二元二次方程组解法(2)[免费课件]
(完整版)二元二次方程组的解法
2 二元二次方程的解法一、内容综述：1. 解二元二次方程组的基本思想和方法解二元二次方程组的基本思想是“转化”，这种转化包含“消元”和“降次”将二元转化为一元是消元，将二次转化为一次是降次，这是转化的基本方法。
因此，掌握好消元和降次的一些方法和技巧是解二元二次方程组的关键。
2. 二元二次方程组通常按照两个方程的组成分为“二·一”型和“二·二”型，又分别成为Ⅰ型和Ⅱ型。
“二·一”型是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组；“二·二”型是由两个二元二次方程组成的方程组。
“二·一”型方程组的解法（1）代入消元法（即代入法）代入法是解“二·一”型方程组的一般方法，具体步骤是：①把二元一次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示；②把这个代数式代入二元二次方程，得到一个一元二次方程；③解这个一元二次方程，求得一个未知数的值；④把所求得的这个未知数的值代入二元一次方程，求得另一个未知数的值；如果代入二元二次方程求另一个未知数，就会出现“增解”的问题；⑤所得的一个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起，就是原方程组的解。
（2）逆用根与系数的关系对“二·一”型二元二次方程组中形如的方程组，可以根据一元二次方程根与系数的关系，把x 、y 看做一元二次方程z -az+b=0 的两个根，解这个方程，求得的z1 和z2 的值，就是x、y 的值。
当x1=z 1 时，y1=z2；当x2=z 2 时，y 2=z1，所以原方程组的解是两组“对称解”。
注意：不要丢掉一个解。
此方法是解“二·一”型方程组的一种特殊方法，它适用于解“和积形式”的方程组。
以上两种是比较常用的解法。
除此之外，还有加减消元法、分解降次法、换元法等，解题时要注意分析方程的结构特征，灵活选用恰当的方法。
注意：（1）解一元二次方程、分式方程和无理方程的知识都可以运用于解“二·一”型方程组。
二元二次方程组的解法(第2课时)(课件)八年级数学下册(沪教版)
分别解这4个方程组，得原方程组的解是
x1 2,
x2
5 2
,
解：将方程①变形为 (x y)2 9.
y1 1;
y2
1; 2
两边开平方，得 x y 3 或 x y 3.
方程②左边分解因式，可变形为
(x y 1)(x y 2) 0. 得 x y 1 0 或 x y 2 0.
x3 1, y3 2;
x4
1, 2
y4
5 2
.
即 x ∴y原方1 或程组x 的y解是2. 5
1
原方程组x化1 为24,个二元x2一次2方, 程组x3： 1, x4 2 ,
y1 1;
y2
1; 2
y3 2;
y4
5. 2
课堂小结:
解二元二次方程组的基本思想是“消元”、“降次”. 代 入“消元”,因式分解“降次”. 由一个二元一次方程和一 个二元二次方程组成的方程组,一般采用代入消元法解. 由 两个都是二元二次方程(其中至少有一个可采用因式分解 法转化为两个二元一次方程)组成的方程组,采用因式分解 法解.
x
y
. 2
分别解这四个方程组，得原方程组的解是
x1 y1
3 2
1 2
;
x2
y2
1 2
3 2
;
x3 y3
3 ;
1
x4 y4
3 .
1
适时小结
二元二次方程 二元二次方程
两个方程组
二元一次方程 二元二次方程
四个方程组
二元一次方程 二元一次方程
解二元二次方程组的基本思路是
“消元”、“降次”.
y1
1 2
10 ;
10
x2
案例2——二元二次方程组的解法(2)
§21.6二元二次方程组的解法（2）上海音乐学院实验学校 贾斐一、教学目标：1、 掌握用“因式分解法”解由两个二元二次方程组成的方程组。
2、 在学习过程中体会解此类特殊二元二次方程组的基本策略是“降次”。
3、 通过解简单的二元二次方程组，进一步理解“消元”、“降次”的数学方法，获得对事物可以相互转化的数学思想。
二、教学重点：让学生经历探索Ⅱ、Ⅱ型二元二次方程组解法的过程，学会用因式分解法来解这类特殊的方程组。
三、教学难点：能正确组合由两个二元二次方程因式分解后形成的二元一次方程组。
四、教学过程： （一）复习引入：问：1、根据二元二次方程组的意义，你可以举出哪几种不同类型的二元二次方程组？我们可以用什么方法求解？（学生举例分析）师：这些解题的过程体现了转化的数学思想，把二元转化成一元，把二次转化成一次，就可以把新问题转化成我们已有的知识来解决。
教师板书：2、你觉得还有什么类型的二元二次方程组问题你没有解决？你可以尝试举个例子吗？ 师：今天我们就来解决两个都是二元二次方程的二元二次方程组的解法。
引出课题 （二）学习新课：1、出示： ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+065202222y xy x y x 这个方程组你能不能先办法解决？请同学们试着解解看。
解：将方程②的左边因式分解变形为0)3)(2(=--y x y x ，方程②可变形为二、一型方程组消元降次一元整式方程二元一次方程组02=-y x 或03=-y x将它们与方程①组合分别组成方程组，得（Ⅰ） ⎩⎨⎧=-=+022022y x y x 或 （Ⅱ）⎩⎨⎧=-=+032022y x y x解方程组（Ⅰ）得⎩⎨⎧==2411y x⎩⎨⎧-=-=2422y x 解方程组（Ⅱ）得⎪⎩⎪⎨⎧==22333y x ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=22344y x 所以原方程组的解为⎩⎨⎧==2411y x⎩⎨⎧-=-=2422y x ⎪⎩⎪⎨⎧==22333y x ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=22344y x反馈练习：（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-0404222xy x y x （2）⎪⎩⎪⎨⎧=+=++516442222y x y xy x 先请学生分析解题思路，再写出解题过程。
21.6二元二次方程组的解法PPT优秀课件
学生已经会用代入消元法和加减消元法解二元一次方 程组，这将对学习二元二次方程组的解法很有帮助. 因 此在教学时应主要让学生类比发现解方程组的一般步骤.
3
复习练习：
解下列方程组：
x3y 4
(1)ຫໍສະໝຸດ x22y2
1
4x2 y2 4 (2)
2x y 1
4
例题1
解方程组：
x2 3xy2y2 0
2
教材分析
本节课先设计两道题目主要是为了检测同学们用“代入消 元法”解二元二次方程组的学习情况和对于“整体代入”思想 方法的理解情况；同时也是为了为本节课要学习的对于特殊的 二元二次方程组用“因式分解法”做好准备.如果二元二次方 程组中有一个方程可变形为两个一次因式的乘积等于零的形式， 那么解这个方程组的问题可转化为解由一个二元一次方程和一 个二元二次方程所组成的方程组.这种解特殊的二元二次方程 组的方法是“因式分解法”.
21.6（2） 二元二次方程组的
解法
1
教学目标：
1、掌握用“因式分解法”解由两个二元二次方程组成的方程 组；
2、在学习过程中体会解此类特殊二元二次方程组的基本思路 是“降次”；
3、通过对二元二次方程组解法的剖析，领悟事物间可以相互 转化的数学思想.
教学重点、难点：
会用“因式分解法”解由两个二元二次方程组成的方 程组；正确分析方程组的特点，从而找到合理的解 法．
y)2
3(x
y)
2
0
7
作业布置
习题21.6（2）
8
➢通过本节课的学习你有什么收获？ ➢学习本节课你有什么感受？请同学们畅所欲言.
9
10
x2 y2 5
5
例题2
21.6二元二次方程及方程组解法(二)
① ②
① + ②×3 得 x2 + 2x – 35 = 0
‹# ›
拓
展3
求两个未知数的和与积
x y 25 xy 12
2 2
① ②
②×2 + ① 得 x + y = ±7 原方程组可化为
x y 7 x y 7 , xy 12 xy 12
如果二元二次方程组中有一个方程可以变形为两个 一次方程的形式，那么解这个方程组的问题可以转化 为解由一个二元一次方程和一个二元二次方程所组成 的两个方程组，像这样解二元二次方程组的方法叫做 因式分解法
‹# ›
转化举例
2 2 x xy 2 y 2 x 2 xy 2 y 2 2 x 2 xy 2 y 2 2 , 2 2 x 3y 0 x 4 y 0 x 7 xy 12 y 0
②×2 - ①×3
得 4x + 9y – 6 = 0
原方程组可化为
2 x 2 4 xy 2 x y 2 0 4 x 9 y 6 0
‹# ›
拓
展2
消去一个未知数得到一元方程
2 2 x 15 xy 3 y 2 x 9 y 98 0 2 5 xy y 3 y 21 0
其中有一个方程可以分解成一次方程
2 2 x 2 xy 3 y 0 2 2 x 4 xy 4 y 1
x 2 y 1 x 2 y 1 , x 3y 0 x y 0 x 2 y 1 x 2 y 1 , x 3y 0 x y 0
拓
展5
初中数学二元二次方程组解法
2.3 方程与不等式2.3.1 二元二次方程组解法方程22260x xy y x y 是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程．其中2x ,2xy ,2y 叫做这个方程的二次项,x ,y 叫做一次项,6叫做常数项．我们看下面的两个方程组：224310,210;x y x y x y 222220,560.x y x xy y 第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组．下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法．一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解．例1 解方程组22440,220.x y x y 分析：二元二次方程组对我们来说较为生疏，在解此方程组时，可以将其转化为我们熟悉的形式．注意到方程②是一个一元一次方程，于是，可以利用该方程消去一个元，再代入到方程①，得到一个一元二次方程，从而将所求的较为生疏的问题转化为我们所熟悉的问题．解：由②,得x ＝2y ＋2，③把③代入①,整理,得8y 2＋8y ＝0，即y(y ＋1)＝0．解得y 1＝0，y 2＝－1．把y 1＝0代入③, 得x 1＝2；把y 2＝－1代入③, 得x 2＝0．所以原方程组的解是①②112,0x y ，220,1.x y 说明：在解类似于本例的二元二次方程组时，通常采用本例所介绍的代入消元法来求解．例2 解方程组7,12.xy xy ①②解法一：由①，得7.xy ③把③代入②，整理，得27120yy 解这个方程，得123,4y y ．把13y 代入③，得14x ；把24y 代入③，得23x ．所以原方程的解是114,3x y ，223,4.x y 解法二：对这个方程组，也可以根据一元二次方程的根与系数的关系，把,x y 看作一个一元二次方程的两个根，通过解这个一元二次方程来求,x y ．这个方程组的,x y 是一元二次方程27120z z 的两个根，解这个方程，得3z，或4z ．所以原方程组的解是114,3;x y 223,4.x y练习1．下列各组中的值是不是方程组2213,5x y x y 的解?（1）2,3;x y （2）3,2;x y （3）1,4;x y （4）2,3;x y 2．解下列方程组:（1）225,625;y x x y （2）3,10;x y xy （3）221,543;x y y x （4）2222,8.y x x y。
二元二次方程组解法
4、可消去二次项
2 x 2 4 xy 2 x y 2 0 2 3 x 6 xy x 3 y 0
①
②
②×2 - ①×3 得 4x + 9y – 6 = 0
原方程组可化为
2 x 2 4 xy 2 x y 2 0 4 x 9 y 6 0
解二元二次方程
授课老师：蔡志鹏
复习：
1.解二元二次方程组的基本方法有哪些？
消元法和降次法
2.解由一个二元一次方程和一个二元二次 方程组成的方程组的方法有哪些？
代入消元法和利用一元二次方程的根 与系数的关系解对称性方程组
新课引用
x y 20 例 1、 解 方 程 组 2 2 x 5 xy 6 y 0
新课讲解
1、其中有一个方程可以分解成一次方程
x 2 xy 2 y 2 2 2 2 x 7 xy 1 2 y 0
x 2 xy 2 y 2 2 x 2 xy 2 y 2 2 , x 3y 0 x 4y 0
2、两个方程都可以分解成一次方程
x 2 xy 3 y 0 2 2 x 4 xy 4 y 1
2 2
x 2y 1 x 2y 1 , x 3y 0 x y 0 x 2 y 1 x 2 y 1 , x 3y 0 x y 0
①
②
②×2 + ① 得 x + y = ±7
原方程组可化为
x y 7 x y 7 , xy 1 2 xy 1 2
7、可以用除法降低次数
x y 3 ① ( x y )( x y ) 3 2 2 ( x 3 y )( x y ) 1 ② x 4 xy 3 y 1
(完整版)二元二次方程组的解法
二元二次方程的解法一、内容综述：1．解二元二次方程组的基本思想和方法解二元二次方程组的基本思想是“转化”，这种转化包含“消元”和“降次”将二元转化为一元是消元，将二次转化为一次是降次，这是转化的基本方法。
因此，掌握好消元和降次的一些方法和技巧是解二元二次方程组的关键。
2．二元二次方程组通常按照两个方程的组成分为“二·一”型和“二·二”型，又分别成为Ⅰ型和Ⅱ型。
“二·一”型是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组；“二·二”型是由两个二元二次方程组成的方程组。
“二·一”型方程组的解法（1）代入消元法（即代入法）代入法是解“二·一”型方程组的一般方法，具体步骤是：①把二元一次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示；②把这个代数式代入二元二次方程，得到一个一元二次方程；③解这个一元二次方程，求得一个未知数的值；④把所求得的这个未知数的值代入二元一次方程，求得另一个未知数的值；如果代入二元二次方程求另一个未知数，就会出现“增解”的问题；⑤所得的一个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起，就是原方程组的解。
（2）逆用根与系数的关系对“二·一”型二元二次方程组中形如的方程组，可以根据一元二次方程根与系数的关系，把x、y看做一元二次方程z2-az+b=0的两个根，解这个方程，求得的z1和z2的值，就是x、y的值。
当x1=z1时，y1=z2；当x2=z2时，y2=z1，所以原方程组的解是两组“对称解”。
注意：不要丢掉一个解。
此方法是解“二·一”型方程组的一种特殊方法，它适用于解“和积形式”的方程组。
以上两种是比较常用的解法。
除此之外，还有加减消元法、分解降次法、换元法等，解题时要注意分析方程的结构特征，灵活选用恰当的方法。
注意：（1）解一元二次方程、分式方程和无理方程的知识都可以运用于解“二·一”型方程组。
21.6(2)二元二次方程组的解法
21.6（2）二元二次方程组的解法教学目标1、掌握用“因式分解法”解由两个二元二次方程组成的方程组；2、在学习过程中体会解此类特殊二元二次方程组的基本思路是“降次”；3、通过对二元二次方程组解法的剖析，领悟事物间可以相互转化的数学思想； 教学重点及难点会用“因式分解法”解由两个二元二次方程组成的方程组；正确分析方程组的特点,从而找到合理的解法．教学媒体：多媒体教学过程设计一、 复习引入我们已经会用代入消元法解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组练习：解方程组：⎩⎨⎧-=-=+124322y x y x 这节课我们将学习由两个二元二次方程组成的二元二次方程组的解法.二、学习新课1、观察：方程组222232=0 (1)5 (2)x xy y x y ⎧-+⎪⎨+=⎪⎩ （1）能直接使用“代入消元法”解答吗？（2)方程组中的两个方程有什么特点？学生思考作答，教师进行指导和补充.【说明】前一节课有对特殊方程进行因式分解的例子，所以在直接用“代入法”解决未果的情况下,学生会想到将方程(1）进行因式分解，但后面的操作就需要教师的指导和教授了。
解：将（1）左边分解因式,可变形为 ()()20x y x y --=，得0 20x y x y -=-=或，将它们与(2)分别组成方程组，得2222020 (1) (2)55x y x y x y x y -=-=⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩或 解方程组（1）得1212; .x x y y ⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩解方程组(2）得 343422; .11x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩ 所以原方程组的解是1212; ;x x y y ⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩ 343422; .11x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩小结：如果二元二次方程组中有一个方程可变形为两个一次因式的乘积等于零的形式，那么解这个方程组的问题可转化为解由一个二元一次方程和一个二元二次方程所组成的方程组.这种解特殊的二元二次方程组的方法是“因式分解法".2、反馈练习解方程组：2222230.3x xy y x xy y ⎧--=⎪⎨-+=⎪⎩ 3、例题分析例2 解方程组： 222290 (1)2 4 (2)x y x xy y ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩ 这是一个特殊的二元二次方程组，如果采用前面的方法将方程(1）左边因式分解，再将分解得到的两个方程和（2）组成方程组,这个问题是可以解答的；但进一步观察会发现（2)左边也可以进行因式分解，于是有了下面的解法:解: 方程（1)可变形为 ()()330x y x y +-= 得30 30x y x y +=-=或 方程（2）可变形为 ()24x y -= 得 2 2x y x y -=-=-或 原方程组化为 30303030; ; ; .2222x y x y x y x y x y x y x y x y +=+=-=-=⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨-=-=--=-=-⎩⎩⎩⎩原方程组的解是12343412333322; ; ; .111122x x x x y y y y ⎧⎧==-⎪⎪==-⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-⎩⎩⎪⎪=-=⎪⎪⎩⎩ 【说明】这道例题的解决要求学生对于“方程组的解”的概念有正确的理解，即由方程(1）所得的每一个方程分别和由方程（2）所得的每一个方程组成方程组的解的全体才是原方程组的解。
二元二次方程组及其解法
八年级第21讲 二元二次方程组及其解法知识点1：二元二次方程及二元二次方程组的有关概念：1、 定义：仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2次的整式方程，叫做二元二次方程。
如：05422=-+y xy x ，5=xy ，0422=-y x ，0245222=+++-y x y xy x 等。
2、 注意点：(1）二元二次方程是整式方程。
(2）二元二次方程含有两个未知数。
(3）含有未知数的项的最高次数是2 3、一般式 ：220ax bxy cy dx ey f +++++=．这里，必须强调a 、b 、c 中至少有一个不是零,否则就不是二元二次方程了。
“a 、b 、c 中至少有一个不是零”也可以说成“a 、b 、c 不都为零”,但不能说成“不为零"或“都不为零”,因为它们的意义是不一样的。
4、二元二次方程的解:能使二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元二次方程的解。
5、二元二次方程组：定义：仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2次的整式方程所组成的方程组，叫做二元二次方程组。
如:6、二元二次方程组的解：二元二次方程组中所含方程的公共解,叫做二元二次方程组的解.例1、在方程组①⎩⎨⎧==-132xy y x 、②()⎩⎨⎧=-=-12232xy x x y x 、③⎩⎨⎧=-=-32232y y x 、④⎪⎩⎪⎨⎧=-=+57xy x xy x 、⑤⎩⎨⎧-==24yz xy 中，是二元二次方程组的共有＿＿＿＿＿个。
分析：抓住关键（1)组内方程是整式方程.(2）方程组中含有两个未知数。
（3)含有未知数的项的最高次数是2答:①③是二元二次方程组.②中()12=-xy x x 含有未知数的项的最高次数是3。
④中方程不是整式方程。
⑤方程组中含有3个未知数。
限时训练：1、下列各方程中不是二元二次方程的是 （ ） A 。
x+xy=5C 。
x 2+y 2=3D 。
二元二次方程的解法ppt课件
尝试练习一
(3)方程组 xx22
y2 20 4xy4y2
可转化为 0
x2+y2=20
x2+y2=20
方程组 _x_-2_y=_0____和_方 _ 程组 ___x_-2_y=_0____,
x y
3 3
2 2
x y
4 4
2 2
解方程组：
(2) x x2 2
4xy3y2 y2 5
0
① ②
解这两个方程组，得原方
程组的解为
解：由①得
x-y=0或x-3y=0
x 1
10 2
x 2
10 2
因此，原方程组可化为两 个方程组
y
1
10 2
y
2
10 2
x2+y2=5 x-y=0
解方 (x程 x2 y 2)x 组 2 y 3y(x 2 y 4)10 0
（1）此方程组与学过的方程组有何异同？
（2）此方程组能否像前面所学的方程组 那 样来解？ 你能否想出其它的方法 来解？试加以证明。
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然后用 __代y2 20 6xy9y2
可转化为 16
x2+y2=20
x2+y2=20
方程组___x-_3y_=4____和_ 方程组 _x_-3_y_=-_4 ____ _
然后用_代__入__消_精元选_课法 _件_来 _ 解。
6
尝试题一
解下列方程组：
x-2y=0或
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① ②
解：由②得 (x – 2y)(x – 3y) = 0
原方程组可化为 x 2 y 2 20 x 2 y 2 20 x 2 y 0 x 3y 0
③
x1 4 x2 4 x3 3 2 x4 3 2 原方程组的解为 , , , y1 2 y2 2 y3 2 y4 2
2 x 2 4 xy 2 x y 2 0 4 x 9 y 6 0
新课讲解
5、可消去一个未知数得到一元方程
x 2 15 xy 3 y 2 2 x 9 y 98 0 2 5 xy y 3 y 21 0
① + ②×3 得 x2 + 2x – 35 = 0
由二个二元二次方程
组成的方程组
1、二元二次方程组有哪几种类型？
二、一型和二、二型
2、解二元二次方程组的基本思想是什么？
消元和降次
3、解由一个二元一次方程和一个二元二次方程 组成的方程组的方法有哪些？
代入消元法和利用一元二次方程的根 与系数的关系解对称性方程组
新课引入
x y 20 例1、解方程组 2 2 x 5 xy 6 y 0
2 2
x 2 xy 3 y 9 2 x 3 y 0
2 2
新课讲解
4、可消去二次项
2 x 2 4 xy 2 x y 2 0 2 3 x 6 xy x 3 y 0
原方程组可化为
①
②
②×2 - ①×3 得 4x + 9y – 6 = 0
2、两个方程都可以分解成一次方程
x 2 xy 3 y 0 2 2 x 4 xy 4 y 1
2 2
x 2 y 1 x 2 y 1 , x 3y 0 x y 0 x 2 y 1 x 2 y 1 , x 3y 0 x y 0
轻轻的, 我走了, 正如我轻轻的来, 我轻轻地点击鼠标,
① ②
新课讲解
6、可以求得两个未知数的和与积
x 2 y 2 25 xy 12
②×2 + ① 得 x + y = ±7
①
②
原方程组可化为
Hale Waihona Puke x y 7 x y 7 , xy 12 xy 12
新课讲解
7、可以用除法降低次数 2 2 x y 3 ( x y)( x y) 3 ① 2 2 x 4 xy 3 y 1 ( x 3 y)( x y) 1 ②
新课讲解
1、其中有一个方程可以分解成一次方程
x 2 xy 2 y 2 2 x 2 xy 2 y 2 2 x 2 xy 2 y 2 2 , 2 2 x 3y 0 x 4 y 0 x 7 xy 12 y 0
x y 3 ① ÷② 得 x 3y
即 x = 2y
小结
1、解二元二次方程组的思路：
消元或降次；
2、解由两个二元二次方程组成的
方程组，根据方程组的特点，
导出一个一元方程或一次方程
3、七种不同类型的方程组解法
• 学习永远是件快乐而有 趣的事！
• 方程（组）及其变换的 魅力将把你引入一个奇 妙的境界！
新课讲解
3、两个方程都不含一次项
x 2 2 xy 3 y 2 9 2 2 4 x 5 xy 6 y 30
原方程组可化为
① ②
②×3 - ①×10 得 2x2 + 5xy – 12y2 = 0
x 2 xy 3 y 9 x 4 y 0