离散数学第四章 谓词演算的推理理论 归结推理系统
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(PQ)R 化为等价的析取式
P Q R ， 往往会丢失可能包含在蕴含式中的重要的超逻 辑的控制信息。
基于规则的演绎系统
将知识分为两类：
一类是规则，其由蕴含式表示，它表达了有关领
域的一般知识，且可作为产生式规则来使用；
另一类是事实，其由不包含蕴含式的陈述组成，
它们用来表达某一领域专门的知识。
(8)(3)归结
注意：归结时使用了未讨论过的置换的概念。
4.3.1 置换
——项对变量的替换。 置换准则为：
(1)置换必须处处进行。
(2)要求没有变量被含有同一变量的项来代替。 如表达式P(x,g(x),b)中的x不能用含有x的 项f(x)来置换，即P(f(x),g(f(x)),b)是错误的 置换。
第四章 谓词演算的推理理论
4.1 谓词演算的永真推理系统 4.2谓词演算的假设推理系统 4.3谓词演算的归结推理系统
4.3.1 置换 4.2.2 归结反演系统 4.3.3 霍恩子句逻辑程序
4.3 谓词演算的归结推理系统
问题：从公式集S出发，证明目标公式T。
在归结系统中: 首先否定目标公式， 然后将这个公式加到公式集S中， 再将该公式化成子句集， 若能归结成空子句(用□表示)， 则认为证明了该公式T。
二、一般归结
只需寻找一个置换，把它们作用到母体子句上 使它们含有互补的文字对(如P和P) 。
例 设有 P(x，g(a))Q(y) P(z，g(a))Q(z)
可得归结式如下：
Q(y) Q(z)
{ z/x}
Q(y) Q(x) P(x，g(a))P(z，g(a))
{ x/z} { z/y}
A(x1)B(f(x1))，A(x2)W(x2，f(x2))
例 (p47,续)
(2) x(A(x)y(N(y)W(x，y))) = x(A(x)y(N(y) W(x，y))) = x y (A(x) (N(y) W(x，y))) y (A(a) (N(y) W(a，y))) A(a) (N(y) W(a，y))
{ a/x1} (3)(1)归结 { a/x2} (4)(2)归结 { a/y} (5)(6)归结
(8)(7)归结 (9)(3)归结
例 用归结方法证明下列公式
x(P(f(x))(P(f(a))P(x)))
证: 目标的否定为 x(P(f(x))(P(f(a)) ∧ P(x))) = x (P(f(x))(P(f(a)) ∧ P(x))) = x (P(f(x)) ∧ ( P(f(a)) ∨ P(x))) 子句集为
n0 n=0 n0 上式n=0
(1) P Q1，Q2，…，Qn
(2) P (3) Q1，Q2，…，Qn (4) 口
引例(p45)
设有语句串及它的符号表示如下： (1)无论谁能读就有知识；x(R(x) L(x)) (2)所有的海豚均没有知识；x(H(x) L(x)) (3)有些海豚有智慧。x(H(x)I(x))
从这些语句出发，证明语句： (4)一些有智慧的个体不能读。x(I(x)R(x))
引例 (p45，提取子句)
三、归结反演算系统的应用
在人工智能领域中的规划生成问题。
例(p48)给机器人r 编制一程序，使它能够登 上一只椅子c以取下挂在房顶的香蕉b。
4.3.3 霍恩子句逻辑程序
一、子句的蕴含表示形式 二、霍恩子句逻辑程序
超逻辑的控制信息
许多人工智能系统中使用的知识是由一般的蕴 含表达式来表示的。如果把蕴含式
对应语句(1)至(3)的子句集为： (1) R(x1) L(x1) (2) H(x2) L(x2) (3) H(a) (4) I(a) 其中子句(3)(4)为对(3)式SKOLEM化而得，a为 SKOLEM常量。 要证明的定理的否定式为：
x(I(x)R(x)), 即 x(I(x)R(x)) 化为子句形式为(5)： (5) I(x3)R(x3)
(3)化为前束范式 xzy(P(x)(A(z)(B(y)W(z，y))))
(4)消去存在量词(按Skolem标准形) 原式z(P(a)(A(z)(B(f(z))W(z，f(z)))))
例 (p47)
(5)消去全称量词(直接去掉) 原式 P(a)(A(z)(B(f(z))W(z，f(z))))
归结反演系统——产生式系统
子句集看作为一个综合数据库， 而规则表就是归结，表中的规则用到数据库中的
子句对，产生一个新的子句，把新子句加入数据 库中产生新的数据库，形成新的归结，重复此过 程，观察数据库中是否含有空子句。
例 (p47)已知知识：
(1)每个作家均写过作品； (2)有些作家没写过小说； 结论：有些作品不是小说。
例 已知表达式 P(x，g(y)，b)，考察置换:
P(x，g(a)，b) P(a，g(b)，b) P(f(y)，g(a)，b)
{a/y} {a/x，b/y } {f(y)/x，a/y }
一般地，置换可通过有序对的集合 {t1/v1，t2/v2，…，tn/vn}
来表达，其中ti/vi表示变量vi处处以项ti来代替。
例(p46-47) xP(x)x(A(x)y(B(y)W(x，y)))
解: (1)消去蕴含词
xP(x)x(A(x)y(B(y)W(x，y))) (2)约束变元改名：
利用改名方法对上式施行改名，以保证每一个量词 约束的变元不同名。 xP(x)z(A(z)y(B(y)W(z，y)))
(P1P2…Pn)(Q1Q2…Qm) 如果约定蕴含前件的文字之间恒为合取，而蕴含后件的 文字之间恒为析取，那么上式可改写为如下形式：
P1，P2，…，PnQ1，Q2，…，Qm
子句的性质
(1) Q1，Q2，…，Qm，等价于Q1Q2…Qm； 而 P1，P2，…，Pn等价于P1P2…Pn。 当m=n=0时，表示空子句。
引例 (p45，归结)
(1) R(x1) L(x1) (2) H(x2) L(x2) (3) H(a)
(4) I(a)
(5) I(x3)R(x3) (6) R(a) (7) L(a) (8) H(a) (9) □
{a/ x3}(4)(5)归结 {a/ x1}(6)(1)归结 {a/ x2}(7)(2)归结
事实上即使L不是单文字，也可把该蕴含式化为多重规 则。 如：W(L1L2)等价于规则对WL1和WL2；
(2)W是任一公式(假设是与或形公式,本书限为合取式)。
一、子句的蕴含表示形式
一个子句是若干文字的析取，一般地， C = P1P2…PnQ1Q2…Qm
其中，Pi和Qi为谓词，变元被省略。 可以表示为：
证明：令 P(e)表示“e为人”； W(e)表示“e喜欢步行”； D(e)表示“e喜欢乘汽车”； R(e)表示“e喜欢骑自行车”
证明(续)
则已知知识可以翻译为： （1） ∀x(P(x) →(W(x) → D(x))) （2） ∀x(P(x) →(D(x) ∨ R(x))) （3） ∃x(P(x) ∧ R(x)) 结论为：
得到子句： A(a), N(y) W(a，y)
例 (p47,续)
要证明的结论为：有些作品不是小说。 x(B(x)N(x))
否定结论得到： x(B(x)N(x)) = x(B(x)N(x)) B(x)N(x)
得到子句： B(x)N(x)
例 (p47, 归结)
(1) A(x1)B(f(x1)) (2) A(x2)W(x2，f(x2)) (3) A(a) (4) N(y)W(a，y) (5) B(x)N(x) (6) A(x1) N(f(x1)) (7) N(f(a)) (8) W(a，f(a)) (9) A(a) (10) 口
(1) P(f(x1)) (2) P(f(a)) ∨ P(x2) (3) P(x2) (4)口
{a/x1} (1)(2)归结 {f(x1)/x2}(1)(3)归结
直观解释: 显然，如果存在x, 使得P(f(x))为假，则公式为真。 反之，如果对于任意t, P(f(t))皆为真，则取x=f(t)即可。
(6)利用分配律化为合取范式 原式 P(a)(A(z)B(f(z))) (A(z)W(z，f(z)))
(7)消去合取词得子句集 此时公式中只含有一些文字的析取 P(a), A(z)B(f(z)), A(z)W(z，f(z))
(8)改变变量的名称： 改名使得每个变量符号不出现在一个以上的子句中 P(a), A(z1)B(f(z1)), A(z2)W(z2，f(z2))
(2)当子句C： Q1，Q2，…，Qm P1，P2，…，Pn
和子句C ： Q1 ，Q2 ，…，Qs P1 ，P2 ，…，Pt
中有Qi和Pj ，(或Pi和Qj )相同，则C和C 可进行归结。 (3)要证明定理
A1A2…AnB， 只要将
A1A2…AnB 化为子句集，并证明其不可满足，即用以上方式归结出空子句。
基于规则的演绎系统(产生式系统)——根据这些事 实和规则来证明目标公式，这种推理强调使用规则 进行演绎，直观易于理解。
正向演绎系统、逆向演绎系统
推理
事实表达式源自文库
目标表达式
推理
事实表达式
目标表达式
关于规则的约定
约定作为规则的一些公式限制为如下形式的公式：
WL
这些产生式规则和事实应满足下列条件： (1)L是单文字（原子公式或原子公式的否定），
{ f(x1)/x} (5)(1)归结 { a/x1} (6)(3)归结
{ f(a)/y} (7)(4)归结 { a/x2} (8)(2)归结 (9)(3)归结
补充习题
任何人如果喜欢步行，他就不喜欢乘汽车；每 个人或者喜欢乘汽车，或者喜欢骑自行车；有 的人不喜欢骑自行车，因而有的人不爱步行。 试用归结原理证明之。
证明：令 A(e)表示“e为作家”； B(e)表示“e为作品”； N(e)表示“e为小说”； W(e1，e2)表示“e1 写了 e2”
知识可以符号化如下： (1) x(A(x)y(B(y)W(x，y))) (2) x(A(x)y(N(y)W(x，y)))
例 (p47, 求子句)
(1) x(A(x)y(B(y)W(x，y))) = x(A(x) y(B(y)W(x，y))) = x y (A(x) (B(y)W(x，y))) x (A(x) (B(f(x))W(x，f(x)))) A(x) (B(f(x))W(x，f(x))) = (A(x) B(f(x))) (A(x) W(x，f(x))) 得到子句：
∃x(P(x) ∧ W(x) ) 结论的否定为：
∀ x( P(x) ∨ W(x))
证明(续)
(1) P(x1)W(x1) D(x1) (2) P(x2)D(x2) R(x2) (3) P(a) (4) R(a) (5) P(x)W(x) (6) W(a) D(a) (7) P(a)D(a) (8) P(a) D(a) (9) P(a) (10) 口
4.3.2 归结反演系统
一、谓词演算公式子句的形成 二、一般归结 三、归结反演算系统的应用
一、谓词演算公式子句的形成
一般步骤: (1)消去蕴含词和等价词 (2)否定深入 (3)约束变元改名 (4)化为前束范式 (5)消去存在量词(按Skolem标准形) (6)消去全称量词(直接去掉) (7)化为合取范式 (8)消去合取词得子句集， (9)改变变量的名称 (变量符号不重复使用)
二、霍恩子句逻辑程序
定义1：子句
L1L2…Ln
中，如果至多只含有一个正文字，那么该子句称
为霍恩子句。
霍恩子句PQ1Q2…Qn通常表示为： PQ1，Q2，…，Qn
霍恩子句必为下列四种形式之一：
(1)PQ1，Q2，…，Qn (2)P (3)Q1，Q2，…，Qn (4)口(空子句)
P Q R ， 往往会丢失可能包含在蕴含式中的重要的超逻 辑的控制信息。
基于规则的演绎系统
将知识分为两类：
一类是规则，其由蕴含式表示，它表达了有关领
域的一般知识，且可作为产生式规则来使用；
另一类是事实，其由不包含蕴含式的陈述组成，
它们用来表达某一领域专门的知识。
(8)(3)归结
注意：归结时使用了未讨论过的置换的概念。
4.3.1 置换
——项对变量的替换。 置换准则为：
(1)置换必须处处进行。
(2)要求没有变量被含有同一变量的项来代替。 如表达式P(x,g(x),b)中的x不能用含有x的 项f(x)来置换，即P(f(x),g(f(x)),b)是错误的 置换。
第四章 谓词演算的推理理论
4.1 谓词演算的永真推理系统 4.2谓词演算的假设推理系统 4.3谓词演算的归结推理系统
4.3.1 置换 4.2.2 归结反演系统 4.3.3 霍恩子句逻辑程序
4.3 谓词演算的归结推理系统
问题：从公式集S出发，证明目标公式T。
在归结系统中: 首先否定目标公式， 然后将这个公式加到公式集S中， 再将该公式化成子句集， 若能归结成空子句(用□表示)， 则认为证明了该公式T。
二、一般归结
只需寻找一个置换，把它们作用到母体子句上 使它们含有互补的文字对(如P和P) 。
例 设有 P(x，g(a))Q(y) P(z，g(a))Q(z)
可得归结式如下：
Q(y) Q(z)
{ z/x}
Q(y) Q(x) P(x，g(a))P(z，g(a))
{ x/z} { z/y}
A(x1)B(f(x1))，A(x2)W(x2，f(x2))
例 (p47,续)
(2) x(A(x)y(N(y)W(x，y))) = x(A(x)y(N(y) W(x，y))) = x y (A(x) (N(y) W(x，y))) y (A(a) (N(y) W(a，y))) A(a) (N(y) W(a，y))
{ a/x1} (3)(1)归结 { a/x2} (4)(2)归结 { a/y} (5)(6)归结
(8)(7)归结 (9)(3)归结
例 用归结方法证明下列公式
x(P(f(x))(P(f(a))P(x)))
证: 目标的否定为 x(P(f(x))(P(f(a)) ∧ P(x))) = x (P(f(x))(P(f(a)) ∧ P(x))) = x (P(f(x)) ∧ ( P(f(a)) ∨ P(x))) 子句集为
n0 n=0 n0 上式n=0
(1) P Q1，Q2，…，Qn
(2) P (3) Q1，Q2，…，Qn (4) 口
引例(p45)
设有语句串及它的符号表示如下： (1)无论谁能读就有知识；x(R(x) L(x)) (2)所有的海豚均没有知识；x(H(x) L(x)) (3)有些海豚有智慧。x(H(x)I(x))
从这些语句出发，证明语句： (4)一些有智慧的个体不能读。x(I(x)R(x))
引例 (p45，提取子句)
三、归结反演算系统的应用
在人工智能领域中的规划生成问题。
例(p48)给机器人r 编制一程序，使它能够登 上一只椅子c以取下挂在房顶的香蕉b。
4.3.3 霍恩子句逻辑程序
一、子句的蕴含表示形式 二、霍恩子句逻辑程序
超逻辑的控制信息
许多人工智能系统中使用的知识是由一般的蕴 含表达式来表示的。如果把蕴含式
对应语句(1)至(3)的子句集为： (1) R(x1) L(x1) (2) H(x2) L(x2) (3) H(a) (4) I(a) 其中子句(3)(4)为对(3)式SKOLEM化而得，a为 SKOLEM常量。 要证明的定理的否定式为：
x(I(x)R(x)), 即 x(I(x)R(x)) 化为子句形式为(5)： (5) I(x3)R(x3)
(3)化为前束范式 xzy(P(x)(A(z)(B(y)W(z，y))))
(4)消去存在量词(按Skolem标准形) 原式z(P(a)(A(z)(B(f(z))W(z，f(z)))))
例 (p47)
(5)消去全称量词(直接去掉) 原式 P(a)(A(z)(B(f(z))W(z，f(z))))
归结反演系统——产生式系统
子句集看作为一个综合数据库， 而规则表就是归结，表中的规则用到数据库中的
子句对，产生一个新的子句，把新子句加入数据 库中产生新的数据库，形成新的归结，重复此过 程，观察数据库中是否含有空子句。
例 (p47)已知知识：
(1)每个作家均写过作品； (2)有些作家没写过小说； 结论：有些作品不是小说。
例 已知表达式 P(x，g(y)，b)，考察置换:
P(x，g(a)，b) P(a，g(b)，b) P(f(y)，g(a)，b)
{a/y} {a/x，b/y } {f(y)/x，a/y }
一般地，置换可通过有序对的集合 {t1/v1，t2/v2，…，tn/vn}
来表达，其中ti/vi表示变量vi处处以项ti来代替。
例(p46-47) xP(x)x(A(x)y(B(y)W(x，y)))
解: (1)消去蕴含词
xP(x)x(A(x)y(B(y)W(x，y))) (2)约束变元改名：
利用改名方法对上式施行改名，以保证每一个量词 约束的变元不同名。 xP(x)z(A(z)y(B(y)W(z，y)))
(P1P2…Pn)(Q1Q2…Qm) 如果约定蕴含前件的文字之间恒为合取，而蕴含后件的 文字之间恒为析取，那么上式可改写为如下形式：
P1，P2，…，PnQ1，Q2，…，Qm
子句的性质
(1) Q1，Q2，…，Qm，等价于Q1Q2…Qm； 而 P1，P2，…，Pn等价于P1P2…Pn。 当m=n=0时，表示空子句。
引例 (p45，归结)
(1) R(x1) L(x1) (2) H(x2) L(x2) (3) H(a)
(4) I(a)
(5) I(x3)R(x3) (6) R(a) (7) L(a) (8) H(a) (9) □
{a/ x3}(4)(5)归结 {a/ x1}(6)(1)归结 {a/ x2}(7)(2)归结
事实上即使L不是单文字，也可把该蕴含式化为多重规 则。 如：W(L1L2)等价于规则对WL1和WL2；
(2)W是任一公式(假设是与或形公式,本书限为合取式)。
一、子句的蕴含表示形式
一个子句是若干文字的析取，一般地， C = P1P2…PnQ1Q2…Qm
其中，Pi和Qi为谓词，变元被省略。 可以表示为：
证明：令 P(e)表示“e为人”； W(e)表示“e喜欢步行”； D(e)表示“e喜欢乘汽车”； R(e)表示“e喜欢骑自行车”
证明(续)
则已知知识可以翻译为： （1） ∀x(P(x) →(W(x) → D(x))) （2） ∀x(P(x) →(D(x) ∨ R(x))) （3） ∃x(P(x) ∧ R(x)) 结论为：
得到子句： A(a), N(y) W(a，y)
例 (p47,续)
要证明的结论为：有些作品不是小说。 x(B(x)N(x))
否定结论得到： x(B(x)N(x)) = x(B(x)N(x)) B(x)N(x)
得到子句： B(x)N(x)
例 (p47, 归结)
(1) A(x1)B(f(x1)) (2) A(x2)W(x2，f(x2)) (3) A(a) (4) N(y)W(a，y) (5) B(x)N(x) (6) A(x1) N(f(x1)) (7) N(f(a)) (8) W(a，f(a)) (9) A(a) (10) 口
(1) P(f(x1)) (2) P(f(a)) ∨ P(x2) (3) P(x2) (4)口
{a/x1} (1)(2)归结 {f(x1)/x2}(1)(3)归结
直观解释: 显然，如果存在x, 使得P(f(x))为假，则公式为真。 反之，如果对于任意t, P(f(t))皆为真，则取x=f(t)即可。
(6)利用分配律化为合取范式 原式 P(a)(A(z)B(f(z))) (A(z)W(z，f(z)))
(7)消去合取词得子句集 此时公式中只含有一些文字的析取 P(a), A(z)B(f(z)), A(z)W(z，f(z))
(8)改变变量的名称： 改名使得每个变量符号不出现在一个以上的子句中 P(a), A(z1)B(f(z1)), A(z2)W(z2，f(z2))
(2)当子句C： Q1，Q2，…，Qm P1，P2，…，Pn
和子句C ： Q1 ，Q2 ，…，Qs P1 ，P2 ，…，Pt
中有Qi和Pj ，(或Pi和Qj )相同，则C和C 可进行归结。 (3)要证明定理
A1A2…AnB， 只要将
A1A2…AnB 化为子句集，并证明其不可满足，即用以上方式归结出空子句。
基于规则的演绎系统(产生式系统)——根据这些事 实和规则来证明目标公式，这种推理强调使用规则 进行演绎，直观易于理解。
正向演绎系统、逆向演绎系统
推理
事实表达式源自文库
目标表达式
推理
事实表达式
目标表达式
关于规则的约定
约定作为规则的一些公式限制为如下形式的公式：
WL
这些产生式规则和事实应满足下列条件： (1)L是单文字（原子公式或原子公式的否定），
{ f(x1)/x} (5)(1)归结 { a/x1} (6)(3)归结
{ f(a)/y} (7)(4)归结 { a/x2} (8)(2)归结 (9)(3)归结
补充习题
任何人如果喜欢步行，他就不喜欢乘汽车；每 个人或者喜欢乘汽车，或者喜欢骑自行车；有 的人不喜欢骑自行车，因而有的人不爱步行。 试用归结原理证明之。
证明：令 A(e)表示“e为作家”； B(e)表示“e为作品”； N(e)表示“e为小说”； W(e1，e2)表示“e1 写了 e2”
知识可以符号化如下： (1) x(A(x)y(B(y)W(x，y))) (2) x(A(x)y(N(y)W(x，y)))
例 (p47, 求子句)
(1) x(A(x)y(B(y)W(x，y))) = x(A(x) y(B(y)W(x，y))) = x y (A(x) (B(y)W(x，y))) x (A(x) (B(f(x))W(x，f(x)))) A(x) (B(f(x))W(x，f(x))) = (A(x) B(f(x))) (A(x) W(x，f(x))) 得到子句：
∃x(P(x) ∧ W(x) ) 结论的否定为：
∀ x( P(x) ∨ W(x))
证明(续)
(1) P(x1)W(x1) D(x1) (2) P(x2)D(x2) R(x2) (3) P(a) (4) R(a) (5) P(x)W(x) (6) W(a) D(a) (7) P(a)D(a) (8) P(a) D(a) (9) P(a) (10) 口
4.3.2 归结反演系统
一、谓词演算公式子句的形成 二、一般归结 三、归结反演算系统的应用
一、谓词演算公式子句的形成
一般步骤: (1)消去蕴含词和等价词 (2)否定深入 (3)约束变元改名 (4)化为前束范式 (5)消去存在量词(按Skolem标准形) (6)消去全称量词(直接去掉) (7)化为合取范式 (8)消去合取词得子句集， (9)改变变量的名称 (变量符号不重复使用)
二、霍恩子句逻辑程序
定义1：子句
L1L2…Ln
中，如果至多只含有一个正文字，那么该子句称
为霍恩子句。
霍恩子句PQ1Q2…Qn通常表示为： PQ1，Q2，…，Qn
霍恩子句必为下列四种形式之一：
(1)PQ1，Q2，…，Qn (2)P (3)Q1，Q2，…，Qn (4)口(空子句)