上海市嘉定区2021届新高考数学模拟试题(2)含解析

上海市嘉定区2021届新高考数学模拟试题（2）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数22

log ,0()22,0

x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩，方程()0f x a -=有四个不同的根，记最大的根的所有取值为集合D ，则“函数()()()F x f x kx x D =-∈有两个零点”是“1

2

k >”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件

【答案】A 【解析】 【分析】

作出函数()f x 的图象，得到(D 24]=，

，把函数()()()F x f x kx x D =-∈有零点转化为y kx =与()y f x =在（2，4]上有交点，利用导数求出切线斜率，即可求得k 的取值范围，再根据充分、必要条件

的定义即可判断． 【详解】

作出函数()22log x ,0

f x x 22,0x x x ⎧>=⎨++≤⎩

的图象如图，

由图可知，]

D (2,4=，

函数()()()F x f x kx x D =-∈有2个零点，即()f x kx =有两个不同的根，

也就是y kx =与()y f x =在

2,4]（上有2个交点，则k 的最小值为1

2

； 设过原点的直线与2y log x =的切点为()020x ,log x ，斜率为

01

x ln2

， 则切线方程为()2001

y log x x x x ln2

-=

-， 把()0,0代入，可得201log x ln2-=-，即0x e =，∴切线斜率为1eln2

， ∴k 的取值范围是11,2eln2⎛⎫

⎪⎝⎭

， ∴函数()()()F x f x kx x D =-∈有两个零点”是“1

k 2

>”的充分不必要条件， 故选A ．

【点睛】

本题主要考查了函数零点的判定，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，训练了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，试题有一定的综合性，属于中档题． 2．已知向量(1,0)a =，(1,3)b =，则与2a b -共线的单位向量为( )

A ．13,2⎛ ⎝⎭

B ．132⎛- ⎝⎭

C ．321⎫-⎪⎪⎝⎭或321⎛⎫

⎪ ⎪⎝⎭

D ．13,2⎛ ⎝⎭或132⎛- ⎝

⎭ 【答案】D 【解析】 【分析】

根据题意得，()

2=1

-3a b -，设与2a b -共线的单位向量为(),x y ，利用向量共线和单位向量模为1，列式求出,x y 即可得出答案. 【详解】

因为(1,0)a =，(1,3)b =，则()22,0a =，

所以()

2=1

-3a b -，， 设与2a b -共线的单位向量为(),x y ，

则22

30

1x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩

， 解得123x y ⎧=⎪⎪⎨

⎪=⎪⎩ 或123x y ⎧=-⎪⎪

⎨⎪=⎪⎩

所以与2a b -共线的单位向量为13,2⎛ ⎝⎭或132⎛- ⎝

⎭.

本题考查向量的坐标运算以及共线定理和单位向量的定义. 3．5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为( ) A ．－30 B ．－40 C ．40 D ．50

【答案】C 【解析】 【分析】

先写出()5

2x y -的通项公式，再根据3

3

x y 的产生过程，即可求得.

【详解】

对二项式()5

2x y -，

其通项公式为()

()

()555155221r

r

r

r

r r

r r r T C x y C x y ---+=-=-

5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数

是()5

2x y -展开式中23x y 的系数与32

x y 的系数之和.

令3r =，可得2

3

x y 的系数为()3

32

52140C -=-；

令2r =，可得3

2

x y 的系数为()2

2352180C -=；

故5

()(2)x y x y +-的展开式中33

x y 的系数为804040-=.

故选：C. 【点睛】

本题考查二项展开式中某一项系数的求解，关键是对通项公式的熟练使用，属基础题.

4．某设备使用年限x （年）与所支出的维修费用y （万元）的统计数据(),x y 分别为()2,1.5，

()3,4.5，()4,5.5，()5,6.5，由最小二乘法得到回归直线方程为ˆˆ1.6y

x a +＝，若计划维修费用超过15万元将该设备报废，则该设备的使用年限为（ ） A ．8年 B ．9年

C ．10年

D ．11年

【答案】D 【解析】 【分析】

根据样本中心点(,)x y 在回归直线上，求出a ，求解15y >，即可求出答案.

【详解】 依题意 3.5, 4.5,(3.5,4.5)x y

==在回归直线上，

由1

ˆ 1.6 1.115,1016

y

x x ->>＝， 估计第11年维修费用超过15万元. 故选:D. 【点睛】

本题考查回归直线过样本中心点、以及回归方程的应用，属于基础题.

5．在ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，且||1,||2AB AC ==，120BAC ∠=︒，则

||EB =（ ）

A ．

4

B ．

C ．

2

D ．

4

【答案】A 【解析】 【分析】

根据向量的线性运算可得3144

EB AB AC =-,利用22

||B EB E =及||1,||2AB AC ==，120BAC ∠=︒计算即可. 【详解】

因为11131

()22244

EB EA AB AD AB AB AC AB AB AC =+=-

+=-⨯++=-, 所以22

229311216441||6

EB AB AB B AC AC E =-⨯=⨯⋅+ 229311

112()2168216

=⨯-⨯⨯⨯-+⨯ 1916

=

， 所以19||4

EB =， 故选：A 【点睛】

本题主要考查了向量的线性运算，向量数量积的运算，向量数量积的性质，属于中档题. 6．已知向量a 与a b +的夹角为60︒，1a =，3b =，则a b ⋅=( )

A ．

B ．0

C ．0或32

-

D ．32

-

【答案】B 【解析】