高等数学(上)第一章练习题

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高等数学第一章练习题

高等数学第一章练习题一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x)=x^2在区间(-∞, +∞)上是：A. 增函数B. 减函数C. 常数函数D. 非单调函数2. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值为：A. 0B. 1C. -1D. 不存在3. 以下哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = |x|D. f(x) = x + 14. 若函数f(x)在x=a处连续，则：A. f(a) = 0B. f(a) = f'(a)C. lim(x→a) f(x) = f(a)D. f'(a) = 05. 函数f(x) = x^3 - 3x的导数为：A. 3x^2 - 3B. x^2 - 3C. 3x^2 + 3D. x^3 - 3x^26. 曲线y = x^2在点(1, 1)处的切线斜率为：A. 0B. 1C. 2D. 47. 以下哪个选项是二阶导数？A. f'(x)B. f''(x)C. f'''(x)D. f(x)8. 函数f(x) = e^x的不定积分为：A. e^x + CB. e^x - CC. ln(e^x) + CD. ln(x) + C9. 以下哪个函数是周期函数？A. f(x) = xB. f(x) = sin(x)C. f(x) = e^xD. f(x) = x^210. 函数f(x) = ln(x)的定义域为：A. (-∞, 0)B. (0, +∞)C. (-∞, +∞)D. [0, +∞)二、填空题（每题2分，共20分）1. 函数f(x) = x^2 + 3x + 2的极值点为______。

2. 极限lim(x→∞) (x^2 - 3x)/(x^3 + 2x)的值为______。

3. 若函数f(x)在x=a处有极值，则f'(a) = ______。

4. 曲线y = x^3 - 3x^2 + 2x在点(1, 0)处的切线方程为y = ______。

高等数学习题及解答(1)

一般班高数作业（上）第一章函数1、试判断以下每对函数是不是同样的函数，并说明原因：（2） y sin(arcsin x) 与（6） yarctan(tan x) 与 y x ；（4）y x ；（8）y x 与 y x2；y f ( x) 与 xf ( y) 。

解：判断两个函数的定义域和对应法例能否同样。

（2） y sin(arcsin x) 定义域不一样，所以两个函数不一样；（4） y x 2x ，两个函数同样；（6） y arctan(tan x) 定义域不一样，所以两个函数不一样；（8） yf (x) 与 xf ( y) 定义域和对应法例都同样，所以两个函数同样。

2、求以下函数的定义域，并用区间表示：x 211（2） yx；（7） y ex x；（3） y 2 xarcsinln 1x解：（2） x [ 2,0) ；（3） x [1 e 2 ,0) (0,1 e 2 ] ；（7） x(0, e)(e,) 。

1 。

1 ln xf (x)x 2 1, x 03、设 1x 2, x ，求 f ( x) f ( x) 。

解：按 x 0 ， x 0 ， x 0 时，分别计算得， f (x)0 x 0f ( x)x 。

2 04、议论以下函数的单一性（指出其单增区间和单减区间）：（2） y4xx2；（4） y x x 。

解：（2） y 4xx24 ( x 2) 2单增区间为 [0,2] ，单减区间为 [ 2,4] 。

（4） yx x2x x 0) 。

0 x ，定义域为实数集，单减区间为 ( ,5、议论以下函数的奇偶性：（2）f ( x) x x2 1 tanx ；（3）f (x) ln( x2 1 x)；（6） f ( x) cosln x ；1 x, x 0 （7） f (x)x, x 0。

1解：（2）奇函数；（3）奇函数；（ 6）非奇非偶函数；（ 7）偶函数。

6、求以下函数的反函数及反函数的定义域：2x), D f ( ,0) ；（） f ( x) 2x 1, 0 x 1（）。

高等数学(上)第一章练习题

一、选择题1.下列函数中，无界函数为( ).(A) sin y x =； (B) tan y x =； (C) arcsin y x =； (D) arctan y x =. 2. 将函数()22f x x =--表示为分段函数时，()f x =( ).(A) 4,0,0x x x x ->⎧⎨<⎩ ； (B) 4,2,2x x x x -≥⎧⎨<⎩ ； (C) 4,04,0x x x x -≥⎧⎨+<⎩ ； (D) 4,24,2x x x x -≥⎧⎨+<⎩.3.函数31()31x x f x -=+为( ).(A) 偶函数； (B) 奇函数； (C) 非奇非偶函数； (D) 既是奇又是偶函数. 4.若()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则[()]f g x 为( ).(A) 偶函数； (B) 奇函数； (C) 非奇非偶函数； (D) 不确定.5.设221,0()1,0x x x f x x x ⎧++≥⎪=⎨+<⎪⎩ ，则当0x <时，[()]f f x =( ).(A) 222(1)(1)1x x ++++； (B) 22(1)1x x +++；(C) 222(1)(1)1x x x +++++； (D) 222(1)(1)1x x x +++++.6. 32lim 1knn e n -→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则k =( ).(A)32； (B) 23； (C) 32-； (D) 23-. 7.若0x →时，()f x 为无穷小，且()f x 是比2x 高阶的无穷小，则20()limsin x f x x→=( ).(A) 0； (B) 1； (C) ∞； (D)12.8.函数()f x =( ).(A) 1； (B) 2； (C) 3； (D) 0.9.当0x →时，( ).(A) 2x 与1cos x -是等价的无穷小； (B) 2x 与1cos x -是同阶的无穷小； (C) 2x 是比1cos x -高阶的无穷小； (D) 2x 是比1cos x -低阶的无穷小. 10.当0x →时，与x 等价的无穷小函数是( ).(A) 2x ； (B) 2x ； (C) 3sin x x +； (D) 22x x +.二、填空题 1.设1,||1()0,||1x f x x ≤⎧=⎨>⎩，则[()]f f x = .2.设(),[()]x f x e f g x x ==,则()g x = .3.若0()limx f x a x→=，(a 为常数)，则0lim ()x f x →=______________.4.曲线3221x y x =+的渐近线方程为 .5. 极限22lim 1x x x x →∞+⎛⎫=⎪+⎝⎭． 6. 极限0(1)limcos 1x x x e x →-=- ． 7.当1x →-时，2ax x b -+与1x +为等价无穷小，则a = ，b = . 8.若()f x 处处连续，且(1)2f =，则01lim [ln(1)]x f x x→+= . 9.设2sin ,0(),0xx f x x x a x ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩，若()f x 在0x =处连，则a = .10.要使1cos ()xf x x-=在0x =处连续，应补充定义(0)f = .三、综合题 1.求极限111lim 1223(1)n n n →∞⎛⎫+++⎪⋅⋅+⎝⎭ . 2.求极限222111lim (1)(2)n n n n →∞⎛⎫+++⎪+⎝⎭. 3.求极限n 4.设11,,1,2,n a a n +=== ，证明数列极限存在并求此极限.5.已知函数142sin ()||1xx e x f x x e ⎛⎫+ ⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭，问0lim ()x f x →是否存在？6.用夹逼准则求01lim x x x +→⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 7.求极限332lim 34sin x x x x →∞++. 8.求极限limx . 9.求极限lim )x x →+∞.10.求极限21lim (1cos)x x x →∞-. 11.求极限20(1cos )lim (1)sin x x x x e x→--. 12.求极限3230ln(1)tan lim1x x x x e -→+- . 13.求极限sin lim2x x xx→∞+. 14.求极限0x →求极限lim x x →∞.16.求极限0lim x +→. 17.求极限123lim 21x x x x +→∞+⎛⎫⎪+⎝⎭.18.求极限2lim ()()xx x x a x b →∞⎛⎫⎪-+⎝⎭. 19.求极限21lim cos x x x →∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. 20. 已知21lim ()01x x x ax b x →∞++--=-，求a 与b 的值 .21. 已知20()1sin lim()2x f x xx x→--=，求0lim ()x f x →.22.讨论函数2()lim 1nxnxn x x e f x e →∞+=+ 的连续性.23.已知,0()1,02x x f x ae x <=⎨⎪≥⎪⎩ ，求a 为何值时，()f x 在0x =处连续.24.设(4),0()sin 10,0x x ae be x f x xx -⎧++≠⎪=⎨⎪=⎩，确定,a b 使()f x 在0x =处连续. 25.指出函数()f x =的所有间断点，并判别其类型.26.设函数()f x 在[,]a b 连续，且()a f x b ≤≤，[,]x a b ∈.证明：存在[,]a b ξ∈，使()f ξξ=成立.27.函数()f x 对一切12,x x 满足1212()()()f x x f x f x +=+，且()f x 在0x =处连续. (1)求(0)f ；(2)证明：函数()f x 在(,)-∞+∞连续.28.函数()f x 在[0,1]连续、非负且满足(0)(1)0f f ==,证明：对任意数(0,1)α∈，存在0[0,1]x ∈使00()()f x f x α=+成立.29.设函数()f x 在[0,2]a 连续，且满足(0)(2)f f a =，证明：至少存在一点[0,]a ξ∈使()()f f a ξξ=+成立.30.设函数()f x 在[,]a b 连续，12a x x b <<<，证明：存在点(,)c a b ∈，使112212()()()()t f x t f x t t f c +=+成立.其中12,0t t >.一、选择题1. B ；2. B ；3. B ；4. A ；5. A ；6. C ；7. A ；8. C ；9. B ； 10. C. 二、填空题1. 1；2. ln x ；3. 0；4. 2y x =；5. 12e ； 6. 2-； 7. 1,0a b =-=； 8. 2； 9. 1a =； 10. 0. 三、综合题 1.解：11111111(1)()()1223(1)2231n n n n +++=-+-++-⋅⋅++ 111n =-+ ∴111lim 11223(1)n n n →∞⎛⎫+++= ⎪⋅⋅+⎝⎭ . 2.解：由于2222211111(2)(1)(2)n n n n n n n ++≤+++≤+ ，又2211lim lim 0(2)4n n n n n n →∞→∞++==，根据夹逼准则 222111lim 0(1)(2)n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭. 3.3≤=lim 33n n →∞==，根据夹逼准则3n =.4.解：102a <=，假设对n k = 成立，即02k a <<成立，则当1n k =+ 时，102k a +<=<=，由数学归纳法知02,1,2,n a n <<= ，即数列{}n a 有界；又1n n n a a a +-=2=0=>，即数列{}n a 单调，所以收敛. 设极限为a ，则由1n a +=n →∞得a =2a =.5.解：14002sin lim ()lim 1x x x x e x f x x e ++→→⎛⎫+ ⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭，01lim x x+→=+∞ ，1400lim ,lim xx x x e e ++→→∴=+∞=+∞，而1144434000442212lim lim lim 011111x xxxxxx x x xx x eee e e e e e e +++→→→+++===+++. 0lim ()1x f x +→∴=,14002sin lim ()lim 1xx x xe xf x x e --→→⎛⎫+ ⎪=- ⎪ ⎪+⎝⎭，01lim x x -→=-∞ ,1400lim lim 0x x x x e e --→→∴==， 0lim ()1x f x -→∴=. 进而知 0lim ()x f x →存在且为1. 6.解：当0x ≠时1111x x x ⎡⎤-<≤⎢⎥⎣⎦ ，所以当0x >时有111x x x ⎡⎤-<≤⎢⎥⎣⎦，又00lim (1)lim 11x x x ++→→-==,故01lim 1x x x +→⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.7.解：3333212lim lim 4sin 34sin 3x x x x x x x x →∞→∞++=++13=. 8.解：limlimx x =02t →=. 9.解：lim )lim x x x →+∞→+∞=lim x →+∞=1arcsin26π==. 10.解：由于x →∞时，221111cos ~22x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-=,所以 222111lim (1cos)lim 22x x x x x x →∞→∞-=⋅=.11.解：由于0x →时，21cos ~2x x - ，22sin ~x x ，1~xe x -.所以 22200(1cos )12limlim (1)sin ()2x x x x x x x e x x x →→⋅-==---⋅.12.解：由于0x →时，tan ~x x ，22ln(1)~x x +，3331~(3)x e x ---，所以 3223300ln(1)tan 1limlim 331x x x x x x x x e-→→+⋅==---. 13.解：sin 1sin 1limlim 2222x x x x x x x →∞→∞+⎛⎫=+= ⎪⎝⎭. 14.解：3300011lim lim lim ln(12)ln(12)ln(12)x x x x x e e x x x →→→-=++++00132lim lim 2212x x x xx x →→-=+=.15.解：2lim lim x x x x →∞→∞⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭2lim 1x x →∞⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭2lim 1x x →∞⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭221lim 3x x x →∞⎛⎫=⎪⎝⎭221lim 3x x x →∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭23=. 16.解：0lim lim x x ++→→=01lim 2x +→=201lim2x +→=0=. 17.解：212(1)1221232lim lim 12121x x x x x x x e x x +++⋅+→∞→∞+⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭.18.解：22ln lim 1()()()()2lim lim ()()x xx x x x x a x b x a x b x x x eex a x b →∞⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭→∞→∞⎛⎫⎪== ⎪-+⎝⎭2()2lim a b x abxa bx ax bx abx ee -+--+-→∞==.19.解：2211(cos 1)cos 111lim coslim 1cos 1x x x xx x x x ⋅-⋅-→∞→∞⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由于222111lim(cos1)lim()22x x x x x x →∞→∞-⋅=-⋅=-，所以2121lim cos x x ex -→∞⎛⎫==⎪⎝⎭20. 解：2211()(1)11x x x x ax b x ax b x x ++++-+---=-- 2(1)(1)11a x a b x b x -++-++=-∴当且仅当 10a -= 且10a b +-=时，21lim ()01x x x ax b x →∞++--=-，解得1a =，2b =. 21.解：00sin ()1sin lim[()1]lim x x xf x xx f x x xx→→----=⋅ 20()1sin lim[]x f x x x x x →-=-⋅200()1sin lim[]lim 0x x f x xx x x →→-=-⋅=,sin sin lim ()lim[(()1)1]x x x xf x f x x x→→∴=--++ 00sin sin lim[()1]lim(1)2x x x x f x x x →→=--++=. 22.解：先给出分段表达式2,0(),0x x f x xx ⎧≥=⎨<⎩. 当 (0,)x ∈+∞ 时，2()f x x = 连续，当 (,0)x ∈-∞时，()f x x =连续；又(0)0f =，2lim ()lim 0x x f x x ++→→==，00lim ()lim 0x x f x x --→→==,故在0x =处()f x 也连续，从而在(,)-∞+∞内()f x 连续.23.解：(1)()f x 定义域为(,)-∞+∞；(2)由于(0)2a f =，001lim ()lim 22xx x a f x a e ++→→=⋅=，lim ()lim x x f x --→→=02sin 2lim 1x xx-→-==-,∴2a =-时，()f x 在0x = 处连续.24.解：由于(0)10f =，004lim ()lim sin x x x x ae be f x x-→→++=，要使 ()f x 在0x =处连续，首先0lim ()x f x →存在，故有lim(4)40x xx ae bea b -→++=++=，从而 004lim ()lim sin x x x x ae be f x x -→→++=0lim sin x x x ae be a bx-→+--=0(1)(1)lim x x x a e b e x -→-+-=00(1)(1)lim lim x x x x a e b e a b x x-→→--=+=- 可见要使()f x 在0x =处连续，,a b 应满足410a b a b +=-⎧⎨-=⎩，解得3,7a b ==-.25.解：sin |1|()(1)(3)x x f x x x x ⋅-==--，间断点有三个，分别为0x =，1,3x x ==，0000s i n |1|s i n |1|11l i m ()l i m l i m l i m l i m (1)(3)133x x xx x x x x x f x x x x x x x →→→→→⋅--==⋅⋅=---- , 11sin (1)sin1lim ()lim (1)(3)2x x x x f x x x x --→→-⋅-==--，11sin (1)sin1lim ()lim (1)(3)2x x x x f x x x x ++→→⋅-==---，而33sin lim ()lim(3)x x xf x x x →→==∞-，所以0x =是可去间断点，1x =是跳跃间断点，而3x =为无穷间断点.26.证明：构造辅助函数()()g x f x x =-，则()g x 在[,]a b 连续，由已知条件知()()0g a f a a =-≥，()()0g b f b b =-≤. 若()0g a =，则取a ξ=；若()0g b =，则取b ξ=；若()0g a >而()0g b <，则在[,]a b 上函数()g x 满足零点定理条件，从而存在(,)a b ξ∈，使()0g ξ=即()f ξξ=成立. 27.解：(1)在()()()f x x f x f x +=+中，取0x x ==，得(0)(0)(0f f f =+，故(0)0f =.(2)由()f x 在0x =处连续知:0lim ()(0)0x f x f ∆→∆==.任取0(,)x ∈-∞+∞，由条件知00()()()f x x f x f x +∆=+∆.从而0000lim ()()lim ()()x x f x x f x f x f x ∆→∆→+∆=+∆=，故在0x 处函数()f x 连续，由0x 的任意性知(2)成立. 28.证明：任取(0,1)α∈，若()0f α=，则由条件(0)0f =，可取00x = [0,1]∈，使得(0)(0)f f α=+；若(1)0f α-=，则由(1)0f =，可取01x α=-[0,1]∈使得(1)(1)f f ααα-=-+；若()0f α≠且(1)0f α-≠，由非负性有()0f α>,(1)0f α->，令()()()g x f x f x α=+-，则()g x 在[0,1]α-连续，又(0)(0)g f α=+(0)f -()0f α=>，(1)(1)(1)(1)0g f f f ααααα-=-+--=--<，由零点定理，存在0(0,1)[0,1]x α∈-⊂使0()0g x =，即00()()f x f x α=+成立. 29.解：令()()()F x f x f x a =-+，则()F x 在[,]a b 连续，且(0)(0)()F f f a =-，()()(2)()(0)F a f a f a f a f =-=-.若(0)()f f a =，则取0ξ=或a ξ=均能使()()f f a ξξ=+成立；若(0)()f f a ≠，则(0)()0F F a ⋅<，由零点定理知，至少存在一点(0,)a ξ∈使()0F ξ=，即()()f f a ξξ=+.总之结论成立.30.解：函数()f x 在[,]a b 连续，故在12[,]x x 上连续. 于是在12[,]x x 上()f x 必有最小值m ，最大值M .第一章函数与极限11 从而有1()m f x M ≤≤，1111()t m t f x t M ≤≤， 2()m f x M ≤≤，2222()t m t f x t M ≤≤， 112212()()t f x t f x m M t t +≤≤+. 由介值定理知，至少存在一点12(,)c x x ∈⊂(,)a b 使得112212()()()t f x t f x f c t t +=+，即112212()()()()t f x t f x t t f c +=+.。

高数(一)第一章练习题

高等数学（一）（第一章练习题）一、单项选择题1.设f （1-cos x ）=sin 2x, 则f （x ）=（ A ）A.x 2+2xB.x 2-2xC.-x 2+2xD.-x 2-2x2.设x 22)x (,x )x (f =ϕ=，则=ϕ)]x ([f （ D ）A.2x 2B.x 2xC.x 2xD.22x3．函数y=31x1ln -的定义域是（ D ） A ．),0()0,(+∞⋃-∞ B ．),1()0,(+∞⋃-∞ C ．(0,1] D ．(0,1)4.函数2x x y -=的定义域是（ D ）A.[)+∞,1B.(]0,∞-C.(][)+∞∞-,10,D.[0，1]5.设函数=-=)x 2(f 1x x )x 1(f ，则（ A ） A.x 211- B.x 12- C.x 2)1x (2- D.x)1x (2- 6.已知f(x)=ax+b,且f(-1)=2,f(1)=-2,则f(x)=（）A.x+3B.x-3C.2xD.-2x7.设f(x+1)=x 2-3x+2，则f(x)=（ B ）A.x 2-6x+5B.x 2-5x+6C.x 2-5x+2D.x 2-x 8．已知f(x)的定义域是[0,3a]，则f(x+a)+f(x-a)的定义域是（）A ．[a,3a]B ．[a,2a]C ．[-a,4a]D ．[0,2a]9．函数y=ln(22x 1x 1--+)的定义域是（ C ）A ．|x|≤1B ．|x|<1C ．0<|x|≤1D ．0<|x|<110.函数y=1-cosx 的值域是（ C ）A.[-1,1]B.[0,1]C.[0,2]D.(-∞,+∞) 11．设函数f(x-1)=x 2-x,则f(x)=（ B ）A ．x(x-1)B ．x(x+1)C ．(x-1)2-(x-1)D ．(x+1)(x-2)12.设函数f (x )的定义域为[0，4]，则函数f (x 2)的定义域为（ D ）A.[0，2]B.[0，16]C.[-16，16]D.[-2，2]13.设f(t)=t 2+1，则f(t 2+1)=（ D ）A.t 2+1B.t 4+2C.t 4+t 2+1D. t 4+2t 2+2 14．设1)1(3-=-x x f ，则f (x )=（ B ）A ．x x x 2223++B ．x x x 3323++C ．12223+++x x xD ．13323+++x x x15.下列区间中,函数f (x)= ln (5x+1)为有界的区间是（ C ）A.(-1，51)B.(-51,5)C.(0,51)D.(51,+∞) 16.函数f(x)=arcsin(2x-1)的定义域是（ D ）A.(-1,1)B.[-1,1]C.[-1,0]D.[0,1]17.设函数y =f (x )的定义域为(1，2)，则f (ax )(a <0)的定义域是( B ) A.(a a 2,1) B.（aa 1,2) C.(a ，2a) D.(a a ,2] 18．函数f (x )=2211⎪⎭⎫ ⎝⎛--x 的定义域为（ B ） A ．[]1,1- B ．[]3,1- C ．(-1,1)D ．(-1,3) 19.函数f (x )=21sin 2x x++是（ C ）A.奇函数B.偶函数C.有界函数D.周期函数 20．函数f (x )=ln x - ln(x -1)的定义域是（ C ）A ．(-1,+∞)B ．(0,+∞)C ．(1,+∞)D ．(0,1) 二、填空题1．已知f (x +1)=x 2，则f (x )=________.2.设函数f(x)的定义域是[-2，2]，则函数f(x+1)+f(x-1)的定义域是___________.3．函数y=x ln ln 的定义域是 .4．若f(x+1)=x+cosx 则f(1)=__________.5．函数y=1+ln(x+2)的反函数是______.6．.函数y=arcsin(x-3)的定义域为___________。

高等数学第一章课后习题答案(带解析)

第一章函数与极限第一节映射与函数一、填空题1.函数ln(2)y x =+的定义域为[1,)(2,1]+∞-- .2.设函数2(1)f x x x +=+，则=)(x f x x -2.3.设函数()f x 的定义域为[0,1]，则(e )xf 的定义域为(,0]-∞.4.已知()sin f x x =,[]2()1f x x ϕ=-,则()x ϕ=2arcsin(1)x -,其定义域为5.设2,0,()e ,0,x x x f x x ⎧-≥=⎨<⎩()ln x x ϕ=，则复合函数[]()f x ϕ=2ln ,1,01x x x x ⎧-≥⎨<<⎩.6.设函数1,1,()0,1,x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩则[]()f f x =1.7.函数(10)y x =-≤<二、单项选择题1.函数lnarcsin 23x xy x =+-的定义域为C .A．(,3)(3,2)-∞-- B.(0,3)C.[3,0)(2,3]- D.(,)-∞+∞2.设(1)f x -的定义域为[0,](0)a a >，则()f x 的定义域为B.A.[1,1]a +B.[1,1]a -- C.[1,1]a a -+ D.[1,1]a a -+3.函数11x y x -=+的反函数是D .A.11x y x -=+ B.11xy x-=+ C.11x y x +=- D.11x y x+=-4.设()f x 为奇函数，()x ϕ为偶函数，且[()]f x ϕ有意义，则[()]f x ϕ为B.A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.以上均不正确三、解答题1.判断函数(ln y x =+的奇偶性，并求其反函数.解：因为()ln(ln(()f x x x f x -=-==-=-，所以()f x 是奇函数.由e yx =，e yx --=，得e e 2y y x --=，所以反函数为e e 2x xy --=2.设)(x f 满足c b a xcx bf x af ,,()1()(=-+均为常数，且)b a ≠,求)(x f .解：x cx bf x af =-+)1()()1(令t x =-1,则t x -=1,故t c t bf t af -=+-1)()1(.xcx bf x af -=+-∴1)()1(.(2)联立(1),(2)得到1(1)(22xbcx ac b a x f ---=.四、证明2()1xf x x =+在其定义域内有界.证明：,x R ∀∈取12M =,使得21()122x x f x M x x =≤==+，所以()f x 在其定义域R 内有界.第二节数列的极限一、单项选择题1.数列极限lim n n y A →∞=的几何意义是D .A．在点A 的某一邻域内部含有{}n y 中的无穷多个点B.在点A 的某一邻域外部含有{}n y 中的无穷多个点C.在点A 的任何一个邻域外部含有{}n y 中的无穷多个点D.在点A 的任何一个邻域外部至多含有{}n y 中的有限多个点nn n 632-∞→A.65-B.31 C.35 D.13.数列有界是数列收敛的C条件.A.充分B.充要C.必要D.两者没有关系二、利用数列极限的定义证明:1cos lim0n nn→∞+=.证明：对0ε∀>，要使1cos 1cos 20n n n n nε++-=≤<，只需2n ε>.0ε∀>,取2N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则当n N >时，就有1cos 0n n ε+-<成立，所以1cos lim0n nn→∞+=.第三节函数的极限一、单项选择题1.=+→x x x 1lim2A.A.32 B.1C.21 D.2.若函数()f x 在某点0x 极限存在，则C.A.()f x 在点0x 的函数值必存在且等于该点极限值B.()f x 在点0x 的函数值必存在,但不一定等于该点极限值C.()f x 在点0x 的函数值可以不存在D.若()f x 在点0x 的函数值存在，必等于该点极限值∞→32x x A.1B.21 C.0D.不存在4.极限0limx x x→=D .A.1B.1- C.0D.不存在二、利用函数极限的定义证明:236lim 53x x x x →--=-.证明：0ε∀>，要使26533x x x x ε---=-<-，只需取δε=，则当03x δ<-<时，就有26533x x x x ε---=-<-成立,所以236lim 53x x x x →--=-.第四节无穷小与无穷大一、单项选择题1.下列命题正确的是C.A.无穷小量的倒数是无穷大量B.无穷小量是绝对值很小很小的数C.无穷小量是以零为极限的变量D.无界变量一定是无穷大量2.下列变量在给定的变化过程中为无穷小量的是C.A.1sin(0)x x→ B.1e (0)xx →C.2ln(1)(0)x x +→ D.21(1)1x x x -→-3.下列命题正确的是D.A.两个无穷小的商仍然是无穷小B.两个无穷大的商仍然是无穷大C.112--x x 是1→x 时的无穷小D.1-x 是1→x 时的无穷小4.(附加题)设数列{}n x 与{}n y 满足lim 0n n n x y →∞=，则下列命题正确的是B.A.若{}n x 发散，则{}n y 发散B.若1n x ⎧⎫⎨⎩⎭为无穷小，则{}n y 必为无穷小C.若{}n x 无界，则{}n y 必有界 D.若{}n x 有界，则{}n y 必为无穷小提示：已知n n x y 为无穷小，当1n x 为无穷小时，必有1()n n n ny x y x =⋅为无穷小；否A，例n x n =发散，21n y n=收敛；否C，例1(1),1(1)n n n n x n y n ⎡⎤⎡⎤=+-⋅=--⋅⎣⎦⎣⎦均无界；否D，例21n x n=有界，n y n =非无穷小.第五节极限运算法则一、填空题1.21lim2x x x x →+=++12. 2.121lim1x x x →+=-∞.3.22121lim1x x x x →-+=-0.4.212lim3n n n →∞+++=+ 12.5.若232lim43x x x kx →-+=-，则常数k =3-.提示：由已知，得23lim(2)0x x x k →-+=，3k ∴=-.6.设213lim 112x a x x x →⎛⎫-=⎪--⎝⎭，则常数a =2.提示：由已知，222113lim ,lim()012x x a x x a x x x →→--=∴--=-，从而2a =.7.e 1lim e 1n nn →∞-=+1.提示：11e 1e lim lim 11e 11en n n n n n→∞→∞--==++8.=-+++∞→)2324(lim 2x x x x 21.9.11021lim 21xx x-→-=+-1，1121lim 21xx x+→-=+1，所以11021lim21xx x →-+不存在.提示：11lim 20,lim 2x xx x -+→→==+∞10.已知21sin ,0()1,0x x x f x x x ⎧<⎪⎪=>⎪⎩,则0lim ()x f x →=0.二、计算题1.220()lim h x h x h→+-解：1.2222220000()22limlim lim lim(2)2h h h h x h x x xh h x xh h x h x h h h →→→→+-++-+===+=.2.231lim (2sin )x x x x x→∞-++解：因为2332111lim lim 011x x x x x x x x→∞→∞--==++，而2sin x +为有界函数，所以根据无穷小量与有界函数的乘积仍为无穷小量，知231lim (2sin )0x x x x x→∞-+=+.3.322232lim 6x x x x x x →-++--解：32222232(1)(2)(1)2lim lim lim 6(3)(2)35x x x x x x x x x x x x x x x x →-→-→-+++++===----+-.4.21lim1x x →-解：211lim1x x x →→=-1x →=14x →=.5.lim x →+∞解：lim x →+∞=limxlimlimx x ==1=-.6.求)1111(lim 31xx x ---→.解：原式32112lim x x x x --+=→)1)(1()2)(1(lim21x x x x x x ++-+-=→112lim21-=+++-=→x x x x .第六节极限存在准则两个重要极限一、填空题1.0sin lim x x x →=1；sin lim x xx→∞=0.提示：0sin lim1x x x →=；sin 1lim lim sin 0x x x x x x →∞→∞=⋅=.2.0sin limsin x x x x x →-=+0；sin lim sin x x xx x→∞-=+1.提示：00sin 1sin lim lim 0sin sin 1x x x x x x x x x x →→--==++；11sin sin lim lim 11sin 1sin x x xx x x x x xx→∞→∞-⋅-==++⋅.3.1lim 1kxx x →∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭e k-（k 为正整数）.提示：.()11lim 1lim 1e kxx k k x x x x ---→∞→∞⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.4.10lim 12xx x →⎛⎫-= ⎪⎝⎭12e-.提示：11221200lim 1lim 1e22xxx x x x ---→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥-=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.二、计算题1.30tan sin limx x xx →-解：3200tan sin sin 1cos lim lim cos x x x x x x x x x x →→--=⋅2220002sin sinsin 1122lim lim lim 222x x x x x x x x x →→→⎛⎫ ⎪=⋅== ⎪ ⎪⎝⎭. 2.011limsin x x→解：000011limlim lim lim sin sin sin 2x x x x x x x x x →→→→-=⋅.3.0x →解：原式2220002sin 1sin cos 1cos 2lim 6lim 6lim 311cos sin 32x x x x x x x x x x x x x →→→---====-⋅.4.lim n →∞⎛⎫+解：<++<，又1,1n n n n ====，所以根据夹逼准则知，lim 1n →∞⎛⎫+++=⎪⎭.第七节无穷小的比较一、填空题1.当0x →时，sin 3x 是2x 的低阶无穷小；2sin x x +是x 的等价（或同阶）无穷小；1cos sin x x -+是2x 的低阶无穷小；cos 1x -是2arcsin x 的同阶无穷小；1(1)1nx +-是x n的等价（或同阶）无穷小；32x x -是22x x -的高阶无穷小.提示：222000sin 32sin 1cos sin lim,lim 2,lim,x x x xx x x xx xx →→→+-+=∞==∞13222000cos 11(1)1lim ,lim 1,lim 0arcsin 22nx x x x x x x x x x x n→→→-+--=-==-.2.已知0x →时，()12311ax+-与cos 1x -为等价无穷小，则常数a =32-.提示：12230021(1)1233lim lim 1,1cos 1322x x axax a a x x →→+-==-==---.二、计算题1．21tan 1limx x x →-解：2000tan 1tan 1122lim lim lim 2x x x x xx x x x →→→--===--.2.2220(sec 1)lim3sin x x x x →-解：22222222240002(sec 1)(1cos )1lim lim lim3sin 3cos 312x x x x x x x x x x x x →→→⎛⎫ ⎪--⎝⎭===⋅⋅.3.0tan 2tan lim3sin sin 2x x x x x→--解：000sin 2sin sin tan 2tan cos 2cos cos 2cos lim lim lim 13sin sin 23sin sin 2sin (32cos )x x x x x xx xx x x x x x x x x x →→→--⋅===---.4.20sin cos 1limsin 3x x x x x →+--解：200sin cos 11limlim sin 333x x x x x x x x →→+-==-.第八节函数的连续性与间断点一、填空题1.设2,0()sin ,0a bx x f x bx x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩在0x =处连续，则常数,a b 应满足的关系为a b =.提示：()2(0)lim (0)x f a bxa f --→=+==，0sin (0)lim x bxf b x-+→==.2.设0()1,0ln(1),0x f x x bx x x <=-=⎨⎪+⎪->⎪⎩在0x =处连续，则常数a =22，b =1.提示：0(0)lim lim lim x x x axf x ----→→→===，(0)1f =-，00ln(1)(0)lim lim x x bx bxf b x x--+→→+=-=-=-.3.()sin xf x x=的可去间断点为0x =；221()32x f x x x -=-+的无穷间断点为2x =.4.若函数e ()(1)x af x x x -=-有无穷间断点0x =及可去间断点1x =，则常数a =e .提示：由已知，1e lim (1)x x a x x →--存在，所以1lim(e )0xx a →-=，从而e a =.二、单项选择题1.0x =是1()sin f x x x=的A .A.可去间断点B.跳跃间断点C.无穷间断点D.振荡间断点提示：01lim ()lim sin0x x f x x x→→==2.函数21,0(),012,12x x f x x x x x ⎧-<⎪=≤≤⎨⎪-<≤⎩D.A.在0,1x x ==处都间断B.在0,1x x ==处都连续C.在0x =处连续，1x =处间断D.在0x =处间断，1x =处连续提示：(0)1,(0)0(0)f f f -+=-==；(1)(1)1,(1)1f f f -+===.3.设函数42,0(),0x f x xk x ≠=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则k =B .A.4B.14C.2D.12提示：021lim ()limlim ,(0)4x x x f x f k x →→→===.4.函数111122,0()221,0x x x x x f x x --⎧-⎪≠⎪=⎨+⎪=⎪⎩在0x =处B .A.左连续B.右连续C.左右均不连续D.连续提示：110lim 20,lim 2xxx x -+→→==+∞，从而(0)1(0),(0)1(0)f f f f -+=-≠==.三、讨论函数11e ,0()ln(1),10x x f x x x -⎧⎪>=⎨⎪+-<≤⎩在0x =处的连续性.解：111(0)lim ln(1)0(0),(0)lim ee x x xf x f f -+-+--→→=+====，所以()f x 在0x =处不连续，且0x =是第一类跳跃型间断点.四、若2,0()0e (sin cos ),x x a xf x x x x +≤⎧=⎨>+⎩在-∞(，)∞+内连续，求a .解：由于)(x f 在0=x 处连续,所以)0()0()0(f f f ==-+.(0)lim ()lim e (sin cos )1x x x f f x x x +++→→==+=,a a x x f f x x =+==--→→-)2(lim )(lim )0(0,a f =)0(.故1=a .五、设()f x 在(,)-∞+∞内有定义，且lim ()x f x a →∞=，1,0()0,0f x g x x x ⎧⎛⎫≠⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪=⎩.试讨论()g x 在0x =处的连续性.解：()0011lim ()lim lim 令x x t t x g x f f t a x →→→∞=⎛⎫== ⎪⎝⎭，(0)0g =，所以当0a =时，()g x 在0x =处连续，当0a ≠时，()g x 在0x =处间断.第九节连续函数的运算与初等函数的连续性一、填空题1.设,0()1,0a x x f x x x +≤⎧=>⎩在(,)-∞+∞内连续，则常数a =12.2.设22,1()1,1x bx x f x x a x ⎧++≠⎪=-⎨⎪=⎩在(,)-∞+∞处连续，则常数a =1，b =-3.提示：由题意知，1lim ()(1)x f x f a →==，则212lim1x x bx a x→++=-21lim(2)0x x bx →∴++=，则3b =-，进而1a =.3.211lim cos1x x x →-=-cos 2. 4.()2cot 2lim 1tan xx x→+=e .5.21lim 1xx x x →∞-⎛⎫= ⎪+⎝⎭4e-.提示：41122412lim lim 1e 11xx x xx x x x x -++--→∞→∞⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎢⎥=-= ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎣⎦.6.已知lim 82xx x a x a →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则常数a =ln 2.提示：332233lim lim 1e 822x a x x axx a x aax a a x a x a →∞→∞--⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+== ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以3ln 8,ln 2a a ==.7.203sin (1)cos lim (1cos )x x x x x →++=+12.8.0x →=12.提示：原式limx→=0x →=22012limsin 222x x x x x →⋅==⋅.9．函数21()23f x x x =--的连续区间是(,1),(1,3),(3,)-∞--+∞．二、单项选择题1.当1→x 时,函数1211e 1x x x ---的极限等于D .A.2B.0C.∞D.不存在但不为∞2.设()f x 在2x =连续，(2)3f =，则2214lim ()24x f x x x →⎛⎫-=⎪--⎝⎭D .A.0B.2C.3D.34提示：22222142113lim ()lim ()lim ()(2)244244x x x x f x f x f x f x x x x →→→-⎛⎫-====⎪---+⎝⎭.三、讨论11()1exxf x -=-的连续性，若有间断点，指出其类型.解：()f x 为初等函数，故在其定义区间(,0),(0,1),(1,)-∞+∞内均连续，在其无定义点0,1x x ==间断.据011lim ()lim1ex x x xf x →→-==∞-，知0x =为第二类无穷间断点；据11111111lim ()lim 0,lim ()lim 11e1exx x x x x xxf x f x --++→→→→--====--，知1x =为第一类跳跃间断点.第十节闭区间上连续函数的性质一、单项选择题1.方程sin 2x x +=有实根的区间为A.A.π,32⎛⎫⎪⎝⎭B.π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭C.ππ,64⎛⎫⎪⎝⎭D.ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭提示：令()sin 2f x x x =+-，分别在各个对应的闭区间上验证零点定理是否成立即可.2.方程(1)(2)(3)(1)(2)(4)(1)(3)(4)x x x x x x x x x ---+---+---(2)(3)(4)0x x x +---=有D 个实根.A.0B.1C.2D.3提示：令()(1)(2)(3)(1)(2)(4)(1)(3)(4)f x x x x x x x x x x =---+---+---(2)(3)(4)x x x +---，又(1)0,(2)0,(3)0,(4)0f f f f <><>，则由零点定理知，方程在(1,2),(2,3),(3,4)分别至少存在一个根；又()f x 是三次多项式，则方程至多有三个根，综上可知方程恰好有三个根.二、证明题1.证明方程e 2xx -=在区间(0,2)内至少有一实根.证明：令()e 2xf x x =--，则()f x 在[0,2]上连续，且2(0)10,(2)e 40f f =-<=->，根据零点定理，至少存在一点(0,2)ξ∈，使()0f ξ=，所以方程()0f x =，即e 2xx -=在区间(0,2)内至少有一实根.2.设()f x 在[,]a b 上连续，且(),()f a a f b b <>.证明至少存在一点(,)a b ξ∈，使()f ξξ=.证明：令()()F x f x x =-，则()F x 在[,]a b 上连续，且()()0F a f a a =-<，()()0F b f b b =->，根据零点定理，至少存在一点(,)a b ξ∈，使()0F ξ=，即()f ξξ=.3.附加题设()f x 在[,)a +∞上连续，lim ()0x f x →+∞=.证明()f x 在[,)a +∞上有界.证明：由lim ()0x f x →+∞=，对10,X a ε=>∃>，当x X >时，有()()01f x f x ε=-<=，即()f x 在(,)X +∞上有界；又()f x 在[,]a X 上连续，故()f x 在[,]a X 上有界，所以存在10,M >使[]1(),,f x M x a X ≤∀∈，取{}1max 1,M M =，则对[],x a ∀∈+∞()f x M <，即()f x 在[,)a +∞上有界.第一章自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1.()03limsin tan ln 12x x x x →=-+14-.提示：()20003331lim lim lim 4sin tan tan (cos 1)222ln 12x x x xx x x x x x x x →→→-⋅===---+.2.2131lim2x x x →-=+-26-.提示：21lim26x x x x →→==-+-.3.已知212lim31x x ax bx →-++=+，其中b a ,为常数，则a =7，b =5.4.若()2sin 2e 1,0,0ax x x f x xa x ⎧+-≠⎪=⎨⎪=⎩在()+∞∞-,上连续，则a =-2.提示：由题意知，20sin 2e 1lim ax x x x →+-20sin 2e 1lim 22ax x x a a x x →⎛⎫-=+=+= ⎪⎝⎭，从而2a =-.5.曲线21()43x f x x x -=-+的水平渐近线是0y =，铅直渐近线是3x =.二、单项选择题（每小题3分，共18分）1.“对任意给定的()1,0∈ε，总存在整数N ，当N n ≥时，恒有ε2≤-a x n ”是数列{}n x 收敛于a 的C.A.充分条件但非必要条件B.必要条件但非充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件2.设()2,02,0x x g x x x -≤⎧=⎨+>⎩，()2,0,0x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩则()g f x =⎡⎤⎣⎦D .A.22,02,0x x x x ⎧+<⎨-≥⎩ B.22,02,0x x x x ⎧-<⎨+≥⎩ C.22,02,0x x x x ⎧-<⎨-≥⎩ D.22,02,0x x x x ⎧+<⎨+≥⎩3.下列各式中正确的是D.A．01lim 1exx x +→⎛⎫-= ⎪⎝⎭B.01lim 1e xx x +→⎛⎫+= ⎪⎝⎭C.1lim 1e xx x →∞⎛⎫-=- ⎪⎝⎭D.11lim 1e xx x --→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭4.设0→x 时，tan e 1x-与n x 是等价无穷小，则正整数n =A.A.1B.2C.3D.4提示：由题意知，当0→x 时，tan e 1tan xx x - 从而n 取1.5.曲线221e 1ex x y --+=-D .A.没有渐近线B.仅有水平渐近线C.仅有铅直渐近线D.既有水平渐近线又有铅直渐近线6．下列函数在给定区间上无界的是C.A.1sin ,(0,1]x x x ∈ B.1sin ,(0,)x x x∈+∞C.11sin ,(0,1]x x x∈ D.1sin ,(0,)x x x∈+∞三、计算题（每小题7分，共49分）1.2x →解：2222(1)(2)(413)(1)(413)9limlim 4(2)42x x x x x x x →→→+-+===-.2.()21ln(1)lim cos x x x +→解：()()2211ln(1)ln(1)0limcos lim 1cos 1x x x x x x ++→→=+-222001cos 112limlim ln(1)2eeex x x x x x →→---+===.3.()1lim123nnnn →∞++解：()1312333,31233n n n nnnn<++<⋅∴<++<⋅Q1n =，()1lim 1233nnnn →∞∴++=.4．21sinlimx x x解：2111sinsin sinlim lim limlim 112x x x x x x x x x x→+∞→+∞→+∞→+∞=⋅⋅.5.设函数()()1,0≠>=a a a x f x ，求()()()21lim ln 12n f f f n n →∞⎡⎤⎣⎦ .解：()()()()()()22ln 1ln 2ln 1limln 12lim n n f f f n f f f n n n →∞→∞+++=⎡⎤⎣⎦L L ()()222ln 12ln ln limlim22n n n n a n aan n →∞→∞++++===L .6.1402e sin lim 1e xx x x x →⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭解：1144002e sin 2e sin 2lim lim 1111e 1e x x x x x x x x x x --→→⎛⎫⎛⎫++ ⎪ +=-=-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，11114444000e 2e 12e sin 2e sin sin lim lim lim 1e 1e e e 1x x x xx x x x x x x x x x x x x +++-→→→-⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪++⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪++ ⎪+⎝⎭⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭301lim 1e xx +-→=+=，所以，原式1=.7.已知(lim 1x x →-∞=，求,.a b解：左边22(1)lim limlim x x x x a x b x →-∞→-∞⎡⎤--+⎢==，右边1=，故[]lim (1)1x a x b →-∞--=+，则1,2a b ==-．四、讨论函数,0()(0,0,1,1)0,0x xa b x f x a b a b x x ⎧-≠⎪=>>≠≠⎨⎪=⎩在0x =处的连续性，若不连续，指出该间断点的类型.（本题8分）解：当a b =时，()0f x ≡，此时()f x 在0x =处连续；当a b ≠时，000011lim ()lim lim lim ln (0)0x x x x x x x x a b a b af x f x x x b→→→→---==-=≠=，故()f x 在0x =处不连续，所以0x =为()f x 得第一类（可去）间断点．五、附加题设()f x 在[0,1]上连续，且(0)(1)f f =.证明：一定存在一点10,2ξ⎡⎤∈⎢⎣⎦，使得1()2f f ξξ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（本题7分）证明：设1()()2F x f x f x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，显然()F x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上连续，而1(0)(0)2F f f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()()11110222F f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，211(0)(0)022F F f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--≤ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，若1(0)02F F ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即(0)0F =或102F ⎛⎫= ⎪⎝⎭时，此时取0ξ=或12ξ=即可；若1(0)02F F ⎛⎫< ⎪⎝⎭时，由零点定理知：一定存在一点10,2ξ⎡⎤∈⎢⎣⎦，使()0Fξ=，即1()2f fξξ⎛⎫=+⎪⎝⎭．。

高等数学上册第一章测试试卷

理科A 班第一章综合测试题一、填空题1、函数1()arccos(1)f x x =-的定义域为 . 2、设()2ln f x x =,[()]ln(1ln )fg x x =-, 则()g x = .3、已知1tan ,0,()ln(1), 0ax x e e x f x x a x +⎧+-≠⎪=+⎨⎪=⎩在0x =连续，则a = . 4、若lim 25nn n c n c →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则c = . 5、函数y =的连续区间为 . 二、选择题1、设()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则（）为奇函数.（A ）[()]g g x （B ）[()]g f x （C ）[()]f f x （D ）[()]f g x2、设)(x f 在(,)-∞+∞内单调有界， {}n x 为数列，则下列命题正确的是（）.（A ）若{}n x 收敛，则{()}n f x 收敛（B ）若{}n x 单调，则{()}n f x 收敛（C ）若{()}n f x 收敛，则{}n x 收敛（D ）若{()}n f x 单调，则{}n x 收敛3、设21(2)cos ,2,()4 0, 2,x x f x x x ⎧+≠±⎪=-⎨⎪=±⎩ 则()f x （）. （A ）在点2x =，2x =-都连续（B ）在点2x =，2x =-都间断（C ）在点2x =连续，在点2x =-间断（D ）在点2x =间断，在点2x =-连续4、设lim 0n n n x y →∞=，则下列断言正确的是（）. （A ）若{}n x 发散，则{}n y 必发散（B ）若{}n x 无界，则{}n y 必有界（C ）若{}n x 有界，则{}n y 必为无穷小（D ）若1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭收敛，则{}n y 必为无穷5、当0x x →时，()x α与()x β都是关于0x x -的m 阶无穷小，()()x x αβ+是关于0x x -的n 阶无穷小，则（）.（A ）必有m n = （B ）必有m n > （C ）必有m n ≤ （D ）以上情况皆有可能三、设2,0,1()(||),(),0.2x x f x x x x x x ϕ<⎧=+=⎨≥⎩求[()]f x ϕ,[()]f x ϕ. 四、求极限1、22lim(4)tan 4x x x π→-2、3113lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭3、11lim 3x x x x →+∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭4、22212lim 12n n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪+++⎝⎭5、1/1/011lim arctan 1x x x e e x→+- 五、讨论函数22(4),0,sin ()(1),01x x x x f x x x x x π⎧-<⎪⎪=⎨+⎪≥⎪-⎩的连续性，如有间断点，判别其类型.六、设k A xαβ==，求A 及k ，使得当x →+∞时，αβ . 七、已知()f x连续，05x →=，求20()lim x f x x →. 八、设函数)(x f 在(,)-∞+∞内有定义，且在点0x =处连续，对任意1x 与2x 有1212()()()f x x f x f x +=+. 证明：)(x f 在(,)-∞+∞内连续.九、证明：函数()[]f x x x =-在(,)-∞+∞上是有界的周期函数.十、设)(x f 在]1,0[上非负连续，且(0)(1)0f f ==. 证明：对任意实数(01)a a <<必存在实数0[0,1]x ∈，使得0[0,1]x a +∈，且00()()f x a f x +=.。

高等数学(上)第一章习题

高等数学（上）习题第一章函数与极限习题1－1 映射与函数1、求下列函数的定义域。

1）11)1arcsin(-+-=x x y 2） y =lg （4x －3）－arcsin （2x －1）3）)1ln(1-=x y 4） 2412-+-=x xy5）631arcsin 2--+-=x xx y6）xx y1arctan3+-=7） )6ln(2-+=x x y 8）51arcsin211-+-+=x x y ；2、设)(x f 的定义域为（0，1），求)1(xf ，)(2x f ，)(lg x f 的定义域。

3、判断下列函数的奇偶性。

1）)()31()31()(3232+∞<<-∞+--=x x x x f 2）)1lg()(2++=x x x f3）242)(x x x f -= 4）)1(1)(>-=a ax x f x5）)1(11)(>+-=a aa xx f xx 6）xx x f +-=11lg )(4、指出下列函数中的周期函数，并写出其周期。

1）y =sin （2x +5） 2）y =x sin （5x －3）3）y =|sin x | 4）y =sin x +21sin2x5）y=sin x 25、求下列函数的反函数。

1）2101-x -=y 2）⎩⎨⎧<-≥+=0012x ,x x ,x y3）x y 54-=4）31+=x y5）xx y 211211+++-=6）⎪⎭⎫ ⎝⎛<--++=0,21),1ln()1ln(x x x y6、指出下列复合函数的复合过程。

1）9)12(+=x y 2）2sinx e y =。

3）211arctanxy += 4）)y 1ln(x22+=5）)13(c 2+=x os y 6）)ln(ln x y = 7）2tan3x y = 8）x y 31sin +=7、若存在两个实数a ，b ，且a <b ，使f （x ）对一切实数 x 满足f （a －x ）= －f （a +x ），f （b －x ）=f （b +x ），试证明：f （x ）是以T=4（b －a ）为周期的周期函数。

高数第一章测试题

高数第一章测试题高等数学作为大学课程中的重要基础学科，对于很多同学来说是一个不小的挑战。

而第一章往往是为后续的学习打下基石的关键部分。

接下来，就让我们一起通过这份测试题来检验一下对第一章知识的掌握程度。

一、选择题（每题 5 分，共 30 分）1、函数＼（f(x) ＝＼frac{1}｛x 1}＼）的定义域为（）A ＼（x ＼neq 1\）B ＼（x ＞ 1\）C ＼（x ＜ 1\）D ＼（x ＼neq 0\）2、设＼（f(x) ＝＼sqrt{x}＼），则＼（f(f(4)）＼）的值为（）A 2B ＼（＼sqrt{2}＼）C 4D ＼（＼sqrt{4}＼）3、当＼（x ＼to 0\）时，下列函数中与＼（x\）等价无穷小的是（）A ＼（x^2\）B ＼（＼sin x\）C ＼（1 ＼cos x\）D ＼（e^x 1\）4、函数＼（f(x) ＝ x^3 3x ＋ 1\）的单调递增区间是（）A ＼（（＼infty, －1)＼）和＼（（1, ＋＼infty)＼）B ＼（（－1,1)＼）C ＼（（＼infty, ＋＼infty)＼）D 以上都不对5、曲线＼（y ＝ x^2 ＋ 1\）在点＼（（1, 2)＼）处的切线方程为（）A ＼（2x y ＝ 0\）B ＼（x 2y ＋ 3 ＝ 0\）C ＼（2x ＋ y 4 ＝ 0\）D ＼（x ＋ 2y 5 ＝ 0\）6、设函数＼（f(x)＼）在＼（x ＝ 0\）处连续，且＼（f(0) ＝2\），则＼（＼lim_{x ＼to 0} f(x)＼）的值为（）A 0B 1C 2D 不存在二、填空题（每题 5 分，共 30 分）1、函数＼（f(x) ＝＼ln(x ＋ 1)＼）的导数为________。

2、极限＼（＼lim_{x ＼to 1} ＼frac{x^2 1}｛x 1}＼）的值为________。

3、曲线＼（y ＝ e^x\）在点＼（（0, 1)＼）处的切线斜率为________。

高等数学-——函数与极限.pdf

《高等数学》第一章-——函数与极限练习题（A）一、判断正误题（判断下列各题是否正确，正确的划√，错误的划×）（1）{}{}{}(,)0U a x x a x a x a x a x a δδδδ=<−<=−<<∪<<+（）（2）关系式221x y −=表示y 是x 的函数（）（3）关系式{}{}max ,1min ,1y x x =+−表示y 是x 的函数（）（4）关系式2arccos ,2y u u x ==+表示y 是x 的函数（）（5）若()sgn f x x =，则21,0,()0,0.x f x x ≠⎧=⎨=⎩（）（6）若2()ln ,()2ln ,f x x g x x ==则()()f x g x =.（）（7）2sin y x =是周期为π的函数.（）（8）()00000lim ()()lim ()()0x x f x x f x f x x f x Δ→Δ→+Δ=⇔+Δ−=.（）（9）0y =是曲线21y x =的水平渐近线.（）（10）()y f x =在0x 连续的充要条件是000()()()f x f x f x −+==.（）（11）收敛数列的极限不唯一.（）（12）lim ()().f x A f x A α=⇔=+（其中lim 0α=）.（）（13）212limn nn →+∞++⋅⋅⋅+=（）（14）设()f x ，()g x 在(,)−∞+∞内有定义.若()f x 连续且()0f x ≠，()g x 有间断点，则()()g x f x 必有间断点（）二、填空题（将正确答案填写在横线上）1.若(),(())1,xf x e f x x ϕ==−则()x ϕ=2.2arctan limn nn →+∞=3.212lim 10n n n →+∞⎛⎞+=⎜⎟⎝⎠4.0lim x x →=5.()()220lim 11sin x x x x x →⎡⎤++−+=⎣⎦6.221lim sin n n n →+∞⎛⎞=⎜⎟⎝⎠7.2lim 31nn n →+∞⎛⎞−=⎜⎟⎝⎠8.()3sin 2limtan x x x→=9.若lim ,n n x a →∞=则lim n n x →∞=10.若lim ,n n x a →∞=则2lim n n x →∞=11.()22limh x h x h→+−=12.231lim 1x x x →∞−=+13.331lim 1x x x →∞+=−三、选择题（将正确答案的序号填写在括号内）（1）设函数()f x 的定义域为D ，数集X D ⊂，则下列命题错误的是（）A ：若()f x 在X 上有界，则()f x 在X 上既有上界也有下界B ：若()f x 在X 上有界，则()f x 在X 上也有界C ：若()f x 在X 上有界，则1()f x 在X 上必无界D ：若()f x 在X 上无界，则()f x 在X 上也无界（2）下列结论错误的是（）A ：sin y x =在定义域上有界B ：tan y x =在定义域上有界C ：arctan y x =在定义域上有界D ：arccos y x =在定义域上有界（3）下列结论正确的是（）A ：arcsin y x =的定义域是(,)−∞+∞B ：arctan y x =的值域是(,)−∞+∞C ：cos y x =的定义域是(,)−∞+∞D ：cot y arc x =的值域是(,22ππ−（4）若lim n n x a →+∞=，则下列结论错误的是（）A ：{}n x 必有界B ：必有11limn nx a →∞=C ：必有221lim lim n n n n x x a−→∞→∞==D ：必有1000lim n n x a+→∞=（5）下列结论正确的是（）A ：若函数()f x 在点0x 处的左右极限存在，则0lim ()x x f x →一定存在B ：若函数()f x 在点0x 处无定义，则0lim ()x x f x →一定不存在C ：若0lim ()x x f x →不存在，则必有0lim ()x x f x →=∞D ：0lim ()x x f x →存在的充要条件是函数()f x 在点0x 处的左右极限存在且相等E ：若函数()f x 在点0x 处的左右极限存在但不相等，则01lim()x x f x →一定存在（6）若lim ()0,lim ()x x f x g x →∞→∞==∞，则下列结论错误的是（）A ：()lim ()()x f x g x →∞±不存在B ：()lim ()()x f x g x →∞不一定存在C ：lim[2()]x f x →∞一定存在D ：()lim()x f x g x →∞不存在（7）下列结论正确的是（）A：绝对值很小的数一定是无穷小B：至少有两个常数是无穷小C：常数不可能是无穷小D：在自变量的某一变化过程中，趋向0的函数是无穷小（8）下列结论正确的是（）A ：有界函数与无穷大的积不一定为无穷大B ：无限个无穷小的和仍为无穷小C ：两个无穷大的和（积及商）仍为无穷大D ：无界函数一定是无穷大（9）下列等式不成立的是（）A ：1lim2n n n →+∞=B ：1limln(1)n n →+∞=+C ：lim 2n n →+∞=+∞D：lim1n →+∞−=（10）下列结论错误的是（）A ：单调有界数列必收敛B ：单增有上界的数列必收敛C ：单调数列必收敛D ：单减有下界的数列必收敛（11）下列结论正确的是（）A ：当0x →时，1xe −是比2x 高阶的无穷小B ：当1x →时，1x −与21x −是同阶的无穷小C ：当n →+∞时，21n 是比1n低阶的无穷小D ：当0x →时，若sin tan ax x ∼，则2a =（12）下列结论不正确的是（）A ：0x =是()xf x x=的跳跃间断点B ：2x π=是()tan xf x x =的可去间断点C ：()cot f x x =只有一个间断点D ：0x =是1()sin f x x=的第二类间断点（13）下列结论不正确的是（）A ：若lim ,n n x a →+∞=则10lim n n x a+→+∞=B ：01lim 1tan x x e x →−=C ：若10n x n<≤，则lim 0n n x →+∞=D ：123lim 121x x x x +→∞+⎛⎞=⎜⎟+⎝⎠（14）下列数列收敛的是（）A ：11,1,1,,(1),n +−− B ：2,4,8,,2,nC ：123,,,,,2341n n + D ：233333,,,,,2222n⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠（15）下列数列发散的是（）A ：1sin2n n x n π=B ：1(1)nn x n=−C ：215n x n=+D ：(1)nn x n =−（16）下列变量在给定变化过程中，不是无穷大量的是（）A ：lg ,(0)x x +→B ：lg ,()x x →+∞C ：21,(0)x x +→D ：1,(0)xe x −−→（17）下列结论错误的是（）A ：0(,)x ∀∈−∞+∞，00lim sin sin x x x x →=B ：2lim ln sin 0x x π→=C ：0(1,1)x ∀∈−，0lim arccos arccos x x x x →=D ：0lim sgn sgn x x x x →=四、计算题1.)lim arcsinx x →+∞−.2.2121lim()11x x x→−−−.3.3tan sin lim1x x x x e →−−. 4.()22lim 13tan cot xx x →+.5.1lim 1x x →−.五、证明题1.证明函数,()1sin ,x f x x x ⎧⎪=⎨⎪⎩>≤x x 在点0=x 处连续．2.证明2sin ,0(),0xx xf x a x x ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩在定义域内连续的充要条件是1a =.3.设()f x 在[0,1]上连续，且(0)0f =，(1)1f =，证明存在(0,1)ξ∈，使得()1f ξξ=−.4.证明222111lim 012n n n n n →∞⎛⎞++⋅⋅⋅+=⎜⎟+++⎝⎠.5.设()f x 在[0,2]上连续，且(0)(1)(2)3f f f ++=，求证：存在[0,2]ξ∈，使()1f ξ=.6.证明方程531x x −=在1与2之间至少存在一个实根.《高等数学》第一章---函数与极限练习题（B）一、判断正误题（判断下列各题是否正确，正确的划√，错误的划×）（1）2322(1,0)(3,4)x x x −−<⇔∈−∪（）（2）以1为中心，2为半径的去心邻域为{}{}(1,2)1113U x x x x =−<<∪<<（）（3）关系式2arcsin(3)y x =+表示y 是x 的函数（）（4）关系式{}max ,1min{,5}y x x =+表示y 是x 的函数（）（5）若函数()f x 的定义域为[1,4]，则函数2()f x 的定义域为[1,2]（）（6）若2(1)(1)f x x x −=−，则2()(1)f x x x =−（）（7）函数1,0()0,01,0x x f x x x x −<⎧⎪==⎨⎪+>⎩是偶函数（）（8）函数()cos 4f x x =的反函数1()arccos 4f x x−=（）（9）若()()sgn ,f x g x x ==则()()f x g x =.（）（10）sin 2tan 2xy x =+是周期为π的函数.（）（11）函数lg y u x ==能构成复合函数y =的充分必要条件是[1,10]x ∈（）（12）曲线211x y e−−=的水平渐近线是1y =（）（13）若0lim ()x x f x →不存在，则必有00()()f x f x −+≠（）（14））,0()0,0,0x a x f x x x a x +>⎧⎪==⎨⎪−<⎩在0x =连续的充要条件是0a =（）（15）设()f x ，()g x 在(,)−∞+∞内有定义，()f x 为连续，且()0f x ≠，若()g x 有间断点，则222()()g x f x 必有间断点（）（16）1x =是函数()2sgn(1)1y x =−+的可去间断点（）（17）4x π=是2tan 21y x =−的无穷间断点（）（18）lim ()1()1.f x f x α=⇔=+（其中lim 0α=）（）（19）2080100(1)(100)lim 1(1)n n n n →∞−+=+（）（20）222212lim 0n n n →+∞++⋅⋅⋅+=（）二、填空题（将正确答案填写在横线上）1.若(),(())1,xf x e f x x ϕ==−则()x ϕ=2.24arctan(1)(sin 1)lim100n n n n →+∞−+=−3.417lim 100n n n →+∞⎛⎞+=⎜⎟⎝⎠4.()1lim 1sgn(1)x x x →−−=5.22301lim (3cos )2x x x x →⎡⎤++=⎢⎥+⎣⎦6.242lim sin n n n →+∞⎛⎞=⎜⎟⎝⎠7.24lim 101nn n →+∞⎛⎞−=⎜⎟⎝⎠8.()10050sin 4lim(tan 2)x x x →=9.若lim ,n n x a →+∞=则221lim n n n x x −→+∞⎡+⎤=⎣⎦10.225lim 2x x x →−=−11.()33limh x h x h→+−=12.20010001lim1x x x →∞−=+13.2lim ln sin x x π→=14.0x →=三、选择题（将正确答案的序号填写在括号内）（1）下列结论错误的是（）A ：由于函数()sin f x x =在[,]22ππ−上单调递增，因此()f x 的反函数1()f x −必存在且1()fx −的定义域为[1,1]−，值域为[,]22ππ−B ：在同一平面坐标系中，函数()y f x =与其反函数1()y f x −=的图形关于直线y x =对称C ：由于函数()tan f x x =在,22ππ⎛⎞−⎜⎟⎝⎠上单调递增且连续，因此()f x 的反函数1()f x −在(),−∞+∞上也是单调递增且连续.D ：函数()cot f x arc x =的定义域为(,)−∞+∞，值域为,22ππ⎛⎞−⎜⎟⎝⎠（2）下列数列收敛的是（）A ：:1,1,1,1,1,1,n x −−−B ：:0,1,2,3,4,5,n xC ：:0,ln 2,ln 3,ln 4,ln 5,n xD ：111:0,,0,,0,,248n x（3）下列数列发散的是（）A ：(1)1n n ⎧⎫−+⎨⎬⎩⎭B ：3110n⎧⎫+⎨⎬⎩⎭C ：{}(2)n−D ：1ln(1)n n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭（4）下列结论错误的是（）A ：单调有界数列必收敛B ：发散的数列必无界C ：数列收敛的充要条件是任意子列都收敛于同一个数D ：收敛的数列必有界（5）若lim ()f x 与lim ()g x 都不存在，则（）A ：[]lim ()()f x g x +与[]lim ()()f x g x 都不存在B ：[]lim ()()f x g x +与[]lim ()()f x g x 一定都存在C ：[]lim ()()f x g x −与()lim ()f x g x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦都不存在.D ：[]lim ()()f x g x ±、[]lim ()()f x g x 与()lim ()f x g x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦可能存在，也可能不存在（6）下列结论正确的是（）A ：若0lim ()lim ()x x x x f x g x →→>，则必有()()f x g x >B ：若()()f x g x >，则必有0lim ()lim ()x x x x f x g x →→>C ：若0lim (),x x f x A →=则()f x 必有界D ：0lim ()x x f x A →=的充要条件是对任意数列00,,n n x x y x →→有lim ()lim ()n n n n x x y x f x f y A→→==（7）下列结论正确的是（）A ：若数列n x 无界，则数列n x 一定发散B ：若lim 0,lim 1,n n n n a b →∞→∞==则lim n n nba →∞一定存在C ：若lim n n x a →+∞=，则必有lim n n x a→+∞=D ：若221lim lim n n n n x x a −→+∞→+∞==，则lim n n x →+∞一定不存在（8）当x →∞时，下列变量中不是无穷小量的是（）A ：3211x x x −++BC ：221(1)sin1x x x−−D ：2211sin1xx x −−（9）下列变量在给定的变化过程中为无穷大量的是（）A ：41sin(0)x x x→B ：21sin (0)x x x →C ：cos ()x x x →∞D ：1cos (0)x x x→（10）当0x →时，下列变量中与2tan x 为等价无穷小量的是（）AB ：xC ：2xD ：3x（11）设当x →0时，tan sin x x −是比sin narc x 高阶的无穷小，则正整数n 等于（）A ：1或2B ：4C ：5D ：3.（12）设()1,()ln(1),,mx n x ex x m n N αβ+=−=+∈，则当x →0时，下列结论正确的是（）A ：当m n >时，()x α必是()x β等价的无穷小B ：当m n =时，()x α必是()x β高阶的无穷小C ：当m n <时，()x α是()x β的低阶无穷小D ：当m n <时，()x α是()x β的同阶无穷小（13）设若,,ααββ′′∼∼则下列结论可能不正确的是（）A ：αβαβ′′∼B ：αβαβ′′±±∼C ：αβαβ′′∼D ：(0)C C C αα′≠∼（14）()xf x x=在0x =有（）A ：跳跃间断点B ：可去间断点C ：震荡间断点.D ：无穷间断点（15）函数1(3)ln y x x=−的间断点有（）A ：1个；B ：2个C ：3个D ：4个（16）当x →∞时，若2111ax bx c x ∼++−，则,,a b c 的值一定为（）A ：0,1,1a b c ===−B ：0,1,a b c ==为任意常数C ：0,,a b c =为任意常数D ：,,a b c 为任意常数（17）下列极限中结果等于e 的是（）A ：sin 0sin 2lim 1xxx x x →⎛⎞+⎜⎟⎝⎠B ：sin sin lim 1xxx x x →∞⎛⎞−⎜⎟⎝⎠C ：sin sin lim 1x xx x x −→∞⎛⎞−⎜⎟⎝⎠D ：()2cot 0lim 1tan xx x →+（18）函数111()01x e x f x x −−⎧⎪≠=⎨⎪=⎩在点1x =处（）A ：连续B ：不连续，但右连续或有右极限C ：不连续，但左连续或有左极限D ：左、右都不连续（19）下列结论正确的是（）A ：若函数()f x 在(,)a b 内连续，则()f x 在(,)a b 内一定有界B ：若函数()f x 在[,]a b 内有间断点，则()f x 在[,]a b 上一定没有最值C ：若函数()u x ϕ=在点0x x =处连续，且00()x u ϕ=，而函数()y f u =在点0u u =处连续，则复合函数[()]y f x ϕ=在点0x x =处也是连续的D ：一切初等函数在其定义域内都是连续的四、计算题1.设()0.10x e x f x x ⎧≤=⎨>⎩求)(x f 在0x =的极限2.求lim x →+∞3.求3211lim()11x x x x →−−−4.求)21sin limtan x arc xx →− 5.求lim ln(1)ln(1)n n nn n →∞⎛⎞−⎜⎟−+⎝⎠五、讨论题1.讨论2sin ,0;()1,0.xx x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪+=⎩在定义域内的连续性2.讨论a 取何值可使1sin arccos ,0;()0,0;ln(1),0.x x x f x x x a x ⎧>⎪⎪==⎨⎪−+<⎪⎩在定义域内连续.六、证明题1.设()f x 在[0,1]上连续，且(1)0f >，证明存在(0,1)ξ∈，使()1f ξξξ=−2.证明lim 1n →∞⎛⎞+⋅⋅⋅+=3.设()f x 在[0,2]上连续，且(0)(1)(2)3f f f ++=，求证：存在[0,2]ξ∈，使()1f ξ=4.证明曲线423710y x x x =−+−在1x =与2x =之间至少存在与x 轴有一个交点5.证明0p >时，函数1sin ,0()0,px x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩0>≤x x 在点0=x 处连续．6.证明：0lim ()()x x f x A f x A α→=⇔=+，其中0lim 0x x α→=.《高等数学》第一章-——函数与极限自测题（A）题号一二三四五六总分得分一.判断题（判断下列各题是否正确，正确的划√，错误的划×。

高数各章练习题上册

n →∞
）
）
（B） f ( x) − g ( x) 在 x0 点处间断（D） f ( x) + g ( x) 在 x0 点处可能连续。）
（2）设数列 xn 与 yn 满足 lim xn yn = 0 ，则下列断言正确的是（（A）若 xn 发散，则 yn 必发散。（C）若 xn 有界，则 yn 必为无穷小。（3）已知 lim
三、完成下列各题： 1、设 f ( x) 在 [0,1] 上连续。且 0 < f ( x) < 1 ，则必存在 ξ ∈ (0,1) 使 f (ξ ) = ξ 。
(ln x) x / ，求 y x ln x ⎧ ax + b, x > 1 3、确定 a, b 使 f ( x ) = ⎨ ⎩ 0 , x ≤1
2 3
7.若 f ( x ) 在[a,b]上连续、在(a,b)内可导，则 f ( x ) 在[a,b]上单调减小的充分（非必要）条件是__________________________________. 8. 若 f ( x ) 在[a,b]上连续、在(a,b)内二阶可导且_______________________________，则
五、若 lim
x→2
x 2 + ax + b = 2， x2 − x − 2
求 a ， b 的值
六、设 x1 = 1 ， xn = 1 + 七、设 f ( x) = lim
xn −1 ，证明 lim xn 存在，并求 lim xn n →∞ n →∞ 1 + xn −1
n →∞
1− x ，讨论 f ( x) 在其定义域内的连续性，若有间断点，指出其类型。 1 + x2n

高等数学(上)复习题

高等数学（上）复习题第一章函数与极限一、单项选择题1.函数y=5-x +ln(x －1)的定义域是( )A. (0，5)B. (1，5)C. (1，5)D. (1，+∞) 2.函数f(x)=21xx -的定义域是（）A.（-∞，+∞）B.（0，1）C.（-1，0）D.（-1，1）3.函数45)(2+-=x x x f 的定义域为（）A. (]1,∞-B. [)+∞,4C. (][)+∞⋃∞-,41,D. ()()+∞⋃∞-,41, 4.函数y=x 1-+arccos21x +的定义域是( ) A. x<1 B.-3≤x ≤1C. (-3，1)D.{x|x<1}∩{x|-3≤x ≤1}5.函数y=2x xln -的定义域是（）A. (-∞，0)B. (2，+∞)C. (0，2)D. (-∞，0) ∪ (2，+∞)6.下列函数中为奇函数的是（）A.y=cos 3xB.y=x 2+sinxC.y=ln(x 2+x 4) D.y=1e 1e x x +-7.函数f(x)=1+xsin2x 是（） A.奇函数B.偶函数C.有界函数D.非奇非偶函数8.函数y=2a a xx -+(a>0,a ≠1)是（）Ａ.奇函数 B.非奇非偶函数 C.偶函数 D.奇偶性取决于a 的取值9.当x →0时，下列无穷小量与x 为等价无穷小的是（）A. sin 2xB. ln(1+2x)C. xsin x 1D.x 1x 1--+10.当0x →时，2x+x 2sinx1是x 的（） A.等价无穷小 B.同阶但不等价的无穷小 C.高阶无穷小 D.低阶无穷小11.设函数)(x f y =在0x 处可导，)()(00x f h x f y -+=∆，则当0→h 时，必有 A.dy 是h 的等价无穷小； B.dy 是h 的高阶无穷小；C.dy y -∆是比h 高阶的无穷小；D.)(x f dy y -∆是h 的同阶无穷小；12.设2)(,1)(2x x g ex f x =-=-，则当0→x 时（）Ａ.)(x f 是)(x g 的高阶无穷小Ｂ.)(x f 是)(x g 的低阶无穷小Ｃ.)(x f 是)(x g 的等价无穷小Ｄ.)(x f 与)(x g 是同阶但非等价无穷小 13.下列极限正确的是( )A.11sinlim =∞→x x x B.11sin lim 0=→x x x ；C.1sin lim=∞→x x x ； D.12sin lim 0=→xxx ； 14.=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→2xx x 11lim （） A.e 2B.21eC.e -2D.21e-15.nn 211(lim +∞→）＝（）Ａ. 0 B. 1 C.不存在 D. 2 16.=+∞→xx x)21(lim （） A. e -2 B. e -1 C. e 2 D.e 17.xx x 21sin3lim ⋅∞→=( ) A.∞ B. 0 C. 23 D.32 18.=→2xtan3xlimx （） A.∞B.23C.0D.119.=-ππ→xxsin lim x ( ).A.1B.∞C.-1D.-∞20.=-+-→xx x x x 32112lim （） A.21B. 0C. 1D. ∞21.limsin2xxx →∞等于( )A. 0B. 1C.12D. 223.xmxx sin lim0→ (m 为常数) 等于 ( )A.0B. 1C.m1D. m 24. hx )h x (lim 320h -+→ =( )。

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x x0 x x0
( x 1) 2 x 1 ,则 3、若 f ( x) 2 , g ( x) x 1 x 1
（A） f ( x) g ( x) （C） lim f ( x) lim g ( x)
x 1 x1
。
使得在该邻域内 g ( x) f ( x)．
（B） lim f ( x) g ( x)
x
四、求 lim
x 0
x x
二．单项选择题 1、从 lim f ( x ) 1 不能推出
x x0
。
（A） lim f ( x) 1 （B） f ( x0 0) 1 （C） f ( x0 ) 1 （D） lim [ f ( x ) 1] 0
x x0 0 x x0
之值．
lim g( x) 都不存在，则 lim[ f ( x) g( x)] 必不存在；命题甲：若 lim f ( x)、
7、下列叙述不正确的是。
1 是无穷小。 x
3、两个无穷小之和仍是无穷小。 4、两个无穷小之积仍是无穷小。 5、两个无穷大之和仍是无穷大。 6、无界变量必是无穷大量。 7、无穷大量必是无界变量。 8、 , 是x x0 时的无穷小，则对任意常数 A、B、C、D、E，
A．无穷小量与无穷大量的商为无穷小量； B．无穷小量与有界量的积是无穷小量； C．无穷大量与有界量的积是无穷大量； D．无穷大量与无穷大量的积是无穷大量。
1 ,当n为奇数 2、 xn n 则 10 7 ,当n为偶数
（A） lim xn 0;
n
lim u n a , 证明 lim |u n || a | . 并举例说明: 如果数列{|xn|}有极限, 但数列{xn}未必五、

高等数学第一章测试题(第7版)

高等数学（上）第一章函数与极限测试题一、填空（20分）1.设)(x f y =的定义域是]1,0(，x x ln 1)(-=ϕ，则复合函数)]([x f y ϕ=的定义域为；2.函数)21ln(12arcsin 2x x x xy --++=的定义域 ;3.下列哪些函数相同 ;(1) x ln 2与2ln x ； (2) 2x 与x ； (3) x 与x x sgn .4.函数)1ln(2x x y ++=的奇偶性为；函数x e x y 2=的奇偶性为；5. (1) 设2)1(2+=+x x f ，则=)(cos x f ；(2) 设x e f x =+)1(，则=)(x f .6.如果,21)74)(1(132lim 23=+-+-∞→n x x x x x 则=n ； 7. =+∞→）（x xx x x 2sin 2sin lim ；8.当=α 时，αx x 21~1s i n 1-+；9. 1x =-为2()1f x x =+的第____类间断点；10.若⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=0,0,1sin )(2x a x x e x x f ax 在0=x 处连续，则=a 。

二、计算数列极限（50分）：1. )2141211(lim n n +++∞→ ; 2. )1(lim n n n -++∞→; 3. n n nn n 3232lim +-+∞→ 4.15865lim 223+-+-→x x x x x ；5.)1113(lim 31x x x ---→ 6. 121l i m 22---∞→x x x x ； 7. 30sin tan lim x x x x -→; 8. xx x sin 20)31(lim +→; 9. x e e xx x cos 1lim 0---→； 10. 11sin 1lim 20--+→x x e x x ;五（6分）、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=-001)(2x k x x x f x ）（，试确定k 的值，使)(x f 在0=x 处连续。

高等数学章节练习题及答案第一章

高等数学章节练习题及答案第一章作业1.1.11．求下列函数的定义域.(1)y ；(2) 213y x =- ；(3) πsin ,0,2π,π.2x x y x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩≤≤解（1）解不等式243x x -+≥0得x ≤1或x ≥3；故函数定义域为(,1][3,)-∞+∞；（2）解不等式2x +≥0得x ≥2，由230x -≠知x ≠；故函数定义域为[2,)+∞；（3）分段函数的定义域为各段取值范围的并集，故定义域为[0,π)．2. 设3()21f x x x =-+，求(0),(1),(2),(1)f f f f x -+．解 (0)0011f =-+=；3(1)12112f -=--⨯-+=（）（）；3(2)22215f =-⨯+=； 33232(1)12113312213f x x x x x x x x x x +=+-++=+++--+=++（）（）3. 设23,1,()4,x x f x x -<⎧=⎨⎩≥1，求(2)f -，(0)f ，(2)f ．解 (2)23(2)8f -=-⨯-=；(0)2f =；(2)4f =．4. 求下列函数的反函数，并在同一个坐标系中作出它们的图像（1）23y x =-；（2）21y x =-，(0,)x ∈+∞ 解（1）函数的定义域和值域都是R ，由23y x =-得322y x =+，故其反函数为 322x y =+，x ∈R ．它们的图像为第4（1）题图（2）函数的定义域为(0,)+∞，值域为(1,)-+∞，由21y x =-得x =为y=(1,)x ∈-+∞．它们的图像为第4（2）题图1．写出下列函数的复合过程.(1) 21x y e -= ； (2) ln(3)y x =- ； (3) y =(4) 2πsin (3)6y x =-．解（1）u y e =，21u x =-；（2）ln y u =，3u x=-；（3）y =tan u v =，2xv =；（4）2π,sin ,36y y u v v x ===-．2．写出各函数复合而成的函数并求其定义域 .(1) 5u y =, u = ln v x = ； (2) ln y u = ， 381u x =+.解（1）y =[,)e +∞‘（2）3ln(81)y x =+，定义域为1(,)2-+∞．作业1.1.31．市场对某种商品的需求量Q 满足：()2002Q P P =-，其中P 为商品价格，而生产商对此商品的供应量S 满足：()3100S P P =-，求该种商品的市场均衡价格P 和均衡数量Q ．解（1）()2002Q P P =-= ()3100S P P =-得 P =60，将P =60代入()2002Q P P =-得Q =80．2．已知某商品的成本函数（单位：万元）为()608C Q Q =+，其中Q 为该商品的产量．（1）该商品的计划售价为12万元/件，那么该商品的盈亏平衡点（保本点）Q 0是多少件？（2）求生产50件时的成本和平均成本为多少？（3）当该商品以计划售价的五折出售时，能否盈利？解（1）Q 0=15（件）；（2）(50)(50)100,(50)250C C C ===（万元）；（3）不会盈利，会造成亏空．3．某商品的销售价格为100元，月销售量为4000件，当销售价格每提高2元，月销售量会减少50件，在不考虑其他因素情况下，（1）求这商品月销售量与价格之间的函数关系；（2）当价格提高到多少元时，这商品会卖不出去？解（1）()650025Q P P =-；（2）260元．作业1.2.11.通过观察对应函数图像，讨论下列极限：（1）1lim1x x →∞+；（2）1lim 4x x →+∞（）；（3）lim 3x x →-∞；（4）1lim(2)x x→∞-；（5）0lim x +→（6）1limln x x →．（7）π3lim sin x x →；（8）设1,()1,x x f x x x -<⎧=⎨+⎩0,≥0，求0lim ()x f x →．解做出相应的函数图像（略）．（1）观察函数11y x =+的图像知，1lim 01x x →∞=+；第1（1）题图第1（2）题图（2）观察函数1()4x y =的图像知，1lim 04xx →+∞=（）；（3）观察函数3x y =的图像知，lim 30x x →-∞=；第1（3）题图（4）观察函数12y x =-（5）观察函数y =的图像知，0lim0x →=；第1（5）题图第1（6）题图（6）观察函数ln y x =的图像知，1limln ln10x x →==．（7）观察函数sin y x =的图像知，π3πlim sin sin3x x →=；第1（7）题图第1（8）题图（8）观察函数的1,()1,x x f x x x -<⎧=⎨+⎩0,≥0图像知，0lim ()x f x →=1；1.计算下列极限：（1）331lim(2)x x x→∞+-；（2）2222lim 341x x x x x →∞+--+；（3）21lim 1x x x →∞--解（1）333131lim(2)lim2lim lim 2x x x x x x x x →∞→∞→∞→∞+-=+-=；（2）2222122222lim lim 4133413x x x x x x x x x x→∞→∞+-+-==-+-+；（3）222111lim lim 0111x x x x x x x→∞→∞--==--．2.计算下列极限：（1）324lim()x x x →+；（2）4322lim ()x x x→--；（3）222lim 2x x x →-+.解（1）3322444lim()limlim 8412x x x x x x x →→→+=+=+=；（2）443322222265lim ()lim lim 1684x x x x x x x→-→-→--=-=-=-；（3）222421lim 2222x x x →--==++.3.作出函数21,1,(),11x x f x x x -⎧<⎪=⎨-⎪⎩≥ 的图像． (1) 写出1lim ()x f x →-和2lim ()x f x →；(2) 写出1lim ()x f x -→和1lim ()x f x +→；(3) 判断1lim ()x f x →是否存在，若存在求出来．解函数图像如图下：第3题图（1）观察函数图像知，1lim ()2x f x →-=，2lim ()3x f x →=；（2）11lim ()lim (1)0x x f x x --→→=-=，211lim ()lim (1)0x x f x x ++→→=-=；（3）因为1lim ()x f x →=1lim ()x f x +→=0，所以1lim ()x f x →存在，且1lim ()0x f x →=．4. 已知函数231,1,(),>11x x f x x x -⎧<⎪=⎨+⎪⎩,求1lim ()x f x →．解 11lim ()lim (31)2x x f x x --→→=-=，211lim ()lim (1)2x x f x x ++→→=+=．故 1lim ()x f x →=2.5. 利用微软高级计算器计算下列各极限（1）2lim(1)x x x →∞+；（2）0sin5lim 2x x x →；（3）0tan lim x x x →；（4）01lim sin x x x →．解（1）22lim(1)x x e x →∞+=；（2）0sin55lim 22x x x →=；（3）0tan lim1x x x →=；（4）01lim sin 0x x x→=．1.判断下列命题是否正确（正确的填“√”，错误的填“×”）（1）10000.001是无穷小；（ × ）（2）当x →-∞时，10x 是无穷小；（ × ）（3）当x →-∞时，0是无穷小；（ √ ）（4）当x →-∞时，2x 是无穷小；（ √ ）（5）当x →∞时，2x 是无穷小；（ × ）（6）当2x →时，24x -是无穷小．（ √ ）2.比较下列各组无穷小.（1）当0x →时，4x 与2x ;（2）当2x →时， 2x -与38x -;（3）当x →∞时，318x -与12x -. 解（1）因为40lim 0x x →=，2lim 0x x →=，且42200lim lim 0x x x x x →→==，所以当0x →时，4x 是比2x 较高阶的无穷小．（2）因为2lim(2)0x x →-=，32lim(8)0x x →-=，且3222222211limlim lim 8(2)(1)17x x x x x x x x x x x →→→--===--++++，所以，当2x →时， 2x -与38x -是同阶无穷小．（3）因为31lim08x x →∞=-，1lim 02x x →∞=-，且3233311228lim lim lim 018812x x x x x xx x x x→∞→∞→∞---===---，所以，当2x →时，318x -为比12x -较高阶的无穷小．3.确定函数1()1x f x x +=-为无穷小的条件．解由于-1111lim=0111x x x →+-+=---，故函数为无穷小的条件为“ 1x →-”。

(同济版高等数学上册)第一章习题课精选题

(6) lim n
n
1 n 1 ； 2 n
3 单调有界：只是证明极限存在，一般适合数列以递推关系式给出； (1) 设 x1 1 ， x 2 1 4 抓大头 (1)
lim n 1 3n 1 ； n n 3n 1 2
x 0 点连续，证明： f ( x ) 在任一点 x 处都连续.
证明： x , 则有 f ( x x ) f ( x ) f (x ) ， f ( x ) f ( x 0) f ( x ) f (0) 故 y f ( x x ) f ( x ) f ( x )[ f (x ) f (0)]
lim f ( x) 0 lim f ( x) 0
x x0 x x0
二．数列极限 1 公式变形化简； (1) (2)
当 x 1时, 求 lim(1 x)(1 x 2 )(1 x 4 )
n
(1 x 2 ). ；
n
1 3 2n 1 lim( 2 n ) ； n 2 2 2
x n 1 x1 ， xn 1 ，求 lim x n n 1 x1 1 x n 1
5 无穷小*有界 (1)
lim(1 n
n
)cosn ；
6 (不要求掌握，有余力同学自己看看)利用如下结论设 liman a ，则以下结果成立
n
(1)
lim
1 x 1
故 a 1；
b lim
x
x
2
x 1 x lim

1 x x2 x 1 x
x
lim
1 1
x
1 1 x x2

高等数学练习册及答案

高等数学练习册及答案### 高等数学练习册及答案#### 第一章：极限与连续练习题1：计算下列极限：1. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)2. \(\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x}\)3. \(\lim_{x \to 1} (x^2 - 1)\)答案：1. 根据洛必达法则，我们首先对分子分母同时求导，得到 \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1\)。

2. 由于 \(\sin x\) 的周期为 \(2\pi\)，当 \(x\) 趋向无穷大时，\(\frac{\sin x}{x}\) 趋向于0。

3. 直接代入 \(x = 1\)，得到 \(\lim_{x \to 1} (x^2 - 1) = 0\)。

练习题2：判断函数 \(f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}\) 在 \(x =1\) 处是否连续。

答案：函数 \(f(x)\) 在 \(x = 1\) 处的极限为2，但 \(f(1)\) 未定义，因此 \(f(x)\) 在 \(x = 1\) 处不连续。

#### 第二章：导数与微分练习题1：求下列函数的导数：1. \(f(x) = x^3 - 2x\)2. \(g(x) = \sin x + e^x\)答案：1. \(f'(x) = 3x^2 - 2\)2. \(g'(x) = \cos x + e^x\)练习题2：利用导数求函数 \(h(x) = x^2\) 在 \(x = 2\) 处的切线方程。

答案：首先求 \(h'(x) = 2x\)，然后计算 \(h'(2) = 4\)，切点坐标为\((2, 4)\)。

切线方程为 \(y - 4 = 4(x - 2)\)，简化得 \(y = 4x - 4\)。

#### 第三章：积分学练习题1：计算下列不定积分：1. \(\int x^2 dx\)2. \(\int \frac{1}{x} dx\)答案：1. \(\int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C\)2. \(\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C\)练习题2：计算定积分 \(\int_{0}^{1} x^2 dx\)。

高数练习题第一章函数与极限

‰高等数学(Ⅰ)练习第一章函数、极限与连续________系_______专业班级姓名______ ____学号_______习题一函数一．选择题 1.函数216ln 1x xx y -+-=的定义域为 [ D ] （A ）（0，1）（B ）(0,1)⋃(1,4) （C ）(0,4) （D ）4,1()1,0(⋃] 2.3arcsin 2lgxx x y +-=的定义域为 [ C ] （A ）)2,3(]3,(-⋃-∞ （B ）(0,3) （C ）]3,2()0,3[⋃- （D ）),3(+∞- 3．函数)1ln(2++=x x y 是 [ A ]（A ）奇函数（B ）非奇非偶函数（C ）偶函数（D ）既是奇函数又是偶函数 4．下列函数中为偶函数且在)0,(-∞上是减函数的是 [ D ]（A ）222-+=x x y （B ）)1(2x y -= （C ）||)21(x y = （D ）.||log 2x y =二．填空题1. 已知),569(log )3(22+-=x x x f 则=)1(f 22. 已知,1)1(2++=+x x x f 则=)(x f3. 已知xx f 1)(=,x x g -=1)(, 则()=][x g f4. 求函数)2lg(1-+=x y 的反函数5. 下列函数可以看成由哪些基本初等函数复合而成 (1) x y ln tan 2=：(2) 32arcsin lg x y =：__________ _____________________三.计算题1．设)(x f 的定义域为]1,0[, 求)(sin ),(2x f x f 的定义域21x x -+1102()x y x R -=+∈11x -2,tan ,ln ,y u u v v w w ====23,lg ,arcsin ,y v v w w t t x =====2()[11](sin )[2,2]()f x f x k k k Z πππ-+∈的定义域为，的定义域为2.设⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤-=2||111||1)(2x x x x x ϕ , 求)23(),21(),1(ϕϕϕ-, 并作出函数)(x y ϕ=的图形.4.已知水渠的横断面为等腰梯形，斜角40=ϕ（图1-22）。

高等数学(上)第一章练习题

高等数学（上）第一章练习题一．填空题1．lim?xsinx????12sinx????_________.xx?x?x?a?2．lim???9，则a?__________.x??x?a??x2?ax?b3．若lim?5，则a?___________,b?___________.十、11? xex？E十、24.林。

x?02x?(1?2x)1xx?05．f(x)??在x?0连续，则k?? ln（1？x）？kx？06.知道x是什么时候吗？0, 1? 斧头？2.13? 1和cosx？1是等价的无穷小，那么常数a____?x2?kx?17．设f(x)??处处连续,则k?__________.? 余弦？xx？1.A.bx2？8.设置f（x）？？sinbx？？x9.lim1？2.3n？？十、0x？0英寸X？如果0处存在不连续，常数a和B应满足关系式____?nn?1n?10.lim？辛克斯？1.辛克斯？？？？十、11．lim?x2?x?1?ax?b??0，则a?b?十、1.E1x12。

已知f（x）？，然后是x？0是断点的类型2?3e1x二．单项选择题13．当x?0时,变量11sin是__x2xa。

无穷小B.无穷大c.有界变量但不是无穷小,d.无界变量但不是无穷大.14．.如果limf(x)存在，则f(x0)____________.十、x0a。

不一定存在，B.未定义，C.定义，D？0.15. 如果林？F（x）和lim？F（x）存在，那么_____x?x0x?x0第1页共3页a、 Limf（x）存在，Limf（x）存在吗？F（x0），B.limf（x）不一定存在，x?x0x?x0x?x0c.limf(x)存在但不一定有limf(x)?f(x0),d.limf(x)一定不存在.十、x0x？x0x？X016。

x什么时候？在0时，以下四个无穷小中，哪一个是比其他三个a.x2，b.1更高阶的无穷小？cosx，c。

1?x2?1,d.tanx?sinx.? lnx？十、1x？1.17.如果f（x）？？00? 十、1，那么f（x）是_____?1?exx?0?a.在(??,??)内连续b.在x?0处连续在x?1处间断c.在x?0处间断在x?1处连续d.在x?0、x?1处都间断。

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