现代数字信号处理课程回顾
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m0
k=0, 1, 2, …
利用白化x(n)的方法求解维纳-霍夫方程:
x(n)=s(n)+υ (n) H(z) (a)
ˆ( n) y ( n) s
x(
x(n)
1 B( z )
w(n)
G(z) (b)
ˆ( n) y ( n) s
x(
图2.3.5 利用白化x(n)的方法求解维纳-霍夫方程
因果维纳滤波器的复频域最佳解为
1 S xs ( z ) H opt ( z ) 2 1 B( z ) B( z ) B ( z ) Gopt ( z ) 1
因果维纳滤波的最小均方误差为
E[| e(n) |2 ]min rss (0)
k 0
w( n )
q
H( z)
1 bi z i 1 ai z i
i 1 i 1 p
x( n )
ARMA模型 MA模型
B( z ) H ( z) A( z )
Pxx ( )
2 w
B (e ) A(e j )
2 w j
j
2
H ( z ) B( z )
Pxx ( ) B(e )
Pxx ( )
2 w
2
AR模型
1 H ( z) A( z )
1 A(e j )
2
滤波器阶数：
对于IIR滤波器或者AR模型、ARMA模型，阶数是指p的 大小，如果用差分方程表示，则p就是差分方程的阶数。
对于FIR滤波器或者MA模型的阶数，则是指q的大小，或 者说是它的长度减1。 三种信号模型可以相互转化，而且都具有普遍适用性， 但 是对于同一时间序列用不同信号模型表示时，却有不同的效率。 这里说的效率, 指的是模型的系数愈少，效率愈高。
rxx (0) a pk rxx (k )
k 1
p
得到下面的方程组：
rxx (0) a pk rxx (k ) E[| e(n) | ]min k 1 p rxx (l ) a pk rxx (k l ) 0 l 1,2, , p k 1
谱分解定理：
如果功率谱Pxx(ejω)是平稳随机序列x(n)的有理谱，那么一定 存在一个零极点均在单位圆内的有理函数H(z),
q q
H ( z)
满足
B( z ) A( z )
k b z k k a z k k 0 k 0 p
1 ( 1 z ) k 1 ( 1 z ) k k 1 k 1 p
rxx (0) rxx (1) Rxx rxx ( M 1)
rxx ( M 1) rxx (0) rxx ( M 2) rxx ( M 2) rxx (0) rxx (1)
rxx m rxs m rxv m rss m rvv m
信号和噪声不相关时
S xs ( z ) Sss ( z ) H opt ( z ) S xx ( z ) Sss ( z ) Svv ( z )
因果IIR维纳滤波求解：
对于因果IIR维纳滤波器，其维纳－霍夫方程为
r xd (k ) h(m)rxx (k m) h(k ) rxx (k )
相关卷积定理：
卷积的相关函数等于相关函数的卷积
e(n)=a(n)*b(n)
f(n)=c(n)*d(n) ref(m)=rac(m) * rbd(m)
ryy(m)= rxx(m)*v(m)=rxy(m)*h(-m)
r h (m) h(m), rh (m) h(m)
时间序列信号模型：
| rws (k ) |2
2 w
1 dz 1 S ss ( z ) H opt ( z ) S xs ( z ) z 2πj C
通过前面的分析 , 因果维纳滤波器设计的一般方法可以按 下面的步骤进行：
(1) 根据观测信号x(n)的功率谱求出它所对应的信号模型的
传输函数，即采用谱分解的方法得到B(z)。 S xs ( z) (2) 求 B( z 1 ) 的Z反变换，取其因果部分再做 Z变换，即 S xs ( z ) 舍掉单位圆外的极点，得 1 B ( z ) (3) 积分曲线取单位圆，应用（2.3.38）式和（2.3.39）式，计 算Hopt(z), E［|e(n)|2］min。
p 2
将方程组写成矩阵形式 （Yule-Walker方程）
rxx (0) rxx (1) rxx ( p) rxx (1) rxx (0) rxx ( p 1) r ( p) r ( p 1) r (0) xx xx xx
rxx (0) | rxx (m) |
各态遍历性：
只要一个实现时间充分长的过程能够表现出各个实现的特 征，就可以用一个实现来表示总体的特性。
1 N mx (n) E[ X (n)] lim x(n, i ) N N i 1
N 1 x(n) lim x ( n) N 2 N 1 n N
非因果IIR维纳滤波求解：
r xd (k )
m
h ( m) r
xx
(k m) h(k ) rxx (k )
设定d(n)=s(n)，对上式两边做Z变换，得到
Sxs(z)=Hopt(z)Sxx(z)
S xs ( z ) H opt ( z ) S xx ( z )
D (m)
2 x
rxx (m)
2 x (m)
cov xx (m)
2 mx
m
m
rxx (m) 的特性
cov xx (m) 的特性
rxx (m) rxx (m), cov xx (m) cov xx (m) rxy (m) ryx (m), cov xy (m) cov yx (m)
现代数字信号处理课程回顾
第一章 时域离散随机信号的分析 第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 第三章 自适应数字滤波器 第四章 功率谱估计 第五章 时频分析
第一章 时域离散随机信号的分析
主要内容：
平稳随机信号的统计描述 随机序列数字特征的估计 平稳随机序列通过线性系统 时间序列信号模型
维纳预测：
x(n)=s(n)+υ (n) H(z)
ˆ(n) y(n) s
x(
图2.4.1(a)
维纳滤波器
ˆ(n N ) y(n) s
x(n)=s(n)+υ (n)
H(z)
图2.4.1(b)
维纳预测器
2
ˆ(n N ) min E s(n N ) s
一步线性预测：
ryy (m)
rxx (m) v m
l
* r ( m l ) h xx (k )h(l k )
rxx (m) h* (m) * h m
2 1 j j j Pyy ( z ) Pxx ( z ) H ( z ) H * Pyy e Pxx e H e z *
自相关函数及其性质：
对一个随机序列的统计描述，可以由这个序列的 自相关函数来高度概括。 对一平稳随机信号，只要知道它的自相关函数， 就等于知道了该随机信号的主要数字特征。
2 Dx2 E x n rxx (0); 2 mx rxx (); 2 2 x2 E x n m x rxx (0) rxx ( )
min
e
j
2 j
hopt (n)
维纳—霍夫方程：
* * * E x(n k ) d (n) h (m) x (n m) 0 m 0
维纳-霍夫（Wiener－Hopf）方程：
rxd (k ) h(m)rxx (k m) h( k ) rxx ( k )
Pxx ( z) H ( z)H ( z )
2 w 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 0
2 w
式中，ak, bk都是实数，a0=b0=1, 且|αk|＜1, |βk|＜1。
rxx(m)
Z变换 Z反变换
Pxx(z)
谱分解
H (z )
2 Pxx ( z) w H ( z)H ( z 1 )
自相关函数、功率谱、时间序列信号模型三者之间关系
〈x*(n)x(n+m)〉=rxx(m)=E［X*(n)X(n+m)］
功率密度谱：
维纳–––辛钦定理（Wiener-Khinchin Theorem）
Pxx (e ) rxx (m)e
j
j m
1 rxx (m) 2
P
-
xx
(e )e
j
j m
d
Pxx () Pxx ()
〈x(n)〉=mx=E［X(n)］
1 N * rxx (n, m) E[ X (n) X (m)] lim x (n, i)x(m, i) N N i 1
*
N 1 * x (n) x(n m) lim x (n) x(n m) N 2 N 1 n N *
Pxx(ω)≥0
随机序列数字特征的估计：
估计准则：无偏性、有效性、一致性 1 N 1 ˆ x xi 均值的估计： m
N
i 0
方差的估计：
1 ˆ N
2 x
2 ˆ ( x m ) n x n 0
N 1
N |m|1 1 自相关函数的估计： ˆxx (m) r x(n) x(n m) N | m | n 0
第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波
主要内容：
FIR维纳滤波求解 IIR维纳滤波求解 维纳一步线性预测
最佳滤波器：
s(n) x(n) h(n) y(n) v(n)
x(n)=s(n)+v(n)
ˆ(n) h(m) x(n m) y(n) s
m
e(n) s(n) y(n)
2 2 min E e ( n ) h ( n ) E e opt ( n) min
采用p个最近的采样值来预测时间序列下一时刻的 值，包括前向预测和后向预测两种。
后向预测
x(n －p ) , x(n －p ＋1) , … , x(n －2) , x(n －1) , x(n )
前向预测
前向预测：
ˆ(n) x ˆ ( n) h( k ) x ( n k ) y ( n) s
1 h hopt Rxx Rxd
2 * T 1 2 * T E[| e(n) |2 ]min d ( Rxd ) Rxx Rxd d ( Rxd ) hopt
h1 h 2 h hM
rxd (0) r (1) Rxd xd rxd ( M 1)
m
0 m M 1 0 m m
FIR 维纳滤波器 因果IIR 维纳滤波器 非因果IIR 维纳滤波器
FIR维纳滤波求解：
rxd (k ) h(m)rxx (k m) h(k ) rxx (k )
m 0 M 1
k=0, 1, 2, …
Rxd Rxxh
k 1 p
ˆ (n) x(n) a pk x(n k ) a pk x(n k ) e(n) x(n) x
k 1 k 0
p
p
ˆ(n))] E[e* (n) x(n)] E[| e(n) |2 ]min E[e* (n)( x(n) x
p * * E x (n) a pk x (n k ) x(n) k 1
1 ' ˆxx r ( m) N
N |m|1
n 0
x ( n ) x ( n m)
平稳随机序列通过线性系统：
y (n)
k
h( k ) x ( n k )
k
m y E[ y (n )]
h(k ) E[ x(n k )]
k
k=0, 1, 2, …
利用白化x(n)的方法求解维纳-霍夫方程:
x(n)=s(n)+υ (n) H(z) (a)
ˆ( n) y ( n) s
x(
x(n)
1 B( z )
w(n)
G(z) (b)
ˆ( n) y ( n) s
x(
图2.3.5 利用白化x(n)的方法求解维纳-霍夫方程
因果维纳滤波器的复频域最佳解为
1 S xs ( z ) H opt ( z ) 2 1 B( z ) B( z ) B ( z ) Gopt ( z ) 1
因果维纳滤波的最小均方误差为
E[| e(n) |2 ]min rss (0)
k 0
w( n )
q
H( z)
1 bi z i 1 ai z i
i 1 i 1 p
x( n )
ARMA模型 MA模型
B( z ) H ( z) A( z )
Pxx ( )
2 w
B (e ) A(e j )
2 w j
j
2
H ( z ) B( z )
Pxx ( ) B(e )
Pxx ( )
2 w
2
AR模型
1 H ( z) A( z )
1 A(e j )
2
滤波器阶数：
对于IIR滤波器或者AR模型、ARMA模型，阶数是指p的 大小，如果用差分方程表示，则p就是差分方程的阶数。
对于FIR滤波器或者MA模型的阶数，则是指q的大小，或 者说是它的长度减1。 三种信号模型可以相互转化，而且都具有普遍适用性， 但 是对于同一时间序列用不同信号模型表示时，却有不同的效率。 这里说的效率, 指的是模型的系数愈少，效率愈高。
rxx (0) a pk rxx (k )
k 1
p
得到下面的方程组：
rxx (0) a pk rxx (k ) E[| e(n) | ]min k 1 p rxx (l ) a pk rxx (k l ) 0 l 1,2, , p k 1
谱分解定理：
如果功率谱Pxx(ejω)是平稳随机序列x(n)的有理谱，那么一定 存在一个零极点均在单位圆内的有理函数H(z),
q q
H ( z)
满足
B( z ) A( z )
k b z k k a z k k 0 k 0 p
1 ( 1 z ) k 1 ( 1 z ) k k 1 k 1 p
rxx (0) rxx (1) Rxx rxx ( M 1)
rxx ( M 1) rxx (0) rxx ( M 2) rxx ( M 2) rxx (0) rxx (1)
rxx m rxs m rxv m rss m rvv m
信号和噪声不相关时
S xs ( z ) Sss ( z ) H opt ( z ) S xx ( z ) Sss ( z ) Svv ( z )
因果IIR维纳滤波求解：
对于因果IIR维纳滤波器，其维纳－霍夫方程为
r xd (k ) h(m)rxx (k m) h(k ) rxx (k )
相关卷积定理：
卷积的相关函数等于相关函数的卷积
e(n)=a(n)*b(n)
f(n)=c(n)*d(n) ref(m)=rac(m) * rbd(m)
ryy(m)= rxx(m)*v(m)=rxy(m)*h(-m)
r h (m) h(m), rh (m) h(m)
时间序列信号模型：
| rws (k ) |2
2 w
1 dz 1 S ss ( z ) H opt ( z ) S xs ( z ) z 2πj C
通过前面的分析 , 因果维纳滤波器设计的一般方法可以按 下面的步骤进行：
(1) 根据观测信号x(n)的功率谱求出它所对应的信号模型的
传输函数，即采用谱分解的方法得到B(z)。 S xs ( z) (2) 求 B( z 1 ) 的Z反变换，取其因果部分再做 Z变换，即 S xs ( z ) 舍掉单位圆外的极点，得 1 B ( z ) (3) 积分曲线取单位圆，应用（2.3.38）式和（2.3.39）式，计 算Hopt(z), E［|e(n)|2］min。
p 2
将方程组写成矩阵形式 （Yule-Walker方程）
rxx (0) rxx (1) rxx ( p) rxx (1) rxx (0) rxx ( p 1) r ( p) r ( p 1) r (0) xx xx xx
rxx (0) | rxx (m) |
各态遍历性：
只要一个实现时间充分长的过程能够表现出各个实现的特 征，就可以用一个实现来表示总体的特性。
1 N mx (n) E[ X (n)] lim x(n, i ) N N i 1
N 1 x(n) lim x ( n) N 2 N 1 n N
非因果IIR维纳滤波求解：
r xd (k )
m
h ( m) r
xx
(k m) h(k ) rxx (k )
设定d(n)=s(n)，对上式两边做Z变换，得到
Sxs(z)=Hopt(z)Sxx(z)
S xs ( z ) H opt ( z ) S xx ( z )
D (m)
2 x
rxx (m)
2 x (m)
cov xx (m)
2 mx
m
m
rxx (m) 的特性
cov xx (m) 的特性
rxx (m) rxx (m), cov xx (m) cov xx (m) rxy (m) ryx (m), cov xy (m) cov yx (m)
现代数字信号处理课程回顾
第一章 时域离散随机信号的分析 第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 第三章 自适应数字滤波器 第四章 功率谱估计 第五章 时频分析
第一章 时域离散随机信号的分析
主要内容：
平稳随机信号的统计描述 随机序列数字特征的估计 平稳随机序列通过线性系统 时间序列信号模型
维纳预测：
x(n)=s(n)+υ (n) H(z)
ˆ(n) y(n) s
x(
图2.4.1(a)
维纳滤波器
ˆ(n N ) y(n) s
x(n)=s(n)+υ (n)
H(z)
图2.4.1(b)
维纳预测器
2
ˆ(n N ) min E s(n N ) s
一步线性预测：
ryy (m)
rxx (m) v m
l
* r ( m l ) h xx (k )h(l k )
rxx (m) h* (m) * h m
2 1 j j j Pyy ( z ) Pxx ( z ) H ( z ) H * Pyy e Pxx e H e z *
自相关函数及其性质：
对一个随机序列的统计描述，可以由这个序列的 自相关函数来高度概括。 对一平稳随机信号，只要知道它的自相关函数， 就等于知道了该随机信号的主要数字特征。
2 Dx2 E x n rxx (0); 2 mx rxx (); 2 2 x2 E x n m x rxx (0) rxx ( )
min
e
j
2 j
hopt (n)
维纳—霍夫方程：
* * * E x(n k ) d (n) h (m) x (n m) 0 m 0
维纳-霍夫（Wiener－Hopf）方程：
rxd (k ) h(m)rxx (k m) h( k ) rxx ( k )
Pxx ( z) H ( z)H ( z )
2 w 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 0
2 w
式中，ak, bk都是实数，a0=b0=1, 且|αk|＜1, |βk|＜1。
rxx(m)
Z变换 Z反变换
Pxx(z)
谱分解
H (z )
2 Pxx ( z) w H ( z)H ( z 1 )
自相关函数、功率谱、时间序列信号模型三者之间关系
〈x*(n)x(n+m)〉=rxx(m)=E［X*(n)X(n+m)］
功率密度谱：
维纳–––辛钦定理（Wiener-Khinchin Theorem）
Pxx (e ) rxx (m)e
j
j m
1 rxx (m) 2
P
-
xx
(e )e
j
j m
d
Pxx () Pxx ()
〈x(n)〉=mx=E［X(n)］
1 N * rxx (n, m) E[ X (n) X (m)] lim x (n, i)x(m, i) N N i 1
*
N 1 * x (n) x(n m) lim x (n) x(n m) N 2 N 1 n N *
Pxx(ω)≥0
随机序列数字特征的估计：
估计准则：无偏性、有效性、一致性 1 N 1 ˆ x xi 均值的估计： m
N
i 0
方差的估计：
1 ˆ N
2 x
2 ˆ ( x m ) n x n 0
N 1
N |m|1 1 自相关函数的估计： ˆxx (m) r x(n) x(n m) N | m | n 0
第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波
主要内容：
FIR维纳滤波求解 IIR维纳滤波求解 维纳一步线性预测
最佳滤波器：
s(n) x(n) h(n) y(n) v(n)
x(n)=s(n)+v(n)
ˆ(n) h(m) x(n m) y(n) s
m
e(n) s(n) y(n)
2 2 min E e ( n ) h ( n ) E e opt ( n) min
采用p个最近的采样值来预测时间序列下一时刻的 值，包括前向预测和后向预测两种。
后向预测
x(n －p ) , x(n －p ＋1) , … , x(n －2) , x(n －1) , x(n )
前向预测
前向预测：
ˆ(n) x ˆ ( n) h( k ) x ( n k ) y ( n) s
1 h hopt Rxx Rxd
2 * T 1 2 * T E[| e(n) |2 ]min d ( Rxd ) Rxx Rxd d ( Rxd ) hopt
h1 h 2 h hM
rxd (0) r (1) Rxd xd rxd ( M 1)
m
0 m M 1 0 m m
FIR 维纳滤波器 因果IIR 维纳滤波器 非因果IIR 维纳滤波器
FIR维纳滤波求解：
rxd (k ) h(m)rxx (k m) h(k ) rxx (k )
m 0 M 1
k=0, 1, 2, …
Rxd Rxxh
k 1 p
ˆ (n) x(n) a pk x(n k ) a pk x(n k ) e(n) x(n) x
k 1 k 0
p
p
ˆ(n))] E[e* (n) x(n)] E[| e(n) |2 ]min E[e* (n)( x(n) x
p * * E x (n) a pk x (n k ) x(n) k 1
1 ' ˆxx r ( m) N
N |m|1
n 0
x ( n ) x ( n m)
平稳随机序列通过线性系统：
y (n)
k
h( k ) x ( n k )
k
m y E[ y (n )]
h(k ) E[ x(n k )]
k