2020年重庆中考几何专题

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2020重庆中考复习数学几何最值常见求解方法（完整版）

2020重庆中考复习数学几何最值常见求解方法一、利用垂线段最短求最值例1、如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8，D是BC边上一动点，将AD绕点A逆时针旋转45°得AE，连接CE，则线段CE长的最小值为（）A．4B．42C．421D．842解：如图，在AB上截取AF＝AC＝2，∵旋转∴AD＝AE∵AC＝BC＝8，∠ACB＝90°，∴AB＝8，∠B＝∠BAC＝45°，∴BF＝8﹣8∵∠DAE＝45°＝∠BAC，∴∠DAF＝∠CAE，且AD＝AE，AC＝AF，∴△ACE≌△AFD（SAS）∴CE＝DF，当DF⊥BC时，DF值最小，即CE的值最小，∴DF最小值为828842 2例2、如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是直线AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转45°得到FC，连接DF，则在点E运动过程中，DF的最小值是．解：如图，在AC上取一点G，使CG＝CD，连接EG，∵AB＝AC＝2，∠BAC＝90°∴∠ACB＝45°，∴CD＝2?cos45°＝2，∵旋转角为45°，∴∠ECD+∠DCF＝45°，又∵∠ECD+∠GCE＝∠ACB＝45°，∴∠DCF＝∠GCE，∵AD是等腰直角△ABC的对称轴，∴CD＝BC，∵CD＝CG，又∵CE旋转到CF，∴CE＝CF，在△DCF和△GCE中，，∴△DCF≌△GCE（SAS），∴DF＝EG，根据垂线段最短，EG⊥AD时，EG最短，即DF最短，∵∠CAD＝×90°＝45°，AG＝AC﹣CG＝2﹣2，∴EG ＝AG?sin45°＝（2﹣2）×＝2﹣，∴DF ＝2﹣．例3、如图，△ABC 是等边三角形，AB ＝4，E 是AC 的中点，D 是直线BC 上一动点，线段ED 绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF ，当点D 运动时，AF 的最小值是．BDAFH CEG P解法一：如图，连接BE ，延长EC 到N ，使EN ＝BE ，连接FN ，过点A 作AG ⊥BC 于G ，过点A 作AH ⊥FN 于H ，∵△ABC 是等边三角形，AB ＝12，E 是AC 中点，AG ⊥BC ，∴AC ＝AB ＝12，AE ＝EC ＝6，BE ⊥AC ，∠GAC ＝∠EBC ＝30°，BE ＝2＝EN ，∵线段ED 绕点E 逆时针旋转90°，∴DE ＝EF ，∠DEF ＝90°，∵∠BEC ＝∠DEF ＝90°，∴∠BED ＝∠FEN ，且DE ＝EF ，BE ＝EN ，∴△BED ≌△NEF （SAS ），∴∠EBC ＝∠ENF ＝30°，∴∠GAC ＝∠ENF ，∴AG ∥NF ，∴点F 在过点N 且平行于AG 的直线上，∴当AF ⊥FN 时，AF 的值最小，∵AH ⊥FN ，∠ENF ＝30°，∴AH ＝AN ＝（2+2）＝1+，∴线段AF 的最小值为1+，解法二：如图所示，过E 作EG ⊥BC 于G ，过A 作AP ⊥EG 于P ，过F 作FH ⊥EG 于H ，则∠DGE ＝∠EHF ＝90°，∵∠DEF ＝90°，∴∠EDG +∠DEG ＝90°＝∠HEF +∠DEG ，∴∠EDG ＝∠FEH ，又∵EF ＝DE ，∴△DEG ≌△EFH （AAS ），∴HF ＝EG ，∵△ABC 是等边三角形，AB ＝4，AE =AC=2，CE ＝2，∠AEH ＝∠CEG ＝30°，∴CG ＝CE =1，AP ＝AE ＝1，∴EG ＝CG ＝，∴HF ＝EG ＝，∴当点D 运动时，点F 与直线GH 的距离始终为个单位，∴当AF ⊥EG 时，AF 的最小值为AP +HF ＝1+，二、利用二次函数求最值例4、如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝15，BC ＝9，点P 是线段AC 上的一个动点，连接BP ，将线段BP绕点P逆时针旋转90°得到线段PD，连接AD，则线段AD的最小值是．解：如图，过点D作DE⊥AC于E，∵将线段BP绕点P逆时针旋转90°得到线段PD，∴DP＝BP，∠DPB＝90°，∴∠DPE+∠BPC＝90°，且∠BPC+∠PBC＝90°，∴∠DPE＝∠PBC，且DP＝BP，∠DEP＝∠C＝90°，∴△DEP≌△PCB（AAS），∴DE＝CP，EP＝BC＝9，∵AE+PC＝AC﹣EP＝6，∴AE+DE＝6，设AE＝x，DE=6﹣x，∵AD2＝AE2+DE2，∴AD2＝x 2+（6﹣x）2=2（x﹣3）2+18，当x＝3时，AD有最小值为3，例5、如图，边长为8的正方形ABCD中，动点P在CD边上，以AP为直角边向上作等腰Rt△APE，边PE与BC交于点F，连接BE.则线段BE在运动过程的最小值为 .MN解：如图，过点E作EM⊥CD于M，过点E作EN⊥CB于N．设CP＝x，则EN＝MC=8﹣x，NB＝x，22222BE EN NB x x x，(8)2(4))32x时，BE的值最小，最小值为4．∴当4AB AC BC，D为边AB上一动点(B点除外),以CD为一边作正例6、如图,在△ABC中，5,45方形CDEF，连接BE，则BDE面积的最大值为.解：过点C作CG⊥BA于点G，作EH⊥AB于点H，作AM⊥BC于点M．∵AB＝AC＝5，BC＝4，∴BM＝CM＝2，易证△AMB∽△CGB，∴，∴，∴GB＝8，设BD＝x，则DG＝8﹣x，易证△EDH≌△DCG（AAS），∴EH＝DG＝8﹣x，∴S△BDE＝＝＝，当x＝4时，△BDE面积的最大值为8．三、利用三角形三边的关系求最值例7、如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D为线段AC上一动点，连接BD，过点C作CH ⊥BD于H，连接AH，则AH的最小值为．图1 图2解法一：如图1，取BC中点G，连接HG，AG，∵CH⊥DB，点G是BC中点，∴HG＝CG＝BG＝BC＝2，在Rt△ACG中，AG＝＝2，在△AHG中，AH≥AG﹣HG，即当点H在线段AG上时，AH最小值为2﹣2，解法二：如图2，∵∠CHB＝90°，BC是定值，∴H点是在以BC为直径的半圆上运动（不包括B点和C点），连接HO，则HO＝BC＝2．当A、H、O三点共线时，AH最短，此时AH＝AO﹣HO＝2﹣2．四、利用两点之间线段最短求最值例8、如图，菱形ABCD 的边长为6，对角线AC ＝6，点E ，F 在AC 上，且EF ＝2，则DE +BF 的最小值为．解：如图，作DM ∥AC ，使得DM ＝EF ＝2，连接BM 交AC 于F ，∵DM ＝EF ，DM ∥EF ，∴四边形DEFM 是平行四边形，∴DE ＝FM ，∴DE +BF ＝FM +FB ＝BM ，根据两点之间线段最短可知，此时DE +FB 最短，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AO ＝OC ＝3，在Rt △ADO 中，OD ＝＝3，∴BD ＝6，∵DM ∥AC ，∴∠MDB ＝∠BOC ＝90°，∴BM ＝＝＝2．∴DE +BF 的最小值为2．五、利用将军饮马求最值例9、如图，已知，在矩形ABCD 中，AD ＝2，AB ＝4，点E ，F 是边CD 上的动点（点F 在点E 右侧），且EF ＝1，则四边形ABFE 周长的最小值为．FADBCNME解：在AB 上截取AM ＝EF ，作点M 关于直线DC 的对称点N ，连接BN 交CD 于F ，此时四边形AEFB的周长最小．四边形AEFB的周长的最小值＝AB +EF +AE +BF ＝AB +EF +MF +BF ＝AB +EF +NF +BF ＝AB +EF +NB ＝4+1+223+4＝10，六、利用胡不归求最值例10、（2019?南通）如图，ABCD Y 中，∠DAB ＝60°，AB ＝6，BC ＝2，P 为边CD 上的一动点，则PB+PD的最小值等于．解：如图，过点P 作PE ⊥AD ，交AD 的延长线于点E ，∵AB ∥CD ∴∠EDP ＝∠DAB ＝60°，∴sin ∠EDP ＝∴EP ＝PD ∴PB +PD ＝PB+PE ，∴当点B ，点P ，点E 三点共线且BE ⊥AD 时，PB +PE 有最小值，即最小值为BE ，∵sin ∠A ＝＝∴BE ＝3七、利用阿氏圆求最值例11、如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，BC=4，AB=6，在线段AB 上有一点M ，且BM=2.在线段AC 上有一动点N ，连接MN ，BN.将BMN 沿BN 翻折得到BM N .连接AM 、.CM 则223CMAM的最小值为.解：在BM 上截取BQ=23，2,3BQ BM QBM M BA BMBA Q，.BQM BM A :1,3QM BQM A BM 1,3QMM A 2122()2()33CMAM CM AM CMQM 当Q M C 、、三点共线时，=CM QM QC 有最小值为：22222237=()4.33QC BQBC223CMAM 的最小值为4373.。

2020年重庆中考几何第26题专题训练一(含答案解析)

2020年中考几何题专题训练一答案解析\1、已知：在△ABC中，BC＝2AC，∠DBC＝∠ACB，BD＝BC，CD交线段AB于点E．（1）如图1，当∠ACB＝90°时，则线段DE、CE之间的数量关系为；（2）如图2，当∠ACB＝120°时，求证：DE＝3CE；（3）如图3，在（2）的条件下，点F是BC边的中点，连接DF，DF与AB交于G，△DKG和△DBG 关于直线DG对称（点B的对称点是点K，延长DK交AB于点H．若BH＝10，求CE的长．2、（2016春•重庆校级期中）在△ABC中，AB＝AC，D为射线BC上一点，DB＝DA，E为射线AD上一点，且AE＝CD，连接BE．（1）如图1，若∠ADB＝120°，AC＝2，求DE的长；（2）如图2，若BE＝2CD，连接CE并延长交AB于点F，求证：CF＝3EF；（3）如图3，若BE⊥AD，垂足为点E，猜想AE，BE，BD之间的数量关系，直接写出关系式．3、（2019秋•江岸区校级月考）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°（1）如图1，P是边BD延长线上一点，以AP为边向右作等边△APE，连接BE、CE．①求证：CE⊥AD；②若AB＝，BE＝，求AE的长；（2）如图2，P是边CD上一点，点D关于AP的对称点为E，连接BE并延长交AP的延长线于点F，连接DE、DF．若BE＝11，DE＝5，求△ADF的面积．4、（2016秋•南岗区校级月考）已知：如图，在等边△ABC中，点D是AC上任意一点，点E在BC延长线上，连接DB，使得BD＝DE．（1）如图1，求证：AD＝CE；（2）如图2，取BD的中点F，连接AE、AF．求证：∠CAE＝∠BAF；（3）如图3，在（2）的条件下，过点F作AE的垂线，垂足为H，若AH＝．求EH的长．5、已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点D在边BC上，连接AD，作DE⊥AD，且DE＝AD，连接BE、AE，DE与AB交于点H，（1）如图1所示，求证：∠C＝∠ABE；（2）如图2，把射线AD沿AB折叠，分别交BE、DE的延长线于点F、点G．若∠AEB＝75°，求证：HG＝2DH；（3）在（2）的条件下，若BE＝3，求DH的长？6、如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D是△ABC内部一点，连接AD，BD和CD．（1）如图1，若∠BDC＝90°，BD＝1，CD＝2，求AC的长．（2）如图2，若CD平分∠ACB，∠BDC＝90°，过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E，求证：AD ＝DE．（3）如图3，若CD＝CB，∠BCD＝30°，取线段AC的中点F，连接DF，求证：∠AFD＝45°7、（2013•洪山区模拟）如图1，直角梯形ABCD中，BC＝CD，AB∥CD，∠ABC＝90°，点P为边AD上一点，BC＝PB．（1）求证：∠CBP＝2∠DCP；（2）如图2，若∠ABP的平分线交CP的延长线于点E，连接DE，求证：BE+DE＝CE；（3）在（2）的条件下，若AB＝1，BC＝2，请直接写出线段CE的长度．8、（2016秋•松北区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，点D在射线BC上，AB＝AD．（1）如图1，求证：BC+CD＝AC；（2）如图2，取AB的中点F，延长CA至点E，连接BE、DE、EF，使得∠ABE＝∠CAD，EF＝AE，求证：∠BEF＝2∠ABD；（3）如图3，在（2）的条件下，FG⊥BE于点G，FG＝4，EF＝，求△AED的面积．9、（2016•九龙坡区校级一模）已知，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，分别以AB、AC为边，向Rt△ABC外作等边△ABD和等边△ACE（1）如图1，连接BE、CD，若BC＝2，求BE的长；（2）如图2，连接DE交AB于点F，作BH⊥AD于H，连接FH．求证：BH＝2FH；（3）如图3，取AB、CD得中点M、N，连接M、N，试探求MN和AE的数量关系，并直接写出结论．10、重庆八中初2020级九上期末11、重庆实验外国语学校初2020级九上期末12、重庆双福育才中学初2020级九上期末2020年中考几何题专题训练一答案解析\1、已知：在△ABC中，BC＝2AC，∠DBC＝∠ACB，BD＝BC，CD交线段AB于点E．（1）如图1，当∠ACB＝90°时，则线段DE、CE之间的数量关系为DE＝2CE；（2）如图2，当∠ACB＝120°时，求证：DE＝3CE；（3）如图3，在（2）的条件下，点F是BC边的中点，连接DF，DF与AB交于G，△DKG和△DBG 关于直线DG对称（点B的对称点是点K，延长DK交AB于点H．若BH＝10，求CE的长．（1）解：∵∠DBC＝∠ACB＝90°，∴∠DBC+∠ACB＝180°，∴AC∥BD，∴∠DBE＝∠CAE又∵∠DEB＝∠AEC，∴△DBE∽△CAE，∴＝，又∵BD＝BC＝2AC，∴DE＝2CE；故答案为：DE＝2CE．（2）证明：如图2，∵∠DBC＝∠ACB＝120°，BD＝BC，∴∠D＝∠BCD＝30°，∴∠ACD＝90°，过点B作BM⊥DC于M，则DM＝MC，BM＝BC，∵AC＝BC，∴BM＝AC，∵在△BME和△ACE中∴△BME≌△ACE（AAS），∴ME＝CE＝CM，∴DE＝3EC；（3）解：如图，过点B作BM′⊥DC于点M′，过点F作FN⊥DB交DB的延长线于点N，设BF＝a，∵∠DBF＝120°，∴∠FBN＝60°，∴FN＝a，BN＝a，∵DB＝BC＝2BF＝2a，∴DN＝DB+BN＝a，∴DF＝＝＝a，∵AC＝BC，BF＝BC，∴BF＝AC，∴△BDF≌△BCA（SAS），∴∠BDF＝∠CBA，又∵∠BFG＝∠DFB，∴△FBG∽△FDB，∴＝＝，∴BF2＝FG×FD，∴a2＝a×FG，∴FG＝a，∴DG＝DF﹣FG＝a，BG＝＝a，∵△DKG和△DBG关于直线DG对称，∴∠GDH＝∠BDF，∴∠ABC＝∠GDH，又∵∠BGF＝∠DGH，∴△BGF∽△DGH，∴＝，∴GH＝＝a，∵BH＝BG+GH＝a＝10，∴a＝2；∴BC＝2a＝4，CM′＝BC cos30°＝2，∴DC＝2CM′＝4，∵DE＝3EC，∴EC＝DC＝．2、（2016春•重庆校级期中）在△ABC中，AB＝AC，D为射线BC上一点，DB＝DA，E为射线AD上一点，且AE＝CD，连接BE．（1）如图1，若∠ADB＝120°，AC＝2，求DE的长；（2）如图2，若BE＝2CD，连接CE并延长交AB于点F，求证：CF＝3EF；（3）如图3，若BE⊥AD，垂足为点E，猜想AE，BE，BD之间的数量关系，直接写出关系式．（1）解：∵DA＝DB，∠ADB＝120°，∴∠ABC＝∠BAD＝30°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝30°，∴∠CAD＝90°，在RtACD中，tan30°＝，∴AD＝2×＝2，AE＝CD＝2AD＝4 ∴DE＝AE﹣AD＝CD﹣AD＝4﹣2＝2；（2）证明：如图，过A作AG∥BC，∵DB＝DA，AB＝AC，∴∠BAD＝∠ABC，∠ABC＝∠ACB，∴∠BAD＝∠ACB，∵AE＝CD，在△ABE和△CAD中∴△ABE≌△CAD（SAS），∴BE＝AD，∵BE＝2CD，∴AD＝2CD＝2AE，∴AE＝DE，∵AG∥BC，∴∠G＝∠DCE，∠GAE＝∠CDE，在△AGE和△DCE中∴△AGE≌△DCE（AAS），∴GE＝CE，AG＝CD＝AE，∴△AGE为等腰三角形，∴∠GAF＝∠ABC＝∠BAD，∴F为GE的中点，∴CE＝EG＝2EF，∴CF＝3EF；（3）如图3，取BE中点M，延长AM至N，使MN＝AM，连接BN，EN，∴四边形ABNE是平行四边形，∴AE∥BN，∴∠NBC＝∠D，BN＝AE＝CD，∵AB＝AC，DB＝DA，∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAD，∴∠BAC＝∠D＝∠NBC，∵∠ABN＝∠NBC+∠ABC，∠ACD＝∠BAC+∠ABC，∴∠ABN＝∠ACD，在△ABN和△ACD中∴△ABN≌△ACD（SAS），∴BD＝AD＝AN＝2AM，∵BE⊥AD，∴AE2+ME2＝AM2，∴AE2+（BE）2＝（AN）2，∴AE2+BE2＝BD2．3、（2019秋•江岸区校级月考）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°（1）如图1，P是边BD延长线上一点，以AP为边向右作等边△APE，连接BE、CE．①求证：CE⊥AD；②若AB＝，BE＝，求AE的长；（2）如图2，P是边CD上一点，点D关于AP的对称点为E，连接BE并延长交AP的延长线于点F，连接DE、DF．若BE＝11，DE＝5，求△ADF的面积．（1）①证明：在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴∠ADC＝60°，且AB＝BC＝DA＝DC，∴△ADC和△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠CAD＝60°，又∵△APE是等边三角形，∴AE＝AP，∠EAP＝60°，∴∠BAC+∠CAP＝∠PAE+∠CAP，即∠BAP＝∠CAE，∴△BAP≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠ABP＝∠ABC＝30°，∵∠CAD＝60°，∴∠ACE+∠CAD＝90°，∴CE⊥AD；②解：如图1，设AC与BD交于点O，由①知，∠ACE＝30°，且∠ACB＝60°，∴∠ACE+∠ACB＝∠BCE＝90°，∵在Rt△BCE中，BC＝AB＝，BE＝，∴CE＝＝4，由①知，△BAP≌△CAE，∴BP＝CE＝4，在Rt△BOC中，∠ACB＝60°，∴BO＝BC＝，CO＝AO＝BC＝，∴OP＝BP﹣BO＝，∴在Rt△AOP中，AP＝＝＝，∴AE＝AP＝；（2）解：如图2，连接AE，过点A作AH⊥BF于点H，∵点D关于AP的对称点为E，∴AP垂直平分DE，∴AD＝AE，FD＝FE，∴∠EAF＝∠DAF＝∠EAD，∠DFA＝∠EFA＝∠DFE，又∵在菱形ABCD中，AB＝AD，∴AB＝AE，∴AH垂直平分BE，∴EH＝BH＝BE＝，∠BAH＝∠EAH＝∠BAE，∴∠HAF＝∠EAH+∠EAF＝∠BAD，∵∠ABC＝60°，∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝120°，∴∠HAF＝60°，∴∠AFH＝90°﹣∠HAF＝30°，∴∠DFE＝60°，∴△DEF为等边三角形，∴EF＝DE＝5，∴HF＝HE+EF＝+5＝，在Rt△AHF中，∠AFH＝30°，∴AH＝HF＝，∴S△AEF＝EF•AH＝×5×＝，∵AD＝AE，FD＝FE，AF＝AF，∴△ADF≌△AEF（SSS），∴△ADF的面积为．4、（2016秋•南岗区校级月考）已知：如图，在等边△ABC中，点D是AC上任意一点，点E在BC延长线上，连接DB，使得BD＝DE．（1）如图1，求证：AD＝CE；（2）如图2，取BD的中点F，连接AE、AF．求证：∠CAE＝∠BAF；（3）如图3，在（2）的条件下，过点F作AE的垂线，垂足为H，若AH＝．求EH的长．解：（1）如图1，作DF∥AB，∵DF∥AB，∴，∵AC＝BC，∴CF＝CD，∴BF＝AD，∵DF∥AB，∴∠DFC＝60°，∴∠BFD＝120°，∵BD＝DE，∴∠E＝∠DBE，在△BDF和△EDC中，，∴△BDF≌△EDC，（AAS）∴BF＝CE，∴AD＝CE，（2）如图2，过点B作BG∥AC交AF的延长线于G，∴∠G＝∠DAF，∠CBG＝∠ACB＝60°，∴∠ABG＝∠ABC+∠CBG＝120°＝∠ACE，∵点F是BD中点，∴BF＝DF，在△BFG和△DFA中，，∴△BFG≌△DFA，∴BG＝AD，由（1）知，AD＝CE，∴BG＝CE，在△ABG和△ACE中，，∴△ABG≌△ACE，∴∠BAF＝CAE；（3）由（2）知，∠BAF＝∠CAE，∴∠FAE＝∠FAC+∠CAE＝∠FAC+∠BAF＝∠BAC＝60°，∵FH⊥AE，∴∠AHF＝90°，∴∠AFH＝90°﹣∠FAE＝30°，在Rt△AFH中，AH＝，∴AF＝2，由（2）知，△BFG≌△DFA，∴GF＝AF＝2，由（2）知，△ABG≌△ACE，∴AE＝AG＝2AF＝4，∴EH＝AE﹣AH＝4﹣＝3．5、已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点D在边BC上，连接AD，作DE⊥AD，且DE＝AD，连接BE、AE，DE与AB交于点H，（1）如图1所示，求证：∠C＝∠ABE；（2）如图2，把射线AD沿AB折叠，分别交BE、DE的延长线于点F、点G．若∠AEB＝75°，求证：HG＝2DH；（3）在（2）的条件下，若BE＝3，求DH的长？证明：（1）如图1，过点E作EM⊥BC于M，∵∠ACB＝90°，AD⊥DE∴∠ACB＝∠ADE＝90°∵∠ADB＝∠ACB+∠DAC＝∠ADE+∠EDB∴∠DAC＝∠EDB，且∠ACD＝∠EMD＝90°，AD＝DE ∴△ACD≌△DME（AAS）∴AC＝DM，CD＝EM∵AC＝BC，∴BC＝DM∴CD＝BM∴BM＝EM，且EM⊥BM∴∠EBM＝45°∵∠C＝90°，AC＝BC∴∠ABC＝∠BAC＝45°∴∠ABE＝180°﹣∠ABC﹣∠EBM＝90°∴∠C＝∠ABE（2）如图2，过点E作EM⊥BC于M，∵∠C＝90°，AC＝BC，∠ADE＝90°，AD＝DE∴∠CAB＝∠DAE＝∠AED＝45°由（1）可知∠EBM＝45°，∴∠CBE＝135°，∵∠DAE+∠AEB+∠DBE+∠ADB＝360°，且∠AEB＝75°，∴∠ADB＝105°∴∠ACD+∠CAD＝∠ADB＝105°∴∠CAD＝15°∴∠DAB＝30°∵把射线AD沿AB折叠，分别交BE、DE的延长线于点F、点G．∴∠DAB＝∠BAG＝30°∴∠DAG＝60°，且∠ADE＝90°∴∠G＝30°＝∠BAG∴AH＝HG∵∠ADE＝90°，∠DAH＝30°∴AH＝2DH∴HG＝2DH（3）作EN平分∠DEB交BC于点N，∵EM＝BM，∠EMB＝90°∴BE＝EM，且BE＝3，∴EM＝∵∠AEB＝75°，∠AED＝45°∴∠DEN＝30°∵EN平分∠DEB∴∠DEN＝15°∵∠EDM＝∠CAD＝15°∴∠DEN＝∠EDB＝15°，∴DN＝EN，∠ENM＝30°，且EM⊥BM∴NE＝2EM＝3，NM＝EM＝在Rt△DEM中，DE＝＝3+3＝AD∵∠DAH＝30°，∠ADH＝90°∴AD＝DH＝3+3∴DH＝3+6、如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D是△ABC内部一点，连接AD，BD和CD．（1）如图1，若∠BDC＝90°，BD＝1，CD＝2，求AC的长．（2）如图2，若CD平分∠ACB，∠BDC＝90°，过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E，求证：AD ＝DE．（3）如图3，若CD＝CB，∠BCD＝30°，取线段AC的中点F，连接DF，求证：∠AFD＝45°解：（1）如图1，∵∠BDC＝90°，BD＝1，CD＝2，∴BC＝＝＝，∵AB＝BC＝，由勾股定理得：AC＝＝＝；（2）如图2，延长BD交AC于P，∵DC平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ACD，∵∠BDC＝90°，∴∠BDC＝∠PDC＝90°，∵CD＝CD，∴△BDC≌△PDC，∴BD＝PD，∵BE∥AC，∴∠E＝∠EAC，∠EBD＝∠DPA，∴△BDE≌△PDA，∴AD＝DE；（3）如图3，以BD为边作等边三角形BDE，连接BF、CE，∴BD＝DE＝BE，∵AB＝BC，F是AC的中点，∴BF⊥AC，∴∠AFB＝90°，∵∠ABC＝90°，∴BF＝AF，∵CD＝BC，∠BCD＝30°，∴∠CBD＝∠CDB＝75°，∵CE＝CE，∴△CEB≌△CED，∴∠BCE＝∠DCE＝15°，∵∠CBD＝75°，∠DBE＝60°，∴∠CBE＝75°﹣60°＝15°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABD＝90°﹣75°＝15°，∴∠ABD＝∠CBE，∴△ABD≌△CBE，∴∠BAD＝∠BCE＝15°，∴∠ABD＝∠BAD＝15°，∴AD＝BD，∵DF＝DF，∴△ADF≌△BDF，∴∠AFD＝∠BFD＝∠AFB＝×90°＝45°．7、（2013•洪山区模拟）如图1，直角梯形ABCD中，BC＝CD，AB∥CD，∠ABC＝90°，点P为边AD上一点，BC＝PB．（1）求证：∠CBP＝2∠DCP；（2）如图2，若∠ABP的平分线交CP的延长线于点E，连接DE，求证：BE+DE＝CE；（3）在（2）的条件下，若AB＝1，BC＝2，请直接写出线段CE的长度．解：（1）取CP的中点F，连接BF，如图1，∵BC＝BP，BF是底边上的中点，∴∠CBF＝∠PBF＝∠CBP，BF⊥PC，∴∠CBF+∠BCF＝90°，∵∠BCF+∠DCP＝90°，∴∠DCP＝∠CBF，∴∠CBP＝2∠DCP；（2）过得C作CG⊥CE交EB的延长线于点G，连接BD，如图2，∵BC＝CD，∠BCD＝90°，∴∠CBD＝45°，∵∠EBF＝∠EBP+∠PBF＝∠ABP+∠CBP＝45°，∴∠BEF＝180°﹣∠EBF﹣∠BFE＝45°，∴△CEG是等腰直角三角形，∴EG＝CE，CG＝CE，∵∠ECG＝90°＝∠BCD，∴∠BCG＝∠DCE，在△CBD和△CDE中∴△CBD≌△CDE（SAS），∴BG＝DE，∴DE+BE＝BG+BE＝EG＝CE；（3）CE＝，理由如下；取CD的中点M，连接MF，设MF的延长线交直线AB与B′，如图2，∵F是PC的中点，∴FM∥AD，∵AB∥CD，∴四边形AB′MD是平行四边形，∴AB′＝DM＝1＝AB，∴B′与B重合，即B、F、M在一条直线上，∴BM⊥CE，∵∠CBF＝∠MBC，∴△BFC∽△BCM，∴＝，即＝，∴BF＝2CF，∵∠BEF＝45°，∠BFE＝90°，∴EF＝BF＝2CF，∵CF＝PF，∴CF＝PF＝PE，CE＝3CF，∵S△BCM＝CF•BM＝BC•CM，∴CF＝＝＝，∴CE＝3CF＝．8、（2016秋•松北区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，点D在射线BC上，AB＝AD．（1）如图1，求证：BC+CD＝AC；（2）如图2，取AB的中点F，延长CA至点E，连接BE、DE、EF，使得∠ABE＝∠CAD，EF＝AE，求证：∠BEF＝2∠ABD；（3）如图3，在（2）的条件下，FG⊥BE于点G，FG＝4，EF＝，求△AED的面积．（1）证明：延长DB至E，使BE＝CD，连接AE，∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠ABE+∠ABD＝180°，∠ADC+∠ADB＝180°，∴∠ABE＝∠ADC，在△ABE和△ADC中，，∴△ABE≌△ADC，∴∠C＝∠E＝60°，∴△AEC为等边三角形，∴AC＝CE，∵BC+BE＝CE，∴BC+CD＝AC；（2）证明：∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠CAD+∠ADB＝∠ACB＝60°，∠CAD＝∠ABE，∴∠ABE+∠ABD＝∠CAD+∠ADB＝60°，∴△BEC为等边三角形，过点A作AN∥BC交EB于N，∴△ENA为等边三角形，∠NAB＝∠ABD，∴AN＝AE，∴BN＝AC，∴∠NAB＝∠ADC，在△BNA和△ACD中，，∴△BNA≌△ACD，∴AN＝CD，∴CD＝AE，延长EF至M使得EF＝FM，连接BM，∴△AEF≌△BMF，∴AE＝BM，AE∥BM，∴BM＝CD，∠MBC＝∠ECB＝60°，∴∠EBM＝∠EBC+∠MBC＝120°，又∵∠ECD＝∠EBM＝120°，∴△BEM≌△CED，∴∠BEF＝∠CED，∵EF＝AE，∴∠EFA＝∠EAF，∴∠BEF+∠EBF＝∠ACB+∠ABD，∴∠BEF+60°﹣∠ABD＝∠ABD+60°，∴∠BEF＝2∠ABD∠CED＝2∠ABD；（3）解：由（2）得，△EMD是等边三角形，∴，过点A作AP⊥DE于P，由（2）可证△EFG≌△EAP，∴AP＝FG＝4，∴S△AED＝DE×AP＝××4＝37．9、（2016•九龙坡区校级一模）已知，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，分别以AB、AC为边，向Rt△ABC外作等边△ABD和等边△ACE（1）如图1，连接BE、CD，若BC＝2，求BE的长；（2）如图2，连接DE交AB于点F，作BH⊥AD于H，连接FH．求证：BH＝2FH；（3）如图3，取AB、CD得中点M、N，连接M、N，试探求MN和AE的数量关系，并直接写出结论．解：（1）如图1，Rt△ABC中，∠CAB＝30°，BC＝2，∴AB＝4，AC＝2，∵△ACE是等边三角形，∴AE＝AC＝2，∠EAC＝60°，∴∠EAB＝60°+30°＝90°，在Rt△EAB中，EB＝＝＝2；（2）如图2，过E作EG∥BD，交BA的延长线于G，∴∠EGA＝∠ABD，∵△ABD是等边三角形，∴∠ABD＝60°，∴∠EGA＝60°，Rt△AEG中，设AG＝x，∴EG＝2x，AE＝x，∴AC＝AE＝BH＝x，∵∠BDH＝60°，∴BD＝2x，∴EG＝BD＝2x，∵∠EFG＝∠BFD，∴△EFG≌△DFB，∴EF＝DF，等边△ABD中，∵BH⊥AD，∴AH＝DH，∴FH是△AED的中位线，∴FH＝AE＝BH，∴BH＝2FH；（3）如图3，连接BN，并延长交AD于H，∵∠CBA＝60°＝∠BAD，∴BC∥AD，∴∠BCN＝∠NDH，∵CN＝ND，∠CNB＝∠DNH，∴△CNB≌△DNH，∴BN＝NH，BC＝DH，∵M是AB的中点，∴MN是△ABH的中位线，∴MN＝AH，设BC＝x，则DH＝x，AB＝AD＝2x，∴AH＝x，∴MN＝x，Rt△ACB中，AC＝2x，∴AE＝2x，∴＝＝，∴AE＝4MN．10、重庆八中初2020级九上期末11、重庆实验外国语学校初2020级九上期末12、重庆双福育才中学初2020级九上期末。

2020重庆中考数学专题训练十三几何证明菱形一

专题训练十二--------几何证明之菱形一1.如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，∠BAD＝45°，DE⊥BC于点E，交AC于点F，点G是BC的中点，连接FG，过点C作CM⊥CD交FG的延长线于点M．（1）若菱形ABCD的周长为12，求菱形ABCD的面积；（2）求证：CM+2EF＝BC．（1）解：∵菱形ABCD的周长为12，∴BC＝CD＝3，∠BCD＝∠BAD＝45°，∵DE⊥BC，∴△CDE是等腰直角三角形，∴CE＝DE ＝CD ＝，∴菱形ABCD的面积＝BC×DE ＝；（2）证明：连接BF，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴∠BAF＝∠DAF，AB＝AD＝BC＝CD，AD∥BC，AB∥CD，∵DE⊥BC，∴DE⊥AD，∴∠ADF＝90°，在△ABF和△ADF 中，，∴△ABF≌△ADF（SAS），∴∠ABF＝∠ADF＝90°，BF＝DF，∴BF⊥AB，∵CM⊥CD，∴BF∥CM，∴∠GFB＝∠M，∵点G是BC的中点，∴BG＝CG，在△BFG和△CMG 中，，∴△BFG≌△CMG（AAS），∴BF＝CM，∴CM＝BF＝DF，∵BF∥CM，∠BCD＝45°，CM⊥CD，∴∠GBF＝∠GCM＝90°﹣45°＝45°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴BE＝EF，∴CM+2EF＝DF+EF+BE＝DE+BE＝BC．2、如图，在菱形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，BC ＝2OC ，E 为BC 边上一点.（1）如图1，若CE ＝6，∠ACE ＝15°，求BC 的长；（2）如图2，若F 为BO 上一点，且BF ＝EF ，G 为CE 中点，连接FG ，AG ，求证：AG=3FG ．GFODACEODA BCBE图1 图2（1）解：如答图1，过点E 作EM ⊥BC 于点M, ∵四边形ABCD 是菱形，AC 与BD 交于点O ∴AB=BC,AC=2CO ∵BC=2CO ∴AB=BC=AC ∴∠ACB=∠ABC=60° ∵∠ACE=15°∴∠ECB=∠ACB —∠ACE=45° ∴CM=EM=22CE=23 ∴BM=33EM=6 ∴BC= CM+BM=23+6（2）证明：如答图,2，延长FG 至点H ，使GH ＝FG ，连接CH ，AH ． ∵G 为CE 中点， ∴EG ＝GC ，在△EFG 与△CHG 中，，△EFG ≌△CHG （SAS ），∴EF ＝CH ，∠CHG ＝∠EFG ， ∴CH ＝BF ，CH ∥EF ，由（1）可知∠EBC ＝60°，∠EKB ＝90°，∠BCD ＝120°， ∴∠HCB ＝90°，∠ACH ＝∠BCD ﹣∠HCB ＝120°﹣90°＝30°，∴∠ABF ＝∠ACH ，在△AFB 与△AHC 中，△AFB ≌△AHC （SAS ），∴AF ＝AH ，∠BAF ＝∠CAH ∵FG ＝GH ，∴AG ⊥FG ，∴∠F AG ＝∠HAG ∵∠BAC ＝∠BAF +∠F AC ＝60°， ∴∠CAH +∠F AC ＝60°，即∠F AH ＝60°，∴∠F AG ＝∠HAG ＝30°， ∴OBA HEFGMEODA答图1答图23.在菱形ABCD中以B为顶点作等腰△BEF，已知∠EBF+∠ABC＝180°．（1）如图1，当BF与BD重合时，点E在AD边上已知∠A＝30°，AE＝6，求BE的长．（2）如图2，连接AF、CE，BE与AF于点G．若G为AF中点，求证：CE＝2BG．解：（1）如图1，过E点作EM⊥AB于M点，∵在Rt△AME中，∠A＝30°，∴ME ＝AE ＝×6＝3．∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD．∴∠ADB ＝＝75°．∵BE＝BD，∴∠BED＝∠ADB＝75°．∴∠ABE＝75°﹣30°＝45°，∴△MEB是等腰直角三角形．∴BE ＝ME ＝．（2）证法一：延长AB至H点，使得BH＝AB，连接FH．∵G点为AF中点，B点为AH中点∴FH＝2BG．∵∠HBC+∠ABC＝180°，∠EBF+∠ABC＝180°，∴∠HBC＝∠EBF．∴∠HBC+∠CBF＝∠EBF+∠CBF，即∠HBF＝∠CBE．在△HBF和△CBE中∴△HBF≌△CBE（SAS）．∴CE＝HF．∴CE＝2BG．证法二：GDACFEHB证法三：4.在菱形ABCD 中,∠C=60°,E 为CD 边上的点,连接BE.(1)如图1,若E 为CD 的中点且BE=3,求菱形ABCD 的面积;(2)如图2,点F 在BC 边且DE=CF,连接DF 交BE 于点M,连接EB 并延长至点N,使得BN=DM,求证:AN=DM+BMBD CAEEMDCABNF图1 图2解：（1）如图1中，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ， ∵∠C ＝60°，∴△BCD 是等边三角形， ∵DE ＝EC ， ∴BE ⊥CD ， ∴EC ＝，∴CD ＝2EC ＝2，∴菱形ABCD 的面积＝CD •BE ＝6．（2）证法一：如图2中，连接AM ，在MA 上截取MH ＝MD ，连接DH ．∵DE ＝CF ．∠BDE ＝∠C ，BD ＝CD ，∴△BDE ≌△DCF ， ∴∠DBE ＝∠CDF ，∴∠MBF ＝∠DBM +∠BDM ＝∠CDF +∠BDM ＝60°， ∴∠DMB ＝120°， ∵∠DAB +∠DMB ＝180°， ∴∠ADM +∠ABM ＝180°， ∵∠ABN +∠ABM ＝180°， ∴∠ABN ＝∠ADM ，∵AB ＝AD ，BN ＝DM ， ∴△ABN ≌△ADM ，∴∠DAM＝∠BAN，AM＝AN，∴∠MAN＝∠DAB＝60°，∴△AMN是等边三角形，∴∠AMB＝∠AMD＝60°，∵MH＝MD，∴△DMN是等边三角形，∴DH＝DM，∠ADB＝∠HDM＝60°，∴∠ADH＝∠BDM，∵AD＝DB，DH＝DM．∴△ADH≌△BDM，∴AH＝BM，∵AM＝AH+HM，∴AN＝AM＝DM+BM．证法二：。

2020年重庆中考数学复习几何最值专题复习八(含答案解析)

2020重庆中考数学复习几何最值专题复习八例1、如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E，F分别是AB，BC边上的两动点，且EF＝2，点G为EF的中点，点H为AD边上一动点，连接CH，GH，则GH+CH的最小值为（）A．4 B．9 C． D．例2、如图，△ABC中，AB＝AC＝4，∠ABC＝30°，点P，Q分别在边AB，AC上，将△APQ沿PQ翻折，点A落在点A′处，则线段BA′长度的最小值为（）A．4 B．4﹣4 C． D．2﹣例3、如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝45°，AB＝4，AD＝2，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将线段MN绕点M逆时针旋转90至MN′，连接N′B，N′C，则N′B+N′C的最小值是．例4、如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝3，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A'MN，连接A'C．在MN上存在一动点P．连接A'P、CP，则△A'PC周长的最小值是．例5、（2018•无锡）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为边AD上一个动点，连结BE，取BE的中点G，点G绕点E逆时针旋转90°得到点F，连结CF，则△CEF面积的最小值是（）A．4 B． C．3 D．练习：1、（2019秋•罗湖区期末）如图，矩形ABCD中，AB＝20，AD＝30，点E，F分别是AB，BC边上的两个动点，且EF＝10，点G为EF的中点，点H为AD边上一动点，连接CH、GH，则GH+CH的最小值为 45．2、如图，在△ABC，AB＝AC＝2，△ABC＝30°，点P、Q分别在边AB、AC上，将△APQ沿PQ翻折，点A落到点A′处，则线段BA′长度的最小值是．3、如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，点M，N分别在边AB，AC上，将△AMN沿MN 翻折，点A的对应点为A′，连接BA′，则BA′长度的最小值为．4如图，点E为正方形ABCD中AD边上的动点，AB＝2，以BE为边画正方形BEFG，连结CF和CE，则△CEF面积的最小值为．2020重庆中考数学复习几何最值专题复习八参考答案例1、如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E，F分别是AB，BC边上的两动点，且EF＝2，点G为EF的中点，点H为AD边上一动点，连接CH，GH，则GH+CH的最小值为（）A．4 B．9 C． D．解：由已知，点G在以B圆心，1为半径的圆在与长方形重合的弧上运动．作C关于AD的对称点C′，连接C′B，交AD于H，交以D为圆心，以1为半径的圆于G由两点之间线段最短，此时C′B的值最小为，则GH+CH的最小值C′G＝10﹣1＝9，故选：B．例2、（2018春•碑林区校级期末）如图，△ABC中，AB＝AC＝4，∠ABC＝30°，点P，Q分别在边AB，AC上，将△APQ沿PQ翻折，点A落在点A′处，则线段BA′长度的最小值为（）A．4 B．4﹣4 C． D．2﹣解：如图，当点Q与点C重合，A′点落在BC上时，BA′的长度最小．（圆外一点到圆上的点的最短的线段就是BA′，QA最长时，BA′最短），∵AB＝AC＝4，∠ABC＝30°，∴∠B＝∠ACB＝30°，∠BAC＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝120°，∵△PCA′是由△PCA翻折得到，∴∠BAC＝∠PA′C＝120°，∴∠PA′B＝180°﹣∠PA′C＝60°，∴∠BPA′＝90°，过A作AD⊥BC于D，则BD＝CD，∵AB＝4，∠B＝30°，∴AD＝AB＝2，BD＝＝2， ∴BC＝2AD＝4，AC＝A′C＝4，∴BA′＝4﹣4，∴BA′的最小值为4﹣4，故选：B．例3、（2018春•金牛区期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝45°，AB＝4，AD＝2，M是AD 边的中点，N是AB边上一动点，将线段MN绕点M逆时针旋转90至MN′，连接N′B，N′C，则N ′B+N′C的最小值是 2．解：如图，作ME⊥AD交AB于E，连接EN′、AC、作CF⊥AB于F．∵∠MAE＝45°，∴△MAE是等腰直角三角形，∴MA＝ME，∵∠AME＝∠NMN′＝90°，∴∠AMN＝∠EMN′，∵MN＝MN′，∴△AMN≌△EMN′， ∴∠MAN＝∠MEN′＝45°，∴∠AEN′＝90°，∴EN′⊥AB，∵AM＝DM＝，AB＝4，∴AE＝2，EB＝2，∴AE＝EB，∴N′B＝N′A，∴N′B+N′C＝N′A+N′C，∴当A、N′、C共线时，N′B+N′C的值最小，最小值＝AC，在Rt△BCF中，∵BC＝AD＝2，∠CBF＝∠DAB＝45°，∴CF＝BF＝2，在Rt△ACF中，AC＝＝2例4、（2018秋•成都期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝3，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A'MN，连接A'C．在MN上存在一动点P．连接A'P、CP，则△A'PC周长的最小值是 ﹣+3．解：分两步：①连接AP，则AP＝AP′，∴△A'PC周长＝A′P+PC+A′C＝AP+PC+A′C，∵A′P+PC≥AC，当A、P、C三点共线时，A′P+PC有最小值，是AC的长，∴AC与MN的交点就是点P，由勾股定理得：AC＝＝3，②连接CM，∵A′C≥CM﹣A′M，∴当M、A′、C三点共线时，A′C有最小值，此时，∵M是AD的中点，∴AM＝DM＝1.5，∴MC＝＝，由折叠得：AM＝A′M＝1.5，∴A′C＝MC﹣A′M＝﹣1.5，∴△A'PC周长的最小值是：﹣+3，例5、（2018•无锡）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为边AD上一个动点，连结BE，取BE的中点G，点G绕点E逆时针旋转90°得到点F，连结CF，则△CEF面积的最小值是（）A．4 B． C．3 D．解：过点F作AD的垂线交AD的延长线于点H，∵∠A＝∠H＝90°，∠FEB＝90°，∴∠FEH＝90°﹣∠BEA＝∠EBA，∴△FEH∽△EBA，∴，设AE＝x，∵AB＝4，AD＝2，∴HF＝x，EH＝2，DH＝x，∴△CEF面积＝＝，∴当x＝1时，△CEF面积的最小值是．故选：B．练习：1、（2019秋•罗湖区期末）如图，矩形ABCD中，AB＝20，AD＝30，点E，F分别是AB，BC边上的两个动点，且EF＝10，点G为EF的中点，点H为AD边上一动点，连接CH、GH，则GH+CH的最小值为 45．解：由已知，点G在以B圆心，5为半径的圆在与长方形重合的弧上运动．作C关于AD的对称点C′，连接C′B，交AD于H，交以D为圆心，以5为半径的圆于G由两点之间线段最短，此时C′B的值最小值为＝＝50，则GH+CH的最小值＝50﹣5＝45，2、（2018•瑶海区二模）如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E、F分别为AD、DC边上的点，且EF＝2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则P A+PG的最小值为（）A．3 B．4 C．2 D．5解：∵EF＝2，点G为EF的中点，∴DG＝1，∴G是以D为圆心，以1为半径的圆弧上的点，作A关于BC的对称点A′，连接A′D，交BC于P，交以D为圆心，以1为半径的圆于G，此时PA+PG的值最小，最小值为A′G的长；∵AB＝2，AD＝3，∴AA′＝4，∴A′D＝5，∴A′G＝A′D﹣DG＝5﹣1＝4，∴PA+PG的最小值为4，故选：B．3、（2018•射阳县二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，现有长为3的小木棒EF紧贴AD、DC边滑动（即EF的两个端点始终落在AD、DC边上），G为EF的中点，P为BC边上一动点，则P A+PG 的最小值为 2﹣．解：∵EF＝3，点G为EF的中点，∴DG＝，∴G是以D为圆心，以为半径的圆弧上的点，作A关于BC的对称点A′，连接A′D，交BC于P，交以D为圆心，以为半径的圆于G，此时PA+PG的值最小，最小值为A′G的长；∵AB＝3，AD＝4，∴AA′＝6，∴A′D＝2，∴A′G＝A′D﹣DG＝2﹣，∴PA+PG的最小值为2﹣.4、如图，在△ABC，AB＝AC＝2，△ABC＝30°，点P、Q分别在边AB、AC上，将△APQ沿PQ翻折，点A落到点A′处，则线段BA′长度的最小值是 2﹣2．解：如图所示过点A作AD⊥BC于点D．∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD＝×120°＝60°，BD＝DC．∴sin∠BAD＝，即＝．∴BD＝．∴BC＝2．由翻折的性质可知：A′Q＝AQ ∵AQ+NQ＝AC＝2，∴A′Q+QC＝2．要求BA′的最小值，只需BA′+A′Q+QC有最小值，由两点之间线段最短可知：当点B、Q、C、A′在同一条直线上时，BA′的长度最小．如图所示由翻折的性质可知：A′C＝AC．∴BA′＝BC﹣A′C＝2﹣2．5、如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，点M，N分别在边AB，AC上，将△AMN沿MN 翻折，点A的对应点为A′，连接BA′，则BA′长度的最小值为 4．解：如图所示过点A作AD⊥BC于点D．∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD＝×120°＝60°，BD＝DC．∴sin∠BAD＝，即．∴BD＝2．∴BC＝4．由翻折的性质可知：A′N＝AN，∵AN+NC＝AC＝4，∴A′N+NC＝4．要求BA′的最小值，只需BA′+A′N+NC有最小值，由两点之间线段最短可知：当点B、N、C、A ′在同一条直线上时，BA′的长度最小．如图所示：由翻折的性质可知：A′C＝AC．∴BA′＝BC﹣A′C＝4﹣4．6、（2016•江东区一模）如图，点E为正方形ABCD中AD边上的动点，AB＝2，以BE为边画正方形BEFG，连结CF和CE，则△CEF面积的最小值为．解法一:过点F 作FM ⊥AD 延长线于点M ，令EF 与CD 的交点为N 点，如图所示．则S △CEF ＝CN •ME ．∵四边形ABCD 为正方形，四边形BEFG 为正方形， ∴∠A ＝90°，∠BEF ＝90°，BE ＝EF ，∴∠AEB +∠ABE ＝90°，∠MEF +∠MFE ＝90°，∠AEB +∠BEF +∠MEF ＝180°， ∴∠AEB ＝∠MFE ，∠ABE ＝∠MEF ．在△ABE 和△MEF 中，，∴△ABE ≌△MEF （ASA ）．∴MF ＝AE ，ME ＝AB ． ∵CD ⊥AD ，FM ⊥AD ，∴ND ∥FM ，∴△EDN ∽△EMF ，∴．设AE ＝x ，则ED ＝AD ﹣AE ＝2﹣x ，EM ＝AB ＝2，MF ＝AE ＝x ，∴DN ＝＝﹣x 2+x ＝﹣（x ﹣1）2+≤．∴CN ＝CD ﹣DN ≥2﹣≥．∴△CEF 面积的最小值为CN •ME ＝××2＝．解法二：连接CG ，如图所示．在△ABE 和△CBG 中，，∴△ABE ≌△CBG （SAS ）．设AE ＝x ，则BE 2＝AB 2+AE 2＝4+x 2，∴S 正方形BEFG ＝BE 2＝4+x 2．∴S △CEF +S BCG ＝S 正方形BEFG ＝2+x 2，∴S △CEF ＝S 正方形BEFG ﹣S BCG ＝2+x 2﹣S △ABE ＝2+x 2﹣x ＝（x ﹣1）2+，当x ＝1时，△CEF 面积最小，最小值为．。

2020重庆中考数学专题训练十三几何证明平行四边形五

专题训练十二-------几何证明之平行四边形（角度倍数关系）1. 如图，平行四边形ABCD 中，过点B 作BE⊥CD 于点E ，点F 是AD 上一点，连接BF 、CF,交BE 于点G.（1）若CF 平分∠BCD,∠A=60°，BC=8,求线段CG 的长。

（2）若点F 是AD 边上的中点，连结EF ，求证：∠BFE=2∠DEF.2. 如图，在▱ABCD 中，点E 是BC 边上的一点，且DE ＝BC ，过点A 作AF ⊥CD 于点F ，交DE 于点G ，连接AE 、EF ．（1）如图1，若BE ＝EG ，求证：AE 平分∠BAF ；（2）如图2，若点E 是BC 边上的中点，求证：∠AEF ＝2∠EFC ．B图1 图2证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，∴∠DAE ＝∠AEB ， ∵DE ＝BC ， ∴AD ＝DE ， ∴∠DAE ＝∠AED ， ∴∠AEB ＝∠AED ，在△ABE 和△AGE 中，，∴△ABE ≌△AGE （SAS ）， ∴∠BAE ＝∠GAE ， ∴AE 平分∠BAF ；（2）如图，延长AE ，交DC 的延长线于点M ，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠M＝∠BAE，∵点E是BC边上的中点，∴BE＝CE，在△ABE和△MCE中，，∴△ABE≌△MCE（AAS），∴AE＝ME，∵AF⊥CD，∴∠AFM＝90°∴EF＝AE＝EM ＝AM，∴∠M＝∠EFC，∴∠AEF＝∠M+∠EFC＝2∠EFC．3.如图，平行四边形ABCD中，BF⊥DC交DC于点F，且BF＝AB，E点是BC边上一点，连接AE交BF于G；（1）若AE平分∠DAB，∠C＝60°，BE＝3，求BG的长；（2）若AD＝BG+FC，求证：∠DAE=∠BAE．（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠C＝∠BAD＝60°，CD∥AB，∴∠DAE＝∠AEB，∵AE平分∠DAB，∴∠DAE＝∠BAE＝30°，∴∠AEB＝∠BAE，∴AB＝BE＝3，∵BF⊥DC，∴∠DFB＝90°，∵CD∥AB，∴∠ABF＝90°，∴BG＝AB •＝3×＝；4.已知ABCD 中，︒=∠45BAD ，BD AB =，点E 为BC 上一点，连接AE 交BD 于点F ，过点D 作AE DG ⊥于点G ，延长DG 交BC 于点H . （1）如图1，若点E 和点C 重合，且5=AF，求AD 的长；（2）如图2，连接FH ，求证：HFB AFB ∠=∠.（1）解：如图1中，∵AB ＝BD ，∠BAD ＝45°， ∴∠BDA ＝∠BAD ＝45°，∴∠ABD ＝90°，∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴E 、C 重合时BF ＝BD ＝AB ，在RT △ABF 中，∵AF 2＝AB 2+BF 2， ∴（）2＝（2BF ）2+BF 2，∴BF ＝1，AB ＝2，在RT △ABD 中，AD ＝＝2．（2）证明：如图2中，在AF上截取AK＝HD，连接BK，∵∠AFD＝∠ABF+∠2＝∠FGD+∠3，∠ABF＝∠FGD＝90°，∴∠2＝∠3，在ABK和△DBH 中，，∴△ABK≌△DBH，∴BK＝BH，∠6＝∠1，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠4＝∠1＝∠6＝45°，∴∠5＝∠ABD﹣∠6＝45°，∴∠5＝∠1，在△FBK和△FBH中，，∴△FBK≌△FBH，∴∠AFB＝∠HFB．。

2020年重庆中考几何25题专题训练一(含答案)

2020年重庆中考几何25题专题训练一1、（原创）已知如图，平行四边形ABCD中，连接AC ,丛:符■亡口国匕"滋叫乩了，点E是边BC上一点，过点B作于点F（1）如图1，若心范0莒求丄匚-的面积；（2）如图2，点G为BC的中点，连接AG，FG，求证：J/-' + \!2GF HF.图1 图22、（原创）如图，平行四边形ABCD中，点E是BC上，且AB =AE，/ BAE =90，。

过E作EF丄AC于点F ,点G是BE的中点，连接FG .、AG.（1）若- !'■ ■ , ,求EF 的长；（2 ）求证：3、（原创）如图,在平行四边形ABCD中,连接AC，ZBAC =90 且AB = AC，点E为AC上一点，连接BE ,过点A作AF丄BE于点F ,交BC于点G ,点H是BE上任意一点。

⑴如图1,连接AH，若AH平分ZBAC ,且BH =4,求AG的长；⑵如图2,连接CH ,交AG于点P，若点P恰为CH中点，求证: BH =2 FP .⑵ 证D/)HHMFNNABB(1)图2图1 24、如图，在平行四边形 ABCD 中，过 B 作 BE 丄AB 交 CD 于E.AB=BE ，连 AE ,过 B 作 BH 丄AE 于 H ，点 M 是 BE 上一点，且 BM=CE ，连接AM 交BH 于N.5、(原创) 如图，在平行四边形 ABCD 中，连接对角线 AC ，ZBAC=90 ，且 AB=AC,点E 为B C 上一点，连接 AE ，过点 C 作 CG 丄A E 于点G ，交AB 于点F. ⑴如图1,若ZCBE= 1'，求ZEAM 的度数;如图2.延长AM 交BC 于 F ，连接EF,当点F 为BC 的中点时,求如图1，若，_口一1求的长; (2) 且点如图2，点为的中点 T 在上，连接若，求证：、，A-交 ::于占 I /八、、图1 图26、如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC , /BAC=90°，且AB=AC,点E为平行四边形ABCD外一点,过点C作CE丄BE于点G , 交AB于点F.(1 ) 如图1 ,若 'r'" •，升7，求/的长；(2 ) 如图2，连接廿，过点A作AG丄BC于点G，交CF于点M.若二“匚求证：“—廳型。

2020重庆中考数学专题训练十三几何证明菱形二

专题训练十二--------几何证明之菱形二1. 在菱形ABCD 中,∠DAB=600，对角线AC 、BD 相交于点O,点E 在线段BD 上,连接CE,F为CD 延长线上一点,且DF=DE,连接BF. （1）如图1,若3,6,9OE AB OC == 求线段BE 的长; （2）如图2，若G 是线段CE 的中点,连接BG,FG,若060FBG ∠= 时,求证：3.2EG BE =OBCADFEBCA DFEG图1 图2解：（1）如图1，∵菱形ABCD ，∠DAB ＝60°∴BC ＝AB ＝6，∠CBD ＝∠BDC ＝60°，∠BOC ＝∠COE ＝90°，∠BCO ＝30° ∴OB ＝BC ＝3，OC ＝OB ＝3，∵＝，∴OE ＝×3＝1，∴BE ＝OB +OE ＝3+1＝4；（2）如答图2，过点C 作CH ∥BD 交BG 延长线于H ，则∠EBG ＝∠H ，∠BCH ＝180°﹣∠CBD ＝120°， ∵G 是线段CE 中点，∴EG ＝CG 在△BEG 和△HCG 中，∴△BEG ≌△HCG （AAS ）∴BE ＝CH∵∠CBD ＝∠FBG ＝60°，即∠CBH +∠DBG ＝∠DBF +∠DBG ＝60° ∴∠CBH ＝∠DBF∵∠BDF ＝180°﹣∠BDC ＝120° ∴∠BCH ＝∠BDF∵BC ＝BD∴△BCH ≌△BDF （ASA ） ∴CH ＝DF ∵DF ＝DE∴BE ＝DE ＝＝AB ＝3∴∠BEC ＝90°∴CE ＝BC •＝3∴EG ＝CE ＝∴＝＝∴EG ＝BE ．BCA DEG答图22.菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点E在AD上，连接BE，点F、H在BE上，△AFH为等边三角形．（1）如图1，若CE⊥AD，BE ＝，求菱形ABCD的面积；（2）如图2，点G在AC上，连接FG，HC，若FG∥AH，HC＝2AH，求证：AG＝GC．（1）解：如图1中，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠D＝60°，AD∥BC∴△ABC，△ADC都是等边三角形，∵CE⊥AD，∴AE＝DE，BC⊥CE，设AE＝DE＝m，则AD＝BC＝2m，CE ＝m，在Rt△BCE中，∵BE2＝CE2+BC2，∴4m2+3m2＝63，∴m＝±3，∵m＞0，∴m＝3，∴BC＝6，EC＝3，∴S菱形ABCD＝BC•CE＝18．（2）证法一：作CK∥AH交BE于点K．∵△AFH是等边三角形，∴∠AHF＝∠AFH＝60°，∵AH∥CK，∴∠AHF＝∠CKE＝60°，∴∠AFB＝∠BKC＝120°，∵∠ABF+∠CBK＝60°，∠CBK+∠BCK＝60°，∴∠ABF＝∠BCK，∵AB＝BC，∴△ABF≌△BCK（AAS），∴BK＝AF，∵∠BAC＝∠F AH＝60°，∴∠BAF＝∠CAH，∵BA＝AC，AF＝AH，∴△BAF≌△CAH（SAS），∴BF＝CH，∵CH＝2AH，AH＝AF＝FH＝BK，∴BK＝FK＝FH，∵AH∥FG∥CK，FH＝FK，∴AG＝CG．证法二：3. 如图，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，连接AC ，E 为AC 上一点.（1）如图1，,点E 在边BC 上且CF ＝AE ，求∠BFE 的度数；（2）如图2，点F 在边BC 的延长线上，连接AF 交BE 的延长线于点G ，若BG ＝BC ，求证：BE ＝AE +CF .GBCADF E BCADFEG图1 图24. 如图，菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，点E 、F 分别是边AB 、AD 上两个动点，满足AE ＝DF ，连接BF 与DE 相交于点G ．（1）如图1，连接BD ，求∠BGD 的度数；（2）如图2，作CH ⊥BG 于H 点，求证：2GH ＝DG +BG ．（1）解：如图1中，∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝AB ，∵∠A ＝60°，∴△ABD 是等边三角形， ∴AB ＝DB ，∠A ＝∠FDB ＝60°，在△DAE 和△BDF 中，，∴△DAE ≌△BDF ，∴∠ADE ＝∠DBF ，∵∠EGB ＝∠GDB +∠GBD ＝∠GDB +∠ADE ＝60°，∴∠BGD ＝180°﹣∠BGE ＝120°．（2）证明：如图1-2中，延长GE 到M ，使得GM ＝GB ，连接BD 、CG ．∵∠MGB ＝60°，GM ＝GB ，∴△GMB 是等边三角形， ∴∠MBG ＝∠DBC ＝60°，∴∠MBD ＝∠GBC ，在△MBD 和△GBC 中，，∴△MBD ≌△GBC ，∴DM ＝GC ，∠M ＝∠CGB ＝60°，∵CH ⊥BG ，∴∠GCH ＝30°，∴CG ＝2GH ，∵CG ＝DM ＝DG +GM ＝DG +GB ，∴2GH ＝DG +GB ． 5.如图，菱形ABCD 中，一射线BE 分∠ABC 为∠ABE 与∠CBE ，且∠ABE ：∠CBE=7：3，BE 交对角线AC 于F ，交CD 于E ，过B 作BK ⊥AD 于K 点，交AC 于M ，且∠DAC=15°．（1）求∠DEB 的度数；（2）求证：2CF=CM+2FB ．（1）解：∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠DAB ＝2∠DAC ＝2×5°＝30°，∠ABC ＝180°﹣∠DAB ＝180°﹣30°＝150°， ∵∠ABE ：∠CBE ＝7：3，∴∠ABE ＝150°×＝105°，∴∠DEB ＝180°﹣∠ABE ＝180°﹣105°＝75°；（2）证明：∵BK ⊥AD ，菱形的对边AD ∥BC ，∴∠CBM ＝∠AKB ＝90°，∠BCA ＝∠DAC ＝15°，如图，取CM的中点G，连接BG，则BG＝CG ＝CM，∴∠CBG＝∠BCG＝15°，∵∠EBG＝∠EBC﹣∠CBG＝（150°﹣105°）﹣15°＝30°，∠BGM＝∠CBG+∠BCA＝15°+15°＝30°，∴∠GBF＝∠BMG，∴FB＝FG，∵CF＝CG+FG，∴CF ＝CM+FB，故2CF＝CM+2FB．6.已知：菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，以AD为斜边构造等腰Rt△AED，连接BE．（1）如图1，若∠DAB＝60°，AD＝4，求△BED的面积．（2如图2，延长DE交AB于点F，过点O作OG⊥CD于点G，过点C作CH⊥DF于点H，CH与OG交于点M，且OM＝BF．求证：AO＝2BE．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB，且∠DAB＝60°，∴△ADB是等边三角形，∴AB＝BD，且AE＝DE，BE＝BE，∴△ABE≌△DBE（SSS）∴S△ABE＝S△DBE，∴S△BED ＝（S△ABD﹣S△AED ）＝（×16﹣×）＝2﹣4；（2）连接EO，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO，DO＝BO，∠DAC＝∠DCA＝∠BAC＝∠BCA，∵OG⊥CD，∴∠GOC+∠GCO＝90°，且∠OBA+∠OAB＝90°，∴∠ABO＝∠GOC，∵∠DHC＝∠DOC＝90°，由同角的余角相等可得：∠BDF＝∠OCH，且BF＝OM，∠ABO＝∠GOC，∴△BFD≌△OMC（AAS），∴BD＝OC，∴BD＝OC＝OA，∵∠AED＝∠AOD＝90°∴点A，点E，点O，点D四点共圆，∴∠OAE＝∠EDB，且AE＝DE，AO＝BD，∴△AEO≌△DEB（SAS），∴EO ＝BE ，∠AEO ＝∠DEB∴∠AED ＝∠BEO ＝90°，且EO ＝BE ， ∴BO ＝BE∴AO ＝BD ＝2BO ＝2BE7.如图1,在ABCD 中,BD 为对角线,且AB ⊥BD,AB=BD.将BD 绕点B 顺时针旋转060得到BE,连接AE 与∠ABD 的角平分线交于点F,连接DF. （1）若AF=2,求CD 的长度（2）如图2,以AD 为边在ABCD 外作△DAG ,且∠DGA=60°,连接GF.求证:GD+GA=3GFABDCFEA BDCFEG图1 图2。

2020重庆中考数学专题训练十三几何证明矩形一

专题训练十三-------几何证明之矩形（一）1. 1. 如图，在矩形ABCD 中，E 为CB 延长线上一点，CE=AC,F 是AE 的中点. （1）求证：BF ⊥DF ；（2）若AB=8，AD=6,求DF 的长.（1）证明：连接CF∵CE=AC ，F 是AE 的中点 ∴CF ⊥AE∴∠AFD+∠CFD=︒90∵在矩形ABCD 中，AD=BC ，∠BAD=∠ABC=︒90，又∵E 为CB 延长线上一点，∴∠ABC+∠ABE=︒180，即∠ABE=︒90 又∵F 是AE 的中点，∴FA=FB ∴∠FAB=∠FBA∴∠BAD+∠FAB =∠ABC+∠FBA ，即∠FAD=∠FBC ∴ΔFAD ≌ΔFBC （SAS ）∴∠AFD=∠BFC∴∠BFC+∠CFD=∠AFD+∠CFD =︒90 ∴BF ⊥DF（2）解：连接BD∵AB =8，BC= AD =6∴在RtΔABC 中，由勾股定理，得AC=10∴BD=CE==10 ∴BE=CE-BC=10-6=4∴RtΔABE 中，由勾股定理，得548422=+=AE∴5221==AE BF ……………………………………………………………9分又∵由（1），得BF ⊥DF∴在RtΔBDF 中，由勾股定理，得54)52(1022=-=DF …………10分2.矩形ABCD 的对角线相交于点O ，∠COE ＝45°，过点C 作CE ⊥BD 于点E ，（1）如图1，若CB ＝1，求△CED 的面积；（2）如图2，过点O 作OF ⊥DB 于点O ，OF ＝OD ，连接FC ，点G是FC 中点，连接GE ，求证：DC ＝2GE ．（1）解：∵四边形ABCD 是矩形， ∴OA ＝OC ，OB ＝OD ，AC ＝BD ， ∴OA ＝OC ＝OB ＝OD ， ∵∠COE ＝45°，CE ⊥BD ， ∴△OCE 是等腰直角三角形， ∴OE ＝CE ，OC ＝OE ，设OE ＝CE ＝x ，则OB ＝OD ＝OC ＝x ，∴DE ＝（+1）x ，BE ＝（﹣1）x ，在Rt △BCE 中，由勾股定理得：BC 2＝BE 2+CE 2＝（﹣1）2x 2+x 2＝（4﹣2）x 2＝1，∴x 2＝＝，∴△CED 的面积＝DE×CE ＝（+1）x2＝（+1）×＝；（2）证明：延长OF、EG交于点H，如图所示：∵OF⊥BD，CE⊥BD，∴OF∥CE，∠EOH＝∠CED＝90°，∴∠H＝∠CEG，∵点G是FC中点，∴GF＝GC，在△GHF和△GEC 中，，∴△GHF≌△GEC（AAS），∴GH＝GE，FH＝CE，∴FH＝OE，∵OF＝OD，∴ED＝OH，在△CDE和△EHO 中，，∴△CDE≌△EHO（SAS），∴CD＝EH，∵EH＝2GE，∴CD＝2GE．3.已知，如图所示，在矩形ABCD中，点E在BC边上，∠AEF＝90°．（1）如图1，点F在CD边上，AD＝AE，AD＝5，AB＝4，求DF的长；（2）如图2，已知AE＝EF，点G为AF的中点，求证：AB+BE ＝BG．（1）解：∵AD＝AE，AD＝5，∴AE＝5，由勾股定理得，BE ＝＝3，∴EC＝2，∵∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠FEC＝90°，∵∠B＝90°，∴∠AEB+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，又∠B＝∠C，∴△ABE∽△ECF，∴＝，即＝，解得，CF＝1.5，∴DF＝CD﹣CF＝2.5；（2）证法二：作FM⊥BC交BC的延长线于M，作GN⊥BC于N，连接GM，在△ABE和△EMF中，，∴△ABE≌△EMF（AAS）∴AB＝EM，BE＝FM，∵AB⊥BC，FM⊥BC，GN⊥BC，∴AB∥GN∥FM，又点G为AF的中点，∴点N为BM的中点，GN ＝×（AB+FM），∴GN ＝BM，∴GB＝GN，∠BGM＝90°，∴BM ＝BG，∴AB+BE ＝BG．4.如图，四边形ABCD为矩形，F为对角线BD上一点，点E在BA延长线上．（1）如图①，若F为矩形对角线AC、BD的交点，点E在BA延长线上且BE＝AC，连接DE，M是DE的中点，连接BM，FM若AD＝6，FM ＝，求线段AE的长；（2）如图②，过点F作FE⊥BD交AD于点H，交BA延长线于点E，连接AF，当FD＝FE时，求证：HA+AB ＝AF．解：（1）∵四边形ABCD是矩形∴AC＝BD，BF＝DF，∵M是DE的中点，BF＝DF，∴BE＝2MF ＝＝，∵BE＝AC，AC＝BD∴BD＝，∴AB＝＝＝∴AE＝BE﹣AB＝3，（2）如图②，过点F作FN⊥AF交AB的延长线于点N，∵EF⊥DF，EA⊥AD，∴∠E+∠AHE＝90°，∠ADF+∠DHF＝90°，∴∠E＝∠ADF，∵∠AFN＝∠EFD＝90°，∴∠AFD＝∠EFN，且∠E＝∠ADF，且EF＝DF，∴△EFN≌△DF A（ASA）∴∠DAF＝∠N，AF＝FN，且∠AFN＝90°，∴AN＝AF，∵∠AFN＝∠EFB＝90°，∴∠AFH＝∠BFN，且∠DAF＝∠N，AF＝FN，∴△AHF≌△NBF（ASA）∴AH＝BN，∵AN＝AF，∴AB+BN＝AB+AH＝AF。

2020年重庆中考几何25题专题训练三

2020年重庆中考几何25题专题训练三1、如图，在ABCD中，连接AC，∠BAC=90°，AB=AC，点F为AC一点, 过点C作CE⊥BF的延长线于点E.（1）如图1，若030ABF∠=，AB=求CE的长；（2）如图2，若BE平分∠BAC，G为AC的中点，连接EG，求证：2.EG AF=BDB图1 图22、如图，在ABCD 中，过点D 作DE BC ⊥于点E ，在BC 上取一点F 使EF CE =，连接DF 、DB ，过点C 作CH DF ⊥于点G ，交BD 于点.H （1）如图1，若10,2DB BC CE ===，求ABCD 的面积；（2）如图2，若DE BE =，求证：.CF =AA图1 图23、如图，在ABCD 中，连接AC ，,90AB AC BAC =∠=，点E 是AC 上一点，连接BE ，过点A 作AF BD ⊥于E ，交BC 于G 。

（1）如图1，若8,2AB CD ==，求AF 的长；（2）如图2，点H 是AF 上一点，连接CH ，若BF AF AH =+，求证：.CH =BB图1 图24、如图，在ABCD中，连接BD，∠ADB=90°，在BD上取一点E使AD DE=，过点D作DG AE⊥于点H，交AB于点G.（1）如图1，过点D作DF AB⊥于点F，BE=，求DF的长；（2）如图2，若AD=AF，∠AFH =∠FDH,求证：.DF=AA图1 图22020年重庆中考几何25题专题训练三答案1、如图，在ABCD中，连接AC，∠BAC=90°，AB=AC，点F为AC一点, 过点C作CE⊥BF的延长线于点E.（1）如图1，若030ABF∠=，AB=求CE的长；（2）如图2，若BE平分∠BAC，G为AC的中点，连接EG，求证：2.EG AF=BDB图1 图2BD2、如图，在ABCD 中，过点D 作DE BC ⊥于点E ，在BC 上取一点F 使EF CE =，连接DF 、DB ，过点C 作CH DF ⊥于点G ，交BD 于点.H （3）如图1，若10,2DB BC CE ===，求ABCD 的面积；（4）如图2，若DE BE =，求证：.CF =AA图1 图2A3、如图，在ABCD 中，连接AC ，,90AB AC BAC =∠=，点E 是AC 上一点，连接BE ，过点A 作AF BD ⊥于E ，交BC 于G 。

2020年重庆中考几何25题专题训练五

2020年重庆中考几何25题专题训练五
1、如图,在ABCD
中,连接AC，0
90
BAC
∠=，且AB=AC，点E为AC上一点,连接BE,过点A 作AF⊥BE于点F,交BC于点G，点H是BE上任意一点。

(1)如图1,连接AH,若AH平分∠BAC,且BH=4,求AG的长;
(2)如图2,连接CH,交AG于点P，若AF FH
=，求证：P为CH中点.
B
B
图1 图2
(1)如图1,连接AH ,若AH 平分∠BAC ,且BH =4,求AG 的长;
(2)如图2,连接CH ,交AG 于点P ，若AF FH =，求证：2BH FP =.
B
B
图1 图2
(1)如图1,连接AH,若AH平分∠BAC,且BH=4,求AG的长;
(2)如图2,连接CH,交AG于点P，若点P为CH中点，求证：BH=2FP.
B
B
图1 图2
(1)如图1,连接AH,若AH平分∠BAC,且BH=4,求AG的长;
(2)如图2,连接CH,交AG于点P，若点P为CH中点，BH=2FP.求证：AF FH
=
B
B
图1 图2
5、如图，在ABCD 中，连接BD ，AB DB ⊥，=AB DB ，点E 为AD 一点，以BE 为直角边作等腰直角EBF ∆,连接DF ，
（1）如图1，若2,4AE DE ==，求EF 的长；
（2）如图2，取DE 的中点G ,连接BG 、AF ，求证：2AF BG =
A
A
图1 图2
A
A
A。

2020重庆中考数学专题训练十三几何证明平行四边形四

专题训练十二-------几何证明之平行四边形（线段和差关系）1. 已知如图，平行四边形ABCD 中，过点A 作AE BC ⊥于点E ，点F 是BC 上一点，且,BF CE EF AE ==，过点E 作EG AB ⊥于点G ，交AF 于点,H （1）如图1，若6,2AE CE ==，求EG 的长；（2）如图2，连接CH ，求证：.CH EH CD +=BB图1 图22.如图，在▱ABCD 中，以BC 为斜边在▱ABCD 内作等腰直角△BCE ，连接DE ，过点E 作EF ⊥DE 交AD 于点F ，∠CDE ＝∠CED ＝∠DCB ．（1）若BC ＝2，求AE 的长；（2）连接FB ，求证：EF +F A ＝FB ．（1）解：在Rt △BCE 中， ∵CE ＝EB ，BC ＝2，∴EC ＝EB ＝2，设∠CDE ＝∠CED ＝∠DCB ＝x ，则有：45°+（180°﹣2x ）＝x ，解得x ＝75°， ∴∠DCE ＝30°，∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴CD ∥AB ，∴∠ABC ＝180°﹣∠DCB ＝105°， ∵∠EBC ＝45°， ∴∠ABE ＝60°，∵CD ＝CE ＝EB ＝AB ， ∴△AEB 是等边三角形， ∴AE ＝BE ＝2．（2）证法一：在FD 上取一点H ，使得FH ＝FE ．∵∠DEF ＝∠CEB ＝90°，∠DEC ＝∠DAB ＝75°， ∴∠BEF ＝105°， ∴∠F AB +∠FEB ＝180°，∴∠AFE ＝180°﹣∠ABE ＝120°， ∴△HFE ＝60°， ∴△FHE 是等边三角形， ∴∠HEF ＝∠AEB ， ∴∠HEA ＝∠FEB ， ∵EH ＝EF ，EA ＝EB ，∴△HEA ≌△FEB ， ∴AH ＝FB ， ∴AF +FH ＝FB ， ∵FH ＝FE ， ∴EF +F A ＝FB ．（2）证法二：延长FA至点H，使AH=FE,连接BH,∵EF⊥DE,∠BEC=90°,∠DEC=75°，∴∠FEB=105°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB=75°,∴∠HAB=105°,∴∠HAB=∠FEB又DC=EC,DC=AB, EC=BE,∴BA=BE∴△ABH≌△EBF(SAS)∴BH=BF,∠ABH=∠EBF又∵∠BCD=75°,∴∠ABC=105°,又∠EBC=45°,∴∠ABE=60°,∴∠FBH=60°,∴△FBH为等边三角形，∴FH=FB∴EF+FA=FB3.已知在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥BC于点E，且AD＝DE．连接AC交DE于点F，作DG⊥AC于点G．（1）如图1，若，AF ＝，求DG的长；（2）如图2，作EM⊥AC于点M，连接DM，求证：AM﹣EM＝2DG．（1）解：设EF＝x，DF＝2x，则DE＝EF+DF＝3x＝AD在Rt△ADF中，AD2+DF2＝AF2，，∵x＞0，∴x＝1，∴EF＝1，DF＝2，AD＝3，∴由三角形面积公式得：S△ADF ＝＝，即；（2）证明：过D点作DK⊥DM交AC于点K，∵∠1+∠KDF＝90°，∠2+∠KDF＝90°，∴∠1＝∠2，∵∠3+∠4＝90°，∠5+∠EFM＝90°，又∵∠4＝∠EFM，∴∠3＝∠5，在△ADK和△EDM中，∴△ADK≌△EDM（ASA），∴DK＝DM，AK＝EM，∴△MDK为等腰直角三角形，∵DG⊥AC，∴MK＝2DG，∴AM﹣EM＝AM﹣AK＝MK＝2DG．H A5.（2019春•沙坪坝区校级期末）在平行四边形ABCD中，连接BD，过点B作BE⊥BD于点B交DA的延长线于点E，过点B作BG⊥CD于点G．（1）如图1，若∠C＝60°，∠BDC＝75°，BD＝6，求AE的长度；（2）如图2，点F为AB边上一点，连接EF，过点F作FH⊥FE于点F交GB的延长线于点H，在△ABE的异侧，以BE为斜边作Rt△BEQ，其中∠Q＝90°，若∠QEB＝∠BDC，EF＝FH，求证：BF+BH＝BQ．解：（1）如图1，∵ABCD是平行四边形∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC∵∠C＝60°，∠BDC＝75°，∴∠CBD＝180°﹣（∠C+∠BDC）＝45°∵BE⊥BD，BG⊥CD∴∠DBE＝∠BGC＝90°∴sin∠C ＝，即BC ＝＝＝4＝AD∵∠BDE＝∠CBD＝45°＝∠E∴△BDE是等腰直角三角形∴DE ＝BD ＝×6＝12∴AE＝DE﹣AD＝12﹣4；（2）如图2，过点E作ET⊥AB交BA的延长线于T，则∠T＝90°∵ABCD是平行四边形∴AB∥CD，∴∠ABD＝∠BDC∵∠QEB＝∠BDC∴∠QEB＝∠ABD∵BG⊥CD，BE⊥BD，FH⊥FE∴∠BGC＝∠ABG＝∠DBE＝∠EFH＝∠Q＝90°∴∠EBT+∠BET＝∠EBT+∠ABD＝∠EFT+∠BFH＝∠EFT+∠FET＝90°，∴∠BET＝∠ABD＝∠QEB，∠BFH＝∠FET∵BE＝BE，EF＝FH∴△BEQ≌△BET（AAS），△BFH≌△TEF（AAS）∴BQ＝BT，BH＝FT∵BF+FT＝BT∴BF+BH＝BQ．6.如图,在平行四边形ABCD中,BE⊥AD于点E,且∠DBE=30°，过点C作对角线BD的平行线,与BE的延长线交于点F,连接AF,BD的延长线交AF于点G.（1）若∠BCD=45°,BD=4,求AB的长度；（2）求证：AE+DG=FC.8.在平行四边形ABCD中，以AB为边作等边△ABE，点E在CD上，以BC为边作等边△BCF，点F在AE上，点G在BA延长线上且FG＝FB．（1）若CD＝6，AF＝3，求△ABF的面积；（2）求证：BE＝AG+CE．（1）解：∵△ABE是等边三角形，∴∠BAF＝60°，AB＝AE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝6，∴AE＝AB＝6，∵AF＝3，∴AF＝EF，∴S△ABF ＝S△ABE ＝••62＝．（2）证明：过F作FM∥BBEE交AB于点M.∵FB＝FG，∴∠G＝∠MBF，又∵∠GAF＝∠BMF，AF＝FM，∴△GAF≌△BMF，∴GA＝MB，又∵MB＝EF，∴GA＝EF,又∵∠GAF＝∠FEC，GF＝FC，∴△GAF≌△FEC，∴AF＝EC，∴BE＝AB=AM+MB=AF+AG=EC+AG.。

2020年重庆中考数学复习几何最值专题复习八(含答案解析)

2020重庆中考数学复习几何最值专题复习八例1、如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E，F分别是AB，BC边上的两动点，且EF＝2，点G为EF的中点，点H为AD边上一动点，连接CH，GH，则GH+CH的最小值为（）A．4B．9C．D．例2、如图，△ABC中，AB＝AC＝4，∠ABC＝30°，点P，Q分别在边AB，AC上，将△APQ沿PQ翻折，点A落在点A′处，则线段BA′长度的最小值为（）A．4B．4﹣4C．D．2﹣例3、如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝45°，AB＝4，AD＝2，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将线段MN绕点M逆时针旋转90至MN′，连接N′B，N′C，则N′B+N′C的最小值是．例4、如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝3，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A'MN，连接A'C．在MN上存在一动点P．连接A'P、CP，则△A'PC周长的最小值是．例5、（2018•无锡）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为边AD上一个动点，连结BE，取BE的中点G，点G绕点E逆时针旋转90°得到点F，连结CF，则△CEF面积的最小值是（）A．4B．C．3D．练习：1、（2019秋•罗湖区期末）如图，矩形ABCD中，AB＝20，AD＝30，点E，F分别是AB，BC边上的两个动点，且EF＝10，点G为EF的中点，点H为AD边上一动点，连接CH、GH，则GH+CH的最小值为45．2、如图，在△ABC，AB＝AC＝2，△ABC＝30°，点P、Q分别在边AB、AC上，将△APQ沿PQ翻折，点A落到点A′处，则线段BA′长度的最小值是．3、如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，点M，N分别在边AB，AC上，将△AMN沿MN 翻折，点A的对应点为A′，连接BA′，则BA′长度的最小值为．4如图，点E为正方形ABCD中AD边上的动点，AB＝2，以BE为边画正方形BEFG，连结CF和CE，则△CEF面积的最小值为．2020重庆中考数学复习几何最值专题复习八参考答案例1、如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E，F分别是AB，BC边上的两动点，且EF＝2，点G为EF的中点，点H为AD边上一动点，连接CH，GH，则GH+CH的最小值为（）A．4B．9C．D．解：由已知，点G在以B圆心，1为半径的圆在与长方形重合的弧上运动．作C关于AD的对称点C′，连接C′B，交AD于H，交以D为圆心，以1为半径的圆于G由两点之间线段最短，此时C′B的值最小为，则GH+CH的最小值C′G＝10﹣1＝9，故选：B．例2、（2018春•碑林区校级期末）如图，△ABC中，AB＝AC＝4，∠ABC＝30°，点P，Q分别在边AB，AC上，将△APQ沿PQ翻折，点A落在点A′处，则线段BA′长度的最小值为（）A．4B．4﹣4C．D．2﹣解：如图，当点Q与点C重合，A′点落在BC上时，BA′的长度最小．（圆外一点到圆上的点的最短的线段就是BA′，QA最长时，BA′最短），∵AB＝AC＝4，∠ABC＝30°，∴∠B＝∠ACB＝30°，∠BAC＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝120°，∵△PCA′是由△PCA翻折得到，∴∠BAC＝∠PA′C＝120°，∴∠PA′B＝180°﹣∠PA′C＝60°，∴∠BPA′＝90°，过A作AD⊥BC于D，则BD＝CD，∵AB＝4，∠B＝30°，∴AD＝AB＝2，BD＝＝2，∴BC＝2AD＝4，AC＝A′C＝4，∴BA′＝4﹣4，∴BA′的最小值为4﹣4，故选：B．例3、（2018春•金牛区期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝45°，AB＝4，AD＝2，M是AD 边的中点，N是AB边上一动点，将线段MN绕点M逆时针旋转90至MN′，连接N′B，N′C，则N′B+N′C的最小值是2．解：如图，作ME⊥AD交AB于E，连接EN′、AC、作CF⊥AB于F．∵∠MAE＝45°，∴△MAE是等腰直角三角形，∴MA＝ME，∵∠AME＝∠NMN′＝90°，∴∠AMN＝∠EMN′，∵MN＝MN′，∴△AMN≌△EMN′，∴∠MAN＝∠MEN′＝45°，∴∠AEN′＝90°，∴EN′⊥AB，∵AM＝DM＝，AB＝4，∴AE＝2，EB＝2，∴AE＝EB，∴N′B＝N′A，∴N′B+N′C＝N′A+N′C，∴当A、N′、C共线时，N′B+N′C的值最小，最小值＝AC，在Rt△BCF中，∵BC＝AD＝2，∠CBF＝∠DAB＝45°，∴CF＝BF＝2，在Rt△ACF中，AC＝＝2例4、（2018秋•成都期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝3，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A'MN，连接A'C．在MN上存在一动点P．连接A'P、CP，则△A'PC周长的最小值是﹣+3．解：分两步：①连接AP，则AP＝AP′，∴△A'PC周长＝A′P+PC+A′C＝AP+PC+A′C，∵A′P+PC≥AC，当A、P、C三点共线时，A′P+PC有最小值，是AC的长，∴AC与MN的交点就是点P，由勾股定理得：AC＝＝3，②连接CM，∵A′C≥CM﹣A′M，∴当M、A′、C三点共线时，A′C有最小值，此时，∵M是AD的中点，∴AM＝DM＝1.5，∴MC＝＝，由折叠得：AM＝A′M＝1.5，∴A′C＝MC﹣A′M＝﹣1.5，∴△A'PC周长的最小值是：﹣+3，例5、（2018•无锡）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为边AD上一个动点，连结BE，取BE的中点G，点G绕点E逆时针旋转90°得到点F，连结CF，则△CEF面积的最小值是（）A．4B．C．3D．解：过点F作AD的垂线交AD的延长线于点H，∵∠A＝∠H＝90°，∠FEB＝90°，∴∠FEH＝90°﹣∠BEA＝∠EBA，∴△FEH∽△EBA，∴，设AE＝x，∵AB＝4，AD＝2，∴HF＝x，EH＝2，DH＝x，∴△CEF面积＝＝，∴当x＝1时，△CEF面积的最小值是．故选：B．练习：1、（2019秋•罗湖区期末）如图，矩形ABCD中，AB＝20，AD＝30，点E，F分别是AB，BC边上的两个动点，且EF＝10，点G为EF的中点，点H为AD边上一动点，连接CH、GH，则GH+CH的最小值为45．解：由已知，点G在以B圆心，5为半径的圆在与长方形重合的弧上运动．作C关于AD的对称点C′，连接C′B，交AD于H，交以D为圆心，以5为半径的圆于G由两点之间线段最短，此时C′B的值最小值为＝＝50，则GH+CH的最小值＝50﹣5＝45，2、（2018•瑶海区二模）如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E、F分别为AD、DC边上的点，且EF＝2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则P A+PG的最小值为（）A．3B．4C．2D．5解：∵EF＝2，点G为EF的中点，∴DG＝1，∴G是以D为圆心，以1为半径的圆弧上的点，作A关于BC的对称点A′，连接A′D，交BC于P，交以D为圆心，以1为半径的圆于G，此时PA+PG的值最小，最小值为A′G的长；∵AB＝2，AD＝3，∴AA′＝4，∴A′D＝5，∴A′G＝A′D﹣DG＝5﹣1＝4，∴PA+PG的最小值为4，故选：B．3、（2018•射阳县二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，现有长为3的小木棒EF紧贴AD、DC边滑动（即EF的两个端点始终落在AD、DC边上），G为EF的中点，P为BC边上一动点，则P A+PG 的最小值为2﹣．解：∵EF＝3，点G为EF的中点，∴DG＝，∴G是以D为圆心，以为半径的圆弧上的点，作A关于BC的对称点A′，连接A′D，交BC于P，交以D为圆心，以为半径的圆于G，此时PA+PG的值最小，最小值为A′G的长；∵AB＝3，AD＝4，∴AA′＝6，∴A′D＝2，∴A′G＝A′D﹣DG＝2﹣，∴PA+PG的最小值为2﹣.4、如图，在△ABC，AB＝AC＝2，△ABC＝30°，点P、Q分别在边AB、AC上，将△APQ沿PQ翻折，点A落到点A′处，则线段BA′长度的最小值是2﹣2．解：如图所示过点A作AD⊥BC于点D．∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD＝×120°＝60°，BD＝DC．∴sin∠BAD＝，即＝．∴BD＝．∴BC＝2．由翻折的性质可知：A′Q＝AQ∵AQ+NQ＝AC＝2，∴A′Q+QC＝2．要求BA′的最小值，只需BA′+A′Q+QC有最小值，由两点之间线段最短可知：当点B、Q、C、A′在同一条直线上时，BA′的长度最小．如图所示由翻折的性质可知：A′C＝AC．∴BA′＝BC﹣A′C＝2﹣2．5、如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，点M，N分别在边AB，AC上，将△AMN沿MN 翻折，点A的对应点为A′，连接BA′，则BA′长度的最小值为4．解：如图所示过点A作AD⊥BC于点D．∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD＝×120°＝60°，BD＝DC．∴sin∠BAD＝，即．∴BD＝2．∴BC＝4．由翻折的性质可知：A′N＝AN，∵AN+NC＝AC＝4，∴A′N+NC＝4．要求BA′的最小值，只需BA′+A′N+NC有最小值，由两点之间线段最短可知：当点B、N、C、A′在同一条直线上时，BA′的长度最小．如图所示：由翻折的性质可知：A′C＝AC．∴BA′＝BC﹣A′C＝4﹣4．6、（2016•江东区一模）如图，点E为正方形ABCD中AD边上的动点，AB＝2，以BE为边画正方形BEFG，连结CF和CE，则△CEF面积的最小值为．解：（方法一）过点F作FM⊥AD延长线于点M，令EF与CD的交点为N点，如图所示．则S△CEF＝CN•ME．∵四边形ABCD为正方形，四边形BEFG为正方形，∴∠A＝90°，∠BEF＝90°，BE＝EF，∴∠AEB+∠ABE＝90°，∠MEF+∠MFE＝90°，∠AEB+∠BEF+∠MEF＝180°，∴∠AEB＝∠MFE，∠ABE＝∠MEF．在△ABE和△MEF中，，∴△ABE≌△MEF（ASA）．∴MF＝AE，ME＝AB．∵CD⊥AD，FM⊥AD，∴ND∥FM，∴△EDN∽△EMF，∴．设AE＝x，则ED＝AD﹣AE＝2﹣x，EM＝AB＝2，MF＝AE＝x，∴DN＝＝﹣x2+x＝﹣（x﹣1）2+≤．∴CN＝CD﹣DN≥2﹣≥．∴△CEF面积的最小值为CN•ME＝××2＝．（方法二）连接CG，如图所示．在△ABE和△CBG中，，∴△ABE≌△CBG（SAS）．设AE＝x，则BE2＝AB2+AE2＝4+x2，∴S正方形BEFG＝BE2＝4+x2．∴S△CEF+S BCG＝S正方形BEFG＝2+x2，∴S△CEF＝S正方形BEFG﹣S BCG＝2+x2﹣S△ABE＝2+x2﹣x＝（x﹣1）2+，当x＝1时，△CEF面积最小，最小值为．。

2020重庆中考数学专题训练十三几何证明正方形一

∴∠FBC+∠FDC＝180°，且∠FDC+∠CDG＝180°
∴∠FBC＝∠CDG，且BC＝CD，∠BCF＝∠DCG
∴△FBC≌△GDC（ASA）
∴FC＝CG，BF＝DG
∵∠FCG＝90°，FC＝CG
∴FG＝ FC＝FD+DG，
∴FD+BF＝ CF
3.如图,在正方形ABCD中，点E为DA延长线上一点且AE=AD，连接BE，在BE上戳取BF，使BF=AD，过点B作BG平分∠ABF，BH⊥CF，分别交CF于点G、H.连接DG.
∴CG= .…………………………4分
（2）过点C作CM⊥CE交BE于点M
∵∠BCG=∠MCE=∠DCF=90°
∴∠BCM=∠DCE，∠MCG=∠ECF
∵BC=DC，∠CBG=∠CDF
∴△CBM≌△CDE
∴CM=CE
∴△CME是等腰直角三角形
∴ME= ，即MG+EG=
又∵△CBG≌△CDF
∴CG=CF
接CE.
（1）若正方形ABCD边长为3，DF=4，求CG的长；（2）求证：EF+EG= CE.
解（1）∵四边形ABCD是正方形
∴∠BCG=∠DCB=∠DCF=90°，BC=DC.
∵BE⊥DF
∴∠CBG+∠F=∠CDF+∠F.
∴∠CBG=∠CDF.
∴△CBG≌△CDF.
∴BG=DF=4.
∴在Rt△BCG中，
专题训练十二-------几何证明之正方形（一）
1.在正方形ABCD中，点F是BC延长线上一点，过点B作BE⊥DF于点E，交CD于点G，连
接CE.
（1）若正方形ABCD边长为3，DF=4，求CG的长；（2）求证：EF+EG= CE.

2020重庆中考复习数学几何最值专题训练24(含答案解析)

2020重庆中考复习数学几何最值专题训练二十四例1、（2020•北碚区自主招生）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝45°，点E为射线AD 上一动点，连接BE，将BE绕点B逆时针旋转60°得到BF，连接AF，则AF的最小值是．解：如图，以AB为边向下作等边△ABK，连接EK，在EK上取一点T，使得AT＝TK．∵BE＝BF，BK＝BA，∠EBF＝∠ABK＝60°，∴∠ABF＝∠KBE，∴△ABF≌△KBE（SAS），∴AF＝EK，根据垂线段最短可知，当KE⊥AD时，KE的值最小，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵∠ABC＝45°，∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝135°，∵∠BAK＝60°，∴∠EAK＝75°，∵∠AEK＝90°，∴∠AKE＝15°，∵TA＝TK，∴∠TAK＝∠AKT＝15°，∴∠ATE＝∠TAK+∠AKT＝30°，设AE＝a，则AT＝TK＝2a，ET＝a，在Rt△AEK中，∵AK2＝AE2+EK2，∴a2+（2a+a）2＝4，∴a＝，∴EK＝2a+a＝，∴AF的最小值为．例2、（2020•沙坪坝区自主招生）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2AC，BC＝3，点E是AB上的一动点，将△ACE沿CE翻折，得到△A'CE，过点B作BF∥AC交∠BAC的平分线于点F，连接A′F，则A′F长度的最小值为3．解：如图，过点A作AH∥BC交FB的延长线于H，连接AA'，过点C作CP⊥AF于P，∵∠ACB＝90°，AB＝2AC，∴cos∠CAB＝，∴∠CAB＝60°，∴tan∠CAB＝＝，∴AC＝，∵BF∥AC，AH∥BC，∴四边形ACBH是平行四边形，又∵∠ACB＝90°，∴四边形ACBH是矩形，∴∠H＝90°，AH＝BC＝3，∵AF平分∠BAC，∴∠BAF＝∠CAF＝30°，∵BF∥AC，∴∠BFA＝∠FAC＝30°，∴AF ＝2AH ＝6，∵CP ⊥AF ，∠CAF ＝30°，∴CP ＝AC ＝，AP ＝CP ＝，在△AA 'F 中，A 'F ≥AF ﹣AA '，∴当点A '在线段AF 上时，A 'F 有最小值，∵将△ACE 沿CE 翻折，得到△A 'CE ，∴AC ＝A 'C ，又∵CP ⊥AF ，∴AA '＝2AP ＝3， ∴A 'F 的最小值＝6﹣3＝3，例3、已知矩形ABCD 中，P 为CD 上边一点, 8AB =，23AD =,∠PAB=60°,M 为△PAB 内一个动点,则3BM 的最小值为 413DMCMGDCMGP例4、如图,在R △ABC 中，0604B=AB ∠=，，D 为线段AB 上一个动点，以CD 为斜边在CD 的左侧作一个等腰Rt CDE,在点D移动的过程中AE的最小值是322A BCED A BCFGMED A BCFGE例5、（2020•蜀山区校级模拟）如图，等边△ABC的边长为4，点D是边AC上的一动点，连接BD，以BD为斜边向上作等腰Rt△BDE，连接AE，则AE的最小值为（）A．1B．C．2D．2解：如图，过点B作BH⊥AC于H点，作射线HE，∵△ABC是等边三角形，BH⊥AC，∴AH＝2＝CH，∵∠BED＝∠BHD＝90°，∴点B，点D，点H，点E四点共圆，∴∠BHE＝∠BDE＝45°，∴点E在∠AHB的角平分线上运动，∴当AE⊥EH时，AE的长度有最小值，∵∠AHE＝45°，∴AH＝AE＝2，∴AE的最小值为，故选：B．例6、（2019•宝应县一模）如图，点D是等边△ABC的边BC上的一个动点，连结AD，将射线DA绕点D顺时针旋转60°交AC于点E，若AB＝4，则AE的最小值是3．解：∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC＝4，∵∠B+∠BAD＝∠ADC＝∠ADE+∠EDC，∠ADE＝60°，∴∠BAD＝∠EDC，∴△ABD∽△DCE，∴＝，设BD＝x，则CD＝4﹣x，∴＝，∴CE＝﹣x2+x，∴AE＝AC﹣CE＝4﹣（﹣x2+x）＝x2﹣x+4＝（x﹣2）2+3，∵＞0，由二次函数的性质可知，当x的值为2时，AE有最小值，最小值为3，例7、（2020春•锡山区期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，D为BC边上一点，且BD：DC＝1：2，以D为一个顶点作正方形DEFG，且DE＝BC，连接AE，将正方形DEFG绕点D 旋转一周，在整个旋转过程中，当AE取得最大值时AG的长为．解：当点A、D、E在同一条直线上时，AE取得最大值．过点A作AM⊥BC于点M，∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，∴BC＝AB＝3，∴BM＝CM＝，∵BD：DC＝1：2，DE＝BC，∴BD＝，DE＝EF＝DG＝FG＝3，∴DM＝﹣＝，在Rt△ADM中，AD＝＝，在Rt△ADG中，AG＝＝．例8、（2020•萧山区一模）如图，已知△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2．D为BC边一点，且BD：DC＝1：2．以D为一个点作等边△DEF，且DE＝DC连接AE，将等边△DEF绕点D旋转一周，在整个旋转过程中，当AE取得最大值时AF的长为2．解：如图，点E，F在以D为圆心，DC为半径的圆上，当A，D，E在同一直线上时AE取最大值，过点A作AH⊥BC交BC于H，∴∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，∴∠B＝∠ACB＝30°，BH＝CH，∴在Rt△ABH中，AH＝AB＝，BH＝AH＝3，∴BC＝2BH＝6，∵BD：DC＝1：2，∴BD＝2，CD＝4，∴DH＝BH﹣BD＝1，在Rt△ADH中，AH＝，DH＝1，∴tan∠DAH＝＝，∴∠DAH＝30°，∠ADH＝60°，∵△DEF是等边三角形，∴∠E＝60°，DE＝EF＝DC，∵∠ADC＝∠E＝60°，∴DC∥EF，∵DC＝EF，∴四边形DEFC为平行四边形，又∵DE＝DC，∴平行四边形DEFC为菱形，∴FC＝DC＝4，∠DCF＝∠E＝60°，∴∠ACF＝∠ACB+∠DCF＝90°，在Rt△ACF中，AF＝＝＝2，例9、（2019秋•温州期中）如图，AB是半圆O的直径，弦AC＝4，∠CAB＝60°，点D是弧BC上的一个动点，作CG⊥AD，连结BG，在点D移动的过程中，BG的最小值是2﹣2．解：如图，以AC为直径作圆O′，连接BO′、BC，O'G，∵CG⊥AD，∴∠AGC＝90°，∴在点D移动的过程中，点G在以AC为直径的圆上运动，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，∵AC＝4，∠CAB＝60°，∴AO'＝CO'＝2，AB＝AC÷cos60°＝8，BC＝AB•sin60°＝4，∴BO'＝＝＝2，∵O′G+BG≥O′B，∴当O′、G、B共线时，BG的值最小，最小值为O′B﹣O′G＝2﹣2．例10、如图，AB是半⊙O的直径，点C在半⊙O上，AB＝5cm，AC＝4cm．D是上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE．在点D移动的过程中，BE的最小值为（）A．1B．﹣2C．2﹣1D．3解：如图，连接BO′、BC．∵CE⊥AD，∴∠AEC＝90°，∴在点D移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，∵AC＝4，AB＝5，∴BC＝＝＝3，O′E＝2，在Rt△BCO′中，BO′＝＝＝，∵O′E+BE≥O′B，∴当O′、E、B共线时，BE的值最小，最小值为O′B﹣O′E＝﹣2，故选：B．例11、（2016•姜堰区三模）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB＝5cm，AC＝4cm．D是弧BC上的一个动点（含端点B，不含端点C），连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE，在点D 移动的过程中，BE的取值范围是﹣2≤BE＜3．解：如图，由题意知，∠AEC＝90°，∴E在以AC为直径的⊙M的上（不含点C、可含点N），∴BE最短时，即为连接BM与⊙M的交点（图中点E′点），∵AB＝5，AC＝4，∴BC＝3，CM＝2，则BM＝＝＝，∴BE长度的最小值BE′＝BM﹣ME′＝﹣2，BE最长时，即E与C重合，∵BC＝3，且点E与点C不重合，∴BE＜3，综上，﹣2≤BE＜3，例12、（2020•铁西区二模）如图，△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝α，tanα＝，AD⊥BC于点D，点E 是线段AD上的一个动点，连接EB，将线段EB绕点E逆时针旋转2α后得到线段EF，连接AF，若BC＝24，则线段AF的最小值为2．解：如图，作BT∥AD，在BT上取一点使得AT＝BT，连接AT，TE，过点E作EH⊥BF于H．∵BE＝EF，∠BEF＝2α，∴∠EBF＝∠EFB，∴∠EBF+α＝90°，∵AB＝AC，AD⊥BD，∴∠BAD+∠ABD＝90°，即∠BAD+α＝90°，∵AD∥BT，∴∠ABT＝∠BAD，∴∠ABT+α＝90°，∴∠ABT＝∠EBF，∵TA＝TB，∴∠ABT＝∠TAB＝∠EBF＝∠EFB，∵EH⊥BF，∴BH＝FH，∵tan∠BEH＝＝，设BH＝5k，则EH＝6k，BE＝k，∴＝＝，同理可证＝，∴＝，∵∠TBE＝∠ABF，∴△TBE∽△ABF，∴＝＝，∴AF＝TE，∵CD＝DB＝12，tan∠ABC＝＝，∴AD＝10，AB＝＝＝2，∴BT＝AT＝，∵ET最小时，AF的值最小，观察图象可知当E与A重合时，ET的值最小，最小值为，∴AF的最小值＝×＝2．。

2020重庆中考数学专题训练十二几何证明之三角形二

∴△ACF≌△MDF（AAS）
∴AF＝FM
∴BE =AM＝2AF.
5.如图，等腰直角△ABC与等腰直角△DBF有共同的顶点B，其中∠ACB＝∠DBF＝90°，AC＝BC，DB＝FB．
（1）如图1，点D落在线段AB上，连接CD，若∠BCD＝30°且AB＝时，求DF的长．
（2）如图2，点E为CB的中点，连接AE，当点D在线段AE上时，连接CF交AE于点G，求证：．
（2）如图2，若点是的中点，，求证
解：（1）∵△ABC是等腰直角角形，AB＝，
∴AC＝AB＝，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC＝90°，
∵CD＝1，
∴AD＝＝5，
∵F是线段AD的中点，
∴DF＝，
∴CF＝＝；
8.如图，Rt△ABC与Rt△BCD在线段BC的异侧，AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°．
（2）如图2，取线段BC的中点E，连接OE，AD，求证：AD=2OE
图1 图2
（1）解：
（2）证明：
7. 是等腰直角三角形，点是上一点（点不和、两点重合），连接并延长，在的延长线上找一点，使 .点为线段上一点（点不和、两点重合），连接交于点 .
（1）如图1，若，，为线段的中点，求；
（1）解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝BC＝2 ，∠ABC＝45°，
如图1，过D作DG⊥BC于G，
则△BDG是等腰直角三角形，
∴DG＝BG，
∵∠BCD＝30°，
∴CG＝ BG，
∴CG+BG＝ BG+BG＝2 ，
∴BG＝ ﹣ ，
∴BD＝ BG＝2 ﹣2，
∵△BDF是等腰直角三角形，

2020年重庆中考几何25题专题训练六(含答案)

2020年重庆中考几何25题专题训练六
1、如图,在ABCD中，点E为BC上一点.
（1）如图1，若E是BC的中点，ABE
∆的面积为2，求ABCD的面积；
（2）如图2，作CEF B
∠=∠交AC的延长线于点F，若C是AF的中点，求证：AB EF
=.
B
D
图1 图2
（2）证法一：
（2）证法二：
（2）证法三：
D
2、如图,在ABCD中，点E为BC上一点.
（1）如图1，若E是BC的中点，ABE
∆的面积为2，求ABCD的面积；
（2）如图2，作CEF B
∠=∠交AC的延长线于点F，若AB EF
=，求证：C是AF的中点.
B
D
图1 图2
（2）证法一：
（2）证法二：
（2）证法三：
D
3、如图，在菱形ABCD中，0
=60
ABC
∠，点E为BC一点，连接AE、AC，过C作CF AE
⊥于点F.
（1）如图1，连接BF并延长BF交AC于点G，若0
15,4
BAE AB
∠==，求BF的长；
（2）如图2，当点E在CB的延长线上时，将线段CF绕点C逆时针旋转0
60得到线段CG，连接FG，交AB于点H，连接BG，求证：AH HB
=.
D
G
图1 图2
（2）证法一：
D
G （2）证法二：
D。

2020重庆中考数学专题训练十二几何证明之三角形一

专题训练十二-------几何证明之三角形（一）1.如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，CE 、BD 分别为∠ACB 、∠ABC 的角平分线，CE 、BD 相交于 P ．（1）求证：CD ＝BE ；（2）若∠A ＝108°，求∠BPC 的度数．证明：（1）∵AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝∠ACB ，∵CE 、BD 分别为∠ACB 、∠ABC 的角平分线∴∠ABD ＝∠DBC ＝∠ABC ，∠ACE ＝∠BCE ＝∠ACB ∴∠DBC ＝∠BCE ，在△BCE 与△CBD 中BC DBC BCEA BC BC ACB ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪=⎩＝＝∴△BCE ≌△CBD （ASA ） ∴CD ＝BE ，（2）∵∠A ＝108° ∴∠ABC +∠ACB ＝72° ∴∠DBC +∠BCE ＝36°∴∠BPC ＝180°﹣∠DBC ﹣∠BCE ＝144°2.如图，已知点A ，C ，D 在同一直线上，BC 与AF 交于点E ，AF ＝AC ，AB ＝DF ，AD ＝BC ．（1）求证：∠ACE ＝∠EAC ；（2）若∠B ＝50°，∠F ＝110°，求∠BCD 的度数．（1）证明：在△ABC 和△FDA 中，B AC DAB DFAC FA =⎧⎪⎨⎪=⎩＝ ∴△ABC ≌△FDA （SSS ）， ∴∠ACE ＝∠EAC ．（2）解∵△ABC ≌△FDA ，∠F ＝110°， ∴∠BAC ＝∠F ＝110°，又∵∠BCD 是△ABC 的外角，∠B ＝50°， ∴∠BCD ＝∠B +∠BAC ＝160°．3. 等腰△ABC 中，AB ＝AC ，CE 为△ABC 的外角∠ACD 的平分线，∠ACB ＝2∠D ，BF ⊥AD ．（1）求证：BF ∥CE ；（2）若∠BAC ＝40°，求∠ABF 的度数．（1）证明：∵∠ACB ＝2∠D ， ∴∠DAC ＝∠D ， ∴CA ＝CD ，∵CE为△ABC的外角∠ACD的平分线，∴CE⊥AD，∵BF⊥AD，∴BF∥CE；（2）解：∵∠BAC＝40°，∴∠ACB＝70°，∴∠DAC＝35°，∴∠ABF＝180°﹣90°﹣（40°+35°）＝15°．4.如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠ACB＝72°，（1）若BD⊥AC于D，求∠ABD的度数；（2）若CE平分∠ACB，求证：AE＝BC．解：（1）∵等腰△ABC中，AB＝AC，∠ACB＝72°，∴∠ABC＝∠ACB＝72°，∵BD⊥AC于D，∴∠DBC＝90°﹣72°＝18°，∴∠ABD＝72°﹣18°＝54°；（2）∵等腰△ABC中，AB＝AC，∠ACB＝72°，∴∠ABC＝∠ACB＝72°，∠A＝36°∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠ECB＝36°，∴∠A＝∠ACE，∴AE＝EC，∵∠ABC＝72°，∴∠BEC＝72°，∴BC＝CE，∴AE＝BC．5.如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF，求证：AC＝BF．证法一：如图，延长AD到G，使DG＝AD，连接BG，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，且∠BDG＝∠ADC，AD＝DG，∴△ADC≌△GDB（SAS）∴AC＝BG，∠G＝∠DAC，∵AE＝EF∴∠DAC＝∠AFE∴∠G＝∠AFE＝∠BFG∴BF＝BG，∴BF＝AC证法二：如图，延长AD到G，使DG＝FD，连接BG，下略。

2020重庆中考复习数学几何最值专题训练十七(含答案解析)

2020重庆中考复习数学几何最值专题训练十七（含答案解析）例1、如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，D是BC边上一动点，将AD绕点A逆时针旋转45°得AE，连接CE，则线段CE长的最小值为（D）A．B．C．﹣1D．2﹣例2、如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，CD⊥AB于D，P是线段CD上一个动点，以P为直角顶点向下作等腰Rt△BPE，连结AE，DE，则DE的最小值为（）A．1B．2C．D．练习：1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝8，CD⊥AB于D，P是线段CD上一个动点，以P为直角顶点向下作等腰Rt△BPE，连接AE、DE．则DE的最小值为．2、如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC＝3，点D是BC边上一点，∠DAC＝30°，点E是AD边上一点，CE绕点C逆时针旋转90°得到CF，连接DF，DF的最小值是．例3、如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D为线段AC上一动点，连接BD，过点C作CH ⊥BD于H，连接AH，则AH的最小值为．练习：等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝8，D为线段AC上一动点，连接BD，过点C作CH⊥BD于H，连接AH，则AH的最小值为（）A．4B．4﹣4C．4D．4﹣4例4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝4，点P是△ABC内部的一个动点，且满足∠P AC＝∠PCB，则线段BP长的最小值是．练习：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝2．点P是△ABC内部的一个动点，且满足∠P AC＝∠PCB，则线段BP长的最小值是．例5、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D是平面内的一个动点，且AD＝3，M 为BD的中点，在D点运动过程中，线段CM长度的取值范围是（）A．B．C．6＜CM＜8D．练习：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D是平面内的一个动点，且AD＝4，M为BD 的中点．设线段CM长度为a，在D点运动过中，a的取值范围是．例6、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝4，P是线段AC上一个动点，连接BP，过C作CD ⊥BP于D，交AB于E，连接AD，线段AD的最小值为练习：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，P是线段AC上一个动点，连接BP，过C作CD ⊥BP于D，交AB于E，连接AD，线段AD的最小值为例7、如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝4，P 是△ABC 的高CD 上一个动点，以B 点为旋转中心把线段BP 逆时针旋转45°得到BP ′，连接DP ′，则DP ′的最小值是（）A ．2B ．4﹣2C ．2﹣D ．例8、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 为AC 的中点，M 为BD 的中点，将线段AD 绕A 点任意旋转（旋转过程中始终保持点M 为BD 的中点），若AC ＝4，BC ＝3，那么在旋转过程中，线段CM 长度的取值范围是．例9、（2019秋•玄武区期末）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，D 、E 分别是边BC 、AC 上的两个动点，且DE ＝4，P 是DE 的中点，连接P A ，PB ，则P A +PB 的最小值为．例10、如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，BC=4，AB=6，在线段AB 上有一点M ，且BM=2.在线段AC 上有一动点N ，连接MN ，BN.将BMN ∆沿BN 翻折得到BM N '∆.连接AM '、.CM '则223CM AM ''+的最小值为答案解析例1、（2018•南通一模）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，D是BC边上一动点，将AD绕点A逆时针旋转45°得AE，连接CE，则线段CE长的最小值为（D）A．B．C．﹣1D．2﹣解：如图，在AB上截取AF＝AC＝2，∵旋转∴AD＝AE∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，∴AB＝2，∠B＝∠BAC＝45°，∴BF＝2﹣2∵∠DAE＝45°＝∠BAC，∴∠DAF＝∠CAE，且AD＝AE，AC＝AF，∴△ACE≌△AFD（SAS）∴CE＝DF，当DF⊥BC时，DF值最小，即CE的值最小，∴DF最小值为＝2﹣例2、（2018春•芜湖期中）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，CD⊥AB于D，P是线段CD上一个动点，以P为直角顶点向下作等腰Rt△BPE，连结AE，DE，则DE的最小值为（）A．1B．2C．D．解：∵，，∴，∵∠ABE＝∠CBP，∴△ABE∽△CBP，∴∠BAE＝∠BCP＝45°，∴∠BAE＝∠CBA，∴AE∥BC，∴E点的运动轨迹为射线AE，∴DE最短时，DE⊥AE时，即当DE⊥AE时，DE的有最小值，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，∴AD＝AB＝2，∵∠DAE＝45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE＝2，∴DE的最小值是2．故选：B．练习：1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝8，CD⊥AB于D，P是线段CD上一个动点，以P为直角顶点向下作等腰Rt△BPE，连接AE、DE．则DE的最小值为．解：∵△ABC和△EBP均为等腰直角三角形，∴△ABC∽△EBP，且∠ABC＝∠EBP＝45°，∴，且∠CBP＝∠ABE，∴△CBP∽△ABE，∴∠BCP＝∠BAE，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠BCP＝45°，∴∠BAE＝∠BCP＝45°，∴当DE⊥AE时，DE的有最小值，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝8，∴AD＝AB＝4，∵∠DAE＝45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE＝4，∴DE的最小值是4．2、（2018春•三明期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC＝3，点D是BC边上一点，∠DAC＝30°，点E是AD边上一点，CE绕点C逆时针旋转90°得到CF，连接DF，DF的最小值是．解：由旋转可得，FC＝EC，∠ECF＝90°，又∵∠ACB＝90°，BC＝AC＝3，∴∠CAE＝∠CBF，∴△ACE≌△BCF，∴∠CBF＝∠CAE＝30°，∴点F在射线BF上，如图，当DF⊥BF时，DF最小，又∵Rt△ACD中，∠CAD＝30°，AC＝3＝BC，∴CD＝，∴BD＝3﹣，又∵∠DBF＝30°，∴DF＝BD＝，例3、（2019•东台市模拟）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D为线段AC上一动点，连接BD，过点C作CH⊥BD于H，连接AH，则AH的最小值为2﹣2．图1 图2解法一：如图1，取BC中点G，连接HG，AG，∵CH⊥DB，点G是BC中点，∴HG＝CG＝BG＝BC＝2，在Rt△ACG中，AG＝＝2，在△AHG中，AH≥AG﹣HG，即当点H在线段AG上时，AH最小值为2﹣2，解法二：如图2，∵∠CHB＝90°，BC是定值，∴H点是在以BC为直径的半圆上运动（不包括B点和C点），连接HO，则HO＝BC＝2．当A、H、O三点共线时，AH最短，此时AH＝AO﹣HO＝2﹣2．练习：等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝8，D为线段AC上一动点，连接BD，过点C作CH⊥BD于H，连接AH，则AH的最小值为（B）A．4B．4﹣4C．4D．4﹣4解：∵∠CHB＝90°，BC是定值，∴H点是在以BC为直径的半圆上运动（不包括B点和C点），连接HO，则HO＝BC＝4．当A、H、O三点共线时，AH最短，此时AH＝AO﹣HO＝4﹣4．例4、（2018秋•淮阴区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝4，点P是△ABC内部的一个动点，且满足∠P AC＝∠PCB，则线段BP长的最小值是2．解：∵∠ACB＝90°，∴∠ACP+∠PCB＝90°，∵∠PAC＝∠PCB∴∠CAP+∠ACP＝90°，∴∠APC＝90°，∴点P在以AC为直径的⊙O上，连接OB交⊙O于点P，此时PB最小，在Rt△CBO中，∵∠OCB＝90°，BC＝4，OC＝3，∴OB＝＝5，∴PB＝OB﹣OP＝5﹣3＝2．∴PC最小值为2．练习：（2017•建邺区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝2．点P是△ABC内部的一个动点，且满足∠P AC＝∠PCB，则线段BP长的最小值是1．解：∵∠ACB＝90°，∴∠ACP+∠BCP＝90°，∵∠PAC＝∠PCB∴∠CAP+∠ACP＝90°，∴∠APC＝90°，∴点P在以AC为直径的⊙O上，连接OB交⊙O于点P，此时PB最小，在Rt△CBO中，∵∠OCB＝90°，BC＝2，OC＝1.5，∴OB＝＝2.5，∴PB＝OB﹣OP＝2.5﹣1.5＝1．∴PB最小值为1．例5、（2019秋•洪山区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D是平面内的一个动点，且AD＝3，M为BD的中点，在D点运动过程中，线段CM长度的取值范围是（）A．B．C．6＜CM＜8D．解：作AB的中点E，连接EM、CE．在直角△ABC中，AB＝＝＝10，∵E是直角△ABC斜边AB上的中点，∴CE＝AB＝5．∵M是BD的中点，E是AB的中点，∴ME＝AD＝．∴在△CEM中，5﹣≤CM≤+5，即≤CM≤．故选：B．练习：（2016•江夏区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D是平面内的一个动点，且AD＝4，M为BD的中点．设线段CM长度为a，在D点运动过中，a的取值范围是3≤a≤7．解：取AB的中点O，连接OM、AD，OC，如图，∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝10，∵点O为AB的中点，∴OC＝AB＝5，∵M为BD的中点．∴OM为△BAD的中位线，∴OM＝AD＝2，∴点M在以O为圆心，2为半径的圆上，∴OC﹣OM≤CM≤OC+OM即5﹣2≤a≤5+2，∴3≤a≤7例6、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝4，P是线段AC上一个动点，连接BP，过C作CD ⊥BP于D，交AB于E，连接AD，线段AD的最小值为解：∵CD⊥BP，∴∠CDB＝90°，∴点D总在以BC为直径的圆上，∵线段AD的长为点A到圆上点D的距离，∴当点D为OA与圆的交点时，线段AD最短，如图，∵∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝4，∴OC＝2，∴OA＝＝2，∴AD＝OA﹣OD＝2﹣2，即线段AD最小值为2﹣2．练习：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，P是线段AC上一个动点，连接BP，过C作CD⊥BP于D，交AB于E，连接AD，线段AD的最小值为解：∵CD⊥BP，∴∠CDB＝90°，∴点D总在以BC为直径的圆上，∵线段AD的长为点A到圆上点D的距离，∴当点D为OA与圆的交点时，线段AD最短，如图，∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，∴OC＝3，∴OA＝5，∴AD＝OA﹣OD＝2，即线段AD最小值为2．例7、（2018秋•庐阳区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，P是△ABC的高CD上一个动点，以B点为旋转中心把线段BP逆时针旋转45°得到BP′，连接DP′，则DP′的最小值是（）A．2B．4﹣2C．2﹣D．解：如图，在BC上截取BE＝BD，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，CD⊥AB，∴BA＝4，∠ABC＝∠BAC＝∠BCD＝∠DCA＝45°，BD＝CD＝AD＝2＝BE∵旋转，∴BP＝BP'，∠PBP'＝45°，∵BE＝BD，∠ABC＝∠PBP'＝45°，BP＝BP'∴△BDP'≌△BEP（SAS）∴PE＝P'D，∴当PE⊥CD时，PE有最小值，即DP'有最小值，∵PE⊥CD，∠BCD＝45°，∴CE＝PE＝BC﹣BE＝4﹣2，∴PE＝2﹣2例8、（2013•武汉模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AC的中点，M为BD的中点，将线段AD绕A点任意旋转（旋转过程中始终保持点M为BD的中点），若AC＝4，BC＝3，那么在旋转过程中，线段CM长度的取值范围是 1.5≤CM≤3.5．解：如图AB交⊙A于D″，延长BA交⊙A于D′，BD的最小值为BD″＝AB﹣AD＝5﹣2＝3，此时M与F重合，BF＝1.5，BD的最大值为BD′＝AD′+AB＝7，此时M与E重合，BE＝3.5，∴EF＝2，观察图象可知点M的运动轨迹是以EF为直径，O为圆心的圆，易知OB＝OA＝2.5，∴OC＝AB＝2.5，∴当点M、O、C共线时，CM可以得到最大值或最小值，CM的最大值为3.5，最小值为1.5．∴1.5≤CM≤3.5．例9、（2019秋•玄武区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分别是边BC、AC上的两个动点，且DE＝4，P是DE的中点，连接P A，PB，则P A +PB的最小值为．解：如图，在BC上截取CF ＝，连接PF，CP，AF，∵DE＝4，P是DE的中点，∴CP＝DE＝2，∵，＝∴，且∠FCP＝∠BCP，∴△BCP∽△PCF，∴，∴PF＝BP，∵P A+PB＝P A+PF，∴当点A，点P，点F共线时，P A+PB的最小值为AF，∴AF＝＝＝例6、如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=4，AB=6，在线段AB上有一点M，且BM=2.在线段AC 上有一动点N，连接MN，BN.将BMN∆沿BN翻折得到BM N'∆.连接AM'、.CM'则223CM AM''+的最小值为4373.解：在BM上截取BQ=23，2,3BQ BMQBM M BABM BA'''==∠=∠'Q，.BQM BM A''∴∆∆∠:1,3QM BQM A BM'∴==''1,3QM M A''∴=2122()2()33CM AM CM AM CM QM''''''∴+=+=+当Q M C'、、三点共线时，=CM QM QC''+有最小值为：22222237=()4.3QC BQ BC+=+=223CM AM''∴+的最小值为437.第11页（共11页）。

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