奶制品的生产与销售(数学建模)

加工奶制品的生产计划

问题重述

一奶制品加工厂用牛奶生产1A ，2A 两种奶制品，1桶牛奶可以在设备甲上用12小时加工成3公斤1A ，或者在设备乙上用8小时加工成4公斤2A 。根据市场需求，生产的1A ，2A 全部能售出，且每公斤1A 获利24元，每公斤2A 获利16元．现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间为480小时，并且设备甲每天至多能加工100公斤1A ，设备乙的加工能力没有限制。试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大。

问题分析

这个优化问题的目标是使每天的获利最大，要作的决策是生产计划，即每天用多少桶牛奶生产1A ，用多少桶牛奶生产2A (也可以是每天生产多少公斤1A ，多少公斤2A )，决策受到3个条件的限制：原料(牛奶)供应、劳动时间、设备甲的加工能力．按照题目所给，将决策变量、目标函数和约束条件用数学符号及式子表示出来，就可得到下面的模型。

模型假设

1) 1A ，2A 两种奶制品每公斤的获利是与它们各自产量无关的常数，每桶牛奶加工出1A ，2A 的数量和所需的时间是与它们各自的产量无关的常数；

2) 1A ，2A 每公斤的获利是与它们相互间产量无关的常数，每桶牛奶加工出1A ，2A 的数量和所需的时间是与它们相互间产量无关的常数；

3)加工1A ，2A 的牛奶的桶数可以是任意实数．

模型建立

设每天用1x 桶牛奶生产1A ，用2x 桶牛奶生产2A ． 设每天获利为z 元．1x 桶牛奶可生产31x 公斤1A ，获利 24⨯31x ，2x 桶牛奶可生产42x 公斤2A ，获利16⨯42x ，故目标函数为：z=721x +642x ．

由题设可以得到如下约束条件：

原料供应： 生产1A ，2A 的原料(牛奶)总量不得超过每天的供应，即1x +2x ≤50桶； 劳动时间： 生产1A ，2A 的总加工时间不得超过每天正式工人总的劳动时间，即121x +82x ≤480小时；设备能力： 1A 的产量不得超过设备甲每天的加工能力，即31x ≤100； 非负约束： 1x +2x 均不能为负值，即1x ≥0，2x ≥0．

综上可得该问题的数学模型为：

max 216472x x z += (1)

S.t.

5021≤+x x (2)

48081221≤+x x (3)

10031≤x (4)

0,021≥≥x x (5)

模型求解

将（1）……（5）式代入lingo 软件进行求解：

max = 72*x1+64*x2;

x1+x2<=50;

12*x1+8*x2<=480;

3*x1<=100;

得到结果如下：

Global optimal solution found.

Objective value: 3360.000

Infeasibilities: 0.000000

Total solver iterations: 2

Variable Value Reduced Cost X1 20.00000 0.000000 X2 30.00000 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price 1 3360.000 1.000000 2 0.000000 48.00000 3 0.000000 2.000000 4 40.00000 0.000000

最终结果为20桶牛奶生产A ，30桶牛奶生产B ，所得利润为3360元。

图解法： 这个线性规划模型的决策变量为2维，用图解法既简单，又便于直观地把握线性规划的基本性质．将约束条件(2)～(5)中的不等号改为等号，可知它们是1Ox ，2x 平面上的5条直线，依次记为1L ～5L ，如图1．其中4L ，5L 分别是工2x 轴和1x 轴，并且不难判断，(2)～(5)式界定的可行域是5条直线上的线段所围成的5边形OABCD ．容易算出，5个顶点的坐标为：O(0，0)，A(0，50)，B(20，30)，C(100/3，

10)，D(100/3，0)．

目标函数(1)中的z 取不同数值时，在图1中表示一组平行直线(虚线)，称等值线族．如z=0是过O 点的直线，z=2400是过D 点的直线，z=3040是过C 点的直线，…．可以看出，当这族平行线向右上方移动到过B 点时，z=3360，达到最大值，所1,5[B 点的坐标(20，30)即为最优解：1x =20， 2x =30．

我们直观地看到，由于目标函数和约束条件都是线性函数，在2维情形，可行域为直线段围成的凸多边形，目标函数的等值线为直线，于是最优解一定在凸多边形的某个顶点取得．推广到n维情形，可以猜想，最优解会在约束条件所界定的一个凸多面体 (可行域)的某个顶点取得．线性规划的理论告诉我们，这个猜想是正确的．