导数加法与减法法则讲义

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3.4.1《导数的加法与减法法则》课件(北师大版选修1-1)

一、选择题（每题5分，共15分） 1.已知曲线y=x6在点P处的切线与直线y= 1 x +3垂直，则此切线
6
的方程为(
)
(A)x+6y+5=0
(C)x-6y+5=0
(B)6x+y+5=0
(D)6x-y+5=0
【解析】选B.设切点坐标为（x0,x06），则切线的斜率 k=6x05=-6,∴x0=-1,∴切点为(-1,1)，∴切线方程为y-1= -6(x+1)即6x+y+5=0.
∵直线过原点，∴（0，0）符合上述方程，
∴ x0ex =ex , x 0 =1,
0 0
∴切点为（1，e），斜率为e. 答案：(1,e) e
三、解答题（6题12分，7题13分，共25分） 6.求下列函数的导数：
xm + n x （1）y=cotx-cosx;(2)y=ex+log3x;(3)y= (n≠0). x
【解析】∵f′(x)=cosx+ 1 ,∴f′(1)=cos1+1. x 答案：1+cos1
5.过原点作曲线y=ex的切线，则切点的坐标为 ______，切线的斜率为 ______.
【解析】设切点坐标为 (x 0 ,ex ), 则过该切点的直线的斜率为
0
x x ex0 , ∴切线方程为 y-e 0 =e 0 (x-x0 ).
)
2.（5分）曲线y=x3-x与直线y=2x+b相切，则实数b= ______.
【解析】设切点为（x0,x03-x0），则f′(x0)=3x02-1=2, ∴x0=〒1,当x0=1时，切点为（1，0）代入y=2x+b得b=-2, 当x0=-1时，切点为（-1，0），代入y=2x+b得b=2. 答案：〒2

3.4.2 导数的加法与减法法则

x
x
当x趋于0时,得到导数 : f (x) 1 2x.
可以看出 : (x x2 ) x (x2 ).
两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差),即:
f (x) g(x) f (x) g(x), f (x) g(x) f (x) g(x).
例1求下列函数的导数: (1) y x2 2;(2) y x ln x.
解 : (1)函数y x2 2x是f (x) 2x与函数g(x) 2x的和,由导数公式表, 分别得出 f (x) 2x, g(x) 2x ln 2. 利用函数和的求导法则可得 :
x2 2x f (x) g(x) 2x 2x ln 2.
(2)函数y x ln x是f (x) x与
解: 首先求出函数y x3 1 在x 1处的导数.
函数y
x3
1
是函数f
(x)
x
x 3与g ( x)
1
的差,
x
x
由导数公式表分别得出
f
(
x)
3x
2
,
g(
x)
1 x2
.
根据函数差的求导法则可得 :
x3
1 x
f
(x) g(x)
3x2
1 x2
.
将x 1代入导函数得
31 1 4 1
即曲线y x3 1 过点(1,0)的切线斜率为4, x
从而其切线方程为
y 0 4(x 1) 即: y 4(x 1).
练习:如图已知曲线
y
1 3
x 3上一点P (2,
8) 3
,求:
(1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程.
解 : (1)由导数公式得:

导数运算法则加减法则ppt课件

[ f1(x) f2 (x)
fn (x)] f1(x) 解多项式函数的导数就容易了——
练习
求函数 f (x) 2x3 9x2 6x 4 的导数
f (x) (2x3) (9x2 ) (6x) (4) 和差法则
常函数
2 (x3) 9 (x2 ) 6 (x) 0 数乘法则
3x2
2x
1
23x2 9 2x 61
幂法则整理
6x2 18x 6
求函数 f (x) 2x 1 的导数
2x
f (x) (2x) ( 1 ) 2 (x) 1 (x1)
2x
2
2
11
1 2
(
x2x)2
2
1 2x2
求函数 f (x) 3 x 1 的导数
f (x) ( 3
x ) (
点( 2, 3 )的切线方程 ( y 3) 3(x 2)
y 3x 9
函数 f (x) 1 5x 2x2
2）何处有水平切线
斜率为零 f (x) 5 4x 0 x5 4
3）何处的斜率为1 f (x) 5 4x 1
x 1
1.25
求函数 f (x) x 2 在一点( 1, 3 )的切线方程 x
1 幂法则（xn） nxn1 2 数乘法则 [c f (x)] c f (x)
常数的导数为零 (c) 0
多项式函数
f (x) an xn an1xn1
是若干幂函数的和
a0
引入两个或两个以上函数和的导数法则是非常有用的
3 和差法则
两个可导函数和的导数等于这两个函数导数的和
[ f (x) g(x)] f (x) g(x)
( y 3) k(x 2)
点( 2, 3 )处的切线斜率值

4.1导数的加法与减法法则(公开课)

P(2, 14 ) 3
求：
（1）点P处的切线的斜率.（2）点P处的切线方程.
解析：(1)由导数公式，得 f (x) (1 x3 x) 3
1 3 x2 1 x2 1. 3
故点P处的切线斜率：f (2) 22 1 5.
（2）点P处的切线方程为：
y 14 5(x 2),即3y 15x 16 0. 3
（1）y x2 +2x （2）
【变式练习】
求下列函数的导数：
(1)y

3x

x3.(2)y

ex

1

1
x3.
x
探究2 函数和与差求导法则的推广
思考：导数的和(差)公式对三个或三个以上函数导
数的运算还成立吗？
[f1(x) f2(x) fn (x)]' ?
提示:成立.
[f1(x) f2 (x) fn (x)]
1.函数
的导数为（ B ）
A.
y

1 x2
sin x
B.
y

1 x2
sin x
C.
y
1 x2
sin x
D.
y
1 x2
sin x
２.函数y 2x 3 3x 2 4x 1 的导数为 ______________.
３.已知曲线 y

1 3
x3

x 上一点

f1
(x
)

f

2
(x)

f

n
(x
).

导数的加减法法则

x
由函数差的求导法则
f(x ) g (x )f(x ) g (x )
及求导公式可得：
(x31 x)(x3) (1 x)3x2(x 1 2)
x 1 将代入上式得：
31 1 4 即 1
ห้องสมุดไป่ตู้
k切线 4
故所求切线方程为：
y04(x1)
即 4xy40
巩固练习
＊导数公式：
（1） C0(C为常数 )
（2） (xn)nxn1(nR)
f(x ) g (x )f(x ) g (x )
可得：
( xlnx)( x)(lnx)11 2x x
巩固练习
分析：
本题中，要求过已知点的切线方程，应求出切线
的斜率，而前面学习了导数的几何意义，导数即是切
线的斜率，所以只要求出函数在
处的导数，即
可写出切线方程。
x 1
解答
解：设 f (x和) x3 ， g ( x ) 1
（3） (sinx)cosx
（4） (cosx)sinx
（5） (ax)axlna(a0,a1) (ex) ex
（6） (logax)xl1 na(a0,a1)
(ln x) 1 x
返回
ycosxex
y 1 1 2 x cos2 x
x
两个，±1 例2
动手做一做
1. 求曲线程。
在 y处c的o切s线x斜率和方x
k 1
6
x2y
30
2
6
f(x)x x 2. 若曲线
在 P 处的切线平4行于直
线
，求 P 点坐标。
y 3x
(1,0)
提示：导数等于切线斜率时，可求得P的坐标。

导数的加法与减法法则

当堂检测
1、求下列函数的导数。
3 x
（ 1）y x 2 ; 1 (3) y ln x. x
(2) f ( x) x sin x;
2
2、课本72页练习第1、2题
课堂小结
导数的加法与减法法则是什么?
几个常用的函数的导数是什么?
y c(c是常数), y x (为实数),
相应的平均变化率为 y x 2 xx x 2 1 2 x x. x x
当x趋于0时, 得到导数: f ( x) 1 2 x. 2 2 可以看出: ( x x ) x ( x ).
点拨精讲
两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差),即:
x
(e ) __________ _; e
x '
x
1 1 ' ' x ln a (ln x) __________ x (4)(loga x) _______; _; ' cos x (5)(sin x) ________; ' sin x (6)(cosx) ______ _.

y a x ( a 0, a 1), y loga x( a 0, a 1), y sin x, y cos x, y t an x, y cot x.
布置作业
课本 P75 习题3-4
A组第1、2题
y (3)求极限，得导函数y f ( x) lim . x 0 x
二、导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度
0 (1)(C ) __________ _; (C为常数)
'
x (2)(x ) __________ ; (为常数)

第二章4.1导数的加法与减法法则

§4 导数的四则运算法则 4．1 导数的加法与减法法则[学习目标]1．理解导数的加法与减法法则的推导方法． 2．掌握导数的加法与减法法则．3．会利用导数的加法与减法法则进行简单导数计算． [知识链接]利用导数的和(差)公式进行导数运算的前提条件是什么答应用的前提条件是：①必须是有限个函数和(差)的形式；②其中每个函数的导数都存在且利用公式能容易求出．[预习导引]1．导数的加法与减法法则 (1)符号语言①[f (x )＋g (x )]′＝f ′(x )＋g ′(x )． ②[f (x )－g (x )]′＝f ′(x )－g ′(x )． (2)文字语言两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差)． 2．两个函数和差的求导法则的推广(1)[af (x )±bg (x )]′＝af ′(x )±bg ′(x )(a ，b 为常数)． (2)[f 1(x )±f 2(x )±f 3(x )±…±f n (x )]′＝f ′1(x )±f ′2(x )±f ′3(x )±…±f ′n (x )．要点一直接利用法则求导数例1 求下列函数的导数： (1)y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2x ＋2x 2；(2)y ＝1＋sin x 2cos x2；(3)y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(4)y ＝(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1. 解观察式子的特点，可以先化简再求导． (1)∵y ＝x ＋2＋2x ，∴y ′＝1－2x2.(2)∵y ＝1＋sin x2cos x2＝1＋12sin x ，∴y ′＝12cos x .(3)∵y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3.(4)∵y ＝(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1＝－x ＋1x ，∴y ′＝(－x )′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－12－12＝－12x ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x . 规律方法对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，在不利于直接应用导数公式时，可适当运用代数、三角恒等变换手段，对函数进行化简，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．跟踪演练1 求下列函数的导数： (1)y ＝15x 5－43x 3＋3x ＋2；(2)y ＝sin 4x 4＋cos 4x4.解 (1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x 5－43x 3＋3x ＋2′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x 5′－⎝ ⎛⎭⎪⎫43x 3′＋(3x )′＋(2)′＝x 4－4x 2＋3. (2)∵y ＝⎝⎛⎭⎪⎫sin 2x 4＋cos 2x 42－2sin 2x 4cos 2x 4＝1－12sin 2x 2＝1－12·1－cos x 2＝34＋14cos x ， ∴y ′＝－14sin x .要点二求导法则的逆向应用例2 已知f ′(x )是一次函数，x 2·f ′(x )－(2x －1)·f (x )＝1对一切x ∈R 恒成立，求f (x )的解析式．解由f ′(x )为一次函数可知，f (x )为二次函数，设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ，把f (x )，f ′(x )代入关于x 的方程得x 2(2ax ＋b )－(2x －1)·(ax 2＋bx ＋c )＝1，即(a －b )x 2＋(b －2c )x ＋c －1＝0，又该方程对一切x ∈R 恒成立，所以⎩⎨⎧a －b ＝0，b －2c ＝0，c －1＝0，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2，c ＝1，所以f (x )＝2x 2＋2x ＋1.规律方法待定系数法就是用设未知数的方法分析所要解决的问题，然后利用已知条件解出所设未知数，进而将问题解决．待定系数法常用来求函数解析式，特别是已知具有某些特征的函数．跟踪演练2 设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x ＋1.求y ＝f (x )的函数表达式．解 ∵f ′(x )＝2x ＋1， ∴f (x )＝x 2＋x ＋c (c 为常数)，又∵方程f (x )＝0有两个相等的实根，即x 2＋x ＋c ＝0有两个相等的实根，Δ＝12－4c ＝0，即c ＝14，∴f (x )的表达式为f (x )＝x 2＋x ＋14.要点三导数的应用例3 已知函数f (x )＝x 3＋x ，求函数在点(2,10)处的切线方程．解 f ′(x )＝(x 3＋x )′＝(x 3)′＋(x )′＝3x 2＋1. ∴f ′(2)＝3×22＋1＝13. ∴所求切线的斜率是13.∴切线方程为y －10＝13(x －2)，即13x －y －16＝0.∴所求切线的方程是13x －y －16＝0.规律方法导数的几何意义是曲线的切线的斜率，对较复杂函数的求导，可利用导数公式和运算法则．跟踪演练3 已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，求曲线y ＝f (x )在x ＝π4处的切线方程．解 ∵f ′(x )＝(sin x ＋cos x )′＝(sin x )′＋(cos x )′＝cos x －sin x ， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝cos π4－sin π4＝0.∴曲线y ＝f (x )在x ＝π4处的切线斜率为0. 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2，∴所求切线方程为y ＝ 2.1．函数f (x )＝sin x ＋x 的导数是( ) A ．f ′(x )＝cos x ＋1B ．f ′(x )＝cos x －1C ．f ′(x )＝－cos x ＋1D ．f ′(x )＝－cos x ＋x 答案 A2．曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点(1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝3x －4 B ．y ＝－3x ＋2 C ．y ＝－4x ＋3 D ．y ＝4x －5答案 B解析 ∵y ′＝3x 2－6x ，∴曲线在点(1，－1)处的切线斜率为－3. ∴切线方程为y ＝－3x ＋2.3．已知f ′(1)＝13，则函数g (x )＝f (x )＋x 在x ＝1处的导数为________．答案 14解析 g ′(x )＝f ′(x )＋1， ∴g ′(1)＝f ′(1)＋1＝14.4．过原点作曲线y ＝e x 的切线，则切点坐标为________．答案 (1，e)解析 ∵(e x )′＝e x .设切点坐标为(x 0，e x 0)，则过该切点的切线斜率为e x 0，令＝e x 0e x 0－0x 0－0.即x 0·e x 0＝e x 0 ∴x 0＝1.∴切点坐标为(1，e)．1．导数公式和导数的运算法则是计算导数的重要工具．2．利用导数解决曲线的切线问题要分清所给点是否是切点．一、基础达标1．下列结论不正确的是( ) A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若f (x )＝3x ＋1，则f ′(1)＝3C ．若y ＝－x ＋x ，则y ′＝－12x ＋1D ．若y ＝sin x ＋cos x ，则y ′＝cos x ＋sin x 答案 D解析利用求导公式和导数的加、减运算法则求解．D 项，∵y ＝sin x ＋cosx ，∴y ′＝(sin x )′＋(cos x )′＝cos x －sin x . 2．函数y ＝x －(2x －1)2的导数是( ) A ．3－4x B ．3＋4x C ．5＋8x D ．5－8x 答案 D解析 y ＝x －(4x 2－4x ＋1)＝－4x 2＋5x －1，y ′＝－8x ＋5.3．曲线f (x )＝x 3＋x －2在P 0点处的切线平行于直线y ＝4x －1，则P 0点的坐标为( ) A ．(1,0)B ．(2,8)C ．(1,0)和(－1，－4)D ．(2,8)和(－1，－4)答案 C解析 ∵f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，∴x 0＝±1.4．曲线f (x )＝x 2＋bx ＋c 在点(1,2)处的切线与其平行直线bx ＋y ＋c ＝0间的距离是( )答案 C解析因为曲线过点(1,2)，所以b ＋c ＝1，又f ′(1)＝2＋b ，由题意得2＋b ＝－b ， ∴b ＝－1，c ＝2.所以所求的切线方程为y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0，故两平行直线x －y ＋1＝0和x －y －2＝0的距离为d ＝|1＋2|2＝322.5．过点P (－1,2)且与曲线f (x )＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线方程是______________________________．答案 2x －y ＋4＝0解析易求f ′(x )＝6x －4，f ′(1)＝2. ∴所求直线的斜率k ＝2. 则直线方程为y －2＝2(x ＋1)，即2x －y ＋4＝0.6．某物体做直线运动，其运动规律是s ＝t 2＋3t(t 的单位是s ，s 的单位是m)，则它在第4 s 末的瞬时速度应该为________________________．答案 71316m/s解析 ∵s ′＝2t －3t2，∴v ＝s ′(4)＝8－316＝71316(m/s)．7．已知函数f (x )＝2x ＋x 2－x ，求f ′(1)，f ′(4)．解 f ′(x )＝(2x ＋x 2－x )′＝(2x )′＋(x 2)′－x ′ ＝2x ln 2＋2x －1， ∴f ′(1)＝2ln 2＋1，f ′(4)＝24·ln 2＋2×4－1＝16ln 2＋7. 二、能力提升8．函数y ＝2x 2－x x ＋3x －2x的导数为( )⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋1x 2＋1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－1x 2－1⎝ ⎛⎭⎪⎫3－1x 2＋1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋1x 2－1答案 D 解析 ∵y ＝－x ＋3－，＝3x ＋1x x －1＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋1x 2－1.9．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为( )A ．4B ．－14C ．2D ．－12答案 A解析依题意得f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4.10．(2013·江西)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________. 答案 2解析令t ＝e x ，则x ＝ln t ，所以函数为f (t )＝ln t ＋t ，即f (x )＝ln x ＋x ，所以f ′(x )＝1x ＋1，即f ′(1)＝11＋1＝2.11．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求a 、b 、c 的值．解因为y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)，所以a ＋b ＋c ＝1.y ′＝2ax ＋b ，曲线在点(2，－1)处的切线的斜率为4a ＋b ＝1. 又曲线过点(2，－1)，所以4a ＋2b ＋c ＝－1.由⎩⎨⎧a ＋b ＋c ＝1，4a ＋b ＝1，4a ＋2b ＋c ＝－1，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝－11，c ＝9.所以a 、b 、c 的值分别为3、－11、9.12．已知函数f (x )＝ax －6x 2＋b 的图像在点M (－1，f (－1))处的切线方程为x＋2y ＋5＝0.求函数y ＝f (x )的解析式．解由M (－1，f (－1))在x ＋2y ＋5＝0上得－1＋2f (－1)＋5＝0，即f (－1)＝－2. 即－a －61＋b＝－2，① 又f ′(x )＝a ?x 2＋b ?－2x ?ax －6??x 2＋b ?2.由f ′(－1)＝－12得 a ?1＋b ?＋2?－a －6??1＋b ?2＝－12.② 由①②得a ＝2，b ＝3，∴函数f (x )的解析式为f (x )＝2x －6x 2＋3. 三、探究与创新13．设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．(1)解由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝12，①又f ′(x )＝a ＋b x2， ∴f ′(2)＝74，②由①，②得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74.解之得⎩⎨⎧a ＝1b ＝3.故f (x )＝x －3x.(2)证明设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0||2x 0＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.。

第二章导数得加法与减法法则

§4 导数得四则运算法则4.1 导数得加法与减法法则[学习目标]1.理解导数得加法与减法法则得推导方法.2.掌握导数得加法与减法法则.3.会利用导数得加法与减法法则进行简单导数计算.[知识链接]利用导数得与(差)公式进行导数运算得前提条件就是什么？答应用得前提条件就是:①必须就是有限个函数与(差)得形式;②其中每个函数得导数都存在且利用公式能容易求出.[预习导引]1.导数得加法与减法法则(1)符号语言①[f (x )＋g (x )]′＝f ′(x )＋g ′(x ).②[f (x )－g (x )]′＝f ′(x )－g ′(x ).(2)文字语言两个函数与(差)得导数等于这两个函数导数得与(差).2.两个函数与差得求导法则得推广(1)[af (x )±bg (x )]′＝af ′(x )±bg ′(x )(a ,b 为常数).(2)[f 1(x )±f 2(x )±f 3(x )±…±f n (x )]′＝f ′1(x )±f ′2(x )±f ′3(x )±…±f ′n (x ).要点一直接利用法则求导数例1 求下列函数得导数:(1)y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2x ＋2x 2;(2)y ＝1＋sin x 2cos x 2;(3)y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3; (4)y ＝(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1、解观察式子得特点,可以先化简再求导. (1)∵y ＝x ＋2＋2x ,∴y ′＝1－2x 2、(2)∵y ＝1＋sin x 2cos x 2＝1＋12sin x ,∴y ′＝12cos x 、(3)∵y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3＝x 3＋1＋1x 2,∴y ′＝3x 2－2x 3、 (4)∵y ＝(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1＝－x ＋1x, ∴y ′＝(－x )′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－12 －12 ＝－12x ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x 、规律方法对一个函数求导时,要紧扣导数运算法则,联系基本初等函数得导数公式,在不利于直接应用导数公式时,可适当运用代数、三角恒等变换手段,对函数进行化简,然后求导.这样可以减少运算量,优化解题过程. 跟踪演练1 求下列函数得导数:(1)y ＝15x 5－43x 3＋3x ＋2;(2)y ＝sin 4x 4＋cos 4x 4、解 (1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x 5－43x 3＋3x ＋2′ ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x 5′－⎝ ⎛⎭⎪⎫43x 3′＋(3x )′＋(2)′＝x 4－4x 2＋3、 (2)∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x 4＋cos 2x 42－2sin 2x 4cos 2x 4＝1－12sin 2x 2＝1－12·1－cos x 2＝34＋14cos x ,∴y ′＝－14sin x 、要点二求导法则得逆向应用例2 已知f ′(x )就是一次函数,x 2·f ′(x )－(2x －1)·f (x )＝1对一切x ∈R 恒成立,求f (x )得解析式.解由f ′(x )为一次函数可知,f (x )为二次函数,设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0),则f ′(x )＝2ax ＋b ,把f (x ),f ′(x )代入关于x 得方程得x 2(2ax ＋b )－(2x －1)·(ax 2＋bx ＋c )＝1,即(a －b )x 2＋(b －2c )x ＋c －1＝0,又该方程对一切x ∈R 恒成立,所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝0b －2c ＝0c －1＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝2c ＝1所以f (x )＝2x 2＋2x ＋1、规律方法待定系数法就就是用设未知数得方法分析所要解决得问题,然后利用已知条件解出所设未知数,进而将问题解决.待定系数法常用来求函数解析式,特别就是已知具有某些特征得函数.跟踪演练2 设y ＝f (x )就是二次函数,方程f (x )＝0有两个相等得实根,且f ′(x )＝2x ＋1、求y ＝f (x )得函数表达式.解 ∵f ′(x )＝2x ＋1,∴f (x )＝x 2＋x ＋c (c 为常数),又∵方程f (x )＝0有两个相等得实根,即x 2＋x ＋c ＝0有两个相等得实根,Δ＝12－4c＝0,即c ＝14,∴f (x )得表达式为f (x )＝x 2＋x ＋14、要点三导数得应用例3 已知函数f (x )＝x 3＋x ,求函数在点(2,10)处得切线方程.解 f ′(x )＝(x 3＋x )′＝(x 3)′＋(x )′＝3x 2＋1、∴f ′(2)＝3×22＋1＝13、∴所求切线得斜率就是13、∴切线方程为y －10＝13(x －2),即13x －y －16＝0、∴所求切线得方程就是13x －y －16＝0、规律方法导数得几何意义就是曲线得切线得斜率,对较复杂函数得求导,可利用导数公式与运算法则.跟踪演练3 已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ,求曲线y ＝f (x )在x ＝π4处得切线方程. 解 ∵f ′(x )＝(sin x ＋cos x )′＝(sin x )′＋(cos x )′＝cos x －sin x ,∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝cos π4－sin π4＝0、 ∴曲线y ＝f (x )在x ＝π4处得切线斜率为0、又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2,∴所求切线方程为y ＝2、1.函数f (x )＝sin x ＋x 得导数就是( )A.f ′(x )＝cos x ＋1B.f ′(x )＝cos x －1C.f ′(x )＝－cos x ＋1D.f ′(x )＝－cos x ＋x答案 A2.曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点(1,－1)处得切线方程为( )A.y ＝3x －4B.y ＝－3x ＋2C.y ＝－4x ＋3D.y ＝4x －5答案 B解析 ∵y ′＝3x 2－6x , ∴曲线在点(1,－1)处得切线斜率为－3、∴切线方程为y ＝－3x ＋2、3.已知f ′(1)＝13,则函数g (x )＝f (x )＋x 在x ＝1处得导数为________.答案 14解析 g ′(x )＝f ′(x )＋1,∴g ′(1)＝f ′(1)＋1＝14、4.过原点作曲线y ＝e x 得切线,则切点坐标为________.答案 (1,e)解析 ∵(e x )′＝e x 、设切点坐标为(x 0,e x 0),则过该切点得切线斜率为e,令＝e e x 0－0x 0－0、即x 0·e x 0＝e ∴x 0＝1、∴切点坐标为(1,e).1.导数公式与导数得运算法则就是计算导数得重要工具.2.利用导数解决曲线得切线问题要分清所给点就是否就是切点.一、基础达标1.下列结论不正确得就是( )A.若y ＝3,则y ′＝0B.若f (x )＝3x ＋1,则f ′(1)＝3C.若y ＝－x ＋x ,则y ′＝－12x ＋1D.若y ＝sin x ＋cos x ,则y ′＝cos x ＋sin x答案 D解析利用求导公式与导数得加、减运算法则求解.D项,∵y＝sin x＋cos x,∴y′＝(sin x)′＋(cos x)′＝cos x－sin x、2.函数y＝x－(2x－1)2得导数就是()A.3－4xB.3＋4xC.5＋8xD.5－8x答案 D解析y＝x－(4x2－4x＋1)＝－4x2＋5x－1,y′＝－8x＋5、3.曲线f(x)＝x3＋x－2在P0点处得切线平行于直线y＝4x－1,则P0点得坐标为()A.(1,0)B.(2,8)C.(1,0)与(－1,－4)D.(2,8)与(－1,－4)答案 C解析∵f′(x0)＝3x20＋1＝4,∴x0＝±1、4.曲线f(x)＝x2＋bx＋c在点(1,2)处得切线与其平行直线bx＋y＋c＝0间得距离就是()A、24B、22C、322D、 2答案 C解析因为曲线过点(1,2),所以b＋c＝1,又f′(1)＝2＋b,由题意得2＋b＝－b,∴b＝－1,c＝2、所以所求得切线方程为y－2＝x－1,即x－y＋1＝0,故两平行直线x－y＋1＝0与x－y－2＝0得距离为d ＝|1＋2|2＝322、 5.过点P (－1,2)且与曲线f (x )＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处得切线平行得直线方程就是______________________________.答案 2x －y ＋4＝0解析易求f ′(x )＝6x －4,f ′(1)＝2、∴所求直线得斜率k ＝2、则直线方程为y －2＝2(x ＋1),即2x －y ＋4＝0、6.某物体做直线运动,其运动规律就是s ＝t 2＋3t (t 得单位就是s,s 得单位就是m),则它在第4 s 末得瞬时速度应该为________________________.答案 71316 m/s解析 ∵s ′＝2t －3t 2,∴v ＝s ′(4)＝8－316＝71316 (m/s).7.已知函数f (x )＝2x ＋x 2－x ,求f ′(1),f ′(4).解 f ′(x )＝(2x ＋x 2－x )′＝(2x )′＋(x 2)′－x ′＝2x ln 2＋2x －1,∴f ′(1)＝2ln 2＋1,f ′(4)＝24·ln 2＋2×4－1＝16ln 2＋7、二、能力提升8.函数y ＝2x 2－x x ＋3x －2x得导数为( ) A 、x ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋1x 2＋1 B 、x ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－1x 2－1 C 、x ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－1x 2＋1 D 、x ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋1x 2－1答案 D解析∵y＝－x＋3－,＝3x＋1x x －1＝x⎝⎛⎭⎪⎫3＋1x2－1、9.设函数f(x)＝g(x)＋x2,曲线y＝g(x)在点(1,g(1))处得切线方程为y＝2x＋1,则曲线y＝f(x)在点(1,f(1))处切线得斜率为()A.4B.－14 C.2 D.－12答案 A解析依题意得f′(x)＝g′(x)＋2x,f′(1)＝g′(1)＋2＝4、10.(2013·江西)设函数f(x)在(0,＋∞)内可导,且f(e x)＝x＋e x,则f′(1)＝________、答案 2解析令t＝e x,则x＝ln t,所以函数为f(t)＝ln t＋t,即f(x)＝ln x＋x,所以f′(x)＝1 x ＋1,即f′(1)＝11＋1＝2、11.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过点(1,1),且在点(2,－1)处与直线y＝x－3相切,求a、b、c得值.解因为y＝ax2＋bx＋c过点(1,1),所以a＋b＋c＝1、y′＝2ax＋b,曲线在点(2,－1)处得切线得斜率为4a＋b＝1、又曲线过点(2,－1),所以4a＋2b＋c＝－1、由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝14a ＋b ＝14a ＋2b ＋c ＝－1 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3b ＝－11c ＝9、所以a 、b 、c 得值分别为3、－11、9、12.已知函数f (x )＝ax －6x 2＋b得图像在点M (－1,f (－1))处得切线方程为x ＋2y ＋5＝0、求函数y ＝f (x )得解析式.解由M (－1,f (－1))在x ＋2y ＋5＝0上得－1＋2f (－1)＋5＝0,即f (－1)＝－2、即－a －61＋b＝－2,① 又f ′(x )＝a (x 2＋b )－2x (ax －6)(x 2＋b )2、由f ′(－1)＝－12得 a (1＋b )＋2(－a －6)(1＋b )2＝－12、② 由①②得a ＝2,b ＝3,∴函数f (x )得解析式为f (x )＝2x －6x 2＋3、三、探究与创新13.设函数f (x )＝ax －b x ,曲线y ＝f (x )在点(2,f (2))处得切线方程为7x －4y －12＝0、(1)求f (x )得解析式;(2)证明:曲线y ＝f (x )上任一点处得切线与直线x ＝0与直线y ＝x 所围成得三角形得面积为定值,并求此定值.(1)解由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3、当x ＝2时,y ＝12,∴f (2)＝12,①又f ′(x )＝a ＋b x 2,∴f ′(2)＝74,②由①,②得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －b 2＝12a ＋b 4＝74、解之得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1b ＝3、故f (x )＝x －3x 、(2)证明设P (x 0,y 0)为曲线上任一点,由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0,y 0)处得切线方程为y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0), 即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0). 令x ＝0得y ＝－6x 0,从而得切线与直线x ＝0得交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0－6x 0、令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0,从而得切线与直线y ＝x 得交点坐标为(2x 0,2x 0).所以点P (x 0,y 0)处得切线与直线x ＝0,y ＝x 所围成得三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0||2x 0＝6、故曲线y＝f(x)上任一点处得切线与直线x＝0,y＝x所围成得三角形得面积为定值,此定值为6、。

导数的加法与减法法则市公开课一等奖省赛课获奖课件

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第三章变化率与导数
第14页
(2)方法一：∵y＝2·x－2＋3·x－3， ∴y′＝(2x－2＋3x－3)′ ＝(2x－2)′＋(3x－3)′ ＝－4x－3－9x－4＝－x34＋－x49＝－x43－x94. 方法二：y′＝x22＋x33′＝x22′＋x33′ ＝2′x2－x4x2′·2＋3′·x3－x6x3′·3＝－x4′＝xcsoisnxx′ ＝xsinx′coscxo－s2xxsinxcosx′ ＝sinx＋xcocsxosc2xosx＋xsin2x ＝sinxccooss2xx＋x.
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第三章变化率与导数
第25页
(1)y＝2 xsin x＋1xcos x；
(2)y＝2＋xlo4 gax；
D．1＋1x
解析： y′＝(x)′＋1x′＝1－x12
答案: A
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第三章变化率与导数
第11页
2．下列结论：①若
y＝
1 ，则 x
y′|x＝2＝－
22；②若
y
＝cosx，则 y′|x＝π2＝－1；③若 y＝ex，则 y′＝ex.正确的个
数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析: 正确是②③，共有2个，故选C.
解析：因为 y＝ax2＋bx＋c 过点(1,1)，所以 a＋b＋c＝1. 又 y′＝2ax＋b，曲线过点 P(2，－1)的切线的斜率为 4a＋b ＝1. 曲线过点(2，－1)，所以有 4a＋2b＋c＝－1.
联立 a4＋a＋b＋b＝c＝1，1， 4a＋2b＋c＝－1，
解之，得 ab＝＝3－，11， c＝9，
axln a (a>0)；
(8)若f(x)＝ex, 则f′(x)＝；

优课系列高中数学北师大版选修22241导数的加法与减法法则课件16张

x
x
由导数公式表分别得出
f
( x )
3x2
,
g ( x )
1 x2
.
根据函数差的求导法则可得 :
x3
1
x
f (x)
g ( x )
3x2
1 x2
.
将 x 1代入导函数得
31 1 4 1
即曲线 y x 3 1 过点 (1,0)的切线斜率为 4, x
从而其切线方程为
y 0 4( x 1) 即 : y 4( x 1).
北师大版选修 22241导数的加法与减法法那么课件
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一.求函数的导数的步骤是怎样的?
(1)求函数的增量y f (x x) f (x);
(2)求函数的增量与自变量的增量的比值 :
y f (x x) f (x) ;
x
x
(3)求极限，得导函数y f (x) lim y . x0 x
≥ -1即tanα≥-1
例1求下列函数的导数: (1)yx22x;(2)y xlnx.
解 : (1)函数 y x 2 2 x 是 f ( x) x 2与函数 g ( x) 2 x的和 ,由导数公式表 , 分别得出 f ( x) 2 x, g ( x) 2 x ln 2. 利用函数和的求导法则可得 :
点P处的切线方程为L：y -14/3=5(x-2)
解因为k=f(x)=
≥ -1即tanα≥-1
解因为k=f(x)=
≥ -1即tanα≥-1
(2)y=x4-x2-x+3. 两个函数和(差)的导数等于这两个函数
y' 4x3 2x 1
练习3. 点p在曲线
y x3 x上移2 动
，设p处的切线的倾斜角为α，那么3α的

高阶导数四则运算法则

高阶导数四则运算法则一、导数的加法法则1. 如果两个函数f 和g 的导数分别为f' 和g'，那么它们的和f+g 的导数为：(f+g)' = f' + g'2. 如果函数 f 和常数c 的导数分别为f' 和0，那么它们的和f+c 的导数为：(f+c)' = f'二、导数的减法法则1. 如果两个函数f 和g 的导数分别为f' 和g'，那么它们的差f-g 的导数为：(f-g)' = f' - g'2. 如果函数 f 和常数c 的导数分别为f' 和0，那么它们的差f-c 的导数为：(f-c)' = f'三、导数的乘法法则1. 如果两个函数f 和g 的导数分别为f' 和g'，那么它们的乘积fg 的导数为：(fg)' = f'g + fg'2. 对于常数c，它的导数为0，所以c 与任何函数的乘积的导数为：(fc)' = fc'四、导数的除法法则1. 如果函数f 的导数为f'，那么它的倒数1/f 的导数为：(1/f)' = -f'/f^22. 对于常数c，它的倒数的导数为0。

五、复合函数的导数复合函数的导数是复合函数中各个组成部分的导数的乘积。

设u 是x 的函数，v 是u 的函数，则(v(u(x)))' = u'(x)v'(u)。

六、隐函数的导数如果一个函数y 是另一个函数x 的隐函数，那么y 关于x 的导数可以通过求偏导数得到。

七、对数函数的导数对数函数的导数是：(log_a x)' = 1/(xlna)。

八、幂函数的导数幂函数的导数是：(x^a)' = ax^(a-1)。

九、指数函数的导数指数函数的导数是：(e^x)' = e^x。

十、常数函数的导数常数函数的导数是：(c)' = 0。