1.1《三个正数的算术-几何平均不等式》课件(新人教选修4-5)
合集下载
高中数学·选修4-5(人教版)第一讲几何平均不等式及绝对值三角不等式PPT课件
9
3 .
归纳升华
1．利用三个正数的算术—几何平均不等式常处理下
面两个类型的最值： (1)求函数 y＝ax2＋bx的最小值，其中 ax2＞0，bx＞0.
则
y
＝
ax2
＋
b x
＝
ax2
＋
b 2x
＋
b 2x
≥
3
3
ax2·2bx·2bx
＝
3 2
3 2ab2.当且仅当 ax2＝2bx，即 x＝ 3 2ba时，等号成立．
(1)如果 a，b，c∈R，那么a＋3b＋c≥3 abc.(
)
(2)如果 a，b，c∈R＋，那么a＋3b＋c≥3 abc，当且仅
当 a＝b 或 b＝c 时，等号成立．( )
(3)如果 a，b，c∈R＋，那么 abc≤a＋3b＋c3，当且 仅当 a＝b＝c 时，等号成立．( )
(4)如果 a1，a2，a3，…，an 都是实数．那么 a1＋a2
n
＋…＋an≥n· a1a2…an.( )
解析：(1)根据定理 3，只有在 a，b，c 都是正数才成
立．其他情况不一定成立，如 a＝1，b＝－1，c＝－3，
a＋b＋c
3
3
3 ＝－1， abc＝ 3，故(1)不正确．
(2)由定理 3，知等号成立的条件是 a＝b＝c.故(2)不正
确．
(3)由定理 3 知(3)正确． (4)必须 a1，a2，…，an 都是正数，命题才成立． 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
第一讲 不等式和绝对值不等式
1.1 不等式 1．1.3 三个正数的算术—
几何平均不等式
[知识提炼·梳理] 1．三个正数的算术—几何平均不等式 (1)如果 a1，a2，a3∈R＋，则a1＋a32＋a3叫做这 3 个正 数的算术平均数，3 a1a2a3叫做这三个正数的几何平均数．
人教新课标版数学高二选修4-5课件 第3课时 三个正数的算术—几何平均不等式
对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均不小于它们的几何平均，
即 a1＋a2＋…＋an n
≥ n a1a2…an ，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号
成立.
(3)重要变形及结论
①abc≤(a＋3b＋c)3； ②a3＋b3＋c3≥3abc； ③a1＋1b3＋1c≤3 abc≤ a＋3b＋c≤
12345
解析 答案
3.已知x为正数，下列各选项求得的最值正确的是
A.y＝x2＋2x＋x43≥3 3 x2·2x·x43＝6，故 ymin＝6. B.y＝2＋x＋1x≥3 3 2·x·1x＝33 2，故 ymin＝33 2.
√C.y＝2＋x＋1x≥4，故 ymin＝4.
D.y＝x(1－x)(1－2x)≤13[3x＋1－x3＋1－2x]3＝881，故 ymax＝881.
证明
引申探究 1.若本例条件不变，求证：b＋ac－a＋c＋ab－b＋a＋bc－c≥3.
b＋c－a c＋a－b a＋b－c
证明
a＋b＋c
＝(ba＋bc＋ac)＋(ac＋ab＋bc)－3
3
≥3
ba·bc·ac＋3 3
ac·ab·bc－3
＝6－3＝3，
当且仅当a＝b＝c时取等号.
证明
2.若本例条件不变，求证：(a＋b＋c)(1a＋1b＋1c)≥9. 证明 ∵当 a，b，c∈R＋时，a＋b＋c≥33 abc， ∴(a＋b＋c)(1a＋1b＋1c)≥9， 当且仅当a＝b＝c时等号成立.
证明
反思与感悟
证明不等式的方法 (1) 首 先 观 察 所 要 证 的 式 子 结 构 特 点 及 题 目 所 给 条 件 ， 看 是 否 满 足 “一正、二定、三相等”的条件.若满足即可利用平均不等式证明. (2)若题目不满足该条件，则可灵活利用已知条件构造出能利用三个 正数的基本不等式的式子.
三个正数的算数几何平均不等式ppt课件
a2 b2 2 | ab |; a2 b2 c2 ab bc ca; (a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd )2 2 ab a b 2(a2 b2 ) 等.
29
3
所以y=(1-3x)2·x= 1 (1-3x)·(1-3x)·6x
6
1 (1 3x 1 3x 6x )3 4 ,当且仅当1-3x=1-3x=6x,
6 即x=
1 9
3
81
时等号成立,此时ymax=
4 81 .
16
2.因为x>1,所以x-1>0,
y
x
x
4
12
1 2
x
1
n 2
32 n2
,
所以
n
32 n2
n 2
n 2
32 n2
33
n 2
n 2
32 n2
6.
当且仅当n=4时等号成立.
12
3.若a>b>0,则a+
b
1
a
b
的最小值为_________.
【解析】因为a>b>0,所以a-b>0,
所以
a
1
ba
b
a
b
b
1
ba
x2 2
又∵ x2 2 ≥2 ,又∵函数 y t 1 在 t 1, 时是减函数.
t
∴当 x 0 时,函数 y x2 2 1 取得最小值 3 2 .
x2 2
29
3
所以y=(1-3x)2·x= 1 (1-3x)·(1-3x)·6x
6
1 (1 3x 1 3x 6x )3 4 ,当且仅当1-3x=1-3x=6x,
6 即x=
1 9
3
81
时等号成立,此时ymax=
4 81 .
16
2.因为x>1,所以x-1>0,
y
x
x
4
12
1 2
x
1
n 2
32 n2
,
所以
n
32 n2
n 2
n 2
32 n2
33
n 2
n 2
32 n2
6.
当且仅当n=4时等号成立.
12
3.若a>b>0,则a+
b
1
a
b
的最小值为_________.
【解析】因为a>b>0,所以a-b>0,
所以
a
1
ba
b
a
b
b
1
ba
x2 2
又∵ x2 2 ≥2 ,又∵函数 y t 1 在 t 1, 时是减函数.
t
∴当 x 0 时,函数 y x2 2 1 取得最小值 3 2 .
x2 2
高中数学 1.1.3 三个正数的算术 几何平均不等式课件 新人教A版选修45
【分析】 (1)目标函数是积的形式，应构造和为定值．sinθ ＋cos2θ 不为定值，联想到 sin2θ＋cos2θ＝1，可考虑 y2＝sin2θcos4θ ＝12·2sin2θ·cos2θ·cos2θ 从而可解．
(2)依据 x2y3z 中 x2 要出现两个 x，y3 要出现 3 个 y，各项系 数依“相等”考虑．可拆项变为“x＋3y＋4z＝2x＋2x＋y＋y＋y ＋4z”．
第六页，共35页。
2．基本不等式的推广 对于 n 个正数 a1，a2，…，an，它们的算术平均不小于它 们的几何平均，即a1＋a2＋n …＋an________n a1a2…an，当且仅 当________时，等号成立.
第七页，共35页。
答
1.(1)≥3abc
a＝b＝c
3 (2) abc
a＝b＝c
第十一页，共35页。
2．应用均值不等式应注意的条件 用均值不等式求函数的最大(小)值，像用基本不等式求最 值一样，三个必要条件一定要满足，一正(各项的值为正，可在 题设中找到)、二定(各项的和或积为定值，这往往需要变形， 凑出和或积为定值)、三相等(即取等号的条件，只要验证就行 了)．在这三个条件中，定值决定着均值不等式应用的可能性， 它需要一定的灵活性和变形技巧，因此，这是解题成功的关键 也是难点．
第二十七页，共35页。
【变式训练 2】 (1)实数 x，y 满足 xy>0，且 x2y＝4，求 xy＋x2 的最小值．
(2)已知 x，b，c∈R＋，求ab＋bc＋acba＋bc＋ac的最小值．
第二十八页，共35页。
解 (1)∵xy>0，x2y＝4， ∴y＝x42>0，x>0. ∴xy＋x2＝x·x42＋x2＝4x＋x2 ＝2x＋2x＋x2≥3 3 2x·2x·x2＝33 4. 当且仅当 2x＝x2，即 x＝3 2时， xy＋x2 取得最小值 33 4.
高中数学 1.1.3三个正数的算术—几何平均不等式课件 新人教A版选修45
第一讲 不等式和绝对值不等式 1．1 不 等 式
1.1.3 三个正数的算术—几何平均不等式
栏 目 链 接
1．会用三项的平均值不等式证明一些简单问题．
2．能够利用三项的平均值不等式求一些特定函数的 最值，从而学会解决简单的应用问题．
栏 目 链 接
1．三个正数的算术—几何平均不等式．
(1)如果 a1，a2，a3∈R＋，则a1＋a32＋a3叫做这 3 个正数的算
___几__何___平均数．
思考 2 若 x＞0，则x3＋x3＋x3＋2x73 ___≥___4.
栏 目 链 接
题型一 利用定理3证明不等式
例 1 设 a，b，c∈R＋，求证：(a＋b＋c)(1a＋1b＋1c)≥9.
分析：观察式子的结构，通过变形转化来证明．
证明：：∵a，b，c∈R＋，
∴a＋b＋c≥33 abc，1a＋1b＋1c≥33 abc －1，两不等式相乘，
有：(a＋b＋c)(1a＋1b＋1c)≥33 abc×33 abc －1＝9. ∴(a＋b＋c)(1a＋1b＋1c)≥9. 当且仅当 a＝b＝c＝0 时，等号成立．
点评：不等式的证明方法比较多．关键是从式子的 结构入手进行分析．多联想定理3的形式以便用好它．
变式 训练
1．已知 a，b，c∈R＋，a＋b＋c＝1，求证：1a＋1b＋1c≥9. 证明：∵a，b，c∈R＋，a＋b＋c≥33 abc.又 a＋b＋c＝1，∴3 abc
解析：y2＝14sin4θcos2θ＝18×2sin2θ sin2θ cos2θ
≤81sin2θ＋sin32θ＋2 cos2θ3＝217. 当且仅当 sin2 θ＝2cos2θ＝2－2sin2θ.
即
sin
Hale Waihona Puke θ＝36时取等号，此时
1.1.3 三个正数的算术—几何平均不等式
栏 目 链 接
1．会用三项的平均值不等式证明一些简单问题．
2．能够利用三项的平均值不等式求一些特定函数的 最值，从而学会解决简单的应用问题．
栏 目 链 接
1．三个正数的算术—几何平均不等式．
(1)如果 a1，a2，a3∈R＋，则a1＋a32＋a3叫做这 3 个正数的算
___几__何___平均数．
思考 2 若 x＞0，则x3＋x3＋x3＋2x73 ___≥___4.
栏 目 链 接
题型一 利用定理3证明不等式
例 1 设 a，b，c∈R＋，求证：(a＋b＋c)(1a＋1b＋1c)≥9.
分析：观察式子的结构，通过变形转化来证明．
证明：：∵a，b，c∈R＋，
∴a＋b＋c≥33 abc，1a＋1b＋1c≥33 abc －1，两不等式相乘，
有：(a＋b＋c)(1a＋1b＋1c)≥33 abc×33 abc －1＝9. ∴(a＋b＋c)(1a＋1b＋1c)≥9. 当且仅当 a＝b＝c＝0 时，等号成立．
点评：不等式的证明方法比较多．关键是从式子的 结构入手进行分析．多联想定理3的形式以便用好它．
变式 训练
1．已知 a，b，c∈R＋，a＋b＋c＝1，求证：1a＋1b＋1c≥9. 证明：∵a，b，c∈R＋，a＋b＋c≥33 abc.又 a＋b＋c＝1，∴3 abc
解析：y2＝14sin4θcos2θ＝18×2sin2θ sin2θ cos2θ
≤81sin2θ＋sin32θ＋2 cos2θ3＝217. 当且仅当 sin2 θ＝2cos2θ＝2－2sin2θ.
即
sin
Hale Waihona Puke θ＝36时取等号，此时
高中数学 1.1.3三个正数的算术-几何平均不等式课件 新人教A版选修4-5
第一讲 不等式和绝对值不等式 1．1 不 等 式
1．1.3 三个正数的算术—几何平均不等式
ppt精选
1
ppt精选栏ຫໍສະໝຸດ 目 链 接2利用定理 3 证明不等式
设 a，b，c 为正实数，求证：a13＋b13＋c13＋abc≥2 3.
栏
证明：因为 a，b，c 为正实数，
目 链
接
由三个正数的算术一几何平均不等式可得：
a13＋b13＋c13≥3 3 a13·b13·c13， 即a13＋b13＋c13≥a3bc，
ppt精选
3
ppt精选
栏 目 链 接
4
►变式训练
1．已知 a，b，c∈R＋，a＋b＋c＝1，求证：1a＋1b＋1c≥9.
证明：∵a，b，c∈R＋，a＋b＋c≥33 abc.又 a＋b＋c＝1，
栏
∴3 abc≤13，∴3 1 ≥3，
是指满足等号成立的条件．若连续两次使用三个正
数的算术—几何平均不等式求最值，必须使两次等
号成立的条件要一致，否则最值取不到．
ppt精选
7
感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络， 如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！
接
x2)×，求出最值后再开方．
ppt精选
6
点评：三个正数的算术—几何平均不等式具有将
“和式”转化为“积式”的功能．运用三个正数的
算术—几何平均不等式时，一定要注意应用的前提：
“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指 栏
目
“正数”，“二定”是指应用三个正数的算术—几
链 接
何平均不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”
目 链 接
abc
∴a1＋1b＋1c≥3 3 a1bc≥9. 即原不等式成立．当且仅当 a＝b＝c＝13时，“＝”成立
1．1.3 三个正数的算术—几何平均不等式
ppt精选
1
ppt精选栏ຫໍສະໝຸດ 目 链 接2利用定理 3 证明不等式
设 a，b，c 为正实数，求证：a13＋b13＋c13＋abc≥2 3.
栏
证明：因为 a，b，c 为正实数，
目 链
接
由三个正数的算术一几何平均不等式可得：
a13＋b13＋c13≥3 3 a13·b13·c13， 即a13＋b13＋c13≥a3bc，
ppt精选
3
ppt精选
栏 目 链 接
4
►变式训练
1．已知 a，b，c∈R＋，a＋b＋c＝1，求证：1a＋1b＋1c≥9.
证明：∵a，b，c∈R＋，a＋b＋c≥33 abc.又 a＋b＋c＝1，
栏
∴3 abc≤13，∴3 1 ≥3，
是指满足等号成立的条件．若连续两次使用三个正
数的算术—几何平均不等式求最值，必须使两次等
号成立的条件要一致，否则最值取不到．
ppt精选
7
感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络， 如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！
接
x2)×，求出最值后再开方．
ppt精选
6
点评：三个正数的算术—几何平均不等式具有将
“和式”转化为“积式”的功能．运用三个正数的
算术—几何平均不等式时，一定要注意应用的前提：
“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指 栏
目
“正数”，“二定”是指应用三个正数的算术—几
链 接
何平均不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”
目 链 接
abc
∴a1＋1b＋1c≥3 3 a1bc≥9. 即原不等式成立．当且仅当 a＝b＝c＝13时，“＝”成立
113三个正数的算术几何平均不等式课件人教A版选修45
1．三个正数的算术－几何平均不等式 (1)如果a，b，c∈R＋，那么a3＋b3＋c3 ≥ 3abc，当且仅 当a＝b＝c时，等号成立．
(2)定理3：如果a，b，c∈R＋，那么a＋3b＋c ≥ 3 abc， 当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立．
即：三个正数的算术平均 不小于 它们的几何平均．
2．基本不等式的推广 对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均不小于 它 们的几何平均，即a1＋a2＋n …＋an ≥ n a1a2…an，当且仅当a1 ＝a2＝…＝an时，等号成立． 3．利用基本不等式求最值 若a，b，c均为正数，①如果a＋b＋c是定值S，那么 a＝b＝c 时，积abc有 最大 值；②如果积abc是定值P，那么 当a＝b＝c时，和 a＋b＋c 有最小值．
【解析】 ∵f(x)＝5x＋2x02 ＝52x＋52x＋2x02 ≥33 53＝15. 当52x＝2x02 ，即x＝2时取等号．
【答案】 15
且仅当x44＝x22，即x＝± 2时，等号成立， ∴ymin＝3.
利用平均不等式求最值
已知x∈R＋，求函数y＝x(1－x2)的最大值． 【思路探究】 为使数的“和”为定值，可以先平方，
即y2＝x2(1－x2)2＝x2(1－x2)(1－x2)＝2x2(1－x2)(1－x2)×12，求 出最值后再开方．
2．若a＞b＞0，则a＋ba1－b的最小值为(
)
A．0
B．1
C．2
D．3
【解析】 ∵a＋ba1－b＝(a－b)＋b＋ba1－b
3 ≥3
a－b·b·ba1－b＝3，当且仅当a＝2，b＝1时取等
号，
∴a＋ba1－b的最小值为3.故选D. 【答案】 D
3．函数 f(x)＝5x＋2x02 (x>0)的最小值为________．
(2)定理3：如果a，b，c∈R＋，那么a＋3b＋c ≥ 3 abc， 当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立．
即：三个正数的算术平均 不小于 它们的几何平均．
2．基本不等式的推广 对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均不小于 它 们的几何平均，即a1＋a2＋n …＋an ≥ n a1a2…an，当且仅当a1 ＝a2＝…＝an时，等号成立． 3．利用基本不等式求最值 若a，b，c均为正数，①如果a＋b＋c是定值S，那么 a＝b＝c 时，积abc有 最大 值；②如果积abc是定值P，那么 当a＝b＝c时，和 a＋b＋c 有最小值．
【解析】 ∵f(x)＝5x＋2x02 ＝52x＋52x＋2x02 ≥33 53＝15. 当52x＝2x02 ，即x＝2时取等号．
【答案】 15
且仅当x44＝x22，即x＝± 2时，等号成立， ∴ymin＝3.
利用平均不等式求最值
已知x∈R＋，求函数y＝x(1－x2)的最大值． 【思路探究】 为使数的“和”为定值，可以先平方，
即y2＝x2(1－x2)2＝x2(1－x2)(1－x2)＝2x2(1－x2)(1－x2)×12，求 出最值后再开方．
2．若a＞b＞0，则a＋ba1－b的最小值为(
)
A．0
B．1
C．2
D．3
【解析】 ∵a＋ba1－b＝(a－b)＋b＋ba1－b
3 ≥3
a－b·b·ba1－b＝3，当且仅当a＝2，b＝1时取等
号，
∴a＋ba1－b的最小值为3.故选D. 【答案】 D
3．函数 f(x)＝5x＋2x02 (x>0)的最小值为________．
1.1.3.三个正数的算术__几何平均不等式 课件(人教A选修4-5)
[小问题· 大思维]
a＋b＋c 3 1．满足不等式 ≥ abc成立的 a，b，c 的范围是什么？ 3
提示：a，b，c的范围为a≥0，b≥0，c≥0. 2．应用三个正数的算术—几何平均不等式，求最值应注意 什么？ 提示：三个正数的和为定值，积有最大值；积为定值，
和有最小值．当且仅当三个正数相等时取得．
本题考查基本不等式、算术—几何平均值
不等式等基础知识，同时考查了等号成立的条件及推理运算 能力．
[证明] 法一：因为 a，b，c 均为正数，由平均值不 等式得 a2＋b2＋c2≥3(abc) ，
1 － 1 1 1 ＋b＋ c≥3(abc) 3 ， a 2 3
①
1 1 12 所以(a＋b＋ c) ≥9(abc)
设圆柱体的底面半径为 r，如图，由相似 H－h r R 三角形的性质可得 H ＝R，∴r＝H(H－h)． πR2 ∴V 圆柱＝πr2h＝ 2 (H－h)2h(0＜h＜H)． H 根据平均不等式可得 4πR2 H－h H－h 4πR2 H 3 V 圆柱＝ 2 · · · h≤ 2 ( ) H 2 2 H 3 4 2 ＝ πR H. 27 H－h 1 4 2 当且仅当 ＝h，即 h＝ H 时，V 圆柱最大＝ πR H. 2 3 27
中的应用.2012年昆明模拟以解答题的形式考查了算术—
几何平均值不等式在证明不等式中的应用，是高考模拟命
题的一个新亮点．
[考题印证]
(2012· 昆明模拟)已知 a，b，c 均为正数，证明：a2＋b2＋ 1 1 12 c ＋(a＋b＋c ) ≥6 3，并确定 a，b，c 为何值时，等号成立．
2
[命题立意]
的条件是否保持一致．
[通一类] 2．设0<a<1,0<b<1,0<c<1，
选修4-5_三个正数的算术--几何平均不等式_课件(14张)
仍然类比基本不等式的推出过程，我们先证明：
如果a,b, c R+,那么a3 b3 c3 3abc，
当且仅当ａ＝ｂ＝ｃ时，等号成立．
证明 ∵ a3 b3 c3 3abc (a b)3 c3 3a3b 3ab2 3abc
(a b c) (a b)2 (a b)c c2 3ab(a b c) (a b c)(a2 b2 c2 ab bc ca)
选修4－5
不等式选讲
第一讲 不等式与绝对值不等式
一 不等式
3.三个正数的算术-几何平均不等式
复习
1.重要不等式 a2 b2 2ab
2.基本不等式
a b ab 2
①代数意义：两个正数的算术平均不小于它们的几何平均.
②几何意义：直角三角形斜边上的中线不小于斜边上的高.
③一正,二定,三相等,四同时. ④积定和最小,和定积最大.
思考
基本不等式给出了两个正数的算术平均与几何平
均的关系.这个不等式能否推广呢？例如，对于3个 正数，会有怎样的不等式成立呢？
类比基本不等式的形式，我们猜想，对于3个正 数a,b,c,可能有：
若a, b, c
R , 那么 a
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱb 3
c
3
abc ,
当且仅当a b c时，等号成立。
如何证明这个猜想呢？
当且仅当a b c时，等号成立。
语言表述：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均.
变形： a b c 33 abc
abc ( a b c )3 3
推广 （n个正数的算术-几何平均不等式）
人教A版选修4-5：1.1.3三个正数的算术-几何平均不等式课件(共23张PPT)
27
归纳延伸 三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一些不等式 及求函数的最值，，但是在应用时，应注意定理的适用条件。
作业：P10 8、9、12、13
小结： 三个正数的算术-几何平均不等式
定理 若a, b.c R , 那么 a b c 3 abc , 3
当且仅当a b c时，等号成立。
解: 0 x 1, 1 x 0,
构造三
y x2 (1 x) 4 x x (1 x) 22
个数相 加等于
x x 1 x
4( 2 2
)3
4
3
27
定值.
当 x 2
1
x,
x
2 时, 3
ymax
4 27
.
(2)当0 x 1时,求函数y x(1 x2 )的最大值.
解: 0 x 1, 1 x2 0,
3、多次运用基本不等式时注意等号成立的条件。
课 堂
1.均值定理的应用范围广泛, 要关注 变量的取值要求和等号能否成立,
小 还要注意它的变式的运用,如:
结
a2 b2 2ab;
a2 b2 c2 ab bc ca;
(a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd )2
ab a b (a2 b2 ) 等.
2x
即9 ，
x2
x 时 1等3 36号成立.
2
构造三个数相乘 积等于定值.
2、若x, y R , xy2 4则x y的最小值是 _B_
A、4 B、3 C、6 D、5
解析：x y x y y 33 x y y 3
22
22
当且仅当x y 且xy2 4时，上式取等号 2
3: (1)当0 x 1时,求函数y x2 (1 x)的最大值.
推荐-高中数学人教A版选修4-5课件1.1.3 三个正数的算术-几何平均不等式
“二定”:包含两类求最值问题,一是已知n个正数的和为定值(即 a1+a2+…+an为定值),求其积a1a2…an的最大值;二是已知乘积 a1a2…an为定值,求其和a1+a2+…+an的最小值.
“三相等”:取等号的条件是a1=a2=a3=…=an,不能只是其中一部 分相等.
不等式a2+b2≥2ab与a3+b3+c3≥3abc的运用条件不一样,前者要 求a,b∈R,后者要求a,b,c∈R+.要注意区别.
题型一 题型二 题型三 题型四
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z重难聚 H焦ONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
【变式训练 2】
已知
0<a<1,求证:
1 ������
+
14-������≥9.
证明:
1 ������
+
4 1-������
=
1 ������
+
2 1-������
反思三个正数的算术-几何平均不等式定理,是根据不等式的意 义、性质和比较法证出的,因此,凡是可以利用该定理证明的不等 式,一般都可以直接应用比较法证明,只是在具备条件时,直接应用 该定理会更简便.若不直接具备“一正二定三相等”的条件,要注意 经过适当的恒等变形后再使用定理证明.
连续多次使用算术-几何平均不等式定理时要注意前后等号成 立的条件是否保持一致.
Z重难聚 H焦ONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
题型一 题型二 题型三 题型四
题型三 应用三个正数的算术-几何平均不等式解决实际问题
【例3】 如图,在一张半径是2 m的圆桌的正中央上空挂一盏电
“三相等”:取等号的条件是a1=a2=a3=…=an,不能只是其中一部 分相等.
不等式a2+b2≥2ab与a3+b3+c3≥3abc的运用条件不一样,前者要 求a,b∈R,后者要求a,b,c∈R+.要注意区别.
题型一 题型二 题型三 题型四
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z重难聚 H焦ONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
【变式训练 2】
已知
0<a<1,求证:
1 ������
+
14-������≥9.
证明:
1 ������
+
4 1-������
=
1 ������
+
2 1-������
反思三个正数的算术-几何平均不等式定理,是根据不等式的意 义、性质和比较法证出的,因此,凡是可以利用该定理证明的不等 式,一般都可以直接应用比较法证明,只是在具备条件时,直接应用 该定理会更简便.若不直接具备“一正二定三相等”的条件,要注意 经过适当的恒等变形后再使用定理证明.
连续多次使用算术-几何平均不等式定理时要注意前后等号成 立的条件是否保持一致.
Z重难聚 H焦ONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
题型一 题型二 题型三 题型四
题型三 应用三个正数的算术-几何平均不等式解决实际问题
【例3】 如图,在一张半径是2 m的圆桌的正中央上空挂一盏电
第一讲一3.三个正数的算术几何平均不等式课件
正方形边长的1
27 时，盒子的容积最大.
6
例2 问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的 容积最大？
解：设切去的正方形边长为x, 无盖方底
盒子的容积为V ,则
V (a 2x)2 x （0 x a ）
注意：
1 (a 2x)(a 2x)x 2
一正、
4
1 4
(a
2x)
（a 3
2x）
4x
3
a2 b2 2ab
a3 b3 c3 3abc
证明:若a,b,c R ,则a3 b3 c3 3abc, 当且仅当a b c时,等号成立.
证明：因为
a3 b3 c3 3abc (a b)3 3a3b 3ab2 c3 3abc (a b)3 c3 3a3b 3ab2 3abc
思考 如何证明呢？
思考 基本不等式给出了两个正数的算术平均与几何 平均的关系，这个不等式能否推广呢？例如对于三个 正数，会有怎样的不等式成立？
类比 对于两个正数 a,b
猜想 对于三个正数 a,b,c
如果 a,b R ,那 么
如果a,b,c R,那么
a
2
b
a b，
ab 3
c
3
abc,
当且仅当a b时，等号成立.当且仅当a b c时，等式成立.
二定、 三相等.
2a3
27 当且仅当a
2x
a
2x
4x,即x
a
时，不等式取等号，
此时V取最大值 2a3 .
6 即当切去的小正方形边长是原来
正方形边长的1
27 时，盒子的容积最大.
6
课堂小结 适用范围 均值不等式 相关概念 语言表述 推论
应用 求最值条件
选修4-5_一3._三个正数的算术--几何平均不等式_课件(14张)
1. 求函数y 2x2 3 , (x 0)的最小值. x
2. 当0 x 1时,求函数y x(1 x2 )的最大值.
3.设θ为锐角，求y=sin2θcosθ的最大值.
4.
已知
0<a<1,求证:
1 ������
+
14-������≥9.
小结
1.三个正数的算术-几何平均不等式
若a, bc
仍然类比基本不等式的推出过程，我们先证明：
如果a,b, c R+,那么a3 b3 c3 3abc，
当且仅当ａ＝ｂ＝ｃ时，等号成立．
证明 ∵ a3 b3 c3 3abc (a b)3 c3 3a3b 3ab2 3abc
(a b c) (a b)2 (a b)c c2 3ab(a b c) (a b c)(a2 b2 c2 ab bc ca)
1 2
(a
b
c)
(a
b)2
(b
c)2
(c
a)2
0,
∴ a3 b3 c3 3abc
当且仅当ａ＝ｂ＝ｃ时，等号成立．
对上述结果作简单的恒等变形，就可以得到
定理3 (三个正数的算术-几何平均不等式)
若a，b，c R+ , 那么 a b c 3 abc , 3
当且仅当a b c时，等号成立。
语言表述：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均.
变形： a b c 33 abc
abc ( a b c )3 3
推广 （n个正数的算术-几何平均不等式）
2. 当0 x 1时,求函数y x(1 x2 )的最大值.
3.设θ为锐角，求y=sin2θcosθ的最大值.
4.
已知
0<a<1,求证:
1 ������
+
14-������≥9.
小结
1.三个正数的算术-几何平均不等式
若a, bc
仍然类比基本不等式的推出过程，我们先证明：
如果a,b, c R+,那么a3 b3 c3 3abc，
当且仅当ａ＝ｂ＝ｃ时，等号成立．
证明 ∵ a3 b3 c3 3abc (a b)3 c3 3a3b 3ab2 3abc
(a b c) (a b)2 (a b)c c2 3ab(a b c) (a b c)(a2 b2 c2 ab bc ca)
1 2
(a
b
c)
(a
b)2
(b
c)2
(c
a)2
0,
∴ a3 b3 c3 3abc
当且仅当ａ＝ｂ＝ｃ时，等号成立．
对上述结果作简单的恒等变形，就可以得到
定理3 (三个正数的算术-几何平均不等式)
若a，b，c R+ , 那么 a b c 3 abc , 3
当且仅当a b c时，等号成立。
语言表述：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均.
变形： a b c 33 abc
abc ( a b c )3 3
推广 （n个正数的算术-几何平均不等式）
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3
3
33 2x2
3
3
9 33
x
2x 2x
2x 2x 2
当 且 仅 当2x2 3 即x 3 3时
2x
4
ymin
33
9 2
33 2
36
变式：
1、函数y
3x
12 x2
(
x
0)的最小值是（
C）
A、6 B、6 6 C、9
D、12
2、函数y
4x2
(
16 x2 1)2
的最小值是
__8____
例2 如下图，把一块边长是a的正方形铁 片的各角切去大小相同的小正方形，再把 它的边沿着虚线折转成一个无盖方底的盒 子,问切去的正方形边长是多少时，才能使 盒子的容积最大？
A.0,
1 8
B
.
1 8
,1
C
1,
1 8
D8,
7.求函数y sin x cos2 x, x (0, )的最大值.
2
小结：
这节课我们讨论了利用平均值定理求某些 函数的最值问题。现在，我们又多了一种 求正变量在定积或定和条件下的函数最值 的方法。这是平均值定理的一个重要应用 也是本章的重点内容，应用定理时需注意 “一正二定三相等”这三个条件缺一不可， 不可直接利用定理时，要善于转化，这里 关键是掌握好转化的条件，通过运用有关 变形的具体方法，以达到化归的目的。
（２）若三个正数的和是一个常数，那么 当且仅当这三个正数相等时，它们的积有 最大值．
n个正数的算术—几何平均不等式：
若a1 , a2 , a3 , , an R ,则
a1
a2
a3 n
an
n
a1a2a3
an ,
当且仅当a1 a2 a3 an时, 等号成立.
例１ 求函数 y 2x2 3 ( x 0)的最小值． x
下面解法是否正确？为什么？
解法１：由 x 0 知 2x2 0, 3 0 ，则
x
y 2x2 3 2 2x2 3 2 6x
x
x
当且仅当 2x2
3 即x x
3
3时, 2
ymin
2
63 3 23 18 2
例１ 求函数 y 2x2 3 ( x 0) 的最小值．
x
下面解法是否正确？为什么？
x
a
解：设切去的正方形边长为x，无盖方底
盒子的容积为V，则
V (a 2 x)2 x 1 (a 2x)(a 2x) 4x
4
1 4 a
2x)
4x
3
2a 3 27
2x 4x即当
x
a
6
时，不等式取等号，此时Ｖ取最大值 2a3 ．
27
即当切去的小正方形边长是原来正方形边
类比基本不等式的形式，猜想对于3个正 数a，b，c，可能有
类比基本不等式的形式，猜想对于3个正
数a，b，c，可能有 a,b,c R ，那么
a b c 3 abc ，当且仅当a=b=c时，等 3
号成立．
证明 : 若a,b,c R ,则a3 b3 c3 3abc, 当且仅当a b c时,等号成立.
解法2：由 x 0 知 2x2 0, 1 0, 2 0 ，则 xx
y 2x2 3 2x2 1 2 33 2x2 1 2 33 4
x
xx
xx
ymin 33 4
例 １ 求函数 y 2x2 3 ( x 0)的最小值．
x
解法３：由x
0知
2x2
0,
3 2x
0,
则
y 2x2 3 2x2
C、6
D、非上述答案
4、已知a, b, c R , 且a b c 1,则
1 1 1 的值不小于__9___ abc
5.a, b, c
R
, 求 证(a
b
c)( a
1
b
b
1
c
c
1
a
)
9 2
6.设M
(1 a
1)( 1 b
1)( 1 c
1)且a
b
c
1(a, b, c
R
),
则M的取值范围是( D )
长的 1 时，盒子的容积最大．
6
练习：
1、函数y x4(2 x2 )(0 x 2)的最大值是
（ D） A、0 B、1
16
C、27
32
D、27
2、若a, b R且a b,则a 1 3__
(a b)b
3、若x, y R , xy2 4则x 2 y的最小值是（B）
A、4
B、33 4
和的立方公式：
( x y)3 x3 3x2 y 3xy2 y3
立方和公式：
x3 y3 ( x y)( x2 xy y2 )
定理 如果 a,b,c R ，那么a
当且仅当a=b=c时，等号成立．
b 3
c
3
abc
（１）若三个正数的积是一个常数，那么 当且仅当这三个正数相等时，它们的和有 最小值．
ab
bc
ac
3
S
3
S3
3 6 216
作业： 习题１.１（第１１页）第１２、１４题
思考题：
已知：长方体的全面积为定值Ｓ，试问这 个长方体的长、宽、高各是多少时，它的 体积最大，求出这个最大值．
解：设长方体的体积为V，长、宽、高分别 是a，b，c，则V=abc，S=2ab+2bc+2ac
V 2 (abc)2 (ab)(bc)(ac)