离散数学第四章 谓词演算的推理理论 归结推理系统

得到子句： A(a), N(y) W(a，y)
例 (p47,续)
要证明的结论为：有些作品不是小说。 x(B(x)N(x))
否定结论得到： x(B(x)N(x)) = x(B(x)N(x)) B(x)N(x)
得到子句： B(x)N(x)
例 (p47, 归结)
(1) A(x1)B(f(x1)) (2) A(x2)W(x2，f(x2)) (3) A(a) (4) N(y)W(a，y) (5) B(x)N(x) (6) A(x1) N(f(x1)) (7) N(f(a)) (8) W(a，f(a)) (9) A(a) (10) 口
(6)利用分配律化为合取范式 原式 P(a)(A(z)B(f(z))) (A(z)W(z，f(z)))
(7)消去合取词得子句集 此时公式中只含有一些文字的析取 P(a), A(z)B(f(z)), A(z)W(z，f(z))
(8)改变变量的名称： 改名使得每个变量符号不出现在一个以上的子句中 P(a), A(z1)B(f(z1)), A(z2)W(z2，f(z2))
二、一般归结
只需寻找一个置换，把它们作用到母体子句上 使它们含有互补的文字对(如P和P) 。
例 设有 P(x，g(a))Q(y) P(z，g(a))Q(z)
可得归结式如下：
Q(y) Q(z)
{ z/x}
Q(y) Q(x) P(x，g(a))P(z，g(a))
{ x/z} { z/y}
{ f(x1)/x} (5)(1)归结 { a/x1} (6)(3)归结
{ f(a)/y} (7)(4)归结 { a/x2} (8)(2)归结 (9)(3)归结
补充习题
任何人如果喜欢步行，他就不喜欢乘汽车；每 个人或者喜欢乘汽车，或者喜欢骑自行车；有 的人不喜欢骑自行车，因而有的人不爱步行。 试用归结原理证明之。
例(p46-47) xP(x)x(A(x)y(B(y)W(x，y)))
解: (1)消去蕴含词
xP(x)x(A(x)y(B(y)W(x，y))) (2)约束变元改名：
利用改名方法对上式施行改名，以保证每一个量词 约束的变元不同名。 xP(x)z(A(z)y(B(y)W(z，y)))
基于规则的演绎系统(产生式系统)——根据这些事 实和规则来证明目标公式，这种推理强调使用规则 进行演绎，直观易于理解。
正向演绎系统、逆向演绎系统
推理
事实表达式
目标表达式
推理
事实表达式
目标表达式
关于规则的约定
约定作为规则的一些公式限制为如下形式的公式：
WL
这些产生式规则和事实应满足下列条件： (1)L是单文字（原子公式或原子公式的否定），
归结反演系统——产生式系统
子句集看作为一个综合数据库， 而规则表就是归结，表中的规则用到数据库中的
子句对，产生一个新的子句，把新子句加入数据 库中产生新的数据库，形成新的归结，重复此过 程，观察数据库中是否含有空子句。
例 (p47)已知知识：
(1)每个作家均写过作品； (2)有些作家没写过小说； 结论：有些作品不是小说。
(3)化为前束范式 xzy(P(x)(A(z)(B(y)W(z，y))))
(4)消去存在量词(按Skolem标准形) 原式z(P(a)(A(z)(B(f(z))W(z，f(z)))))
例 (p47)
(5)消去全称量词(直接去掉) 原式 P(a)(A(z)(B(f(z))W(z，f(z))))
(8)(3)归结
注意：归结时使用了未讨论过的置换的概念。
4.3.1 置换
——项对变量的替换。 置换准则为：
(1)置换必须处处进行。
(2)要求没有变量被含有同一变量的项来代替。 如表达式P(x,g(x),b)中的x不能用含有x的 项f(x)来置换，即P(f(x),g(f(x)),b)是错误的 置换。
例 已知表达式 P(x，g(y)，b)，考察置换:
P(x，g(a)，b) P(a，g(b)，b) P(f(y)，g(a)，b)
{a/y} {a/x，b/y } {f(y)/x，a/y }
一般地，置换可通过有序对的集合 {t1/v1，t2/v2，…，tn/vn}
来表达，其中ti/vi表示变量vi处处以项ti来代替。
证明：令 A(e)表示“e为作家”； B(e)表示“e为作品”； N(e)表示“e为小说”； W(e1，e2)表示“e1 写了 e2”
知识可以符号化如下： (1) x(A(x)y(B(y)W(x，y))) (2) x(A(x)y(N(y)W(x，y)))
例 (p47, 求子句)
(1) x(A(x)y(B(y)W(x，y))) = x(A(x) y(B(y)W(x，y))) = x y (A(x) (B(y)W(x，y))) x (A(x) (B(f(x))W(x，f(x)))) A(x) (B(f(x))W(x，f(x))) = (A(x) B(f(x))) (A(x) W(x，f(x))) 得到子句：
二、霍恩子句逻辑程序
定义1：子句
L1L2…Ln
中，如果至多只含有一个正文字，那么该子句称
为霍恩子句。
霍恩子句PQ1Q2…Qn通常表示为： PQ1，Q2，…，Qn
霍恩子句必为下列四种形式之一：
(1)PQ1，Q2，…，Qn (2)P (3)Q1，Q2，…，Qn (4)口(空子句)
(PQ)R 化为等价的析取式
P Q R ， 往往会丢失可能包含在蕴含式中的重要的超逻 辑的控制信息。
基于规则的演绎系统
将知识分为两类：
一类是规则，其由蕴含式表示，它表达了有关领
域的一般知识，且可作为产生式规则来使用；
另一类是事实，其由不包P2…Pn)(Q1Q2…Qm) 如果约定蕴含前件的文字之间恒为合取，而蕴含后件的 文字之间恒为析取，那么上式可改写为如下形式：
P1，P2，…，PnQ1，Q2，…，Qm
子句的性质
(1) Q1，Q2，…，Qm，等价于Q1Q2…Qm； 而 P1，P2，…，Pn等价于P1P2…Pn。 当m=n=0时，表示空子句。
(2)当子句C： Q1，Q2，…，Qm P1，P2，…，Pn
和子句C ： Q1 ，Q2 ，…，Qs P1 ，P2 ，…，Pt
中有Qi和Pj ，(或Pi和Qj )相同，则C和C 可进行归结。 (3)要证明定理
A1A2…AnB， 只要将
A1A2…AnB 化为子句集，并证明其不可满足，即用以上方式归结出空子句。
对应语句(1)至(3)的子句集为： (1) R(x1) L(x1) (2) H(x2) L(x2) (3) H(a) (4) I(a) 其中子句(3)(4)为对(3)式SKOLEM化而得，a为 SKOLEM常量。 要证明的定理的否定式为：
x(I(x)R(x)), 即 x(I(x)R(x)) 化为子句形式为(5)： (5) I(x3)R(x3)
A(x1)B(f(x1))，A(x2)W(x2，f(x2))
例 (p47,续)
(2) x(A(x)y(N(y)W(x，y))) = x(A(x)y(N(y) W(x，y))) = x y (A(x) (N(y) W(x，y))) y (A(a) (N(y) W(a，y))) A(a) (N(y) W(a，y))
事实上即使L不是单文字，也可把该蕴含式化为多重规 则。 如：W(L1L2)等价于规则对WL1和WL2；
(2)W是任一公式(假设是与或形公式,本书限为合取式)。
一、子句的蕴含表示形式
一个子句是若干文字的析取，一般地， C = P1P2…PnQ1Q2…Qm
其中，Pi和Qi为谓词，变元被省略。 可以表示为：
引例 (p45，归结)
(1) R(x1) L(x1) (2) H(x2) L(x2) (3) H(a)
(4) I(a)
(5) I(x3)R(x3) (6) R(a) (7) L(a) (8) H(a) (9) □
{a/ x3}(4)(5)归结 {a/ x1}(6)(1)归结 {a/ x2}(7)(2)归结
三、归结反演算系统的应用
在人工智能领域中的规划生成问题。
例(p48)给机器人r 编制一程序，使它能够登 上一只椅子c以取下挂在房顶的香蕉b。
4.3.3 霍恩子句逻辑程序
一、子句的蕴含表示形式 二、霍恩子句逻辑程序
超逻辑的控制信息
许多人工智能系统中使用的知识是由一般的蕴 含表达式来表示的。如果把蕴含式
第四章 谓词演算的推理理论
4.1 谓词演算的永真推理系统 4.2谓词演算的假设推理系统 4.3谓词演算的归结推理系统
4.3.1 置换 4.2.2 归结反演系统 4.3.3 霍恩子句逻辑程序
4.3 谓词演算的归结推理系统
问题：从公式集S出发，证明目标公式T。
在归结系统中: 首先否定目标公式， 然后将这个公式加到公式集S中， 再将该公式化成子句集， 若能归结成空子句(用□表示)， 则认为证明了该公式T。
引例(p45)
设有语句串及它的符号表示如下： (1)无论谁能读就有知识；x(R(x) L(x)) (2)所有的海豚均没有知识；x(H(x) L(x)) (3)有些海豚有智慧。x(H(x)I(x))
从这些语句出发，证明语句： (4)一些有智慧的个体不能读。x(I(x)R(x))
引例 (p45，提取子句)
n0 n=0 n0 上式n=0
(1) P Q1，Q2，…，Qn
(2) P (3) Q1，Q2，…，Qn (4) 口
∃x(P(x) ∧ W(x) ) 结论的否定为：
∀ x( P(x) ∨ W(x))
证明(续)
(1) P(x1)W(x1) D(x1) (2) P(x2)D(x2) R(x2) (3) P(a) (4) R(a) (5) P(x)W(x) (6) W(a) D(a) (7) P(a)D(a) (8) P(a) D(a) (9) P(a) (10) 口