第四章平面任意力系

y
q
FP qL
C
h
1 FP1 qL 2 q
FCx
FCy
C
FAx
A
B L/2 L/2
x
FBy
FAx
A
FAy
FBx
FAy
L 4
FAx FBx ?
qL FAy FBy 2
qL2 FAx FBx 8h
M 0 , FNG 2 W1 1 W2 5 0 W kN F 50 1
-F
),
－F
效
F F

－F
F
力向一点平移
M
F
力向一点平移的结果 : 一个力和
一个力偶,力偶的力偶矩等于原来
力对平移点之矩.
力的平移定理
作用于刚体上任一点的力可平 移到刚体上任一点而不改变对刚体
的作用效应，但需增加一附加力偶， 附加力偶矩矢等于原力对新的作用
点之矩矢。
4.2 平面任意力系向一点简化
A
FAx=0
∑Fy=0 FAy-qL-F=0
MA-qL2/2-FL=0
4、解方程可得：FAx=0； FAy=qL+F； MA=qL2/2+FL q F y
A
L
B
MA
FAy q B
F x
FAx A
解： 1、取起重机和重物为研究对象。 例题：行走式起重机如图所示。机架重量P1=500kN， 2、受力分析。满载时，考虑将翻未翻的临界状态。 重心在O点。起重机最大吊起重量P2=250kN。要保证起 FNA=0，此时应满足平衡方程。而空载时，同样在将翻未翻 重机在空载和满载时都不会翻倒，平衡锤的重量 P3应 的临界状态有 FNB=0。 满载时有：∑MB=0 取多大？ a=3m;b=1.5m;c=6m;L=10m. 3、列出平衡方程： P3(a+c)-P1b-P2L=0 空载时有： ∑MA=0
刚体系的平衡问题
刚体系：指若干刚体用约束联结起来的系统。
刚化原理：
变形体在已知力系的作用下处于平衡，若将变形后的变 形体换成刚体（刚化），则平衡状态不变。 刚体系的静力学求解过程与单个刚体时一致，但更加灵
活，解法也不只一种。
4.3 平面任意力系的平衡条件
一、平面任意力系平衡方程的基本形式 平面任意力系平衡的充分必要条件是力系的主矢和力系 对任一点的主矩都为零。
力系等效的含义
对于运动效应 二者依然等效
FP´
FP
FP´
FP
对于变形效应 二者不等效
平面任意力系向一点简化
FR ' 原力系的主矢
MO
原力系对简化 中心O的主矩
O
FR '
O
MO
若选取不同的简化中心，对主矢、主矩有无影响？
平面任意力系向一点简化
由此可见：
平面任意力系向作用面内任意点简化，一般可 得一力和一力偶。 这个力的作用线通过简化中心，其力矢称为力 系的主矢，它等于力系诸力的矢量和； 这个力偶作用于原平面，其力偶矩矢称为力系 对简化中心的主矩，它等于力系诸力对简化中心之 矩的代数和。
简化的含义
F2
F3 力系的简化,就是把较复杂的力 Mn
系用与其等效的较简单的力系 来代替。
F1
Fn Fn
力系的主矢
力系中所有力的矢量和称为力系的 主矢（Principal vector）。
Y P1
F1
P2
a1
F2
a2
F2 a0
F1 an-1 FR an Fn
Pn
Fn
X
力系的主矢
FR = Fi
若为O1点，如何?
平面任意力系的简化结果分析
=
主矢
FR 0 FR 0
主矩 最后结果 合力 MO 0
说明
合力作用线过简化中心
合力作用线距简化中心 M O
MO 0 MO 0 MO 0
合力 合力偶 平衡
FR
与简化中心的位置无关 与简化中心的位置无关
4.3 平面任意力系的平衡条件
ΣMB=0 3）解方程
M=800N· m。(图中
长度单位为mm)
试求支撑A和C处的
FAx A A FAy
x
约束力。
解： 1 、取梁 AB为研究对象。 例题：支撑阳台的水平梁所受的载荷可
2、受力分析，建立坐标。 以看作均布载荷q，从柱子上传下来的楼
3、列出平衡方程： ∑Fx=0
上的载荷可以看作集中力F，如图所示。 柱子轴线到墙面的距离为L，求梁插入端 的约束力。 ∑M (F)=0
F 0 F 0 M (F ) 0
x y
O
4.3 平面任意力系的平衡条件
二、平面任意力系平衡方程的二力矩形式
F 0 M (F ) 0 M (F ) 0
x A
B
注意条件： A，B连线不垂直于Ox轴。
4.3 平面任意力系的平衡条件
三、平面任意力系平衡方程的三力矩形式
力系中所有的力对同一点
(矩心)之矩的矢量和。
n
MO =
n
MO(Fi)
=
i=1

i=1

riFi
力系的主矩
n
n
i=1 主矩的 n n 分量式 M = [ Mo(Fi)]y = My(Fi) oy i=1
i=1
Mox =
Mx(Fi) [ Mo(Fi)]x =i= 1
力系的主矩
Fy 0, FRA FRB FRD W2 W1 0
FRA P2 P1 FRB FRD 48.3 kN
课后作业
空间力系如图所示，其中力
偶矩M=24N·m，作用在Oxy
z 10N 4m O M x 4N 4m y 10N 3m
平面内，试求此力系向O点简
化的结果。
P3 c b O P1
P3c-P1(a+b)=0 4、解方程可得;
L
满载时：P3=361kN
P2 x
y A
FNA a
B
FNB
空载时：P3=375kN 为保证起重机安全，平衡锤 重量应满足: 361kN≤P3≤375kN
三铰拱在顶部受到集度为q的均布载荷作用，各部分尺寸如图
所示。试求A、B两处的约束力FRA、FRB。
（二）取梁CD为研究对象
' M C 0, FN G 1 FRD 6 0 1 ' FRD FN G 8.33 kN 6
2
（三）取整体为研究对象
M A 0, FRB 3 FRD 12 W1 6 W2 10 0
1 FRB (6W1 10W2 12 FRD ) 100 kN 3
力系主矩的特点:
力系主矩MO与矩心O 的位置有关; 力系主矩是定位矢量,其作用点为
矩心。
力系等效的含义
FP
´
FP
等效力系定理(Theorem of equivalent force systems): 两力系对刚体运动效应相
对于运动效应
等的条件是主矢量相等以 FP
FP´
二 者 等 效 及对同一点的主矩相等。
如图所示，组合梁由AC和CD两段铰接构成，起重机放在梁上。已知起
重机重P1=50kN，重心在铅直线EC上，起重载荷P2=10kN。如不计梁重，
求支座A、B和D三处的约束反力。
解：（一）取起重机为研究对象。 1 F (P M F 0, FNG 2 P NG 1 5P 2 ) 50 kN 1 1 P 2 5 0
M A 0 三矩式 M B 0 M 0 C
A，B，C三个取矩 点，不得共线。
平 面 任 意 力 系 平 衡 方 程 的 三 种 形 式
四、平面平行力系的平衡条件
平面平行力系：作用线在同一平面内并彼此平行的力系。 平面平行力系的平衡方程为两个，有两种形式： Fy 0 各力不得与投影轴垂直 M A 0
平面固定端约束
=
=
≠
=
平面任意力系简化的最后结果
FR ' FR ' 0
MO 0 MO
力系简化为合力偶
FR ' 0 M O 0 FR ' 0
MO 0
力系简化为合力
力系平衡
FR ' 0 M O 0
MO M o FRd FR FR FR d 其中 FR 可见，当主矢和主矩都不为零时，仍可以简化。
移到刚体的任意点而不改变该力对刚体的作用.
F : 力;
O : 简化中心;
r F
: F与O 所在平面;
n : 平面的法线; en : n方向的单位矢.
4.1力向一点Leabharlann Baidu移
r
r F F

力向一点平移
r
F
r
F
在O点作用什么力系才能使二者等效？

力向一点平移
加减平衡力系
F
r
( F , 二 者 等
思考题
• P69,4-1 • P69,4-2 • P70,4-8
图示结构中，各构件 120120 120
FB B 120 C MM 120 120 FC
解：1）受力分析 2）杆AB平衡，列方程得：
的自重略去不计。在
构件 ΣF x =0 AB上作用一力 B B F’B y 300 300 C
ΣFy =0 偶，其力偶矩数值
M (F ) 0 M (F ) 0 M (F ) 0
A
B
注意条件： A，B，C不共线。
C
一般式
Fx 0 Fy 0 M 0 A
Fx 0 M A 0 M 0 B
A，B两个取矩点连线， 不得与投影轴垂直
二矩式
Fx 0 0 0 0 0 Fx 0 F1 cos F2 cos F3 cos 0
Fy 0 F1 sin F2 sin F3 sin 0
M A 0 A，B两点连线不得与各力平行 M B 0
第四章
平面任意力系
力系的概念
两个或两个以 上的力所构成的系
F2 F1
M1
统称为力系,又称
力的集合。
F3
Mn
Fn
l力系的分类 平面力系 空间力系
如何简化？
平面汇交力系 平面平行力系 平面任意力系 平面力偶系 空间汇交力系 空间平行力系 空间任意力系 空间力偶系
力的可传递性原理：作用在刚体上某点的力，可沿其作用线
4.4 静定与静不定问题
当未知量的个数少于或者等于平衡方程数目时，应用刚
体平衡条件，可以求解全部未知量，这种问题称为“静 定问题”，相反，称为“静不定问题”或“超静定问 题”。
平面汇交力系，有两个平衡方程，可解两个未知量。
4.4 静定与静不定问题
平面平行力系，有两个平衡方程，可解两个未知量。
平面任意力系，有三个平衡方程，可解三个未知量。
i=1
n
FRx= Fix
其分量式为：
n
FRy= Fiy
i=1
i=1 n
力系的主矢
思考：力系的主矢和合力有什么区别？
力系主矢的特点：
对于给定的力系，主矢唯一； 主矢仅与各力的大小和方向有关，主矢不涉
及作用点和作用线,因而主矢是自由矢量，不是
一个力。
力系的主矩
主矩(Principal moment)：