高等数学(上)第一章练习题

高等数学（上）第一章练习题

一．填空题

1． 12sin lim sin _________.x x x x x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭

2． lim 9x x x a x a →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭

， 则__________.a = 3． 若21lim 51x x ax b x

→++=-，则___________,___________.a b == 4． 02lim __________.2x x x e e x

-→+-= 5． 1(12)0()ln(1)0

x x x f x x k x ⎧-<=⎨++≥⎩在0x =连续，则k =

6． 已知当0x →时，()1

2311ax +-与cos 1x -是等价无穷小，则常数________.a =

7． 设21()cos 1

x k x f x x x π⎧+≥=⎨<⎩ 处处连续, 则__________.k =

8．设2

0()sin 0a bx x f x bx x x

⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩ 在0x =处间断,则常数a 和b 应满足关系____________. 9．()1lim 123n n n n →∞++=

10

．lim x →+∞⎡=⎣

11

．lim x ax b →+∞⎤-=⎦

0 ，则a = b = 12．已知111()23x

x

e f x e +=+ ，则0x =是第 类间断点 二．单项选择题

13． 当0x →时, 变量211sin x x

是____________. A. 无穷小量 B. 无穷大量

C. 有界变量但不是无穷小,

D. 无界变量但不是无穷大.

14．. 如果0

lim ()x x f x →存在，则0()f x ____________. A. 不一定存在, B. 无定义, C. 有定义, D. 0=.

15． 如果0lim ()x x f x -→和0

lim ()x x f x +→存在, 则_____________.

A. 0lim ()x x f x →存在且0lim ()x x f x →0()f x =,

B. 0

lim ()x x f x →不一定存在, C. 0lim ()x x f x →存在但不一定有0lim ()x x f x →0()f x =, D. 0

lim ()x x f x →一定不存在. 16．当0x →时,下列四个无穷小量中,哪一个是比其它三个更高阶的无穷小量._________.

A. 2x ,

B. 1cos x -,

C.

1, D. tan sin x x -.

17．如果1ln 1

1()0010x x x x f x x e x ⎧>⎪-⎪=≤≤⎨⎪⎪<⎩

, 则()f x 是____________.

A. 在(,)-∞+∞内连续

B. 在0x =处连续在1x =处间断

C. 在0x =处间断在1x =处连续

D. 在0x =、1x =处都间断。

18．函数110()10

x e

x f x x x ⎧⎪+>=⎨⎪+≤⎩在0x =处间断是因为__________.

A. ()f x 在0x =处无定义

B. 00lim ()lim ()x x f x f x -+→→和都不存在

C. 0lim ()x f x →不存在

D. 0

lim ()(0)x f x f →≠. 19． 函数323()23x f x x x x

-=--的间断点为__________. A. 0,1x x == B. 0,1,3x x x ==-=,

C. 1,

3x x =-= D. 0, 3.x x == 20．方程410x x --=至少有一个根的区间是___________.

A. ()1

20,, B. ()1

2,1, C. ()2,3, D. ()1,2

21．设1sin 0()3(1)0

x x f x x a x x ⎧<⎪=⎨⎪-≥⎩ 在0x =处连续, 则_________.a = A. 0, B. 1, C.

13, D. 3 三．证明题

22．证明222121lim()122

n n n n n n →∞+++=+++ 23．已知12x =，111[]2n n n

x x x +=+，1,2,n =， 求证lim n n x →∞

存在，并求其极限

24．已知()f x 在(,)a b 内连续，且a c d b <<<，0p >，0q >，证明在(,)a b 内至少

有一点ξ，使得()()()()p f c q f d p q f ξ+=+

参考答案与提示

（1） 1 （2） ln 3 （3）-7 ，6 （4）0 （5） 2e -

（6）32

-

（7）2- （8）a b ≠ （9）3 （10）0 （11）1，12- （12）一 （13） D （14） A （15）B （16）D （17）B （18）C （19）B （20）D

（21）C 证明题提示：

（22）极限存在准则Ⅰ （23）极限存在准则Ⅱ lim 1n n x →∞

= （24）()f x 在[,]c d 上用最值定理与介值定理