2017年新课标全国理数高考试题汇编：平面向量—老师专用(最新整理)
平面向量高考题选及答案
DA ﹒ DB = DB ﹒ DC = DC ﹒ DA =—2，动点 P,M 满足 AP =1，PM = MC ，则 BM 2 的
最大值是（
）（A） 43 4
(B) 49 （C） 37 6 3
4
4
（D） 37 2 33 4
16、(2016 年天津高考）已知△ABC 是边长为 1 的等边三角形,点 D, E 分别是边 AB, BC 的
18。【答案】A 19。【答案】[0,1 2]
22.【答案】 1 2
23。【答案】D
20。【答案】 5 28
21。【答案】 2
因为 BD CD BD BA
BA BC
BA
2
BA BC BA a2 a2 cos 60
3 a2
2
故选 D.
24.【答案】B【解析】因为 a b a b cos a,b a b ，所以选项 A 正确；当 a 与 b 方
。
22、（2016 年浙江高考）已知向量 a、b, ｜a｜ =1,｜b｜ =2,若对任意单位向量 e，均有 ｜
a·e｜+｜b·e｜ 6 ,则 a·b 的最大值是
．
23 。【 2015 高 考 山 东 ， 理 4 】 已 知 菱 形 ABCD 的 边 长 为 a ， ABC 60 ， 则
BD CD ( ）
2
2
5
7.【答案】A 试题解析：如图所示，建立平面直角坐标系
设 A0,1, B0,0,C 2,0, D2,1, P x, y ，根据等面积公式可得圆的半径 r 2 ,即
5
圆 C 的方程是 x 22 y2 4 ,
5
8.【答案】 3 11
9。【答案】4， 2 5 【解析】试题解析：设向量 a,b 的夹角为 ，由余弦定理有：
2017高考十年高考理数分项版(新课标1专版)专题05 平面向量(解析版) 含解析
一．基础题组1。
【2009全国卷Ⅰ,理6】设a 、b 、c 是单位向量，且a·b =0,则（a —c )·(b —c ）的最小值为（ ）A 。
—2 B.22- C 。
-1 D 。
21- 【答案】：D2. 【2008全国1，理3】在ABC △中,AB =c ，AC =b ．若点D 满足2BD DC =,则AD =（ )A ．2133+b cB ．5233-c bC ．2133-b cD ．1233+b c 【答案】A 。
【解析】由()2AD AB AC AD -=-，322AD AB AC c b =+=+,1233AD c b =+。
3. 【2014课标Ⅰ,理15】已知C B A ,,为圆O 上的三点，若()AC AB AO +=21,则AB 与AC 的夹角为_______．【答案】090． 【解析】由1+2AO AB AC =（），故,,O B C 三点共线，且O 是线段BC 中点,故BC 是圆O 的直径,从而090BAC ∠=，因此AB 与AC 的夹角为0904。
【2012全国，理13】已知向量a ，b 夹角为45°,且｜a ｜＝1，｜2a －b |＝10,则｜b |＝__________． 【答案】:32 【解析】：∵a ，b 的夹角为45°,｜a ｜＝1，∴a ·b ＝｜a ｜×｜b |cos45°＝22｜b ｜,｜2a －b ｜2＝4－4×22｜b ｜＋｜b ｜2＝10，∴32=b ．5. 【2015高考新课标1,理7】设D 为ABC ∆所在平面内一点3BC CD =,则（ )(A ）1433AD AB AC =-+ （B)1433AD AB AC =- （C ）4133AD AB AC =+ （D ）4133AD AB AC =- 【答案】A【解析】由题知11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-==1433AB AC -+，故选A 。
2017高考数学试题分类汇编 平面向量 解析版
2017高考分类汇编 平面向量解析版1、（2017北京文理）设m ,n 为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若，使，则两向量反向，夹角是，那么；若，那么两向量的夹角为，并不一定反向，即不一定存在负数，使得，所以是充分而不必要条件，故选A.2、（2017江苏卷）．如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，与的夹角为，且=7，与的夹角为45°．若，则 ▲ ．【答案】3【解析】由可得，根据向量的分解，易得，即，即，即得，所以．3、（2017山东理）（12）已知12,e e与的夹角为60︒，则实数的值是.λλ=m n 0<⋅m n 0λ∃<λ=m n ,m n 180︒cos1800⋅=︒=-<m n m n m n 0⋅<m n (]90,180︒︒λλ=m n OA OB OCOA OC αtan αOB OC OC mOA nOB =+(,)m n ∈R m n +=tan 7α=sin α=cos 10α=cos 45cos sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩0210n m =⎪-=⎪⎩510570n m n m +=⎧⎨-=⎩57,44m n ==3m n +=12-e 12λ+e e λ4、（2017山东文）（11）已知向量a =（2,6）,b =(1,)λ- ,若∥a b ,则λ= . 【答案】3- 【解析】由∥a b 可得162 3.λλ-⨯=⇒=-5、（2017天津）（13）在中，，，．若，，且，则的值为___________．【答案】【解析】由题可得，则．6、（2017浙江）10．如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记，，，则ABC △60A =︒∠3AB =2AC =2BD DC = ()AE AC AB λλ∈=-R 4AD AE ⋅=-λ3111232cos 603,33AB AC AD AB AC ⋅=⨯⨯︒==+12()33AD AE AB AC ⋅=+2123()34934333311AC AB λλλλ-=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒= 1·I OAOB ＝2·I OB OC ＝3·I OC OD＝（第10题图）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】因为，，，所以，故选C ．7、（2017全国1卷理）已知向量a ，b的夹角为60︒，2a = ，1b = ，则2a b += ________．【答案】【解析】()22222(2)22cos602a b a b a a b b+=+=+⋅⋅⋅︒+221222222=+⨯⨯⨯+444=++12=∴2a b + 8、（2017全国2卷理）【题目12】(2017·新课标全国Ⅱ卷理12)12.已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（）A.2-B.32-C. 43- D.1- 【命题意图】本题主要考查等边三角形的性质及平面向量的线性运算﹑数量积，意在考查考生 转化与化归思想和运算求解能力 【解析】解法一：建系法连接PC ∴∴∴最小值为解法二：均值法∵2PC PB PO += ，∴ ()2PA PC PB PO PA ⋅+=⋅123I I I <<132I I I <<312I I I <<213I I I <<90AOB COD ∠=∠> OA OC <OB OD <0OB OC OA OB OC OD ⋅>>⋅>⋅由上图可知：OA PA PO =- ；两边平方可得()()2232PA PO PA PO =+-⋅∵()()222PA POPA PO +≥-⋅ ，∴ 322PO PA ⋅≥-∴ ()322PA PC PB PO PA ⋅+=⋅≥- ，∴最小值为32-解法三：配凑法 ∵2PC PB PO +=∴ ()()()()()222232222PO PA PO PAPO PA AOPA PC PB PO PA +--+-⋅+=⋅==≥-∴最小值为32-9、(2017全国卷2文)4.设非零向量a ，b 满足+=-b b a a 则A. a ⊥bB. =b aC. a ∥bD. >b a解析：ba b a b a b a b a b a ⊥⇒=⋅⇔-=+⇔-=+022选A10、（2017全国3卷理）12．在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为（） A ．3 B． CD ．2 【答案】A【解析】由题意，画出右图．设BD 与C 切于点E ，连接CE ． 以A 为原点，AD 为x 轴正半轴， AB 为y 轴正半轴建立直角坐标系， 则C 点坐标为(2,1)． ∵||1CD =，||2BC =．∴BD ∵BD 切C 于点E ． ∴CE ⊥BD ．∴CE 是Rt BCD △中斜边BD 上的高．12||||22||||||BCD BC CD S EC BD BD ⋅⋅⋅====△()A O Dxy BP gCE即C． ∵P 在C 上．∴P 点的轨迹方程为224(2)(1)5x y -+-=．设P 点坐标00(,)x y ，可以设出P 点坐标满足的参数方程如下：0021x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 而00(,)AP x y = ，(0,1)AB = ，(2,0)AD =． ∵(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+=∴0112x μθ==，01y λθ==． 两式相加得：112)2sin()3λμθθθϕθϕ+=++=+=++≤(其中sin ϕ=，cos ϕ=当且仅当π2π2k θϕ=+-，k ∈Z 时，λμ+取得最大值3． 11、（2017全国卷3文）13．已知向量(2,3),(3,)a b m =-=，且a ⊥b ，则m =. 【答案】2【解析】由题意可得：2330,2m m -⨯+=∴=.。
2017年高考数学试题分项版—平面向量(解析版)
2017年高考数学试题分项版—平面向量（解析版）一、选择题1．(2017·全国Ⅱ文，4)设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则( ) A ．a ⊥b B ．|a |＝|b | C ．a ∥b D ．|a |>|b |1．【答案】A【解析】方法一 ∵|a ＋b |＝|a －b |， ∴|a ＋b |2＝|a －b |2.∴a 2＋b 2＋2a·b ＝a 2＋b 2－2a·b . ∴a·b ＝0.∴a ⊥b . 故选A.方法二 利用向量加法的平行四边形法则． 在▱ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ， 由|a ＋b |＝|a －b |知|AC →|＝|DB →|，从而四边形ABCD 为矩形，即AB ⊥AD ，故a ⊥b . 故选A.2．(2017·北京文，7)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m·n <0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 2．【答案】A【解析】方法一 由题意知|m |≠0，|n |≠0. 设m 与n 的夹角为θ. 若存在负数λ，使得m ＝λn ， 则m 与n 反向共线，θ＝180°， ∴m ·n ＝|m ||n |cos θ＝－|m ||n |＜0.当90°＜θ＜180°时，m ·n ＜0，此时不存在负数λ，使得m ＝λn . 故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n ＜0”的充分而不必要条件． 故选A.方法二 ∵m ＝λn ，∴m ·n ＝λn ·n ＝λ|n |2. ∴当λ＜0，n ≠0时，m ·n ＜0.反之，由m ·n ＝|m ||n |cos 〈m ，n 〉<0⇔cos 〈m ，n 〉＜0⇔〈m ，n 〉∈⎝⎛⎦⎤π2，π，当〈m ，n 〉∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，m ，n 不共线．故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n ＜0”的充分而不必要条件． 故选A.3．(2017·全国Ⅱ理，12)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最小值是( ) A ．－2 B ．－32C ．－43D ．－13．【答案】B【解析】方法一 (解析法)建立坐标系如图①所示，则A ，B ，C 三点的坐标分别为A (0，3)， B (－1,0)，C (1,0)．设P 点的坐标为(x ，y )， 则P A →＝(－x ，3－y )，PB →＝(－1－x ，－y )， PC →＝(1－x ，－y )，∴P A →·(PB →＋PC →)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y )＝2(x 2＋y 2－3y )＝2[x 2＋⎝⎛⎭⎫y －322－34]≥2×⎝⎛⎭⎫－34＝－32. 当且仅当x ＝0，y ＝32时，P A →·(PB →＋PC →)取得最小值，最小值为－32. 故选B.方法二 (几何法)如图②所示，PB →＋PC →＝2PD →(D 为BC 的中点)，则P A →·(PB →＋PC →)＝2P A →·PD →.要使P A →·PD →最小，则P A →与PD →方向相反，即点P 在线段AD 上，则(2P A →·PD →)min ＝－2|P A →||PD →|，问题转化为求|P A →||PD →|的最大值． 又|P A →|＋|PD →|＝|AD →|＝2×32＝3，∴|P A →||PD →|≤⎝⎛⎭⎪⎫|P A →|＋|PD →|22＝⎝⎛⎭⎫322＝34， ∴[P A →·(PB →＋PC →)]min ＝(2P A →·PD →)min ＝－2×34＝－32.故选B.4．(2017·全国Ⅲ理，12)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为( ) A ．3 B ．2 2C. 5D ．24．【答案】A【解析】建立如图所示的直角坐标系，则C 点坐标为(2,1)．设BD 与圆C 切于点E ，连接CE ，则CE ⊥BD . ∵CD ＝1，BC ＝2， ∴BD ＝12＋22＝5， EC ＝BC ·CD BD ＝25＝255，即圆C 的半径为255，∴P 点的轨迹方程为(x －2)2＋(y －1)2＝45.设P (x 0，y 0)，则⎩⎨⎧x 0＝2＋255cos θ，y 0＝1＋255sin θ(θ为参数)，而AP →＝(x 0，y 0)，AB →＝(0,1)，AD →＝(2,0)． ∵AP →＝λAB →＋μAD →＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)， ∴μ＝12x 0＝1＋55cos θ，λ＝y 0＝1＋255sin θ.两式相加，得λ＋μ＝1＋255sin θ＋1＋55cos θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3⎝⎛⎭⎫其中sin φ＝55，cos φ＝255，当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3.故选A.5．(2017·北京理，6)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件5．【答案】A【解析】方法一 由题意知|m |≠0，|n |≠0. 设m 与n 的夹角为θ.若存在负数λ，使得m ＝λn ，则m 与n 反向共线，θ＝180°， ∴m ·n ＝|m ||n |cos θ＝－|m ||n |＜0.当90°＜θ＜180°时，m ·n ＜0，此时不存在负数λ，使得m ＝λn . 故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n ＜0”的充分而不必要条件． 故选A.方法二 ∵m ＝λn ，∴m ·n ＝λn ·n ＝λ|n |2. ∴当λ＜0，n ≠0时，m ·n ＜0.反之，由m ·n ＝|m ||n |cos 〈m ，n 〉＜0⇔cos 〈m ，n 〉＜0⇔〈m ，n 〉∈⎝⎛⎦⎤π2，π， 当〈m ，n 〉∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，m ，n 不共线．故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n ＜0”的充分而不必要条件， 故选A. 二、填空题1．(2017·全国Ⅰ文，13)已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)．若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________. 1．【答案】7【解析】∵a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)， ∴a ＋b ＝(－1＋m,2＋1)＝(m －1,3)． 又a ＋b 与a 垂直，∴(a ＋b )·a ＝0， 即(m －1)×(－1)＋3×2＝0， 解得m ＝7.2．(2017·全国Ⅲ文，13)已知向量a ＝(－2,3)，b ＝(3，m )，且a ⊥b ，则m ＝________. 2．【答案】2【解析】∵a ＝(－2,3)，b ＝(3，m )，且a ⊥b ， ∴a·b ＝0，即－2×3＋3m ＝0，解得m ＝2.3．(2017·天津文，14)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2，若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为________． 3．【答案】311【解析】由题意，知|AB →|＝3，|AC →|＝2， AB →·AC →＝3×2×cos 60°＝3，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →， ∴AD →·AE →＝⎝⎛⎭⎫13AB →＋23AC →·(λAC →－AB →) ＝λ－23AB →·AC →－13AB →2＋2λ3AC →2＝λ－23×3－13×32＋2λ3×22＝113λ－5＝－4，解得λ＝311. 4．(2017·山东文，11)已知向量a ＝(2,6)，b ＝(－1，λ)，若a ∥b ，则λ＝________. 4．【答案】－3【解析】∵a ∥b ，∴2λ－6×(－1)＝0，解得λ＝－3.5．(2017·浙江，15)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________，最大值是________． 5．【答案】4 2 5【解析】设a ，b 的夹角为θ， ∵|a |＝1，|b |＝2，∴|a ＋b |＋|a －b |＝(a ＋b )2＋(a －b )2＝5＋4cos θ＋5－4cos θ. 令y ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ. 则y 2＝10＋225－16cos 2θ. ∵θ∈[0，π]，∴cos 2θ∈[0,1]， ∴y 2∈[16,20]，∴y ∈[4,25]，即|a ＋b |＋|a －b |∈[4,25]．6．(2017·浙江，10)如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记I 1＝OA →·OB →，I 2＝OB →·OC →，I 3＝OC →·OD →，则( )A ．I 1＜I 2＜I 3B ．I 1＜I 3＜I 2C ．I 3＜I 1＜I 2D ．I 2＜I 1＜I 36．【答案】C【解析】∵I 1－I 2＝OA →·OB →－OB →·OC →＝OB →·(OA →－OC →)＝OB →·CA →， 又OB →与CA →所成角为钝角， ∴I 1－I 2＜0，即I 1＜I 2.∵I 1－I 3＝OA →·OB →－OC →·OD →＝|OA →||OB →|cos ∠AOB －|OC →||OD →|cos ∠COD ＝cos ∠AOB (|OA →||OB →|－|OC →||OD →|)， 又∠AOB 为钝角，OA ＜OC ，OB ＜OD ， ∴I 1－I 3＞0，即I 1＞I 3. ∴I 3＜I 1＜I 2， 故选C.7．(2017·江苏，12)如图，在同一个平面内，向量OA →，OB →，OC →的模分别为1,1，2，OA →与OC →的夹角为α，且tan α＝7，OB →与OC →的夹角为45°.若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m ＋n＝________.7．【答案】3【解析】方法一 因为tan α＝7， 所以cos α＝210，sin α＝7210. 过点C 作CD ∥OB 交OA 的延长线于点D ，则OC →＝OD →＋DC →，∠OCD ＝45°. 又因为OC →＝mOA →＋nOB →， 所以OD →＝mOA →，DC →＝nOB →， 所以|OD →|＝m ，|DC →|＝n .在△COD 中，由正弦定理得|DC →|sin α＝|OD →|sin ∠OCD ＝|OC →|sin ∠ODC ，因为sin ∠ODC ＝sin(180°－α－∠OCD )＝sin(α＋∠OCD )＝45，即n 7210＝m 22＝245， 所以n ＝74，m ＝54，所以m ＋n ＝3.方法二 由tan α＝7可得cos α＝152，sin α＝752，则152＝OA →·OC →|OA →||OC →|＝m ＋nOA →·OB →2，由cos ∠BOC ＝22可得22＝OB →·OC →|OB →||OC →|＝mOA →·OB →＋n 2，cos ∠AOB ＝cos(α＋45°)＝cos αcos 45°－sin αsin 45° ＝152×22－752×22＝－35，则OA →·OB →＝－35，则m －35n ＝15，－35m ＋n ＝1，则25m ＋25n ＝65，则m ＋n ＝3. 8．(2017·全国Ⅰ理，13)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 8．【答案】2 3 【解析】方法一 |a ＋2b |＝(a ＋2b )2 ＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝22＋4×2×1×cos 60°＋4×12 ＝12＝2 3. 方法二(数形结合法)由|a |＝|2b |＝2知，以a 与2b 为邻边可作出边长为2的菱形OACB ，如图，则|a ＋2b |＝||.又∠AOB ＝60°，所以|a ＋2b |＝2 3.9．(2017·天津理，13)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2.若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为________． 9．【答案】311【解析】由题意知|AB →|＝3，|AC →|＝2， AB →·AC →＝3×2×cos 60°＝3，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →，∴AD →·AE →＝⎝⎛⎭⎫13AB →＋23AC →·(λAC →－AB →) ＝λ－23AB →·AC →－13AB →2＋2λ3AC →2＝λ－23×3－13×32＋2λ3×22＝113λ－5＝－4，解得λ＝311. 10．(2017·山东理，12)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量，若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________． 10．【答案】33【解析】由题意知|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝0，|3e 1－e 2|＝(3e 1－e 2)2＝3e 21－23e 1·e 2＋e 22＝3－0＋1＝2. 同理|e 1＋λe 2|＝1＋λ2.所以cos 60°＝(3e 1－e 2)·(e 1＋λe 2)|3e 1－e 2||e 1＋λe 2|＝3e 21＋(3λ－1)e 1·e 2－λe 2221＋λ2＝3－λ21＋λ2＝12，解得λ＝33.。
2017高考三角函数平面向量考题汇编详细解析.doc
2017高考三角函数平面向量考题汇编详细解析三角函数一章作为初等函数二每年高考必考，平面向量也是文理科必考知识点，在考题中的融合性很高，要给予足够的重视。
三角函数一章的【学习目标】如下：1.理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算.2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，掌握同角三角函数的基本关系式，掌握正弦、余弦的诱导公式，理解周期函数与最小正周期的意义.3.能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明.4.会用“五点法”画正弦函数、余弦函数的简图。
5．掌握正弦函数、余弦函数的周期性、奇偶性、单调性等性质并能灵活应用．6．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状，理解图象平移变换、伸缩变换的意义，并会用这两种变换研究函数图象的变化.平面向量一章的【学习目标】如下：1.平面向量的实际背景及基本概念通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示；2.向量的线性运算（1）通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义；（2）通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义；（3）了解向量的线性运算性质及其几何意义.3.平面向量的基本定理及坐标表示（1）了解平面向量的基本定理及其意义；（2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；（3）会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；（4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件.4.平面向量的数量积（1）通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；（2）体会平面向量的数量积与向量投影的关系；（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.向量的应用经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力.。
2011-2017年新课标全国卷2理科数学试题分类汇编——4.平面向量
2012年—2017年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编4．平面向量一、选择题（2017·12）已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r 的最小值是（ ）A.2-B.32-C. 43- D.1- （2016·3）已知向量(1)(32)，，=，m =-a b ，且()⊥a +b b ，则m =（ ） A ．-8 B ．-6C ．6D ．8 （2014·3）设向量a ,b r r 满足10|a b |+=r r ，6|a b |-=r r ，则a b ⋅r r =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．5二、填空题（2015·13）设向量a ，b 不平行，向量λ+a b 与2+a b 平行，则实数λ= ____________．（2013·13）已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD ⋅=u u u r u u u r _______. （2012·13）已知向量a ，b 夹角为45º，且1=||a ，102=-||b a ，则=||b .2012年—2017年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编4．平面向量（逐题解析版）一、选择题（2017·12）【解析】解法一：建系法，连接OP ，()0,3OA =u u u r ，()1,0OB =-u u u r ，()1,0OC =u u u r . 2PC PB PO +=u u u r u u u r u u u r ，∴()(),,3PO PA x y x y ⋅=--⋅--u u u r u u u r ，∴22223334PO PA x y y x y ⎛⎫⋅=+-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r ∴34PO PA ⋅≥-u u u r u u u r ，∴ ()322PA PC PB PO PA ⋅+=⋅≥-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴最小值为32- 解法二：均值法：∵2PC PB PO +=u u u r u u u r u u u r ，∴ ()2PA PC PB PO PA ⋅+=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 由上图可知：OA PA PO =-u u u r u u u r u u u r ；两边平方可得()()2232PA PO PA PO =+-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r∵ ()()222PA PO PA PO +≥-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴ 322PO PA ⋅≥-u u u r u u u r ，∴ ()322PA PC PB PO PA ⋅+=⋅≥-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴最小值为32-. （2016·3）D 【解析】(42)a b m +=-r r ，，∵()a b b +⊥r r r ，∴()122(2)0a b b m +⋅=--=r r r ，解得8m =，选D ．（2014·3）A 解析：2222|||210,26,a b a b a b a b a b a b +=-=∴++⋅=+-⋅=r r r r r r r r r r r r Q 两式相减得：1a b ⋅=r r .二、填空题（2015·13）12解析：因为向量a b λ+r r 与2a b +r r 平行，所以(2)a b k a b λ+=+r r r r ，则12k kλ=⎧⎨=⎩，所以12λ=． （2013·13）2解析：以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则点A 的坐标为(0,0)，点B 的坐标为(2,0)，点D 的坐标为(0,2)，点E 的坐标为(1,2)，则AE uu u r ＝(1,2)，BD uuu r ＝(-2, 2)，所以=2AE BD ⋅uu u r uu u r .（2012·13）由已知得222222|2|(2)444||4||||cos45||a b a b a a b b a a b b -=-=-⨯+=-⋅+o r r r r r r r r r r r r24|||10b b =-+=r ，解得||b =r。
平面向量17-19理科数学全国卷
13．已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2 b |= . （2017课标全国Ⅱ卷）12. 已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r 的最小值是（ ）A.2-B.32-C. 43- D.1-20. （12分）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP =u u u r u u u r .（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=u u u r u u u r .证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .12．在矩形ABCD 中，1,2AB AD ==，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则λμ+的最大值为A ．3B ．C D ．2 （2018课标全国Ⅰ卷）6．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u rA ．3144AB AC -u u u r u u u r B ．1344AB AC -u u u r u u u r C ．3144AB AC +u u u r u u u rD ．1344AB AC +u u u r u u u r （2018课标全国Ⅱ卷）4．已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a bA ．4B ．3C ．2D ．0 （2018课标全国Ⅲ卷）13．已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=________． （2019课标全国Ⅰ卷）7．已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π6（2019课标全国Ⅱ卷）3．已知AB u u u r =(2,3)，AC u u u r =(3，t )，BC uuu r =1，则AB BC ⋅u u u r u u u r =A ．-3B ．-2C ．2D ．3 （2019课标全国Ⅲ卷）13．已知a ，b 为单位向量，且a ·b =0，若2=c a ，则cos ,<>=a c ___________.。
(完整word版)平面向量高考真题精选(一)
平面向量咼考真题精选（一一）.选择题（共20小题）1. （2017?新课标U ）设非零向量I, b 满足| i+=| -1 - J 则（ ）A . I 丄：，B . | i|=| -|C . 「D . | J > | J2.（2017?新课标U ）已知△ ABC 是边长为2的等边三角形，P为平面ABC 内一 点，则,■,? （ 1+ 的最小值是（ ）A .- 2 B.-二 C. - — D.- 1233. （2017?浙江）如图，已知平面四边形 ABCD, AB 丄 BC, AB=BC=AD=2 CD=3, AC 与 BD 交于点 0,记 h= f? I-, I 2=I , l 3=W ? ",贝U （）A . I 2V I 3 B. I 1V I 3V I 2 C. I 3VI 2D . I 2VI 34. （2017?新课标川）在矩形 ABCD 中, AB=1, AD=2,动点P 在以点C 为圆心且 与BD 相切的圆上.若'=n'.+ ^i,则2+卩的最大值为（ ）A . 3 B. 2 二 C. - D . 25. （2016?四川）已知正三角形 ABC 的边长为2匚，平面ABC 内的动点P , M 满 足I 屮1=1,性匸'，则I f'|2的最大值是（ ）a= （1, m ） , b = （3,- 2）,且（扫+匸）丄匸，则 m=（）A .- 8 B.- 6 C. 6 D . 87. （2016?天津）已知△ ABC 是边长为1的等边三角形，点D 、E 分别是边AB 、A .B ・ 49 T C.D.6. （2016?新课标U ）已知向量2BC 的中点，连接DE 并延长到点F ,使得DE=2EF 则帀预的值为（）D .二满足 4| 厂| =3| 二| , cos v 「, i> =.若匚丄（tir+n ），贝U 实数t 的值为（ A . 4B.- 4C ；D .12. (2015?新课标I)已知点 A (0, 1), B (3, 2),向量疋=(-4, - 3), 向量2-=()A . (-7,- 4) B. (7, 4) C. (- 1, 4) D . (1, 4) 13. （2015?四川）设向量=（2, 4）与向量■= （x , 6）共线，则实数x=（ A . 2 B. 3C. 4 D .8. （2016?山东）已知非零向量 9 . （ 2016?四川）在平面内, 定点 A , B , C , D 满足 = T' |= * |V ? 1= I -? : ,= : ? ^ = - 2,动点P , M 满足丨=1, r=T ,则| !'|2的最大值是（ ）A43 B 竺 C 3T+6 诟 D 3Y+2 题 .二.二.「 . -10. （2016?新课标川）已知向量「〔=（］,,J,则/ ABC =(A . 30° B. 450C. 60° D . 120°11. （2015?新课标I ）设DABC 所在平面内一点，「- ：',则（ ）A. ■'D.; :—► 1 —> 4B.■: -—4— 1 —14.（2015?山东）已知菱形ABCD的边长为a,Z ABC=60,则丽・CD=(A. -'a2B.- a2C.2 415.（2015?四川）设四边形ABCD为平行四边形，|=6, |汕| =4,若点M、NA . 20 B. 15 C. 9 D . 616. （2015?安徽）△ ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量.,〔满足■l -=2i , ■：=2 i+'.,则下列结论正确的是（）A . | -|=1B . I 丄】 C. ?】=1 D . （4 .+ J 丄宁17. （2015?广东）在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形 ABCD 是平行四边形， AB = （1，- 2），AD = （2，1）则兀?丘=（ ） A . 5B. 4C. 3 D . 2—* —►—* Qx I fl T—* T—* —*18. （2015?重庆）若非零向量 s '-满足「|= 一「|，且（1-「）丄（3i+2「）, 3 则与•的夹角为（ ）19（ 2015?重庆）已知非零向量...-满足| | =4| . |，且.丄（.「）则二「的夹角为（ ） A . — B .C.D.—323620 . （2015?福 建）设 a = （1，2），b = （1，1），；=；+応，若 b_L?，则实数 k 的值 等于（）A .-色 B. -§ C. — D.-2332二.填空题（共8小题）21. （2017?新课标I ）已知向量!，■的夹角为60° | J =2, | ^| =1,则| 1+2 | = 22. （2017?天津）在厶 ABC 中，/ A=60°, AB=3, AC=2 若"=2 ', •，=「’- ‘丨，（疋R ）,且五・远二-4,贝U 入的值为23. （2017?北京）已知点P 在圆x 2+y 2=1上，点A 的坐标为（-2, 0）, O 为原 点，则屮的最大值为—.24. （2017?山东）已知..，J 是互相垂直的单位向量，若 】.-•.与.「+入.A .717B ・一371C. D.4的夹角为60°贝U 实数入的值是 ___ .26. (2017?新课标I)已知向量1= (- 1 , 2), ij = (m , 1),若向量 占与1垂直， 贝 U m= .27. (2016?新课标 I)设向量自=(m , 1), b = (1, 2),且 | m +b | =| 引 +| b | , 贝 U m= .28. (2016?山东)已知向量；=(1,- 1), b = (6,- 4),若；丄(t ；+E )，则实 数t 的值为 ____ . 三.解答题(共2小题)29. (2017?山东)在^ ABC 中，角A , B , C 的对边分别为a , b , c ,已知b=3,乔丘= -6, S\ABC =3,求 A 和 a .30 (2015?广东)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量 (1)若匚丄匚，求tanx 的值; (2)若与的夹角为二，求x 的值.平面向量咼考真题精选（一一）参考答案与试题解析一•选择题（共20小题）cosx ), x €( 0,Jl7 ).1. （2017?新课标U）设非零向量1,.满足|十.|=| • .|则（）A. i丄bB. | i|=| -|C.丿，D. | J > | J【解答】解：•••非零向量I,满足| |+‘|=| i-】打,<k —■- —■- n• • I .I I. J,解得"1=0,•I :故选：A.2. （2017?新课标U）已知△ ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则-「? （-I +」）的最小值是（）A.- 2B.-丄C. - —D.- 12 3【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，则 A （0, V3）, B （- 1, 0）, C （1, 0）,设P （x, y）,则巨=（-x,価-y）, PB= （- 1 - x,- y）, PC = （1 - x,- y）, 则二？（1+ ■'）=2x2- 2 二y+2y2=2[x2+ （卄一-、2-].•.当x=0, y=-时，取得最小值2X（-）=-厶故选：B3. (2017?浙江)如图，已知平面四边形 ABCD, AB 丄 BC, AB=BC=AD=2 CD=3,A . I i < I 2V I 3 B. I i < I 3V I 2 C. I 3V l i < I 2【解答】 解：T AB 丄 BC, AB=BC=AD=2 CD=3 ••• AC=2 二,•••/ AOB=Z COD>90°, 由图象知OA v OC, OB v OD,0>〔］ •? l >Ci ： ? |i , 即 I 3V I i v I 2 , 故选：C.4. (2017?新课标川)在矩形 ABCD 中 , AB=1 , AD=2,动点P 在以点C 为圆心且 与BD 相切的圆上.若―=n •+历,贝U 廿卩的最大值为( )A . 3 B. 2 匚 C.- D . 2【解答】解：如图：以A 为原点,以AB , AD 所在的直线为x , y 轴建立如图所 示的坐标系，则 A (0 , 0) , B (1 , 0), D (0 , 2), C (1 , 2), •••动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上,AC 与 BD 交于点 0,记 l i = | •? I -, I 2=, l 3=W ? H,贝U(D . I 2V I i < I 3g设圆的半径为r ,••• BC=2 CD=1, ••• BD=—=- 」BC ?CD =BD?r ， -r =■■忑, •••圆的方程为（X- 1） 2+ （y -2） 2=：,5设点P 的坐标为（cos 9-1,「sin +2）,55卜'=入：：1 ‘+卩一|,•••（cos+1,竺蜃sin +2）=入（1, 0） +卩（0, 2）=（入,2Q,55 •••込殛cos 併仁入，兰匹sin +2=2卩，55）+-cos 9—sin +2=sin （9+©） +2，其中 tan © =255T — 1 < sin （ 9+ ©） < 1,• ° • 1 w ?+ 3, 故2+卩的最大值为3, 故选：A5. （2016?四川）已知正三角形 ABC 的边长为2二，平面ABC 内的动点P , M 满 足|沖|=1, _【y,则|川2的最大值是（【解答】解：如图所示，建立直角坐标系.A .B ・ 49 TC 3f+6^D 3T+2届B (0, 0) ,C (g, 0). A 「：. ••• M 满足|—|=1, •••点P 的轨迹方程为：|=1,令 x=£i+cos 0, y=3+sin 0 0€ [0, 2n). 又则 M ■'• p r|2= ■' ::i 1i 2 P• | i'|2的最大值是二 46. (2016?新课标U)已知向量 1= (1, m ), ■- (3,- 2),且( m=()A .- 8 B.- 6 C. 6 D . 8【解答】解：’••向量 1= (1, m ), :■= (3,- 2), •打 + = (4, m - 2), 又•••( + J 丄b • 12-2 (m - 2) =0 , 解得：m=8 , 故选：D .COS 9 , -|-+ysin6 ),：：i i ： L .「+ — ■---: - T ' = +3sin49 T+ ■)丄,则故选：B.7. （2016?天津）已知△ ABC 是边长为1的等边三角形，点D 、E 分别是边AB 、 BC 的中点，连接DE 并延长到点F ,使得DE=2EF 则腐?衣的值为（ ）A .-匚 B.34【解答】解：如图,8. （2016?山东）已知非零向量 ，•满足4| |=3「| , cos v , ■> =.若丨丄1■'（tir+n ）,贝U 实数t 的值为（ ） D .- 4 【解答】解：I 4| J =3|, cos v”，、＞ =「.，'」（t +'）,—► -*—* -* —-*—► 1"* 9f Q（t +、i ） =t ^i+i=t| | ?| i| ? +| i| =（） 「I =0,9 . （ 2016?四川）在平面内，定点 A , B , C , D 满足 「丨=「丨= 1丨第9页（共20页）E 分别是边AB 、BC 的中点，且DE=2EF "fl]BC=1 '■=三叮打「 ,r '=.5 13 1= 故选：C.|BA|-|BC|cos60° P T XI 2A . 4 B.- 4 C.4解得: t=- 4, 故选: B.C••• D 、.? i= i? :,= ? . = -2，动点P,M满足屮=1, r=r.:则| P|2的最大值是( )A 坐B竺C邯+6逅D 3T+2届'4 ' 4 ' ~4~ ' 4~【解答】解：由】.丄|=亡|=亡|,可得D为厶ABC的外心，又,■'.? 1= I ? ： '= :;? I：；，可得I? ( .■- :') =0, :? ( I- ,■■) =0,—* ft * —*即I?- = 01=0,即有I，丄；，「'丄小，可得DABC的垂心，则D ABC的中心，即△ ABC为正三角形.由.? 1 = - 2,即有| 「|?| 「|cos120°- 2,解得| ,;.|=2,^ ABC的边长为4cos30°2 二，以A为坐标原点，AD所在直线为x轴建立直角坐标系xOy,可得 B (3,-丽)，C (3,换)，D (2 , 0),由|=1 ,可设P (cos 0, sin ) (0< 0< 2 n),由W,可得M为PC的中点，即有M (一 ' ,2 2则r r|2= (3-^^) 2+ (=］」’+ 二)2厶2_(3-cos ) 2, )2_37-6cos 0 +6V3sin^= + =4 4 437+12sin( 0 亠厂)二= 一，当sin ( 0-—) =1，即0二—时，取得最大值，且为二.6 3 4故选：B.A . 30° B. 45° C. 60 【解答】解：—冷[ :，:- 1-；-亠一 -■ 2 ' ■ -I BA ||BC |又 0°<Z ABCC 180°;•••/ ABC=30.故选A .11. （2015?新课标I ）设DABC 所在平面内一点，「- ：',贝9（1 =_* 4!_*—► 1 —* 4!_*A.「「「• 「B.・'d 1 —•4 1C.D .:【解答】解：由已知得到如图上.J 严「「广 故选：A .,「=(—,[),则/ ABC=( )‘> —* —* ■ A| A由「打一 「=• ' :—10. (2016?新课标川)12. (2015?新 课标I)已知点 A (0, 1), B (3, 2),向量 AC = (-4, - 3),则 向量:,=( )A . (-7,- 4)B. (7, 4)C. (- 1, 4) D . (1, 4)【解答】解：由已知点A (0, 1), B (3, 2),得到忑=(3 , 1),向量丘=(-4 , -3), 则向量上三-二=(-7 , - 4); 故答案为：A .13. (2015?四川)设向量=(2 , 4)与向量■= (x , 6)共线，贝U 实数x=( )A . 2 B. 3 C. 4 D . 6【解答】解；因为向量i= (2 , 4)与向量■= (x , 6)共线, 所以4x=2X 6,解得x=3; 故选：B.14. (2015?山东)已知菱形 ABCD 的边长为a , / ABC=60 °贝-''=(【解答】解：•••菱形ABCD 的边长为a , / ABC=60 ,a X cos6° =「,故选：DDA .-_a 2B .-「a 2 C.订2 D . _ a442则二=('，‘)?「「= 一15. （2015?四川）设四边形ABCD 为平行四边形，| ：1，| =6, | ：川=4,若点M 、N满足 q —「，「_:「，则小-/'=（ ）A . 20 B. 15 C. 9D . 6【解答】解：•••四边形ABCD 为平行四边形，点M 、N 满足—「，1匕-:丘•••根据图形可得:丁=：1+ J=：l ， …【1=_12 .. 2丨•「，3 4 2 | 训=6，H"l =4，.•.」；「”=丄乔2 亠「2=12— 3=9316故选：CDjf £16. （2015?安徽）△ ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量 S 「满足树=2 i ， .叽.=2 二+b 则下列结论正确的是（ ）A . | -|=1B . |丄，C. ?=1 D . （4 |+ '■）!【解答】解：因为已知三角形ABC 的等边三角形，-〔满足小=2・，■: =2 i+'.， 又的方向应该为：的方向. 所以「-丄.；，「'，•••一汕,所以 ；|=2, -1=1 X 2X cos120°— 1,4 . • ：=4X 1 X 2X cos120 = - 4, 「二4,所以/ =0,即（4“ 门）-，=0,即4 ； I.=0,所以-丨 :'';故选D .17. （2015?广东）在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形 ABCD 是平行四边形, AB = （1,- 2）, AD =（2, 1）则兀?丘=（ ）A . 5 B. 4 C. 3 D . 2【解答】解：由向量加法的平行四边形法则可得， ；=史-匸=（3,- 1）. 「- '■ =3X 2+ （- 1 ）X 1=5. 故选：A .F F F Q A / Q F — F FT18. （2015?重庆）若非零向量i, 满足|讪= 一|，且（J- ■）!（3.+2 ■）, 则与「的夹角为（ ）【解答】解：T （-）丄（3-.+2 ■）, （I - ■） ? （3 二+2匕）=0, 即 3 二2 - 2\：2 —二?b =0,A .JI7B ・一 C.371D即? =32- 22=丁2故选：A19. （2015?重庆）已知非零向量…•满足| | =4| . |，且.丄（.「）则.・的夹角为（）A.二B.三C.二D.3 2 3 6【解答】解：由已知非零向量…-满足| | =4| . |，且.丄（.「），设两个非零向量..的夹角为9,所以？（.「）=0,即2「「| '|,八=0,所以cos 9= , 9€ [0, n ,所以--二；V故选C.20. （2015?福建）设a= （1, 2）, b = （1,1）, ；=；+庙，若亍丄；，则实数k 的值等于（）A.2【解答】解：•••◎=( 1, 2), b = (1, 1),••• ：:=£+"= (1+k, 2+k)T x 丨,•疗二=0,• 1+k+2+k=0，解得k=--2故选：A.填空题（共8小题）21. （2017?新课标I）已知向量；，W的夹角为60° |；|=2, |可=1，则|；+2百=【解答】解：【解法一】向量I, 的夹角为60°且I ||=2, I q=1,• I ■ ■= ：+4 ? ‘+4.：=22+4X 2X 1 X cos60°4X 12=12,| +2 =2—;.【解法二】根据题意画出图形，如图所示；■ 结合图形『「=『】」+ 1= i+2：'.; 在厶OAC中，由余弦定理得1「.sill? =2'■，即1+2 .| =2 ：.故答案为：2二.22. （2017?天津）在厶ABC中，/ A=60°, AB=3, AC=2 若I'=2 ：',「=「- -I. （疋R）,且AD*AE=- 4,贝U入的值为丄.【解答】解：如图所示，△ ABC中，/ A=60°, AB=3, AC=2-1=2 :',■l=l l+ I'又」.二入：：-儿（入€ R）,•述■ , （.'.|卄:■■） ?（入:：-.■■）3 3=（'—「J切匚-= ($-#)X 3X 2X COS60 冷X 3号 XX 2 — 4,解得X=.23. （2017?北京）已知点P 在圆x 2+y 2=1上，点A 的坐标为（-2, 0）, O 为原 点，则胪？汁的最大值为 6.【解答】 解：设 P (cos a sin a •检=(2, 0), AP = (coso+2, sin ).则兀?忑=2 （cos a 2）w 6，当且仅当cos a 二时取等号.故答案为：6.24. （2017?山东）已知「，厂 是互相垂直的单位向量，若二匚-「与二+ X. 的夹角为60°贝U 实数入的值是亜 .—3 —【解答】解：是互相垂直的单位向量，丨二1 =；」二1，且■一 ？ =； =0；又=；-•：与■ . +X 的夹角为60°(；.-=)? ( = . + 入.)=| . ： =-、= . | X I = +入 I X cos60 ,「，■ -X..，• 11e2故答案为：」化简得-入二G _ X、［} J x •,即；-入二•.,解得入=•3故答案为：-•325. (2017?新课标川)已知向量；=(-2, 3), b =(3, m),且；丄亍，则m= 2【解答】解：•••向量；=(-2, 3), b = (3, m),且：丄E,■ I = - 6+3m=0,解得m=2.故答案为：2.26. (2017?新课标I)已知向量'=(-1 , 2), :■= (m, 1),若向量“ + 与垂直, 贝U m= 7 .【解答】解：•••向量|= (- 1 , 2) , ■= (m , 1),1=(- 1 +m , 3),•••向量+，与J垂直，.•.( T) ? 1= ( - 1 +m)x( - 1) +3X 2=0,解得m=7.故答案为：7.27. (2016?新课标I)设向量|= (m , 1), :'■=(1, 2),且| + 】| 2=|q 2+| ：】| 2,贝卩m= - 2 .【解答】解：|卄|2=| 1|2+「|2,可得I? =0.向量沪(m, 1), b = (1, 2),可得m+2=0，解得m=- 2.故答案为：-2.28. (2016?山东)已知向量；=(1,- 1), b = (6,- 4),若；丄(t；+E)，则实数t的值为 -5 .【解答】解：•向量a= (1，- 1), b = (6,- 4),二t +1：= (t+6, - t - 4),t 打丄(t 0 ,•••? (t + ■) =t+6+t+4=0,解得t= - 5,故答案为：-5.三.解答题(共2小题)29. (2017?山东)在厶ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c,已知b=3,怔・AC= -6, S L AB(=3,求A 和a.【解答】解：由厂-「上-6可得bccosA=- 6,①，由三角形的面积公式可得S A ABC= bcsi nA=3,②2•tan A=- 1,t 0v A v 180°,•A=135,由余弦定理可得a2=b2+c2- 2bccosA=9_8+12=2930. （2015?广东）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量 =COSX ），0,今）.（1）若•丄I,求tanx 的值;⑵若与的夹角为「，求x 的值.【解答】解：(1)若「丄-I,,^ ^―) ? (sinx , cosx ) =_sin x - cosx=0,2 2 2 即：sinx=" cosx2 2sinx=cosx 即 tanx=1 ；(2) V 1 |=. —-^—) ? (sinx , cos" = - sinx- - •••若与的夹角为—, 3则? 厂| ?| || cos =77即上一 sin x -丄~ cosx=,2 2 2则 sin (x- )=,4 2•- x €( 0,")…x - € (— , 4 4叩【 71H贝U X-——=—— 4 6 冃口 JT JT 5开即 x= + =-4 6 122 COSX, 2:)-sinWs 2^1, 则 r ? l = ), )| =。
最新高考数学理试题分类汇编：平面向量资料
2017年高考数学理试题分类汇编：平面向量1. (2017年新课标Ⅰ) 13．已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2 b |= . 【答案】232. ( 2017年新课标Ⅱ卷理) 12.已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r的最小值是（ ）A.2-B.32-C. 43- D.1- 【答案】B【解析】解法一：建系法连接OP ，()0,3OA =u u u r，()1,0OB =-u u u r ，()1,0OC =u u u r .2PC PB PO +=u u u r u u u r u u u r ，∴()(),,3PO PA x y x y ⋅=--⋅--u u u r u u u r∴222233324PO PA x y y x y ⎛⎫⋅=+-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r ∴34PO PA ⋅≥-u u u r u u u r ，∴ ()322PA PC PB PO PA ⋅+=⋅≥-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r∴最小值为32-解法二：均值法∵2PC PB PO +=u u u r u u u r u u u r ，∴ ()2PA PC PB PO PA ⋅+=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r由上图可知：OA PA PO =-u u u r u u u r u u u r ；两边平方可得()()2232PA POPA PO =+-⋅u u u r u u u ru u u r u u u r∵ ()()222PA POPA PO +≥-⋅u u u r u u u ru u u r u u u r ，∴ 322PO PA ⋅≥-u u u r u u u r∴ ()322PA PC PB PO PA ⋅+=⋅≥-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴最小值为32-解法三：配凑法 ∵2PC PB PO +=u u u r u u u r u u u r∴ ()()()()()222232222PO PA PO PAPO PA AOPA PC PB PO PA +--+-⋅+=⋅==≥-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r∴最小值为32-3. ( 2017年新课标Ⅱ文)4.设非零向量a ，b 满足+=-b b a a 则 (A)A a ⊥b B. =b a C. a ∥b D. >b a4. (2017年北京卷理) （6）设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若0λ∃<，使m n λ=r r，即两向量反向，夹角是0180，那么0cos1800m n m n m n ⋅==-<r r r rr r，反过来，若0m n ⋅<r r，那么两向量的夹角为(0090,180⎤⎦ ，学科网并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得λ=m n ，所以是充分不必要条件，故选A.5. (2017年新课标Ⅰ文)已知向量a =（–1，2），b =（m ，1）.若向量a +b 与a 垂直，则m =______7_______.6. (2017年江苏卷) 12．如图，在同一个平面内，向量OA u u u r ，OB u u u r ，OC u u u r 的模分别为1，1，2，OA u u u r 与OC u u u r的夹角为α，且tan α=7，OB u u u r 与OC u u u r 的夹角为45°．若OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r(,)m n ∈R ，则m n += ▲ ．【解析】:n m OB n OA m OB OC OB OC OB o+-=+=⋅⋅=⋅53)(45cos 2153=+-∴n m 5153=-n m 同理，3=+∴n m7. (2017年浙江卷)如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记1·I OA OB u u u r u u u r＝，2·I OB OC u u u r u u u r ＝，3·I OC OD u u u r u u u r＝，则A ．I １<I ２<I ３B ．I １<I ３<I ２C ． I ３<I １<I ２D ．I ２<I １<I ３【答案】C8. (2017年浙江卷)已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________，最大值是_______. 【答案】4，25【解析】设向量,a b r r 的夹角为θ，由余弦定理有：2212212cos 54cos a b θθ-=+-⨯⨯⨯=-r r，()2212212cos 54cos a b πθθ+=+-⨯⨯⨯-=+r r，则：54cos 54cos a b a b θθ++-=++-r r r r，令54cos 54cos y x x =++-，则[]221022516cos 16,20y θ=+-∈，据此可得：()()maxmin2025,164a b a ba b a b++-==++-==r r r rr r r r，即a b a b ++-r r r r的最小值是4，最大值是25.9. (2017年新课标Ⅲ卷理)在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP u u u r=λAB u u u r +μAD u u u r，则λ+μ的最大值为A ．3B ．22C ．5D ．2【答案】A【解析】如图，建立平面直角坐标系设()()()()0,1,0,0,2,1,,A B D P x y 5()22425x y -+=()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=u u u r u u u r u u u r ，若满足AP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r即21x y μλ=⎧⎨-=-⎩ ，,12x y μλ==- ，所以12x y λμ+=-+，设12x z y =-+ ，即102xy z -+-=，点(),P x y 在圆()22425x y -+=上，所以圆心到直线的距离d r ≤，即221514z -≤+ ，解得13z ≤≤，所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A.10. (2017年江苏卷)已知向量(cos ,sin ),(3,3),[0,π].x x x ==-∈a b （1）若a ∥b ，求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值．16. 【解析】（1）∵a ∥b ，∴3sin 3cos x x =-，又cos 0x ≠，∴3tan 3x =-，∵，∴5π6x =. （2）()π3cos 3sin 23sin()3f x x x x =-=--.∵，∴ππ2π[,]333x -∈-，∴3πsin()123x -≤-≤，∴()233f x -≤≤，当ππ33x -=-，即0x =时，取得最大值，为3；当ππ32x -=，即5π6x =时，取得最小值，为3-11.12. ( 2017年全国Ⅲ卷文)已知向量)3,2(-=→a ，),3(m b =→，且→→⊥b a ，则m = 。
平面向量高考题选及答案知识讲解
形， P 为平
面 ABC 内一点，则 PA (PB PC) 的最小是 ）A． 2 B． 3 C． 4
2
3
D． 1
7．【2017 全国高考新课标 III 卷理数·12T】在矩形 ABCD 中，AB=1，AD=2，
动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上。若 AP = AB + AD ，则 + 的
11.【2017 全国高考浙江卷理数·13T】在平面直角坐标系 xOy 中，A（-
12,0），B（0,6），点 P 在圆 O：x2+y2=50 上，若 PA · PB 20，则点 P 的横
坐标的取值范围是 12【2017 全国高考浙江卷理数·16T】（本小题满分 14 分）
已知向量 a=（cosx,sinx）,
,
.（1）若 a∥b，求 x 的值；
（2）记
,求 的最大值和最小值以及对应的 x 的值
13、（2016 年北京高考）设 a ， b 是向量，则“| a || b | ”是“| a b || a b | ”的（ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
平面向量高考题选及 答案
精品资料
《平面向量》
1．【2017 全国高考新课标 I 卷理数·13T】已知向量 a，b 的夹角为 60°，
|a|=2，|b|=1，则| a +2b |=
.
2.（2016 全国 1.理数.13）设向量 a=(m,1)，b=(1,2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，则
m=
（C） 3 a2 Error! Digit expected. 4
24.【2015 高考陕西，理 7】对任意向量 a,b ，下列关系式中不恒成立的是
2017年高考数学(理科)-平面向量-专题练习
A． B．
C． D．
4．设向量 ， ，定义一种向量积： ．已知向量 ， ，点P在 的图象上运动，点Q在 的图象上运动，且满足 (其中O为坐标原点)，则 在区间 上的最大值是（ ）
A．4B．2
C． D．
二、填空题
5．(2016·广州二模)已知平面向量a与b的夹角为 ， ， ，则 ________．
【变式训练二】
(2016·德州模拟)设向量 ， ， ．
（1）若 ，求x的值；
（2）设函数 ，将 的图象向左平移 个单位得到函数 的图象，求 的最大值及此时相应的x的值．
专题限时集训（三）平面向量
【A组高考达标】
一、选择题
1．(2016·泰安模拟)在等腰梯形ABCD中， ，M为BC的中点，则 （ ）
A． B．
（1）a和c的值；
（2） 的值．
【B组名校冲刺】
一、选择题
1．(2016·石家庄一模)已知A，B，C是圆O上的不同的三点，线段CO与线段AB交于点D，若 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．(2014·大连模拟)已知平面向量 ， ，且 ，则a与b的夹角为（ ）
A． B．
C． D．
3．如图3 4，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径， ，则 等于（ ）
6．已知非零向量 与 满足 ，且 ，点D是 中BC边的中点，则 ________．
三、解答题
7．已知向量 ， ，函数 的图象与直线 的相邻两个交点之间的距离为 ．
（1）求 的值；
（2）求函数 在 上的单调递增区间．
8．已知 的周长为6， ， ， 成等比数列，求：
（1） 面积S的最大值；
（2） 的取值范围．
2011—2017年新课标全国卷1理科数学分类汇编——5.平面向量
一、选择题【2015，7】设D 为ABC ∆所在平面内一点3BC CD =，则（ ）A ．1433AD AB AC =-+ B ．1433AD AB AC =- C ．4133AD AB AC =+ D ．4133AD AB AC =- 【2011，10】已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题12:10,3P a b πθ⎡⎫+>⇔∈⎪⎢⎣⎭ 22:1,3P a b πθπ⎛⎤+>⇔∈ ⎥⎝⎦ 3:10,3P a b πθ⎡⎫->⇔∈⎪⎢⎣⎭ 4:1,3P a b πθπ⎛⎤->⇔∈ ⎥⎝⎦其中的真命题是（ ）A ．14,P PB ．13,P PC ．23,P PD ．24,P P二、填空题【2017，13】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2， | b |=1，则| a +2 b |= ．【2016，13】设向量a )1,(m =，b )2,1(=，且|a +b ||2=a ||2+b 2|，则=m ．【2014，15】已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1()2AO AB AC =+，则AB 与AC 的夹角为 ． 【2013，13】已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b ．若b ·c ＝0，则t ＝__________．【2012，13】已知向量a ，b 夹角为45°，且||1a =，|2|10a b -=，则||b =_________．一、选择题【2015，7】设D 为ABC ∆所在平面内一点3BC CD =，则（ ）A ．1433AD AB AC =-+ B ．1433AD AB AC =- C ．4133AD AB AC =+ D ．4133AD AB AC =- 解析：11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-=1433AB AC -+，选A ．. 【2011，10】已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题12:10,3P a b πθ⎡⎫+>⇔∈⎪⎢⎣⎭ 22:1,3P a b πθπ⎛⎤+>⇔∈ ⎥⎝⎦ 3:10,3P a b πθ⎡⎫->⇔∈⎪⎢⎣⎭ 4:1,3P a b πθπ⎛⎤->⇔∈ ⎥⎝⎦其中的真命题是（ ）A ．14,P PB ．13,P PC ．23,P PD ．24,P P解析：1a b +==>得， 1cos 2θ>-，20,3πθ⎡⎫⇒∈⎪⎢⎣⎭．由1a b -==>得1cos 2θ<，,3πθπ⎛⎤⇒∈ ⎥⎝⎦． 选A ． 二、填空题 【2017，13】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2， | b |=1，则| a +2 b |= ． 【解析】()22222(2)22cos602a b a b a a b b+=+=+⋅⋅⋅︒+221222222=+⨯⨯⨯+444=++12=，∴212a b += 【法二】令2,c b =由题意得，2a c ==，且夹角为60，所以2a b a c +=+的几何意义为以,a c 夹角为60的平行四边形的对角线所在的向量，易得223a b a c +=+=；【2016，13】设向量a )1,(m =，b )2,1(=，且|a +b ||2=a ||2+b 2|，则=m ．【解析】由已知得：()1,3a b m +=+，∴()22222222213112a b a b m m +=+⇔++=+++，解得2m =-． 【2014，15】已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1()2AO AB AC =+，则AB 与AC 的夹角为 .【解析】∵1()2AO AB AC =+，∴O 为线段BC 中点，故BC 为O 的直径，∴090BAC ∠=，∴AB 与AC 的夹角为090．【2013，13】已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝__________.解析：∵c ＝t a ＋(1－t )b ，∴b ·c ＝t a ·b ＋(1－t )|b |2，又∵|a |＝|b |＝1，且a 与b 夹角为60°，b ⊥c ，∴0＝t |a ||b |cos 60°＋(1－t )，0＝12t ＋1－t ，∴ t ＝2. 【2012，13】已知向量a ，b 夹角为45°，且||1a =，|2|10a b -=，则||b =_________． 【解析】由已知||2245cos ||||=︒⋅⋅=⋅，因为|2|10a b -=，所以10||4||422=+⋅-， 即06||22||2=--b b ， 解得23||=b ．。
专题04 平面向量-2017年高考数学文母题题源系列新课标
【母题原题1】 【2017全国Ⅱ，文4】设非零向量a ，b 满足+=-a b a b ，则 A ．a ⊥b B ．=a bC ．a ∥bD ．>a b【答案】A【解析】由+=-a b a b 平方得222222+⋅+=-⋅+a a b b a a b b ，即0⋅=a b ，则⊥a b ，故选A ． 【考点】向量数量积【名师点睛】已知1122(,),(,)x y x y ==a b ．(1)向量平行：1221x y x y ⇒=∥a b ，,,λλ≠⇒∃∈=0R ∥a b b a b ，11BA AC OA OB λλ=⇔=++ 1OC λλ+．(2)向量垂直：121200x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=a b a b ．(3)向量运算：221212(,),||,||||cos ,x x y y ±=±±=⋅=⋅a b a a a b a b a b ．【母题原题2】【2016全国Ⅱ，文13】已知向量a =(m ，4)，b =(3，−2)，且a ∥b ，则m =___________． 【答案】6-【考点】平面向量的坐标运算 ，平行向量【名师点睛】如果a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b ≠0)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0． 【母题原题3】【2015全国Ⅱ，文4】已知()1,1=-a ，()1,2=-b ，则(2)+⋅=a b a （ ） A ．1- B ． C ． D ． 【答案】C 【解析】试题分析：由题意可得2112=+=a ，123,⋅=--=-a b 所以()222431+⋅=+⋅=-=a ba a ab ．故选C ． 【考点定位】本题主要考查向量数量积的坐标运算．【名师点睛】全国卷中向量大多以客观题形式出现，属于基础题．解决此类问题既要准确记忆公式，又要注意运算的准确性．本题所用到的主要公式是：若()()1122,,,x y x y ==a b ，则22211,x y =+a1122x y x y ⋅=+a b ．【命题意图】考查向量数量积及相关向量概念，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、等价转换思想在解题中的应用．【命题规律】平面向量既有“数”的特征又有“形”的特征，是“数”与“形”的完美结合．高考中对向量知识的考查主要是以两种形式出现：一是单纯考查向量知识，二是以向量为载体，综合考查不等式、三角、解析几何等知识．就向量知识而言，主要考查平面向量的模、相等、平行和垂直等概念，加法、减法、数乘和数量积等基本运算，还有就是向量的几何意义． 【答题模板】解答本类题目，一般考虑如下三步：第一步：判断条件，即判定条件中是否涉及向量坐标，若是，则利用坐标运算公式计算，若不是，可借助平面向量线性运算，分解向量或数量积、模长公式等进行运算；第二步：定工具，向量坐标表示是解决向量问题的一大工具，充分利用已知条件，通过建立坐标系，将所求向量坐标化； 第三步：求结果． 【方法总结】1．在解决平面向量的数量积问题中，要注意：(1)两个向量的夹角的定义；(2)两个向量的夹角的范围；(3)平面向量的数量积的几何意义；(4)向量的数量积的运算及其性质等．2．平面向量的数量积的运算有两种形式：(1)依据模和夹角计算，要注意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不可求，可通过选择易求夹角和模的基底进行转化；(2)利用坐标来计算，向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程思想解决问题，化形为数，使向量问题数量化．3．根据平行四边形法则，对于非零向量a ，b ，当|a ＋b|＝|a －b|时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|a ＋b|＝|a －b|等价于向量a ，b 互相垂直．4．两个向量夹角的范围是，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线． 5．求解几何图形中的数量积问题，通过对向量的分解转化成已知向量的数量积计算是基本方法，但是如果建立合理的平面直角坐标系，把数量积的计算转化成坐标运算也是一种较为简捷的方法． 6． 研究向量数量积，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简． 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来． 对于涉及中线向量问题，利用向量加法与减法的平行四边形法则，可以得到一个很实用的结论：2244AO BC BA CA -⋅=7．由向量数量积的定义θcos ||||⋅⋅=⋅(为，的夹角)可知，数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐标进行运算．当然，无论怎样变化，其本质都是对数量积定义的考查．求解夹角与模的题目在近年高考中出现的频率很高，应熟练掌握其解法．8．（1）平面向量与的数量积为·cos a b a b θ＝，其中是与的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：0180θ︒≤≤︒；（2）由向量的数量积的性质有||=a a a ·，·cos a b a bθ=，·0a b a b ⇔⊥＝，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．9．不含坐标的向量综合问题，解答时，按向量有关概念、性质、法则等通过运算解决，若条件方便建立坐标系，用坐标表示时，建立坐标系用坐标运算解决，给出坐标的向量综合问题，直接按向量各概念、法则的坐标表示将向量问题转化为代数问题处理．向量与其他知识交汇的题目，先按向量的概念、性质、法则脱去向量外衣，转化为相应的三角、数列、不等式、函数、解析几何等问题，再按相应的知识选取解答方法．10．警示：①两向量夹角的取值范围是]0[π，，②0>∙与><,为锐不等价，0<∙与><b a ,为钝角也不等价；③点共线和向量共线，直线平行与向量平行既有联系又有区别；④在方向⇔=+0baμλ与共线．若与不共线，则00==⇔=+μλμλ．⑥向量的数量积不满足结合律和消去律，即()()∙∙≠∙∙，,≠∙=∙“不能”推出=．11．平面向量的平行与垂直是高考命题的主要方向之一，此类题常见命题形式是：①考查坐标表示；②与三角函数、三角形、数列、解析几何等结合，解题时直接运用向量有关知识列出表达式，再依据相关知识及运用相关方法加以解决．12．熟记平面向量的数量积、夹角、模的定义及性质是解答求模与夹角问题的基础．充分利用平面向量的几何运算法则、共线向量定理、平面向量数量积的运算法则、平面向量基本定理，探究解题思路是解决平面向量问题的保证．1．【2017安徽阜阳二模】已知点()()()1,1,1,2,2,3A B C-，且()AB BC ACλ⊥+，则λ=（）A．38B．38- C．12D．12-【答案】B2．【2017广东佛山二模】若单位向量1e，2e的夹角为3π，则向量122e e-与向量1e的夹角为（）A．2πB．3πC．4πD．6π【答案】A【解析】12111cos32e eπ⋅=⨯⨯=，所以()121121121121211cos2,022e e ee e ee e e e e e-⋅--===-⋅-⋅，所以夹角为2π，选A ． 3．【2017陕西汉中二模】已知向量()()2,0,3,1a a b =--=--，则下列结论正确的是（ ） A ． 2a b ⋅= B ． //a b C ． a b = D ． ()b a b ⊥+ 【答案】D4．【2017重庆二诊】已知向量(),1a x =-， ()1,3b =，若a b ⊥，则a =（ ） A．．． 2 D ． 4 【答案】C【解析】由题意知，0x x =⇒=()32a ==，故选C ．5．【2017四川资阳4月模拟】如图，在直角梯形ABCD 中， AB AD ⊥， AB ∥DC ， 2AB =，1AD DC ==，图中圆弧所在圆的圆心为点C ，半径为12，且点P在图中阴影部分（包括边界）运动．若AP xAB yBC =+，其中xy R ∈，，则4x y -的最大值为A ． 34-B ．3． 2 D ． 3【答案】B【解析】解：以A 点为坐标原点， ,AD AB 方向为y 轴， 轴正方向建立直角坐标系，如图所示，设点P 的坐标为(),P m n ，由意可知： ()()2,01,1AP x y =+- ，据此可得： 2{m x y n y=-= ，则： {2m nx y n+== ，目标函数： 42z x y m n =-=+ ，其中为直线系2n m z =-+ 的截距，当直线与圆相切时，目标函数取得最大值3． 本题选择B 选项．点睛：本题同时考查平面向量基本定理和线性规划中的最值问题．求线性目标函数()0z ax by ab =+≠的最值，当0b >时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时， 值最大，在y 轴截距最小时， 值最小；当0b <时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时， 值最小，在y 轴上截距最小时， 值最大．应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．6．【2017福建三明5月质检】已知向量()()3,1,,1a b x ==-，若a b -与共线，则的值等于（ ） A ． -3 B ． 1 C ． 2 D ． 1或2 【答案】A7．【2017广西5月考前联考】若向量()1,a x =-与向量(),16b x =-方向相反，则x =__________． 【答案】4-【解析】 若向量()1,a x =-与向量(),16b x =-方向相反可得：2164x x -=-⇒=±因为方向相反所以x=-48．【2017河北唐山三模】已知向量()4,a x =-， ()1,2b =，若a b ⊥，则x =__________．【答案】2【解析】·0a b a b ⊥⇔=，所以420x -+=，解得2x =．9．【2017江西九江三模】已知向量()()1,3,2,6a b =-=-，若向量 与的夹角为60，且()10c a b ⋅+=-，则c =__________．【答案】10．【2017福建漳州5月质检】设向量()(),1,1,2AB x x CD =+=-，且//AB CD ，则x =__________． 【答案】-13【解析】由向量平行的充要条件可得关于实数的方程： ()210x x --+=，解得： 13x =-．。
2017年新课标全国理数高考试题汇编：平面向量—老师专用(最新整理)
2017年新课标全国理数高考试题汇编：平面向量1．【2017全国高考新课标II 卷理数·12T 】已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，ABC △P ABC 则的最小是（ ）()PA PB PC ⋅+ A ．B ．C ． D ．2-32-43-1-【答案】B解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．2．【2017全国高考新课标III 卷理数·12T 】在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD相切的圆上。
若= +，则+的最大值为AP λAB μAD λμA ．3B ．CD ．2【答案】A试题解析：如图所示，建立平面直角坐标系设 ,()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y 根据等面积公式可得圆的半径，即圆C 的方程是 ，r =()22425x y -+=【考点】 平面向量的坐标运算；平面向量基本定理【名师点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算。
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决。
3．【2017全国高考新课标I 卷理数·13T 】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2b |= .【答案】试题解析：，所以222|2|||44||4421cos 60412+=+⋅+=+⨯⨯⨯+= a b a a b b.|2|+==a b 秒杀解析：利用如下图形，可以判断出的模长是以2为边长，一夹角为60°的菱形的对角线的2+a b长度，则为【考点】平面向量的运算【名师点睛】平面向量中涉及有关模长的问题时，常用到的通法是将模长进行平方，利用向量数量积的知识进行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，在做这类问题时可以使用数形结合的思想，会加快解题速度.（4.【2017全国高考天津卷理数·13T 】在中，，，.若，ABC △60A =︒∠3AB =2AC =2BD DC = ，且，则的值为___________.()AE AC AB λλ∈=-R 4AD AE ⋅=- λ【答案】 3115．【2017全国高考浙江卷理数·15T 】已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________，最大值是_______．【答案】4，【解析】试题解析：设向量,a b 的夹角为θ，由余弦定理有：a b -== ，a b +== ，则：a b a b ++-=+ ，令y =，则[]21016,20y =+，据此可得：())max min 4a b a b b a b ++-==++-== ，即a b a b ++- 的最小值是4，最大值是．【考点】平面向量模长运算【名师点睛】本题通过设向量,a b 的夹角为θ，结合模长公式， 可得a b a b ++-= ，再利用三角函数的有界性求出最大、最小值，属中档题，对学生的转化能力和最值处理能力有一定的要求．6.【2017全国高考江苏卷理数·12T 】如图，在同一个平面内，向量,,,的模分别为1,1OA OB O C与的夹角为，且tan =7，与的夹角为45°。
三年(2017-2019)高考真题数学(理)分项汇编 专题11 平面向量(含答案解析)
专题11平面向量1．【2019年高考全国I卷理数】已知非零向量a，b满足|a |2|b|，且(a b)b，则a与b的夹角为A．C．π62π3B．D．π35π6【答案】B【解析】因为(a b)b，所以(a b)b ab b2=0，所以a b b2，所以cos=a b|b|2 a b2|b|212π，所以a与b的夹角为，故选B．3【名师点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]．2．【2019年高考全国II A．−3C．2卷理数】已知AB=(2,3)，AC=(3，t)，BCB．−2D．3=1，则AB BC=【答案】C【解析】由BC AC AB (1,t 3)，BC 12(t 3)21，得t 3，则BC (1,0)，AB BC (2,3)(1,0)2130 2 ．故选C．【名师点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．3．【2019年高考北京卷理数】设点A，B，C不共线，则““|AB AC ||B C|”的AB与AC的夹角为锐角”是A．充分而不必要条件C．充分必要条件【答案】C B．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【解析】AB与AC的夹角为锐角，所以|A2 B||A2C|2A B2A|C2|，A即|B|A2C A B A C|AB AC|2|A C AB|2，因为AC AB BC，所以|AB+AC|>|BC|；当|AB+AC|>|BC|成立时，|AB+AC|>|AB -AC|AB•AC>0，又因为点A，B，C不共线，所以AB与AC的夹角为锐角.故“AB与AC的夹角为锐角”是“|AB+AC|>|BC|”的充分必要条件,故选C．【名师点睛】本题考查充要条件的概念与判断､平面向量的模､夹角与数量积,同时考查了转化与化归数学思想.4．【2018年高考全国I卷理数】在△ABC中，A D为BC边上的中线，E为AD的中点，则EBA．C．31AB AC4431AB AC44B．D．13AB AC4413AB AC44【答案】A【解析】根据向量的运算法则，可得BE 111111BA BD BA BC BA BA AC 2224241113131BA BA AC BA AC，所以EB AB AC2444444故选A..【名师点睛】该题考查的是有关平面向量的基本问题，涉及的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.5．【2018年高考全国II卷理数】已知向量a，b满足|a|1，a b1，则a (2a b)A．4C．2【答案】B 【解析】因为B．3D．0a 2a b2a 2a b2|a|21213所以选B.【名师点睛】已知非零向量a (x,y)，b (x,y )1122：22几何表示坐标表示模|a|=aa a x21y21夹角cos a ba bcosx21x x y y1212y2x2y21226．（2018年高考浙江卷）已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为π，3向量b满足b A．3−12−4e·b+3=0，则|a−b|的最小值是B．3+1C．2【答案】AD．2−3【解析】设，则由，得由b−4e·b+3=0得因此|a−b|的最小值为圆心到直线的距离232=3减去半径1，为选A.【名师点睛】本题主要考查平面向量的夹角、数量积、模及最值问题，考查数形结合思想，考查考生的选算求解能力以及分析问题和解决问题的能力，考查的数学核心素养是直观想象、数学运算.7．【2018年高考天津卷理数】如图，在平面四边形ABCD中，AB B C,AD CD,BAD 120, AB AD 1,若点E为边CD上的动点，则AE BE的最小值为A．C．21162516B．D．323【答案】A2【解析】连接 AD ,取 AD 中点为 O ,可知 △ABD 为等腰三角形，而为等边三角形，.△BCD设DE tDC 0t 1AE BEAB B C , AD CD ，所以AD DEBD DE AD BD DE AD BDDE 23 2BD DE DE2= 3t 23 3t 0 t 12 2所以当 t1 21时，上式取最大值 ，故选 A.4 16 【名师点睛】本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它 向量都用基底表示，同时利用向量共线转化为函数求最值.8．【2018 年高考北京卷理数】设 a ，b 均为单位向量，则“a 3b3a b”是“a ⊥b ”的A ．充分而不必要条件C ．充分必要条件 【答案】CB ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件【解析】a 3b 3a b a 3b 3a ba26a b 9b2 9a 2+6ab b2，因为a ，b 均为单位向量，所以 a 26a b 9b29a 2+6 ab b2a b =0a ⊥b ，即“ a 3b 3a b”是“a ⊥b ”的充分必要条件.故选 C.【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若 p 则 q ”、“若 q则 p”的真假．并注意和图示相结合，例如“ p ⇒ q”为 真，则 p 是 q 的充分条件．2．等价法：利用 p ⇒ q 与非 q ⇒非 p ，q ⇒ p 与非 p ⇒非 q ，p ⇔ q 与非 q ⇔非 p 的等价关系， 对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若 A ⊆ B ，则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条件；若 A ＝ B ，则 A 是 B 的充 要条件．9．【2017 年高考全国 III 卷理数】在矩形 ABCD 中，AB =1，AD =2，动点 P 在以点 C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP AB AD ，则的最大值为BD 322C．5D．2【答案】A【解析】如图所示，建立平面直角坐标系.设A0,1,B0,0,C2,0,D2,1,P x,y，易得圆的半径r 25，即圆C的方程是x 22y245，AP x,y 1,A B0,1,A D2,0，若满足AP AB AD，则x 2y1x x，,1y，所以y 122，设z x x4 y 1，即y 1z 0，点P x,y在圆x 2y2225上，所以圆心(2,0)x到直线y 1z 02的距离d r，即2z11425，解得1z 3，所以z的最大值是3，即的最大值是3，故选A．【名师点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.10．【2017年高考全国II卷理数】已知△ABC是边长为2的等边三角形，PPA (PB PC)则的最小值是为平面ABC内一点，4 3D．1C．【答案】B【解析】如图，以B C为x轴，BC的垂直平分线DA为y轴，D为坐标原点建立平面直角坐标系，则A(0,3)，B(1,0)，C(1,0)，设P(x,y)，所以PA (x,3y)，PB (1x,y)，PC (1x,y)PA (PB PC)2x2，所2y(3y)2x2以2(yP333)2222B(，当3P(0,)22P ，C时，所求的x最小值为32，故选B．【名师点睛】平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．11．【2017年高考北京卷理数】设m,n为非零向量，则“存在负数，使得m n”是“m n<0的”A．充分而不必要条件C．充分必要条件【答案】A B．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【解析】若0，使m n，则两向量m,n 反向，夹角是180，那么m n m n cos180m n 0；若m n0，那么两向量的夹角为90,180，并不一定反向，即不一定存在负数，使得m n，所以是充分而不必要条件，故选A.【名师点睛】【名师点睛】判断充分必要条件的的方法：（1）根据定义，若p q,q p，充要条件；若p q,q p，那么就是既不充分也不必要条件.（2）当命题是以集合形式给出时，那就看包含关系，已知p:x A,q:x B,若A B，那么p是q的充分不必要条件，同时q是p的必要不充分条件；若A B，那么p，q 互为充要条件；若没有包含关系，那么就是既不充分也不必要条件.（3）命题的等价性，根据互为逆否命题的两个命题等价，将p是q条件的判断，转化为q是p条件的判断.12．【2019年高考全国III___________.2【答案】3卷理数】已知a，b为单位向量，且a·b=0，若c 2a 5b，则cos,a c【解析】因为c 2a 5b，ab0，所以a c2a25a b 2，|c|24|a|245a b5|b|29，所以|c |3，所以cos a,c a c22a c133．【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．13．【2019年高考天津卷理数】在四边形ABCD中，AD∥BC,AB 23,AD 5,A 30，点E在线段CB的延长线上，且AE BE，则BD AE ___________．【答案】1【解析】建立如图所示的直角坐标系，∠DAB=30°，AB 23,AD 5,则B(23,0)，D(535,). 22因为AD∥BC，BAD30，所以ABE30，因为AE BE，所以BAE 30，3333直线AE的斜率为，其方程为y x.333y (x 23),3由y x3得x 3，y1，所以E( 3,1).所以BD AE (35,) ( 3,1)1. 22【名师点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便.14．【2019年高考江苏卷】如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点O.若AB AC 6A O EC ，则ABAC的值是___________．【答案】3.【解析】如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC的中点，知BF=FE=EA,AO=OD．36 A O EC 3 A DAC AEAB AC2AC AE，AB AC AC AB32AB AC AB AC AB AC3 3AB AC AB ACAB AC ABACAB AC 2 3 32 2，得13 AB ABAC , 即 AB 3 AC , 故22 AC3 【名师点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学 运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.15．【2019 年高考浙江卷】已知正方形ABCD的边长为 1，当每个i(i 1,2,3, 4,5,6)取遍时，| ABBCCDDAACBD | 123456___________．【答案】0； 2 5 .的最小值是___________；最大值是【解析】以 AB , AD分别为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，如图.则AB (1,0), BC(0,1), CD ( 1,0), DA (0, 1), AC (1,1),BD ( 1,1),3 3 1 2 312213 21 221 2 3222令y AB BC CD DA AC BD12345613562245620.又因为i (i 1,2,3,4,5,6)可取遍1，所以当1,1345612时，有最小值ymin0.因为135和245的取值不相关，61或61，所以当135和245分别取得最大值时，y有最大值，所以当1,1125634时，有最大值ymax22422025.故答案为0；25.【名师点睛】对于此题需充分利用转化与化归思想，从“基向量”入手，最后求不等式最值，是一道向量和不等式的综合题.16．【2018年高考全国III卷理数】已知向量a=1,2，b =2,2，c =1,λ．若c∥2a+b ，则___________．【答案】1 2【解析】由题可得2a b4,2，c∥2a+b ，c=1,λ，42 0，即12，故答案为1 2 .【名师点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题.时，由两向量共线的坐标关系计算即可.解题17．【2018年高考上海卷】在平面直角坐标系中，已知点A 1，0、B2，0，E、F是y轴上的两个动点，且|E F|2，则AE BF的最小值为___________．【答案】-3【解析】根据题意，设E（0，a），F（0，b）；∴a=b+2，或b=a+2；且AE 1,a，；BF2,b∴AE BF 2ab；当 a =b +2 时， AEBF 2b 2b b22b 2 ；∵b 2+2b ﹣2 的最小值为84 43；∴ AE BF的最小值为﹣3，同理求出 b=a +2 时， AE BF的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．【名师点睛】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标 的数量积运算，二次函数求最值的公式．18．【2018 年高考江苏卷】在平面直角坐标系 xOy 中， A 为直线 l : y 2 x上在第一象限内的点，B 5,0，以 AB 为直径的圆 C 与直线 l 交于另一点 D ．若 AB CD 0 ，则点 A 的横坐标为___________．【答案】3【解析】设Aa,2a(a 0) ，则由圆心 C 为 AB 中点得Ca 5 2, a ,易得C : x 5x a yy 2a，与y 2 x联立解得点 D 的横坐标x1, D所以D1,2.所以AB5a,2a ,C D 1a 5 2, 2 a，由 AB CD 0 得5a 1a 522a 2a0,a 22a 30,a 3或a1，因为 a0 ，所以 a 3.【名师点睛】以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.19．【2017 年高考全国 I 卷理数】已知向量 a ，b 的夹角为 60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2b |=___________．【答案】2 3【解析】方法一：| a 2b |2|a |2 4a b 4 | b |24 4 2 1cos 60 4 12，方法二：利用如下图形，可以判断出a2b的模长是以2为边长，一夹角为60°的菱形的对角线的长度，则为23.【名师点睛】平面向量中涉及有关模长的问题时，常用到的通法是将模长进行平方，利用向量数量积的知识进行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几 何特征，在做这类问题时可以使用数形结合的思想，会加快解题速度.20．【2017 年高考江苏卷】如图，在同一个平面内，向量 O A ，OB ，OC 的模分别为 1，1， 2 ，OA 与 OC 的夹角为 ，且tan=7，O B 与 O C 的夹角为 45°．若 OC mOA nOB(m , n R ) ，则 m n___________．【答案】3【解析】由tan 7可得 sin7 2 10， c os2，根据向量的分解，10n cos 45mcos 2易得 ，即nsi n 45m sin 05 7m , n ，4 4m n 3 所以 ．22n m 2 2 10 2 7 2n m 0 2105n m 10 ，即5n 7m 0 ，即得 【名师点睛】（1）向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题．类综合问题．通过向量的坐标运算，可将原问题转化为解不等式或求函数值域的问题，是此类 问题的一般方法．（3）向量的两个作用：①载体作用，关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用，利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题． 21．【2017 年高考天津卷理】在 △ABC 中， ∠A60， AB 3 ， AC 2 ．若 BD 2DC ，AEACAB (R )，且 AD AE4，则 的值为___________．3【答案】11【解析】由题可得AB AC 3 2 cos60 3, A D1 2AB AC 3 3，则 1 2 2 1 23 AD AE ( AB AC ) (AC AB )3 4 9 3 43 3 3 3 3 311．【名师点睛】根据平面向量基本定理，利用表示平面向量的一组基底可以表示平面内的任一向量，利用向量的定比分点公式表示向量，则可获解．本题中AB , AC 已知模和夹角，作为基底 易于计算数量积．22．【2017 年高考山东卷理数】已知 e , e 12是互相垂直的单位向量，若 3ee 与 ee 1212的夹角为60，则实数 的值是___________．【答案】33【解析】∵( 3ee ) (ee ) 3e 21 21213e1e e ee 21 2223，| 3ee | ( 3ee )121223e 212 3e e e1222 2，| ee | (e e )2e 2 2ee 2e 12 121122212，32 12cos6012，解得3 3．【名师点睛】（1）平面向量 a 与 b 的数量积为 a b |a || b | cos，其中 是 a 与 b 的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：0180.，abab ，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．（3）本题主要利用向量的模与向量运算的灵活转换，应用平面向量的夹角公式，建立关于的方程求解.a 1,b 2,则a b a b的最小值是________，23．【2017年高考浙江卷】已知向量a，b满足最大值是___________．25【答案】4，【解析】设向量a,b的夹角为，则a b 1222212cos 54cos ，a b 1222212cos 54cos ，则a b a b 54cos 54cos ，令y 54cos 54cos ，则y21022516cos216,20，据此可得：a b a b 2025,a b a b 164，max min即a b a b的最小值是4，最大值是25．【名师点睛】本题通过设向量a,b的夹角为，结合模长公式，可得a b a b 54cos54cos ，再利用三角函数的有界性求出最大、最小值，属中档题，对学生的转化能力和最值处理能力有一定的要求．。
2017年高考数学(理科)-平面向量-专题练习-答案
山东省2017年高考数学（理科）专题练习平面向量 答 案【真题回访】回访一 平面向量的线性运算 1．A 2．12回访二 平面向量的数量积 3．D 4．16热点题型1 平面向量的运算 【例1】 (1)B (2)B【变式训练一】 (1)32(2)－2热点题型2 三角与向量的综合问题 【例2】 (1)85(2)122⎤-⎢⎥⎣⎦【变式训练二】 (1)6π(2)6x π=，()g x 的最大值为32. 专题限时集训(三) 平面向量 【A 组 高考达标】一、选择题 1．B 2．A 3．D 4．C 5．C 二、填空题 6．65 7．712 8．16三、解答题9．(1)∵23m n ==，()1,2AB =u u u r ，()2,1AC =u u u r ，∴()()()221,22,12,233OP =+=u u u r ，∴OP ==u u u r(2)∵()()()1,22,12,2OP m n m n m n =+=++u u u r，∴2,2,x m n y m n =+⎧⎨=+⎩两式相减，得m n y x -=-.令y x t -=，由图知，当直线y x t =+ 过点()2,3B 时，t 取得最大值1，故m n -的最大值为1.10．(1)由2BA BC =u u u r u u u rg 得cacosB 2=. 因为1cosB 3=，所以6ac =. 余弦定理，得2222accosB a c b +=+. 又3b =，所以2292213a c +⨯=+=. 解226,13,ac a c =⎧⎨+=⎩得2a =，=3c 或3a =，2c =.因为ac >，所以3a =，2c =.(2)在ABC △中，sinB 3===，由正弦定理，得2sin C sin B 339c b ==⨯=. 因为a b c =>，所以C为锐角，因此7cos C 9===.于是1723cos cosBcosC sinBs ()inC 393927B C -+=⨯+⨯==. 【B 组 名校冲刺】 一、选择题 1．B 2．A 3．B 4．A 二、填空题 5．2 6．－3 三、解答题7．(1)因为向量22sin ,03a x πω⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()2cos ,30b x ωω=>，所以函数())2214sin cos 4sin cos cos cos 3222sin cos 1cos 2sin 2x 2cos 26a b x x x x x x x x x x f x πωωωωωωπωωωωω⎛⎛⎫⎛⎫==+=-+=- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭g g g 由题意可知f (x )的最小正周期为πT =， 所以2π=π2ω，即1ω=. (2)已知()2co =s 26f x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭[]0,2x π∈时，2,4666x ππππ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦， 故[π2π6],2πx +∈或[π23π],4π6x +∈时，函数()f x 单调递增， 所以函数f (x )的单调递增区间为5π11π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦和17π23π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦.8．设BC u u u r ，CA u u u r ，AB u u u r依次为a ，b ，c ，则6a b c ++=，2b ac =.在ABC △中，22222212cosB 222a c b a c ac ac a ac ac c ac +-+-==-≥=，故有03B π≤＜，又622a c bb +-≤==，从而02b <≤.(1)22111πsin sin 2sin 2223S ac B b B ==≤=g g 当且仅当a c =，且π3B =，即ABC△为等边三角形时面积最大，即max S .(2)()()()22222222263cos 327.222a c acb b b ac b BA BC ac B b +----+-=====-++u u u r u u u r g ∵02b <≤，∴821BA <≤u u u rg ， 即BA BC u u u r u u u rg 的取值范围是[)2,18.山东省2017年高考数学（理科）专题练习平面向量 解 析【真题回访】回访一 平面向量的线性运算1．A [∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →)， 即4AC →－AB →＝3 AD →，∴AD →＝－13AB →＋43AC →.]2．12[∵λa ＋b 与a ＋2b 平行，∴λa ＋b ＝t (a ＋2b )， 即λa ＋b ＝ta ＋2tb ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，解得⎩⎨⎧λ＝12，t ＝12.]回访二 平面向量的数量积3．D[由已知条件得BD →·CD →＝BD →·BA →＝3a ·a cos 30°＝32a 2，故选D.]4．16[已知A ＝π6，由题意得|AB →||AC →|cos π6＝tan π6，|AB →||AC →|＝23，所以△ABC 的面积S ＝12|AB →||AC →|sin π6＝12×23×12＝16.] 热点题型1 平面向量的运算 【例1】(1)B [(1)法一：建立平面直角坐标系如图所示，设正方形的边长为2，则A (0,0)，B (2,0)，C (2,2)，M (2,1)，D (0,2)，所以AC →＝(2,2)，AM →＝(2,1)，BD →＝(－2,2)．由AC →＝λAM →＋μBD →，得(2,2)＝λ(2,1)＋μ(－2,2)，即(2,2)＝(2λ－2μ，λ＋2μ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2λ－2μ＝2，λ＋2μ＝2，解得⎩⎨⎧λ＝43，μ＝13，所以λ＋μ＝53，故选B.法二：因为AC →＝λAM →＋μBD →＝λ(AB →＋BM → )＋μ(BA →＋AD → )＝λ⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋12AD →＋μ(－AB →＋AD → )＝(λ－μ)AB →＋⎝⎛⎭⎫12λ＋μAD →，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ＝1，12λ＋μ＝1，得⎩⎨⎧λ＝43，μ＝13，所以λ＋μ＝53，故选B. ](2)B [如图所示，AF →＝AD →＋DF →.又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且DE ＝2EF ，所以AD →＝12AB →，DF →＝12AC →＋14AC →＝34AC →，所以AF →＝12AB →＋34AC →.又BC →＝AC →－AB →，则AF →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋34AC →·(AC →－AB →)＝12AB →·AC →－12AB →2＋34AC →2－34AC →·AB →＝34AC →2－12AB →2－14AC →·AB →. 又|AB →|＝|AC →|＝1，∠BAC ＝60°， 故AF →·BC →＝34－12－14×1×1×12＝18.故选B.]【变式训练一】(1)32 [如图所示，可知OA ⊥AP ，OB ⊥BP ，OP ＝1＋3＝2，又OA ＝OB ＝1，可以求得AP ＝BP ＝ 3.∠APB ＝60°，故P A →·PB →＝3×3×cos 60°＝32.](2)－2 [∵a ∥b ，∴a ＝λb ，即me 1＋2e 2＝λ(ne 1－e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧λn ＝m ，－λ＝2，解得mn ＝－2.]热点题型2 三角与向量的综合问题 【例2】[解] (1)∵a ∥b ，∴34cos x ＋sin x ＝0，∴tan x ＝－34，4分∴cos 2x －sin 2x ＝cos 2x －2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝1－2tan x 1＋tan 2x ＝85.(2)f (x )＝2(a ＋b )·b ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋32， 由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，可得sin A ＝22.9分 ∵b ＞a ， ∴A ＝π4，10分y ＝f (x )＋4cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－12.11分 ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3， ∴2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，11π12， ∴32－1≤y ≤2－12， 即y 的取值范围是⎣⎡⎦⎤32－1，2－12.12分【变式训练一】[解] (1)|a |2＝(sin x )2＋(3sin x )2＝4sin 2x ，|b |2＝(sin x )2＋(cos x )2＝1. 由|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1，2分 又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，从而sin x ＝12，3分 所以x ＝π6，.4分(2)f (x )＝a·b ＝sin 2x ＋3sin x ·cos x 5分 ＝32sin2x ＋12－12cos 2x 7分 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12.8分 将f (x )图象向左平移π6个单位得到函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋12.10分 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， 从而当2x ＋π6＝π2即x ＝π6时，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6取最大值1，11分 所以x ＝π6时，g (x )的最大值为32.12分专题限时集训(三) 平面向量 【A 组 高考达标】 一、选择题1．B [因为AB →＝－2CD →，所以AB →＝2DC →.又M 是BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)＝12(AB →＋AD →＋DC →)＝12(AB →＋AD →＋12AB →)＝34AB →＋12AD →，故选B.]2．A [由题意可得OB →的横坐标x ＝2cos(60°＋45°)＝2⎝⎛⎭⎫24－64＝1－32，纵坐标y ＝2sin(60°＋45°)＝2⎝⎛⎭⎫64＋24＝1＋32，则OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32，1＋32，故选A.] 3．D [∵向量a ＝(3，1)，b ＝(x ，－3)，且a ⊥b ，∴3x －3＝0，∴x ＝3， ∴b ＝(3，－3)，a －b ＝(0,4)，设向量b 与a －b 的夹角为θ， 则cos θ＝b ·(a －b )|b |·|(a －b )|＝－1223×4＝－32，∴θ＝150°.]4．C [∵M 是BC 边的中点， ∴AM →＝12(AB →＋AC →)．∵O 是△ABC 的外接圆的圆心，∴AO →·AB →＝|AB →||AO →|cos ∠BAO ＝12|AB →|2＝12×(23)2＝6.同理可得AO →·AC →＝12|AC →|2＝12×(22)2＝4，∴AM →·AO →＝12(AB →＋AC →)·AO →＝12AB →·AO →＋12AC →·AO →＝12×(6＋4)＝5.] 5．C [由AO →＝12(AB →＋AC →)可知O 是BC 的中点，即BC 为外接圆的直径，所以|OA →|＝|OB →|＝|OC →|.又因为|AO →|＝|AC →|＝1，故△OAC 为等边三角形，即∠AOC ＝60°，由圆周角定理可知∠ABC ＝30°，且|AB →|＝3，所以BA →在BC →方向上的投影为|BA →|·cos ∠ABC ＝3×cos 30°＝32，故选C.] 二、填空题6．65 [设e 1，e 2为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量，则向量c ＝e 1－2e 2，a ＝2e 1＋e 2，b ＝－2e 1－2e 2，由c 与xa ＋yb 共线，得c ＝λ(x a ＋y b )，∴e 1－2e 2＝2λ(x －y )e 1＋λ(x －2y )e 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ(2x －2y )＝1，λ(x －2y )＝－2，∴⎩⎨⎧x ＝3λ，y ＝52λ，则x y 的值为65.] 7．712 [∵AP →⊥BC →，∴AP →·BC →＝0， ∴(λAB →＋AC →)·BC →＝0，即(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝λAB →·AC →－λAB →2＋AC →2－AC →·AB →＝0. ∵向量AB →与AC →的夹角为120°，|AB →|＝3，|AC →|＝2， ∴(λ－1)×3×2×cos 120°－9λ＋4＝0，解得λ＝712.]8．－16 [∵△ABC 是正三角形，O 是其中心，其边长AB ＝BC ＝AC ＝1，∴AO 是∠BAC 的平分线，且AO ＝33，∴OB → ·OC →＝(AB →－AO → )·(AC →－AO → )＝AB → ·AC →－AO → ·AC →－AO → ·AB →＋AO →2＝1×1×cos 60°－33×1×cos 30°－33×1×cos 30°＋⎝⎛⎭⎫332＝－16.] 三、解答题9．[解] (1)∵m ＝n ＝23，AB →＝(1,2)，AC →＝(2,1)，∴OP →＝23(1,2)＋23(2,1)＝(2,2)，∴|OP →|＝22＋22＝2 2.4分(2)∵OP →＝m (1,2)＋n (2,1)＝(m ＋2n,2m ＋n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，两式相减，得m －n ＝y －x . 令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2,3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.10．[解] (1)由BA →·BC →＝2得ca cos B ＝2.1分 因为cos B ＝13，所以ac ＝6.2分由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B . 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13.解⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得a ＝2，c ＝3或a ＝3，c ＝2.4分 因为a >c ，所以a ＝3，c ＝2.6分 (2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2 B ＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223，7分由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429.8分因为a ＝b >c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2 C ＝1－⎝⎛⎭⎫4292＝79.10分 于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13×79＋223×429＝2327.12分【B 组 名校冲刺】 一、选择题1．B [由题意可得OD →＝k OC →＝kλOA →＋kμOB →(0<k <1)，又A ，D ，B 三点共线可得kλ＋kμ＝1，则λ＋μ＝1k >1，即λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)，故选B.]2．A [因为(a ＋b )⊥⎝⎛⎭⎫a －52b ，所以a 2－52b 2－32a·b ＝0. 又因为|a |＝2，|b |＝1，所以a 2＝4，b 2＝1，所以4－52－32a ·b ＝0，所以a·b ＝1.所以a·b ＝|a |·|b |cos〈a ，b 〉＝1，所以cos 〈a ，b 〉＝12.又a 与b 的夹角范围为[0，π]，所以a 与b 的夹角为π3.]3． B [∵BF →＝2FO →，圆O 的半径为1，∴|FO →|＝13， ∴FD →·FE →＝(FO →＋OD →)·(FO →＋OE →)＝FO →2＋FO →·(OE →＋OD →)＋OD →·OE →＝⎝⎛⎭⎫132＋0－1＝－89.] 4．A [因为点P 在y ＝cos x 的图象上运动，所以设点P 的坐标为(x 0，cos x 0)，设Q 点的坐标为(x ，y )，则OQ →＝m ⊗OP →＋n ⇒(x ，y )＝⎝⎛⎭⎫12，4⊗(x 0，cos x 0)＋⎝⎛⎭⎫π6，0⇒(x ，y )＝⎝⎛⎭⎫12x 0＋π6，4cos x 0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12x 0＋π6，y ＝4cos x 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2⎝⎛⎭⎫x －π6，y ＝4cos x 0⇒y ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 即f (x )＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π3时，由π6≤x ≤π3⇒π3≤2x ≤2π3⇒0≤2x －π3≤π3， 所以12≤cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1⇒2≤4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤4， 所以函数y ＝f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π3上的最大值是4，故选A.]二、填空题5．2 [由题意得|a |＝12＋(3)2＝2，则|a －2b |2＝|a |2－4|a||b|cos 〈a ，b 〉＋4|b |2＝22－4×2cos π3|b |＋4|b |2＝12，解得|b |＝2(负舍)．]6．－3 [由⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0得BC →与∠A 的角平分线所在的向量垂直，所以AB ＝AC ，BC →⊥AD →.又|AB →－AC →|＝23，所以|CB →|＝23，所以|BD →|＝3，AB →·BD →＝－BA →·BD →＝－|BD →|2＝－3.]三、解答题 7．[解] (1)因为向量a ＝⎝⎛⎭⎫2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋2π3，0，b ＝(2cos ωx,3)(ω>0)，所以函数f (x )＝a·b ＝4sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋2π3cos ωx ＝4⎝⎛⎭⎫sin ωx ·⎝⎛⎭⎫－12＋cos ωx ·32cos ωx ＝23·cos 2ωx －2sin ωx cos ωx ＝3(1＋cos 2ωx )－sin 2ωx ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＋3， 由题意可知f (x )的最小正周期为T ＝π，所以2π2ω＝π，即ω＝1. (2)已知f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋3，当x ∈[0,2π]时，2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，4π＋π6，故2x ＋π6∈[π，2π]或2x ＋π6∈[3π，4π]时，函数f (x )单调递增， 所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤5π12，11π12和⎣⎡⎦⎤17π12，23π12.8．[解] 设|BC →|，|CA →|，|AB →|依次为a ，b ，c ，则a ＋b ＋c ＝6，b 2＝ac .在△ABC 中，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，故有0＜B ≤π3， 又b ＝ac ≤a ＋c 2＝6－b 2，从而0＜b ≤2. (1)S ＝12ac sin B ＝12b 2sin B ≤12·22·sin π3＝3，当且仅当a ＝c ，且B ＝π3，即△ABC 为等边三角形时面积最大，即S max ＝ 3.(2)BA →·BC →＝ac cos B ＝a 2＋c 2－b 22＝(a ＋c )2－2ac －b 22＝(6－b )2－3b 22＝－(b ＋3)2＋27. ∵0＜b ≤2，∴2≤BA →·BC →＜18，即BA →·BC →的取值范围是[2,18).。
高考数学(理)(全国通用)大一轮复习2017高考试题汇编 第五章 平面向量 word版含解析
第五章 平面向量第一节 平面向量的线性运算及其坐标表示题型59 向量的概念及共线向量 题型60 平面向量的线性表示——暂无 题型61 向量共线的应用1.（2017全国3理12）在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上． 若AP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+的最大值为（ ）.A ．3B．D ．2解析 解法一：由题意，作出图像，如图所示．设BD 与C e 切于点E ，联结CE ．以点A 为坐标原点，AD 为x 轴正半轴，AB 为y 轴正半轴建立直角坐标系，则点C 坐标为(2,1)．因为||1CD =，||2BC =．所以BD =BD 切C e 于点E ．所以CE⊥BD ．所以CE 是Rt BCD △斜边BD上的高．1222BCDBC CDS EC BD BD ⋅⋅⋅==△， 即C e．因为点P 在C e 上．所以点P 的轨迹方程为224(2)(1)5x y -+-=．设点P 的坐标为00(,)x y ，可以设出点P坐标满足的参数方程0021x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，而00(,)AP x y =u u u r ，(0,1)AB =u u u r ，(2,0)AD =u u u r． 因为(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+=u u u r u u u r u u u r，所以0112x μθ==，01y λθ==．两式相加得()112λμθθθϕ+=++=++=2sin()3θϕ++≤ (其中sin ϕcos ϕ)，当且仅当π2π2k θϕ=+-，k ∈Z 时，λμ+取得最大值为3．故选A.解法二：如图所示，考虑向量线性分解的等系数和线，可得λμ+的最大值为3.2.(2017浙江理15)已知向量a ，b 满足1=a ，2=b ，则++-a b a b 的最小值是 ，最大值是 .解析 解法一：如图所示，a +b 和-a b 是以,a b 为邻边的平行四边形的两条对角线，则()2222210++-=+=a b a b a b，A 是以O 为圆心的单位圆上的一动点，构造2个全等的平行四边形AOBD ，平行四边形ECOA ．所以AB AC +-=+a +b a b ． 易知当A ，B ，C 三点共线时，AB AC +最小，此时4AB AC BC +==； 当AO BC ⊥时，AB AC+最大，此时2AB AC AB +==解法二:()2222++-=++-++-=a b a b a b a b a b a b ()222++a b1010+=+θ是向量a ，b 的夹角).所以当2cos 1θ=时，++-a b a b 取得最小值4；当2cos 0θ=时，++-a b a b 取得最大值a题型62 平面向量基本定理及应用1.（2017江苏12）如图所示，在同一个平面内，向量OA u u u r ，OB uuu r ，OC uuu r的模分别为1，1，OA u u u r 与OC uuu r 的夹角为α，且tan 7α=，OB uuu r 与OC uuu r的夹角为45︒．若OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r(),m n ∈R ， 则m n += ．B解析 解法一：由题意OC OA mOA OA nOB OAOC OB mOA OB nOB OB⎧⋅=⋅+⋅⎪⎨⋅=⋅+⋅⎪⎩u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r （*）而由tan 7α=，得sin α=，cos α=，11cos 4OA OB απ⎛⎫⋅=⨯⨯+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r 3cos cos sin sin 445ααππ=⋅-⋅=-．将（*）式化简为13 5531 5m n m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩①② 式①加式②，得3m n +=．故填3．解法二（坐标法）：如图所示，以OA 所在的直线为x 轴，过O 且垂直于OA 的直线为y 轴建立平面直角坐标系，由题意结合解法一可得()1,0A ，17,55C ⎛⎫⎪⎝⎭，34,55B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r ，得()1734,1,0,5555m n ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即13557455m n n⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得5474m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故3m n +=．故填3．解法三（解三角形）：由tan 7α=，可得sin α=，cos α=，如图所示，根据向量的分解，易得cos 45cos sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩2100210n m n m +=⎪-=⎩，即510570n m n m +=⎧⎨-=⎩，解得57,44m n ==，所以3m n +=．题型63 平面向量的坐标运算1.（2017江苏13）在平面直角坐标系xOy 中，点()12,0A -，()0,6B ，点P 在圆22:50O x y +=上．若20PA PB ⋅u u u r u u u r„，则点P 的横坐标的取值范围是 ．解析 不妨设()00,P x y ，则220050x y +=，且易知0x ⎡∈-⎣．因为PA PB AP BP =⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u r()()000012,,6x y x y =+⋅-=220000126x x y y ++-005012620x y =+-„，故00250x y -+„．所以点()00,P x y 在圆22:50O x y +=上，且在直线250x y -+=的左上方（含直线）.联立2250250x y x y ⎧+=⎨-+=⎩，得15x =-，21x =，如图所示，结合图形知0x ⎡⎤∈-⎣⎦．故填⎡⎤-⎣⎦．2评注 也可以理解为点P 在圆22000012620x y x y +=+-的内部来解决，与解析中的方法一致．题型64 向量共线（平行）的坐标表示——暂无第二节 平面向量的数量积题型65 平面向量的数量积1.（2017天津理13）在ABC △中，60A =o∠，3AB =，2AC =.若2BD DC =u u u r u u u r ，()AE AC AB λλ∈=-R u u u r u u u r u u u r ，且4AD AE ⋅=-u u u r u u u r，则λ的值为___________.解析 解法一：如图所示，以向量AB u u u r，AC uuu r 为平面向量的基底，则依题意可得1cos603232AB AC AB AC ⋅==⨯⨯=ou u u r u u u r u u u r u u u r .又因为2BD DC =u u u r u u u r ，则()22213333AD AB BD AB BC AB AC AB AC AB =+=+=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ， 则22212114533333AD AE AC AB AC AB λλλ⎛⎫-=⋅=-+-⋅=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，解得311λ=.DCBA解法二：以点A 为坐标原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立直角坐标系(如图所示).依题意易得()0,0A ，()3,0B，(C ，()=3,0AB u u u r，(BC =-u u u r，(=AC u u u r .则可得2533AD AB BD AB BC ⎛=+=+= ⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，()AE AC AB λλ=-=-u u ur u u u r u u u r ，于是有()511432533AD AE λλλ-=⋅=-+=-u u u r u u u r ，解得311λ=.2.(2017北京理6)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的（ ）. A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C. 充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析若0λ∃<，使λ=m n ，即两向量方向相反，夹角为180o ，则0⋅<m n .若0⋅<m n ，也可能夹角为(90,180⎤⎦o o，方向并不一定相反，故不一定存在.故选A.3.（2017全国1理13）13.已知向量a ，b 的夹角为60o，2=a ，1=b ，则2+=a b . 解析 ()22222(2)22cos602+=+=+⋅⋅⋅+o a b a b a a b b221222222=+⨯⨯⨯+=444++=12，所以2+==a b 4.（2017全国2理12）已知ABC △是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r的最小值是（ ）.A.2-B.32-C. 43- D.1-解析 解法一（几何法）：如图所示，取BC 的中点D ，联结AD ，取AD 的中点E ，由2PB PC PD +=u u u r u u u r u u u r，则()()()22PA PB PC PD PA PE ED PE EA ⋅+=⋅=+⋅+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()222PE ED -=u u u r u u u r2221132422PE AD AD ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r …，当且仅当20PE =u u u r，即点P 与点E 重合时，取得最小值为32-，故选B. PECBA解法二（解析法）：建立如图所示的直角坐标系，以的BC 的中点为坐标原点，所以()03A ，，()10B -，，()10C ，．设点()P x y ，，()3PA x y=--u u u r，，()1PB x y =---u u u r，，()1PC x y =--u u u r，，所以()222232PA PB PC x y y ⋅+=-+u u u r u u u r u u u r 223324x y ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 则其最小值为33242⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，此时0x =，3y =．故选B.5.（2017全国3理12）在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+的最大值为（ ）.A ．3B ．225D ．2解析 解法一：由题意，作出图像，如图所示．设BD 与C e 切于点E ，联结CE ．以点A 为坐标原点，AD 为x 轴正半轴，AB 为y 轴正半轴建立直角坐标系，则点C 坐标为(2,1)．因为||1CD =，||2BC =．所以BD =BD 切C e 于点E ．所以CE⊥BD ．所以CE 是Rt BCD △斜边BD上的高．1222BCDBC CDS EC BD BD ⋅⋅⋅==△， 即C e．因为点P 在C e 上．所以点P 的轨迹方程为224(2)(1)5x y -+-=．设点P 的坐标为00(,)x y ，可以设出点P坐标满足的参数方程0021x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，而00(,)AP x y =u u u r ，(0,1)AB =u u u r ，(2,0)AD =u u u r． 因为(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+=u u u r u u u r u u u r，所以0112x μθ==，01y λθ==．两式相加得()112λμθθθϕ+=++=++=2sin()3θϕ++≤ (其中sin ϕcos ϕ)，当且仅当π2π2k θϕ=+-，k ∈Z 时，λμ+取得最大值为3．故选A.解法二：如图所示，考虑向量线性分解的等系数和线，可得λμ+的最大值为3.λ+μ=2λ+μ=3DCBA6.（2017山东理12）已知12,e e 是互相垂直的单位向量，12-e 与12λ+e e 的夹角为60o ，则实数λ的值是. 解析)()221212112122λλλ-⋅+=+⋅-⋅-=e e e e e e e e ，()22212121122333232-=-=-⋅+=e e e e e e e e ，()222221212112221λλλλλ+=+=+⋅+=+e e e e e e e e ，所以22321cos601λλλ-=⨯+⨯=+o ，解得3λ=． 7.(2017浙江理10)如图所示，已知平面四边形ABCD ，AB BC ⊥，2AB BC AD ===，3CD =，AC 与BD 交于点O ，记1·I OAOB =u u u r u u u r ，2·I OB OC =u u u r u u u r ，3·I OC OD =u u u r u u u r，则（ ）.A ．123I I I <<B ．132I I I <<C ．312I I I <<D ．213I I I <<解析 如图所示，动态研究问题:D D ¢®，O O ¢®．此时有90AOB?o ，90BOC?o ，90COD?o ，且CO AO >，DO BO >．故OB OCOA OBOC OD ???uu u r uuu ruu r uu u ruuu r uuu r .8.(2017浙江理15)已知向量a ，b 满足1=a ，2=b ，则++-a b a b 的最小值是 ，最大值是 .解析 解法一：如图所示，a +b 和-a b 是以,a b 为邻边的平行四边形的两条对角线，则()2222210++-=+=a b a b a b，A 是以O 为圆心的单位圆上的一动点，构造2个全等的平行四边形AOBD ，平行四边形ECOA ．所以AB AC +-=+a +b a b ． 易知当A ，B ，C 三点共线时，AB AC +最小，此时4AB AC BC +==； 当AO BC ⊥时，AB AC +最大，此时225AB AC AB +==O'OAba a -ba +b AD OC解法二:()2222++-=++-++-=a b a b a b a b a b a b ()222++a b1010+=+θ是向量a ，b 的夹角).所以当2cos 1θ=时，++-a b a b 取得最小值4；当2cos 0θ=时，++-a b a b 取得最大值题型66 向量与三角形的四心——暂无。
2017-2021全国高考真题数学汇编：平面向量章节综合
2017-2021全国高考真题数学汇编平面向量章节综合一、单选题1．（2018·全国·高考真题（文））已知向量a,b 满足a 1= ，a b 1⋅=- ，则a (2a b)⋅-=A ．4B ．3C ．2D ．02．（2017·全国·高考真题（文））设非零向量a ，b满足a b a b +=- ，则A ．a ⊥bB ．=a bC ．a ∥bD ．a b >3．（2017·全国·高考真题（理））已知ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC +的最小值是( ) A ．2-B ．32-C ．43- D ．1-4．（2020·全国·高考真题（理））已知向量 a ，b 满足||5a = ， ||6b = ，6a b ⋅=- ，则cos ,=a a b <+> （ ）A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．19355．（2020·全国·高考真题（文））已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是（ ）A ．2a b +B ．2a b +C ．2a b -D ．2a b -6．（2019·全国·高考真题（文））已知向量()()2332a b == ，，，，则|–|a b =AB ．2C ．D ．50 7．（2019·全国·高考真题（文））已知非零向量a b ，满足2a b =，且b a b ⊥ （–），则a 与b 的夹角为A ．π6B ．π3C ．2π3 D ．5π68．（2019·全国·高考真题（理））已知AB=(2,3)，AC =(3，t )，BC =1，则AB BC ⋅ =A ．-3B ．-2C ．2D ．39．（2018·全国·高考真题（文））在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC -B ．1344AB AC -C ．3144+AB AC D ．1344+AB AC 二、填空题10．（2017·全国·高考真题（理））已知向量a 与b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则|a+2 b |= ______ .11．（2017·全国·高考真题（文））已知向量(2,3),(3,)a b m =-=，且a b ⊥ ，则m =_______."北京题库"服务号j in g s h i b a n g .c o m12．（2017·全国·高考真题（文））已知向量a =（﹣1，2），b =（m ，1），若()a b a +⊥，则m=_________．13．（2021·全国·高考真题）已知向量0a b c ++= ，1a = ，2b c == ，a b b c c a ⋅+⋅+⋅= _______．14．（2021·全国·高考真题（文））若向量,a b满足3,5,1a a b a b =-=⋅= ，则b = _________. 15．（2021·全国·高考真题（理））已知向量()()3,1,1,0,a b c a kb ===+ ．若a c ⊥，则k =________． 16．（2020·全国·高考真题（理））已知单位向量a →,b →的夹角为45°，k a b →→-与a →垂直，则k =__________.17．（2019·全国·高考真题（理））已知,a b 为单位向量，且a b ⋅=0，若2c a = ，则cos ,a c <>= ___________.18．（2019·全国·高考真题（文））已知向量(2,2),(8,6)a b ==- ，则cos ,a b = ___________. 19．（2021·全国·高考真题（理））已知向量()()1,3,3,4a b == ，若()a b b λ-⊥，则λ=__________．20．（2018·全国·高考真题（理））已知向量()=1,2a ，()=2,2b - ，()=1,c λ ．若()2+c a b，则λ=________．"北京题库"服务号j in g s h i b a n g .c o m参考答案1．B 【详解】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.详解：因为22(2)22||(1)213,a a b a a b a ⋅-=-⋅=--=+=所以选B.点睛：向量加减乘： 221212(,),||,cos ,a b x x y y a a a b a b a b ±=±±=⋅=⋅ 2．A【详解】由a b a b +=- 平方得222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，即0a b ⋅= ，则a b ⊥ ，故选A. 【点睛】本题主要考查了向量垂直的数量积表示，属于基础题. 3．B 【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可． 【详解】建立如图所示的坐标系，以BC 中点为坐标原点，则A ，(1,0)B -，(1,0)C ，设(,)P x y，则()PA x y =-- ，(1,)PB x y =---，(1,)PC x y =-- ，则22223()222[(]4PA PB PC x y x y +=-+=+-∴当0x =，y =时，取得最小值332()42⨯-=-，故选：B ．4．D【分析】计算出()a ab ⋅+ 、a b + 的值，利用平面向量数量积可计算出cos ,a a b <+> 的值."北京库"服务号j in g s h i b a n g .c o m【详解】 5a = ，6b = ，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-= .7a +=== ，因此，()1919cos ,5735a ab a a b a a b ⋅+<+>===⨯⋅+ . 故选：D. 【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题. 5．D 【分析】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可. 【详解】由已知可得：11cos 601122a b a b ︒⋅=⋅⋅=⨯⨯=. A ：因为215(2)221022a b b a b b +⋅=⋅+=+⨯=≠ ，所以本选项不符合题意； B ：因为21(2)221202a b b a b b +⋅=⋅+=⨯+=≠ ，所以本选项不符合题意；C ：因为213(2)221022a b b a b b -⋅=⋅-=-⨯=-≠ ，所以本选项不符合题意；D ：因为21(2)22102a b b a b b -⋅=⋅-=⨯-= ，所以本选项符合题意. 故选：D. 【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义和运算性质，考查了两平面向量数量积为零则这两个平面向量互相垂直这一性质，考查了数学运算能力.6．A 【分析】本题先计算a b -，再根据模的概念求出||a b - ．【详解】由已知，(2,3)(3,2)(1,1)a b -=-=-，所以||a b -=故选A 【点睛】本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错．"北京题库"服务号j in g s h i b a n g .c o m7．B 【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由()a b b -⊥ 得出向量,a b的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角． 【详解】因为()a b b -⊥ ，所以2()a b b a b b -⋅=⋅- =0，所以2a b b ⋅= ，所以cos θ=22||122||a b b b a b ⋅==⋅ ，所以a 与b 的夹角为3π，故选B ．【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π．8．C 【分析】根据向量三角形法则求出t ，再求出向量的数量积.【详解】由(1,3)BC AC AB t =-=-1=，得3t =，则(1,0)BC = ，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=．故选C ．【点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大． 9．A 【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得1122BE BA BC =+，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BC BA AC =+，之后将其合并，得到3144BE BA AC =+ ，下一步应用相反向量，求得3144EB AB AC =-，从而求得结果.【详解】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC=++=+，"北京题库"服务号j in g s h i b a n g .c o m所以3144EB AB AC =- ，故选A. 【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算. 10．【详解】∵平面向量a 与b 的夹角为060，21a b == ，∴021cos601a b ⋅=⨯⨯=.∴2a b +====故答案为点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式．常用来求向量的模． 11．2 【详解】由题意可得2330,m -⨯+=解得2m =.【名师点睛】（1）向量平行：1221x y x y ⇒=∥a b ，,,∥λλ≠⇒∃∈=0R a b b a b ,111BA AC OA OB OC λλλλ=⇔=+++ .（2）向量垂直：121200⊥⇔⋅=⇔+=x x y y a b a b .（3）向量的运算：221212(,),||,||||cos ,x x y y ±=±±=⋅=⋅a b a a a b a b a b .12．7【详解】由题得(1,3)a b m +=- ，因为()0a b a +⋅=，所以(1)230m --+⨯=，解得7m =．13．92-【分析】由已知可得()20a b c++=，展开化简后可得结果.【详解】由已知可得()()()22222920a b ca b c a b b c c a a b b c c a ++=+++⋅+⋅+⋅=+⋅+⋅+⋅=，因此，92a b b c c a ⋅+⋅+⋅=- .故答案为：92-. 14．【分析】"北京题库"服务号j in g s h i b a n g .c o m根据题目条件，利用a b -模的平方可以得出答案 【详解】 ∵5a b -=∴222229225a b a b a b b -=+-⋅=+-=∴b =故答案为：15．103-. 【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量c的坐标，利用向量的数量积为零求得k 的值【详解】()()()3,1,1,0,3,1a b c a kb k ==∴=+=+,(),33110a c a c k ⊥∴⋅=++⨯= ，解得103k =-,故答案为：103-. 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量()()1122,,,p x y q x y ==垂直的充分必要条件是其数量积12120x x y y +=. 16【分析】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k 的值.【详解】由题意可得：11cos 45a b →→⋅=⨯⨯=， 由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：20k a a b k →→→⨯-⋅==，解得：k =． 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 17．23. "北京题库"服务号j s h i b a n g .c o m【分析】根据2||c结合向量夹角公式求出||c ，进一步求出结果. 【详解】因为2c a =，0a b ⋅= ，所以22a c a b⋅=⋅2=，222||4||5||9c a b b =-⋅+= ，所以||3c = ，所以cos ,a c <>= 22133a c a c ⋅==⨯⋅ ． 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．18．【分析】根据向量夹角公式可求出结果. 【详解】cos ,a b a b a b <>===．【点睛】本题考查了向量夹角的运算，牢记平面向量的夹角公式是破解问题的关键．19．35【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出． 【详解】因为()()()1,33,413,34a b λλλλ-=-=--，所以由()a b b λ-⊥ 可得，()()3134340λλ-+-=，解得35λ=．故答案为：35．【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设()()1122,,,a x y b x y ==，121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=，注意与平面向量平行的坐标表示区分．20．12 【分析】由两向量共线的坐标关系计算即可． 【详解】"北京题库"服务号j in g s h i b a n g .c o m由题可得()24,2a b +=()//2,c a b + ()1,cλ=4λ20∴-=,即1λ2=故答案为12 【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题．"北京题库"服务号j in g s h i b a n g .c o m。
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2017年新课标全国理数高考试题汇编：平面向量
1．【2017全国高考新课标II 卷理数·12T 】已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，
ABC △P ABC 则的最小是（ ）
()PA PB PC ⋅+ A ．B ．C ． D ．2-32-43-1
-【答案】B
解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．
2．【2017全国高考新课标III 卷理数·12T 】在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD
相切的圆上。
若= +，则+的最大值为
AP λAB μAD λμ
A ．3
B ．
C
D ．2
【答案】A
试题解析：如图所示，建立平面直角坐标系
设 ,
()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y 根据等面积公式可得圆的半径，即圆C 的方程是 ，
r =()22425x y -+=
【考点】 平面向量的坐标运算；平面向量基本定理
【名师点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算。
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决。
3．【2017全国高考新课标I 卷理数·13T 】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2b |= .
【答案】试题解析：，所以
222|2|||44||4421cos 60412+=+⋅+=+⨯⨯⨯+= a b a a b b
.
|2|+==a b 秒杀解析：利用如下图形，可以判断出的模长是以2为边长，一夹角为60°的菱形的对角线的
2+a b
长度，则为
【考点】平面向量的运算
【名师点睛】平面向量中涉及有关模长的问题时，常用到的通法是将模长进行平方，利用向量数量积
的知识进行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，在做
这类问题时可以使用数形结合的思想，会加快解题速度.
（4.【2017全国高考天津卷理数·13T 】在中，，，.若，
ABC △60A =︒∠3AB =2AC =2BD DC = ，且，则的值为___________.
()AE AC AB λλ∈=-R 4AD AE ⋅=- λ【答案】 311
5．【2017全国高考浙江卷理数·15T 】已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________，
最大值是_______．
【答案】4，【解析】
试题解析：设向量,a b 的夹角为θ，由余弦定理有：a b -== ，
a b +== ，则：
a b a b ++-=+ ，
令y =，则[]21016,20y =+，
据此可得：())max min 4a b a b b a b ++-==++-== ，
即a b a b ++- 的最小值是4，最大值是．
【考点】平面向量模长运算
【名师点睛】本题通过设向量,a b 的夹角为θ，结合模长公式， 可得
a b a b ++-= ，再利用三角函数的有界性求出最大、最
小值，属中档题，对学生的转化能力和最值处理能力有一定的要求．
6.【2017全国高考江苏卷理数·12T 】如图，在同一个平面内，向量,,,的模分别为1,1O
A O
B O C
与的夹角为，且tan =7，与的夹角为45°。
若=m +n （m ，n R ），则m+n= O A O C ααO B O C O C O A O B ∈
7.【2017全国高考浙江卷理数·13T 】在平面直角坐标系xOy 中，A （-12,0），B （0,6），点P 在圆O ：x 2+y 2=50
上，若·20，则点P 的横坐标的取值范围是 P A P B ≤
8. 【2017全国高考浙江卷理数·16T 】（本小题满分14分）
已知向量a =（cos x ,sin x ）,,.
b =(3,‒3)x ∈[0,π]（1）若a ∥b ，求x 的值；
（2）记,求的最大值和最小值以及对应的x 的值 【解析】（1）∵a ∥b ，∴f (x )=a ∙b f (x )3sin x x =
，又，∴，∵，∴.cos 0x ≠tan x =x ∈[0,π]5π6
x =
（2）.∵，∴，∴()π3cos )3
f x x x x =-=--x ∈[0,π]ππ2π[,]333x -∈-
，∴，当，即时，取得最大值，为3；当πsin(13x ≤-≤()3f x -≤≤ππ33
x -=-0x =f (x )
，即时，取得最小值，为.ππ32x -=5π6x =f (x )-
“”
“”
At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。