第三章恒定磁场-资料

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i 2
18
§3.2 矢量磁位
一、矢量磁位
由恒定磁场的基本方程 B 0 可知，磁感应强度可以表
示为一个矢量的旋度，即
B A
A
称为矢量磁位。
由于未给定 A的散度，则仅由上式定义的 A 并不唯一。
为唯一确定 A ，引入库仑规范：
A0
A B
则由
A
0
所定义的矢量磁位是唯一的。
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二、矢量磁位所满足的方程
R
r
r
8
二、恒定磁场的基本方程 1、由Maxwell方程出发
HEDBj0BtDt
j
0
t
恒定磁场 ☺场矢量不随时间变化 的特征 ☺电流密度J恒定(与空间位置无关)
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由 Maxwell 方程得到两组方程：
D B 0
E
0and
H
J
媒质本构方程：
J E and
D E
恒定磁场必然伴随恒流电场出现！
线电流元
电流元
JdV
dS d
wdhn
nS
dVdSdldwdhdl
IS
Jd
Vn
i Iw
JdV
n
Jdhdl dw
n
i
dw
n
Idl
7
则任意恒定B线电4流0所产L 生Id的lR磁3感R应强度为R r r
对于体电流分布
B
0
4
JdV R V R3
R
r
r
对于面电流分布
B
0
4
i dS R S R3
Chapter III. 恒定磁场
☺真空中的恒定磁场 ☺介质内的恒定磁场 ☺实际应用问题
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§3.1 真空中恒定磁场的基本方程
一、安培定律与毕奥－萨伐尔定律
实验表明，两个稳恒电流之间的磁相互作用力， 与两载流体的形状、大小、相对位置和它们的 电流分布情况有关。
I1
I2 I1
f1 f2
f1
f2
d
d I2
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2、磁感应强度的散度
在恒定直流回路的磁场中任意取一闭合曲面 S，则
S 上的磁通量为 B dS S
0 ( S 4
L
Id
l R3
R)
dS
L
0 4
S
R
dS R3
Id
l
0I L 4
1
dS
dl
S R
11
应用矢量斯托克斯定理
S
(n
A)dS
V
(
A)dV
0 4
I2dl 2
I1dl1
R132
R12
I1dl1 // R12
dF12 0
R12
dF12 dF21
dF21 0
4
I1dl1 R12
I2dl2
L1
dF12 L2
F12
0 4
F21
0 4
L1
L2
I1I2dl2 (dl1 R132
R12 )
一表征磁场作用的矢量――磁感应强度B ： dF0 I0dl0 B
对比两闭合电流中电流元相互作用力的表达式：
dF12
0 4
I
2
dl2
I1dl1 R132
R12
dF12 I2dl2 B
可知
dB
0 4
I1dl1 R
R3
毕奥－萨伐尔定律
6
体电流元 dh
dw
dl
dl
面电流元 dw
2
I1dl1 R12
I2dl2
L1
dF12 L2
dF12
0 4
安培定律 I2dl2 (I1dl1 R12 )
R132
作用力的大小与两电流元之间距离的平方 成反比
作用力的方向是三个矢量的二重矢积 电流元之间的作用力同样遵守叠加定律
3
两电流元之间的作用力不满足牛顿第三定律
dF12
由于 ex , ey , ez 都为常矢量，则上式可分解为三个独立方 程：
2 2
Ax Ay
0J x 0J y
2
Az
0J z
此三方程为标量方程，与电位的泊松方程的类似， 因而其解也应相似。
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矢量磁位的每个分量为：
A i4 0 VJ R idV ix,y,z
则矢量A磁位的e解i A为i ：ex Ax ey Ay ez Az
解：利用磁场的叠加定
律，空腔中的场显然可 以看作是两圆柱分别存 在电流密度 J 时所产生 磁场的叠加。 两圆柱分别存在时，所
r1 cP r2
产生的磁场显然具有轴
对称性，因此只存在角
向分量。以圆柱轴为轴
心，场点 P 到轴心的垂直距离 r 为半径作一闭合圆 L，则
由安培环路定律可知：
B dl L
则上式可以写成
B dS
S
0 I L 4
1
dS
dl
S R
L
0 I 4
V
(
1 R
)dV
dl
L
0 Id l 4
V (
1Baidu Nhomakorabea)dV R
0
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因此磁感应强度穿过任意曲面的磁通量为零，即
SB dS 0
SB
dS
V BdV
0
B 0
磁感应强度是一个无散度的矢量场 磁力线是闭合曲线
0 4
I1I2dl1 (dl2 R21) 0
L1 L2
R231
4
L1
I1I2
R L2
3 12
dl2 dl1 R12
L1
I1I2
R L2
3 21
dl1 dl2 R21
R12 R21 F12 F21
两闭合体电流元或线电流之间的作用力满足牛顿第三定律
5
闭合电流之间的作用力通过磁场传递，因此如同电场引入
将矢量磁位表达式带入磁场的基本方程，得到矢量位的泊
松方程：
B 0J
(
A)
0
J
( A) 2
2
A
0
J
A
0
J
在 J＝0 的区域，有矢量位的拉普拉斯方程 2 A 0
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在直角坐标系中，有
2 (ex Ax ey Ay ez Az ) 0 (ex J x eyJ y ez J z )
场的分布。
Z
解：设面电流密度方向为
z 方向，在 YZ 平面内。
Y
由对称性可知，磁场只有
Y 方向的分量，且在 YZ
平面两边方向相反，大小
y
相等。作一如图红色虚线
By ( x)
所示的矩形闭合曲线，则
By ( x)
X
磁感应强度沿此曲线的积
分为：
Byy (By )(y) 0iy 2Byy 0iy
0
J dS
S
L B rd 0r2J
B r2
0r2J
B
e
0rJ
2
ez
r0J
2
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所以通有相反电流的两圆柱所产生的磁场分别为
B1
ez
r1 20J
B2
ez
r2
0J
2
空腔内的合成磁场为
B
B1
B2
ez r1 20J
ez
r2
0J
2
0J
2
ez (r1
r2 )
0J
2
ez c
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Example 2：电流均匀分布在无限大平面导体薄板上，面 电流密度为 i 。求空间磁
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3、基本方程
积分形式
SB dS 0
B dl L
0I
微分形式
B 0
B 0J
边界条件
nn ((B B 22B B 11))00i
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在已知电流密度分布的情况下，对
B
0
J
两边求旋度，有
B
0J
(
B)
0
J
(
B)
2B
0
J
2B 0 J
可利用此方程求解磁场
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Example1：