(完整word版)小波变换课件第1章Haar小波

第1章Haar小波分析1.1简介

(近距离---小尺度） （高分辨率）

(远距离---大尺度) （低分辨率）

1.2 平均与细节

设1234{,,,}x x x x 是一个信号序列。定义它的平均和细节：

1,0121,012()/2()/2a x x d x x =+⎫

⎬=-⎭

找出了1x 、2x 和1,0a 、1,0d 的关系。

这里，1,0a 是原信号前两个值1x 、2x 的平均。又叫低频成分，反映前两个值1x 、2x 的基本特征或粗糙趋势；1,0d 反映了1x 、2x 的差别，即细节信息，又叫高频成分。

1,1341,134()/2()/2a x x d x x =+⎫

⎬=-⎭

找出了3x 、4x 和1,1a 、1,1d 的关系。

同样，1,1a 是原信号后两个值3x 、4x 的平均，1,1d 反映了3x 、4x 的细节。 我们把1,01,11,01,1{,,,}a a d d 看作是对1234{,,,}x x x x 实施了一次变换的结果。 变换还可以往下进行：

0,01,01,1()/2a a a =+

=1234(()/2()/2)/2x x x x +++ =1234()/4x x x x +++

0,0a 是对4个信号元素最终的平均，它是原信号最基本的信息；0,01,01,1()/2d a a =-。

经过二次变换，我们得到了原信号的另一种表示：

0,00,01,01,1{,,,}a d d d

该序列叫做原序列的小波变换，0,00,01,01,1,,,a d d d 叫做小波系数。 还可以反过来表示：

111,0211,0x a d x a d =+⎫

⎬=-⎭

这是用｛1a ,1,0d ｝来恢复原信号1x 、2x ；

321,1421,1x a d x a d =+⎫

⎬=-⎭

用｛2a ,1,1d ｝来恢复原信号3x 、4x 。

也就是反变换。

小波变换过程的塔式算法：

例如，1234{,,,}x x x x ＝｛3，1，－2，4｝

最终的小波变换为0,00,01,01,1{,,,}a d d d =31{,,1,3}22

-

1.3 尺度函数与小波函数 (1)Haar 尺度函数

不压缩：不位移 位移一个单位 位移k 个单位

110,0()()

t t φφ=0,1(1)()t t φφ-=0,()()k t k t φφ-=1k 1k +t

t t 0000

t

P-9

1/2j

/2

j k (1)/2j k +,2()()

j j k k t t φφ-=t

1/2

2(1/221())()t t φφ-=-1,1

()

t φ=t

1

0,1(1)()

t t ψψ-=3/22t

0,()()

k t k t ψψ-=2/2k k

=(21)/21/2

k k +=+(22)/21

k k +=+

压缩1/12倍，不位移 压缩1/12倍，位移一个单位 压缩1/2j 倍，移位K 个单位

一般

,()(2)j j k t t k φφ=-，0,1,2,...,21j k =-

◆ 几个术语

1） 支撑（支集），（尺度）函数,()j k t φ不为零的区间，上例中为1[,]22

j

j k k +。 2） 支撑的宽度，Haar 尺度函数的宽度为1/2j

。 3） j 为分辨率，j 越大，尺度越小，分辨率越高。 4） 1/2j

=2j -为尺度。（分辨率越高，尺度越小）

(2).Haar 小波函数()t φ

◆ Haar 小波函数与尺度函数的关系

0,01,01,1()()()()

t t t t ψψφφ==-

❖

不平移、不压缩； 平移一个单位 ； ……… 平移 K 个 单位。

1

1

t

1/2

P-8

1,02()()

t t φφ=0,0()(

)t t ψψ=t

1/2

1

t

1/2

1

1,02(2(1/2))(1)()

t t t ψψψ-=-=3/4

t

1

2

1,2(2(2/2))()()

k t k t k t ψψψ-=-=2

2/2

k 2

(22)/2k +2

(21)/2k +

❖ 不平移，压缩1/12倍； …先平移一个单位，再压缩1/12倍， … 平移个K 单位，再压缩1/12倍。

◆ H aar 小波函数的一般形式：

,()j k t ψ=(2)j t k ψ-，0,1,...,21j k =-

位移k 个单位，压缩2j 倍。

(3). 分段常数函数

也可将序列1234{,,,}x x x x 看成分段常数序列。

用尺度函数和小波函数描述分段常数函数

1[0.1/4]()()f t x X t =+2[1/4,1/2]()x X t +3[1/2,3/4]()x X t +4[3/4,1]()x X t

写成

=

12,022,132,242,3()()()()()

f t x t x t x t x t φφφφ+++14444444244444443

可用尺度函数伸缩平移的线性组合表示

t

1/2

1/4

1,02()()

t t ψψ=