几何综合题(与圆相关)

图3

N M

F E

B

C A

B

A

C E

F

M N P

图2图1

A

图3

D A

图2图1几何综合题：与圆相关

1．已知Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CA =CB ，有一圆心角为45°半径长等于CA 的扇形CEF 绕点C 旋转，直线CE 、CF 分别与直线AB 交于M 、N 。

（1）如图1，当AM =BN 时，将△ACM 沿CM 折叠，点A 落在EF 的中点P 处，再将△BCN 沿CN 折叠，点B 也恰好落在点P 处，此时，PM =AM ，PN =BN ，△PMN 的形状是 ，线段AM 、BN 、MN 之间的数量关系是 。 （2）如图2，当扇形CEF 绕点C 在∠ACB 内部旋转时，线段AM 、MN 、BN 之间的数量关系是 ，试证明你的结论。

（3）当扇形CEF 绕点C 旋转到图3的位置时，线段MN 、AM 、BN 之间的数量关系是 ，试证明你的结论。

2．李明同学在学习正多边形和圆时，发现了以下一些有趣的结论：若P 是正多边形外接圆上一点，将P 与正多边形相邻三个顶点连结，这三条线段之间有一些特殊的数量关系。

（1）如图1，若P 是正△ABC 外接圆的弧BC 上一点，连PA 、PB 、PC ，则PB +PC 与PA 之间的数量关系是 ；

（2）如图2，若P 是正方形ABCD 的外接圆的弧BC 上一点，连PA 、PB 、PD ，则PB +PD 与PA 之间的数量关系是 ，试证明你的结论；

（3）如图3，若点P 是正六边形ABCDEF 外接圆的弧BC 上一点，连PA 、PB 、PF ，则PB +PF 与PA 之间的数量关系是 。

3．小明学习了垂径定理后，作了下面的探究，请你根据题目要求帮小明完成探

图3C 图2图1

图3图1究。

（1）更换定理的题设和结论，可以得到许多真命题，如图1在⊙O 中，C 是弧AB 的中点，直线CD ⊥AB 于点E ，则AE =BE ，请你证明此结论；

（2）从圆上任一点出发的两条弦所组成折线，称为该圆的一条折弦，如图2中PA 、PB 组成⊙O 的一条折弦，C 为劣弧AB 的中点，直线CD ⊥PA 于点E ，则AE =PE +PB ，证明此结论；

（3）如图3，PA 、PB 组成⊙O 的一条折弦，若C 是优弧AB 的中点，直线CD ⊥PA 于点E ，则AE 、PE 与PB 之间存在怎样的数量关系？写出并证明你的结论。

4．如图，平面直角坐标系中，M 是x 轴正半轴上一点，⊙M 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 、D 两点，A 、M 两点的坐标分别为（－1，0）（1，0）。 （1）求C 点坐标；

（2）如图2，∠OCM 的平分线交⊙M 于点E ，求直线BE 的解析式；

（3）如图3，P 为弧AC 上一动点，Q 为弧PC 的中点，直线PB 、PQ 交于点F ，当点P 在弧上运动时（不含A 、C 点），BF 的长度是否改变，若不变，求出其值，若改变，求出变化范围。

5．已知AB 、CD 是⊙O 中两条互相垂直的直径。

图3D

D

图2

图1

（1）如图1，点F是弧BC的中点，连FO并延长交⊙O于E，连结FA、FD，求证：PE平分∠AFD；

（2）如图2，点P是弧AD上任意一点（不含A、D）连PC，过A作AQ⊥CP于Q，连结OQ、AP，求∠OQC的度数；

（3）如图3，点M是弧AC上一动点，连MA、MC、MB、BD，下面两个结论：①MA+MB+MC+MD为定值；②

22

MD MC

MA MB

-

为定值；其中只有一个是正确的，请你判断哪一个是正确的，并求出这个定值。

6．如图，已知在平面直角坐标系中，以第一象限点M为圆心作⊙M与x轴交于点A（3，0），交y轴于点C，且AC恰好平分∠MCO，直线MC交x轴于点B（－2，0）。

（1）求证：⊙M与x轴相切；

（2）求直线BC的解析式；

（3）若点P为x轴负半轴上一动点，连AP，以A为圆心，AP为半径作⊙A交CB 的延长线于E点，且∠APE=∠ACM，当点P在x轴上运动时，线段CP－CE的值是否发生变化？若不变，求其值，若变化，求出变化范围。

7．如图，已知直线24

y x

=+与x轴交于点E，与y轴交于点A，点D是直线AE

图1E

图2图1

在第一象限内的一点，以AD 为边，在第一象限内作正方形ABCD 。 （1）若AD =AE ，求B 点的坐标；

（2）若点B 、D 恰好都在反比例函数k

y x

=上，求反比例函数解析式；

（3）如图3，经过E 、C 、D 三点作⊙P ，过点C 作CQ ⊥AC ，交⊙P 于点Q ，当点D 在EA 的延长线上运动时，CQ 的长度是否改变？若不变，请求出其值，若改变，请求出其变化范围。

8．如图1，直线4y kx k =-（0k >）交x 轴于A ，交y 轴于B ，且∠OAB =45°。 （1）求k 的值；

（2）直线4y mx =+分别交OA 、AB 于P 、Q 两点，交y 轴于S ，连AS ，若

OBQP PAS S S ∆=四形，求m 的值；

（3）如图2，以OA 为半径作⊙O 交x 轴负半轴于C ，D 为⊙O 上一点，连结BD 、

AD ，AM 平分∠DAC 交BD 于M ，MN ⊥OA 于N ，下面两个结论：①OC MN

BD

+为定值；

②BD MN OC

-为定值；其中只有一个正确，请判断出正确的结论，并求出其值。

9．如图，在平面直角坐标系中，M 为x 轴正半轴上的一点，⊙M 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 、D 两点，若A （—1，0），C （0）。