高中数学第四章定积分3定积分的简单应用教学案北师大版选修
高中数学 4.3 定积分的简单应用(二) 教案 北师大选修2-2
4.3 定积分的简单应用教学过程：（一）练习1．求定分3-⎰x ．2．怎样用定积分表示：x =0，x =1，y =0及f (x )=x 2所围成图形的面积？ 31)(102101⎰⎰===dx x dx x f S 3．你能说说定积分的几何意义吗？例如⎰ba dx x f )(的几何意义是什么?表示x 轴，曲线)(x f y =及直线a x =，b x =之间的各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正，在x 轴下方的面积取负二、新课（一）例题选讲：例1．讲解教材例题例2．求曲线y=sinx ,x ]32,0[π∈与直线x=0 ,32π=x ,x 轴所围成图形的面积。
练习：1．如右图，阴影部分面积为（ B ）A ．[()()]b a f x g x -⎰d xB ．[()()][()()]c b a c g x f x dx f x g x -+-⎰⎰d xC ．[()()][()()]b b a c f x g x dx g x f x -+-⎰⎰d xD ．[()()]b a g x f x +⎰d x2．求抛物线y = – x 2 + 4x – 3及其在点A （1，0）和点B （3，0（二）变速直线运动的路程1．物本做变速度直线运动经过的路程s ，等于其速度函数v = v (t ) (v (t )≥0 )在时间区间[a ，b ]上的 定积分 ，即⎰=ba dt t v s )(． 2．质点直线运动瞬时速度的变化为v (t ) = – 3sin t ，则 t 1 = 3至t 2 = 5时间内的位移是()dt t ⎰-53sin 3．（只列式子） 3．变速直线运动的物体的速度v (t ) = 5 – t 2，初始位置v (0) = 1，前2s所走过的路程为 325 ． （三）变力作功1．如果物体沿恒力F (x )相同的方向移动，那么从位置x = a 到x = b 变力所做的功W = F （b —a ）．2．如果物体沿与变力F (x )相同的方向移动，那么从位置x = a 到x = b 变力所做的 功W =⎰b a dx x F )(． 练习：1．教材练习2．一物体在力F (x ) =10(02)34(2)x x x ≤≤⎧⎨+>⎩（单位：N ）的作用下沿与力F (x )做功为（ B ） A ．44J B ．46J C ．48J D ．50J3．证明：把质量为m （单位kg ）的物体从地球的表面升高h （单位：m ）处所做的功W = G ·()Mmh k k h +，其中G 是地球引力常数，M 是地球的质量，k 是地球的半径． 证明：根据万有引力定律，知道对于两个距离为r ，质量分别为m 1、m 2的质点，它们之间的引力f 为f = G ·122m m r ，其中G 为引力常数． 则当质量为m 物体距离地面高度为x （0≤x ≤h ）时，地心对它有引力f (x ) = G ·2()Mm k x +故该物体从地面升到h 处所做的功为0()h W f x =⎰d x =20()h Mm G k x ⋅+⎰·d x = GMm 201()h k x +⎰ d (k + 1) = GMm 01()|h k x -+ =11()()Mnh GMm k G k h k k h -+=⋅++． 三、课堂小结：1．了解定积分的几何意义及微积分的基本定理.2．掌握利用定积分求曲边图形的面积3．掌握利用定积分求变速直线运动的路程、变力做功等物理问题。
高中数学 第四章 定积分 4.3.1 平面图形的面积课件 北师大版选修2-2
10
2.曲线y=x2-1与x轴所围成图形的面积等于 ( )
A .1B .2C .1 D .4
33
3
11
【解析】选D.函数y=x2-1与x轴的交点为(-1，0)，
(1，0)，且函数图像关于y轴对称，所以所求面积为
S=
(11-x2)dx=2 1
(1-x 210)dx=2
2× 2 4 .
33
=
(x
1 3
7
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)曲线y=sin x，x∈ [与 ，x3轴 ]围成的图形的面积
22
3
为 2
sin xdx.
(
)
2
(2)曲线y=x3与直线x+y=2，y=0围成的图形的面积为
1 0
x3dx+
(22 -x)dx. 1
(
)
8
(3)曲线y=3-x2与直线y=-1围成的图形的面积为
24
【习练·破】 (2019·衡阳高二检测)如图，阴影部分的面积是( )
25
A.32
B.16
C. 3 2
D. 8
3
3
26
【解析】选C.由已知，阴影部分的面积
S=
1
3(3-x2-2x)dx=(3x13x3x2)|13332.
27
【加练·固】 若函数f(x)=Asin （ (Ax >0，） ω>0)的图像如图所示，则图
所以S=
1 0
(x2+1)dx+
3 1
(3-x)dx
( x 3 3 x ) |1 0 ( 3 x x 2 2 ) |1 3 1 3 1 ( 9 9 2 ) ( 3 1 2 ) 1 3 0 .
北师大版高中数学选修高二定积分的概念教学设计
第四章 定积分 4.1定积分的概念一、教学目标：1.通过求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程，了解定积分的背景；2.借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分定义求简单的定积分；3.理解掌握定积分的几何意义． 二、教学重点：1.掌握过程步骤：分割、以不变代变、求和、逼近（取极限）．2.定积分的概念、用定义求简单的定积分、定积分的几何意义． 教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义． 三、教学方法： 探析归纳，讲练结合教学过程： （一）．创设情景复习：1．连续函数的概念；2．求曲边梯形面积的基本思想和步骤；利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系，求物体运动速度”的问题．反之，如果已知物体的速度与时间的关系，如何求其在一定时间内经过的路程呢？（二）．新课讲授1. 曲边梯形的面积，汽车行驶的路程问题：汽车以速度v 组匀速直线运动时，经过时间t 所行驶的路程为S vt =．如果汽车作变速直线运动，在时刻t 的速度为()22v t t =-+（单位：km/h ），那么它在0≤t ≤1(单位：h)这段时间内行驶的路程S （单位：km ）是多少？分析：与求曲边梯形面积类似，采取“以不变代变”的方法，把求匀变速直线运动的路程问题，化归为匀速直线运动的路程问题．把区间[]0,1分成n 个小区间，在每个小区间上，由于()v t 的变化很小，可以近似的看作汽车作于速直线运动，从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似值，在求和得S （单位：km ）的近似值，最后让n 趋紧于无穷大就得到S （单位：km ）的精确值．（思想：用化归为各个小区间上匀速直线运动路程和无限逼近的思想方法求出匀变速直线运动的路程）． 解：（1）分割在时间区间[]0,1上等间隔地插入1n -个点，将区间[]0,1等分成n 个小区间： 10,n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，12,n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…，1,1n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦记第i 个区间为1,(1,2,,)i i i n n n -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其长度为11i i t n n n-∆=-= 把汽车在时间段10,n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，12,n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…，1,1n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上行驶的路程分别记作： 1S ∆，2S ∆，…，n S ∆显然，1nii S S ==∆∑（2）近似代替当n 很大，即t ∆很小时，在区间1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，可以认为函数()22v t t =-+的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点1i n-处的函数值2112i i v n n --⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从物理意义上看，即使汽车在时间段1,(1,2,,)i i i n n n -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦上的速度变化很小，不妨认为它近似地以时刻1i n -处的速度2112i i v n n --⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭作匀速直线运动，即在局部小范围内“以匀速代变速”，于是的用小矩形的面积i S '∆近似的代替i S ∆，即在局部范围内“以直代取”，则有21112i i i i S S v t n n n ⎡⎤--⎛⎫⎛⎫'∆≈∆=∆=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦2112(1,2,,)i i n n n n -⎛⎫=-+=⎪⎝⎭ ①（3）求和由①，21111112nnn n i i i i i i S S v t n n n n ===⎡⎤--⎛⎫⎛⎫'=∆=∆=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑∑ =221111102n n n nn n-⎛⎫⎛⎫----+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=()222311212n n ⎡⎤-+++-+⎣⎦=()()3121126n n n n ---+=11111232n n ⎛⎫⎛⎫---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭从而得到S 的近似值 11111232n S S n n ⎛⎫⎛⎫≈=---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（4）取极限当n 趋向于无穷大时，即t ∆趋向于0时，11111232n S n n ⎛⎫⎛⎫=---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭趋向于S ，从而有 1111115lim limlim 112323nn n n n i i S S v n n n n →∞→∞→∞=-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫===---+=⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑ 思考：结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程S 与由直线0,1,0t t v ===和曲线22v t =-+所围成的曲边梯形的面积有什么关系？结合上述求解过程可知，汽车行驶的路程lim n n S S →∞=在数据上等于由直线,1,0t t v ===和曲线22v t =-+所围成的曲边梯形的面积．一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为()vv t =，那么我们也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，利用“以不变代变”的方法及无限逼近的思想，求出它在a ≤t ≤b 内所作的位移S．2、定积分的概念、几何意义、性质前面曲边梯形的面积，汽车行驶的路程等问题的解决方法，解决步骤： 对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点． 1）．定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x D （b ax n-D =），在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点()1,2,,i i n x =L ，作和式：11()()nnn i i i i b aS f x f n x x ==-=D =邋 如果x D 无限接近于0（亦即n ??）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。
高中数学第四章定积分4.3定积分的简单应用4.3.1平面图形的面积教案2北师大版选修2_220170
4.3.1平面图形的面积一、教学目标：1、了解定积分的几何意义及微积分的基本定理；2、掌握利用定积分求曲边图形的面积。
二、教学重点与难点：1、定积分的概念及几何意义；2、定积分的基本性质及运算的应用三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）练习1d x= 3 + ln 2，则a的值为（D ）a1．若(2x )1xA．6 B．4 C．3 D．22．设f(x)x2(0x1)2x (1x2)，则d x等于（C ）af(x)1A．34B．45C．56D．不存在13．求函数f(a)(6x4ax a)dx的最小值2262221(x ax a dx x axa x622224)(232)解：∵0122a a．2∴f(a)a22a 2(a 1)21．∴当a= – 1时f(a)有最小值1．4．求定分166x xd x．3225．怎样用定积分表示：x=0，x=1，y=0及f(x)=x2所围成图形的面积？1f x dx x dx11S()2001 36．你能说说定积分的几何意义吗？例如baf(x)dx的几何意义是什么?表示x轴，曲线y f(x)及直线x a，x b之间的各部分面积的代数和，在x轴上方的面积取正，在x轴下方的面积取负。
（二）、新课探析例1．讲解教材例题- 1 -2与直线 x=0 , 例 2．求曲线 y=sinx ,x [0, ]3 2 x ,x 轴所围成图形的面积。
3练习：1．如右图，阴影部分面积为（ B ）A ． [ f (x ) g (x )]d xba B ． [g (x ) f (x )]dx[ f (x ) g (x )]d xcb ac C ． [ f (x ) g (x )]dx [g (x ) f (x )]d xbb ac D ． [g (x ) f (x )]d xba 2．求抛物线 y = – x 2 + 4x – 3及其在点 A （1，0）和点 B （3，0）处的切线所围成的面积． 2 3（三）、归纳总结：1、求曲边梯形面积的方法：⑴画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；⑵ 对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；⑶确定被积函数；⑷求出各曲 边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和。
高中数学第四章定积分3定积分的简单应用教学案北师大版选修
§3 定积分的简单应用[对应学生用书P42]如图．问题1：图中阴影部分是由哪些曲线围成？提示：由直线x ＝a ，x ＝b 和曲线y ＝f (x )和y ＝g (x )围成． 问题2：你能求得其面积吗？如何求？提示：能，先求由x ＝a ，x ＝b 和y ＝f (x )围成的曲边梯形面积S 1＝∫b af (x )d x ，再求由x ＝a ，x ＝b 和y ＝g (x )围成的曲边梯形面积S 2＝∫b a g (x )d x ，则所求阴影部分面积为S 1－S 2.平面图形的面积一般地，设由曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )以及直线x ＝a ，x ＝b 所围成的平面图形的面积为S ，则S ＝∫b a f (x )d x －∫ba g (x )d x ，f (x )≥g (x )．定积分在几何中的简单应用主要是求平面图形的面积和旋转体的体积，解题关键是根据图形确定被积函数以及积分上、下限．[对应学生用书P42][例1] 求由抛物线y ＝x 2－4与直线y ＝－x ＋2所围成图形的面积．[思路点拨] 画出草图，求出直线与抛物线的交点，转化为定积分的计算问题．[精解详析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－4，y ＝－x ＋2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝5，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0，所以直线y ＝－x ＋2与抛物线y ＝x 2－4的交点为(－3，5)和(2,0)， 设所求图形面积为S ，根据图形可得S ＝⎠⎛-32(－x ＋2)d x －⎠⎛-32(x 2－4)d x＝⎝⎛⎭⎪⎫2x －12x 2 |2－3－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－4x |2－3 ＝252－⎝ ⎛⎭⎪⎫－253＝1256. [一点通] 求由曲线围成图形面积的一般步骤： ①根据题意画出图形； ②求交点，确定积分上、下限； ③确定被积函数； ④将面积用定积分表示；⑤用牛顿－莱布尼兹公式计算定积分，求出结果．1．由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A.12 B ．1 C.32D. 3解析：结合函数图像可得所求的面积是定积分⎠⎜⎛3π- 3πcos x d x ＝sin x|33ππ-＝32－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝ 3. 答案：D2．(山东高考)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A ．2 2B ．4 2C ．2D.4解析：由4x ＝x 3，解得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为⎠⎛02x －x 3dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－14x 4|20＝4.答案：D3．计算由曲线y 2＝x ，y ＝x 3所围成的图形的面积S.解：作出曲线y 2＝x ，y ＝x 3的草图，所求面积为如图中的阴影部分的面积．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝x 3得交点的横坐标x ＝0，x ＝1，因此所求图形面积为S ＝∫10xdx －∫10x 3dx ＝23x32|1－14x 4|10＝23－14＝512.[例2] 求由曲线xy ＝1及直线x ＝y ，y ＝3所围成平面图形的面积．[思路点拨] 作出直线和曲线的草图，可将所求图形的面积转化为两个曲边梯形面积的和，通过计算定积分来求解，注意确定积分的上、下限．[精解详析]作出曲线xy ＝1，直线x ＝y ，y ＝3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．求交点坐标：由⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝1，y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝3，故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3；由⎩⎪⎨⎪⎧ xy ＝1，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，(舍去)，故B (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，故C (3,3)，故所求面积S ＝S 1＋S 2＝⎠⎛131⎝ ⎛⎭⎪⎫3－1x dx ＋∫31(3－x)d x ＝(3x －ln x ) |113＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －12x 2 |31＝4－ln 3.[一点通] 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间内位于上方和下方的函数有所变化，通过解方程组求出曲线的交点坐标后，可以将积分区间进行细化分段，然后根据图形对各个区间分别求面积进而求和，在每个区间上被积函数均是由图像在上面的函数减去下面的函数．4．由曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面图形(如下图中的阴影部分)的面积是()A ．1 B.π4C .322D.22－2解析：S ＝⎠⎜⎛0π4 (cos x －sin x )d x ＋⎠⎜⎛4π 2π (sin x －cos x )dx ＝(sin x ＋cos x )⎪⎪⎪⎪π40－(cos x ＋sin x )⎪⎪⎪⎪π2π4＝(2－1)－(1－2)＝22－2.答案：D5．求由曲线y ＝x 2和直线y ＝x 及y ＝2x 所围成的平面图形的面积．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x ，得A (1,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝2x ，得B (2,4)，如图所示所求面积为S ＝⎠⎛012x d x －⎠⎛01x d x ＋⎠⎛122x d x －⎠⎛12x 2d x＝⎠⎛01(2x －x )d x ＋⎠⎛12(2x －x 2)d x ＝⎠⎛01x d x ＋⎠⎛12(2x －x 2)d x＝12x 2|10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－13x 3|21＝76.[例3] 求抛物线y ＝2x 2与直线x ＝a(a>0)及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周得到的几何体的体积．[精解详析] 由a>0，各曲线围成的平面图形如图阴影部分所示，V ＝∫a 0π(2x 2)2d x ＝4π∫a 0x 4d x＝4π·15x5 |a 0＝45πa 5. [一点通] 求旋转体的体积的步骤：①建立平面直角坐标系．②确定旋转曲线函数f (x )．③确定积分上、下限a ，b .④计算体积V ＝∫b a πf 2(x )d x .6．y ＝sin x(0≤x≤π)和x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积为( )A ．π2B ．4π2C.13π2D.π22 解析：V ＝π∫π0sin 2x d x ＝π∫π1－cos 2x2d x ＝π2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －sin 2x 2| π0＝π22.答案：D7．给定一个边长为a 的正方形，绕其一边旋转一周，得到一个几何体，则它的体积为________解析：以正方形的一个顶点为原点，两边所在的直线为x 轴、y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则BC 的方程：y ＝a .则该旋转体即圆柱的体积为：∫a0π×a 2d x ＝πa 2x |a0＝πa 3.答案：πa 31．求由曲线围成的图形的面积时，若积分变量选取x 运算较为复杂，可以选y 为积分变量，同时更改积分的上、下限．2．由曲线y ＝f (x )，直线x ＝a ，x ＝b (a <b )以及x 轴围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周得到的旋转体的体积为V ＝π⎠⎛a bf 2(x )d x .[对应课时跟踪训练十六1．曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1围成的封闭图形的面积是( ) A ．4π B.5π2C ．3πD ．2π解析：如图，求曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1围成图形的面积可根据余弦函数图像的对称性转化为求由直线y ＝0，y ＝1，x ＝0，x ＝2π围成的矩形的面积．故选D.答案：D2．如果用1 N 的力能将弹簧拉长1 cm ，为了将弹簧拉长6 cm ，所耗费的功为( )A ．0.18 JB ．0.26 JC ．0.12 JD ．0.28 J解析：设F (x )＝kx ，当F ＝1 N 时，x ＝0.01 m ，则k ＝100.W ＝⎠⎛00.06100x d x ＝50x 2|0.060＝0.18 (J)．答案：A3．曲线y ＝x 2＋2x 与直线x ＝－1，x ＝1及x 轴所围成图形的面积为( ) A ．2 B.83 C.43D.23解析：S ＝－∫0－1(x 2＋2x )d x ＋∫10(x 2＋2x )d x ＝－⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 20－1＋⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 210＝23＋43＝2. 答案：A4.如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为( )A.14 B.15C.16D.17解析：阴影部分的面积为∫10(x －x )d x ＝3222132x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎪⎪⎪1＝16，故所求的概率P ＝阴影部分的面积正方形OABC 的面积＝16，故选C.答案：C5.如图是一个质点做直线运动的v t 图像，则质点在前6 s 内的位移为________．解析：直线OA 的方程为y ＝34x ，直线AB 的方程为y ＝－32x ＋9，故质点在前6 s 内的位移为∫4034x d x ＋∫64⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x ＋9d x ＝38x 2⎪⎪⎪40＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34x 2＋9x ⎪⎪⎪64＝6＋3＝9(m)．答案：9 m6.(福建高考)如图，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．解析：因为函数y ＝e x与函数y ＝ln x 互为反函数，其图像关于直线y ＝x 对称，又因为函数y ＝e x与直线y ＝e 的交点坐标为(1，e)，所以阴影部分的面积为2(e×1－⎠⎛01e x d x )＝2e －2e x |10＝2e －(2e －2)＝2，由几何概型的概率计算公式， 得所求的概率P ＝S 阴影S 正方形＝2e 2. 答案：2e27．求抛物线y ＝－x 2＋4x －3及其在点A (1,0)和点B (3,0)处的切线所围成图形的面积． 解：由y ′＝－2x ＋4得在点A ，B 处切线的斜率分别为2和－2，则两直线方程分别为y ＝2x －2和y ＝－2x ＋6，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，y ＝－2x ＋6得两直线交点坐标为C (2,2)，∴S ＝S △ABC －∫31(－x 2＋4x －3)d x ＝12×2×2－⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋2x 2－3x 31＝2－43＝23. 8．已知抛物线y ＝x 2－2x 与直线x ＝0，x ＝a ，y ＝0围成的平面图形的面积为43，求a的值．解：作出y ＝x 2－2x 的图像，如图所示．①当a <0时，S ＝∫0a (x 2－2x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2⎪⎪⎪a＝－a 33＋a 2＝43，∴(a ＋1)(a －2)2＝0.∵a <0，∴a ＝－1.②当a ＝0时，不符合题意． ③当a >0时，若0<a ≤2，则S ＝－∫a0(x 2－2x )d x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2⎪⎪⎪a＝a 2－13a 3＝43，∴(a ＋1)(a －2)2＝0. ∵a >0，∴a ＝2. 若a >2，不合题意， 综上a ＝－1或2.。
北师大版数学高二4.3 定积分的简单应用(一) 教案 (北师大选修2-2)
4.3 定积分的简单应用教学过程：一．知识回顾1、求曲边梯形的思想方法是什么？2、定积分的几何意义是什么？3、微积分基本定理是什么？二．新知探究（一）利用定积分求平面图形的面积例1．计算由两条抛物线2y x =和2y x =所围成的图形的面积.【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。
【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤：1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。
练习：计算由曲线36y x x =-和2y x =所围成的图形的面积.例2．计算由直线4y x =-，曲线2y x =以及x 轴所围图形的面积S.分析：首先画出草图，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问题．与例 1 不同的是，还需把所求图形的面积分成两部分S 1和S 2．为了确定出被积函数和积分的上、下限，需要求出直线4y x =-与曲线2y x =的交点的横坐标，直线4y x =-与 x 轴的交点．四．拓展提高2x y =y x= A B C D O求曲线],[sin32π∈=xxy 与直线,,32π==xx x轴所围成的图形面积。
五．归纳总结总结：1、定积分的几何意义是：axxfyba==与直线上的曲线在区间)(],[、xbx以及=轴所围成的图形的面积的代数和，即轴下方轴上方－xxbaSSdxxf=⎰)(.因此求一些曲边图形的面积要可以利用定积分的几何意义以及微积分基本定理，但要特别注意图形面积与定积分不一定相等，如函数］［０ π2,sin∈=xxy的图像与x轴围成的图形的面积为4,而其定积分为0.2、求曲边梯形面积的方法与步骤：（1）画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；（2）对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；（3）确定被积函数；（4）求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和。
3、几种常见的曲边梯形面积的计算方法：x型区域：①由一条曲线）其中0≥=)()((xfxfy与直线)(,babxax<==以及x轴所围成的曲边梯形的面积：⎰b a dxxfS)(＝（如图（1））；②由一条曲线）其中0≤=)()((xfxfy与直线)(,babxax<==以及x轴所围成的曲边梯形的面积：⎰⎰babadxxfdxxfS)()(＝－＝（如图（2））；③由两条曲线）其中，)()()(()(xgxfxgyxfy≥==与直线)(,babxax<==图（1）图（2）图（3）所围成的曲边梯形的面积：⎰b a dxxgxfS|)()(|－＝（如图（3））；六．作业设计y )(xfy=)(xgy=abxy)(xfy=a bxy)(xfy=a b x1、必做题：P58练习（1）（2）；P60A 组1；2、选做题：P60B 组3。
北师大版高中数学选修定积分教案
定积分复习小结一、教学目标：1、理解定积分的定义及几何意义，理解定积分的性质，了解微积分的基本定理，并且熟练计算一些函数的积分；2、体会运用分割、近似代替、求和、取极限的思想过程；3、掌握定积分的计算方法；4、利用定积分的几何意义会解决问题。
二、学法指导：1、重点理解定积分的定义及几何意义，理解定积分的性质，了解微积分的基本定理，并且熟练计算一些函数的积分；2、定积分的概念是运用分割、近似代替、求和、取极限的思想；3、重点掌握定积分的计算方法。
三、重点与难点：重点：理解并且掌握定积分算法；难点：利用定积分的几何意义解决问题。
四、教学方法：探究归纳，讲练结合 五、教学过程 （一）、知识闪烁1、 解决面积、路程、做功问题3个问题一般通过对 自变量的区间得到过剩估计值和不足估计值，分割的 ，估计值就也接近精确值；当分割成的小区间的长度趋于 时，过剩估计值和不足估计值都趋于 ；误差趋于 。
2、定积分的定义思想：（1） (2) (3) (4) ; 3 、()1limniin i f x ξ→∞=∆∑= ；其中⎰叫做a 叫做b 叫做 ()f x 叫 ;4、()baf x dx ⎰的几何意义 ；在x 轴上方的面积取 ，在x 轴下方的面积取()baf x dx ⎰的几何意义 ；()baf x dx ⎰的几何意义 ；()baf x dx ⎰，()baf x dx ⎰，()baf x dx ⎰的关系 ；计算()baf x d x ⎰时，若在],a b ⎡⎣上()0f x ≥则()baf x dx ⎰= 若在],a b ⎡⎣上()0f x <()baf x dx ⎰= 若在],a c ⎡⎣上()0f x ≥，],c b ⎡⎣上()0f x <()baf x dx ⎰=5、定积分的性质：1b adx ⎰= ()bakf x dx ⎰= ()()ba f x g x dx ±⎡⎤⎣⎦⎰=（定积分对积分区间的可加性）()baf x dx ⎰=6、如果连续函数()f x 是函数()F x 的导函数，即()f x = ，则有()baf x dx ⎰=它叫做微积分基本定理，也称牛顿—莱布尼茨公式，()F x 是()f x 的 7、计算定积分()baf x dx ⎰= =()()F b F a -8、若()f x 在[],a a -上连续，且是偶函数，则有()aaf x dx -=⎰若()f x 在[],a a -上连续，且是奇函数，()aaf x dx -=⎰（二）、方法点拨：1、求由两条曲线围城的平面图形的面积的解题步骤：（1）、画出图形；（2）确定图形的范围，通过解方程组求出交点的横坐标，为定积分的上下界；（3）确定被积函数函数，特别分清被积函数的上、下位置；（4）写出平面图形面积的定积分表达式；（5）运用微积分公式求出定积分。
北师大版高中数学选修高二第五课时第四章定积分小结与复习教学设计
第五课时 第四章 定积分小结与复习一、教学目标：1、理解定积分的定义及几何意义，理解定积分的性质，了解微积分的基本定理，并且熟练计算一些函数的积分；2、体会运用分割、近似代替、求和、取极限的思想过程；3、掌握定积分的计算方法；4、利用定积分的几何意义会解决问题。
二、教法指导：1、重点理解定积分的定义及几何意义，理解定积分的性质，了解微积分的基本定理，并且熟练计算一些函数的积分；2、定积分的概念是运用分割、近似代替、求和、取极限的思想；3、重点掌握定积分的计算方法。
（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x x -Î；③求和：1()ni i b af n x =-å；④取极限：()1()l i m nb i n a ib af x dx f nx =-=åò （3）曲边图形面积：()ba S f x dx =ò；变速运动路程21()t tS v t dt =ò；变力做功()baW F r dr =ò2）．定积分的几何意义从几何上看，如果在区间[],a b 上函数()f x 连续且恒有()0f x ³，那么定积分()ba f x dx ò表示由直线,(),0x a x b a b y ==?和曲线()y f x =所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积，这就是定积分()ba f x dx ò的几何意义。
3）．定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质： 性质1()bakdx k b a =-ò；性质2()()()bb aakf x dx k f x dx k =蝌为常数（定积分的线性性质）；性质31212[()()]()()bb baaaf x f x dx f x dx f x dx ??蝌?（定积分的线性性质）；性质4()()()()bc baacf x dx f x dx f x dx a c b =+<<蝌?其中（定积分对积分区间的可加性）(1)()()ba a bf x dx f x dx =-蝌； (2) ()0a af x dx =ò；说明：①推广：1212[()()()]()()()bb bb m m aaaaf x f x f x dxf x dx f x dxf x 北?北?蝌蝌L L②推广:121()()()()kbc c baacc f x dx f x dx f x dx f x dx =+++蝌蝌L③性质解释：（二）、方法点拨：1、求由两条曲线围城的平面图形的面积的解题步骤：（1）、画出图形；（2）确定图形的范围，通过解方程组求出交点的横坐标，为定积分的上下界；（3）确定被积函数函数，特别分清被积函数的上、下位置；（4）写出平面图形面积的定积分表达式；（5）运用微积分公式求出定积分。
北师版高中数学选修2-2课后习题版 第四章 §3 定积分的简单应用
第四章DISIZHANG定积分§3定积分的简单应用课后篇巩固提升A组1.设f(x)在区间[a,b]上连续,则曲线f(x)与直线x=a,x=b,y=0围成的图形的面积为( )A.∫ba f(x)dx B.|∫f(x)badx|C.∫ba|f(x)|dx D.以上都不对f(x)在区间[a,b]上满足f(x)<0时,∫baf(x)dx<0,排除A;当围成的图形同时存在于x轴上方与下方时,∫baf(x)dx是两图形面积之差,排除B;无论什么情况C都正确.2.下列各阴影部分的面积S不可以用S=∫ba[f(x)-g(x)]dx求出的是( )S=∫ba[f(x)-g(x)]dx的几何意义是求函数f(x)与g(x)之间的阴影部分的面积,必须注意f(x)的图像要在g(x)的图像上方,对照各选项可知,D项中的f(x)的图像不全在g(x)的图像上方.故选D.3.如图,由函数f(x)=e x-e的图像,直线x=2及x轴围成的阴影部分的面积等于( )A.e2-2e-1B.e2-2eC.e 2-e 2D.e2-2e+1S=∫21f(x)dx=∫21(e x-e)dx=(e x-e·x)|12=e2-2e.4.直线y=2x,x=1,x=2与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周得到一个圆台,则该圆台的体积为( )A.28π3B.32π C.4π3D.3πV=∫21π·(2x)2dx=π∫214x2dx=4π·13x3|12=4π3(8-1)=28π3.5.如图所示,在边长为1的正方形OABC中,任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为( )A.14B.15C.16D.17{y=√x,y=x,得O(0,0),B(1,1).则S阴影=∫1(√x-x)dx=(23x 32-x 22)|01=23−12=16.故所求概率为S 阴影S 正方形=161=16.6.曲线y=cos x (π2≤x ≤3π2)与x 轴围成的平面图形的面积为 .解析由图可知,曲线y=cosx (π2≤x ≤3π2)与x 轴围成的平面图形的面积S=∫3π2π2cos xdx=-sin xπ23π2=(-sin3π2)−(-sin π2)=2.7.在同一坐标系中,作出曲线xy=1和直线y=x 以及直线y=3的图像如图所示,则阴影部分的面积为 . ∫113(3-1x )dx+∫31(3-x)dx=(3x-lnx)|131+(3x -12x 2)|13=3-(1-ln 13)+(9-12×32)−(3-12)=4-ln3.8.计算由y 2=x,y=x 2所围成图形的面积.,为了确定图形的范围,先求出这两条曲线的交点的横坐标.解方程组{y 2=x ,y =x 2,得出交点的横坐标为x=0或x=1.因此,所求图形的面积S=∫10(√x -x2)dx,又因为(23x 32-13x 3)'=x 12-x 2,所以S=(23x 32-13x 3)|01=23−13=13.9.求由曲线y=x 2+4与直线y=5x,x=0,x=4所围成的平面图形的面积.,如图所示.所求平面图形为图中阴影部分.解方程组{y =x 2+4,y =5x ,得交点为A(1,5),B(4,20).故所求平面图形的面积S=∫1(x 2+4-5x)dx+∫41(5x-x 2-4)dx=(13x 3+4x -52x 2)|01+(52x 2-13x 3-4x)|14=13+4-52+52×42-13×43-4×4-52+13+4=193.10.求抛物线y 2=2x 与直线y=4-x 围成的平面图形的面积.{y 2=2x ,y =4-x得抛物线和直线的交点为(2,2)及(8,-4).方法一:选x 作为积分变量,由图可得S=S A 1+S A 2.在A 1部分:由于抛物线的上部分方程为y=√2x ,下部分方程为y=-√2x ,所以S A 1=∫2[√2x -(-√2x )]dx=2√2∫20x 12dx=2√2·23x 32|02=163.S A 2=∫82[4-x-(-√2x )]dx =(4x -12x 2+2√23x 32)|28=383.所以S=163+383=18.方法二:∵y 2=2x,∴x=12y 2. 由y=4-x.得x=4-y,∴S=∫2-4(4-y -12y 2)dy=(4y -12y 2-16y 3)|-42=18.B 组1.如图,已知曲线y=f(x)与直线y=0,x=-32,x=2围成的图形面积为S 1=1,S 2=3,S 3=32,则∫2-32f(x)dx 等于( )A.112B.12C.-12D.72∫2-32f(x)dx=∫-1-32f(x)dx+∫1-1f(x)dx+∫21f(x)dx=S 1-S 2+S 3=1-3+32=-12.2.设直线y=1与y 轴交于点A,与曲线y=x 3交于点B,O 为原点,记线段OA,AB 及曲线y=x 3围成的区域为Ω.在Ω内随机取一点P,已知点P 取在△OAB 内的概率等于23,则图中阴影部分的面积为( )A.13B.14C.15D.16{y =1,y =x 3,解得{x =1,y =1. 则曲边梯形OAB 的面积为∫1(1-x 3)dx=(x -14x 4) 01=1-14=34.∵在Ω内随机取一个点P,点P 取在△OAB 内的概率等于23, ∴点P 取在阴影部分的概率等于1-23=13,∴图中阴影部分的面积为34×13=14.故选B.3.如图所示,直线y=kx 分抛物线y=x-x 2与x 轴所围成图形为面积相等的两部分,则k 的值为 .y=x-x 2与x 轴两交点横坐标为0,1,∴抛物线与x 轴所围成图形的面积为S=∫1(x-x 2)dx=(x 22-x 33)|01=16,抛物线y=x-x 2与直线y=kx 的两交点横坐标为0,1-k.∴S 2=∫1-k0(x-x 2-kx)dx=(1-k2x 2-x33)|01-k =16(1-k)3.又∵S=16,∴(1-k)3=12.∴k=1-√123=1-√432. 1-√4324.由直线y=x 和曲线y=x 3(x≥0)所围成的平面图形,绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为 .{y =x ,y =x 3(x ≥0),得{x =0,y =0,或{x =1,y =1.故所求体积V=∫1πx 2dx-∫10πx 6dx=π∫10x 2dx-π∫1x 6dx=π(13x 3|01-17x 7|01)=π(13-17)=4π21.5.已知函数f(x)=x 3-x 2+x+1,求其在点(1,2)处的切线与函数g(x)=x 2围成的图形的面积.(1,2)为曲线f(x)=x 3-x 2+x+1上的点,设过点(1,2)处的切线的斜率为k,则k=f'(1)=3×12-2×1+1=2,∴过点(1,2)处的切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.∴y=2x 与函数g(x)=x 2围成的图形如图.由{y =x 2,y =2x可得交点A(2,4). 又S △AOB =12×2×4=4,g(x)=x 2与直线x=2,x 轴围成的区域的面积S=∫20x 2dx=13x3|02=83,∴y=2x 与函数g(x)=x 2围成的图形的面积为S'=S △AOB -S=4-83=43.。
高中数学北师大版选修22第4章定积分的概念第3课时word教案
定积分的概念第三课时一、教学目标：1.通过求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程，了解定积分的背景 ；2.借助于几何直观定积分的大体思想，了解定积分的概念，能用定积分概念求简单的定积分；3.理解掌握定积分的几何意义． 二、教学重难点：重点：定积分的概念、用概念求简单的定积分、定积分的几何意义． 难点：定积分的概念、定积分的几何意义． 三、教学方式：探析归纳，讲练结合 四、教学进程 （一）、创设情景温习：1． 回忆前面曲边梯形的面积，汽车行驶的路程等问题的解决方式，解决步骤：分割→近似代替(以直代曲)→求和→取极限（逼近） 2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出一路点． （二）、新课探析 1．定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上持续，用分点 0121ii nax x x x x x b将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每一个小区间长度为x （b ax n），在每一个小区间1,i i x x 上任取一点1,2,,ii n ，作和式：11()()nnni i i i b aS f xf n若是x 无穷接近于0（亦即n）时，上述和式n S 无穷趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。
记为：()b aSf x dx ，其中积分号，b －积分上限，a －积分下限，()f x －被积函数，x －积分变量，[,]a b －积分区间，()f x dx －被积式。
说明：（1）定积分()b af x dx 是一个常数，即n S 无穷趋近的常数S （n 时）记为()b af x dx ，而不是n S ．（2）用概念求定积分的一般方式是：①分割：n 等分区间,a b ；②近似代替：取点1,ii i x x ；③求和：1()ni i b af n；④取极限：1()l i mnb inai ba f x dxfn（3）曲边图形面积：b aS f x dx ；变速运动路程21()t t Sv t dt ；变力做功()b aWF r dr2．定积分的几何意义从几何上看，若是在区间,a b 上函数()f x 持续且恒有()0f x ，那么定积分b af x dx 表示由直线,(),0x a x b a b y 和曲线()yf x 所围成的曲边梯形(如图中的阴影部份)的面积，这就是定积分b af x dx 的几何意义。
4.3.1定积分的简单应用(一)利用定积分求平面图形的面积
b
a
f ( x)dx F ' ( x)dx F ( x) |b a F (b) F (a )
a
b
牛顿－莱布尼茨公式沟通了导数与定积分之间的关系． 2.利用牛顿－莱布尼茨公式求定积分的关键是
确定f ( x)的原函数F ( x)
基本初等函数的导数公式
' 1.若f(x)=c，则f(x)=0 ' n-1 2.若f(x)=x n，则f(x)=nx (n R) ' 3.若f(x)=sinx，则f(x)=cosx ' 4.若f(x)=cosx，则f(x)=-sinx
4
2 xdx) ( x 4)dx
4
8
8
0
2 xdx ( x 4)dx
4
8
2 2 3 1 2 40 8 2 8 x |0 ( x 4 x) |4 3 2 3
练习 1（课本变式题） ：
2 y 计算由曲线 2 x 和直线 y x 4所围成的图形的面积.
y 2x
解:
两曲线的交点
y 2 x (0,0), (8, 4). y x 4
直线与x轴交点为(4,0)
S S1 S2
4 0
S1
S2
y x4
2 xdx [
8
8
4
2 xdx ( x 4)dx]
4
8
(
4
0
2 xdx
2ห้องสมุดไป่ตู้
o
2
x
y
4
o
2 2
2
x
2
∵ s1 0 2 xdx x | 0 2 0 4
高中数学(北师大版)选修2-2教案：第4章 定积分的概念 第三课时参考教案
定积分的概念第三课时一、教学目标：1.通过求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程，了解定积分的背景 ；2.借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分定义求简单的定积分；3.理解掌握定积分的几何意义． 二、教学重难点：重点：定积分的概念、用定义求简单的定积分、定积分的几何意义． 难点：定积分的概念、定积分的几何意义． 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、创设情景复习：1． 回忆前面曲边梯形的面积，汽车行驶的路程等问题的解决方法，解决步骤：2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点． （二）、新课探析 1．定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点 0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x D （b ax n-D =），在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点()1,2,,i i n x =L ，作和式：11()()nnn i i i i b aS f x f n x x ==-=D =邋 如果x D 无限接近于0（亦即n ??）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。
记为：()baS f x dx =ò，其中-ò积分号，b －积分上限，a －积分下限，()f x －被积函数，x －积分变量，[,]a b －积分区间，()f x dx －被积式。
说明：（1）定积分()ba f x dx ò是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n ??时）记为()baf x dx ò，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x x -Î；③求和：1()ni i b af n x =-å；④取极限：()1()l i mnbi naib af x dx f n x =-=åò （3）曲边图形面积：()ba S f x dx =ò；变速运动路程21()t tS v t dt =ò；变力做功()baW F r dr =ò2．定积分的几何意义从几何上看，如果在区间[],a b 上函数()f x 连续且恒有()0f x ³，那么定积分()ba f x dx ò表示由直线,(),0x a x b a b y ==?和曲线()y f x =所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积，这就是定积分()baf x dx ò的几何意义。
高中数学《定积分的简单应用》导学案 北师大版选修
高中数学《定积分的简单应用》导学案北师大版选修1、会根据定积分的几何意义建立求简单平面图形面积的数学模型,并能利用积分公式表进行计算、2、会根据定积分概念形成过程中的基本思想分析求简单旋转体的体积问题,建立它的数学模型,并能利用积分公式表进行计算、3、通过积分方法解决实际问题的过程,体会到微积分把不同背景的问题统一到一起的巨大作用和实用价值、实际生活中许多变量的变化是非均匀变化的,如非匀速直线运动在某时间段内位移;变力使物体沿直线方向移动某位移区间段内所做的功;非均匀线密度的细棒的质量等、所有这些问题都可以归结为曲边梯形的面积问题、问题1:当x∈[a,b]时,若f(x)>0,由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积S=、问题2:当x∈[a,b]时,若f(x)<0,由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积S= 、问题3:如图,当x∈[a,b]时,若f(x)>g(x)>0时,由直线x=a,x=b(a≠b)和曲线y=f(x),y=g(x)所围成的平面图形的面积S= 、问题4:旋转体可以看作是由连续曲线y=f(x)、直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的几何体,则该旋转体的体积为、1、用S表示图中阴影部分的面积,则S的值是()、A、f(x)dxB、|f(x)dx|C、f(x)dx+f(x)dxD、f(x)dx-f(x)dx2、由y=x2,x=0和y=1所围成的平面图形绕x轴旋转所得的旋转体的体积可以表示为()、A、V=π()2dyB、V=π[12-(x2)2]dxC、V=π(x2)2dxD、V=π(12-x2)dx3、汽车以v=(3t+2)m/s作变速直线运动时,在第1 s至第2 s间的1 s内经过的路程是m、4、求由曲线y=2x2,直线y=-4x-2,直线x=1围成的封闭图形的面积、求不分割型图形的面积计算由曲线y2=x,y=x2所围成平面图形的面积S、分割型图形面积的求解计算由直线y=x-4,曲线y=以及x轴所围成图形的面积S、简单旋转几何体的体积计算椭圆+=1所围成的图形绕x轴旋转而成的几何体的体积、求由抛物线y=x2-4与直线y=-x+2所围成图形的面积、求由曲线y=,y=2-x,y=-x所围成图形的面积、连接坐标原点O及点P(h,r)的直线、直线x=h及x轴围成一个直角三角形,将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体,计算这个圆锥体的体积、(用定积分求解)1、由曲线y=,直线y=x-2及y轴所围成的图形的面积为()、A、B、4C、D、62、一物体在变力F(x)=5-x2(力单位:N,位移单位:m)作用下,沿与F(x)成30方向作直线运动,则由x=1运动到x=2时F(x)做的功为()、A、 JB、 JC、 JD、2 J3、由曲线y=与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为、4、由曲线y=x2和直线x=0,x=1,y=t2,t∈(0,1)所围成的图形(阴影部分),求其面积的最小值、(xx年湖北卷)已知二次函数y=f(x)的图像如图所示,则它与x 轴所围图形的面积为()、A、B、C、D、考题变式(我来改编):答案第3课时定积分的简单应用知识体系梳理问题1:问题2:问题3:问题4:V=基础学习交流1、D 根据定积分的几何意义可知D正确、2、B 由旋转体体积的定积分表示可知B正确、3、s==(=4+4-(+2)=10-=(m)、4、解:联立解得直线与抛物线的交点横坐标为x=-1,由曲线y=2x2,直线y=-4x-2,直线x=1围成的封闭图形的面积为==+2+2+-2+2=、重点难点探究探究一:【解析】由题意画出草图,由得交点的横坐标为x=0及x=1、因此所求图形的面积为S=S曲边梯形OABC—S曲边梯形OABD==-=-=、【小结】求由曲线围成图形面积的一般步骤:(1)根据题意画出图形;(2)找出范围,确定积分上、下限;(3)确定被积函数;(4)将面积用定积分表示;(5)用微积分基本定理计算定积分,求出结果、探究二:【解析】(法一)作出直线y=x-4,曲线y=的草图、解方程组得直线y=x-4与曲线y=交点的坐标为(8,4),直线y=x-4与x轴的交点为(4,0),因此所求图形的面积为S=S1+S2==+=、(法二)把y看成积分变量,则S===、【小结】两条或两条以上的曲线围成的图形,一定要确定图形范围,通过解方程组求出交点的坐标,定出积分上、下限,若积分变量选x运算较繁锁,则积分变量可选y,同时要更换积分上、下限、探究三:【解析】这个旋转体可看作是由上半个椭圆y=及x轴所围成的图形绕x轴旋转所生成的几何体、因此V=、【小结】合理的确定被积函数是解题的关键,对于对称性较强的几何体,可以用曲线的一部分绕轴旋转得到、思维拓展应用应用一:由得或所以直线y=-x+2与抛物线y=x2-4的交点为(-3,5)和(2,0),设所求图形面积为S,根据图形可得S=、应用二:画出图形,如图所示、解方程组及得交点分别为(1,1),(0,0),(3,-1),所以S==(++(2x-x2+=++(2x-=+6-9-2+=、应用三:直角三角形斜边的直线方程为y=x,所以所求圆锥体的体积为V=、基础智能检测1、C 由y=及y=x-2得x=4,所以由y=、y=x-2及y轴所围成的封闭图形面积为=(-=、2、C 由于F(x)与位移方向成30角、如图,F在位移方向上的分力F=Fcos30,W==3、4π所求体积V=4、解:S1=t3-,S2=由导数求得,当t=时,S1+S2取到最小值,最小值为、全新视角拓展B 根据f(x)的图像可设f(x)=a(x+1)(x-1)(a<0)、因为f(x)的图像过(0,1)点,所以-a=1,即a=-1、所以f(x)=-(x+1)(x-1)=1-x2、所以S==2(=2(1-)=、。
高中数学 第四章 定积分 4.3 定积分的简单应用教案 北师大版选修22
定积分的简单应用一、教学目标：1、了解定积分的几何意义及微积分的基本定理.2、掌握利用定积分求变速直线运动的路程、变力做功等物理问题。
二、教学重点与难点：1、定积分的概念及几何意义；2、定积分的基本性质及运算在物理中应用。
三、教学方法：探究归纳，讲练结合四、教学过程（一）、复习：（1）、求曲边梯形的思想方法是什么？(2)、定积分的几何意义是什么？（3）、微积分基本定理是什么？（二）、定积分的应用【定积分在物理中应用】1、求变速直线运动的路程我们知道，作变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v=v (t) ( v(t) ≥0) 在时间区间[a,b]上的定积分，即()ba s v t dt =⎰例 1。
一辆汽车的速度一时间曲线如图1.7 一3 所示．求汽车在这1 min 行驶的路程．解：由速度一时间曲线可知： 3,010,()30,10401.590,4060.t t v t t t t ≤≤⎧⎪=≤≤⎨⎪-+≤≤⎩因此汽车在这 1 min 行驶的路程是：104060010403[30( 1.590)s tdt dt t dt =++-+⎰⎰⎰ 210402600104033|30|(90)|1350()24t t t t m =++-+= 答：汽车在这 1 min 行驶的路程是1350m .2．变力作功一物体在恒力F （单位：N ）的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向移（单位：m)，则力F 所作的功为W=Fs .探究如果物体在变力 F(x ）的作用下做直线运动，并且物体沿着与 F (x) 相同的方向从x =a 移动到x=b (a<b) ，那么如何计算变力F(x ）所作的功W 呢？与求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程一样，可以用“四步曲”解决变力作功问题．可以得到()ba W F x dx =⎰例2．如图1·7一4 ，在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置lm 处，求克服弹力所作的功．解：在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的力 F ( x ）与弹簧拉伸（或压缩）的长度 x 成正比，即 F ( x ）= kx , 其中常数 k 是比例系数．由变力作功公式，得到220011|()22l l W kxdx x kl J ===⎰答：克服弹力所作的功为212kl J . 例3．A 、B 两站相距7.2km ，一辆电车从A 站B 开往站，电车开出ts 后到达途中C 点，这一段的速度为1.2t(m/s)，到C 点的速度为24m/s ，从C 点到B 点前的D 点以等速行驶，从D 点开始刹车，经ts 后，速度为（24-1.2t ）m/s ，在B 点恰好停车，试求（1）A 、C 间的距离；（2）B 、D 间的距离；（3）电车从A 站到B 站所需的时间。
高中数学北师大版选修2-2第4章《定积分的简单应用》(第1课时)ppt参考课件
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
图4.如图
y
y f2(x)
a
0
bx
y f1( x)
b
b
b
A4 a f2(x)dx a f1(x)dx a [ f2(x) f1(x)]dx
例 1 计算由两条抛物线 y2 x和 y x2所围成的
图形的面积.
解
y
x x 0及x 1
y x2
解: 两曲线的交点
y x3 6x
y
x2
A1
0 2
(0,0), (2,4), (3,9).
(x3 6x x2 )dx
y x2
A1
A2
3 0
(x2 x3 6x)dx
于是所求面积 A A1 A2
【高中课件】高二数学北师大版选修224.3 定积分的简单应用课件ppt.pptx
A.
������ ������
f(x)dx
| | B.
������ ������
f(x)dx
C.
������ ������
f(x)dx+
������ ������
f(x)dx
D.
������ ������
f(x)dx-
������ ������
中小学精编教育课件
§3 定积分的简单应用
1.通过实例,进一步理解定积分的思想. 2.了解定积分在求平面图形的面积、旋转体的体积等方面的简单应用.
1234
(1)由一条曲线 y=f(x)和直线 x=a,x=b(a<b)及 y=0 所围成平面图形的面
积 S.
如图①所示,f(x)>0,
������ ������
在时间区间[a,b]上的定积分,即
s=
������ ������
v(t)dt.
说明路程是位移的绝对值之和,当 v(t)≤0 时,从时刻 t=a 到时刻 t=b 所经
过的路程是
s=-
������ ������
v(t)dt.
(2)变力做功
一个物体在恒力 F(单位:N)的作用下做直线运动,如果物体沿着与 F 相
f(x)dx>0,
所以
S=
������ ������
f(x)dx.
如图②所示,f(x)<0,
������ ������
f(x)dx<0,
| | 所以 S=
������ ������
f(x)dx
=-
������ ������
高中数学第4章定积分3定积分的简单应用北师大版选修
V＝aπf2(x)dx； ④计算定积分写出答案．
1．由曲线 y＝f(x)(f(x)≤0)，x∈[a，b]，x＝a，x＝b(a<b)
和 x 轴所围成的曲边梯形的面积 S 等于( )
b
A.af(x)dx
b
C.a[f(x)－a]dx
b
B．－af(x)dx
b
D.a[f(x)－b]dx
解析： 注意题目条件f(x)≤0. 答案： B
1.如图，求直线y＝2x＋3与抛物线y＝ x2所围成的图形面积．
解析： 由方程组yy＝＝x22x，＋3，
可得 x1＝－1，x2＝3.故所求图形面积为
3
3
S＝－1(2x＋3)dx－－1x2dx
＝(x2＋3x) |3－1－ 13x33－1＝332.
分割图形求面积
求抛物线y2＝2x与直线y＝4－x围 成的平面图形的面积．
所以直线 y＝－x
＋2 与抛物线 y＝x2－4 的交点为(－3,5)
和(2,0)，设所求图形面积为 S，根据图形
可得
S
＝
2
(
－
x
＋
2)dx
－
2
(x2 － 4)dx ＝
2x－12x2
2 －3
－
－3
－3
13x3－4x2－3＝225－－235＝1265.
此类问题的求解必须先画出图 形，根据图形判断所求面积是否可以直接用边界函数的积分表 示出来，而积分的上、下限则要通过解方程组求交点得到．
b
＝____π_a_[_f(_x_)]_2_d_x ___.
(1)利用定积分求平面图形面积的 步骤：
①画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图 像；
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3 定积分的简单应用[对应学生用书P42]如图．问题1：图中阴影部分是由哪些曲线围成？提示：由直线x＝a，x＝b和曲线y＝f(x)和y＝g(x)围成．问题2：你能求得其面积吗？如何求？提示：能，先求由x＝a，x＝b和y＝f(x)围成的曲边梯形面积S1＝∫b a f(x)d x，再求由x＝a，x＝b和y＝g(x)围成的曲边梯形面积S2＝∫b a g(x)d x，则所求阴影部分面积为S1－S2.平面图形的面积一般地，设由曲线y＝f(x)，y＝g(x)以及直线x＝a，x＝b所围成的平面图形的面积为S，则S＝∫b a f(x)d x－∫b a g(x)d x，f(x)≥g(x)．定积分在几何中的简单应用主要是求平面图形的面积和旋转体的体积，解题关键是根据图形确定被积函数以及积分上、下限．[对应学生用书P42]不分割型图形面积的求解[例1]求由抛物线y＝x2－4与直线y＝－x＋2所围成图形的面积．[思路点拨]画出草图，求出直线与抛物线的交点，转化为定积分的计算问题．[精解详析]由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－4，y ＝－x ＋2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝5，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0，所以直线y ＝－x ＋2与抛物线y ＝x 2－4的交点为(－3，5)和(2,0)， 设所求图形面积为S ，根据图形可得S ＝⎠⎛32(－x ＋2)d x －⎠⎛32(x 2－4)d x＝⎝⎛⎭⎪⎫2x －12x2 |2－3－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－4x |2－3 ＝252－⎝ ⎛⎭⎪⎫－253＝1256. [一点通]求由曲线围成图形面积的一般步骤： ①根据题意画出图形； ②求交点，确定积分上、下限； ③确定被积函数； ④将面积用定积分表示；⑤用牛顿－莱布尼兹公式计算定积分，求出结果．1．由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为()A.12 B ．1C.32D. 3解析：结合函数图像可得所求的面积是定积分⎠⎜⎛3π- 3πcos x d x ＝sin x 33ππ-＝32－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝ 3. 答案：D2．(高考)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为() A ．2 2 B ．4 2 C ．2D.4解析：由4x ＝x 3，解得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为⎠⎛024x －x 3dx ＝⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－14x 4|20＝4. 答案：D3．计算由曲线y 2＝x ，y ＝x 3所围成的图形的面积S.解：作出曲线y 2＝x ，y ＝x 3的草图，所求面积为如图中的阴影部分的面积．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝x3得交点的横坐标x ＝0，x ＝1，因此所求图形面积为S ＝∫10xdx －∫10x 3dx ＝23x32|1－14x 4|10＝23－14＝512.分割型图形面积的求解[例2]求由曲线xy ＝1及直线x ＝y ，y ＝3所围成平面图形的面积．[思路点拨]作出直线和曲线的草图，可将所求图形的面积转化为两个曲边梯形面积的和，通过计算定积分来求解，注意确定积分的上、下限．[精解详析]作出曲线xy ＝1，直线x ＝y ，y ＝3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．求交点坐标：由⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝1，y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝3，故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3；由⎩⎪⎨⎪⎧ xy ＝1，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，(舍去)，故B (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，故C (3,3)，故所求面积S ＝S 1＋S 2＝⎠⎛131⎝ ⎛⎭⎪⎫3－1x dx ＋∫31(3－x)d x ＝(3x －ln x ) |113＋⎝⎛⎭⎪⎫3x －12x 2 |31＝4－ln 3.[一点通]由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间内位于上方和下方的函数有所变化，通过解方程组求出曲线的交点坐标后，可以将积分区间进行细化分段，然后根据图形对各个区间分别求面积进而求和，在每个区间上被积函数均是由图像在上面的函数减去下面的函数．4．由曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面图形(如下图中的阴影部分)的面积是()A ．1 B.π4C .322D.22－2解析：S ＝⎠⎜⎛0π4 (cos x －sin x )d x ＋⎠⎜⎛4π 2πx －cos x )dx ＝(sin x ＋cosx )⎪⎪⎪⎪π40－(cos x ＋sin x )⎪⎪⎪⎪π2π4＝(2－1)－(1－2)＝22－2. 答案：D5．求由曲线y ＝x 2和直线y ＝x 及y ＝2x 所围成的平面图形的面积．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x ，得A (1,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝2x ，得B (2,4)，如图所示所求面积为S ＝⎠⎛012x d x －⎠⎛01x d x ＋⎠⎛122x d x －⎠⎛12x 2d x＝⎠⎛01(2x －x )d x ＋⎠⎛12(2x －x 2)d x ＝⎠⎛01x d x ＋⎠⎛12(2x －x 2)d x＝12x 2|10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－13x 3|21＝76.简单几何体的体积的求解[例3]求抛物线y ＝2x 2与直线x ＝a(a>0)及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周得到的几何体的体积．[精解详析]由a>0，各曲线围成的平面图形如图阴影部分所示，V ＝∫a 0π(2x 2)2d x ＝4π∫a 0x 4d x＝4π·15x5 |a 0＝45πa 5. [一点通]求旋转体的体积的步骤：①建立平面直角坐标系．②确定旋转曲线函数f (x )．③确定积分上、下限a ，b .④计算体积V ＝∫b a πf 2(x )d x .6．y ＝sin x(0≤x≤π)和x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积为()A ．π2B ．4π2C.13π2D.π22 解析：V ＝π∫π0sin 2x d x ＝π∫π1－cos 2x2d x ＝π2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －sin 2x 2| π0＝π22.答案：D7．给定一个边长为a 的正方形，绕其一边旋转一周，得到一个几何体，则它的体积为________解析：以正方形的一个顶点为原点，两边所在的直线为x 轴、y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则BC 的方程：y ＝a .则该旋转体即圆柱的体积为：∫a 0π×a 2d x ＝πa 2x |a 0＝πa 3.答案：πa 31．求由曲线围成的图形的面积时，若积分变量选取x 运算较为复杂，可以选y 为积分变量，同时更改积分的上、下限．2．由曲线y ＝f (x )，直线x ＝a ，x ＝b (a <b )以及x 轴围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周得到的旋转体的体积为V ＝π⎠⎛a bf 2(x )d x .[对应跟踪训练十六]1．曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1围成的封闭图形的面积是() A ．4π B.5π2C ．3πD ．2π解析：如图，求曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1围成图形的面积可根据余弦函数图像的对称性转化为求由直线y ＝0，y ＝1，x ＝0，x ＝2π围成的矩形的面积．故选D.答案：D2．如果用1 N 的力能将弹簧拉长1 cm ，为了将弹簧拉长6 cm ，所耗费的功为() A ．0.18 J B ．0.26 J C ．0.12 JD ．0.28 J解析：设F (x )＝kx ，当F ＝1 N 时，x ＝0.01 m ，则k ＝100.W ＝⎠⎛00.06100x d x ＝50x 2|0.060＝0.18 (J)．答案：A3．曲线y ＝x 2＋2x 与直线x ＝－1，x ＝1及x 轴所围成图形的面积为() A ．2 B.83 C.43D.23解析：S ＝－∫0－1(x 2＋2x )d x ＋∫10(x 2＋2x )d x＝－⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 20－1＋⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 210＝23＋43＝2. 答案：A4.如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为()A.14B.15C.16D.17解析：阴影部分的面积为∫10(x －x )d x ＝3222132x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎪⎪⎪10＝16，故所求的概率P ＝阴影部分的面积正方形OABC 的面积＝16，故选C.答案：C5.如图是一个质点做直线运动的v t 图像，则质点在前6 s 内的位移为________．解析：直线OA 的方程为y ＝34x ，直线AB 的方程为y ＝－32x ＋9，故质点在前6 s 内的位移为∫4034x d x ＋∫64⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x ＋9d x ＝38x 2⎪⎪⎪40＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34x 2＋9x ⎪⎪⎪64＝6＋3＝9(m)．答案：9 m6.(福建高考)如图，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．解析：因为函数y ＝e x与函数y ＝ln x 互为反函数，其图像关于直线y ＝x 对称，又因为函数y ＝e x与直线y ＝e 的交点坐标为(1，e)，所以阴影部分的面积为2(e×1－⎠⎛01e x d x )＝2e －2e x |10＝2e －(2e －2)＝2，由几何概型的概率计算公式， 得所求的概率P ＝S 阴影S 正方形＝2e 2. 答案：2e27．求抛物线y ＝－x 2＋4x －3及其在点A (1,0)和点B (3,0)处的切线所围成图形的面积．解：由y ′＝－2x ＋4得在点A ，B 处切线的斜率分别为2和－2，则两直线方程分别为y ＝2x －2和y ＝－2x ＋6，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，y ＝－2x ＋6得两直线交点坐标为C (2,2)，∴S ＝S △ABC －∫31(－x 2＋4x －3)d x＝12×2×2－⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋2x 2－3x 31＝2－43＝23. 8．已知抛物线y ＝x 2－2x 与直线x ＝0，x ＝a ，y ＝0围成的平面图形的面积为43，求a的值．解：作出y ＝x 2－2x 的图像，如图所示．①当a <0时，S ＝∫0a (x 2－2x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2⎪⎪⎪a＝－a 33＋a 2＝43，∴(a ＋1)(a －2)2＝0.∵a <0，∴a ＝－1.②当a ＝0时，不符合题意． ③当a >0时，若0<a ≤2，则S ＝－∫a0(x 2－2x )d x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2⎪⎪⎪a＝a 2－13a 3＝43，∴(a ＋1)(a －2)2＝0.∵a>0，∴a＝2.若a>2，不合题意，综上a＝－1或2.。