北师大版九年级数学第四章图形的位似

图形的位似

【学习目标】

1、了解位似多边形的概念，知道位似变换是特殊的相似变换，能利用位似的方法，将一个图形放

大或缩小；

2、能在同一坐标系中，感受图形放缩前后点的坐标的变化.

【要点梳理】

要点一、位似多边形

1.位似多边形定义:

如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一个点O，且每组对应点与点O 点的距离之比都等于一个定值k，例如，如下图，OA′=k·OA（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心.

要点进阶：

位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.

2.位似图形的性质:

（1）位似图形的对应点相交于同一点，此点就是位似中心；

（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；

（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.

3.平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：

图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的．

4.作位似图形的步骤

第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；

第二步：作位似中心与各关键点连线；

第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；

第四步：顺次连接各对应点.

要点进阶：

位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.

要点二、坐标系中的位似图形 在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k (k ≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k |.

要点进阶：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标等于原来点的坐标乘以（或除以）k 或-k.

【典型例题】

类型一、位似多边形

例1. 下列每组的两个图形不是位似图形的是（ ）.

A. B. C. D.

举一反三

【变式】在小孔成像问题中， 根据如图4所示，若O 到AB 的距离是18cm ，O 到CD 的距离是6cm ，则像CD 的长是物AB 长的 （ ）.

A. 3倍

B.2

1 C.31 D.不知AB 的长度，无法判断

例2.利用位似图形的方法把五边形ABCDE放大1.5倍.

举一反三

【变式】在已知三角形内求作内接正方形．

类型二、坐标系中的位似图形

例3.如图，在10×10的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，以点A为位似中心画四边形AB′C′D′，使它与四边形ABCD位似，且相似比为2．

（1）在图中画出四边形AB′C′D′；

（2）填空：△AC′D′是

三角形．

A

B

C D

E

例4.如图△ABC的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，3），C（3，0）．

（1）以点O为位似中心画△DEF，使它与△ABC位似，且相似比为2．

（2）在（1）的条件下，若M（a，b）为△ABC边上的任意一点，则△DEF的边上与点M对应的点M′的坐标为．

举一反三：

【变式】如图，将△AOB中各顶点的纵坐标，横坐标分别乘-1，•得到的图形与原图形相比有什么变化？作出所得的图形，这个过程可以看作是一个什么图形变换？

【巩固练习】

一. 选择题

1.下面给出了相似的一些命题：

（1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似；（4）矩形都相

似；（5）正六边形都相似；其中正确的有（）.

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

2.下列说法错误的是（）.

A.位似图形一定是相似图形.

B.相似图形不一定是位似图形.

C.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.

D.位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行.

3.下列说法正确的是（） .

A.分别在ABC的边AB、AC的反向延长线上取点D、E，使DE∥BC，则ADE

是ABC放大后的图形.

B.两位似图形的面积之比等于相似比.

C.位似多边形中对应对角线之比等于相似比.

D.位似图形的周长之比等于相似比的平方.

4．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（）

A．（﹣1，2）B．（﹣9，18）

C．（﹣9，18）或（9，﹣18）D．（﹣1，2）或（1，﹣2）

5. 下列命题：①两个正方形是位似图形；②两个等边三角形是位似图形；③两个同心圆是位似图形；

④平行于三角形一边的直线截这个三角形的两边，所得的三角形与原三角形是位似图形.其中正确的有( ).

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

6．如果点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则下列各式不正确的是（）.

A. AB：AC=AC：BC

B. AC=51

2

AB

-

C.AB=

51

2

AC

+

D.BC≈0.618AB

7.已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（）.

A. 51

2

-

B.

51

2

+

C.3

D.2

二.填空题

8. 如果两个位似图形的对应线段长分别为3cm和5cm，且较小图形周长为30cm，则较大图形周长为

__________.

9.（2016•三明）如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心．若AB=1.5，则DE=．

10．如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A B C D E

'''''，已知OA=10cm，OA′=20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A B C D E

'''''的周长的比值是__________．

11. △ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，△ADE是△ABC缩小后的图形.若DE把△ABC的面积

分成相等的两部分，则AD：AB=________.

12. 把一矩形纸片对折，如果对折后的矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的长与宽之比为

____________________.