无理数与实数(基础)

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第三讲-无理数与实数

代数（二）根式计算（二）——无理数与实数【知识要点】 1．无理数：定义：无限不循环小数叫做无理数，如π=…，21.414213=，－…，都是无理数。

注意：①既是无限小数，又是不循环小数，这两点必须同时满足；②无限不循环小数与有限小数、无限循环小数的本质区别是：前者不能化成分数，而后两者都可以化成分数；③凡是整数的开不尽的方根都是无理数，如2、3等。

2．实数：有理数和无理数统称为实数。

⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎭⎪⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 3．实数的几个有关概念：①相反数：a与－a互为相反数，0的相反数是0。

a+b=0⇔a、b互为相反数。

②倒数：若0a≠，则1a称为a的倒数，0没有倒数。

1ab a=⇔、b互为倒数。

③绝对值：一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。

即()()()00a aa aa a>⎧⎪==⎨⎪-<⎩【典型例题】例1 在实数，25，3.3333，3，0.412⋅⋅，…，π，256-中，哪些是有理数，哪些是无理数例2 （1）下列说法中，正确的是（）A．带根号的数是无理数 B．无理数都是开不尽方的数C．无限小数都是无理数 D．无限不循环小数是无理数（2）下列说法正确的是（）A．若a为实数，则a大于－a B．实数m的倒数一定是1mC ．若实数x 、y ，有x y =，则x =yD ．任何负数的倒数都小于它的相反数例的相反数之和的倒数的平方为。

例4 设a 、b 互为相反数，但不为0，c 、d 互为倒数，m 的倒数等于它本身，化简111c m m m d a b ⎛⎫÷++- ⎪⎝⎭的结果是。

例5 试比较下列各组数的大小；①和②，1π-，310-例6 （1）实数a 、b 、c 在数轴上的位置如下图，化简a b b c c a -+---（2）当01x <<时，2x 、x 、1x的大小顺序是（）A ．21x x x <<B ．21x x x <<C ．21x x x <<D ．21x x x<<例7 （1）已知a 、b 为实数，且224250a b a b +--+=（2）若210x -=，求20012002x y +的值。

初中数学必修——实数基础知识与应用

初中数学必修——实数基础知识与应用数学作为一门基础学科，在我们的学习中占据着至关重要的位置。

而在数学中，实数基础知识是我们学习的重点和难点之一。

在初中阶段，我们接触到的最多的就是实数这个概念。

由此，本文将从实数基础知识的概念、性质、应用三个方面进行阐述，希望能对初中生的学习有所帮助。

一、实数基础知识的概念1. 实数的定义实数是包括有理数和无理数的数集，用符号R表示。

其中，有理数是能表示为分数形式的数，如正整数、负整数、分数、小数等；而无理数则是不能表示为分数形式的数，如根号2、圆周率等。

2. 实数的数轴表示我们可以利用数轴来表示实数，其中左边为负无穷，右边为正无穷，0点为原点，实数集中的数都被标在数轴上。

在数轴上，实数的“绝对值”表示的是该数到0点的相对距离。

例如，-3和3到数轴0点的距离是相等的，它们的绝对值都是3。

二、实数基础知识的性质1. 实数的顺序性实数满足的是“简单正性”，即任何一个实数都可以和0相比较，将其分为正数、负数和0。

另外，实数还满足“三角不等式”，即对于任意的实数a和b，有|a+b|≤|a|+|b|。

2. 实数的有理数和无理数分类实数可以分为有理数和无理数两种类型。

有理数可以用分数表示，而无理数则不能化为分数形式。

其中，无理数还可以分为代数无理数和超越无理数两类。

3. 实数的区间表示可以用小括号、中括号和分号表示区间，如(0,1)表示0到1之间的实数，开区间；[0,1]表示0到1之间的实数，闭区间；(a,b]表示大于a小于等于b的实数。

三、实数基础知识的应用1. 实数在几何学中的应用实数在几何学中有着广泛的应用，比如点、线和面等图形中的坐标点都可以用有序实数对来表示。

在坐标系中，我们可以计算两点之间的距离，求解线段的长度、斜率等。

2. 实数在物理学中的应用实数在物理学中也有着重要的应用，如长度、温度、时间、速度、力等物理量都可以用实数来表示。

在物理学中，我们可以通过实数的计算来求解物理问题，如速度、加速度、力与物体运动状态等。

无理数与实数

6.3 《无理数与实数》导学案教学目标：1.了解无理数和实数的概念，会对实数进行分类2.知道实数与数轴上点的一一对应关系教学重点：实数的概念及实数的分类教学难点：理解的无理数意义教学过程：【知识回顾，创设情境】1、把下列各数按要求填在横线上：1.91， 0，-52，+75，18，-7.5，，3.101001000100001 (4)43-整数；分数；正数。

2、有理数是怎样定义的? 有理数分类有哪两类标准？请在小组内交流。

3、4、95,9011,119,847,53,3-发现：任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式猜想：有限小数或无限循环小数都能转化为分数吗？验证：下列有限小数能化为分数吗 5、2.3、0.25、1.334, …… 验证：无限循环小数能转化为分数吗？阅读下列材料设x=0.3=0.333…① 则10x ＝3.333… ② ②－①,得:９x=3,解得x=1/3，即0.3=1/3仿此法：能把0.21，0.125化成分数吗？试试看。

【合作交流，探究新知】【活动1】无理数的概念问题：我们在求一个数的平方根或立方根时发现有些数的平方根或立方根是无限不循环数。

如2=1.41421356 … ,又如 π＝3.14159265…,还有1.101001000100001 …(每两个1之间依次多一个0）。

这些小数有什么共同点？它们是有理数吗？如果不是，那么它们是什么数呢？1、无2、常你们的结论是【活动2】无理数与数轴的关系我们知道有理数能用数轴上的点来表示；那么无理数是否也能用数轴上的点来表示呢？探究1：如图，在数轴上，以一个单位长度为边长画正方形，则对角线的长度就是2，以原点为圆心，以对角线长为半径画弧，与正半轴的交点就表示，与负半轴的交点就是。

探究2：如图所示，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O 到达点O ′，那么点O ′所表示的数是；若向原归纳：(1)无理数都是无限小数. (2)带根号的数是无理数.(3)数轴上的点表示的数不是有理数就是无理数应用：在这些数5， 3.14， 0， 3 ，34- ， 0.57 ，4- ，- π，0.1010010001……（相邻两个1之间0的个数逐次加1）中．有理数有；无理数有；整数有：分数有【活动3】实数的概念及分类定义：统称为实数分类：按照定义分类如下：按照正负分类如下：实数【活动4】实数与数轴上点的对应关系1、每一个有理数都可以用的一个点来表示，每一个无理数都可以用的一个点来表示23【应用举例，巩固拓展】例1、把下列实数按要填在相应的集合中① 理数集合：｛ …｝； ②无理数集合：｛ …｝； ③正实数集合：｛ …｝； ④整数集合：｛ …｝．②有一定的规律，但不循环的无限小数；③圆周率及一些含有的数。

第二章实数,无理数

第二章实数 1、认识无理数【知识准备】1.有理数的分类；任何一个有理数都能用分数表示.【自学提示】一、完成下列题目：1,a 2=4 则a= b 2=1/9 则 b= c 2=2 则 c= 2、2在连续整数和之间，因此2不可能是整数.3、2不可能是 .4、2既不是整数，也不是分数，那么2就不是 .5、任何有限小数或循环小数都可化为分数，由于2的小数数位是无限的，而且是不循环的，所以把2这样的数叫做无限不循环小数，类似2的数有很多，请写出3-5个：，无限不循环小数叫做 .6、常见无理数的三种表示形式：①开方开不尽的数，如： ②与圆周率π有关的数，如； ③特殊形式的数，如：7、下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？3.1415926，－34，∙∙75.0，0.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1).8、下列的说法正确吗？如果不正确，说明理由。

（1）无限小数都是有理数；（2）无理数都是无限小数；（3）带根号的数都是无理数；（4）无理数都是带根号的数.9、若直角三角形的两边长分别为3和4,那么它的第三边长可能是有理数吗?可能是无理数吗?说明你的理由?例1：用有理数估计下列各数的算术平方根的范围（精确到0.001）（1）29 （2）91 【共同释疑】1、如果一个圆的半径是2，那么该圆的周长是（）A 、一个分数B 、一个有理数C 、一个无理数D 、一个整数3、已知a 是132-的整数部分，b 是小数部分，则=-b a 2.C BAcba4.在下列各数3，0.31，22，3 ，71，9，0.90108，0.232332…（两个2之间依次多1个3），中，无理数有（）个. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个5.下列说法:①零是绝对值最小的数；②有限小数和无限循环小数都是有理数；③无理数就是带根号的数；④一个正数的算术平方根有一个，该算术平方根大于零；⑤面积为4的正方形边长是无理数.其中正确的说法有（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个6.若a 是一个无理数，则1-a 是_______(有理数或无理数) 【知识准备】 1.在数0,1，0.1235，2,5，7,25中无理数的个数为（）A.0个B.1个C.2个D.3个2.边长为1的正方形的对角线是（） A.整数 B.有理数 C.分数 D.无理数3. 求出下列含直角的图形中线段c 的长度:c= . c= . c= . c= . 一、完成下列题目：1、在直角三角形中：（利用直角三角形或正方形、矩形对角线）①若两条直角边分别为1和1，则斜边的长为；②若两条直角边分别为2和1，则斜边的长为；③若两条直角边分别为3和1，则斜边的长为；④若两条直角边分别为4和1，则斜边的长为；⑤若两条直角边分别为5和1，则斜边的长为；⑥若两条直角边分别为6和1，则斜边的长为；……2、要作出斜边的长为10的直角三角形，两条直角边的长可为 .3、任何一个无理数都可以用的点来表示，数轴上除去表示有理数的点以外，其他的点表示的数都是 . 【共同释疑】1、在Rt △ABC 中，如果∠B 是直角，AB=6，BC=5，则AC 的长为 .2、如图所示，方格纸上每个小正方形的边长都是1，在△ABC 中边长为无理数的边有（）条 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 【当堂测试】 1、判断正误：（1）所有的无理数都能在数轴上表示.（）（2）数轴上的点都表示无理数.（） 2、如图所示，OA=OB ，点A 表示的数是 .3、如图，方格纸上每个小正方形的边长都是1，在三个方格纸中分别画出一个三角形，使第一个三角形有一边的长为无理数，第二个三角形有两条边的长为无理数，第三个三角形的边长都是无理数。

实数基础

实数基础考点一、实数的分类1.按定义分类：2.按性质符号分类：有理数：整数和分数统称为有理数或者“形如（m，n是整数n≠0）”的数叫有理数．无理数：无限不循环小数叫无理数．实数：有理数和无理数统称为实数．要点诠释：常见的无理数有以下几种形式：（1）字母型：如π是无理数，等都是无理数，而不是分数；（2）构造型：如2.10100100010000…（每两个1之间依次多一个0）就是一个无限不循环的小数；（3）根式型：…都是一些开方开不尽的数；（4）三角函数型：sin35°、tan27°、cos29°等.考点二、实数的相关概念1.相反数（1)代数意义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数．0的相反数是0；（2)几何意义：在数轴上原点的两侧，与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数；（3)互为相反数的两个数之和等于0.a、b互为相反数a+b=0.2.绝对值（1)代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．可用式子表示为：（2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．距离是一个非负数，所以绝对值的几何意义本身就揭示了绝对值的本质，即绝对值是一个非负数．用式子表示：若a是实数，则|a|≥0．要点诠释：若则则表示的几何意义就是在数轴上表示数a与数b的点之间的距离.3.倒数（1)实数的倒数是；0没有倒数；（2)乘积是1的两个数互为倒数．a、b互为倒数.4.平方根（1)如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．a（a≥0）的平方根记作．（2)一个正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根．a（a≥0）的算术平方根记作．5.立方根如果x3=a，那么x叫做a的立方根．一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；0的立方根仍是0．考点三、实数与数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，数轴的三要素缺一不可．每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．要点诠释：（1）数轴的三要素：原点、正方向和单位长度.（2）实数和数轴上的点是一一对应的.考点四、实数大小的比较1.对于数轴上的任意两个点，靠右边的点所表示的数较大.2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数；绝对值大的反而小.3.对于实数a、b，若a-b>0a>b；a-b=0a=b；a-b<0a<b.4.对于实数a，b，c，若a>b，b>c，则a>c.5.无理数的比较大小：利用平方转化为有理数：如果a>b>0， a2>b2a>b；或利用倒数转化：如比较与.要点诠释：实数大小的比较方法：（1）直接比较法：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小.（2）数轴法：在数轴上，右边的数总比左边的数大.考点五、实数的运算1.加法同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数．满足运算律：加法的交换律a+b=b+a，加法的结合律(a+b)+c=a+(b+c)．2.减法减去一个数等于加上这个数的相反数．3.乘法两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.几个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负．几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．乘法运算的运算律：（1）乘法交换律ab=ba；（2）乘法结合律(ab)c=a(bc)；（3）乘法对加法的分配律a(b+c)=ab+ac．4.除法（1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数．（2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数都得0．5.乘方与开方（1)求n个相同因数的积的运算叫做乘方，a所表示的意义是n个a相乘.正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数．（2)正数和0可以开平方，负数不能开平方；正数、负数和0都可以开立方．（3)零指数与负指数要点诠释：加和减是一级运算，乘和除是二级运算，乘方和开方是三级运算．这三级运算的顺序是三、二、一．如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，同一级运算中要从左至右依次运算．考点六、有效数字和科学记数法一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字．精确度的形式有两种：（1）精确到哪一位；（2）保留几个有效数字.把一个数用±a³10（其中1≤＜10，n为整数）的形式记数的方法叫科学记数法．要点诠释：（1）当要表示的数的绝对值大于1时，用科学记数法写成a³10，其中1≤＜10，n为正整数，其值等于原数中整数部分的数位减去1；（2）当要表示的数的绝对值小于1时，用科学记数法写成a³10，其中1≤＜10，n为负整数，其值等于原数中第一个非零数字前面所用零的个数的相反数（包括小数点前面的零）.1．（1）a的相反数是，则a的倒数是_______．（2）实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示: 则化简=______．（3）（泉州市）去年泉州市林业用地面积约为10200000亩，用科学记数法表示为约____________．【变式】据市旅游局统计，今年“五²一”小长假期间，我市旅游市场走势良好，假期旅游总收入达到8.55亿元，用科学记数法可以表示为（）A．8.55³106B．8.55³107C．8.55³108 D．8.55³1092．下列实数、sin60°、、、3.14159、-、、中无理数有（）个A．1 B．2 C．3 D．4【变式】在中，哪些是有理数? 哪些是无理数?3．计算：计算：【变式1】计算：【变式2】计算：4．比较下列每组数的大小：（1）与（2）a与（a≠0）【变式】比较下列每组数的大小：（1）和（2）和5．已知：x ，y是实数，，若axy-3x=y，则实数a的值是_______.6．细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题（1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；（2）推算出OA10的长；（3）求出S12+ S22+ S32+…+ S102的值.【变式】图中是一幅“苹果图”，第一行有1个苹果，第二行有2个，第三行有4个，•第四行有8个，……你是否发现苹果的排列规律？猜猜看，第十行有______个苹果．巩固练习一、选择题1. 在实数－，0，，－3.1415，，，－0.1010010001…（每两个1之间依次多1个0），sin30°这8个实数中，无理数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．我国第六次全国人口普查数据显示，居住在城镇的人口总数达到665 575 306人．将665 575 306用科学记数法表示（保留三个有效数字）约为（）A．66.6³107B．6.66³108 C．0.666³108 D．6.66³1073．估计的值在（）A．1到2之间B．2到3之间C．3到4之间D．4到5之间4．在三个数0.5、、中，最大的数是( )A．0.5 B．C．D．不能确定5．用四舍五入法按要求对0.05049分别取近似值，其中错误的是（）A．0.1（精确到0.1）B．0.05（精确到百分位）C．0.050（精确到0.001） D．0.05（精确到千分位）6．我国古代的“河图”是由3³3的方格构成，每个方格内均有数目不同的点图，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个点图的点数之和均相等．图中给出了“河图”的部分点图，请你推算出P处所对应的点图是( )二、填空题7．则=____________.8．的整数部分是________．9．若互为相反数，则a+b的值为________．10．已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，m的绝对值是1，则的值为________．11．已知：若符合前面式子的规律，则a+b=________．12．将正偶数按下表排列：第1列第2列第3列第4列第1行 2第2行 4 6第3行 8 10 12第4行 14 16 18 20……根据上面的规律，则2006所在行、列分别是________．三、解答题13．计算：（1）（2）14．若，比较a、b、c的大小。

第二讲无理数与实数

第二讲无理数与实数【基础知识精讲】一、实数有关概念1．有理数：整数和分数统称有理数。

有理数都可以化为有限小数或无限循环小数；反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。

2．无理数：无限不循环小数叫做无理数（eg:π）。

无理数必须满足三个条件：①小数；②是无限小数；③不循环，三者缺一不可。

3．有理数和无理数统称为实数. 4．实数的分类：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数小数数有限小数或无限循环小正分数、负分数分数正整数、零、负整数整数有理数实数)()()( 例1：将下列各数填在相应括号内：35，3.14，⋅⋅12.0，38-，32-，3333+-，π有理数集合{ }；整数集合 { }；正数集合 { }；分数集合 { }；实数集合 { }。

变式：下列各数中，哪些是正数？负数？有理数？无理数？.343555,3.1416,,27,0.64,0.4,,0.38,16,0.12112111211112,.47π----正数集合：{ } 负数集合：{ } 有理数集合：{ } 无理数集合：{ } 例2：判断正误（1）有理数包括整数、分数和零（）（2）无理数都是开方开不尽的数（）（3）不带根号的数都是有理数（）（4）带根号的数都是无理数（）（5）无理数都是无限小数（）（6）无限小数都是无理数（）变式：在数0.222；－∙∙24.1；2.525252…；π-3；－43；1.1351335…；3.1416；32；(－1)2；－1.424224222…其中无理数的个数为（）. A ．1个 B.2个C.3个D.4个二、与实数有关的概念5．实数和数轴上点的对应关系:每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。

即实数和数轴上的点是一一对应的关系. 6．实数的几个概念. （1）相反数；（2）倒数；（3）绝对值都和有理数范围内的概念相同.例3：32-的相反数是________________；绝对值是_________________。

11.4无理数与实数

课后实践，拓展延伸
基础达标 1.数学书P49：8、9. 2.操作实践：制作一个表面积是12平方分米的正方体纸盒. （1）这个正方体纸盒的棱长是多少？（2）做出这个正方体纸盒.
Thank You!
人们发现的第一个无理数是 2 。据说，它的发现还曾掀起一场巨大的风波。
古希腊毕达哥拉斯学派是一个研究数学、科学、哲学的
团体，他们推崇比例论，即认为一切数都是整数或者是整数
之比。有一个名叫希帕蒂斯的学生，他画一边长为1的正方
形，ห้องสมุดไป่ตู้对角线为x，他想：x代表正方形对角线长，而x×x=2，那么x必定是确定的数。但它是整数还是分数呢? 他证明x不能是整数，因1×1=1, 2×2=4, x×x=2，x必定大于1而小于2， 1与2之间却没有别的整数。那么x会不会是分数呢? 毕达哥拉斯和他的学生们绞尽脑汁也找不到这个分数。
（2）无理数是无限小数（）
（3）无理数是带根号的数（）
（4）带根号的数是无理数（）
（5） 3 15 4
（）
（6）形如 a, 3 a 的数是无理数（）
应用新知，强化理解
1.估计 11 ，3 5 介于哪两个连续的整数之间，更接近哪个整数？
应用新知，强化理解
我们班的学农基地是一块400平方米的正方形土地，老师想沿着朝南一边的方向划分出一块面积为300平方米的长方形土地种植芝麻，使它的长宽之比为3:2，老师不知能否划分出来.体育委员见了说：“老师不用愁，一定能从面积大的土地中划分出一块面积小的芝麻地的”，你同意体育委员的看法吗？老师能划分出符合条件的芝麻地吗？为什么？
探究活动
整数精确到0.1 精确到0.01 精确到0.001
小于 2

实数基础知识点总结

实数基础知识点总结一、实数的定义实数是包括有理数和无理数的数集。

有理数是可以表示为两个整数的比的数，例如1/2、2、-3等。

无理数是无法表示为有理数的数，例如π、√2等。

实数包括所有有理数和无理数，用符号R表示。

二、实数的分类1. 有理数有理数包括整数、正整数、负整数、分数等。

整数包括所有的正整数、负整数和0。

有理数可以用分数形式表示，并且有限位或者无限循环小数。

2. 无理数无理数是无法表示为有理数的数。

无理数通常用小数形式表示，且不会出现循环。

典型的无理数包括圆周率π、自然对数底e、开方2、开方3等。

三、实数的性质1. 传递性：对于任意的实数a、b、c，如果a小于b，b小于c，则有a小于c。

2. 对称性：对于任意的实数a、b，如果a等于b，则b等于a。

3. 传统性：对于任意的实数a、b，如果a小于b，则a加上一个正数得到的结果小于b加上这个正数得到的结果。

4. 密度性：在任意两个不相等的实数a、b之间，必然存在有理数和无理数。

四、实数的运算1. 加法运算：实数a与实数b的和等于a加b。

2. 减法运算：实数a与实数b的差等于a减b。

3. 乘法运算：实数a与实数b的积等于a乘b。

4. 除法运算：实数a与实数b的商等于a除b。

5. 幂运算：实数a的n次方等于a自乘n次。

五、实数的绝对值实数a的绝对值是a到原点的距离，记作|a|。

如果a大于0，则|a|等于a；如果a小于0，则|a|等于-a。

六、实数的有序性实数有序，任意两个实数a、b之间可以进行大小比较，即a小于b、a等于b或者a大于b。

七、实数的计算规律1. 加法交换律：对于任意的实数a、b，有a加b等于b加a。

2. 乘法交换律：对于任意的实数a、b，有a乘b等于b乘a。

3. 加法结合律：对于任意的实数a、b、c，有a加b加c等于a加（b加c）。

4. 乘法结合律：对于任意的实数a、b、c，有a乘b乘c等于a乘（b乘c）。

5. 分配律：对于任意的实数a、b、c，有a乘（b加c）等于a乘b加a乘c。

人教版数学七年级下册《无理数、实数概念》教案1

人教版数学七年级下册《无理数、实数概念》教案1一. 教材分析人教版数学七年级下册《无理数、实数概念》这部分内容，主要让学生了解无理数和实数的概念，理解无理数和实数在数轴上的位置关系，以及它们在数学中的应用。

这部分内容是初中的重要知识，也是高中数学的基础。

二. 学情分析初中的学生已经有了一定的数学基础，但是对于无理数和实数这样的抽象概念，可能还比较难以理解。

因此，在教学过程中，需要引导学生从实际问题中抽象出无理数和实数的概念，并通过具体的例子，让学生感受无理数和实数在生活中的应用。

三. 教学目标1.让学生了解无理数和实数的概念，理解它们在数轴上的位置关系。

2.让学生能够运用无理数和实数的知识，解决实际问题。

3.培养学生抽象思维的能力，提高学生解决问题的能力。

四. 教学重难点1.重难点：无理数和实数的概念，无理数和实数在数轴上的位置关系。

2.难点：无理数和实数在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中抽象出无理数和实数的概念。

2.使用多媒体教学，通过动画、图片等形式，让学生更直观地理解无理数和实数。

3.采用小组合作学习的方式，让学生在讨论中巩固无理数和实数的知识。

六. 教学准备1.多媒体教学设备。

2.无理数和实数的教学素材。

3.小组合作学习的指导手册。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引出无理数和实数的概念。

问题：如果一个正方形的边长是2，那么它的对角线的长度是多少？2.呈现（10分钟）通过多媒体教学，呈现无理数和实数的定义，以及它们在数轴上的位置关系。

3.操练（10分钟）让学生通过小组合作学习的方式，解决一些与无理数和实数有关的问题。

4.巩固（10分钟）让学生回答一些关于无理数和实数的问题，以巩固他们刚刚学到的知识。

5.拓展（10分钟）让学生通过一些实际的例子，了解无理数和实数在生活中的应用。

6.小结（5分钟）对本节课的内容进行小结，让学生了解他们今天学到了什么。

第二章实数

第二章实数一、认识无理数1、现实生活中存在不是有理数的数求面积为5的正方形的边长。

设边长为x ，则x 2=5。

这里x 既不是整数也不是分数，也就是说，没有一个有理数的平方是5。

现实生活中存在着大量的不是有理数的数。

2、估计数值的大小采用“夹逼法”就是用两个平方数左右来靠近这个数。

用x 表示正方形的边长，若x 2=2，则x 既不是整数也不是分数，我们可以用夹逼的方法估计x 的值，从而求出x 的近似值。

方法：找出最接近这个数的两个平方数，因为12＜2＜22，所以1＜x ＜2。

即x 的整数位是1.因为 1.42=1.96,1.52=2.25.，所以 1.4＜x ＜1.5。

继续确定：因为 1.412=1.9881，1.422=2.0146，所以1.41＜x ＜1.42根据四舍五入法，所以得到，x 的十分位上的数字是4，用同样的方法可以确定其他数位上的数。

采用夹逼法，首先确定整数位，确定方法是根据给定数，找出这个数前后的平方数。

再确定十分位，注意确定十分位要计算到百分位，四舍五入，确定十分位。

以此类推。

3、无理数无理数：无限不循环小数叫无理数圆周率π=3.14159265…是一个无限不循环小数，0.5858858885…(相邻两个5之间8的个数逐次加1)也是一个无限不循环小数，它们都是无理数.有限小数------ 有理数小数的分类：无限循环小数--- 有理数无限不循环小数--无理数注意：-π/7 不是分数，是一个无理数目前学习的无理数的表现形式：主要包含下列几种：（1）特殊意义的数，如：圆周率π；以及含有π的一些数，如：2-π，3π等；（2）特殊结构的数：如：2.010 010 001 000 01…（两个1之间依次多1个0）（3）还有下节学习到的开方开不尽的数，如:39,5,2 应当注意的是：带根号的数不一定是无理数，如9等；无理数也不一定带根号，如π4、有理数、无理数的联系与区别1）把下列数写成小数的形式。

初高中数学重点知识、高频考点：实数、有理数、无理数间的关系及其分类

实数、有理数、无理数的分类实数可以分成两类：有理数和无理数。

实数也可以按照符号正负分成三类：正实数、负实数、0.有理数和无理数的本质区别在于：有理数与两个整数之比等价，而无理数则与一个无限不循环小数等价。

一、常见的有理数类型（一）有理数的分类法一、常见的有理数类型有如下几种。

1.整数：所有的整数都是有理数。

2.小数：小数里的有限小数、无限循环小数都是有理数。

3.分数：因为所有的分数不是与一个有限小数等价，就是与一个无限循环小数等价。

即，分数化成小数的结果不是一个有限小数，就是一个无限循环小数。

而这两种类型的小数都是有理数，所以，所有的分数都是有理数。

值得注意的是，在所有根式中，如果根式开方后的结果能化为上面几种常见有理数的形式中的一种的话，那么这个根式代表的实数也是有理数。

如：因为8的立方根等于2，-64的立方根等于-4，所以8和-64的立方根都是有理数。

（二）有理数的分类法二、按符号正负来分把“有理数的分类法一”里面的有理数按正负来分的话，有理数又能分为三类：正有理数、负有理数和0.二、常见的无理数类型（一）无理数的分类法一、常见的无理数类型有如下几种。

1.无限不循环小数：如圆周率π、自然对数的底数e 等。

2.根式中开方开不尽的数：如2的平方根、5的立方根、7的四次方根等。

一般来说，两个正无理数的和仍是无理数。

如π+e、2e（e+e=2e）、2π（π+π=2π）、“2倍的根号2”等。

两个正无理数的差、积、商不一定是无理数。

如π-e 的结果是无理数，但π-π=0、根号2的平方等于1、e÷e=1的算式结果都是有理数.（二）无理数的分类法二、按符号正负来分把“无理数的分类法一”里面的无理数按正负来分的话，无理数又能分为两类：正无理数、负有理数.三、图形表示1、有理数的两种分类方法（1）0⎧⎪⎨⎪⎩正有理数有理数负有理数（2）⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩所有整数分数有理数开方能开尽的整数、分数和小数有限小数无限循环小数2、无理数的两种分类方法（1）⎧⎪⎨⎪⎩正无理数无理数负无理数（注意：0不是无理数）（2）⎧⎪⎨⎪⎩无限不循环小数无理数根式中开方开不尽的数①无限不循环小数如：π、e……。

《认识无理数》实数精品课件

《认识无理数》实数精品课件汇报人：日期:•引言•无理数定义与性质•无理数与实数关系目录•无理数运算与估算•无理数在实际生活中的应用•总结与展望01引言无理数的概念和表示方法在数学中具有重要地位，是数学基础的一部分。

无理数在现实生活中有着广泛的应用，例如测量、计算和科学研究中。

学生对于无理数的认识往往存在困惑和误解，需要有针对性的教学。

课程背景课程目标掌握无理数的表示方法和运算规则。

通过实例和应用，培养学生的数学思维和应用能力。

帮助学生理解无理数的概念和特点。

02无理数定义与性质无理数定义不能表示为两个整数的比值无限不循环小数是无理数不能表示为有限小数或无限循环小数不能用分数形式表示无理数性质非有理数性质不能表示为两个有理数的比值具有连续、光滑、没有明显的界线等特征在有理数域外无限延伸无法表示为整系数多项式开方根的数，如$\pi$和$\sqrt{2}$等。

代数无理数超越无理数几何无理数无法表示为有理系数多项式方程的解的数，如$e$和$\ln$等。

无法用有理数逼近的数，如无理线段长度、无理面积等。

03无理数分类020103无理数与实数关系实数分类可以表示为有限小数或无限循环小数的实数，例如2.5、3.14等。

代数数无法表示为有理数的实数，例如π(圆周率)、e(自然对数的底数)等。

超越数既不是正数也不是负数的实数，具有特殊的性质和意义。

零无限不循环小数，例如√2(根号2)、√3(根号3)等。

无理数无理数在实数中的地位无理数是实数的重要组成部分，它们在数学中有着广泛的应用。

无理数的出现是数学发展史上的一个里程碑，对于数学的发展和人类的认识都具有重要意义。

无理数在几何学、物理学、工程学等领域中都有广泛的应用，对于推动人类科技进步具有不可替代的作用。

无理数与有理数的区别和联系有理数和无理数在性质和形态上有着根本的区别。

有理数是可数的，而无理数是不可数的，因此它们在数学中的处理方法和性质也有很大的不同。

有理数和无理数之间存在着紧密的联系，它们共同构成了实数的完整体系。

2无理数与实数

第二讲无理数与实数【知识要点】1．无理数(1)无理数的概念无限不循环小数叫做无理数．学习无理数应把握住无理数的三个特征：①无理数是小数；②无理数是无限小数；③无理数是不循环小数．判断一个数是否是无理数对照这三个特征一个也不能少．(2)有理数与无理数的区别事实上，有理数总可以用有限小数或无限循环小数来表示；反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数．如3可看做3.0这样的有限小数，也可以化为31这样的分数形式；无限循环小数都可以化为分数，如：3.14可化为3750.有理数与无理数的主要区别：①无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数；②任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数不能．【例1】下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？3．141 592 6，－43，2.5·8·，6.751 755 175 551 7…(相邻7,1之间5的个数逐次加1),0，227，－5.23·，－π2. 分析：有理数指有限小数或无限循环小数，整数和分数都是有理数，无理数指无限不循环小数．解：有理数有：3.141 592 6，－43，2.5·8·，0，227，－5.23·；无理数有：6.751 755 175 551 7…(相邻7,1之间5的个数逐次加1)，－π2.2．无理数近似值的估算方法要估算无理数的近似值，第一步应确定被估算无理数的整数取值范围；第二步以较小整数逐步开始加0.1(或以较大整数逐步开始减0.1)，并求其平方，确定被估算数的十分位；…；如此继续下去，可以求出无理数的近似值．【例2】面积为7的正方形的边长为x ，请你回答下列问题． (1)x 的整数部分是多少？(2)把x 的值精确到十分位是多少？精确到百分位呢？ (3)x 是有理数吗？请简要说明理由．解：令正方形的面积为S ，则S ＝x 2＝7，当2＜x ＜3时，4＜x 2＜9，当2.6＜x ＜2.7时，6.76＜x 2＜7.29；当2.64＜x ＜2.65时，6.969 6＜x 2＜7.022 5；当2.645＜x ＜2.646时，6.996 025＜x 2＜7.001 316； … 则有：(1)x 的整数部分为2.(2)精确到十分位时，x ≈2.6，精确到百分位时，x ≈2.65. (3)x 不是有理数．因为没有一个整数的平方等于7，也没有一个分数的平方等于7，另由计算可知，x 是无限不循环小数．释疑点如何四舍五入利用四舍五入法取近似值时要比精确到的位数多考查一位．3．无理数的常见类型判断一个数是不是无理数，关键就是看它能不能写成无限不循环的小数，无理数常见的形式主要有三种：(1)一般的无限不循环小数，如1.414 213 56…是无理数．看似循环而实质不循环的小数，如0.101 001 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次增加1)是无理数．(2)圆周率π以及含π的数，如π，2π，π＋5，都是无理数． (3)开方开不尽的数(下一节学到)．【例3】下列各数，哪些是有理数？哪些是无理数？0，π2，－4,0.12··，－117，1.112 111 211…(相邻两个2之间1的个数逐次加1)，3.141592 7.分析：1.112 111 211…(相邻两个2之间1的个数逐次加1)为无限不循环小数，π2为含π的数，两者都为无理数.0，－4为整数，是有理数；0.12··，－34，3.141 592 7为分数或可化为分数，是有理数．解：有理数为0，－4,0.12··，－117，3.141 592 7；无理数为π2，1.112 111 211…(相邻两个2之间1的个数逐次加1)．辨误区 π与3.141 592 7的区别3．141 592 7属于有限小数，不是π，要注意区分． 4．实数的概念及分类(1)有理数和无理数统称实数． (2)实数的分类：我们所学习的实数范围大、类别多，按照不同的标准就有不同的分类方法，总体来说有两种情况：①按定义来分类②按正、负数来分类实数⎩⎪⎨⎪⎧正实数⎩⎪⎨⎪⎧ 正有理数正无理数0负实数⎩⎪⎨⎪⎧负有理数负无理数分类是一个重要的数学思想，对实数分类时要做到按同一标准，既不重复，又不遗漏．对啊! 还要注意：0既不是正数，也不是负数，它是一个中性数，它在实数里扮演着重要角色. 我们通常把正实数和0合称为非负数，把负实数和0合称为非正数.【例4】把下列各数填入相应的集合内：0，2，15，0.3·，－π，－3－27，1.234 56…，－49. (1)有理数集合：{ …}；(2)无理数集合：{ …}； (3)正实数集合：{ …}； (4)负实数集合：{…}．分析：实数按照不同的分类标准有两种分类方法，将实数分类时，属于有理数集合的一定不属于无理数集合，属于正实数集合的一定不属于负实数集合，但是属于有理数集合的数有可能属于正实数集合．解：(1)有理数集合：⎩⎨⎧0，15，0.3·，－3－27，－49，… }.(2)无理数集合：{2，－π，1.234 56…，…}．(3)正实数集合：⎩⎨⎧2，15，0.3·，－3－27，1.234 56…，… }.(4)负实数集合：{－π，－49，…}．点技巧实数的有关性质解答本题时要注意以下几点：(1)对于－3－27，虽然有负号，但是最终化为正数，虽然含有根号，但是可以开得尽方，所以它既是正数又是有理数；(2)0既不是正数又不是负数；(3)一切分数都是有理数．5.实数的性质在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样．(1)相反数：实数a 的相反数是－a,0的相反数是0，具体地，若a 与b 互为相反数，则a ＋b ＝0；反之，若a ＋b ＝0，则a 与b 互为相反数．如：π与－π，3与－3均互为相反数．(2)绝对值：一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.实数a 的绝对值可表示为|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.就是说实数a 的绝对值一定是一个非负数，即|a |≥0，并且若|x |＝a (a ≥0)，则x ＝±a .例如：|－3|＝3，|－π|＝π，|3|＝3，|2－3|＝－(2－3)＝3－2，….(3)倒数：乘积为1的两个实数互为倒数，即若a 与b 互为倒数，则ab ＝1；反之，若ab ＝1，则a 与b 互为倒数．这里应特别注意的是0没有倒数．(4)实数大小的比较：有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立，所以我们可以得到比较实数大小的法则：①正实数都大于0，负实数都小于0，正数大于一切负数；两个负实数，绝对值大的反而小；②数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大．在进行实数比较大小时，我们会经常用到估算法、乘方法、作商法、求差法等等，由于方法多种多样，所以要根据实际采用适当的方法，亦可分别尝试应用．【例5－1】解答下列问题：(1)求3－216的绝对值；(2)若某数的绝对值是13，求这个数； (3)已知|x |＝26，求实数x ；(4)设a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，m 的倒数是其本身，化简cdm＋(a ＋b )m －|m |.分析：(1)3－216＝－6，－6的绝对值是6；(2)(3)在解决时要考虑到正负两种情形；(4)由a 与b 互为相反数可得a ＋b ＝0，由c 与d 互为倒数可得cd ＝1，由m 的倒数是其本身可得m ＝±1，然后化简可解．解：(1)|3－216|＝|－6|＝6.(2)∵|13|＝13，|－13|＝13，∴绝对值是13的数是±13.(3)∵|x|＝26，∴x＝±26.(4)由题意，得a＋b＝0，cd＝1，m＝±1.当m＝1时，原式＝1＋0×1－1＝0；当m＝－1时，原式＝－1＋0×(－1)－|－1|＝－1－1＝－2.注：(2)(3)两题实质是一样的，只是表达形式不同，解题时要防止丢掉负实数．【例5－2】比较下列各组数的大小：(1)－3.141 5和－π；(2)211和3 5.分析：解：(1)∵|－3.141 5|＝3.141 5，|－π|＝π＝3.141 592…，3．141 5＜π，∴－3.141 5＞－π.(2)∵(211)2＝4×11＝44，(35)2＝9×5＝45,44＜55，∴211＜3 5.点技巧比较负无理数的大小(1)比较两个负实数大小时，应先比较其绝对值的大小，绝对值大的反而小；(2)因为211和35都是无理数，整数部分很难确定，所以可以利用乘方法，乘方大的这个数就大．6．实数与数轴上点的关系每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．即实数和数轴上的点是一一对应的．因此，数轴正好可以被实数填满．【例6】大家知道，数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数，请你在数轴上画出表示13的点．分析：考虑到(13)2＝9＋4＝32＋22，可以利用勾股定理在数轴上作出长为13的线段，从而找到表示13的点．解：作法如下：(1)在数轴上找到一点A，使OA＝3；(2)过A作AT垂直于数轴，垂足为A，在AT上截取AB＝2；(3)连接OB；(4)以O为圆心，OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示13的点．点评：在数轴上作无理数一般是借助勾股定理．7.a与a的算术平方根之区别a与a的算术平方根是代数中两个十分重要的概念，两者有非常密切的联系，但也有所区别，主要表现在以下几方面：(1)a是一种代数式，而a的算术平方根是一种运算.a(a≥0)是一种代数式，一种含有二次根号“”的代数式．而算术平方根是指一种运算，一种与平方互为逆关系的运算．(2)a比a的算术平方根内涵更丰富.a虽然建立在a的算术平方根上，但它比a的算术平方根的含义更丰富．对于a来说，它表示的意义仍然是非负数a的算术平方根．用a的形式表示一个非负数的算术平方根具有形式简洁、含义深刻等优点，通过二次根式探索、表达算术平方根的性质更是如鱼得水、简便之极．(3)算术平方根不一定带根号．如3是9的算术平方根．【例7】对于题目“化简并求值：1a ＋1a ＋a 2－2，其中a ＝15”，甲、乙二人的解答不同．甲的解答是：1a ＋1a 2＋a 2－2＝1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －a 2＝1a ＋1a －a ＝2a －a ＝495；乙的解答是：1a ＋1a2＋a 2－2＝1a＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a 2＝1a＋a －1a ＝a ＝15.谁的解答是错误的？为什么？分析：甲、乙二人的解答区别在于1a2＋a 2－2的化简，1a2＋a 2－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －1a ，其值是非负数．由于a ＝15，所以结果应是1a－a .解：乙的解答是错误的．理由：∵a ＝15，则a －1a ＜0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －1a ＝1a －a . 注意：|a |与a 2在化简时一定要考虑其值的非负性．8．实数在生活中的应用实数是日常生活、生产中必不可少的数，它们与我们的生活息息相关，因此，与实数相关的问题自然成为中考命题的热点．数学知识生活化是近几年来中考热点之一，实数也不例外，将生活中的实数搬进中考已成为中考的一个亮点．【例8】教生物的老师想设计一个长方形的实验基地，便于同学们进行实地观察，为了考查一下同学们的计算能力，他把长方形的基地设计成长为8020 m ，宽为345 m ，让学生算出这块实验基地的面积解：实验基地的面积为8020×345＝80×3×20×45＝240900＝240×30＝7 200(m 2)．答：这块实验基地的面积为7 200 m 2.【素质能力测试】 A 组1．小数，叫做无理数。

数学无理数与实数

数学无理数与实数数学是一门严谨而深奥的学科，其中包含了许多有趣的概念和理论。

无理数与实数是数学中一对重要的概念，在数学的发展中起到了重要的作用。

本文将着重介绍无理数与实数的定义、性质和应用。

一、无理数与实数的定义1. 无理数的定义无理数是指不能表示为两个整数的比例的实数。

无理数可以用无限不循环小数表示，例如π（pi）、e（自然对数的底数）等。

2. 实数的定义实数包括有理数和无理数，是一切数的集合。

实数可以用有限小数、无限循环小数和无限不循环小数来表示，例如整数、分数和无理数等。

二、无理数与实数的性质1. 无理数的性质（1）无理数的十进制表示是无限不循环小数。

（2）无理数与有理数相加、相乘、相减仍是无理数。

（3）无理数存在无穷多个，且无理数的集合与有理数的集合的交集为空。

2. 实数的性质（1）实数具有稠密性，即对于任意两个实数a和b，存在一个实数c使得a<c<b。

（2）实数的加法和乘法满足交换律、结合律和分配律等基本性质。

（3）实数域是一个有序域，可以进行大小比较。

三、无理数与实数的应用1. 几何学中的应用无理数在几何学中起到了重要的作用，例如π（pi）常用来表示圆周率，e（自然对数的底数）在指数增长和减少的模型中得到了广泛应用。

2. 物理学中的应用无理数与实数在物理学中也有重要应用，例如黄金分割比例、分形理论等。

3. 金融学中的应用实数的无穷性和稠密性在金融学中具有重要意义，例如套利交易、期权定价等。

四、总结无理数与实数是数学领域中重要的概念和理论，对于数学的发展和各个学科的应用都起到了关键作用。

通过研究无理数与实数，我们能够更好地理解数学的本质和规律，并将其应用于实际问题的解决中。

无论是几何学、物理学还是金融学，无理数与实数都扮演着不可忽视的角色。

因此，深入研究和探索无理数与实数的性质和应用，对于我们的数学学习和应用有着重要的意义。

这篇文章介绍了数学中的无理数与实数的定义、性质和应用。

实数基础知识点

实数基础知识点实数是数学中一个非常重要的概念。

它是数轴上所有的有理数和无理数的集合，包括正数、负数以及零。

在数学中，实数用R来表示。

接下来，我们将逐步介绍实数的一些基础知识点。

一、实数的分类实数可以分为有理数和无理数两大类。

1.有理数：有理数是可以表示为两个整数的比值的数。

它包括正整数、负整数、零，以及所有可以表示为两个整数的比值的分数。

例如，1、-5、0、1/2等都属于有理数。

2.无理数：无理数是不能表示为两个整数的比值的数。

它包括无限不循环小数，如根号2、π等。

无理数的小数表示是无限不循环的，例如根号2≈1.4142135…，π≈3.1415926…等。

二、实数的运算实数的运算包括加法、减法、乘法和除法。

下面我们来逐一介绍。

1.加法：实数的加法满足交换律和结合律。

例如，对于任意的实数a、b和c，有a + b = b + a和(a + b) + c = a + (b + c)。

2.减法：实数的减法是加法的逆运算。

例如，对于任意的实数a和b，有a - b = a + (-b)。

3.乘法：实数的乘法满足交换律和结合律。

例如，对于任意的实数a、b和c，有a * b = b * a和(a * b) * c = a * (b * c)。

4.除法：实数的除法是乘法的逆运算。

例如，对于任意的实数a和b（其中b≠0），有a / b = a * (1 / b)。

三、实数的性质实数具有一些重要的性质，包括有序性、稠密性和连续性。

1.有序性：实数可以进行大小比较。

对于任意的实数a和b，有a < b、a = b或者a > b。

这是实数的一个重要性质，它使得我们可以对实数进行排序。

2.稠密性：实数是稠密的，即在任意两个不相等的实数之间，都存在着其他的实数。

这意味着在数轴上，任意两个实数之间都可以找到一个实数。

3.连续性：实数具有连续性，即在数轴上不存在间隙。

任意两个实数之间都存在着无限个实数。

这个性质对于实数的运算和分析非常重要。

无理数实数概念二

2
（3）｜3.14｜=______3_.1__4__
（4）绝对值等于 6 的数是 _______6__ （5）1 3 的绝对值是 ___3_____1_
( 6 ) 比较大小：－７ 4 3
谈谈本节课的收获：有什么新发现？知道了哪些新知识？
课本87页:3, 6
问题2.你能在数轴上表示出 2吗？
实数与数轴上的点一一对应
实数与数轴上的点一一对应
-2
-1
0 A1
2
（数点）每一个实数都可以用数轴上的一个
点来表示．
（点数）反过来，数轴上的每一个点都表示
一个实数．
相反数：实数 a 的相反数是- a．若a与b互为相反数，则a＋b=0．
绝对值：实数a的绝对值，记为|a|，它是一个非负实数．
报道一：在男子110米栏决赛中，中国选手刘翔以12.91秒的成绩夺得金牌,这个成绩打破12.96的奥运会纪录,平了世界纪录,实现了中国男子田径金牌0的突破.
报道二：在女子柔道52公斤级的冠军争夺赛中, 中国选手冼东妹仅用1.1分钟,就为中国柔道队夺得首枚金牌.
你没忘吧
?
110, 12.91, 12.96, 0, 52, 1.1,
新课导入
以生命为代价的发现
毕达哥拉斯（Pythagoras）学派
“万物皆为数”（指有理数）
希帕斯（Hippasus）
发现了一种实际存在的量，毕达哥拉斯却不能表示为两个整数的比．
毕达哥拉斯有一句名言，叫做“万物皆数”，他把数的概念神秘化了，错误地认为：宇宙间的一切现象，都可以归结为整数或者整数的比；除此之外，就不再有别的什么东西了．
33.0, 30.6, 475.875,

实数及其运算基础知识点

实数及其运算基础知识知识点一、实数的概念及分类1、实数的分类正有理数有理数零有限小数和无限循环小数实数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一要点，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等；（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数，如sin60o 等知识点二、实数的倒数和绝对值1、绝对值（1）一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离。

（2）零的绝对值是它本身，即|0|=0.（3）正数的绝对值是它的本身，即a ＞0，则|a|=a ，例|3|=3.（4）负数的绝对值是它的相反数，即a ＜0，则|a|=-a ，例|-3|=32、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。

倒数等于本身的数是1和-1。

零没有倒数。

知识点三、平方根、算数平方根和立方根1、（1）平方根如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。

一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

正数a 的平方根记做“a ±”。

（2）平方根的性质：（3）平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.，.2、算术平方根正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。

正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

a （a ≥0） 0≥a ==a a 2 ；注意a 的双重非负性：-a （a <0） a ≥03、立方根如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。

一个正数有一个正的立方根，例√83=2；一个负数有一个负的立方根，例√−83= -2；零的立方根是零。

注意：33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。