信号与系统 第2章连续时间系统的时域分析

系统数学模型的时域表示
时域分析方法:不涉及任何变换，直接求解系统的微分、 积分方程式，这种方法比较直观，物理概念比较清楚，是学 习各种变换域方法的基础。
本章中我们主要讨论输入、输出描述法。
2.2 微分方程式的建立与求解
主要内容 复习求解系统微分方程的经典法
物理系统的模型
微分方程的列写
n 阶线性时不变系统的描述 求解系统微分方程的经典法
一、 物理系统的数学模型
•许多实际系统可以用线性系统来模拟。
•若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用线性常系数 微分方程来描述。
输入 激励
输出 响应
对于线性时不变系统，在时间域通常使用线性常系数微分方 程来表示输入输出之间的关系。
二．微分方程的建立
•根据实际系统的物理特性建立系统的微分方程。
d 1 1 vc (t )+ vc (t ) e(t ) dt RC RC
系统的完全响应可以看作由外加激励源和起始状态共同作用 的结果。 系统的完全响应 = 零状态响应 + 零输入响应
一般情况，设系统是线性时不变的，含起始状态系统方框图为：
（H[ · ]表示系统作用的结果） e(t) H[·] {x(0-)} 零输入响应rzi(t)：H[{x(0-)}] 没有外加激励信号的作用，只有起始状态（起始时刻系统电容、 电感储能）所产生的响应。 零状态响应rzs(t)：H[e(t)] 不考虑起始时刻系统储能的作用（起始状态等于零 由系统的外加激励信号产生的响应。 ）， r(t)= H[e(t)]+ H[{x(0-)}]
可见，零输入响应是齐解中的一部分 分自由响应） 次 (部 零输入响应

k 1
n
Azik e k t
由于没有外界激励作用因而系统的状态不会生变化， ， 发 即r (k ) (0 + )＝r (k ) (0 - )， 所 以 zi (t )中 的 常 数 zik 可 以 由 (k ) (0 - )确 定 。 r A r
及 起 始 状 态 r (k ) (0 - ) 0 (k 0,1,2,, n - 1)
零状 态响 应 rzs (t )

k 1
n
Azsk e k t + B(t )
其 中 ： (t )是 特 解, Azsk由 r (k ) (0 + )确 定 B 强 迫 响 应 (t )构 成 。 B
2.4 零输入响应和零状态响应
先看一个实例
R + e(t) +
例2-4-1 已知电容两端起
始电压vc(0-)，激励源为e(t), 求t>0时的系统响应vc(t)。 解：微分方程为 i(t ) d KVL RC dt
+ vc(t)
vc(0-) -
-
vc( t ) + vc( t ) e ( t )
如果描述系统的微分方程为 d r (t ) + 3r (t ) 3 (t ) 例2-3-2
dt
给定0-状态起始值为r(0-) ，确定它的0+状态r(0+)。
解：解题思路
方程右端存在 ，因而有 r (t ) 必定含有 dt 由此推出 r (t )含有3（t） 而方程右端不含 因此 d r (t ) 除含有 以外，还必须包含 dt 以平衡 3r (t )产生的9（t）项 由于 d r (t )含有 - 9（t），得出r (t )在t＝ 时刻有 - 9u（t）存在 0
例2-2-1 求RLC并联电路的端电压 解：
电阻 电感 i s (t )
与激励源
iR
R L
间的关系。
iL C
-
+
ic
a
v( t )
b
电容 根据KCL 代入上面元件伏安关系，并化简有 这是一个代表RLC并联电路系统的二阶微分方程。
例2-2-2 机械位移系统，质量为m的刚体一端由弹簧牵引，
弹簧的另一端固定在壁上。刚体与地面间的摩擦力为 ，外加 牵引力为 ，其外加牵引力 与刚体运动速度 间的 关系可以根据达朗贝尔定律推导出为
例2-2-3 解：
系统的特征方程为
特征根
因而对应的齐次解为
例2-2-4 给定微分方程式
如果已知： 解。 分别求两种情况下此方程的特 为使等式两端 平衡，试选特解函数式 将此式代入方程得到 等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有 联解得到
解：
所以，特解为
(2)
这里，B是待定系数。
代入方程后有：
几种典型激励函数相应的特解
代入微分方程
求得
因而有
经典法不足之处
•若微分方程右边激励项较复杂，则难以处理。
•若激励信号发生变化，则须全部重新求解。 •若初始条件发生变化，则须全部重新求解。 •这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响应的物理概念。
*另一种方法是卷积法（将在2.6节讨论）
卷积法 系统完全响应=零输入响应+零状态响应
dt
d
u (t )表示0 - 到0 + 相对单位跳变函数 因而有： r (0 + ) - r (0 - ) -9即r (0 + ) - 9 + r (0 - ) ＝
数学方法描述
由 d d r (t ) + 3r (t ) 3 (t )，方程右端含 (t )，其一定属于 r (t )，因而可以设 dt dt d d r (t ) a (t ) + b (t ) + cu (t ) u (t ) (t ) + Ku (t ) u (t )的积分为零 ＝ dt dt 积分得 r (t ) a (t ) + bu (t )
•对于电路系统，主要是按照元件的约束特性及系统结构的约 束特性网络拓扑约束来建立对应的微分方程。 •元件的约束特性：表征元件特性的关系式。例如二端元件 电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系等。 •网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系, KCL（基尔霍夫电流定律），KVL （基尔霍夫电压定律） 。
零状态响应
满足方程
d C0 n rzs (t ) + C1 n -1 rzs (t ) + + C n -1 rzs (t ) + C n rzs (t ) dt dt dt d E0 m e(t ) + E1 m -1 e(t ) + + Em -1 e(t ) + Em e(t ) dt dt dt dm d m -1 dn d n -1
可见零状态响应在激励号作用下，其响应由由响应的一部分和 信 自
完全响应
r (t )

k 1 n
n
Ak e k t + B(t )
强迫响应 特解
自由响应
齐次解


k 1
Azik e k t +

k 1
n
Azsk e k t + B(t )
零输入响应
零状态响应
பைடு நூலகம்
例2-4-2
解：
解得
例2-4-3
•起始状态 •初始状态
起始点的跳变
响应区间：激励信号加入之后系统状态变化区间 一般在t=0时刻加入，响应区间为
说明
•对于一个具体的电网络，系统的 件的储能情况; 状态就是系统中储能元
•一般情况下换路期间电容两端的电压和流过电感中的电流不 会发生突变。这就是在电路分析中的换路定则：
•但是当有冲激电流强迫作用于电容或有冲激电压强迫作用于 电感， 状态就会发生跳变。 •当系统用微分方程表示时，系统从 取决于微分方程右端自由项是否包含 到 状态有没有跳变 及其各阶导数项。
O
t
2u (t ) + 2 （一般式）
e(t )在t 0处有跳变 2 4相对跳变为2 即 r (0 + ) r (0 - ) + 2 ＝ 故t 0时，有e(t ) 2u (t )
(2)
方程右端的冲激函数项最高阶次是 ，因而有
d u (t ) (t ) + Ku (t ) u (t )的积分为零 dt
例2-3-1
解：（1）建立电路的微分方程
根据电路形式，列回路方程
列结点电流方程
(1)
(2)求系统的完全响应
系统的特征方程 特征根 齐次解 特解 方程右端自由项为 代入式(1)
要求系统的完全响应为
(3) 换路前
由于电容两端电压和电感中的电流不会发生突变, 因而有
(4)
求得
要求的完全响应为
当系统已经用微分方程表示时，系统的0-状态到0+状态 有没有跳变决定于微分方程右端自由项是否包含δ(t)及其各 阶导数。如果包含有δ(t)及其各阶导数，说明相应的0-到0+ 状态发生了跳变，即r(0+) ≠r(0-)或r′(0+) ≠r′(0-)等等。这时 为确定r(0+) 、r′(0+) 等0+状态值，可以用冲激函数匹配法。 冲激函数匹配法的原理是根据t=0时刻微分方程左右两 端的δ(t)及其各阶导数应该平衡相等。
零输入响应
满足方程
C0 dn dt n rzi (t ) + C1 d n -1 dt r (t ) + + C n -1 n -1 zi d rzi (t ) + C n rzi (t ) 0 dt
及 起 始 状 态 r (k ) (0 - ) (k 0,1,2,, n - 1) rzi (t ) ＝
第二章
2.1 引言
连续时间系统的时域分析
2.2 微分方程式的建立与求解 2.3 起始点的跳变—从0- 到0+ 状态的转换 2.4 零输入响应和零状态响应 2.5 冲激响应与阶跃响应
2.6 卷积
2.7 卷积的性质 2.8 用算子符号表示微分方程 2.9 以“分配函数”的概念认识冲激函数δ（t）
2.1 引言
给 定 如 图 所 示 电 路 ， 0开 关S处 于 的 位 置 而 且 已 经 t 1 达 到 稳 态 。 当 0时S由1转 向2。 建 立 电 流(t )的 微 分 t i 方 程 并 求 解(t )在t 0时 的 变 化 。 i
把t<0电路看作起始状态，分别求t >0时的零输入响应和零 状态响应。 2 S R1 1 i L (t ) iC (t ) 1 i (t ) 1 L H C 1F e (t ) 4 V 4 3 e (t ) 2 V R2 2
若系统为时不变的，则C，E均为常数，此方程为常系数的 n阶线性常微分方程。
四．求解系统微分方程的经典法
解系统微分方程，也就是在已知输入激励的条件下求系统的响 应r(t)。 分析系统的方法：建立方程，求解方程。
求解方程时域经典法就是：齐次解+特解。
经典法
齐次解：由特征方程→求出特征根→写出齐次解形式 注意重根情况处理方法。（例2-2-3） 特 解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系数的特解 函数式→代入原方程，比较系数定出特解。 （例2-2-4） 全 解：齐次解+特解，由初始条件定出齐次解 。
例2-3-3 （即例 2-3-1）
描述 LTI 的微分方程为
e (t ) 4 2
输入 e (t )如图，已知 4 d ( 0- ) 和 r( 0- ) 0, r 5 dt ( 0+ )和 d r (0 +) 。 用冲激函数匹配法求 r dt
解：
（1）将e(t)代入，得 时的微分方程为
e(t ) 4u (t ) + 2u (-t ) 4u (t ) + 2[1 - u (t )]
激励函数e(t) 响应函数r(t)的特解
( 特征根 s α ) ( 特征根 s= α )
我们一般将激励信号加入的时刻定义为t=0 ，将响应定义为 时对应微分方程的解，初始条件定义为
初始条件的确定是重点要解决的问题。 下一节将给出解微分方程的例题
2.3 起始点的跳变—从0- 到0+ 状态的转换
k
m
这是一个代表机械位移系统的二阶微分方程。教材P43-44
Fs
两个不同性质的系统具有相同的数学模型（二阶微分方 程），都是线性常系数微分方程，只是系数不同。对于复杂 系统，则可以用高阶微分方程表示。
三．n 阶线性时不变系统的描述
一个线性系统，其激励信号 与响应信号 可以用下列形式的高阶微分方程式来描述 之间的关系，
将上面两式代入方程式有 a (t ) + b (t ) + cu (t ) + 3a (t ) + bu (t )＝3 (t ) a 3 a 3 得出b + 3a 0 解得b -9 c + 3b 0 c 27 r (t ) 3 (t ) - 9u (t ) u (t ) 表示0 - 到0 + 相对单位跳变函数 因此 r (0 + ) - r (0 - ) b -9 或 r (0 + ) - 9 + r (0 - ) ＝