4．（4分）若实数x 、y 满足202300x y x y y +-⎧⎪+-⎨⎪⎩，则2z x y =-的最大值为 6 ．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，(3,0)A ，由2z x y =-，得2y x z =-，由图可知，当直线2y x z =-过A 时， 直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值为6． 故答案为：6．5．（4分）已知函数()2log (1)(0a f x x a =++>，且1)a ≠．若()y f x =的反函数的图象经过点(1,2)，则a =13． 【解答】解：因为()y f x =的反函数的图象经过点(1,2)，由函数与反函数图象关于y x =对称，则函数()f x 的图象经过点(2,1)，则有2log (21)1a ++=，解得13a =．故答案为：13．6．（4分）《九章算术》中，称四个面均为直角三角形的四面体为“鳖臑”．已知某“鳖臑”的三视图如图所示，则该“鳖臑”的体积为 8 ．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，其中底面三角形BCD 为直角三角形，BC CD ⊥，4BC =，3CD =，AB ⊥底面BCD ，4AB =，则该“鳖臑”的体积为11434832V =⨯⨯⨯⨯=故答案为：8．7．（5分）已知正数x 、y 满足41x y +=，则1y x +的最小值为 9 ． 【解答】解：因为正数x 、y 满足41x y+=， 则11444()()5529y y x xy xy x x y xy xy+=++=+++⋅， 当且仅当4xy xy =且41x y +=，即13x =，6y =时取等号，此时1y x +的最小值9． 故答案为：9．8．（5分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足411n nS a =-，则lim n n S →∞= 4 ．【解答】解：411n nS a =-，可得4n n S a +=．可得124n n S S --=．所以12(4)4n n S S --=-． 所以{4}n S -是等比数列，公比为12， 所以114(24)()2n n S --=-⋅，1142()2n n S -=-⋅，则lim 4/n n S →∞=故答案为：4．9．（5分）将7(x +的二项展开式的各项重新随机排列，则有理项互不相邻的概率为114． 【解答】解：展开式的通项公式为3772177r r rrr r T C x C x--+==，0r =，1，2，3，4，5，6，7，若372r Z -∈，则r 是偶数，所以0r =，2，4，6，即展开式的第1，3，5，7项为有理项，共4项有理项， 又因为展开式中共有8项，所以展开式中的各项重新随机排列有88A 种情况，其中有理项互不相邻的情况有4445A A 种， 所以所求的概率为444588114A A A =，故答案为：114． 10．（5分）已知点A 、B 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右顶点，点P 是该双曲线上异于A 、B 的另外一点，若ABP ∆是顶角为120︒的等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程是 0x y ±= ．【解答】解：设P 在双曲线线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左支上，且2AB PB a ==，120PBA ∠=︒， 则P的坐标为(2)a ，代入双曲线方程可得，2222431a a a b -=，可得a b =，∴该双曲线的渐近线方程为0x y ±=．故答案为：0x y ±=．11．（5分）已知函数2||,228()1(),22x a xx x f x x -⎧⎪⎪+=⎨⎪<⎪⎩，若对任意的1[2x ∈，)+∞，都存在唯一的2(,2)x ∈-∞，满足12()()f x f x =，则实数a 的取值范围是 [1-，5) ． 【解答】解：当[2x ∈，)+∞时，2()28xf x x =+，即1()42()f x x x=+，4424x x x x +⋅=，当且仅当4x x=，即2x =时，等号成立， ∴函数()f x 在[2x ∈，)+∞时，值域为(0，1]8，当(,2)x ∈-∞时，①若2a 时，则||11()()()22x a a x f x --==，((,2))x ∈-∞，它是增函数，此时()y f x =的取值范围是(0，21())2a -，由题意可知211()28a ->，解得5a <， 又2a ，25a ∴<，②若2a <，则1(),2()1(),22a xx a x a f x a x --⎧<⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩，函数()y f x =在(-∞，]a 上是增函数，此时()y f x =的取值范围是(0，1]，而函数()y f x =在[a ，2)上是减函数，此时()y f x =的取值范围是21(()2a -，1]，由题意可得211()28a -，解得1a -，又2a <，12a ∴-<，综上所述，所求实数a 的取值范围是[1-，5)． 故答案为：[1-，5)．12．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，起点为坐标原点的向量a ，b 满足||||1a b ==，且12a b ⋅=-，(,1)c m m =-，(d n =，1)(n m -，)n R ∈．若存在向量a 、b ，对于任意实数m ，n ，不等式||||a c b d T -+-成立，则实数T 的最大值为1+【解答】解：因为||||1a b ==，且12a b ⋅=-，所以,a b 的夹角为120︒，设,,,a OA b OB c OC d OD ====，则点A ，B 在单位圆上，点C ，D 在直线10x y +-=上，如图所示，根据m ，n 的任意性，即求点A ，B 到直线10x y +-=距离之和的最小值，即AE BF +（点E ，F 分别是点A ，B 在直线10x y +-=上的射影点）， 同时根据,a b 的存在性，问题转化为求解AE BF +的最大值，设AB 的中点为M ，设点M ，O 在直线10x y +-=上射影点分别为N ，O '，则1222()2()1222AE BF MN MO OO '+=+=⨯+=+，当且仅当点M ，O ，O '依次在一条直线上时取等号， 所以12T +，故所求实数T 的最大值为12+． 故答案为：12+．二、选择题(本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．（5分）“函数()sin()(f x x x ω=、R ω∈，且0)ω≠的最小正周期为π”是“2ω=”的()A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【解答】解：根据题意，若函数()sin()(f x x x ω=、R ω∈，且0)ω≠的最小正周期为π，则2||ππω=，解可得2ω=±， 则“函数()sin()(f x x x ω=、R ω∈，且0)ω≠的最小正周期为π”不是“2ω=”的充分条件，反之，若2ω=，则函数()sin()f x x ω=的最小正周期为2||ππω=， 则“函数()sin()(f x x x ω=、R ω∈，且0)ω≠的最小正周期为π”是“2ω=”的必要条件， 综合可得：“函数()sin()(f x x x ω=、R ω∈，且0)ω≠的最小正周期为π”是“2ω=”的必要非充分条件， 故选：B ．14．（5分）已知一组数据3、4、a 、6、8的平均数是5，则这组数据的方差是( ) A ．3.2B ．3.5C ．4D ．5【解答】解：因为3、4、a 、6、8的平均数是5， 所以346825a ++++=，解得4a =， 故这组数据为3，4，4，6，8，所以这组数据的方差为2222221[(35)(45)(45)(65)(85)] 3.25s =⨯-+-+-+-+-=．故选：A ．15．（5分）设直线y x =与椭圆2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩交于A 、B 两点，点P 在直线3y kx =+上．若||2PA PB +=，则实数k 的取值范围是( )A ．(2,2)-B ．[-C ．(-∞，2)(2-⋃，)+∞D ．(-∞，[22-，)+∞【解答】解：根据题意，点P 在直线3y kx =+上，则设(,3)P x kx +， 直线y x =经过原点，即关于原点对称，直线y x =与椭圆2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩交于A 、B 两点，则AB 关于原点对称，即AB 的中点为(0,0)O ， 则2PA PB PO +=，则有||2PA PB +=，即||1PO =，则有22(3)1x kx ++=，变形可得22(1)680k x kx +++=， 必有△223632(1)0k k =-+，解可得22k -或22k ，即k 的取值范围为(-∞，[22-，)+∞，故选：D ．16．（5分）已知函数131()2021(1)20212x x f x x x --=+--+，则不等式2(4)(23)4f x f x -+-的解集为( ) A ．[1-，4] B ．[4-，1] C ．(-∞，1][4-，)+∞ D ．(-∞，4][1-，)+∞【解答】解：因为131()2021(1)20212x x f x x x --=+--+， 所以3(1)202120212(1)x x f x x x -+=+-++， 令3()(1)2202120212x x g x f x x x -=+-=+-+， 则易得()()g x g x -=-，即()g x 为奇函数且单调递增， 由题意得()(1)2f x g x =-+，由2(4)(23)4f x f x -+-可转化为2(5)(13)44g x g x -+-+， 即2(5)(13)g x g x --+， 因为()g x 单调递增， 所以2513x x --+， 解得14x -， 故选：A ．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（14分）在矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，矩形ABCD 绕AB 旋转形成一个圆柱．如图，矩形ABCD 绕AB 顺时针旋转2π至11ABC D ，线段1DD 的中点为M ． （1）求证：1AM CD ⊥；（2）求异面直线CM 与AD 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）．【解答】解：（1）证明：由题意知，1AM DD ⊥，CD 是圆柱的一条母线，CD ∴垂直于圆柱的底面，则CD AM ⊥，即AM CD ⊥， 又1DD CD D =，且1DD ，CD平面1CDD ，AM ∴⊥平面1CDD ，1CD ⊆平面1CDD ， 1AM CD ∴⊥；（2）连结BM ，如图示：由题意知，//BC AD ，∴异面直线CM 与AD 所成的角等于直线CM 与直线BC 所成的角，在BCM ∆中，1BC =， 2222221232()2()22DD CM CD DM CD =+=+=+， 2222221232()2()22DD BM BA AM BA =+=++=，由余弦定理，得2222221cos2BC CM BMBCMBC CM+-+-∠===⋅⋅BCM∴∠=故异面直线CM与AD所成的角的大小是arccos618．（14分）设常数a R∈，函数1()33xxf x a=⋅+．（1）若函数()f x是奇函数，求实数a的值；（2）若函数()2y f x a=+在[0x∈，1]时有零点，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）函数定义域R，由()f x为奇函数得(0)10f a=+=，所以1a=-，1()33xxf x=-+，1()3()3xxf x f x-=-=-，所以()f x为奇函数，（2）由1()23203xxy f x a a a=+=⋅++=在[0x∈，1]时有零点，设3xt=，由[0x∈，1]得[1t∈，3]，当0a=时显然不成立，故0a≠，方程等价于212t ta+=-在[1t∈，3]时有解，结合二次函数的性质可知22y t t=+的值域[3，15]，所以1315a-，解得11315a--．故a的范围11[,]315--．19．（14分）某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地AOB进行改造．如图所示，平行四边形OMPN区域为停车场，其余部分建成绿地，点P在围墙AB弧上，点M和点N分别在道路OA和道路OB上，且90OA=米，3AOBπ∠=，设POBθ∠=．（1）当6πθ=时，求停车场的面积（精确到0.1平方米）；（2）写出停车场面积S关于θ的函数关系式，并求当θ为何值时，停车场面积S取得最大值．【解答】解：（1）在OPN ∆中，23ONP π∠=，6PON OPN π∠=∠=， 由正弦定理得sin sin ON OPOPN ONP=∠∠， 3ON ∴=则停车场面积12sin 903032338.32OPN S S OP ON θ∆==⋅=⨯≈（平方米）， （2）在OPN ∆中，23ONP π∠=，3OPN πθ∠=-， 由正弦定理得sin sin ON OPOPN ONP=∠∠， 603sin()3ON πθ∴=-，则停车场的面积为2sin 54003sin sin()(0)33OPN S S OP ON ππθθθθ∆==⋅=-<<，127003[sin(2)]27003sin(2)13503626S ππθθ∴=+-=+-因为03πθ<<，所以52666πππθ<+<， ∴当262ππθ+=，即6πθ=时，停车场的面积最大．20．（16分）已知抛物线2:2y px Γ=的焦点为(2,0)F ，点P 在抛物线Γ上． （1）求抛物线Γ的方程； （2）若||5PF =，求点P 的坐标；（3）过点(T t ，0)(0)t >作两条互相垂直的直线分别交抛物线Γ于A 、B 、C 、D 四点，且点M 、N 分别为线段AB 、CD 的中点，求TMN ∆的面积的最小值．【解答】解：（1）抛物线2:2y px Γ=的焦点为(2,0)F ， 可得22p=，即4p =， 所以抛物线的方程为28y x =；（2）由抛物线28y x =的焦点(2,0)F ，准线方程为2x =-， 可得||25P PF x =+=，所以3P x =，26P y =±， 即有(3P ，26)，或(3,26)-；（3）由题意可得直线AB ，CD 的斜率存在，且不为0，可设AB 的斜率为k ，则直线CD 的斜率为1k -，直线AB 的方程为()y k x t =-，直线CD 的方程为1()y x t k =--，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由2()8y k x t y x=-⎧⎨=⎩可得222222(4)0k x k t x k t -++=， 可得12282x x t k +=+，所以121288()222y y k x x kt kt kt k k+=+-=+-=， 则24(M t k+，4)k ， 将M 中的k 换为1k -，可得2(4N t k +，4)k -，所以22222444||()()1TM t t k k k k=+-++ 2222||(4)(4)4||1TN k t t k k k +-+-+于是111||||8(||)82||162||||TMN S TM TN k k k k ∆=⋅=+⨯⋅=， 当且仅当1k =±时，上式取得等号． 所以TMN ∆的面积的最小值为16．21．（18分）已知数列{}n a 满足：11a =，1||n n n a a p +-=，*n N ∈，n S 为数列{}n a 的前n 项和．（1）若{}n a 是递增数列，且13a ，24a ，35a 成等差数列，求p 的值；（2）已知13p =，且21{}n a +是递增数列，2{}n a 是递减数列，求数列{}n a 的通项公式；（3）已知1p =，对于给定的正整数n ，试探究是否存在一个满足条件的数列{}n a ，使得n S n =．若存在，写出一个满足条件的数列{}n a ；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由于数列{}n a 是递增数列， 所以11||n n n n n a a a a p ++-=-=，由于11a =，所以21a p =+，231a p p =++， 由于13a ，24a ，35a 成等差数列， 所以213835a a a =+， 整理得2530p p -=，故0p =或53．当0p =时，1n n a a +=，与数列{}n a 是递增数列是单调增数列矛盾， 所以53p =． （2）由于数列21{}n a +是递增数列， 所以21210n n a a +-->，于是212221()()0n n n n a a a a +--+->，① 由于2211133n n -<， 所以212221||||n n n n a a a a +--<-②， 由①②得：2210n n a a -->，因此212211()3n n n a a ---=，即222121(1)3nn n n a a ----=③，由于数列2{}n a 是递减数列， 故2220n n a a +-<，则2221212()()0n n n n a a a a +++-+-<④，由于2121133n n +<，所以2221212||||n n n n a a a a +++-<-⑤， 由④⑤得：2120n n a a +-<，因此22121()3nn n a a +-=-，即212122(1)3n n n n a a ++--=，⑥，由③⑥得：11(1)3n n n n a a ++--=，故2n 时，11213211111()1(1)151(1)3()()()11133344313n nn n n n n n a a a a a a a a --------=+-+-+⋯+-=++⋯+=+⨯=+⨯+，即151(1)443nn n a --=+⨯，当1n =时，代入上式得到11a =，与已知条件吻合，所以151(1)()443nn n a n N --=+⨯∈．（3）当4n k =或43n k =-时，存在数列{}n a ，使得n S n =， 此时数列{}n a ，满足43411k k a a --==，420k a -=，42k a =， 则有44(1012)44k k S k =⋅+++=，43144(1012)434k k S a k --=+⋅+++=-， 即n S n =，当42n k =-或41n k =-时，不存在数列{}n a ，使得n S n =， 理由如下：由于1||1n n a a +-=， 所以11n n a a +=±，又因为11a =为奇数，则当n N +∈时，21n a -为奇数，2n a 为偶数， 所以当k N +∈时，42k S -为奇数，41k S -为偶数， 因此4242k S k -=-，4141k S k -=-均不可能成立，于是当42n k =-或41n k =-时，()n N +∈时，不存在数列{}n a ，使得n S n =．。
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上海市嘉定区2021届新高考数学模拟试题（2）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数22log ,0()22,0x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩，方程()0f x a -=有四个不同的根，记最大的根的所有取值为集合D ，则“函数()()()F x f x kx x D =-∈有两个零点”是“12k >”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】作出函数()f x 的图象，得到(D 24]=，，把函数()()()F x f x kx x D =-∈有零点转化为y kx =与()y f x =在（2，4]上有交点，利用导数求出切线斜率，即可求得k 的取值范围，再根据充分、必要条件的定义即可判断． 【详解】作出函数()22log x ,0f x x 22,0x x x ⎧>=⎨++≤⎩的图象如图，由图可知，]D (2,4=，函数()()()F x f x kx x D =-∈有2个零点，即()f x kx =有两个不同的根，也就是y kx =与()y f x =在2,4]（上有2个交点，则k 的最小值为12； 设过原点的直线与2y log x =的切点为()020x ,log x ，斜率为01x ln2， 则切线方程为()2001y log x x x x ln2-=-， 把()0,0代入，可得201log x ln2-=-，即0x e =，∴切线斜率为1eln2， ∴k 的取值范围是11,2eln2⎛⎫⎪⎝⎭， ∴函数()()()F x f x kx x D =-∈有两个零点”是“1k 2>”的充分不必要条件， 故选A ．【点睛】本题主要考查了函数零点的判定，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，训练了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，试题有一定的综合性，属于中档题． 2．已知向量(1,0)a =，(1,3)b =，则与2a b -共线的单位向量为( )A ．13,2⎛ ⎝⎭B ．132⎛- ⎝⎭C ．321⎫-⎪⎪⎝⎭或321⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．13,2⎛ ⎝⎭或132⎛- ⎝⎭ 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得，()2=1-3a b -，设与2a b -共线的单位向量为(),x y ，利用向量共线和单位向量模为1，列式求出,x y 即可得出答案. 【详解】因为(1,0)a =，(1,3)b =，则()22,0a =，所以()2=1-3a b -，， 设与2a b -共线的单位向量为(),x y ，则22301x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩， 解得123x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 或123x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以与2a b -共线的单位向量为13,2⎛ ⎝⎭或132⎛- ⎝⎭.本题考查向量的坐标运算以及共线定理和单位向量的定义. 3．5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为( ) A ．－30 B ．－40 C ．40 D ．50【答案】C 【解析】 【分析】先写出()52x y -的通项公式，再根据33x y 的产生过程，即可求得.【详解】对二项式()52x y -，其通项公式为()()()555155221rrrrr rr r r T C x y C x y ---+=-=-5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数是()52x y -展开式中23x y 的系数与32x y 的系数之和.令3r =，可得23x y 的系数为()33252140C -=-；令2r =，可得32x y 的系数为()22352180C -=；故5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为804040-=.故选：C. 【点睛】本题考查二项展开式中某一项系数的求解，关键是对通项公式的熟练使用，属基础题.4．某设备使用年限x （年）与所支出的维修费用y （万元）的统计数据(),x y 分别为()2,1.5，()3,4.5，()4,5.5，()5,6.5，由最小二乘法得到回归直线方程为ˆˆ1.6yx a +＝，若计划维修费用超过15万元将该设备报废，则该设备的使用年限为（ ） A ．8年 B ．9年C ．10年D ．11年【答案】D 【解析】 【分析】根据样本中心点(,)x y 在回归直线上，求出a ，求解15y >，即可求出答案.【详解】 依题意 3.5, 4.5,(3.5,4.5)x y==在回归直线上，由1ˆ 1.6 1.115,1016yx x ->>＝， 估计第11年维修费用超过15万元. 故选:D. 【点睛】本题考查回归直线过样本中心点、以及回归方程的应用，属于基础题.5．在ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，且||1,||2AB AC ==，120BAC ∠=︒，则||EB =（ ）A ．4B ．C ．2D ．4【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算可得3144EB AB AC =-,利用22||B EB E =及||1,||2AB AC ==，120BAC ∠=︒计算即可. 【详解】因为11131()22244EB EA AB AD AB AB AC AB AB AC =+=-+=-⨯++=-, 所以22229311216441||6EB AB AB B AC AC E =-⨯=⨯⋅+ 229311112()2168216=⨯-⨯⨯⨯-+⨯ 1916=， 所以19||4EB =， 故选：A 【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，向量数量积的运算，向量数量积的性质，属于中档题. 6．已知向量a 与a b +的夹角为60︒，1a =，3b =，则a b ⋅=( )A ．B ．0C ．0或32-D ．32-【答案】B 【解析】由数量积的定义表示出向量a 与a b +的夹角为60︒，再由22a a =，22b b =代入表达式中即可求出a b ⋅. 【详解】由向量a 与a b +的夹角为60︒，得()2cos 60a a b a a b a a b ⋅+=+⋅=+︒，所以()222211222a a b a a ba a ab b +⋅=+=+⋅+， 又1a =，3b =，22a a =，22b b =， 所以1111232a b a b +⋅=⨯⨯+⋅+，解得0a b ⋅=. 故选：B 【点睛】本题主要考查向量数量积的运算和向量的模长平方等于向量的平方，考查学生的计算能力，属于基础题. 7．已知向量11,,2a b m ⎛⎫==⎪⎝⎭，若()()a b a b +⊥-，则实数m 的值为（ ）A ．12B ．2C ．12±D ．2±【答案】D 【解析】 【分析】由两向量垂直可得()()0a b a b +⋅-=，整理后可知220a b -=，将已知条件代入后即可求出实数m 的值. 【详解】 解：()()a b a b +⊥-，()()0a b a b ∴+⋅-=，即220a b -=，将1a =和22212b m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭代入，得出234m =，所以2m =±. 故选:D. 【点睛】本题考查了向量的数量积，考查了向量的坐标运算.对于向量问题，若已知垂直，通常可得到两个向量的数量积为0，继而结合条件进行化简、整理. 8．将函数()sin(3)6f x x π=+的图像向右平移(0)m m >个单位长度，再将图像上各点的横坐标伸长到原来A ．9π B ．29π C ．18π D ．24π【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的变换规则表示出()g x ，根据()g x 是奇函数，可得m 的取值，再求其最小值. 【详解】解：由题意知，将函数()sin(3)6f x x π=+的图像向右平移(0)m m >个单位长度，得()sin 36y x m π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，再将sin 336y x m π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图像，1()sin(3)26g x x m π∴=-+，因为()g x 是奇函数， 所以3,6m k k Z ππ-+=∈，解得,183k m k Z ππ=-∈， 因为0m >，所以m 的最小值为18π. 故选：C 【点睛】本题考查三角函数的变换以及三角函数的性质，属于基础题.9．随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，下图是某城市1月至8月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是质量合格天气，下面叙述不正确的是（ ）A ．1月至8月空气合格天数超过20天的月份有5个B ．第二季度与第一季度相比，空气达标天数的比重下降了C ．8月是空气质量最好的一个月D ．6月份的空气质量最差.【解析】由图表可知5月空气质量合格天气只有13天，5月份的空气质量最差．故本题答案选D ． 10．计算2543log sin cosππ⎛⎫⎪⎝⎭等于( ) A ．32-B ．32 C ．23-D ．23【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式、特殊角的三角函数值，结合对数运算，求得所求表达式的值. 【详解】原式2221log cos 2log cos log 232322πππ⎤⎤⎤⎛⎫⎛⎫=-==⎥⎥⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦3223log 22-==-. 故选：A 【点睛】本小题主要考查诱导公式，考查对数运算，属于基础题. 11．设复数z 满足12z zz +=+，z 在复平面内对应的点的坐标为(),x y 则（ ） A ．221x y =+ B ．221y x =+ C ．221x y =- D ．221y x =-【答案】B 【解析】 【分析】根据共轭复数定义及复数模的求法，代入化简即可求解. 【详解】z 在复平面内对应的点的坐标为(),x y ，则z x yi =+，z x yi =-，∵12z zz +=+，1x =+， 解得221y x =+. 故选：B.本题考查复数对应点坐标的几何意义，复数模的求法及共轭复数的概念，属于基础题.12．已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为V ，点M ，N 分别在棱1BB ，1CC 上，满足1AM MN ND ++最小，则四面体1AMND 的体积为( ) A ．112V B ．18VC ．16VD ．19V【答案】D 【解析】 【分析】由题意画出图形，将1,MN ND 所在的面延它们的交线展开到与AM 所在的面共面，可得当11111,33BM BB C C N C ==时1AM MN ND ++最小，设正方体1AC 的棱长为3a ，得327V a =，进一步求出四面体1AMND 的体积即可． 【详解】 解：如图，∵点M ，N 分别在棱11,BB CC 上，要1AM MN ND ++最小，将1,MN ND 所在的面延它们的交线展开到与AM 所在的面共面，1,,AM MN ND 三线共线时，1AM MN ND ++最小，∴11111,33BM BB C C N C == 设正方体AC 的棱长为，则3，∴327V a =． 取13BG BC =，连接NG ，则1AGND 共面，在1AND ∆中，设N 到1AD 的距离为1h ，11122211111112,,,cos sin 11sin =222D NA AD D N AN D NA D NA S D N AN D NA AD ah h ∆======∴∠==∴∠=∴=⋅⋅⋅∠=⋅⋅∴，设M 到平面1AGND 的距离为2h ，22111111[(2)322]323222M AGN A MGNV V h a a a a a a h a --∴=∴⋅⋅⋅+⋅-⋅⋅-⋅⋅∴=⋅⋅=131339AMND V V a ∴===. 故选D ． 【点睛】本题考查多面体体积的求法，考查了多面体表面上的最短距离问题，考查计算能力，是中档题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。