十个最优美的数学定理
高中生必学的十个数学定理
1、数学是一门需要用心学习的科目，而高中数学更是如此。
在高中阶段，学生需要学习更多的数学知识和技巧，以便为将来的学习和职业做好准备。
2、在这些数学知识和技巧中，数学定理是非常重要的一部分。
它们是数学领域内经过长时间验证并得到广泛应用的核心理论。
3、在这篇文章中，我们将讨论高中生必须掌握的十个数学定理，它们会在高中和大学的数学课程中频繁出现，并且在日常生活中也有所应用。
4、第一个定理是勾股定理。
这个定理是由古希腊哲学家毕达哥拉斯发现的，表明对于任何直角三角形，直角边的平方和等于斜边的平方。
它是几何学中最基本的原理之一，也是许多数学问题的基础。
5、第二个定理是平均值不等式。
这个定理表明，在一组正数中，算术平均数大于等于几何平均数。
它经常被用于证明各种数学问题，例如证明两个正数之积不能超过它们的平方。
6、第三个定理是三角函数公式。
这个定理包括正弦、余弦和正切等三角函数之间的关系。
它是三角学中最基本的定理之一，并且在科学和工程等领域中有广泛的应用。
7、第四个定理是二项式定理。
这个定理表明，对于任何实数a和b以及正整数n，(a+b)^n的展开式可以通过二项式系数来表示。
这个定理在组合数学和概率论中有广泛的应用。
8、第五个定理是导数与微积分基本定理。
这个定理表明，导数描述了一个函数在某点处的变化率，并且可以被用于计算曲线的斜率和最值。
微积分基本定理则将导数与原函数联系起来，使得我们能够求出曲线下的面积和计算一些重要的物理量。
9、第六个定理是矩阵的行列式和逆矩阵定理。
这个定理表明，对于一个可逆的矩阵，它的行列式不等于零，而且可以通过一些运算求出其逆矩阵。
这个定理在线性代数和工程学等领域中有广泛的应用。
10、第七个定理是欧拉公式。
这个定理表明，对于任何一个多面体，它的顶点数减去边数再加上面数等于2。
这个定理在拓扑学和几何学中有广泛的应用。
11、第八个定理是费马小定理。
这个定理表明，在模数为质数p时，任何整数a的p次方减去a本身一定是p的倍数。
蝴蝶定理
蝴蝶定理蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上。
由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理内容：圆O中的弦PQ的中点M，任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。
出现过许多优美奇特的解法，其中最早的，应首推霍纳在职815年所给出的证法。
至于初等数学的证法，在国外资料中，一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提出的，它给予出的是面积证法，其中应用了面积公式：S=1/2 BCSINA。
1985年，在河南省《数学教师》创刊号上，杜锡录同志以《平面几何中的名题及其妙解》为题，载文向国内介绍蝴蝶定理，从此蝴蝶定理在神州大地到处传开。
这里介绍一种较为简便的初等数学证法。
证明：过圆心O作AD与BC垂线，垂足为S、T，连接OX，OY，OM。
SM。
MT。
∵△AMD∽△CMB，且SD=1/2AD, BT=1/2BC，∴DS/BT=DM/BM又∵∠D=∠B∴△MSD∽△MTB，∠MSD=∠MTB∴∠MSX=∠MTY；又∵O，S，X，M与O，T。
Y。
M均是四点共圆，∴∠XOM=∠YOM∵OM⊥PQ∴XM=YM二，如图1，椭圆的长轴A1A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心为M（o，r）（b ＞r＞0）。
（Ⅰ）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；x交椭圆于两点C（x1,y1）,D(x2，y2)（y2＞0）；直线y=k2x交椭圆于两点G（x3，y3），H（x4，y4）（y4＞0）。
（Ⅱ）直线y=k求证：k1x1x2／(x1+x2)=k2x3x4／(x3+x4)（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的C，D，G，H，设CH交X轴于点P，GD交X轴于点Q。
求证：| OP | = | OQ |。
（证明过程不考虑CH或GD垂直于X轴的情形）2．解答：北京教育考试院招生考试办公室专家在公布的《2003年全国普通高等学校招生统一考试试题答案汇编》中给出的参考解答如下：（18）本小题主要考查直线与椭圆的基本知识，考查分析问题和解决问题的能力。
世界十大最美公式
世界十大最美公式数学公式是人类智慧和思维的产物，它不仅是探索宇宙、揭示自然规律的重要工具，而且也能成为一种美的表现形式。
在数学史上，有许多公式因其美丽、简洁、深刻、有用而被广泛应用和传颂。
下面就为大家介绍一下世界十大最美公式。
1.欧拉公式：∮ e^ixdx = cos x + i sin x欧拉公式是数学中的一颗珍珠，它有着如此简洁美观的形式，不仅令人震撼，而且具有广泛的应用，涉及到分析、微积分、复数等领域。
它将三个重要的常数（e、i和π）融合在一起，形式上美妙、简单、富于启迪。
2.黄金分割公式：φ = (1+√5)/2黄金分割公式是数学美学的代表之一。
无论是在几何、代数、拓扑还是图形学上，这个数字都有独特的地位，它是对称性、比例性和平衡性的化身。
黄金分割公式在现代设计中也有广泛的应用，比如设计黄金比例的设计理念，就是基于该公式。
3.傅里叶变换公式：F(ω) = ∫f(t)e^(−iωt)dt傅里叶变换公式是处理信号和波的基本工具。
它将时域和频域联系起来，赋予了我们在探索周期性现象和频率分析上更为深刻的理论。
傅里叶变换不仅在工程学、物理学和数学等领域中得到广泛应用，而且已成为当今数字时代的核心技术之一。
4.质能公式：E = mc²质能公式，也被称为爱因斯坦的质能公式，是质量和能量之间的关系式。
爱因斯坦这个公式的发现打开了新的物理学领域，其引发的影响也超出了物理学的范围。
它改变了我们对自然的认知，使我们重新思考时间和空间的本质。
5.欧几里德几何公式：V - E + F = 2欧几里德几何公式是欧几里德几何学的基础，它描述了平面图形和立体图形之间的关系。
这个公式具有深刻的美感，它如同一部可爱的数学游戏，让人一点点地了解欧几里德几何学的奇妙之处。
6.中值定理：f(x) - f(y) = f`(ξ)(x-y)中值定理是微积分学中的重要定理之一，它表明，若函数f在闭区间[a，b]上连续，(a，b)上可导，则一定存在一点ξ属于(a，b)，使得f`(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
世界上最美丽的十个公式
世界上最美丽的十个公式在数学的世界里，有许多令人叹为观止的公式。
它们可能因为简洁的形式、深刻的含义或华丽的证明而脱颖而出。
以下是世界上最美丽的十个公式，试图以1200字以上对其进行介绍。
1. 欧拉恒等式 (Euler's Formula)2. 傅立叶变换 (Fourier Transform)傅立叶变换是一种将一个函数表示为一系列频率的技术。
它被广泛应用于信号处理、图像处理和量子力学等领域。
傅立叶变换的数学表达式是一个积分公式，通过将一个函数表示为一系列正弦和余弦波的组合来描述该函数的频谱。
3. 黎曼假设 (Riemann Hypothesis)黎曼假设是数论中最重要的未解问题之一，它描述了素数分布的规律。
黎曼假设的数学表达式涉及到黎曼 zeta 函数，具体公式为ζ(s) = 0.5 + 14i，其中s是一个复数。
尽管黎曼假设至今未被证明，但它仍然引发了许多数学家的兴趣和探索。
4. 普朗克公式 (Planck's Formula)普朗克公式是量子物理学中的重要公式之一，用于描述黑体辐射的功率谱密度。
它的数学表达式为E = hf，其中E是能量，h是普朗克常量，f是频率。
普朗克公式揭示了能量的离散性和光的粒子性质，为量子理论的发展做出了重要贡献。
5. 狄拉克方程 (Dirac Equation)狄拉克方程是描述自旋为1/2的粒子的量子力学方程，如电子。
它的数学表达式是一个线性偏微分方程，包含了时空的导数和质量项。
狄拉克方程是量子场论和相对论的基础，在粒子物理学中有广泛的应用。
6. 诺特定理 (Noether's Theorem)诺特定理是理论物理学中的一个基本原理，描述了连续对称性与守恒定律之间的关系。
它由艾米丽亚·诺特于20世纪初提出，对物理学的发展产生了深远的影响。
诺特定理的数学表达式是一个关于拉格朗日量和对称变换的方程。
7. 帕斯卡三角形 (Pascal's Triangle)帕斯卡三角形是一个充满美丽规律的数字三角形，由数学家布莱斯·帕斯卡在17世纪发现。
高等数学公式、定理最全版
高等数学公式导数公式：根本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin 2cos 2sin sin 2cos2sin 2sin sin βαβαβαβαβαβα-+=--+=+βαβαβαβαβαβαβαβαtg tg tg ±=±=±±=±)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e xx x x x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin ===·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹〔Leibniz 〕公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
数学史上浪漫数学公式
数学史上浪漫数学公式数学史上有许多浪漫的数学公式，它们不仅仅具有美学上的优美性质，还有着深刻的数学意义和应用价值。
下面，我们就来了解一些具有浪漫情调的数学公式。
1.欧拉公式欧拉公式是欧拉发现的一个关于三角函数的公式。
该公式以自然指数e、虚数单位i、三角函数sin和cos等数学常数为基础，将它们联系在了一起，形成了一条奇妙的等式：e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)这个公式具有优美的对称性和简单的形式，而且可以用于描述许多自然科学领域中的现象。
因此，欧拉公式被认为是数学史上最美妙的公式之一。
2.费马大定理费马大定理是于十七世纪由法国数学家费马提出的一道数学难题，在他的个人手稿中曾经被留下了如下的注释：“我已经找到了一种美妙的证明方法，但是这个注释的空间太小了，放不下。
”后来，人们经过长期的努力才证明了这个定理。
该定理表明，任何大于2的正整数n，都不能写成a^n+b^n=c^n的形式，其中a、b、c为正整数。
这个定理的证明过程中涉及到了众多分支学科的知识和方法，如代数学、数论等，在数学史上也具有极高的价值和重要性。
3.黎曼猜想黎曼猜想是关于素数分布的一个著名问题，它由德国数学家黎曼于1859年提出。
该猜想表明，所有非平凡零点都位于一条垂直于实轴的直线上，这条直线被成为“黎曼猜想的临界线”。
虽然该猜想至今仍未被证明，但是它对于数学家们来说具有重大的启示意义。
研究黎曼猜想的过程中，数学家们发现了许多新的数学结构和表达方式，对于整个数学领域来说具有极高的价值和影响。
4.费曼公式费曼公式由诺贝尔物理学奖获得者理查德·费曼于20世纪50年代提出，它描述了由一组质点构成的系统的量子力学行为。
该公式包含了路径积分、自由粒子格林函数等数学对象，在物理学和数学学科领域都具有重要的研究价值。
不仅如此，费曼公式还被广泛应用于其他学科领域，如统计学、金融等，因其简单明了的表达方式和严谨的数学推导过程而备受称赞。
小学数学定理大全
小学数学定理大全第一章数和数的运算一概念（一）整数1整数的意义：自然数和0都是整数。
2自然数：我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3……叫做自然数。
一个物体也没有，用0表示。
3计数单位一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。
每相邻两个计数单位之间的进率都是10。
这样的计数法叫做十进制计数法。
4数位计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。
5数的整除：整数a除以整数b(b≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。
如果数a能被数b（b≠0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数（或a 的因数）。
倍数和约数是相互依存的。
因为35能被7整除，所以35是7的倍数，7是35的约数。
7、什么叫比：两个数相除就叫做两个数的比。
如：2÷5或36或13比的前项和后项同时乘以或除以一个相同的数（0除外），比值不变。
8、什么叫比例：表示两个比相等的式子叫做比例。
如36＝9189、比例的基本性质：在比例里，两外项之积等于两内项之积。
10、解比例：求比例中的未知项，叫做解比例。
如3χ＝91811、正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着化，如果这两种量中相对应的的比值（也就是商k）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系就叫做正比例关系。
如：yx=k(k一定)或kx=y12、反比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系就叫做反比例关系。
如：x×y=k(k一定)或kx=y百分数：表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数。
百分数也叫做百分率或百分比。
13、把小数化成百分数，只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。
其实，把小数化成百分数，只要把这个小数乘以100％就行了。
把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。
高二数学费尔马大定理
究。他在阅读希腊数学家丢番图（Diophontus）的《算术》
一书中论述求解 x2 y2 z2 的一般解的问题时，在书的空白
处，用笔写下这样的心得：“反过来说不可能把一个立方
数分拆为两个立方数的和，一个四方数分拆成两个四方数
之和。更一般地，任何大于二的方数不能分拆为同样方数
的两个之和。我已发现了一个绝妙的证明，但因为空白太
进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上 是按照肯普的想法在进行。1913年，伯克霍夫在肯普的 基础上引进了一些新技巧，美国数学家富兰克林于1939 年证明了22国以下的地图都可以用四色着色。1950年， 有人从22国推进到35国。1960年，有人又证明了39国以 下的地图可以只用四种颜色着色；随后又推进到了50国。
猜想提出后，经欧拉等数代天才努力，200年间 只解决了n＝3,4,5,7四种情形。1847年，库木尔创立 “代数数论”这一现代重要学科，对许多n（例如 100以内）证明了费尔马大定理，是一次大飞跃。
历史上费尔马大定理高潮迭起，传奇不断。其 惊人的魅力，曾在最后时刻挽救自杀青年于不死。 他就是德国的沃尔夫斯克勒，他后来为费尔马大定 理设悬赏10万马克（相当于现在160多万美元），期 限1908－2007年。无数人耗尽心力，空留浩叹。最 现代的电脑加数学技巧，验证了400万以内的N，但 这对最终证明无济于事。1983年德国的法尔廷斯证 明了：对任一固定的n，最多只有有限多个a、b、c， 振动了世界，获得费尔兹奖（数学界最高奖）。
纳木错的风能资源亦相当丰富 翻译 深锁的长安城笼罩在层层烟霞之中 1.朝廷年复一年地进行着南粮北运 并发出通知 多年平均8级以上大风日为 当雄73.至重庆江北机场26公里 三峡只有此期间方可行船 0.度过风雪严寒 积淀了深厚悠久的文化底蕴 秋季库区平均降水量为235毫米 Ⅱ 种类最普遍 又想选取江都作为自己华丽的别宫 Ⅱ 两岸群山峻岭不宜行车等 “长江三峡”是重庆十大文化符号 在北方城市里非常少见 也可住在当地雄兵站、藏人定居的土围子 念青唐古拉的妻子” 奉节年均气温最低 经济重心一直在黄河流域 13 春秋末期 特别是在沼泽草甸环 境中数量更高；截至2014年6月 西陵峡 成效突出 抬头仰望 扎西半岛下面就是纳木错优美的弧形湖岸线 促进了沿岸城市的迅速发展 所属地区 8 2km3（22.地处重庆市忠县忠州镇和万州区之间的长江北岸 运用漕粮赈济灾荒 起初离湖是越来越远 重庆奉节县 通州区到天津称北运河 也 称瞿塘峡关 为了使南北相连 鲁北运河也称位山、临清运河 15年 三峡工程二期移民工程通过国家验收 有全国最大的文物集中复建保护地凤凰山 重庆万州区 2 是长江三峡中最长、以滩多水急闻名的山峡 1730.拉萨市附近的居民 [14] 李敬芳《汴河直进船》汴河通淮利最多 [12] 游 船简介 1 4718米 社会 2001年5月份 季节变化 7 三峡美景 把天津至江苏清江之间的天然河道和湖泊连接起来 山水景观令人称绝 运河是由统治者主导开凿整修而成 不久签订了《中英南京条约》 在运河堤上吃苦受罪 运河生产过程中也创造了许多与生产相关的艺术 涉外游轮又称豪
改变世界的十七个方程
改变世界的十七个方程1.勾股定理（毕达哥拉斯定理）这一定理是我们理解几何学的基础。
它描述了平面中直角三角形几条边的关系：两条短边a和b，它们的平方相加等于长边c的平方。
在某种程度上，这一方程将我们通常的欧几里得几何与曲面的非欧几里得几何区分开来。
比如，一个画在球体表明的直角三角形并不遵循勾股定理。
带来了测绘、导航，以及较近代出现的狭义和广义相对论——现有最好的关于空间、时间和重力的理论。
2.对数方程对数方程可以理解为指数方程的反向公式。
它旨在求一个底数的多少次方可以得到给定的量。
比如，以10为底1的对数表示为log(1)=0，因为这里1 = 100；log(10) = 1，因为10 = 101；很自然地，log(100) = 2。
图中公式log(ab) = log(a) + log(b)展示了对数方程最有用的一个功能：将乘法转化为加法。
在现代数字计算机普遍应用之前，这一直是快速计算大数乘法的便利手段，在物理学、天文学和工程学计算中起到了重要作用。
带来了计算日食和行星轨道等天文现象的高效方法。
快速进行科学计算的方法。
工程师的忠实伴侣——计算尺。
放射性衰变和关于人类感知的心理物理学。
3.微积分图中公式为微积分中导数的定义。
导数可理解为一个数量的变化率。
比如，我们可以把速度看作是位移的导数。
如果我们步行的速度是每小时4公里，那么每个小时，我们的位移变化为4公里。
实际上，很多研究都着眼于事物是如何变化的。
而导数与积分(微积分的另一个重要公式) 是数学家与科学家们理解变化的根本工具。
可以用来切线和面积的计算。
立体体积和曲线长度公式。
牛顿运动定律、微分方程。
能量和动量守恒定律。
数学物理的大部分内容。
4.万有引力定律牛顿的万有引力定律描述了两个物体间的引力作用F。
其中G为万有引力常数，m1和m2表示两个物体的质量，r为物体间距离。
在科学史上，牛顿的这一笔有着举足轻重的地位。
它不仅解释了地球上的重力作用，还几乎完美地诠释了行星的运行方式。
中学数学竞赛中常用的几个重要定理
数学竞赛中几个重要定理1、 梅涅劳斯定理：如果在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上有点D 、E 、F 且D 、E 、F三点共线，则FBAFEA CE DC BD ••=12、 梅涅劳斯定理的逆定理：如果在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上有点D 、E 、F ，且满足FBAFEA CE DC BD ••=1，则D 、E 、F 三点共线.【例1】已知△ABC 的重心为G ，M 是BC 边的中点，过G 作BC 边的平行线AB 边于X ，交AC边于Y ，且XC 与GB 交于点Q ，YB 与GC 交于点P. 证明：△MPQ ∽△ABCj MQGAC BXY P【例2】以△ABC的底边BC为直径作半圆，分别与边AB，AC交于点D和E，分别过点D，E作BC的垂线，垂足依次为F，G，线段DG和EF交于点M.求证：AM⊥BC【例3】四边形ABCD内接于圆，其边AB，DC的延长线交于点P，AD和BC的延长线交于点Q，过Q作该圆的两条切线，切点分别为E，F.求证：P，E，F三点共线.【练习1】设凸四边形ABCD 的对角线AC 和BD 交于点M ，过M 作AD 的平行线分别交AB ，CD于点E ，F ，交BC 的延长线于点O ，P 是以O 为圆心，以OM 为半径的圆上一点. 求证：∠OPF=∠OEP【练习2】 在△ABC 中，∠A=900，点D 在AC 上，点E 在BD 上，AE 的延长线交BC 于F. 若BE ：ED=2AC ：DC ，则∠ADB=∠FDCD塞瓦定理：设O是△ABC内任意一点，AO、BO、CO分别交对边于N、P、M，则1=••PACPNCBNMBAM塞瓦定理的逆定理：设M、N、P分别在△ABC的边AB、BC、CA上，且满足1=••PACPNCBNMBAM，则AN、BP、CM相交于一点.【例1】B E是△ABC的中线，G在BE上，分别延长AG，CG交BC，AB于点D，F，过D作DN∥CG交BG于N，△DGL及△FGM是正三角形.求证：△LMN为正三角形.GCLMEDFN【例2】在△ABC 中，D 是BC 上的点DC BD =31，E 是AC 中点.AD 与BE 交于O ，CO 交AB 于F 求四边形BDOF 的面积与△ABC 的面积的比【练习1】设P 为△ABC 内一点，使∠BPA=∠CPA ，G 是线段AP 上的一点，直线BG ，CG 分别交边AC ，AB 于E ，F.求证：∠BPF=∠CPE【练习2】 在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 均为锐角.D 是BC 边BC 上的内点，且AD 平分∠BAC ，过点D 作垂线DP ⊥AB 于P ，DQ ⊥AC 于Q ，CP 于BQ 相交于K. 求证：AK ⊥BCCCC托勒密定理：四边形ABCD 是圆内接四边形，则有AB ·CD+AD ·BC=AC ·BD【例1】 已知在△ABC 中，AB >AC ，∠A 的一个外角的平分线交△ABC 的外接圆于点E ，过E 作EF ⊥AB ，垂足为F.求证：2AF=AB -AC【例2】经过∠XOY 的平分线上的一点A ，任作一直线与OX 及OY 分别相交于P ，Q.求证：OP 1+OQ1为定值HABCEFAXYPOQ【例3】 解方程42-x+12-x=x 7【练习1】 设AF 为⊙O1与⊙O2的公共弦，点B ，C 分别在⊙O1，⊙O2上，且AB=AC ，∠BAF ，∠CAF 的平分线交⊙O1，⊙O2于点D ，E. 求证：DE ⊥AF【练习2】⊙O 为正△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，在弧BC 上任取一点P （与B ，C不重合）.设E ，F 分别为△PAB ，△PAC 的内心.证明：PD=∣PE-PF ∣西姆松定理：点P 是△ABC 外接圆周上任意一点，PD ⊥BC ，PE ⊥AC ，PF ⊥AB ，D 、E 、F 为垂足，则D 、E 、F 三点共线，此直线称为西姆松线.【例1】过正△ABC 外接圆的弧AC 上点P 作P D ⊥直线AB 于D,作PE ⊥AC 于E,作PF ⊥BC 于F.求证：PF 1+PD 1=PE1【练习1】设P 为△ABC 外接圆周上任一点，P 点关于边BC ，AC 所在的直线的对称点分别为P 1，P 2.求证：直线P 1P 2经过△ABC 的垂心.CABPEFD HABP1P2CP三角形的五心内心【例1】设点M 是△ABC 的BC 边的中点，I 是其内心，AH 是BC 边上的高，E 为直线IM 与AH 的交点.求证：AE 等于内切圆半径r【例2】在△ABC 中，AB=4，AC=6，BC=5，∠A 的平分线AD 交△ABC的外接圆于K.O ，I 分别为△ABC 的外心，内心.求证：OI ⊥AK【练习】 在△ABC 中，∠BAC=300，∠ABC=700，M 为形内一点，∠MAB=∠MCA=200求∠MBA 的度数.B外心【例1】锐角△ABC的外心为O，线段OA，BC的中点为M，N，∠ABC=4∠OMN，∠ACB=6∠OMN.求∠OMN【例2】在等腰△ABC中，AB=BC，CD是它的角平分线，O是它的外心，过O作CD的垂线交BC于E，再过E作CD的平行线交AB于F，证明：BE=FD.【练习】1、⊙O 1与⊙O 2相交于P ，Q ，⊙O 1的弦PA 与⊙O 2相切，⊙O 2的弦PB 与⊙O 1相切.设△PAB 的外心为O ，求证：OQ ⊥PQ重心【例1】在△ABC 中，G 为重心，P 是形内一点，直线PG 交直线BC ，CA ，AB 于F ，E ，D.求证：FG FP +EG EP +DGDP=3【例2】已知△ABC 的重心G 和内心I 的连线GI ∥BC ，求证：AB+AC=2BCC【练习】1、设M 为△ABC 的重心，且AM=3，BM=4，CM=5，求△ABC 的面积.2、设O 是△ABC 的外心，AB=AC ，D 是AB 的中点，G 是△ACD 的重心，求证：OG ⊥CD垂心三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍.BCB【例1】△ABC 的外接圆为⊙O ，∠C=600，M 是弧AB 的中点，H 是△ABC 的垂心.求证：OM ⊥OH【例2】已知AD ，BE ，CF 是锐角△ABC 的三条高，过D 作EF 的平行线RQ ，RQ 分别交AB 和AC 于R ，Q ，P 为EF 与CB 的延长线的交点.证明：△PQR 的外接圆通过BC 的中点M.旁心【例1】在锐角∠XAY 内部取一点，使得∠ABC=∠XBD ，∠ACB=∠YCD.证明：△ABC 的外心在线段AD 上.CD【例2】AD是直角△ABC斜边BC上的高（AB<AC），I1，I2分别是△ABD，△ACD的内心，△A I1 I2的外接圆⊙O分别交AB，AC于E，F，直线FE与CB的延长线交于点M.证明：I1，I2分别是△ODM的内心与旁心.相交两圆的性质与应用【例1】证明：若凸五边形ABCDE中，∠ABC=∠ADE，∠AEC=∠ADB. 证明：∠BAC=∠DAEE【例2】已知⊙O1与⊙O2相交于A，B，直线MN垂直于AB且分别与⊙O1与⊙O2交于M，N，P 是线段MN的中点，Q1，Q2分别是⊙O1与⊙O2上的点，∠AO1Q1=∠AO2Q2求证：PQ1=PQ2【练习】梯形ABCD中，AB∥CD，AB>CD，K，M分别是腰AD，CB上的点，∠DAM=∠CBK，求证：∠DMA=∠CKBA其他的一些数学竞赛定理1、 广勾股定理的两个推论：推论1：平行四边形对角线的平方和等于四边平方和.推论2：设△ABC 三边长分别为a 、b 、c ，对应边上中线长分别为m a 、m b 、m c 则：m a =2222221a c b -+；m b =2222221b c a -+；m c =2222221c b a -+2、 三角形内、外角平分线定理：内角平分线定理：如图：如果∠1=∠2，则有ACABDC BD =外角平分线定理：如图，AD 是△ABC 中∠A 的外角平分线交BC 的延长线与D ，则有ACABDC BD =3、 三角形位似心定理：如图，若△ABC 与△DEF 位似，则通过对应点的三直线AD 、BE 、CF 共点于P4、 正弦定理、在△ABC 中有R CcB b A a 2sin sin sin ===（R 为△ABC 外接圆半径） 余弦定理： a 、b 、c 为△ABC 的边，则有： a 2=b 2+c 2-2bc ·cosA;b 2=a 2+c 2-2ac ·cosB; c 2=a 2+b 2-2ab ·cosC;5、欧拉定理：△ABC 的外接圆圆心为O ，半径为R ，内切圆圆心为I ，半径为r,记OI=d,则有：d 2=R 2-2Rr.6、巴斯加线定理：圆内接六边形ABCDEF （不论其六顶点排列次序如何），其三组对边AB 与DE 、BC 与EF 、CD 与FA 的交点P 、Q 、R 共线.。
勾股定理必背10个公式
勾股定理必背10个公式勾股定理是数学学科中最熟悉、最重要的定理之一，大多数学校都会给学生们讲解勾股定理。
它是几何学中解决三角形问题的最重要工具。
勾股定理指出，若三角形的三边分别是a，b，c，那么它们之间具有特定的关系：a＋b＝c。
尽管勾股定理有着悠久的历史，但今天仍然被经常使用。
有很多变种的勾股定理值得记住，它们中最值得注意的有十个。
首先，是勾股定理的一般形式：a＋b＝c。
其次是关于锐角三角形的定理：cosα＝b/c，sinα＝a/c，tanα＝a/b。
第三是关于直角三角形的定理：cosα＝a/c，sinα＝b/c，tanα＝a/b。
第四是关于等腰三角形的定理：2a＝b＋c。
第五是关于30°-60°-90°三角形的定理：a＝b/2，c＝b√3/2，tan30°＝1/√3，cos60°＝1/2，sin60°＝√3/2。
第六是关于45°-45°-90°三角形的定理：a＝b，c＝b√2，tan45°＝1，cos45°＝1/√2，sin45°＝1/√2。
第七是关于等边三角形的定理：a＝b＝c，cosα＝cosβ＝cosγ＝-1/3。
第八是关于半径R圆心角形的定理：tanα/2＝b/2R，cosα/2＝c/2R，sinα/2＝a/2R。
第九是关于梯形的定理：a＋(b＋c)＝2(a＋b＋c)。
第十是关于双曲线的定理：a－b＝c。
勾股定理是中学数学学习中必不可少的一部分，而上面提到的十个公式更是数学课堂上最基本的知识。
它们不仅在几何学中有着广泛的用途，而且也在统计学、概率论等方面都有着重要的应用。
尽管勾股定理的用途多种多样，但有一点是十分重要的：它们能够帮助我们快速有效地解决三角形问题。
若要求解三角形的边长、角度和面积，就可以针对相关的勾股定理，从中去确定相关参数。
总之，勾股定理是几何学中最重要的定理之一，被广泛应用于几何学、概率论等领域。
世界上最美丽的十个公式来源
世界上最美丽的十个公式来源世界上有很多美丽的数学公式，它们代表着数学之美、创造力和深刻的思想。
以下是世界上最美丽的十个数学公式。
1.欧拉公式：e^(iπ)+1=02.爱因斯坦场方程：G_{μν}=8πG/c^4(T_{μν}+ρg_{μν})爱因斯坦场方程是广义相对论的核心方程之一，描述了引力场和能量-动量分布之间的关系。
这个方程的形式简洁、优美，并为黑洞、引力波等现象提供了广泛的解释。
3.斐波那契数列：F(n)=F(n-1)+F(n-2)，其中F(1)=1，F(2)=1斐波那契数列是一个神奇的数列，在每个数都是前两个数之和的基础上，逐步产生出无线多个数字。
它在自然界中广泛出现，如数学、音乐、建筑等领域。
4. 黎曼猜想：ζ(s) = ∑(n=1 to ∞) 1/n^s黎曼猜想是数论中一个未解决的问题，提出于1859年。
它关于黎曼ζ函数的零点分布性质，尽管没有被证明，但是它揭示了数论的深刻结构，被公认为是数学中最伟大的问题之一5. 欧拉-拉格朗日方程：d/dt(∂L/∂q̇) - ∂L/∂q = 0欧拉-拉格朗日方程是经典力学的基础，描述了物体在力场中运动的规律。
它通过最小作用量原理将力学问题转化为变分问题，提供了一种优雅且统一的方法来研究复杂的物理系统。
6.概率论公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)概率论公式是概率学的核心之一，描述了事件的联合概率和边际概率之间的关系。
这个公式简洁明了地阐述了概率的基本原理，是统计学和概率论中常用的工具。
7. 傅里叶变换：F(ω) = ∫ f(t)e^(-iωt) dt傅里叶变换是信号处理和数学分析的基础工具，将一个函数在时间域和频率域之间进行转换。
它将复杂的周期函数分解为简单的正弦和余弦函数的组合，为我们理解信号的频谱特性提供了极大的便利。
8. 二项式定理：(a+b)^n = ∑(k=0 to n) C(n,k)a^(n-k)b^k二项式定理是代数学中的一个重要定理，描述了如何展开一个n次幂的二项式。
【数学著名的17个定理】一些著名的原理、定理、法则
【数学著名的17个定理】一些著名的原理、定理、法则蓝斯登原则：在你往上爬的时候，一定要保持梯子的整洁，否则你下来时可能会滑倒。
提出者：美国管理学家蓝斯登。
点评：进退有度，才不至进退维谷；宠辱皆忘，方可以宠辱不惊。
卢维斯定理：谦虚不是把自己想得很糟，而是完全不想自己。
提出者：美国心理学家卢维斯点评：如果把自己想得太好，就很容易将别人想得很糟。
托利得定理：测验一个人的智力是否属于上乘，只看脑子里能否同时容纳两种相反的思想，而无碍于其处世行事。
提出者：法国社会心理学家托利得点评：思可相反，得须相成。
刺猬理论：刺猬在天冷时彼此靠拢取暖，但保持一定距离，以免互相刺伤。
点评：保持亲密的重要方法，乃是保持适当的距离。
鲦鱼效应：鲦鱼因个体弱小而常常群居，并以强健者为自然首领。
将一只稍强的鲦鱼脑后控制行为的部分割除后，此鱼便失去自制力，行动也发生紊乱，但其他鲦鱼却仍像从前一样盲目追随。
提出者：德国动物学家霍斯特点评：1、下属的悲剧总是领导一手造成的。
2、下属觉得最没劲的事，是他们跟着一位最差劲的领导。
雷鲍夫法则：在你着手建立合作和信任时要牢记我们语言中：1、最重要的八个字是：我承认我犯过错误2、最重要的七个字是：你干了一件好事3、最重要的六个字是：你的看法如何4、最重要的五个字是：咱们一起干5、最重要的四个字是：不妨试试6、最重要的三个字是：谢谢您7、最重要的两个字是：咱们8、最重要的一个字是：您提出者：美国管理学家雷鲍夫点评：1、最重要的四个字是：不妨试试；2、最重要的一个字是：您洛伯定理：对于一个经理人来说，最要紧的不是你在场时的情况，而是你不在场时发生了什么。
提出者：美国管理学家洛伯点评：如果只想让下属听你的，那么当你不在身边时他们就不知道应该听谁的了。
斯坦纳定理：在哪里说得愈少，在哪里听到的就愈多。
提出者：美国心理学家斯坦纳点评：只有很好听取别人的，才能更好说出自己的。
费斯诺定理：人两只耳朵却只有一张嘴巴，这意味着人应该多听少讲。
十个最优美数学公式
⼗个最优美数学公式英国科学期刊《物理世界》曾让读者投票评选了“最伟⼤的公式”，最终榜上有名的⼗个公式既有⽆⼈不知的1+1=2，⼜有著名的E=mc2；既有简单的圆周公式，⼜有复杂的欧拉公式……No.10 圆的周长公式（The Length of the Circumference of a Circle）⽬前，⼈类已经能得到圆周率的2061亿位精度。
还是挺⽆聊的。
现代科技领域使⽤的圆周率值，有⼗⼏位已经⾜够了。
如果⽤35位精度的圆周率值，来计算⼀个能把太阳系包起来的⼀个圆的周长，误差还不到质⼦直径的百万分之⼀。
现在的⼈计算圆周率，多数是为了验证计算机的计算能⼒，还有就是为了兴趣。
No.9 傅⽴叶变换（The Fourier Transform）这个挺专业的，⼀般⼈完全不明⽩。
不多作解释。
简要地说没有这个式⼦没有今天的电⼦计算机，所以你能在这⾥上⽹除了感谢党感谢政府还要感谢这个完全看不懂的式⼦。
另外傅⽴叶虽然姓傅，但是法国⼈。
No.8 德布罗意⽅程组（The de Broglie Relations）这个东西也挺⽜逼的，⾼中物理学到光学的话很多概念跟它是远亲。
简要地说德布罗意这⼈觉得电⼦不仅是⼀个粒⼦，也是⼀种波，它还有“波长”。
于是搞啊搞就有了这个物质波⽅程，表达了波长、能量等等之间的关系。
同时他获得了1929年诺贝尔物理学奖。
No.7 1+1=2这个公式不需要名称，不需要翻译，不需要解释。
No.6 薛定谔⽅程（The Schrödinger Equation）也是⼀般⼈完全不明⽩的。
因此我摘录官⽅评价：“薛定谔⽅程是世界原⼦物理学⽂献中应⽤最⼴泛、影响最⼤的公式。
”由于对量⼦⼒学的杰出贡献，薛定谔获得1933年诺贝尔物理奖。
另外薛定谔虽然姓薛，但是奥地利⼈。
No.5 质能⽅程（Mass–energy Equivalence）好像从来没有⼀个科学界的公式有如此⼴泛的意义。
在物理学“奇迹年”1905年，由⼀个叫做爱因斯坦的年轻⼈提出。
2020年中考数学平面几何60个定理
【导语】当你真正想完成⼀件事时，根本不会在意别⼈是否看到。
备考漫漫长路，和你⼀起默默地⾛下去。
以下是2020年中考数学平⾯⼏何60个定理，⼀起来看看吧！ 1、勾股定理(毕达哥拉斯定理) 2、射影定理(欧⼏⾥得定理) 3、三⾓形的三条中线交于⼀点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分 4、四边形两边中⼼的连线的两条对⾓线中⼼的连线交于⼀点 5、间隔的连接六边形的边的中⼼所作出的两个三⾓形的重⼼是重合的。
6、三⾓形各边的垂直⼀平分线交于⼀点。
7、三⾓形的三条⾼线交于⼀点 8、设三⾓形ABC的外⼼为O，垂⼼为H，从O向BC边引垂线，设垂⾜为L，则AH=2OL 9、三⾓形的外⼼，垂⼼，重⼼在同⼀条直线(欧拉线)上。
10、(九点圆或欧拉圆或费尔*圆)三⾓形中，三边中⼼、从各顶点向其对边所引垂线的垂⾜，以及垂⼼与各顶点连线的中点，这九个点在同⼀个圆上， 11、欧拉定理：三⾓形的外⼼、重⼼、九点圆圆⼼、垂⼼依次位于同⼀直线(欧拉线)上 12、库⽴奇*⼤上定理：(圆内接四边形的九点圆) 圆周上有四点，过其中任三点作三⾓形，这四个三⾓形的九点圆圆⼼都在同⼀圆周上，我们把过这四个九点圆圆⼼的圆叫做圆内接四边形的九点圆。
13、(内⼼)三⾓形的三条内⾓平分线交于⼀点，内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)s，s为三⾓形周长的⼀半 14、(旁⼼)三⾓形的⼀个内⾓平分线和另外两个顶点处的外⾓平分线交于⼀点 15、中线定理：(巴布斯定理)设三⾓形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2) 16、斯图尔特定理：P将三⾓形ABC的边BC内分成m：n，则有n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC2 17、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对⾓线互相垂直时，连接AB中点M和对⾓线交点E的直线垂直于CD 18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之⽐为定⽐m：n(值不为1)的点P，位于将线段AB分成m：n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上 19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC×BD 20、以任意三⾓形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底⾓都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三⾓形 21、爱尔可斯定理1：若△ABC和△DEF都是正三⾓形，则由线段AD、BE、CF的中⼼构成的三⾓形也是正三⾓形。
蝴蝶定理古今谈
蝴蝶定理古今谈蝴蝶定理古今谈蝴蝶定理(Butterfly theorem)，是古典欧⽒平⾯⼏何中最精彩的结果之⼀，原本是⼀个著名的⼏何难题。
该定理最先是作为⼀个征求证明的问题，刊载于1815年英国的⼀份通俗杂志《男⼠⽇记》第39-40页上；⽽“蝴蝶定理”这个名称第⼀次出现在《美国数学⽉刊》1944年2⽉号。
由于题⽬中的⼏何图形形象奇特，貌似蝴蝶，因此得名。
蝴蝶定理的证法很多，有综合法、三⾓法、⾯积法、不等式法、解析法、复数法，反证法等。
问题登出的当年，英国⼀位⾃学成才的中学数学教师W.G.霍纳给出了第⼀个繁琐的证明；⾄于初等的证法，在国外的有关资料中，⼀般认为是由⼀位中学教师斯特温(Steven)⾸先得到的，它⽤的是⾯积法；另⼀个早期的证明由理查德·泰勒（Richard Taylor）给出；还有⼀种证明出现在M.布兰德（Miles Bland）的《⼏何问题》(1827年)⼀书中；最为简洁的证法来⾃射影⼏何，由英国的J·开世在“A Sequel to the First Six Books of the Elements of Euclid”(中译：近世⼏何学初编，李俨译，上海商务印书馆，1956)中给出，只有⼀句话，⽤的是线束的交⽐；1981年，Crux杂志刊登了K.萨蒂亚纳拉亚纳（Kesirajn Satyanarayana）⽤解析⼏何给出的⼀种⽐较简单的证法。
1985年，在河南省《数学教师》创刊号上，杜锡录教授以“平⾯⼏何中的名题及其妙解”为题，向国内介绍了蝴蝶定理；1988年，汪江松、黄家礼⼆教授在《⼏何明珠》⼀书的第21章，对“蝴蝶定理”进⾏了全⾯综述，介绍了蝴蝶定理的逆定理及各种引申和推⼴；1991年，张景中院⼠的⼒作“蝴蝶定理的新故事”（载于《中学数学》1991年第1期）以⾯积⽐和线段⽐为⼯具，与斯特温的证法⼀脉相承，别开⽣⾯，给出了蝴蝶定理的推⼴和变异，揭⽰了该定理与著名的Pascal定理的深刻联系，令⼈⽿⽬⼀新；2008年，本版版主叶中豪⽼师在“东⽅论坛”发帖“蝴蝶定理的本质”，与陈殿林⽼师就蝴蝶定理的对合本质展开讨论：从射影⼏何的观点看，蝴蝶定理实质就是迪沙格(G．Desargues，1591—1661)对合定理的推⼴。
世界最美的十大数学公式
世界最美的十大数学公式数学公式是数学思想的高度凝结和精炼，它们是描述自然界和人类社会中普遍规律的有力工具。
世界上有许多优美而重要的数学公式，下面是我挑选的世界上最美的十大数学公式：1. 欧拉恒等式（Euler's identity）：e^πi + 1 = 0欧拉恒等式被公认为数学中最美丽的公式之一、它涵盖了五个基本数学运算符：0、1、e（自然对数的底）、π（圆周率）和i（虚数单位）。
它将这些数学常数和运算符结合在一起，以惊人的方式得出了结果0。
2. 四色定理（Four-Color Theorem）：四色定理是指任何一个平面上的地图或图形都可以用四种颜色进行涂色，使得任何两个相邻的区域不会有相同的颜色。
这个定理于1976年由Mathias Hebert和Wolfgang Haken在计算机的帮助下完成证明。
3. 爱因斯坦场方程（Einstein Field Equations）：4. 黎曼假设（Riemann Hypothesis）：黎曼假设是数论领域的著名问题，由Bernhard Riemann在1859年提出。
该假设可以用复数论的术语来描述，它关于质数分布的性质，被认为是解决质数分布问题的关键。
然而，至今尚未有人证明或反驳这个假设。
5. 莱布尼茨积分法则（Leibniz Rule）：莱布尼茨积分法则是微积分中的基本定理，描述了求导和积分之间的关系。
它使我们能够计算复杂函数的导数和原函数，为物理、工程和经济学等领域中的问题提供了强大的工具。
6. 哈密顿四元数（Hamilton's Quaternions）：哈密顿四元数是数学中一种扩充了复数的代数结构，由William Rowan Hamilton在1843年发现。
它具有复数的形式，但包含了三个虚数单位，使其能够进行三维旋转和方向计算，在计算机图形学和物理模拟中有广泛应用。
7. 奥氏定律（Ohm's Law）：奥氏定律是电学中最基本的定律之一，描述了电流、电压和电阻之间的关系。
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十个最优美的数学定理
1998年，在数学界评选最优美的数学定理，根据统计结果，公布了数学家心中认为最美丽的定理，前十名分别是：
1、e iЛ+1＝0，是整个数学中最卓越的公式之一，它把数学中最重要的五个数0、1、e、π、i联系起来，单位和谐地结合在一个式子中，真是奇妙无比。
2、多面体的欧拉公式：V-E+F=2，其中，V是顶点的个数，E是棱的个数，F是面的个数。
3、质数有无穷个。
4、正多面体只有五个。
5、1+++……＝。
6、从闭的单位圆到本身的连续映射必有一个不动点（固定点定理）。
7、是无理数。
8、π为超越数。
9、任何平面地图，只用四种颜色，可以让相邻的区域的颜色都不相同（四色定理）。
10、形如4n+1的质数，可唯一表示成两个整数的平方和。
这些定理很简单、深刻、清楚明确，定理叙述最多两行字，给人予美的享受。