第四讲 向量自回归模型
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
19
这时，判断Granger原因的直接方法是利用F-检验 来检验下述联合检验：
(q H 0 : a12 ) 0 , q 1 , 2, , p
H1 : 至少存在一个q使得 a ( q )
12
0
其统计量为
( RSS 0 RSS 1 ) / p S1 ~ F ( p, T 2 p 1) RSS 1 /(T 2 p 1)
1 s ˆ MSE ( y t i yt i ) 2 s i 1
(3.2.1)
15
这样可以更正式地用如下的数学语言来描述
Granger因果的定义：如果关于所有的s > 0，基于(yt，yt1，…)预测yt+s得到的均方误差，与基于(yt，yt-1，…)和(xt，
xt-1，…)两者得到的yt+s 的均方误差相同，则y不是由x Granger引起的。对于线性函数，若有
26
（2） Granger 因果检验 选择View/Lag Structure/ Pairwise Granger Causality Tests，即可进行Granger因果检验。输出结果对于VAR 模型中的每一个方程，将输出每一个其他内生变量的滞
后项(不包括它本身的滞后项)联合显著的 2（Wald）统
设：x不能Granger引起y。
(3.2.6)
如果S1 大于F的临界值，则拒绝原假设；否则接受原假
20
其中：RSS1是式(3.2.5)中y方程的残差平方和：
ˆ12t RSS 1
t 1
T
(3.2.7)
RSS0是不含x的滞后变量， 即如下方程的残差平方和：
（1 （2 ( ~ yt a10 a11) yt 1 a11）yt 2 a11p ) yt p 1t
(3.2.4)
ˆ 其中a ( q )是 Aq 的第i行第j列的元素。 ˆ
2. Granger因果关系检验
Granger因果关系检验实质上是检验一个变量的滞
后变量是否可以引入到其他变量方程中。一个变量如果 受到其他变量的滞后影响，则称它们具有Granger因果 关系。
18
在一个二元p阶的VAR模型中
相互之间可以同期相关，但不与自己的滞后值相关及不与
等式右边的变量相关
3
由于仅仅有内生变量的滞后值出现在等式的右边，所 以不存在同期相关性问题，用普通最小二乘法(OLS)能得
到VAR简化式模型的一致且有效的估计量。即使扰动向量
t有同期相关，OLS仍然是有效的，因为所有的方程有相
同的回归量，其与广义最小二乘法(GLS)是等价的。注意， 由于任何序列相关都可以通过增加更多的yt的滞后而被消 除（absorbed），所以扰动项序列不相关的假设并不要求 非常严格。
4
（二）EViews软件中VAR模型的建立和估计
1．建立VAR模型 为了创建一个VAR对象，应选择Quick/Estimate VAR… 或者选择Objects/New object/VAR或者在命令窗口中键入 var。便会出现下图的对话框：
5
可以在对话框内添入相应的信息： (1) 选择模型类型（VAR Type）：
并显示在对应的列中。
输出的第二部分显示的是VAR模型的回归统计量。
残差的协方差的行列式值由下式得出：
1 ˆ det ˆˆ Σ ε t ε 't T m t
12
ˆ 其中m是VAR模型每一方程中待估参数的个数， ε t 是k
维残差列向量。通过假定服从多元正态（高斯）分布
有kp个根，其中k是内生变量的个数，p是最大滞后阶数。
如果估计一个有r个协整关系的VEC模型，则应有k r个 根等于1。 对于例3.1，可以得到如下的结果：
24
有2个单位根的
模大于1，因此例3.1
的模型不满足稳定 性条件，而且在输 出结果的下方会给 出警告(warning)。
25
下面给出单位根的图形表示的结果：
ˆ (3.2.2) MSE[E( yt s | yt , yt 1 ,)] ˆ MSE[E( yt s | yt , yt 1 , , xt , xt 1 ,)]
可 以得 出 结 论 ： x不 能 Granger引 起 y。 等 价 的 ， 如 果 (3.2.2)式成立，则称x对于y是外生的。这个意思相同的
(1 yt a10 a11) (1) x a a t 20 21 (1 (2 a12) yt 1 a11 ) ( 2) (1) xt 1 a21 a22 (2 a12 ) yt 2 ( 2 ) xt 2 a22
一旦完成VAR模型的估计，EViews会提供关于被
估 计 的 VAR 模 型 的 各 种 视 图 。 将 主 要 介 绍 View/Lag
Structure和View/Residual Tests菜单下 提供的检验 。
23
1．VAR模型滞后结构的检验 (1) AR根的图表 如果被估计的VAR模型所有根模的倒数小于1，即 位于单位圆内，则其是稳定的。如果模型不稳定，某些 结果将不是有效的（如脉冲响应函数的标准误差）。共
无约束向量自回归（Unrestricted VAR）或者向量误
差修正（Vector Error Correction）。无约束VAR模型是 指VAR模型的简化式。 (2) 在Estimation Sample编辑框中设置样本区间。
6
(3) 在Lag Intervals for Endogenous编辑框中输入滞后信 息，表明哪些滞后变量应该被包括在每个等式的右端。这 一信息应该成对输入：每一对数字描述一个滞后区间。例 如，滞后对
计量，在表的最后一行（ALL）列出了检验所有滞后内 生变量联合显著的2统计量数值。
27
（三）
滞后阶数p的确定
VAR模型中一个重要的问题就是滞后阶数的确定。
在选择滞后阶数p时，一方面想使滞后数足够大，以便
能完整反映所构造模型的动态特征。但是另一方面，滞 后数越大，需要估计的参数也就越多，模型的自由度就 减少。所以通常进行选择时，需要综合考虑，既要有足 够数目的滞后项，又要有足够数目的自由度。事实上，
(3.2.10)
注意，S2服从自由度为p的2分布。如果S2大于2 的
临界值，则拒绝原假设；否则接受原假设：x不能 Granger引起y。 而且Granger因果检验的任何一种检验结果都和滞后 长度p的选择有关，并对处理序列非平稳性的方法选择
结果极其敏感。
22
（二）
在Eviews软件关于VAR模型的各种检验
这是VAR模型的一个缺陷，在实际中常常会发现，将不
得不限制滞后项的数目，使它少于反映模型动态特征性 所应有的理想数目。
出常数c作为外生变量，但是相应的编辑栏中输入c作为外
生变量，也可以，因为EViews只会包含一个常数。
其余两个菜单（Cointegration 和 Restrictions）仅与
VEC模型有关，将在下面介绍。
8
2．VAR估计的输出 VAR对象的设定框填写完毕，单击OK按纽，EViews 将会在VAR对象窗口显示如下估计结果：
1 4
表示用系统中所有内生变量的1阶到4阶滞后变量作为等式 右端的变量。 也可以添加代表滞后区间的任意数字，但都要成对输入。 例如： 2 4 6 9 12 12 即为用2―4阶，6―9阶及第12阶滞后变量。
7
(4) 在Endogenous Variables和Exogenous Variables编辑 栏中输入相应的内生变量和外生变量。系统通常会自动给
(3.2.8)
则有
~ ˆ RSS 0 12 t
t 1
T
(3.2.9)
21
在满足高斯分布的假定下，检验统计量式(3.2.6)具 有精确的F分布。如果回归模型形式是如式(3.2.5)的VAR 模型，一个渐近等价检验可由下式给出：
T ( RSS 0 RSS 1 ) 2 S2 ~ ( p) RSS 1
14
1. Granger因果关系的定义
Granger解决了x是否引起y的问题，主要看现在的
y能够在多大程度上被过去的x解释，加入x的滞后值是
否使解释程度提高。如果x在y的预测中有帮助，或者x 与y的相关系数在统计上显著时，就可以说“y是由x Granger引起的”。 考虑对yt进行s期预测的均方误差（MSE）：
MA和 ARMA模型也可转化成 VAR模型 ，因此近年来
VAR模型受到越来越多的经济工作者的重视。
2
（一） VAR模型的一般表示
VAR(p) 模型的数学表达式是
yt A1 yt 1 A p yt p BX t ε t
(3.1.1)
其中：yt 是 k 维内生变量向量，Xt 是d 维外生变量向量，p 是滞后阶数，样本个数为T 。kk维矩阵A1，…，Ap和kd 维矩阵B是要被估计的系数矩阵。t是k维扰动向量，它们
VAR(p)模型中Granger因果关系如同两变量的情形，可
以判断是否存在过去的影响。作为两变量情形的推广， 对多个变量的组合给出如下的系数约束条件：在多变量 VAR(p)模型中不存在yjt到yit的Granger意义下的因果关系 的必要条件是
17
ˆ a
ij
(q) ij
0
q 1， ， ，p 2
( a11p ) ( p) a 21
a a
( p) 12 ( p) 22
yt p 1t x t p 2t
(3.2.5)
当且仅当系数矩阵中的系数 a
(q) 12 全部为0时，变量x不
能Granger引起y，等价于变量x外生于变量y。
计算对数似然值：
Tn T ˆ l 1 ln 2π ln Σ 2 2
AIC和SC两个信息准则的计算将在后文详细说明。
13
二 VAR模型的检验
无论建立什么模型，都要对其进行识别和检验，以
判别其是否符合模型最初的假定和经济意义。本节简单
介绍关于VAR模型的各种检验。这些检验对于后面将要 介绍的向量误差修正模型（VEC）也适用。 （一） Granger因果检验 VAR模型的另一个重要的应用是分析经济时间序列 变量之间的因果关系。本节讨论由Granger(1969) 提出， Sims(1972) 推广的如何检验变量之间因果关系的方法。
1
一
向量自回归理论
向量自回归(VAR)是基于数据的统计性质建立模型，
VAR模型把系统中每一个内生变量作为系统中所有内生
变量的滞后值的函数来构造模型，从而将单变量自回归 模型推广到由多元时间序列变量组成的“向量”自回归 模型。VAR模型是处理多个相关经济指标的分析与预测 最容易操作的模型之一，并且在一定的条件下，多元
第四讲 向量自回归模型
传统的经济计量方法是以经济理论为基础来描述变 量关系的模型。但是，经济理论通常并不足以对变量之 间的动态联系提供一个严密的说明，而且内生变量既可 以出现在方程的左端又可以出现在方程的右端使得估计
和推断变得更加复杂。为了解决这些问题而出现了一种
用非结构性方法来建立各个变量之间关系的模型。本章 所要介绍的向量自回归模型(vector autoregression，VAR) 和向量误差修正模型(vector error correction model， VEC)就是非结构化的多方程模型。
9
Βιβλιοθήκη Baidu
表中的每一列对应VAR模型中一个内生变量的方 程。对方程右端每一个变量，EViews会给出系数估计
值、估计系数的标准差(圆括号中)及t-统计量(方括号
中)。
同时，有两类回归统计量出现在VAR对象估计输
出的底部：
10
11
输出的第一部分显示的是每个方程的标准OLS回归 统计量。根据各自的残差分别计算每个方程的结果，
第三种表达方式是x关于未来的y无线性影响信息。
16
可以将上述结果推广到k个变量的VAR(p)模型中去，
考虑对模型(3.1.5)，利用从(t 1)至(t p)期的所有信息， 得到yt的最优预测如下：
ˆ ˆ ˆ yt A1 yt 1 A p yt p εt
(3.2.3)
这时，判断Granger原因的直接方法是利用F-检验 来检验下述联合检验：
(q H 0 : a12 ) 0 , q 1 , 2, , p
H1 : 至少存在一个q使得 a ( q )
12
0
其统计量为
( RSS 0 RSS 1 ) / p S1 ~ F ( p, T 2 p 1) RSS 1 /(T 2 p 1)
1 s ˆ MSE ( y t i yt i ) 2 s i 1
(3.2.1)
15
这样可以更正式地用如下的数学语言来描述
Granger因果的定义：如果关于所有的s > 0，基于(yt，yt1，…)预测yt+s得到的均方误差，与基于(yt，yt-1，…)和(xt，
xt-1，…)两者得到的yt+s 的均方误差相同，则y不是由x Granger引起的。对于线性函数，若有
26
（2） Granger 因果检验 选择View/Lag Structure/ Pairwise Granger Causality Tests，即可进行Granger因果检验。输出结果对于VAR 模型中的每一个方程，将输出每一个其他内生变量的滞
后项(不包括它本身的滞后项)联合显著的 2（Wald）统
设：x不能Granger引起y。
(3.2.6)
如果S1 大于F的临界值，则拒绝原假设；否则接受原假
20
其中：RSS1是式(3.2.5)中y方程的残差平方和：
ˆ12t RSS 1
t 1
T
(3.2.7)
RSS0是不含x的滞后变量， 即如下方程的残差平方和：
（1 （2 ( ~ yt a10 a11) yt 1 a11）yt 2 a11p ) yt p 1t
(3.2.4)
ˆ 其中a ( q )是 Aq 的第i行第j列的元素。 ˆ
2. Granger因果关系检验
Granger因果关系检验实质上是检验一个变量的滞
后变量是否可以引入到其他变量方程中。一个变量如果 受到其他变量的滞后影响，则称它们具有Granger因果 关系。
18
在一个二元p阶的VAR模型中
相互之间可以同期相关，但不与自己的滞后值相关及不与
等式右边的变量相关
3
由于仅仅有内生变量的滞后值出现在等式的右边，所 以不存在同期相关性问题，用普通最小二乘法(OLS)能得
到VAR简化式模型的一致且有效的估计量。即使扰动向量
t有同期相关，OLS仍然是有效的，因为所有的方程有相
同的回归量，其与广义最小二乘法(GLS)是等价的。注意， 由于任何序列相关都可以通过增加更多的yt的滞后而被消 除（absorbed），所以扰动项序列不相关的假设并不要求 非常严格。
4
（二）EViews软件中VAR模型的建立和估计
1．建立VAR模型 为了创建一个VAR对象，应选择Quick/Estimate VAR… 或者选择Objects/New object/VAR或者在命令窗口中键入 var。便会出现下图的对话框：
5
可以在对话框内添入相应的信息： (1) 选择模型类型（VAR Type）：
并显示在对应的列中。
输出的第二部分显示的是VAR模型的回归统计量。
残差的协方差的行列式值由下式得出：
1 ˆ det ˆˆ Σ ε t ε 't T m t
12
ˆ 其中m是VAR模型每一方程中待估参数的个数， ε t 是k
维残差列向量。通过假定服从多元正态（高斯）分布
有kp个根，其中k是内生变量的个数，p是最大滞后阶数。
如果估计一个有r个协整关系的VEC模型，则应有k r个 根等于1。 对于例3.1，可以得到如下的结果：
24
有2个单位根的
模大于1，因此例3.1
的模型不满足稳定 性条件，而且在输 出结果的下方会给 出警告(warning)。
25
下面给出单位根的图形表示的结果：
ˆ (3.2.2) MSE[E( yt s | yt , yt 1 ,)] ˆ MSE[E( yt s | yt , yt 1 , , xt , xt 1 ,)]
可 以得 出 结 论 ： x不 能 Granger引 起 y。 等 价 的 ， 如 果 (3.2.2)式成立，则称x对于y是外生的。这个意思相同的
(1 yt a10 a11) (1) x a a t 20 21 (1 (2 a12) yt 1 a11 ) ( 2) (1) xt 1 a21 a22 (2 a12 ) yt 2 ( 2 ) xt 2 a22
一旦完成VAR模型的估计，EViews会提供关于被
估 计 的 VAR 模 型 的 各 种 视 图 。 将 主 要 介 绍 View/Lag
Structure和View/Residual Tests菜单下 提供的检验 。
23
1．VAR模型滞后结构的检验 (1) AR根的图表 如果被估计的VAR模型所有根模的倒数小于1，即 位于单位圆内，则其是稳定的。如果模型不稳定，某些 结果将不是有效的（如脉冲响应函数的标准误差）。共
无约束向量自回归（Unrestricted VAR）或者向量误
差修正（Vector Error Correction）。无约束VAR模型是 指VAR模型的简化式。 (2) 在Estimation Sample编辑框中设置样本区间。
6
(3) 在Lag Intervals for Endogenous编辑框中输入滞后信 息，表明哪些滞后变量应该被包括在每个等式的右端。这 一信息应该成对输入：每一对数字描述一个滞后区间。例 如，滞后对
计量，在表的最后一行（ALL）列出了检验所有滞后内 生变量联合显著的2统计量数值。
27
（三）
滞后阶数p的确定
VAR模型中一个重要的问题就是滞后阶数的确定。
在选择滞后阶数p时，一方面想使滞后数足够大，以便
能完整反映所构造模型的动态特征。但是另一方面，滞 后数越大，需要估计的参数也就越多，模型的自由度就 减少。所以通常进行选择时，需要综合考虑，既要有足 够数目的滞后项，又要有足够数目的自由度。事实上，
(3.2.10)
注意，S2服从自由度为p的2分布。如果S2大于2 的
临界值，则拒绝原假设；否则接受原假设：x不能 Granger引起y。 而且Granger因果检验的任何一种检验结果都和滞后 长度p的选择有关，并对处理序列非平稳性的方法选择
结果极其敏感。
22
（二）
在Eviews软件关于VAR模型的各种检验
这是VAR模型的一个缺陷，在实际中常常会发现，将不
得不限制滞后项的数目，使它少于反映模型动态特征性 所应有的理想数目。
出常数c作为外生变量，但是相应的编辑栏中输入c作为外
生变量，也可以，因为EViews只会包含一个常数。
其余两个菜单（Cointegration 和 Restrictions）仅与
VEC模型有关，将在下面介绍。
8
2．VAR估计的输出 VAR对象的设定框填写完毕，单击OK按纽，EViews 将会在VAR对象窗口显示如下估计结果：
1 4
表示用系统中所有内生变量的1阶到4阶滞后变量作为等式 右端的变量。 也可以添加代表滞后区间的任意数字，但都要成对输入。 例如： 2 4 6 9 12 12 即为用2―4阶，6―9阶及第12阶滞后变量。
7
(4) 在Endogenous Variables和Exogenous Variables编辑 栏中输入相应的内生变量和外生变量。系统通常会自动给
(3.2.8)
则有
~ ˆ RSS 0 12 t
t 1
T
(3.2.9)
21
在满足高斯分布的假定下，检验统计量式(3.2.6)具 有精确的F分布。如果回归模型形式是如式(3.2.5)的VAR 模型，一个渐近等价检验可由下式给出：
T ( RSS 0 RSS 1 ) 2 S2 ~ ( p) RSS 1
14
1. Granger因果关系的定义
Granger解决了x是否引起y的问题，主要看现在的
y能够在多大程度上被过去的x解释，加入x的滞后值是
否使解释程度提高。如果x在y的预测中有帮助，或者x 与y的相关系数在统计上显著时，就可以说“y是由x Granger引起的”。 考虑对yt进行s期预测的均方误差（MSE）：
MA和 ARMA模型也可转化成 VAR模型 ，因此近年来
VAR模型受到越来越多的经济工作者的重视。
2
（一） VAR模型的一般表示
VAR(p) 模型的数学表达式是
yt A1 yt 1 A p yt p BX t ε t
(3.1.1)
其中：yt 是 k 维内生变量向量，Xt 是d 维外生变量向量，p 是滞后阶数，样本个数为T 。kk维矩阵A1，…，Ap和kd 维矩阵B是要被估计的系数矩阵。t是k维扰动向量，它们
VAR(p)模型中Granger因果关系如同两变量的情形，可
以判断是否存在过去的影响。作为两变量情形的推广， 对多个变量的组合给出如下的系数约束条件：在多变量 VAR(p)模型中不存在yjt到yit的Granger意义下的因果关系 的必要条件是
17
ˆ a
ij
(q) ij
0
q 1， ， ，p 2
( a11p ) ( p) a 21
a a
( p) 12 ( p) 22
yt p 1t x t p 2t
(3.2.5)
当且仅当系数矩阵中的系数 a
(q) 12 全部为0时，变量x不
能Granger引起y，等价于变量x外生于变量y。
计算对数似然值：
Tn T ˆ l 1 ln 2π ln Σ 2 2
AIC和SC两个信息准则的计算将在后文详细说明。
13
二 VAR模型的检验
无论建立什么模型，都要对其进行识别和检验，以
判别其是否符合模型最初的假定和经济意义。本节简单
介绍关于VAR模型的各种检验。这些检验对于后面将要 介绍的向量误差修正模型（VEC）也适用。 （一） Granger因果检验 VAR模型的另一个重要的应用是分析经济时间序列 变量之间的因果关系。本节讨论由Granger(1969) 提出， Sims(1972) 推广的如何检验变量之间因果关系的方法。
1
一
向量自回归理论
向量自回归(VAR)是基于数据的统计性质建立模型，
VAR模型把系统中每一个内生变量作为系统中所有内生
变量的滞后值的函数来构造模型，从而将单变量自回归 模型推广到由多元时间序列变量组成的“向量”自回归 模型。VAR模型是处理多个相关经济指标的分析与预测 最容易操作的模型之一，并且在一定的条件下，多元
第四讲 向量自回归模型
传统的经济计量方法是以经济理论为基础来描述变 量关系的模型。但是，经济理论通常并不足以对变量之 间的动态联系提供一个严密的说明，而且内生变量既可 以出现在方程的左端又可以出现在方程的右端使得估计
和推断变得更加复杂。为了解决这些问题而出现了一种
用非结构性方法来建立各个变量之间关系的模型。本章 所要介绍的向量自回归模型(vector autoregression，VAR) 和向量误差修正模型(vector error correction model， VEC)就是非结构化的多方程模型。
9
Βιβλιοθήκη Baidu
表中的每一列对应VAR模型中一个内生变量的方 程。对方程右端每一个变量，EViews会给出系数估计
值、估计系数的标准差(圆括号中)及t-统计量(方括号
中)。
同时，有两类回归统计量出现在VAR对象估计输
出的底部：
10
11
输出的第一部分显示的是每个方程的标准OLS回归 统计量。根据各自的残差分别计算每个方程的结果，
第三种表达方式是x关于未来的y无线性影响信息。
16
可以将上述结果推广到k个变量的VAR(p)模型中去，
考虑对模型(3.1.5)，利用从(t 1)至(t p)期的所有信息， 得到yt的最优预测如下：
ˆ ˆ ˆ yt A1 yt 1 A p yt p εt
(3.2.3)