第四章平面任意力系
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第四章平面任意力系详解
同样，有且只有三个独立的平衡方程
例1： 简支梁受力如图，已知F＝300N, q=100N/m,
求A, B处的约束反力。
∑ 解：简支梁受力如图所示：
Fx = 0 ⇒ FAx = 0
F q
FAx A
CD
FAy 2m 2m
4m
∑ Fy = 0
FAy + FB − F − q ⋅ 4 = 0 (1)
B
∑MA =0
M
力的平移定理: 可以将作用于刚体上A点上的
力 F 平行移动到任一点O ，但必须附加一个力偶,
附加力偶的力偶矩等于原力 F 对 O 点之矩。
力的平移的逆过程
M
－F
F
F
r F
图中：
d = MO F
一个力偶矩和一个作用于同一平面的
力 F，可以进一步简化为一个力 。
二、平面任意力系向作用面内一点简化
y
刚体系平衡
系统满足刚体的平衡条件
3. 注意一些临界的力学条件：
刚好拉过台阶FNA = 0
FNA
F
翻倒的临界条件：FN 集中于角点。
FN
§4.3 刚体系的平衡
一、刚化原理
变形体在某一力系作用下处于平衡，若将处于平衡状
态时的变形体换成刚体（刚化），则平衡状态不变。
F
F
（a）
F
F
（b）
刚体的平衡条件是变形体平衡的必要条件
二、刚体系的平衡问题
y
F1 O F3
F1/ M1 M2 F2/
= F2
O M3 F3/
x=
Mo FR/
O
x
( ) ( ) ( ) r
r
r
M1 = M o F1 M 2 = M o F2 M 3 = M o F3
理论力学第四章任意力系
OI x
点
Fi
Fi
一般力系（任意力系）向一点简化 汇交力系+力偶系
汇交力系 力偶系
合力 —— R'(主矢) ， (作用在简化中心)
合力偶矩——MO (主矩) ，(作用在该平面上)
O 点为简化中心: F1' F1 , F2 ' F2 ,, Fi ' Fi .
m1 MO (F1), m 2 MO (F2 ), , m i MO (Fi ).
tan1 FRx 70.83 0
FR
2）求主矩
y
O MO
MO 3F1 1.5P1 3.9P2 2355 kN m
x
FR '
y 3m
２）求合力与基线OA的交点到Ｏ点的距
▼
9m
F1
3m
P1
1.5
P2
3.9 m
离 x及合力作用线方程
▼
主矩：MO 3F1 1.5P1 3.9P2
y
3m
▼
P1
1.5
解:１）求 FR'x , FR'y
FR'x F1 F2 cos 300 70 cos16.7
232.9kN
▼
FR'y P1 P2 F2 sin
9m
F1
P2 F2 450 200 70sin16.7 670.1kN
3.9 m 3m
MO2
M O1 FR
FR
M O1
FR
o d O
o d O
MO1 是自由矢量，可搬到O'处
所以在O'点处形成一个力螺旋。
建筑力学-第4章 平面力系的简化与平衡方程.
平面固定端约束
=
=
≠
=
3、 平面任意力系的简化结果分析
=
FR 0 M O 0
合力
合力作用线过简化中心
FR 0 M O 0
合力
合力作用线距简化中心M O
FR
其中
MO d FR
M o FRd
M o ( FR ) M O M O ( Fi )
FR FR FR
q 20 kN
求： 固定端A处约束力.
, l 1m; F 400kN, m
解： 取T型刚架，画受力图. 1 其中 F1 q 3l 30kN 2 Fx 0 FAx F1 F sin 600 0 解得 FAx 316.4kN
F Ay P F cos 60 0 Fy 0 解得 FAy 300kN
A
M
解得
0
12 FBy 10 P 6 P 1 4P 2 2 P 5F 0
FBy 77.5kN
iy
F
解得
0 FAy FBy 2 P P 1P 2 0
FAy 72.5kN
取吊车梁,画受力图.
M
解得
D
0
8FE' 4P 1 2P 2 0
Fx 0
Fy 0
FAx FB 0
FAy P 1P 2 0
M
解得
A
0
FB 5 1.5 P 1 3.5 P 2 0
FAy 50kN
FB 31kN
FAx 31kN
例4-4 已知： P, q, a, M pa; 求： 支座A、B处的约束力. 解：取AB梁，画受力图.
工程力学第4章
（３） 列平衡方程，求解未知量。列力矩方程时，通常 选未知力较多的交点为矩心。
（４） 结果分析或校核。
第4章 平面任意力系
例4-2 摇臂吊车如图4-9（a）所示。横梁AB的A端为固定 铰链支座，B端用拉杆BC与立柱相连。已知梁的重力G1＝4kN, 载荷G2＝12 kN，横梁长l＝６ｍ，α＝30°，求当载荷距A端距 离x＝4 ｍ时， 拉杆BC的受力和铰支座A的约束反力。
第4章 平面任意力系
3. 平面力偶系是特殊的力系，根据力偶的性质，在基本方程 中的投影方程自然满足，所以只有一个方程，
MO (F) 0
第4章 平面任意力系
4.2.3
（１） 根据题意，选取适当的研究对象；对所选研究对 象进行受力分析并画受力图。
（２） 选取适当的直角坐标系。坐标轴应与较多的未知 反力平行或垂直。一般情况下，水平和垂直的坐标轴可以不画， 但其它特殊方向的坐标轴必须画出。
第4章 平面任意力系
（3） 该力系上述的三种简化结果，从形式上是不同的， 但都与原力系等效。所以，三种情况的简化结果是等效的。
第4章 平面任意力系
4.1.3 固定端约束
固定端约束是工程中一种常见的约束。如图4-6所示，夹紧 在卡盘上的工件（图(a)），固定在刀架上的车刀（图(b)）， 嵌入墙中的雨罩（图(c)）等都属于固定端约束。由约束的性质 可知， 固定端约束能限制物体沿任何方向的移动，也能限制物 体在约束处的转动。所以，固定端Ａ处的约束反力可用两个正
主矢FR′的大小和方向分别为：
FR' (FRx )2 (FRy )2 2002 1502 250N
tan FRy 150 0.75
FRx 200
第4章 平面任意力系
（４） 结果分析或校核。
第4章 平面任意力系
例4-2 摇臂吊车如图4-9（a）所示。横梁AB的A端为固定 铰链支座，B端用拉杆BC与立柱相连。已知梁的重力G1＝4kN, 载荷G2＝12 kN，横梁长l＝６ｍ，α＝30°，求当载荷距A端距 离x＝4 ｍ时， 拉杆BC的受力和铰支座A的约束反力。
第4章 平面任意力系
3. 平面力偶系是特殊的力系，根据力偶的性质，在基本方程 中的投影方程自然满足，所以只有一个方程，
MO (F) 0
第4章 平面任意力系
4.2.3
（１） 根据题意，选取适当的研究对象；对所选研究对 象进行受力分析并画受力图。
（２） 选取适当的直角坐标系。坐标轴应与较多的未知 反力平行或垂直。一般情况下，水平和垂直的坐标轴可以不画， 但其它特殊方向的坐标轴必须画出。
第4章 平面任意力系
（3） 该力系上述的三种简化结果，从形式上是不同的， 但都与原力系等效。所以，三种情况的简化结果是等效的。
第4章 平面任意力系
4.1.3 固定端约束
固定端约束是工程中一种常见的约束。如图4-6所示，夹紧 在卡盘上的工件（图(a)），固定在刀架上的车刀（图(b)）， 嵌入墙中的雨罩（图(c)）等都属于固定端约束。由约束的性质 可知， 固定端约束能限制物体沿任何方向的移动，也能限制物 体在约束处的转动。所以，固定端Ａ处的约束反力可用两个正
主矢FR′的大小和方向分别为：
FR' (FRx )2 (FRy )2 2002 1502 250N
tan FRy 150 0.75
FRx 200
第4章 平面任意力系
第四章、平面任意力系
分布力系说明
q
qB
A
L 2L/3 Q1 L/3
B
A L L/2 A Q L/2
B
A
L (a)三角形分布力
厚接分布力
B L （b）均匀分布力
在以后碰到分布力时，先进行简化处理，然后再求解。
第四章 平面任意力系
理 论 力 学
§4- 4 平衡条件、平衡方程
例 4-1
已知：梁AD的支承及受力如图所示。
F = 500N, FA = 1000N, q = 1000N/m
A、B、C是平面内不共线的任意三点.
应当指出：投影轴和矩心是可以任意选取的。 在解决实际问题时适当选取矩心与投影轴可以简化计算。
一般地说，矩心应选多个力的交点，尤其是选
未知力的交点，投影轴则尽可能选取与该力系中多数力的 后接例题 作用线平行或垂直。
第四章 平面任意力系
理 论 力 学
§4- 5 平面平行力系的合成与平衡
即两个力矩式一个投影式，其中A、B是平面内任意两点。 但连线不能垂直投影轴 X 。 B A x
第四章 平面任意力系
理 论 力 学
§4- 4 平衡条件、平衡方程
平衡方程
2、平面力系任意力系的平衡方程 B
A 即三个力矩式， C
（2）三力矩形式的平衡方程
∑MA （F）= 0，
∑MB （F）= 0 ∑MC （F）= 0
即距D点的距离为a/3。
应用平面力系平衡方程求解。
第四章 平面任意力系
理 论 力 学
§4- 4 平衡条件、平衡方程
例 4-1 ∑Fx = 0 ∑Fy= 0
步骤3：取坐标系Bxy，列平衡方程
FBx+ F = 0 FBy+ FC- Fp- FA= 0
平面任意力系
处旳约束反力。
C
D G
EF
75° 75°
A
B
§4.4 刚体系旳平衡
解: 取整个系统为研究对象:
MA= 0,
FB·AB－G·ADcos75°= 0
AD cos 75
FB=
G AB
=225 N
Fy = 0, FA + FB－G = 0
FA=600－225=375 N
C
D
G FA E F FB
75° 75°
平衡
平衡
平衡
不平衡
§4.4 刚体系旳平衡
二、刚体系旳平衡
求解刚体系平衡问题与求解单一刚体旳环节基本相同： 选择合适旳研究对象，画出其分离体图和受力图，列平衡 方程求解未知力。 不同之处：单一刚体平衡问题研究对象旳选择是唯一旳， 而刚体系则能够选用其中一种刚体，选用刚体系整体或者 某一部分为研究对象。研究对象选择旳灵活性，使得问题 旳解法往往有多种。
(1) FR'= 0 , MO= 0 (3) FR'= 0 , MO 0
(2) FR' 0 , MO= 0 (4) FR' 0 , MO 0
(1) FR'= 0 , MO= 0
(2) FR' 0 , MO= 0 用于简化中心旳主矢
原力系是一种平衡力系 原力系能够合成一种合力，即作
(3) FR'= 0 , MO 0 原力系合成一种力偶，合力偶矩 等于主矩
解：
y
取梁AB为研 FAy
q
究对象，建立坐 标系如图
A FAx
Fx = 0， FA x= 0
2a
MA(F) = 0,
FBy·4a－M－F·2a－q·2a·a = 0
C
D G
EF
75° 75°
A
B
§4.4 刚体系旳平衡
解: 取整个系统为研究对象:
MA= 0,
FB·AB－G·ADcos75°= 0
AD cos 75
FB=
G AB
=225 N
Fy = 0, FA + FB－G = 0
FA=600－225=375 N
C
D
G FA E F FB
75° 75°
平衡
平衡
平衡
不平衡
§4.4 刚体系旳平衡
二、刚体系旳平衡
求解刚体系平衡问题与求解单一刚体旳环节基本相同： 选择合适旳研究对象，画出其分离体图和受力图，列平衡 方程求解未知力。 不同之处：单一刚体平衡问题研究对象旳选择是唯一旳， 而刚体系则能够选用其中一种刚体，选用刚体系整体或者 某一部分为研究对象。研究对象选择旳灵活性，使得问题 旳解法往往有多种。
(1) FR'= 0 , MO= 0 (3) FR'= 0 , MO 0
(2) FR' 0 , MO= 0 (4) FR' 0 , MO 0
(1) FR'= 0 , MO= 0
(2) FR' 0 , MO= 0 用于简化中心旳主矢
原力系是一种平衡力系 原力系能够合成一种合力，即作
(3) FR'= 0 , MO 0 原力系合成一种力偶，合力偶矩 等于主矩
解：
y
取梁AB为研 FAy
q
究对象，建立坐 标系如图
A FAx
Fx = 0， FA x= 0
2a
MA(F) = 0,
FBy·4a－M－F·2a－q·2a·a = 0
工程力学-单辉祖、谢传锋-第四章-平面任意力系
其中平面汇交力系的合力为
F1 F2 F n F1 F2 Fn Fi FR
平面力偶系的合成结果为
M O M1 M 2 M n M O ( F1 ) M O ( F2 ) M O ( Fn ) M O ( Fi )
MO 0
( Fx )2 ( Fy )2 FR
MO MO (F i )
( Fx )2 ( Fy )2 FR
MO MO (F i )
平衡
Fxi 0 即：
Fyi 0
MO (F i ) 0
平面任意力系的平衡方程
即：平面任意力系平衡的解析条件是：力系中 所有各 力 在其作用面内两个任选的坐标轴上投 影的代数和分别 等于零 ，所有各力对 任一点 之矩的代数和等于零。
(1) F'R＝0，MO≠0 平面任意力系简化为一个力偶的情形 原力系合成为合力偶。合力偶矩M等于原力系对简 化中心的主矩。
F5
MO MO (F )
A
F1 F4
F6 B F3
F2
C
D
四个力是否平衡？
此时,主矩与简化中心的位置无关。
(2) F'R ≠ 0，MO ＝ 0 ; 平面任意力系简化为一个合力的情形 如果主矩等于零，主矢不等于零，则此时平面力系 简化为一合力，作用线恰好通过简化中心。
例1 求图示刚架的约束反力。
解：以刚架为研究对象，受力如图。
Fx 0
FAx qb 0
A
a
P
q
b
P
MA
Fy 0
FAy P 0
MA (F ) 0 1 2 M A Pa qb 0 2
工程力学C-第4章 平面任意力系
l 2
q( x) xdx 2l h 3 q( x)dx
0 l 0
l
例 题7：
均匀分布载荷 q =4kN/m ，自由端B作用有集 中力F = 5kN，与铅垂线夹角α=25°，梁长 l = 3m。求固定端的反力。 解： 梁AB ——研究对象
x
M A (Fi ) 0 : M Q l F cos l 0 (Q ql 4 3 12kN) A
2
1 2 M A Fl cos ql 31.59kN m 转向如图 2
F
F
xi
0:
0:
FAx F sin 0
FAx F sin 2.113kN
FAy Q F cos 0
实际方向与图中相反
yi
FAy Q F cos 16.53kN 方向如图
n
平衡方程
平面任意力系平衡的解析条件：所有各力在两个任选的坐标轴 上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点矩的代 数和也等于零。
例 1:
固定端约束
既不能移动，又不能转动的约束—— 固定端约束 固定约束的特点
利用平面力系的简化结果，将端部的分布
力向端部的一点A点简化，得FA、MA。
FA MA
A
B
b
因此，P2必须满足：
Pe P l P (e b) 1 P2 ab a
FNA
FNB
例 题 6 细杆AB 搁置在两互相垂直的光滑斜面上，如图所 示。已知：杆重为P，重心C 在杆AB的中心，两 斜面的几何关系如图。求：杆静止时与水平面的 夹角θ和支点 A、B 的反力。 解： 细杆AB —— 研究对象 设杆AB长 l ,取图示坐标系。
第四章 平面力系
第四章
平面力系
认识平面力系
§4-1 平面任意力系向平面内一点简化
一 、 力线的平移 作用于刚体上的力 F 的作用线可等效地 平移到任意一点 O ，但须附加一力偶，此附 加力偶等于原力对 O 点的矩。
F’ M O F
F”
d
逆过程：
平面内的一个力和一个
力偶总可以等效地被同 平面内的一个力替换， 但作用线平移一段距离
3 1 N B P qa 4 2
NB ·4 a － M － P ·2 a － q ·2 a ·a = 0
∑X = 0 , ∑Y = 0 ,
XA = 0
YA － q ·2a － P + NB = 0
P 3 YA qa 4 2
∑X = 0， F F sin 60°－3lq/2 －XA=0 XA = 316.4 kN ∑Y = 0，Fcos 60 °－P + YA = 0 YA = -100 kN ∑MA( F ) = 0， M A －3 l 2 q / 2 － M + 3 l Fsin60°－ F l sin 30°= 0 MA = -789.2 kNm
例3-2
A
， , 求该力系向
1m
F1 2 ( N)
1m
解：
1 X F1 2 F3 0 1 Y F2 F1 2 0
F1
F2
B
1m
D
3m C
M
F3
1m
即，主矢 R’= 0 , 这样可知主矩与简化中心 D 的位置无关，以 B 点为简化中心有： MD = MB = M - F3×1 = 1 N m ，主矩 MD = 1 N m
X
i 1 N
N
i
平面力系
认识平面力系
§4-1 平面任意力系向平面内一点简化
一 、 力线的平移 作用于刚体上的力 F 的作用线可等效地 平移到任意一点 O ，但须附加一力偶，此附 加力偶等于原力对 O 点的矩。
F’ M O F
F”
d
逆过程：
平面内的一个力和一个
力偶总可以等效地被同 平面内的一个力替换， 但作用线平移一段距离
3 1 N B P qa 4 2
NB ·4 a － M － P ·2 a － q ·2 a ·a = 0
∑X = 0 , ∑Y = 0 ,
XA = 0
YA － q ·2a － P + NB = 0
P 3 YA qa 4 2
∑X = 0， F F sin 60°－3lq/2 －XA=0 XA = 316.4 kN ∑Y = 0，Fcos 60 °－P + YA = 0 YA = -100 kN ∑MA( F ) = 0， M A －3 l 2 q / 2 － M + 3 l Fsin60°－ F l sin 30°= 0 MA = -789.2 kNm
例3-2
A
， , 求该力系向
1m
F1 2 ( N)
1m
解：
1 X F1 2 F3 0 1 Y F2 F1 2 0
F1
F2
B
1m
D
3m C
M
F3
1m
即，主矢 R’= 0 , 这样可知主矩与简化中心 D 的位置无关，以 B 点为简化中心有： MD = MB = M - F3×1 = 1 N m ，主矩 MD = 1 N m
X
i 1 N
N
i
工程力学(北航版)——第四章：平面任意力系
∑mA(F)=0
Q(6 − 2) − P ⋅ 2 + FB (2 + 2) = 0
限制条件为： 限制条件为： FB ≥ 0
解得： 解得：
Q≤350 kN
因此保证空、满载均不倒 应满足如下关系 应满足如下关系： 因此保证空、满载均不倒Q应满足如下关系
75 kN≤Q≤350 kN
当W=400KN时，Q的范围？ W=400KN时 的范围？
MO =
∑M
Oi
方向： 方向 方向规定 +
M A ≠ MO
7
简化中心： 简化中心 (与简化中心有关)
3. 平面一般力系的合成结果
′ 初步简化结果： 初步简化结果：主矢 FR ，主矩 MO，下面分别讨论。
′ ， ① FR =0， MO =0，则力系平衡,下节专门讨论。 ，
′ ② FR = 0 , M O ≠ 0 即 简 化 结 果 为 一 力 偶 M = M O = ∑MOi， 此 时
刚体等效于只有一个力偶的作用（因为力偶可以在刚 体平面内任意移转，故这时，主矩与简化中心O无关。） ③ FR ≠0, O =0, ′ ≠0,M =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时，
′ 简化结果就是合力（这个力系的合力）, FR = FR 。（此时 ,
与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
8
′ ≠0,M ≠0,为最一般的情况 此种情况还可以继续简 为最一般的情况。 ④ FR ≠0, O ≠0,为最一般的情况。此种情况还可以继续简
化为一个合力 FR 。
′ F R = F ′ R = − FR′ ′ M O = FR ⋅ d
F'R F'R F''R A FR FR
材料力学第4章 平面任意力系
MO
M1
M
2
M
n
(2-2)
MO (F1) MO (F2 ) MO (Fn ) MO (F )
由此可见，MO一般与简化中心的位置有关，它
反映了原力系中各力的作用线相对于点O的分布情
况，称为原力系对点O的主矩。
理论力学
静力学
平面任意力系
15
平面任意力系向作用面内任意一点简化，一般 可以得到一个力和一个力偶；该力作用于简化中心， 其大小及方向等于力系的主矢，该力偶之矩等于力 系对于简化中心的主矩。
(2)
理论力学
静力学
平面任意力系
37
例题
MA(F) 0
FT AB sin 300 P AD F AE 0
(3)
由(3)解得
FT
2P 3F 4sin 300
(2 4 3 10)kN m 4m 0.5
19
kN
以
FT
之值代入式(1)、
例如，铁轨给轮 子的力等。
理论力学
静力学
平面任意力系
28
几种分布荷载：
体分布荷载：荷载（力）分布在整个构件内部
各点上。例如，构件的自重等。 面分布荷载：分布在构件表面上。例如，风压
力、雪压力等。
线分布荷载：荷载分布在狭长范围内，如沿构
件的轴线分布。
理论力学
静力学
平面任意力系
29
荷载的单位
(1) 集中荷载的单位，即力的单位 (N，kN)。 分布荷载的大小用集度表示，指密集程度。
值为多少？
理论力学
静力学
平面任意力系
y
F4 F1 F2
F3
O
x
平面平行力系平衡的必要与充分条件是：力系 中所有各力的代数和等于零，以及各力对平面内任 一点之矩的代数和等于零。
n
{∑
i =1 n i =1
∑Y
i
=0
M O ( Fi ) = 0
二力矩形式的平衡方程：
{∑
i =1 n i =1
∑M
n
A
( Fi ) = 0
M B ( Fi ) = 0
则
′ FR = (∑ X ) 2 + (∑ Y ) 2
′ FRy ∑Y θ = arctg = arctg ′ FRx ∑X
• 固定端约束 物体的一部分固嵌于另一物体的约束称为固 定端约束。 固定端约束的特点是既限制物体的移动又限 制物体的转动。
在外载荷的作用下，物体在固嵌部分所受的作 用力为一任意力系。 将此力系向连接处物体横截面的形心A简化，得 到一个力FA和一个力偶MA。 对于平面固定端约束，可用两个正交分力和一个 力偶矩表示。
平面任意力系的平衡方程：
∑ ∑ ∑
n n
n
X
i =1
i
= 0
i =1
Yi = 0 M
O
i =1
(Fi) = 0
所有各力在两个任选的坐标轴上投影的代数和 分别等于零，以及各力对于任意一点的矩的代数和 也等于零。
平衡方程的其它形式：
• 二力矩形式的平衡方程
∑ ∑ ∑
n n
n
M M X
i =1
A
(Fi) = 0 (Fi) = 0 = 0
F
600
y
l l
M
B
D P
3l
F4 F1 F2
F3
O
x
平面平行力系平衡的必要与充分条件是：力系 中所有各力的代数和等于零，以及各力对平面内任 一点之矩的代数和等于零。
n
{∑
i =1 n i =1
∑Y
i
=0
M O ( Fi ) = 0
二力矩形式的平衡方程：
{∑
i =1 n i =1
∑M
n
A
( Fi ) = 0
M B ( Fi ) = 0
则
′ FR = (∑ X ) 2 + (∑ Y ) 2
′ FRy ∑Y θ = arctg = arctg ′ FRx ∑X
• 固定端约束 物体的一部分固嵌于另一物体的约束称为固 定端约束。 固定端约束的特点是既限制物体的移动又限 制物体的转动。
在外载荷的作用下，物体在固嵌部分所受的作 用力为一任意力系。 将此力系向连接处物体横截面的形心A简化，得 到一个力FA和一个力偶MA。 对于平面固定端约束，可用两个正交分力和一个 力偶矩表示。
平面任意力系的平衡方程：
∑ ∑ ∑
n n
n
X
i =1
i
= 0
i =1
Yi = 0 M
O
i =1
(Fi) = 0
所有各力在两个任选的坐标轴上投影的代数和 分别等于零，以及各力对于任意一点的矩的代数和 也等于零。
平衡方程的其它形式：
• 二力矩形式的平衡方程
∑ ∑ ∑
n n
n
M M X
i =1
A
(Fi) = 0 (Fi) = 0 = 0
F
600
y
l l
M
B
D P
3l
第四章平面任意力系
R
42.01
R'
25kN
MA
d
A
1m
1m
20kN 60o
1m
B
30o
18kN
R
求力系的主矩
MA = 1×25 + 2 × 20sin60o - 3 × 18sin30o = 32.64 kN·m
d M A 32.64 0.777 m R 42.01
§4-3 平面一般力系的平衡条件与平衡方程
F'1 M2
M1 O ·
Mn F'n
主矢′:力系中各力的矢量和.
F'2 x
y F'R
O· MO x
n
F R
F 1
F 2
F n
F i
i 1
主矩:力系中各力对简化中心o点的矩的代数和称为该力
系对简化中心o点的主矩.
n
M o
M M 1
2
M n
M
o
(
F i
)
i1
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三、平面任意力系向作用面内任一点的简化
合力 合力 合力偶 平衡
合力作用线过简化中心 作用线距简化中心 M O FR
与简化中心的位置无关
与简化中心的位置无关
合力FR 是在主矢FR´的那一侧，则要根据主矩的正负号来确定 。
原则是合力对简化中心的距的转向要与主矩的转向一致 。
合力矩定理：
n
MO (FR ) mO (Fi )
i 1
即：平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等于 力系中各力对于同一点之矩的代数和。
解题技巧
①选研究对象
①选坐标轴最好是未知力投影轴；
工程力学课后习题答案第四章 平面任意力系
第四章 平面任意力系习 题4.1F TyxOF N解：软绳AB 的延长线必过球的中心，力N F 在两个圆球圆心线连线上N F 和T F 的关系如图所示：AB 于y 轴夹角为θ 对小球的球心O 进行受力分析：0,s i n c o sT NXF F θθ==∑ 0,cos sin T N Y F F W θθ=+=∑ s i n R r R dθ+=+ c o s L r R dθ+=+()()()()22T R d L r F W R r L r ++=+++ ()()()()22N R d R r F W R r L r ++=+++4.2。
AyF AxF 解：对AB 杆件进行受力分析：120,sin cos022AL MW W L θθ=-=∑解得： 212a r c s i n WW θ=对整体进行受力分析，由:20,c o s 02A x X F W θ=-=∑210,sin 02A y YF W W θ=+-=∑ 22121Ay W W F W +=4.3 解：A yF A xF B yA xF A yF B yFBA xF A yF A xF AM（a ）受力如图所示0,0.8cos 300AxX F =-=∑0,0.110.80.150.20ABy MF =⨯+⨯-=0,10.8sin 300AyBy Y FF =+--=∑, 1.1,0.3Ax By Ay F F KN F KN ===（b ）受力如图所示0,0.40AxX F =+=∑0,0.820.5 1.60.40.720ABy MF =⨯-⨯-⨯-=∑0,20.50AyBy Y F F =+-+=∑ 0.4,0.26,0.24Ax By Ay F K N F K N F K N =-==（c ）受力如图所示0,sin 300AxB X F F =-=∑0,383cos 300AB MF =+-=∑0,cos 3040AyB Y FF =+-=∑2.12, 4.23,0.3Ax By Ay F K N F K N F K N ===（d ）受力如图所示()()133q x x =- 0,0Ax X F ==∑()()33010,3 1.53A y YF q x dx x dx K N ===-=∑⎰⎰()30,0AA M M xq x dx =+=∑⎰()3013 1.53AMx x dx K N m =-=-∙⎰4.4AyF解：立柱底部A 处的受力如图所示，取截面A 以上的立柱为研究对象0,0AxX F qh =+=∑ 20Ax F qh K N =-=-0,0AyY F G F =--=∑ 100Ay F G F K N =+=0,0hA A M M qxdx Fa =--=∑⎰ 211302AMqh F a K N m =+=⋅4.5解：设A ，B 处的受力如图所示， 整体分析，由：()210,2202AB y MaF qa W a W a e =----=∑415By F K N =0,20Ay By Y F F W qa =+--=∑ 1785A y F K N =取BC 部分为研究对象()0,0CBy Bx M aF F a W a e =+--=∑ 191Bx F K N =-再以整体为研究对象0,191Ax XF KN ==∑4.7。
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ΣMB=0 3）解方程
M=800N· m。(图中
长度单位为mm)
试求支撑A和C处的
FAx A A FAy
x
约束力。
解： 1 、取梁 AB为研究对象。 例题：支撑阳台的水平梁所受的载荷可
2、受力分析，建立坐标。 以看作均布载荷q，从柱子上传下来的楼
3、列出平衡方程： ∑Fx=0
上的载荷可以看作集中力F，如图所示。 柱子轴线到墙面的距离为L，求梁插入端 的约束力。 ∑M (F)=0
i=1
n
FRx= Fix
其分量式为：
n
FRy= Fiy
i=1
i=1 n
力系的主矢
思考：力系的主矢和合力有什么区别？
力系主矢的特点：
对于给定的力系，主矢唯一； 主矢仅与各力的大小和方向有关，主矢不涉
及作用点和作用线,因而主矢是自由矢量，不是
一个力。
力系的主矩
主矩(Principal moment)：
移到刚体的任意点而不改变该力对刚体的作用.
F : 力;
O : 简化中心;
r F
: F与O 所在平面;
n : 平面的法线; en : n方向的单位矢.
4.1力向一点平移
r
r F F
力向一点平移
r
F
r
F
在O点作用什么力系才能使二者等效？
力向一点平移
加减平衡力系
F
r
( F , 二 者 等
Fx 0 0 0 0 0 Fx 0 F1 cos F2 cos F3 cos 0
Fy 0 F1 sin F2 sin F3 sin 0
M A 0 A，B两点连线不得与各力平行 M B 0
简化的含义
F2
F3 力系的简化,就是把较复杂的力 Mn
系用与其等效的较简单的力系 来代替。
F1
Fn Fn
力系的主矢
力系中所有力的矢量和称为力系的 主矢（Principal vector）。
Y P1
F1
P2
a1
F2
a2
F2 a0
F1 an-1 FR an Fn
Pn
Fn
X
力系的主矢
FR = Fi
-F
),
－F
效
F F
－F
F
力向一点平移
M
F
力向一点平移的结果 : 一个力和
一个力偶,力偶的力偶矩等于原来
力对平移点之矩.
力的平移定理
作用于刚体上任一点的力可平 移到刚体上任一点而不改变对刚体
的作用效应，但需增加一附加力偶， 附加力偶矩矢等于原力对新的作用
点之矩矢。
4.2 平面任意力系向一点简化
F 0 F 0 M (F ) 0
x y
O
4.3 平面任意力系的平衡条件
二、平面任意力系平衡方程的二力矩形式
F 0 M (F ) 0 M (F ) 0
x A
B
注意条件： A，B连线不垂直于Ox轴。
4.3 平面任意力系的平衡条件
三、平面任意力系平衡方程的三力矩形式
平面固定端约束
=
=
≠
=
平面任意力系简化的最后结果
FR ' FR ' 0
MO 0 MO
力系简化为合力偶
FR ' 0 M O 0 FR ' 0
MO 0
力系简化为合力
力系平衡
FR ' 0 M O 0
MO M o FRd FR FR FR d 其中 FR 可见，当主矢和主矩都不为零时，仍可以简化。
如图所示，组合梁由AC和CD两段铰接构成，起重机放在梁上。已知起
重机重P1=50kN，重心在铅直线EC上，起重载荷P2=10kN。如不计梁重，
求支座A、B和D三处的约束反力。
解：（一）取起重机为研究对象。 1 F (P M F 0, FNG 2 P NG 1 5P 2 ) 50 kN 1 1 P 2 5 0
M A 0 三矩式 M B 0 M 0 C
A，B，C三个取矩 点，不得共线。
平 面 任 意 力 系 平 衡 方 程 的 三 种 形 式
四、平面平行力系的平衡条件
平面平行力系：作用线在同一平面内并彼此平行的力系。 平面平行力系的平衡方程为两个，有两种形式： Fy 0 各力不得与投影轴垂直 M A 0
思考题
• P69,4-1 • P69,4-2 • P70,4-8
图示结构中，各构件 120120 120
FB B 120 C MM 120 120 FC
解：1）受力分析 2）杆AB平衡，列方程得：
的自重略去不计。在
构件 ΣF x =0 AB上作用一力 B B F’B y 300 300 C
ΣFy =0 偶，其力偶矩数值
Fy 0, FRA FRB FRD W2 W1 0
FRA P2 P1 FRB FRD 48.3 kN
课后作业
空间力系如图所示，其中力
偶矩M=24N·m，作用在Oxy
z 10N 4m O M x 4N 4m y 10N 3m
平面内，试求此力系向O点简
化的结果。
4.4 静定与静不定问题
当未知量的个数少于或者等于平衡方程数目时，应用刚
体平衡条件，可以求解全部未知量，这种问题称为“静 定问题”，相反，称为“静不定问题”或“超静定问 题”。
平面汇交力系，有两个平衡方程，可解两个未知量。
4.4 静定与静不定问题
平面平行力系，有两个平衡方程，可解两个未知量。
平面任意力系，有三个平衡方程，可解三个未知量。
P3 c b O P1
P3c-P1(a+b)=0 4、解方程可得;
L
满载时：P3=361kN
P2 x
y A
FNA a
B
FNB
空载时：P3=375kN 为保证起重机安全，平衡锤 重量应满足: 361kN≤P3≤375kN
三铰拱在顶部受到集度为q的均布载荷作用，各部分尺寸如图
所示。试求A、B两处的约束力FRA、FRB。
力系中所有的力对同一点
(矩心)之矩的矢量和。
n
MO =
n
MO(Fi)
=
i=1
i=1
riFi
力系的主矩
n
n
i=1 主矩的 n n 分量式 M = [ Mo(Fi)]y = My(Fi) oy i=1
i=1
Mox =
Mx(Fi) [ Mo(Fi)]x =i= 1
力系的主矩
若为O1点，如何?
平面任意力系的简化结果分析
=
主矢
FR 0 FR 0
主矩 最后结果 合力 MO 0
说明
合力作用线过简化中心
合力作用线距简化中心 M O
MO 0 MO 0 MO 0
合力 合力偶 平衡
FR
与简化中心的位置无关 与简化中心的位置无关
4.3 平面任意力系的平衡条件
力系等效的含义
对于运动效应 二者依然等效
FP´
FP
FP´
FP
对于变形效应 二者不等效
平面任意力Leabharlann 向一点简化FR ' 原力系的主矢
MO
原力系对简化 中心O的主矩
O
FR '
O
MO
若选取不同的简化中心，对主矢、主矩有无影响？
平面任意力系向一点简化
由此可见：
平面任意力系向作用面内任意点简化，一般可 得一力和一力偶。 这个力的作用线通过简化中心，其力矢称为力 系的主矢，它等于力系诸力的矢量和； 这个力偶作用于原平面，其力偶矩矢称为力系 对简化中心的主矩，它等于力系诸力对简化中心之 矩的代数和。
刚体系的平衡问题
刚体系：指若干刚体用约束联结起来的系统。
刚化原理：
变形体在已知力系的作用下处于平衡，若将变形后的变 形体换成刚体（刚化），则平衡状态不变。 刚体系的静力学求解过程与单个刚体时一致，但更加灵
活，解法也不只一种。
4.3 平面任意力系的平衡条件
一、平面任意力系平衡方程的基本形式 平面任意力系平衡的充分必要条件是力系的主矢和力系 对任一点的主矩都为零。
（二）取梁CD为研究对象
' M C 0, FN G 1 FRD 6 0 1 ' FRD FN G 8.33 kN 6
2
（三）取整体为研究对象
M A 0, FRB 3 FRD 12 W1 6 W2 10 0
1 FRB (6W1 10W2 12 FRD ) 100 kN 3
力系主矩的特点:
力系主矩MO与矩心O 的位置有关; 力系主矩是定位矢量,其作用点为
矩心。
力系等效的含义
FP
´
FP
等效力系定理(Theorem of equivalent force systems): 两力系对刚体运动效应相
对于运动效应
等的条件是主矢量相等以 FP
FP´
二 者 等 效 及对同一点的主矩相等。
M (F ) 0 M (F ) 0 M (F ) 0
A
B
注意条件： A，B，C不共线。
C
一般式
Fx 0 Fy 0 M 0 A
Fx 0 M A 0 M 0 B
A，B两个取矩点连线， 不得与投影轴垂直
二矩式
y
q
FP qL
C
h
1 FP1 qL 2 q
M=800N· m。(图中
长度单位为mm)
试求支撑A和C处的
FAx A A FAy
x
约束力。
解： 1 、取梁 AB为研究对象。 例题：支撑阳台的水平梁所受的载荷可
2、受力分析，建立坐标。 以看作均布载荷q，从柱子上传下来的楼
3、列出平衡方程： ∑Fx=0
上的载荷可以看作集中力F，如图所示。 柱子轴线到墙面的距离为L，求梁插入端 的约束力。 ∑M (F)=0
i=1
n
FRx= Fix
其分量式为：
n
FRy= Fiy
i=1
i=1 n
力系的主矢
思考：力系的主矢和合力有什么区别？
力系主矢的特点：
对于给定的力系，主矢唯一； 主矢仅与各力的大小和方向有关，主矢不涉
及作用点和作用线,因而主矢是自由矢量，不是
一个力。
力系的主矩
主矩(Principal moment)：
移到刚体的任意点而不改变该力对刚体的作用.
F : 力;
O : 简化中心;
r F
: F与O 所在平面;
n : 平面的法线; en : n方向的单位矢.
4.1力向一点平移
r
r F F
力向一点平移
r
F
r
F
在O点作用什么力系才能使二者等效？
力向一点平移
加减平衡力系
F
r
( F , 二 者 等
Fx 0 0 0 0 0 Fx 0 F1 cos F2 cos F3 cos 0
Fy 0 F1 sin F2 sin F3 sin 0
M A 0 A，B两点连线不得与各力平行 M B 0
简化的含义
F2
F3 力系的简化,就是把较复杂的力 Mn
系用与其等效的较简单的力系 来代替。
F1
Fn Fn
力系的主矢
力系中所有力的矢量和称为力系的 主矢（Principal vector）。
Y P1
F1
P2
a1
F2
a2
F2 a0
F1 an-1 FR an Fn
Pn
Fn
X
力系的主矢
FR = Fi
-F
),
－F
效
F F
－F
F
力向一点平移
M
F
力向一点平移的结果 : 一个力和
一个力偶,力偶的力偶矩等于原来
力对平移点之矩.
力的平移定理
作用于刚体上任一点的力可平 移到刚体上任一点而不改变对刚体
的作用效应，但需增加一附加力偶， 附加力偶矩矢等于原力对新的作用
点之矩矢。
4.2 平面任意力系向一点简化
F 0 F 0 M (F ) 0
x y
O
4.3 平面任意力系的平衡条件
二、平面任意力系平衡方程的二力矩形式
F 0 M (F ) 0 M (F ) 0
x A
B
注意条件： A，B连线不垂直于Ox轴。
4.3 平面任意力系的平衡条件
三、平面任意力系平衡方程的三力矩形式
平面固定端约束
=
=
≠
=
平面任意力系简化的最后结果
FR ' FR ' 0
MO 0 MO
力系简化为合力偶
FR ' 0 M O 0 FR ' 0
MO 0
力系简化为合力
力系平衡
FR ' 0 M O 0
MO M o FRd FR FR FR d 其中 FR 可见，当主矢和主矩都不为零时，仍可以简化。
如图所示，组合梁由AC和CD两段铰接构成，起重机放在梁上。已知起
重机重P1=50kN，重心在铅直线EC上，起重载荷P2=10kN。如不计梁重，
求支座A、B和D三处的约束反力。
解：（一）取起重机为研究对象。 1 F (P M F 0, FNG 2 P NG 1 5P 2 ) 50 kN 1 1 P 2 5 0
M A 0 三矩式 M B 0 M 0 C
A，B，C三个取矩 点，不得共线。
平 面 任 意 力 系 平 衡 方 程 的 三 种 形 式
四、平面平行力系的平衡条件
平面平行力系：作用线在同一平面内并彼此平行的力系。 平面平行力系的平衡方程为两个，有两种形式： Fy 0 各力不得与投影轴垂直 M A 0
思考题
• P69,4-1 • P69,4-2 • P70,4-8
图示结构中，各构件 120120 120
FB B 120 C MM 120 120 FC
解：1）受力分析 2）杆AB平衡，列方程得：
的自重略去不计。在
构件 ΣF x =0 AB上作用一力 B B F’B y 300 300 C
ΣFy =0 偶，其力偶矩数值
Fy 0, FRA FRB FRD W2 W1 0
FRA P2 P1 FRB FRD 48.3 kN
课后作业
空间力系如图所示，其中力
偶矩M=24N·m，作用在Oxy
z 10N 4m O M x 4N 4m y 10N 3m
平面内，试求此力系向O点简
化的结果。
4.4 静定与静不定问题
当未知量的个数少于或者等于平衡方程数目时，应用刚
体平衡条件，可以求解全部未知量，这种问题称为“静 定问题”，相反，称为“静不定问题”或“超静定问 题”。
平面汇交力系，有两个平衡方程，可解两个未知量。
4.4 静定与静不定问题
平面平行力系，有两个平衡方程，可解两个未知量。
平面任意力系，有三个平衡方程，可解三个未知量。
P3 c b O P1
P3c-P1(a+b)=0 4、解方程可得;
L
满载时：P3=361kN
P2 x
y A
FNA a
B
FNB
空载时：P3=375kN 为保证起重机安全，平衡锤 重量应满足: 361kN≤P3≤375kN
三铰拱在顶部受到集度为q的均布载荷作用，各部分尺寸如图
所示。试求A、B两处的约束力FRA、FRB。
力系中所有的力对同一点
(矩心)之矩的矢量和。
n
MO =
n
MO(Fi)
=
i=1
i=1
riFi
力系的主矩
n
n
i=1 主矩的 n n 分量式 M = [ Mo(Fi)]y = My(Fi) oy i=1
i=1
Mox =
Mx(Fi) [ Mo(Fi)]x =i= 1
力系的主矩
若为O1点，如何?
平面任意力系的简化结果分析
=
主矢
FR 0 FR 0
主矩 最后结果 合力 MO 0
说明
合力作用线过简化中心
合力作用线距简化中心 M O
MO 0 MO 0 MO 0
合力 合力偶 平衡
FR
与简化中心的位置无关 与简化中心的位置无关
4.3 平面任意力系的平衡条件
力系等效的含义
对于运动效应 二者依然等效
FP´
FP
FP´
FP
对于变形效应 二者不等效
平面任意力Leabharlann 向一点简化FR ' 原力系的主矢
MO
原力系对简化 中心O的主矩
O
FR '
O
MO
若选取不同的简化中心，对主矢、主矩有无影响？
平面任意力系向一点简化
由此可见：
平面任意力系向作用面内任意点简化，一般可 得一力和一力偶。 这个力的作用线通过简化中心，其力矢称为力 系的主矢，它等于力系诸力的矢量和； 这个力偶作用于原平面，其力偶矩矢称为力系 对简化中心的主矩，它等于力系诸力对简化中心之 矩的代数和。
刚体系的平衡问题
刚体系：指若干刚体用约束联结起来的系统。
刚化原理：
变形体在已知力系的作用下处于平衡，若将变形后的变 形体换成刚体（刚化），则平衡状态不变。 刚体系的静力学求解过程与单个刚体时一致，但更加灵
活，解法也不只一种。
4.3 平面任意力系的平衡条件
一、平面任意力系平衡方程的基本形式 平面任意力系平衡的充分必要条件是力系的主矢和力系 对任一点的主矩都为零。
（二）取梁CD为研究对象
' M C 0, FN G 1 FRD 6 0 1 ' FRD FN G 8.33 kN 6
2
（三）取整体为研究对象
M A 0, FRB 3 FRD 12 W1 6 W2 10 0
1 FRB (6W1 10W2 12 FRD ) 100 kN 3
力系主矩的特点:
力系主矩MO与矩心O 的位置有关; 力系主矩是定位矢量,其作用点为
矩心。
力系等效的含义
FP
´
FP
等效力系定理(Theorem of equivalent force systems): 两力系对刚体运动效应相
对于运动效应
等的条件是主矢量相等以 FP
FP´
二 者 等 效 及对同一点的主矩相等。
M (F ) 0 M (F ) 0 M (F ) 0
A
B
注意条件： A，B，C不共线。
C
一般式
Fx 0 Fy 0 M 0 A
Fx 0 M A 0 M 0 B
A，B两个取矩点连线， 不得与投影轴垂直
二矩式
y
q
FP qL
C
h
1 FP1 qL 2 q