对称式和轮换对称式及答案

•填空题（共10小题）
1.已知，a , b , C 是△KBC 的边，且_
, l+c 2 l+a 2
2
2
2
2
2.已知实数 a 、b 、c,且 b≠0.若实数 x 1、X 2、y 1、y 2满足 X 1 +ax 2 =b , x 2y 1 - x 1y 2=a , x 1y 1+ax 2y 2=c ,贝U y 1 +ay 2 的值为 .
(a+c+e )-( b+d+f )的值为
2
2
2
已知 bc - a =5, Ca - b = - 1, ac - C = - 7,贝U 6a+7b+8c=
2 2 2 2
x 1、X 2、y 1、y 2 满足 X 1 +x 2 =2, x 2y 1 - x 1y 2=1, x 1y 1+x 2y 2=3 .贝V y 1 +y 2 =
10.设X 、y 、Z 是三个互不相等的数，且
X+—=y+ =z+ ,则XyZ=
y ZX
对称式和轮换对称式
- ,则此三角形的面积是:
l+b 2
3. 已知正数a , b , c , d , e , f 满足
a
bcdef =4 acde f=9 abde f =16 abce f = l . 訪Cdf = I =4
, ∏ =9 , =l6
, : I ； . a T , b C d 4 e 9 abcde 1 16,
4. 5. 6. 设 a =亠，b
<. ., C =「.，且
X+y+Z
旳，则
已知m 亠其中
一式，贝H a+b+c= ____________ .
7.
a ,
b , C 为常数，使得凡满足第一式的 m , n , P , Q ,也满足第
&设 2 ( 3x - 2) +3=y , 2 (3y - 2) +3=z , 2
(3z — 2) +3=u 且 2 (3u - 2) +3=x ,贝U X=
9.若数组（X , y , Z ）满足下列三个方程:
尢-L 「、尢一；，则 XyZ =
二.选择题（共2小题）
11.已知■' '
a+b 15' b+c 17 1
A
.
二-丄，则.二 的值是（ ）
、 ab+bc+ca
c+a 16 C .
12 .如果a, A . 672
C 均为正数, B . 688 a (b+c ) C . 720
=152 , b (c+a ) =162 , C ( a+b ) =170 ,那么 abc 的值是( )
D . 750
三.解答题（共
13.已知 b ≥）, 1小题)
且 a+b=c+1, b+c=d+2 , c+d=a+3 ,求 a+b+c+d 的最大值.
答案与评分标准 一•填空题(共10小题)
2 2 2 2 2∙已知实数 a 、b 、c,且 b≠0.若实数 x 1、X 2、y 1、y 2
满足 X 1 +ax 2 =b , x 2y 1 - x 1y 2=a, x 1y 1+ax 2y 2=c ,贝U y 1 +ay 2
3.
2
的值为 「
.
一 b —
考点：对称式和轮换对称式。

2 2
分析：収1 +ax 2 =b ①x 2y 1 - X 1y 2=a ②χ1y 1+a χ2y 2=c ③ 首先将第②、③组合成一个方程组，变形把
χ1、X 2表示
出来，在讲将X 1、X 2的值代入①，通过化简就可以求出结论. 2 2
解答：解：∙∙∙X 1 +ax 2 =b ①,X 2y 1 - X 1y 2=a ② x 1y 1+ax 2y 2=c ③
由②得
把④弋入③，得
'一 ⑤
y 1+ay 2
1.已知，a, b , C 是△KBC 的边，且
l+c 2
- ,~l
,-■',则此三角形的面积是： —丄二
l+b 2
—4—
考点：对称式和轮换对称式。

分析：首先将将三式全部取倒数，然后再将所得三式相加，即可得:
丄+_+丄= + ■ + +丄，再整理,
a b c P* 932 2
2c
2
2a 2 2b 2 配方即可得：(_- 1) a 角形的面积.
(•— 1) 2^ 2
+ ( ■ - 1) =0 ,则可得此三角形是边长为
1的等边三角形，则可求得此三
解答：解：∙.∙a=
l+c 2
,b =√:
C=，
l+b 2
】=亠+∣
— —
a 2C 2 2,
b 2/ 2, C 2b 2 刁 '+'+<_+ 一 + τ + ；, 3 b
c 2C 2
并移项得：—
a
配方得：(-1) 2
+ ( - 1) 2
+
a
b .∙. - 1=0 , - 1=0 , -- 1=0 , a
b
C
解得：a=b=c=1 ,
∙∙ZABC 是等边三角形， .'ZABC 的面积=丄× =唾.
2 Ξ 4
故答案为：；.
4
点评：此题考查了对称式和轮换对称式的知识，考查了配方法与等边三角形的性质.此题难度较大，解题的 关键是将三式取倒数，再利用配方法求解，得到此三角形是边长为
1的等边三角形.
••全部取倒数得:
将三式相加得: 两边同乘以2, 2a 2 2b
「+丄-
3
b 2 (丄-1)
C
2
=O
(a 3+c 2) (y ι2+ay 22) =b (y ι2+ay 22) 2
点评：本题是一道代数式的转化问题，考查了对称式和轮换对称式在代数式求值过程中的运用.
<⅞ι
则（a+c+e ）-（ b+d+f ）的值为 -，.
——12~
考点：对称式和轮换对称式。

分析：根据题意将六个式子相乘可得（abcdef ） 4=1 ,又a , b , c , d , e , f 为正数，即abcdef=1 ,再根据所给 式子即可求出a , b , c ,
d ,
e ,
f 的值，继而求出答案.
4
解答：解：根据题意将六个式子相乘可得（
abcdef ） =1 ,且a , b , c , d , e , f 为正数， ∙'abcdef=1,
∙'bcdef=-,
Q
• •…、-「■ J =4
a ∙'bcdef=4a ,
a= 2
••原式=:…
3 -
- 2-4,
31
12
故答案为：- 点评：本题是一道分式的化简求值试题，考查了分式的轮换对称的特征来解答本题，有一定难度，根据所给 条件求出a, b , c , d , e , f 的值是关键.
ayι +cy +
=b
y 1+ay 2
(a 3÷c 2) -1' ^-3 ?) ay ^
同理可求出：b
=[,
C= , d=2, e=3, f=4. 4
把⑤弋入③，得
把⑤⑥代入①，得
3.已知正数a ，b , c ， d ，e ,
4.已知be—a =5, Ca- b = - 1, ac—C= - 7,则
6a+7b+8c= 44 或-44 .
考点：对称式和轮换对称式。

2 2 2 2 2
分析：令be- a =5••① Ca- b = - 1 ••② ac- c = - 7••③ 用①式减②式得be - a - ca+b =C (b - a) + (b+a) (b
、、、 2 2
-a) = (a+b+c) (b- a) =6,②式减③式得Ca- b - ab+c =a (C- b) + (c+b) (C- b) = (a+b+c) (C- b) =6, 于是求出b和a、C之间的关系，进一步讨论求出a、b和C的值，6a+7b+8c的值即可求出.
O O O
解答：解：令bc- a =5••① Ca- b = - 1••② ac- C = - 7••③
、 2 2
①式减②式得bc - a - ca+b =C (b - a) + (b+a) (b- a) = (a+b+c) (b- a) =6,
②式减③式得Ca- b - ab+c =a (C- b) + (c+b) (C- b) = (a+b+c) (C- b) =6,
所以b - a=c- b,即卩b^---,代入②得Ca- ---- - --- =-1,
2 4
2 2 IV
4ac-( a+c) =- 4, (a- C) =4, a- c=2 或a- c=4 ,
当a- c=2 时，a=c+2 , b=^^=c+1 ,代入③式得(c+2) (c+1)- C=- 7 , 3c+2 = - 7 , C= - 3 , 2
所以a=- 1, b= - 2,此时6a+7b+8c=6 ×(- 1) +7 ×(- 2) +8× (- 3) = - 44 ,
当a- C= - 2 时，a=c- 2 , b=…=C- 1,代入③式得(C- 2) (C- 1)- C2= - 7- 3c+2= - 7 , c=3 , 2
所以a=1, b=2 此时6a+7b+8c=6 ×+7 >2+8X3=44,
所以6a+7b+8c= - 44 或6a+7b+8c=44 ,
故答案为44或-44.
b=「，此题难度不大.
点评：本题主要考查对称式和轮换对称式的知识点，解答本题的关键是求出
5.x1、X2、y1、y2 满足X12+χ∑2=2 , x2y1 - X1y2=1 , χ1y1+χ2y2=3 .贝U y12+y22= 5 .
考点：对称式和轮换对称式。

分析：根据题意令X1=*J?Sin θ, X2= ..•'<!cos θ,又知x2y1 - X1 y2=1, x1y1+x2y2=3 ,列出方程组解出y1 和y2 ,然
后求出y12+y22的值.
解答：解：令X1=「_isinθ, x2= I riCos θ,
又知X2y1 - X1y2=1 , x1y1+x2y2=3 ,
ΓVΞC°Sθ y↑ ~θ y2z1
故町 __ _ ,
Vssin θ y1+V2cosθ y3=3 ,
解得：JyI=CoS θ+3sin θ, Vz y2=3cos θ- sin θ ,
故y∕+y22=5.
故答案为5. _ _
点评：本题主要考查对称式和轮换对称式的知识点，解答本题的关键是令X1=W7cosθ, x2= :Sin θ,此题难
度不大.
6.设a⅛，b<'., C-，且x+y+z旳，则亡'7 π:=亠.
考点：对称式和轮换对称式。

分析：∙∙a=- , b= ' , C=——分另M弋入丄,:, 表示出 ,：, 的值，然后化简就可以求y÷z z÷x x+y a+1 b+1 c+L a+L b+1 c+L
出结果了.
解答：解：τa=丄,b= ' , C=亠
y+z z+x x+y
a+1 x+y+z
b+1 x+y+z
:= ■
c+1 x+y+∑
.∙∙ 一： . ' =—_+—_+—」
a+1 b+1 c+1 ≈+y+z x+y+z ≈+y+z =x+y÷z x+y+∑ ∙∙X+y+z ≠
••原式=1 ∙ 故答案为：1 ∙
点评：本题是一道代数式的化简求值的题，考查了代数式的对称式和轮换对称式在化简求值中的运用•具有 一定的难度.
7•已知^^二_二 N 人二:-,其中a , b , C 为常数，使得凡满足第一式的
m , n , P , Q ,也满足第
9πr÷5n Q bP+cQ 5ι∏- 12n
二式，贝U a+b+c=
•
—2~
考点：对称式和轮换对称式。

分析：令 P= (m+9n ) X , Q= (9m+5n ) X (X ≠),由 P+——⅛D _可得: bP+cQ 5m -
12n
解答：解：令 P= (m+9n ) X , Q= (9m+5n ) X ( x ≠)), 又知• ____________ 匸」
bP+cQ 5m - 12n
即 κr÷9n+a (θrn÷5n J
= (9a+l)昭(5a+9) n =
∏τ÷∏
b (IIri-9n) +
c (9m÷5n) Cθc+b) IrH- (9b÷5c) 5m ^ 12n
解得 a=2, c= ' , b=-—',
4
4 即 a+b+c=2 -丄二 + •'=丄.
4
4
2
故答案为；.
2
点评：本题主要考查对称式和轮换对称式的知识点，解答本题的关键是令 P= ( m+9n ) X , Q= (9m+5n ) X ,
此题难度不大.
&设 2 ( 3X - 2) +3=y , 2 (3y - 2) +3=z , 2 (3z - 2) +3=u 且 2 (3u - 2) +3=X ,贝U X =_—
5
考点：对称式和轮换对称式。

专题：计算题。

分析：先化简各式，将各式联立相加，然后分别将 y 、Z 和U 关于X 的式子代入消去 y 、Z 和u ,即可求出X
的值.
r
6χ- l=y (1)
6y - I=Z (Ξ)
解答：解：将各式化简得：”直- Uy (对,
6u- l=x (4)
πH -9n÷a (9m÷5n)
(9a+l) ιrr÷ (5a+9) n 时口 b (IIri- 9n ) +c (9m÷5n)
i' : /.∣- -~∙: : □一一 二二' 解出 a b 和C 的值即可.
(1) + (
2) + (3) + (4)得：x+y+z+u=丄 ⑤
5
分别将y 、Z 和U 关于X 的式子代入⑤中，得：x+6x - 1+6 (6x - 1) - 1+M>=-i ,
6
5
解得：X=二.
5 故答案为：^.
5
点评：本题考查对称式和轮换对称式的知识，难度适中，解题关键是将
y 、Z 和U 关于X 的式子代入消除y 、
Z 和U .
分析：将3个方程分别分别由第一个方程除以第二方程，再由第一个方程除以第三个方程.就可以把 用含Z 的式子表示出来，然后代入第一个方程就可以求出
-^1 κ+y+z E 耳 3 x+y+z 2
由①÷②得
由①÷③得
Z
X=；
把④⑤弋入①，得
Z "3 3
:,解得
-
Z =9 ∙∙y=6, x=3
••原方程组的解为：
(x=3
I y=6
[Ξ=9
.∙χyz=3 >6×9=162.
故答案为：162.
点评：本题是一道三元高次分式方程组，考查了运用分式方程的轮换对称的特征解方程的方法，解方程组的 过程以及求代数式的值的方法.
考点：对称式和轮换对称式。

专题：计算题。

9.若数组(X , y , Z )满足下列三个方程: 考点：对
称式和轮换对称式。

x+y+z
冇 _3
x+y÷z 2
x+y+z
162
z 、X 、y 的值，从而求出其结果.
2z 10 .设X 、y 、Z 是三个互不相等的数，且
1 1 1 X+—=y+-=z+- I y ZX
贝U XyZ=
2z
分析：分析本题X,y,z 具有轮换对称的特点，我们不妨先看二元的情形，
由左边的两个等式可得出 zy=_
同理可得出 ZX= --------- ，Xy= ——,三式相乘可得出 XyZ 的值.
y - z Z-X
解答：解：由已知X+—=y+J ι=z+-,
y ZX
得出x+2∙=y+丄,
y Z
同理得出：
2 2 2
①××③得X y z =1 ,即可得出XyZ= ± . 故答案为：±1.
点评：此题考查了对称式和轮换式的知识， 有一定的难度，解答本题的关键是分别求出
yz 、ZX 、Xy 的表达式,
技巧性较强，要注意观察所给的等式的特点.
.选择题（共2小题）
••• 「 ，••• + =16 ③ c+a 16 a C
••①+②■③得, 2 ( + + ) =48, a b c
贝 Hr
= = ----------- =
ab+bc+ca 甜+b"g 2」』24' abc Cab
故选D .
点评：本题考查了对称式和轮换对称式，是基础知识要熟练掌握.
12.如果 a, b , C 均为正数，且 a ( b+c ) =152, b (c+a ) =162 , C ( a+b ) =170,那么 abc 的值是(
)
A . 672
B . 688
C . 720
D . 750
考点：对称式和轮换对称式。

分析：首先将 a ( b+c )=152, b ( c+a )=162, C ( a+b )=170 分别展开，即可求得 ab+ac=152 ① bc+ba=162 ② ca+cb=170③ 然后将三式相加，即可求得 ab+bc+ca 值，继而求得bc , ca , ab 的值，将它们相乘再开方，即
A
1 m 1 C .
1
f 1 B .
D .
21 22
23
24
考点： 对称式和轮换对称式。

专题： 计算题。

分析： 先将上面三式相加，求出
+
■M+丄, + •,再将' 化简即可得出结果
3 b b c 目 C ab+bc+ca
11.已知
圭三则—TZ 的值是（
)
解答：解：,∙∙ ÷ =15
①
ab_1_ be_1_
a+b 15' b+c 17
ZyZy
ZX= ------ ②
V ^ S
解答：解：τa (b+c) =152, b (c+a) =162, C (a+b) =170,
∙'ab+ac=152 ①
bc+ba=162 ②
ca+cb=170 ③
∙∙+②■③得ab+bc+ca=242 ④
◎①得bc=90,
④■②得ca=80 ,
④■③得ab=72 ,
-■bc?ca?ab=90 >80X72 , 即(abc) 2=7202,
'∙a , b , C均为正数，
∙'abc=720.
故选C.
点评：此题考查了对称式和轮换对称式的知识，考查了方程组的求解方法.此题难度较大，解题的关键是将ab , Ca , bc看作整体，利用整体思想与方程思想求解.
三.解答题(共1小题)
13 .已知b≥),且a+b=c+1 , b+c=d+2 , c+d=a+3 ,求a+b+c+d 的最大值.
考点：对称式和轮换对称式。

分析：分别表示出a , b , C , d,然后通过分别代入，使最后成为只含b的代数式，b的范围知道从而得解.
解答：解：τa+b=c+1 , b+c=d+2 , c+d=a+3 ,
∙'2b+c=6 , c=6 - 2b ,
代入a+b=c+1 得a=7 - 3b ,
代入b+c=d+2 得d=4 - b ,
则a+b+c+d=17 —5b,
因为b% ,
所以当b取0时，a+b+c+d的最大值为17.
点评：本题对称式和轮换对称式，关键是根据代数式的运算，用代入法，转换成关于b的代数式，从而求出
取值范围.。