1.1《三个正数的算术-几何平均不等式》课件(新人教选修4-5)

作业： 习题１.１（第１１页）第１２、１４题
思考题：
已知：长方体的全面积为定值Ｓ，试问这 个长方体的长、宽、高各是多少时，它的 体积最大，求出这个最大值．
解：设长方体的体积为V，长、宽、高分别 是a，b，c，则V=abc，S=2ab+2bc+2ac
V 2 (abc)2 (ab)(bc)(ac)
x
a
解：设切去的正方形边长为x，无盖方底
盒子的容积为V，则
V (a 2 x)2 x 1 (a 2x)(a 2x) 4x
4
1 4
(a
2x)
(a 3
当且仅当a 2x a
2x)
4x
3
2a 3 27
2x 4x即当
x
a
6
时，不等式取等号，此时Ｖ取最大值 2a3 ．
27
即当切去的小正方形边长是原来正方形边
（２）若三个正数的和是一个常数，那么 当且仅当这三个正数相等时，它们的积有 最大值．
n个正数的算术—几何平均不等式：
若a1 , a2 , a3 , , an R ,则
a1
a2
a3 n
an
n
a1a2a3
an ,
当且仅当a1 a2 a3 an时, 等号成立.
例１ 求函数 y 2x2 3 ( x 0)的最小值． x
ab
bc
ac
3
S
3
S3
3 6 216
下面解法是否正确？为什么？
解法１：由 x 0 知 2x2 0, 3 0 ，则
x
y 2x2 3 2 2x2 3 2 6x
x
x
当且仅当 2x2
3 即x x
3
3时, 2
ymin
2
63 3 23 18 2
例１ 求函数 y 2x2 3 ( x 0) 的最小值．
x
下面解法是否正确？为什么？
C、6
D、非上述答案
4、已知a, b, c R , 且a b c 1,则
1 1 1 的值不小于__9___ abc
5.a, b, c
R
, 求 证(a
b
c)( a
1
b
b
1
c
c
1
a
)
9 2
6.设M
(1 a
1)( 1 b
1)( 1 c
1)且a
b
c
1(a, b, c
R
),
则M的取值范围是( D )
解法2：由 x 0 知 2x2 0, 1 0, 2 0 ，则 xx
y 2x2 3 2x2 1 2 33 2x2 1 2 33 4
x
xx
xx
ymin 33 4
例 １ 求函数 y 2x2 3 ( x 0)的最小值．
x
解法３：由x
0知
2x2
0,
3 2x
0,
则
y 2x2 3 2x2
长的 1 时，盒子的容积最大．
6
练习：
1、函数y x4(2 x2 )(0 x 2)的最大值是
（ D） A、0 B、1
16
C、27
32
D、27
2、若a, b R且a b,则a 1 3__
(a b)b
3、若x, y R , xy2 4则x 2 y的最小值是（B）
A、4
B、33 4
A.0,
1 8
B
.
1 8
,1
C
1,
1 8
D8,
7.求函数y sin x cos2 x, x (0, )的最大值.
2
小结：
这节课我们讨论了利用平均值定理求某些 函数的最值问题。现在，我们又多了一种 求正变量在定积或定和条件下的函数最值 的方法。这是平均值定理的一个重要应用 也是本章的重点内容，应用定理时需注意 “一正二定三相等”这三个条件缺一不可， 不可直接利用定理时，要善于转化，这里 关键是掌握好转化的条件，通过运用有关 变形的具体方法，以达到化归的目的。
3
3
33 2x2
3
3
9 33
x
2x 2x
2x 2x 2
当 且 仅 当2x2 3 即x 3 3时
2x
4
ymin
33
9 2
33 2
36
变式：
1、函数y
3x
12 x2
(
x
0)的最小值是（
C）
A、6 B、6 6 C、9
D、12
2、函数y
百度文库
4x2
(
16 x2 1)2
的最小值是
__8____
例2 如下图，把一块边长是a的正方形铁 片的各角切去大小相同的小正方形，再把 它的边沿着虚线折转成一个无盖方底的盒 子,问切去的正方形边长是多少时，才能使 盒子的容积最大？
类比基本不等式的形式，猜想对于3个正 数a，b，c，可能有
类比基本不等式的形式，猜想对于3个正
数a，b，c，可能有 a,b,c R ，那么
a b c 3 abc ，当且仅当a=b=c时，等 3
号成立．
证明 : 若a,b,c R ,则a3 b3 c3 3abc, 当且仅当a b c时,等号成立.
和的立方公式：
( x y)3 x3 3x2 y 3xy2 y3
立方和公式：
x3 y3 ( x y)( x2 xy y2 )
定理 如果 a,b,c R ，那么a
当且仅当a=b=c时，等号成立．
b 3
c
3
abc
（１）若三个正数的积是一个常数，那么 当且仅当这三个正数相等时，它们的和有 最小值．