平面与平面垂直的性质 公开课一等奖课件

2．平面与平面垂直的性质 (1)性质定理可简述为：面面垂直，则线面垂直． (2)性质定理是作线面垂直的依据和方法，在解决二面角问题 中作二面角的平面角经常用到． 这种线面垂直与面面垂直间的相互 转化，是我们立体几何中求解(证)问题的重要思想方法． (3)平面与平面垂直性质定理的推论 如果两个平面互相垂直， 那么经过第一个平面内的一点垂直于 第二个平面的直线，在第一个平面内．
【答案】MN⊥AB
பைடு நூலகம்
4．给出下列命题： ①如果 α⊥β，那么 α 内所有直线都垂直于平面 β； ②如果 α⊥β，那么 α 内一定存在直线平行于平面 β； ③如果 α 不垂直于 β， 那么 α 内一定不存在直线垂直于平面 β； ④如果 α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，那么 l⊥γ. 其中正确命题的序号是________．
【答案】A
2.已知平面α ⊥平面β ,点 A∈α ,则过点 A 且垂直于平面β 的 直线( ) A.只有一条,不一定在平面α 内 B.有无数条,不一定在平面α 内 C.只有一条,一定在平面α 内 D.有无数条,一定在平面α 内
【答案】C
3．长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，MN 在平面 BCC1B1 内，MN ⊥BC 于 M，则 MN 与 AB 的位置关系是________．
证明： (1)∵SA⊥平面 AC，BC⊂平面 AC， ∴SA⊥BC. ∵ABCD 为矩形，∴AB⊥BC，∴BC⊥平面 SAB， ∴BC⊥AE. 又 AE⊥SB，∴AE⊥平面 SBC，∴AE⊥SC. 又 EF⊥SC，∴SC⊥平面 AEF，∴AF⊥SC. (2)∵SA⊥平面 AC，∴SA⊥DC， 又 AD⊥DC，∴DC⊥平面 SAD，∴DC⊥AG. 又由(1)有 SC⊥平面 AEF，AG⊂平面 AEF， ∴SC⊥AG，∴AG⊥平面 SDC，∴AG⊥SD.
3．线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的关系 线面垂直关系是线线垂直、 面面垂直关系的枢纽， 通过线面垂 直可以实现线线垂直和面面垂直关系的相互转化，即： 直线与平面垂直的判定定理 直线与直线垂直 直线与平面垂直 直线与平面垂直的定义 平面与平面垂直的判定定理 平面与平面垂直． 平面与平面垂直的性质定理
自学导引 1．直线与平面垂直的性质定理 文字 平行 垂直于同一个平面的两条直线________ 语言 a⊥α 符号 ⇒________ a∥b 语言 b⊥α 图形 语言 作 ①线面垂直⇒线线平行② 用 作平行线
2．面面垂直的性质定理 文字语言
一个平面内 垂直于________ 交线 两个平面垂直， 则_____________ 的直线与另一个平面________ 垂直
题型二
面面垂直性质定理的应用
【例 2】 如图，将一副三角板拼接，使它们有公共边 BC，且 使两个三角形所在的平面互相垂直， 若∠A＝90° ， AB＝AC， ∠BCD ＝90° ，∠D＝60° . (1)求证：平面 ABD⊥平面 ACD； (2)求二面角 A－BD－C 的正切值． 思路点拨： 证面面垂直的常用方法是找出一个平面内的一条直 线与另一个平面垂直；(2)关键是找出二面角的平面角．
α⊥β α∩β＝l a⊂α
符号语言
a⊥l
图形语言 作用
⇒a⊥β
线面 垂直②作面的垂线 ①面面垂直⇒________
自主探究 探究 1：直线 a∥直线 b，a⊥平面 α，则 b 与 α 的位置关系如 何？ 【答案】 b⊥α.如图所示， 已知 a∩α＝A， b∩α＝B， 过 B 作 b′ ⊥α，则 b′∥a，而过线外一点作线的平行线有且只有一条，故 b 与 b′重合，∴b⊥α.
1．如图所示，已知 SA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面，过 A 且垂直于 SC 的平面分别交 SB，SC，SD 于点 E，F，G.求证：AE ⊥SB.
证明： ∵SC⊥平面 AEFG，AE⊂平面 AEFG， ∴AE⊥SC.在正方形 ABCD 中，BC⊥AB. ∵SA⊥平面 ABCD，BC⊂平面 ABCD，∴SA⊥BC. ∵SA∩AB＝A，∴BC⊥平面 SAB. 又∵AE⊂平面 SAB，∴AE⊥BC. ∵SC∩BC＝C，∴AE⊥平面 SBC，而 SB⊂平面 SBC，∴AE ⊥SB.
典例剖析 题型一 线面垂直性质定理的应用
【例 1】 如图，已知矩形 ABCD，过 A 作 SA⊥平面 AC，再 过 A 作 AE⊥SB 交 SB 于 E，过 E 作 EF⊥SC 交 SC 于 F. (1)求证：AF⊥SC； (2)若平面 AEF 交 SD 于 G，求证：AG⊥SD. 思路点拨： 利用线面垂直的性质得线线垂直， 再利用线线垂直 得证．
探究 2：由线面垂直的性质定理，知垂直于同一个平面的两条 直线平行，试问垂直于同一个平面的两个平面平行吗？
【答案】可能平行，也可能相交．
预习测评 1．下列说法中正确的是( ) ①过平面外一点有且仅有一条直线和已知平面垂直； ②过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线垂直； ③过平面外一点可作无数条直线与已知平面平行； ④过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直． A．①②③ B．①②③④ C．②③ D．②③④
(2)取 BC 中点 E，连 AE， ∵AB＝AC， ∴AE⊥BC，又平面 ABC⊥平面 BCD， ∴AE⊥平面 BCD. 过 E 作 EO⊥BD 于 O， 连 OA， 由 AE⊥平面 BCD 得 AE⊥BD， 由 OE⊥BD， ∴BD⊥平面 AOE， ∴BD⊥OA. ∴∠AOE 即为二面角 A－BD－C 的平面角． 在 Rt△AOE 中，∠AEO＝90° ， 3 设 DC＝a，则 BD＝2a，BC＝ 3a，AE＝BE＝ a， 2
【答案】②③④
要点阐释 1．直线与平面垂直的其他性质 (1)如果一条直线和一个平面垂直， 则这条直线和这个平面内任 一条直线垂直． (2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面， 则另一条也垂直于 这个平面． (3)若 l⊥α 于 A，AP⊥l，则 AP⊂α. (4)垂直于同一条直线的两个平面平行． (5)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个， 则它必垂直于 另一个平面．
证明： (1) DC⊥BC DC⊂平面BCD DC⊥平面ABC ⇒ ⇒ 平面ABC∩平面BCD＝BC AB⊂平面ABC 平面ABC⊥平面BCD AB⊥DC AB⊥平面ADC ⇒平面 ABD⊥平面 ADC. AB⊥AC ⇒ AB⊂平面ABD DC∩AC＝C