新人教A版必修5高中数学第三章3.3.2简单的线性规划问题(一)导学案

3．3.2 简单的线性规划问题(一)

课时目标

1．了解线性规划的意义．

2．会求一些简单的线性规划问题．

名称意义

约束条件由变量x，y组成的不等式或方程

线性约束条

件

由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式

组

目标函数

欲求最大值或最小值所涉及的变量x，y的函

数解析式

线性目标函

数

关于x，y的一次解析式

可行解满足线性约束条件的解(x，y)

可行域所有可行解组成的集合

最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问

题

在线性约束条件下求线性目标函数的最大值

或最小值问题

一、选择题

1．若实数x，y满足不等式组

⎩⎪

⎨

⎪⎧x＋3y－3≥0，

2x－y－3≤0，

x－y＋1≥0，

则x＋y的最大值为( )

A．9 B.

15

7

C．1 D.

7

15

答案 A

解析画出可行域如图：

当直线y ＝－x ＋z 过点A 时，z 最大．

由⎩⎪⎨⎪⎧

2x －y －3＝0，x －y ＋1＝0

得A (4,5)，∴z max ＝4＋5＝9.

2．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＋y ≤4，y ≥x ，

x ≥1，

则x 2＋y 2的

最大值为( )

A.10 B ．8 C ．16 D ．

10

答案 D

解析 画出不等式组对应的可行域如下图所示： 易得A (1,1)，|OA |＝2，B (2,2)， |OB |＝22，

C (1,3)，|OC |＝10.

∴(x 2＋y 2)max ＝|OC |2＝(10)2＝10.

3．在坐标平面上有两个区域M 和N ，其中区域M ＝

⎩

⎪⎨⎪

⎧⎭

⎪⎬⎪⎫

x ，y ⎩⎪⎨⎪

⎧

y ≥0y ≤x y ≤2－x

，区域N ＝{(x ，y )|t ≤x ≤t ＋

1,0≤t ≤1}，区域M 和N 公共部分的面积用函数f (t )表示，则f (t )

的表达式为( )

A ．－t 2

＋t ＋12 B ．－2t 2＋2t

C ．1－12t 2 D.1

2(t －2)2

答案 A

解析

作出不等式组⎩⎪⎨⎪

⎧

y ≥0y ≤x

y ≤2－x

所表示的平面区域．

由t ≤x ≤t ＋1,0≤t ≤1，得

f (t )＝S △OEF －S △AOD －S △BFC

＝1－12t 2－1

2

(1－t )2

＝－t 2＋t ＋1

2

.

4．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧

x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0，

x ＋y －8≤0，则目标函数

z ＝3x －4y 的最大值和最小值分别为( )

A ．3，－11

B ．－3，－11

C ．11，－3

D ．11,3 答案 A

解析 作出可行域如图阴影部分所示，由图可知z ＝3x －4y 经过点A 时z 有最小值，经过点B 时z 有最大值．易求A (3,5)，B (5,3)．∴z 最大＝3×5－4×3＝3，z 最小＝3×3－4×5＝－

11.

5设不等式组⎩⎪⎨⎪

⎧

x ≥1，x －2y ＋3≥0

y ≥x

，所表示的平面区域是Ω1，平

面区域Ω2与Ω1关于直线3x －4y －9＝0对称．对于Ω1中的任意点A

与Ω2中的任意点B ，则|AB |的最小值为( )

A.285 B ．4 C.12

5 D ．2 答案 B

解析 如图所示．由约束条件作出可行域，得D (1,1)，E (1,2)，C (3,3)．

要求|AB |min ，可通过求D 、E 、C 三点到直线3x －4y －9＝0距离最小值的2倍来求．

经分析，D (1,1)到直线3x －4y －9＝0的距离d ＝|3×1－4×1－9|

5

＝2最小，∴|AB |min ＝

4.

二、填空题 6．设变量

x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＋y ≥3，x －y ≥－1，

2x －y ≤3.

则目标函数z

＝2x ＋3y 的最小值为________．

答案 7

解析 作出可行域如图所示．

由图可知，z ＝2x ＋3y 经过点A (2,1)时，z 有最小值，z 的最小值为7.

7．已知－1

答案 (3,8)

解析 由⎩⎪⎨

⎪⎧

－1

2

得平面区域如图阴影部分所示．

由⎩⎪⎨⎪⎧

x ＋y ＝－1，x －y ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝1，y ＝－2.

由⎩⎪⎨⎪⎧

x ＋y ＝4，x －y ＝2

得⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝3，y ＝1.

∴2×3－3×1

即3

8．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧

x ＋2y －5≤0，

x ≥1，

y ≥0，

x ＋2y －3≥0，

则y

x

的最大值为________．

答案 2

解析

画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧

x ＋2y －5≤0，

x ≥1，

y ≥0，

x ＋2y －3≥0

对应的平面区域

Ω，y x ＝y －0

x －0

表示平面区域Ω上的点P (x ，y )与原点的连线的斜率．

A (1,2)，

B (3,0)，∴0≤y

x

≤2.

三、解答题