空间向量的基本概念习题

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空间向量部分基础练习题

16一、选择题1.下列说法中不正确的是( )A. 平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有向量B. 一个平面的所有法向量互相平行C. 如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直D. 如果a 、b 与平面α共面且n ⊥a ，n ⊥b ，那么n 就是平面α的一个法向量2.已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( )A. 90°B. 60°C. 30°D. 0° 3.已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，λ)，若AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ等于( ) A. 28 B. －28 C. 14 D. －144.若向量{a ，b ，c }是空间的一个基底，则一定可以与向量p ＝2a ＋b ，q ＝2a －b 构成空间的另一个基底的向量是( )A. aB. bC. cD. a ＋b5.若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，则能使l ∥α的是( )A. a ＝(1,0,0)，n ＝(－2,0,0)B. a ＝(1,3,5)，n ＝(1,0,1)C. a ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1)D. a ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3,1)6.已知a ，b 是两异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b 且AB ＝2，CD ＝1，则直线a ，b 所成的角为( )A. 30°B. 60°C. 90°D. 45° 7.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若点F 是侧面CD 1的中心，且AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD⃗⃗⃗⃗⃗ +mAB ⃗⃗⃗⃗⃗ −nAA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 则m ，n 的值分别为( ) A.11,22- B. 11,22-- C. 11,22- D. 11,228.已知A (－1,1,2)，B (1,0，－1)，设D 在直线AB 上，且AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，设C (λ，13＋λ，1＋λ)，若CD ⊥AB ，则λ的值为( )A. 116B. －116C. 12D. 13 9.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝√2，E 、F 分别是面A 1B 1C 1D 1、面BCC 1B 1的中心，则E 、F 两点间的距离为( )A. 1B. √52C. √62D. 32 10.如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，AB ＝1，BC ＝2，AA 1＝3，则点B 到直线A 1C 的距离为( )A. 27B. 2√357C. √357D. 111.如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E是棱AB 的中点，则点E 到平面ACD 1的距离为( )A. 12B. √22C. 13D. 16 12.如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是正方形ADD 1A 1和ABCD 的中心，G 是CC1的中点，设GF ，C 1E 与AB 所成的角分别为α，β，则α＋β等于( )A. 120°B. 60°C. 75°D. 90°二、填空题13.已知A (1,2,0)，B (0,1，－1)，P 是x 轴上的动点，当AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP⃗⃗⃗⃗⃗ 取最小值时，点P 的坐标为__________．14.已知正四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1中，上底面A 1B 1C 1D 1边长为1，下底面ABCD 边长为2，侧棱与底面所成的角为60°，则异面直线AD 1与B 1C 所成角的余弦值为__________．15.三棱锥P －ABC 中，PA ＝PB ＝PC ＝AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝90°，则直线PA 与底面ABC 所成角的大小为________________．16.已知矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝，将矩形ABCD 沿对角线AC 折起，使平面ABC 与平面ACD 垂直，则B 与D 之间的距离为__________．三、解答题17.若e 1、e 2、e 3是三个不共面向量，则向量a ＝3e 1＋2e 2＋e 3，b ＝－e 1＋e 2＋3e 3，c ＝2e 1－e 2－4e 3是否共面？请说明理由．18.如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝2，AA1＝5，E、F分别为D1D、B1B上的点，且DE＝B1F ＝1.(1)求证：BE⊥平面ACF；(2)求点E到平面ACF的距离．19.如图，在四棱锥A－BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝√2．(1)证明：AC⊥平面BCDE；(2)求直线AE与平面ABC所成的角的正切值．20.如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，设AC与BD相交于点O，若∠DAB＝∠DBF＝60°，且F A＝FC．(1)求证：FC∥平面EAD；(2)求二面角A－FC－B的余弦值．21.如图，在四棱锥中，侧面为钝角三角形且垂直于底面，，点是的中点，，，.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）若直线与底面所成的角为60°，求二面角余弦值．22. 如图，在边长为4的菱形ABCD 中，60BAD ∠=，AC 与BD 交于点O ，将ADB ∆沿直线DB 折起到PDB ∆的位置（点P 不与A ，C 两点重合）.（1）求证：不论PDB ∆折起到何位置，都有BD ⊥平面PAC ；（2）当PO ⊥平面ABCD 时，点M 是线段PC 上的一个动点，若OM 与平面PBC 所成的角为30，求PM MC 的值.。

高二数学空间向量必刷的练习题

高二数学空间向量必刷的练习题在高二数学中，空间向量是一个重要而又复杂的概念，它在解决空间几何问题时起到了重要的作用。

为了帮助同学们更好地掌握和应用空间向量的知识，下面将介绍几道必刷的空间向量练习题。

练习题一：已知向量A=10A+6A+5A，向量A=A−A+3A，向量A=4A−2A+A，求向量A=(2A+5A−A)的模长。

解析：首先，计算向量A=(2A+5A−A)的具体数值。

将已知向量代入得到：A=2(10A+6A+5A)+5(A−A+3A)−(4A−2A+A)=20A+12A+10A+5A−5A+15A−4A+2A−A=21A+9A+24A然后，计算向量A的模长：|A|=sqrt((21A)^2+(9A)^2+(24A)^2)=sqrt(441A^2+81A^2+576A^2)练习题二：已知向量A=A−2A+2A，向量A=−A+4A−4A，向量A=A−6A+6A，求向量A=(A+2A−3A)的方向向量。

解析：首先，计算向量A=(A+2A−3A)的具体数值。

将已知向量代入得到：A=(A−2A+2A)+2(−A+4A−4A)−3(A−6A+6A)=A−2A+2A−2A+8A−8A−3A+18A−18A=−4A+24A−24A然后，根据向量的性质，可以知道向量A的方向与其具体数值无关，方向向量为：(−4, 24, −24)练习题三：已知三点A(1,2,3)、A(4,5,6)和A(7,8,9)，求向量AA和向量AA的数量积。

解析：首先，根据已知点的坐标，可以计算出向量AA和向量AA的具体数值：向量AA=(4−1,5−2,6−3)=(3,3,3)向量AA=(7−1,8−2,9−3)=(6,6,6)然后，计算向量AA和向量AA的数量积：AA·AA=3×6+3×6+3×6=54练习题四：已知三点A(-1,1,2)、A(2,3,4)和A(3,2,0)，求向量AA和向量AA的向量积。

空间向量复习题

空间向量复习题空间向量复习题在线性代数中，空间向量是一个重要的概念。

它们是以空间中的点或物体为基础，用数学方式表示的。

通过对空间向量的学习和理解，我们可以更好地解决与空间相关的问题。

在本文中，我们将通过一些复习题来加深对空间向量的理解。

题目一：已知向量A = (1, 2, 3) 和向量B = (4, 5, 6)，求A与B的数量积和向量积。

解析：数量积也称为点积，可以通过向量的坐标进行计算。

对于向量A和B，数量积的计算公式为A·B = A1B1 + A2B2 + A3B3。

将向量A和B的坐标代入公式中，得到A·B = 1*4 + 2*5 + 3*6 = 32。

向量积，也称为叉积，是两个向量所确定的平行四边形的面积向量。

向量积的计算公式为A×B = (A2B3 - A3B2, A3B1 - A1B3, A1B2 - A2B1)。

将向量A和B的坐标代入公式中，得到A×B = (2*6 - 3*5, 3*4 - 1*6, 1*5 - 2*4) = (-3, 6, -3)。

题目二：已知向量A = (2, -1, 3) 和向量B = (1, 4, -2)，求A与B的夹角。

解析：夹角的计算可以使用向量的数量积公式。

夹角θ的余弦可以通过向量的数量积和向量的模长计算，即cosθ = (A·B) / (|A| * |B|)。

将向量A和B的坐标代入公式中，得到cosθ = (2*1 + (-1)*4 + 3*(-2)) / (sqrt(2^2 + (-1)^2 + 3^2) *sqrt(1^2 + 4^2 + (-2)^2)) = -11 / (sqrt(14) * sqrt(21))。

根据余弦值可以使用反余弦函数计算夹角的弧度，即θ = arccos(cosθ)。

将cosθ代入公式中，得到θ ≈ 2.77弧度。

题目三：已知向量A = (2, -3, 1) 和向量B = (4, 1, -2)，求A关于B的投影向量。

高中空间向量练习题及讲解讲解

高中空间向量练习题及讲解讲解### 高中空间向量练习题及讲解#### 练习题一：空间向量的坐标运算题目：设空间向量\( \vec{a} \)和\( \vec{b} \)的坐标分别为\( (1, 2, 3) \)和\( (4, -1, 2) \)，求向量\( \vec{a} + \vec{b} \)的坐标。

解答：向量加法遵循坐标的分量相加原则。

对于向量\( \vec{a} \)和\( \vec{b} \)，其坐标分别为\( (a_1, a_2, a_3) \)和\( (b_1,b_2, b_3) \)，向量和的坐标为\( (a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 +b_3) \)。

将给定的向量坐标代入公式，得到：\[ \vec{a} + \vec{b} = (1 + 4, 2 - 1, 3 + 2) = (5, 1, 5) \]#### 练习题二：空间向量的模长题目：已知空间向量\( \vec{c} \)的坐标为\( (2, 3, -1) \)，求向量\( \vec{c} \)的模长。

解答：空间向量的模长可以通过以下公式计算：\[ |\vec{c}| = \sqrt{c_1^2 + c_2^2 + c_3^2} \]将向量\( \vec{c} \)的坐标代入公式，得到：\[ |\vec{c}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14} \]#### 练习题三：空间向量的夹角题目：设空间向量\( \vec{d} \)和\( \vec{e} \)的坐标分别为\( (1, 2, 1) \)和\( (2, 1, 3) \)，求向量\( \vec{d} \)和\( \vec{e} \)的夹角。

解答：空间向量\( \vec{d} \)和\( \vec{e} \)的夹角可以通过向量的点积来求得，公式为：\[ \cos \theta = \frac{\vec{d} \cdot \vec{e}}{|\vec{d}||\vec{e}|} \]首先计算点积：\[ \vec{d} \cdot \vec{e} = 1 \times 2 + 2 \times 1 + 1 \times 3 = 2 + 2 + 3 = 7 \]然后计算模长：\[ |\vec{d}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{6} \]\[ |\vec{e}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 3^2} = \sqrt{14} \]代入公式计算夹角的余弦值：\[ \cos \theta = \frac{7}{\sqrt{6} \times \sqrt{14}} \]最后，通过反余弦函数求得夹角\( \theta \)。

高二数学空间向量的练习题

高二数学空间向量的练习题在高二数学学习中，空间向量是一个重要的知识点，它与平面向量有许多相似之处，同时也具备一些特殊的性质和运算规则。

为了提高对空间向量的理解和应用能力，以下是一些空间向量的练习题，供大家进行巩固和练习。

练习题一：已知空间向量 a = 3i + 4j - 2k，b = i - 2j + 5k，c = 2i - j + 3k，求：1. a + b - c；2. |a × b|；3. ∠(a, b) 的大小。

练习题二：已知平面内的向量 u = 3i + 4j - k，v = 2i - 6j + 3k，w = -7i + 8j - k，求：1. u × v 的大小和方向；2. 建立平面向量 u, v, w 的三角形 ABC，求三角形 ABC 的面积。

练习题三：已知空间向量 a = 3i - j + 4k，b = 2i + 3j - 5k，c = ai + bj + ck，且 |c| = √27，则 a, b, c 为何种关系？练习题四：已知空间向量 d = 4i + 2j - k，e = 3i - j + k，f = 5i + 3j + 2k，求实数λ，使得 d + λe = λf。

练习题五：已知空间向量 a = 3i + 4j - k，b = 2i - j - 4k，c = 4i + 2j - 2k，d = 2i + j + 2k，求向量组 {a, b, c, d} 的线性相关性与线性无关性。

练习题六：已知空间向量 a, b, c 满足 |a| = 3，|c| = 2，且 a × b = c，则向量组 {a, b, c} 的线性相关性与线性无关性如何？练习题七：已知空间向量 a = i + j - k，b = 2i + 3j + k，c = xi + yj + zk，如果向量组 {a, b, c} 线性无关，则实数 x 和 y 的取值范围是什么？练习题八：已知空间向量 a = 2i + j + 4k，b = i + 3j + k，c = 3i - 2j + 5k，d = xi + yj + zk，且向量组 {a, b, c, d} 线性相关，则实数 x 和 y 的取值范围是什么？练习题九：已知坐标为 A(1, 2, -1)，B(-3, 5, 6)，C(2, -1, 3)，求向量 BA × BC 的大小和方向。

高二空间向量练习题及答案

高二空间向量练习题及答案空间向量是高中数学的一个重要内容，掌握空间向量的概念和运算方法对于解决几何问题有着重要的作用。

下面是一些高二空间向量的练习题及其答案，帮助大家巩固和提升空间向量的学习。

一、选择题1. 设向量a=2i-j+3k，向量b=-3i+j+2k，则a·b的值为：A. -11B. 11C. -9D. 9答案：A2. 设向量a=2i-3j+k，向量b=-i+2j-3k，则a与b的夹角为：A. 60°B. 90°C. 120°D. 150°答案：C3. 已知向量a=2i-j+3k，向量b=3i+2j-4k，则a与b的数量积等于：A. -17B. 17C. -3D. 3答案：B4. 设向量a=3i+4j-2k，向量b=i-3j+5k，则a×b的结果为：A. 23i+2j-13kB. -23i-12j+13kC. 23i-12j+13kD. -23i+2j+13k答案：C5. 向量a=3i+j+k，向量b=2i-4j-2k，求向量a与向量b的和向量c，并求c的模长。

A. 向量c=5i-3j-k，|c|=√35B. 向量c=5i-3j-k，|c|=√33C. 向量c=5i-5j-3k，|c|=√31D. 向量c=5i-3j-k，|c|=√31答案：D二、填空题1. 向量a=2i+3j-4k，向量b=5i-2j+k，求a+b的结果为________。

答案：7i+j-3k2. 向量a=2i-3j+k，向量b=-i+j+2k，求a与b的夹角的余弦值为________。

答案：-1/√143. 设向量a=3i-4j+2k，向量b=2i-3j+k，求a×b的结果为________。

答案：-5i-4j-1k4. 设向量a=-i+2j+k，d是一条过点A(1，2，3)且与向量a垂直的直线方程，则d的方程为_______。

答案：x-2y+z-3=05. 已知平行四边形的两条对角线的向量分别为a=2i-j+k和b=-3i+4j-2k，求平行四边形的面积为_______。

高二数学空间向量练习题

高二数学空间向量练习题1. 已知向量AB = 3i + 4j + 2k，向量AC = -5i + 2j - 6k，求向量AB + 2AC的模长。

2. 若向量a = 2i - j + 3k，向量b = i - 3j + 2k，求向量a + b的模长。

3. 已知三角形ABC中，向量AB = i - j + 2k，向量BC = 2i + 3j - k，向量CA = 3i + j - 4k，求三角形ABC的面积。

4. 若向量a = 3i - j + 4k，向量b = 2i + 2j - k，求向量a与向量b的夹角的余弦值。

5. 已知向量a = i + 2j - 3k，向量b = 2i + j + k，向量c = 3i - j + 2k，如果向量d满足a + d = 2b - c，求向量d的坐标表示。

6. 已知平面P的法向量为向量a = i + j + k，并且过点A(1, 2, -1)。

求平面P的解析式。

7. 已知平面P通过点A(1, 2, -1)，且平面P与向量a = 2i - j + k垂直。

求平面P的解析式。

8. 已知平面P过点A(1, 2, -1)，且平面P与向量a = 2i - j + k和向量b = -i + j - 2k都垂直。

求平面P的解析式。

解答：1. 向量AB + 2AC = 3i + 4j + 2k + 2(-5i + 2j - 6k)= 3i + 4j + 2k - 10i + 4j - 12k= -7i + 8j - 10k那么向量AB + 2AC的模长为√((-7)^2 + 8^2 + (-10)^2) = √149。

2. 向量a + b = (2i - j + 3k) + (i - 3j + 2k)= 3i - 4j + 5k那么向量a + b的模长为√(3^2 + (-4)^2 + 5^2) = √50。

3. 三角形ABC的面积可以通过向量积来计算。

首先计算向量AB与向量AC的向量积：AB × AC = (i - j + 2k) × (3i + j - 4k)= ((-1)(-4) - 2(1))i - (1(3) - (-4)(-1))j + ((1)(1) - (-1)(3))k= (-2i - 7j + 4k)那么三角形ABC的面积为|AB × AC| / 2 = |(-2i - 7j + 4k)| / 2 = √(4 + 49 + 16) / 2 = √(69) / 2。

空间向量练习题(一)

空间向量练习题（一）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，ABCD －EFGH 是棱长为1的正方体，若P 在正方体内部且满足312423AP AB AD AE =++，则P 到AB 的距离为（）A ．34B ．45C ．56D ．352．已知平面α过点()1,1,2A ，它的一个法向量为()3,0,4n =-，则下列哪个点不在平面α内（）A ．()5,5,5B ．()9,7,8C ．()–7,2,8-D ．()3,0,1--3．在四面体O －ABC 中，G 是底面△ABC 的重心，且OG＝x OA ＋y OB ＋z OC ，则log 3|xyz |等于（）A ．－3B ．－1C ．1D ．34．若向量p 在空间的的一组基底{ }a b c ，，下的坐标是132( )，，，则p在基底{ }a b a b c +- ，，下的坐标是（）A ．(4 2 2)-，，B ．(2 1 2)，，C ．(2 1 2)-，，D ．132( )，，5．已知平行六面体1111ABCD A B C D -的所有棱长均为2，1160BAD BAA DAA ∠=∠=∠=︒，M ，N 分别为BC ，11C D 的中点，则MN 的长为（）A ．2B ．3CD 6．已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别是边OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且使2MG GN =，用向量OA 、OB 、OC 表示向量OG是（）A ．111633OG OA OB OC =++ B ．112633OG OA OB OC =++C ．2233OG OA OB OC=++ D ．122233OG OA OB OC=++7．如图，已知四棱台的底面ABCD 是直角梯形，90BAD ∠=，//AD BC ，111222AD AB BC DD A D ====，1DD ⊥平面ABCD ，E 是侧棱1BB 所在直线上的动点，AE与1CA 所成角的余弦值的最大值为（）A B ．10C ．10D 8．已知矩形,ABCD P 为平面ABCD 外一点，PA ⊥平面ABCD ，点,M N 满足12PM PC =，23PN PD = ．若MN x AB y AD z AP =++，则x y z ++=（）A ．1-B ．1C ．12-D ．12二、多选题9．定义空间两个向量的一种运算||||sin a b a b a =<⊗，b >，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有()A ．a b b a ⊗=⊗B ．()()a b a bλλ=⊗⊗C ．()()()a b c a c b c +=+⊗⊗⊗D ．若1(a x =，1)y ，2(b x =，2)y ，则1221||a b x y x y =-⊗10．（多选）在三维空间中，a b ⨯ 叫做向量a 与b的外积，它是一个向量，且满足下列两个条件：①()a a b ⊥⨯ ，()b a b ⊥⨯ ，且a ，b ，a b ⨯三个向量构成右手系（如图所示）；②sin ,a b a b a b ⨯=.在正方体1111ABCD A B C D -中，已知其表面积为S ，下列结论正确的有（）A ．11AB AC AD DB ⨯=⨯B ．AB AD AD AB⨯=⨯C ．6S BC AC =⨯ D ．111AC A D ⨯ 与1BD 共线11．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为等腰梯形，AD ∥,1BC AB AD CD ===，2BC PA ==，记四棱锥P ABCD -的外接球为球O ，平面PAD 与平面PBC 的交线为,l BC 的中点为E ，则（）A ．l ∥BCB ．AB PC⊥C ．平面PDE ⊥平面PAD D ．l 被球O 截得的弦长为1三、填空题12．在正四面体ABCD 中，2AB =，若2AE AB AC =+ ，则AE AD ⋅=．13．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 和N 分别是正方形ABCD 和11BB C C 的中心，点P 为正方体表面上及内部的点，若点P 满足DP mDA nDM k DN =++，其中m 、n 、k ∈R ，且1m n k ++=，则满足条件的所有点P 构成的图形的面积是．14．若点B 是点()3,7,4-在xOz 平面上的射影，则OB 等于.15．已知()2,1,3a =- ，()1,4,2b =-- ，()7,5,c λ= ．若a 、b 、c三向量共面，则实数λ=．16．如图，在矩形ABCD 中，1AB =，AD =ABD △沿BD 所在的直线进行翻折，得到空间四边形1A BCD .给出下面三个结论：①在翻折过程中，存在某个位置，使得1AC BD ⊥；②在翻折过程中，三棱锥1A BCD -的体积不大于14；③在翻折过程中，存在某个位置，使得异面直线1A D 与BC 所成角为45°.其中所有正确结论的序号是.17．球O 为正四面体ABCD 的内切球，2AB =，MN 是球O 的直径，点P 在正四面体ABCD的表面运动，则PM PN ⋅的最大值为．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB ==，6AD =，点Q 是侧棱PD 的中点，点M ，N 分别在边AB ，BC 上，当空间四边形PMND 的周长最小时，点Q 到平面PMN 的距离为．四、解答题19．已知空间三点()2,0,2A -，()1,1,2B --，()3,0,4C -．(1)求向量AB与AC 夹角θ的余弦值；(2)求向量AB在向量AC 上的投影向量a ．20．图①是直角梯形,,90ABCD AB CD D ∠=︒∥，四边形ABCE 是边长为2的菱形，并且60BCE ∠=︒，以BE 为折痕将BCE 折起，使点C 到达1C 的位置，且1AC =(1)求证：平面1BC E ⊥平面ABED ；(2)在棱1DC 上是否存在点P ，使得点P 到平面1ABC 的距离为5？若存在，求出直线EP 与平面1ABC 所成角的正弦值：若不存在，请说明理由．21．如图所示，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，E 为1AA 上靠近点1A 的三等分点.（1）若F 为1BB 的中点，试在11A B 上找一点P ，使//PF 平面1CD E ；（2）若四边形ABCD 是正方形，且1BB 与平面1CD E 所成角的正弦值为37，求二面角1E D C D --的余弦值.22．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AD CD ⊥，且AD CD ==BC =2PA =．(1)求证：AB PC ⊥；(2)在线段PD 上，是否存在一点M ，使得二面角M AC D --的大小为o 45，如果存在，求BM 与平面MAC 所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由．23．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面,4,2,ABCD PA AD AB M ===是PD 中点.(1)求证：直线//PB 平面AMC ；(2)求平面ACD 和平面ACM 的夹角的余弦值.24．如图，P 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AC 为底面直径，ABD △为底面圆O 的内接正三角形，且ABD △E 在母线PC 上，且AE =1CE =．(1)求证：直线//PO 平面BDE ，并求三棱锥P BDE -的体积：(2)若点M 为线段PO 上的动点，当直线DM 与平面ABE 所成角的正弦值最大时，求此时点M 到平面ABE 的距离．。

高三空间向量练习题

高三空间向量练习题1. 已知向量a = 2i + 3j - k，向量b = i - j + 4k，求向量a与向量b的数量积。

解析：向量a与向量b的数量积可以通过向量的内积公式计算得出。

内积的计算方式为将两个向量对应分量相乘后相加。

a ·b = (2i + 3j - k) · (i - j + 4k)= 2i · i + 3j · (-j) - k · j + 2i · (-j) + 3j · (4k) - k · (4k)= 2 + 3 + 0 - 2 - 12 + 4= -5所以，向量a与向量b的数量积为-5。

2. 已知向量c = 3i + 2j + 4k，向量d = 5i + 6j + 2k，求向量c与向量d的向量积。

解析：向量c与向量d的向量积可以通过向量的叉乘公式计算得出。

叉乘的计算方式为以行列式形式表示，按照i、j、k的顺序展开。

c ×d = |i j k ||3 2 4 ||5 6 2 |= (2 × 2 - 4 × 6)i - (3 × 2 - 4 × 5)j + (3 × 6 - 2 × 5)k= -20i + 7j + 8k所以，向量c与向量d的向量积为-20i + 7j + 8k。

3. 已知向量e = 3i + 4j - 6k，向量f = 2i - 5j + k，求向量e与向量f 的夹角的余弦值。

解析：向量e与向量f的夹角的余弦值可以通过向量的内积和模长的乘积计算得出。

计算公式为：cosθ = (e · f) / (|e| × |f|)。

|e| = √(3^2 + 4^2 + (-6)^2) = √(9 + 16 + 36) = √61|f| = √(2^2 + (-5)^2 + 1^2) = √(4 + 25 + 1) = √30e ·f = (3i + 4j - 6k) · (2i - 5j + k)= 3i · 2i + 4j · (-5j) - 6k · j + 3i · (-5j) + 4j · k - 6k · k= 6 - 20 - 0 - 15 + 4 - 6= -31cosθ = (-31) / (√61 × √30) ≈ -0.283所以，向量e与向量f的夹角的余弦值约为-0.283。

人教A版1.2空间向量的基本定理基础练习题

点睛：本题考查空间向量的基底；构成空间向量的基底的三个向量要求不共面，本题中即判定选项中的向量与向量不能共面.
6．D
【分析】
由于是空间的一个基底，则可得，，不共面，然后根据空间向量的共面定理，一组不共面的向量构成空间的一个基底，对选项中的向量进行判断即可
【详解】
因为是空间的一个基底，所以，，不共面.
对于A，B，C选项，每组都是不共面的向量，能构成空间的一个基底；
对于D：，，满足，
所以这三个向量是共面向量，故不能构成空间的一个基底.
故选：D.
【点睛】
此题考查了空间向量共面的判断与应用，属于基础题.
7．C
【分析】
将用表示，对比系数即可.
【详解】
因为，所以，故 .
故选：C.
【点睛】
本题考查空间向量的线性运算，一定要结合图形，灵活运用三角形法则和平行四边形法则，本题是一道基础题.
人教A版1.2空间向量的基本定理基础练习题
一、单选题
1．空间四个点O，A，B，C，为空间的一个基底，则下列说法正确的是（）
A．O，A，B，C四点不共线B．O，A，B，C四点共面，但不共线
C．O，A，B，C四点中任意三点不共线D．O，A，B，C四点不共面
2．如图所示，在平行六面体中，设，，，是的中点，试用，，表示（）
12．已知是空间的一个基底，若，则 ________.
13．在正三棱柱中，M为的重心，若，则 _________.
14．如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，用，，表示，则 ________.
三、解答题
15．已知平面，四边形为正方形，G为的重心，，试用基底表示 .

向量空间基本概念练习题

向量空间基本概念练习题1. 请简要说明向量空间的定义及其特征。

向量空间是指一个集合，其中的元素称为向量，并且满足以下特征：- 向量的加法运算：对于任意两个向量x和y，其和x+y也是该向量空间中的向量。

- 向量的数乘运算：对于任意一个向量x和一个标量c，其数乘运算cx也是该向量空间中的向量。

- 向量的加法满足结合律、交换律和存在零向量的特性。

- 数乘运算满足结合律和存在单位标量的特性。

2. 简述向量空间的子空间定义及其特征。

向量空间的子空间是指一个向量空间内的非空子集，也是一个向量空间，并且满足以下特征：- 子空间中的零向量也是该向量空间中的零向量。

- 子空间在向量加法和标量乘法运算下封闭，即任意两个子空间中的向量相加和标量乘积仍在子空间内。

3. 判断下列集合是否为向量空间：- A = {(x, y) | x + y = 1}，其中x和y为实数。

不是向量空间。

因为该集合在加法运算下不封闭，即存在两个元素相加不等于1。

- B = {(x, y) | x^2 + y^2 = 1}，其中x和y为实数。

不是向量空间。

因为该集合在加法运算下不封闭，即存在两个元素相加不满足x^2 + y^2 = 1的条件。

- C = {(x, y) | x = 0 或 y = 0}，其中x和y为实数。

是向量空间。

因为该集合在加法运算和标量乘法运算下满足向量空间的定义。

4. 给定向量空间V = {(x, y, z) | x + y + z = 0}，判断以下向量是否属于V：- v1 = (1, -1, 0)不属于V。

因为1 + (-1) + 0 = 0的条件不满足。

- v2 = (2, 0, -2)属于V。

因为2 + 0 + (-2) = 0的条件满足。

- v3 = (1, 2, -1)不属于V。

因为1 + 2 + (-1) = 2的条件不满足。

- v4 = (-2, 1, 1)属于V。

因为-2 + 1 + 1 = 0的条件满足。

空间向量及其运算知识点及练习题

空间向量及其运算知识点及练习题1．空间向量的概念(1)定义：空间中既有大小又有方向的量叫作空间向量．(2)向量的夹角：过空间任意一点O 作向量a ，b 的相等向量OA →和OB →，则∠AOB 叫作向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉，0≤〈a ，b 〉≤π. 2．共线向量定理和空间向量基本定理(1)共线向量定理对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb . (2)空间向量基本定理如果向量e 1，e 2，e 3是空间三个不共面的向量，a 是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3使得a ＝λ1e 1＋λ2e 2＋λ3e 3，其中e 1，e 2，e 3叫作空间的一个基底． 3．空间向量的数量积及运算律(1)定义空间两个向量a 和b 的数量积是一个数，等于|a ||b |cos 〈a ，b 〉，记作a ·b . (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )； ②交换律：a·b ＝b·a ； ③分配律：a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c . 4．空间向量的坐标表示及应用(1)数量积的坐标运算设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3. (2)共线与垂直的坐标表示设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3 (λ∈R )， a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(a ，b 均为非零向量)． (3)模、夹角公式设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则|a |＝a·a ＝a 21＋a 22＋a 23，cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23(a ≠0，b ≠0) . 基础练习：1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)空间中任意两非零向量a ，b 共面．( √ )(2)在向量的数量积运算中(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．( × )(3)对于非零向量b ，由a ·b ＝b ·c ，则a ＝c .( × )(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．( × )(5)若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0.( √ )(6)|a |－|b |＝|a ＋b |是a 、b 共线的充要条件．( × )2．如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C ．－12a －12b ＋cD.12a －12b ＋c 答案 A解析 BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →)＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c .3．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若AE →＝AA 1→＋xAB →＋yAD →，则x ，y 的值分别为( )A ．x ＝1，y ＝1B ．x ＝1，y ＝12C ．x ＝12，y ＝12D ．x ＝12，y ＝1答案 C解析如图，AE →＝AA 1→＋A 1E →＝AA 1→＋12A 1C 1→＝AA 1→＋12(AB →＋AD →)．4．同时垂直于a ＝(2,2,1)和b ＝(4,5,3)的单位向量是_______________．答案 ⎝⎛⎭⎫13，－23，23或⎝⎛⎭⎫－13，23，－23 解析设与a ＝(2,2,1)和b ＝(4,5,3)同时垂直的单位向量是c ＝(p ，q ，r )，则⎩⎪⎨⎪⎧p 2＋q 2＋r 2＝1，2p ＋2q ＋r ＝0，4p ＋5q ＋3r ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝13，q ＝－23，r ＝23，或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－13，q ＝23，r ＝－23，即同时垂直于a ，b 的单位向量为⎝⎛⎭⎫13，－23，23或⎝⎛⎭⎫－13，23，－23.5．在四面体O －ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________(用a ，b ，c 表示)．答案 12a ＋14b ＋14c解析 OE →＝12OA →＋12OD →＝12OA →＋14OB →＋14OC →＝12a ＋14b ＋14c . 典型例题：题型一空间向量的线性运算例1 三棱锥O —ABC 中，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，G 是△ABC的重心，用基向量OA →，OB →，OC →表示MG →，OG →.思维启迪利用空间向量的加减法和数乘运算表示即可．解 MG →＝MA →＋AG →＝12OA →＋23AN →＝12OA →＋23(ON →－OA →) ＝12OA →＋23[12(OB →＋OC →)－OA →] ＝－16OA →＋13OB →＋13OC →.OG →＝OM →＋MG →＝12OA →－16OA →＋13OB →＋13OC →＝13OA →＋13OB →＋13OC →. 思维升华用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．(1)化简A 1O →－12AB →－12AD →＝________；(2)用AB →，AD →，AA 1→表示OC 1→，则OC 1→＝________. 答案 (1)A 1A →(2)12AB →＋12AD →＋AA 1→解析 (1)A 1O →－12AB →－12AD →＝A 1O →－12AC →＝A 1O →－AO →＝A 1A →.(2)OC 1→＝OC →＋CC 1→＝12AB →＋12AD →＋AA 1→.题型二共线定理、空间向量基本定理的应用例2 已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，(1)求证：E 、F 、G 、H 四点共面； (2)求证：BD ∥平面EFGH ；(3)设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任一点O ，有OM →＝14(OA →＋OB →＋OC →＋OD →)．思维启迪对于(1)只要证出向量EG →＝EF →＋EH →即可；对于(2)只要证出BD →与EH →共线即可；对于(3)，易知四边形EFGH 为平行四边形，则点M 为线段EG 与FH 的中点，于是向量OM →可由向量OG →和OE →表示，再将OG →与OE →分别用向量OC →，OD →和向量OA →，OB →表示．证明 (1)连接BG ，则EG →＝EB →＋BG → ＝EB →＋12(BC →＋BD →)＝EB →＋BF →＋EH →＝EF →＋EH →，由共面向量定理的推论知： E 、F 、G 、H 四点共面． (2)因为EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12(AD →－AB →)＝12BD →，所以EH ∥BD .又EH 平面EFGH ，BD 平面EFGH ，所以BD ∥平面EFGH .(3)找一点O ，并连接OM ，OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OG . 由(2)知EH →＝12BD →，同理FG →＝12BD →，所以EH →＝FG →，即EH 綊FG ，所以四边形EFGH 是平行四边形．所以EG ，FH 交于一点M 且被M 平分．故OM →＝12(OE →＋OG →)＝12OE →＋12OG →＝12⎣⎡⎦⎤12(OA →＋OB →)＋12⎣⎡⎦⎤12(OC →＋OD →) ＝14(OA →＋OB →＋OC →＋OD →)．思维升华 (1)证明点共线的方法证明点共线的问题可转化为证明向量共线的问题，如证明A ，B ，C 三点共线，即证明AB →，AC →共线，亦即证明AB →＝λAC →(λ≠0)． (2)证明点共面的方法证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明P ，A ，B ，C 四点共面，只要能证明P A →＝xPB →＋yPC →或对空间任一点O ，有OA →＝OP →＋xPB →＋yPC →或OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC (x ＋y ＋z ＝1)即可．共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是A 1B 上的点，F 是AC 上的点，且A 1E ＝2EB ，CF ＝2AF ，则EF 与平面A 1B 1CD 的位置关系为________．答案平行解析取AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c 为基底，易得EF →＝－13(a －b ＋c )，而DB 1→＝a －b ＋c ，即EF →∥DB 1→，故EF ∥DB 1，且EF平面A 1B 1CD ，DB 1平面A 1B 1CD ，所以EF ∥平面A 1B 1CD . 题型三空间向量数量积的应用例3 如图所示，已知空间四边形AB -CD 的各边和对角线的长都等于a ，点M 、N 分别是AB 、CD 的中点． (1)求证：MN ⊥AB ，MN ⊥CD ； (2)求MN 的长；(3)求异面直线AN 与CM 所成角的余弦值．思维启迪两条直线的垂直关系可以转化为两个向量的垂直关系；利用|a |2＝a ·a 可以求线段长；利用cos θ＝a ·b|a ||b |可求两条直线所成的角．(1)证明设AB →＝p ，AC →＝q ，AD →＝r .由题意可知，|p |＝|q |＝|r |＝a ，且p 、q 、r 三向量两两夹角均为60°. MN →＝AN →－AM →＝12(AC →＋AD →)－12AB →＝12(q ＋r －p )，∴MN →·AB →＝12(q ＋r －p )·p ＝12(q ·p ＋r ·p －p 2)＝12(a 2cos 60°＋a 2cos 60°－a 2)＝0. ∴MN →⊥AB →. 即MN ⊥AB . 同理可证MN ⊥CD .(2)解由(1)可知MN →＝12(q ＋r －p )，∴|MN →|2＝14(q ＋r －p )2＝14[q 2＋r 2＋p 2＋2(q ·r －p ·q －r ·p )] ＝14[a 2＋a 2＋a 2＋2(a 22－a 22－a 22)] ＝14×2a 2＝a 22. ∴|MN →|＝22a .∴MN 的长为22a . (3)解设向量AN →与MC →的夹角为θ. ∵AN →＝12(AC →＋AD →)＝12(q ＋r )，MC →＝AC →－AM →＝q －12p ，∴AN →·MC →＝12(q ＋r )·(q －12p )＝12(q 2－12q ·p ＋r ·q －12r ·p ) ＝12(a 2－12a 2cos 60°＋a 2cos 60°－12a 2cos 60°) ＝12(a 2－a 24＋a 22－a 24)＝a 22. 又∵|AN →|＝|MC →|＝32a ，∴AN →·MC →＝|AN →||MC →|cos θ＝32a ×32a ×cos θ＝a 22.∴cos θ＝23.∴向量AN →与MC →的夹角的余弦值为23，从而异面直线AN 与CM 所成角的余弦值为23.思维升华 (1)当题目条件有垂直关系时，常转化为数量积为零进行应用；(2)当异面直线所成的角为α时，常利用它们所在的向量转化为向量的夹角θ来进行计算．应该注意的是α∈(0，π2]，θ∈[0，π]，所以cos α＝|cos θ|＝|a ·b ||a ||b |；(3)立体几何中求线段的长度可以通过解三角形，也可依据|a |＝a 2转化为向量求解．已知空间中三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →.(1)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值；(2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求实数k 的值．解 (1)∵a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)， ∴a ·b ＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1，又|a |＝12＋12＋02＝2， |b |＝(－1)2＋02＋22＝5， ∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－110＝－1010，即向量a 与向量b 的夹角的余弦值为－1010. (2)方法一 ∵k a ＋b ＝(k －1，k,2)． k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，且k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0，∴k ＝2或k ＝－52，∴当k a ＋b 与k a －2b 互相垂直时，实数k 的值为2或－52.方法二由(1)知|a |＝2，|b |＝5，a ·b ＝－1， ∴(k a ＋b )·(k a －2b )＝k 2a 2－k a ·b －2b 2 ＝2k 2＋k －10＝0，得k ＝2或k ＝－52.易失分点：********“两向量同向”意义不清致误典例：(5分)已知向量a ＝(1,2,3)，b ＝(x ，x 2＋y －2，y )，并且a ，b 同向，则x ，y 的值分别为________．易错分析将a ，b 同向和a ∥b 混淆，没有搞清a ∥b 的意义：a ·b 方向相同或相反．解析由题意知a ∥b ，所以x 1＝x 2＋y －22＝y3，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ①x 2＋y －2＝2x ② 把①代入②得x 2＋x －2＝0，(x ＋2)(x －1)＝0，解得x ＝－2，或x ＝1当x ＝－2时，y ＝－6；当x ＝1时，y ＝3.当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝－6时，b ＝(－2，－4，－6)＝－2a ，两向量a ，b 反向，不符合题意，所以舍去．当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝3时，b ＝(1,2,3)＝a ，a 与b 同向，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝3. 答案 1,3温馨提醒 (1)两向量平行和两向量同向不是等价的，同向是平行的一种情况．两向量同向能推出两向量平行，但反过来不成立，也就是说，“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件；(2)若两向量a ，b 满足a ＝λb (b ≠0)且λ>0则a ，b 同向；在a ，b 的坐标都是非零的条件下，a ，b 的坐标对应成比例.******方法与技巧1．利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础．2．利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题；利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题．3．利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题．失误与防范1．向量的数量积满足交换律、分配律，但不满足结合律，即a·b ＝b·a ，a ·(b ＋c )＝a·b ＋a·c 成立，(a·b )·c ＝a·(b·c )不一定成立．2．求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化．A 组专项基础训练 (时间：40分钟)一、选择题1．空间直角坐标系中，A (1,2,3)，B (－2，－1，6)，C (3,2,1)，D (4,3,0)，则直线AB 与CD的位置关系是( )A ．垂直B ．平行C ．异面D ．相交但不垂直答案 B解析由题意得，AB →＝(－3，－3,3)，CD →＝(1,1，－1)， ∴AB →＝－3CD →，∴AB →与CD →共线，又AB →与CD →没有公共点． ∴AB ∥CD .2．已知O ，A ，B ，C 为空间四个点，又OA →，OB →，OC →为空间的一个基底，则( )A ．O ，A ，B ，C 四点不共线 B ．O ，A ，B ，C 四点共面，但不共线 C ．O ，A ，B ，C 四点中任意三点不共线D ．O ，A ，B ，C 四点不共面答案 D解析 OA →，OB →，OC →为空间的一个基底，所以OA →，OB →，OC →不共面，但A ，B ，C 三种情况都有可能使OA →，OB →，OC →共面．3．已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则λ与μ的值可以是( )A ．2，12B ．－13，12C ．－3,2D ．2,2答案 A解析由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧λ＋16＝22λ，2μ－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝2，μ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－3，μ＝12.4．空间四点A (2,3,6)、B (4,3,2)、C (0,0,1)、D (2,0,2)的位置关系是( )A ．共线B ．共面C ．不共面D ．无法确定答案 C解析 ∵AB →＝(2,0，－4)，AC →＝(－2，－3，－5)，AD →＝(0，－3，－4)．假设四点共面，由共面向量定理得，存在实数x ，y ，使AD →＝xAB →＋yAC →，即⎩⎪⎨⎪⎧2x －2y ＝0， ①－3y ＝－3， ②－4x －5y ＝－4， ③由①②得x ＝y ＝1，代入③式不成立，矛盾． ∴假设不成立，故四点不共面．5．如图所示，已知空间四边形OABC ，OB ＝OC ，且∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉的值为( )A ．0 B.12 C.32D.22答案 A解析设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则|b |＝|c |，〈a ，b 〉＝〈a ，c 〉＝π3，BC →＝c －b ，∴OA →·BC →＝a ·(c －b )＝a ·c －a ·b ＝|a ||c |cos π3－|a ||b |cos π3＝0，∴OA →⊥BC →，∴cos 〈OA →，BC →〉＝0.二、填空题6．已知2a ＋b ＝(0，－5,10)，c ＝(1，－2，－2)，a ·c ＝4，|b |＝12，则以b ，c 为方向向量的两直线的夹角为________．答案 60°解析由题意得，(2a ＋b )·c ＝0＋10－20＝－10.即2a ·c ＋b ·c ＝－10，又∵a ·c ＝4，∴b ·c ＝－18，∴cos 〈b ，c 〉＝b ·c |b |·|c |＝－1812×1＋4＋4＝－12， ∴〈b ，c 〉＝120°，∴两直线的夹角为60°.7．已知a ＝(1－t,1－t ，t )，b ＝(2，t ，t )，则|b －a |的最小值为________．答案 355解析 b －a ＝(1＋t,2t －1,0)，∴|b －a |＝(1＋t )2＋(2t －1)2＝ 5⎝⎛⎭⎫t －152＋95， ∴当t ＝15时，|b －a |取得最小值355. 8．如图所示，已知P A ⊥平面ABC ，∠ABC ＝120°，P A ＝AB ＝BC ＝6，则PC 等于________．答案 12解析因为PC →＝P A →＋AB →＋BC →，所以PC →2＝P A →2＋AB →2＋BC →2＋2AB →·BC →＝36＋36＋36＋2×36cos 60°＝144.所以|PC →|＝12.三、解答题9．已知向量a ＝(1，－3,2)，b ＝(－2,1,1)，点A (－3，－1,4)，B (－2，－2,2)．(1)求|2a ＋b |；(2)在直线AB 上是否存在一点E ，使得OE →⊥b (O 为原点)?解 (1)∵a ＝(1，－3,2)，b ＝(－2,1,1)，∴2a ＋b ＝(0，－5,5)，∴|2a ＋b |＝02＋(－5)2＋52＝5 2. (2)假设存在点E ，其坐标为E (x ，y ，z )，则AE →＝λAB →，即(x ＋3，y ＋1，z －4)＝λ(1，－1，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝λ－3y ＝－λ－1z ＝－2λ＋4，∴E (λ－3，－λ－1，－2λ＋4)，∴OE →＝(λ－3，－λ－1，－2λ＋4)．又∵b ＝(－2,1,1)，OE →⊥b ，∴OE →·b ＝－2(λ－3)＋(－λ－1)＋(－2λ＋4)＝－5λ＋9＝0，∴λ＝95，∴E (－65，－145，25)，∴在直线AB 上存在点E (－65，－145，25)，使OE →⊥b .10．如图所示，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面为平行四边形，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC 1的长；(2)求BD 1与AC 夹角的余弦值．解记AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°，∴a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12.(1)|AC 1→|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝1＋1＋1＋2×(12＋12＋12)＝6，∴|AC 1→|＝6，即AC 1的长为 6.(2)BD 1→＝b ＋c －a ，AC →＝a ＋b ，∴|BD 1→|＝2，|AC →|＝3，BD 1→·AC →＝(b ＋c －a )·(a ＋b )＝b 2－a 2＋a ·c ＋b ·c ＝1.∴cos 〈BD 1→，AC →〉＝BD 1→·AC →|BD 1→||AC →|＝66. ∴BD 1与AC 夹角的余弦值为66. B 组专项能力提升(时间：30分钟)1．若向量c 垂直于不共线的向量a 和b ，d ＝λa ＋μb (λ、μ∈R ，且λμ≠0)，则( )A ．c ∥dB ．c ⊥dC ．c 不平行于d ，c 也不垂直于dD ．以上三种情况均有可能答案 B解析由题意得，c 垂直于由a ，b 确定的平面．∵d ＝λa ＋μb ，∴d 与a ，b 共面．∴c ⊥d .2．以下命题中，正确的命题个数为 ( ) ①若a ，b 共线，则a 与b 所在直线平行；②若{a ，b ，c }为空间一个基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间的另一个基底； ③若空间向量m 、n 、p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ；④对空间任意一点O 和不共线三点A 、B 、C ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ，y ，z ∈R )，则P 、A 、B 、C 四点共面．A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析由共线向量知a 与b 所在直线可能重合知①错；若a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 共面，则存在实数x ，y ，使a ＋b ＝x (b ＋c )＋y (c ＋a )＝y a ＋x b ＋(x ＋y )c ，∵a ，b ，c 不共面，∴y ＝1，x ＝1，x ＋y ＝0，∴x ，y 无解，∴{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }能构成空间的一个基底，∴②正确；由向量相等的定义知③正确；由共面向量定理的推论知，当x ＋y ＋z ＝1时，P ，A ，B ，C 四点共面，∴④不正确．故选B.3．如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 和CN 所成角的余弦值为________．答案 25解析以D 为原点，DA 、DC 、DD 1为x 、y 、z 轴正半轴建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，A 1(1,0,1)，B 1(1,1,1)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，∴M (1，12，1)，N (1,1，12)， ∴AM →＝(0，12，1)，CN →＝(1,0，12)，∴cos 〈AM →，CN →〉＝AM →·CN→|AM →|·|CN →|＝12(12)2＋12× 12＋(12)2＝25.4．已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．(1)求以AB →，AC →为边的平行四边形的面积；(2)若|a |＝3，且a 分别与AB →，AC →垂直，求向量a 的坐标．解 (1)由题意可得：AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2)，∴cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝－2＋3＋614×14＝714＝12.∴sin 〈AB →，AC →〉＝32，∴以AB →，AC →为边的平行四边形的面积为S ＝2×12|AB →|·|AC →|·sin 〈AB →，AC →〉＝14×32＝7 3.(2)设a ＝(x ，y ，z )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＋z 2＝3－2x －y ＋3z ＝0x －3y ＋2z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝1z ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1y ＝－1z ＝－1，∴向量a 的坐标为(1,1,1)或(－1，－1，－1)．5．直三棱柱ABC —A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D 、E 分别为AB 、BB ′的中点．(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值．(1)证明设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ，根据题意，|a |＝|b |＝|c |，且a·b ＝b·c ＝c·a ＝0，∴CE →＝b ＋12c ，A ′D →＝－c ＋12b －12a . ∴CE →·A ′D →＝－12c 2＋12b 2＝0. ∴CE →⊥A ′D →，即CE ⊥A ′D .(2)解 ∵AC ′→＝－a ＋c ，|AC ′→|＝2|a |，|CE →|＝52|a |. AC ′→·CE →＝(－a ＋c )·⎝⎛⎭⎫b ＋12c ＝12c 2＝12|a |2， ∴cos 〈AC ′→，CE →〉＝12|a |22·52|a |2＝1010. 即异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010.。

空间向量基本定理习题(含答案)

空间向量基本定理习题1. 如图，在平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，N 为BB 1的靠近B 的三等分点，若A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ，则下列向量中与MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量是( ) A. −12a⃗ +12b ⃗ +13c ⃗ B. 12a ⃗ +12b ⃗ −13c ⃗ C. 12a⃗ −12b ⃗ −13c ⃗ D. −12a ⃗ −12b ⃗ +23c ⃗2. 已知M ，N 分别是四面体OABC 的棱OA ，BC 的中点，点P在线段MN 上，且MP =2PN ，设向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ，则OP⃗⃗⃗⃗⃗ = ( ) A. 16a⃗ +16b ⃗ +16c ⃗ B. 13a ⃗ +13b ⃗ +13c ⃗ C. 16a ⃗ +13b ⃗ +13c ⃗ D. 13a ⃗ +16b ⃗ +16c ⃗3. 如图，空间四边形OABC 中，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ，且OM =2MA ，BN =NC ，则MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A. 23a ⃗ +23b ⃗ +12c ⃗ B. 12a⃗ +12b ⃗ −12c ⃗ C. −23a ⃗ +12b ⃗ +12c ⃗ D. 12a ⃗ −23b ⃗ +12c ⃗4. 如图，在平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为1的正方形，若∠A 1AB =∠A 1AD =60∘，且AA 1=3，则A 1C 的长为( ) A. √5 B. 2√2 C. √14 D. √175. 如图所示，已知正四面体A −BCD 中，AE =14AB ，CF =14CD ，则直线DE 和BF 所成角的余弦值为________．6. 如图所示，在四棱锥M −ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱AM 的长为3，且AM 和AB ，AD 的夹角都是60°，N 是CM 的中点，设a ⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，b ⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，c ⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，试以a ⃗ ，b ⃗ ，c⃗ 为基向量表示出向量BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，并求BN 的长．7. 三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，M 、N 分别是A 1B 、B 1C 1上的点，且BM =2A 1M ，C 1N =2B 1N.设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ． (1)试用a ⃗ ,b ⃗ ,c ⃗ 表示向量MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗； (2)若∠BAC =90º，∠BAA 1=∠CAA 1=60º，AB =AC =AA 1=1，求MN 的长．8. 在平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =4，AD =2，AA 1=3，∠BAD =∠BAA 1=∠A 1AD =π3，CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，N 为CD 的中点． (1)求AM 的长； (2)求∠MAN 的余弦值．9. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱AP 的长为2，且AP 与AB 、AD 的夹角都等于60°，M 在棱PC 上，PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ．(1)试用a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 表示出向量BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2)求BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AP⃗⃗⃗⃗⃗ 所成的角的余弦值．10. 如图，在平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =3，AD =4，AA 1=4，∠DAB =90°，∠BAA 1=∠DAA 1=60°，E 是CC 1的中点，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ． (1)用a ⃗ 、b ⃗ 、c ⃗ 表示AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2)求|AE ⃗⃗⃗⃗⃗ |.答案和解析1. 解：MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12D 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )−13A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12a ⃗ −12b ⃗ −13c ⃗ ， 2.解：如图所示，连接ON ，∵OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )， NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13(OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=23ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23×12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+13×12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =16OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =16a ⃗ +13b ⃗ +13c ⃗ ．3.解：∵BN =NC ，∴ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，∵OM =2MA ，∴OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )−23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−23a ⃗ +12b ⃗ +12c ⃗ ．4.解：∵A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ；∴A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2；即A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=1+0−3×1×cos60°+0+1−3×1×cos60°−(3×1×cos60°+3×1×cos60°−9)；=1−32+1−32−32−32+9=5，∴|A 1C|=√5． 5.解：正四面体A −BCD 中，设向量DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ，则向量a ⃗ ,b ⃗ ,c ⃗ 两两夹角为60°，设正四面体的棱长等于1，则a ⃗ ⋅b ⃗ =b ⃗ ⋅c ⃗ =c ⃗ ⋅a ⃗ =cos60°=12， ∵△ABD 中，AE =14AB ，∴DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14(DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =34DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34a ⃗ +14b ⃗ ，同理由CF =14CD ，可得BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =DF ⃗⃗⃗⃗⃗ −DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−b ⃗ +34c ⃗ ，∴|DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(34a ⃗ +14b ⃗ )2=√916a ⃗ 2+38a ⃗ ⋅b ⃗ +116b ⃗ 2=√916+316+116=√134，同理可得|BF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(−b ⃗ +34c ⃗ )2=√134，∵DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(34a ⃗ +14b ⃗ )⋅(−b ⃗ +34c ⃗ )=−34a ⃗ ⋅b ⃗ +916a ⃗ ⋅c ⃗ −14b ⃗ 2+316b ⃗ ⋅c ⃗ =−14，∴cos <DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BF ⃗⃗⃗⃗⃗ >=DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ |DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=−14√134×√134=−413，6.解：BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12[AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )] =−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．所以BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12a ⃗ +12b ⃗ +12c ⃗ ，|BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(−12a ⃗ +12b ⃗ +12c ⃗ )2=14(a ⃗ 2+b ⃗ 2+c ⃗ 2−2a ⃗ ⋅b ⃗ −2a ⃗ ⋅c ⃗ +2b ⃗ ⋅c ⃗ )=174．所以|BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√172，即BN 的长为√172． 7. 【答案】解：(1)∵BM =2A 1M ，C 1N =2B 1N ，∴MA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，B 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13(c ⃗ −a ⃗ )+a ⃗ +13(b ⃗ −a ⃗ )=13a ⃗ +13b ⃗ +13c ⃗ ；(2)(a ⃗ +b ⃗ +c ⃗ )2=a ⃗ 2+b ⃗ 2+c ⃗ 2+2a ⃗ ·b ⃗ +2b ⃗ ·c ⃗ +2a ⃗ ·c ⃗=1+1+1+0+2×1×1×12+2×1×1×12=5，∴|a ⃗ +b ⃗ +c ⃗ |=√5， |MN |=13|a ⃗ +b ⃗ +c ⃗ |=√53． 8.解：(1)AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+49AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +43AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +43AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =16+4+4+8+8+4=44，AM =2√11；(2)AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， |AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=√AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√4+4+4=2√3， AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=4+4+2+8+2+2=22，．9.解：(1)∵PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∵ABCD 是边长为1的正方形，∴CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ −(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23(AP ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =−23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ∴BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−23a ⃗ +13b ⃗ +23c ⃗ (2)由题意可知：|a ⃗ |=|b ⃗ |=1，|c⃗ |=2， c ⃗ 与a ⃗ 、b ⃗ 的夹角均为60°，a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为90°．∴|BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(−23a ⃗ +13b ⃗ +23c ⃗ )2=49|a ⃗ |2+14484414842cos 60°=179⇒|BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√173，|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|c ⃗ |=2，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−23a ⃗ +13b ⃗ +23c ⃗ )⋅c ⃗ =−23a ⃗ ⋅c ⃗ +13b ⃗ ⋅c ⃗ +23|c ⃗ |2=−23×1×2cos60°+13×1×2cos60°+23×4=73，设BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AP⃗⃗⃗⃗⃗ 所成的角为θ，则cosθ=BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=73√173×2=7√1734． 10.解：(1)如图所示，∵BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +b ⃗ +12c ⃗ ．(2)∵|AE ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(a ⃗ +b ⃗ +12c ⃗ )2=a ⃗ 2+b ⃗ 2+14c ⃗ 2+2a ⃗ ⋅b ⃗ +a ⃗ ⋅c ⃗ +b ⃗ ⋅c ⃗ =32+42+14×42+0+3×4×12+4×4×12=43．∴|AE⃗⃗⃗⃗⃗ |=√43．。

空间向量的习题及答案

空间向量的习题及答案空间向量是线性代数中的重要概念之一，它在解决几何问题时起到了关键作用。

本文将通过一些典型的习题来探讨空间向量的性质和应用，并给出详细的答案解析。

1. 习题一：已知向量a = (1, 2, -3)，向量b = (-2, 1, 4)，求向量a与向量b的数量积和向量积。

解析：向量a与向量b的数量积为：a·b = 1*(-2) + 2*1 + (-3)*4 = -2 + 2 - 12 = -12。

向量a与向量b的向量积为：a×b = (2*(-3) - 1*4, 1*(-3) - (-2)*4, 1*1 - (-2)*(-3)) = (-6 - 4, -3 + 8, 1 + 6) = (-10, 5, 7)。

2. 习题二：已知向量a = (2, -1, 3)，向量b = (3, 4, -2)，求向量a与向量b的夹角的余弦值。

解析：向量a与向量b的夹角的余弦值为：cosθ = (a·b) / (|a| * |b|)。

其中，a·b为向量a与向量b的数量积，|a|为向量a的模，|b|为向量b的模。

计算得到：a·b = 2*3 + (-1)*4 + 3*(-2) = 6 - 4 - 6 = -4，|a| = √(2^2 + (-1)^2+ 3^2) = √(4 + 1 + 9) = √14，|b| = √(3^2 + 4^2 + (-2)^2) = √(9 + 16 + 4)= √29。

代入公式得到：cosθ = (-4) / (√14 * √29)。

3. 习题三：已知向量a = (1, 2, 3)，向量b = (4, 5, 6)，求向量a与向量b的和、差和模长。

解析：向量a与向量b的和为：a + b = (1 + 4, 2 + 5, 3 + 6) = (5, 7, 9)。

向量a与向量b的差为：a - b = (1 - 4, 2 - 5, 3 - 6) = (-3, -3, -3)。

空间向量练习题

空间向量练习题一、选择题1. 空间中两个向量a和b的夹角为60°，|a|=3，|b|=4，求向量a和b的点积。

A. 6B. 7C. 8D. 92. 已知空间向量a=(1,2,3)，b=(4,5,6)，求向量a和b的叉积。

A. (7,0,-1)B. (-1,7,0)C. (0,-1,7)D. (1,-7,0)3. 空间向量a和b共线，且|a|=2|b|，若a=(2,-3,4)，则b的可能值为：A. (1,-1.5,2)B. (-1,1.5,-2)C. (-2,3,-4)D. 以上都是二、填空题4. 若空间向量a=(2,3,4)，求向量a的模。

__________。

5. 已知向量a=(1,0,1)，b=(2,1,0)，求向量a和b的夹角的余弦值。

__________。

6. 空间向量a=(3,-1,2)，b=(1,2,-3)，求向量a和b的混合积。

__________。

三、计算题7. 空间中有三个点A(1,2,3)，B(4,-1,2)，C(-2,3,5)，求向量AB和AC的点积。

8. 已知空间向量a=(1,1,1)，b=(2,3,4)，求向量a和b的夹角。

9. 空间中四个点A(2,1,0)，B(3,2,1)，C(1,3,2)，D(0,1,3)，求向量AB和CD的叉积，并求该叉积向量的模。

四、简答题10. 简述空间向量的基本性质，并给出两个空间向量正交的条件。

11. 解释空间向量在三维几何问题中的应用，并举例说明。

五、证明题12. 证明：若空间向量a，b，c两两垂直，则存在唯一的实数λ，μ，ν，使得a+λb+νc=0。

六、应用题13. 在空间直角坐标系中，点P(2,-1,3)，Q(-1,4,-2)，R(3,2,5)，求三角形PQR的面积。

14. 已知空间向量a=(1,2,3)，b=(4,5,6)，c=(7,8,9)，求向量a在向量b和c上的投影。

七、探索题15. 探索空间向量在解决立体几何问题中的优势，并给出具体的应用场景。

空间向量练习题(二)

空间向量练习题（二）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是棱BC ，1CC 的中点，P 是侧面11BCC B 内一点，若1//A P 平面AEF ，则线段1A P 长度的取值范围是（）A ．B ．2⎢⎣C ．4⎡⎢⎣⎦D ．2⎡⎢⎣⎦2．如图，以棱长为1的正方体的具有公共顶点的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系O xyz -，点P 在体对角线AB 上运动，点Q 为棱CD 的中点，则当P 最小时，点P 的坐标为（）.A ．112,,333⎛⎫⎪⎝⎭B ．()1,1,0C ．()0,0,1D ．111,,222⎛⎫ ⎪⎝⎭3．将边长为1的正方形11AAO O 及其内部绕1OO 旋转一周形成圆柱，如图， AC 长为5π6，11A B 长为π3，其中1B 与C 在平面11AAO O 的同侧，则直线1B C 与平面11OAAO 所成的角的正弦值为（）A B C ．2D 4．如图，M 是四面体OABC 的棱BC 的中点，点N 在线段OM 上，点P 在线段AN 上，且13,24MN ON AP AN ==，设向量OP xOA yOB zOC =++ ，则x y z ++=（）A ．1112B ．1C ．34D ．565．如图，在三棱锥O ABC -中，点G 为底面ABC V 的重心，点M 是线段OG 上靠近点G 的三等分点，过点M 的平面分别交棱OA ，OB ，OC 于点D ，E ，F ，若OD kOA = ，OE mOB =，OF nOC = ，则111k m n++=（）A ．133B ．23C ．32D ．926．在正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别是1,A C BD 上的动点，当线段MN 的长最小时，直线MN 与平面11BCC B 所成角的正弦值为（）A B C D 二、多选题7．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P ，Q 分别为AB ，1CC 的中点，R 在直线11A D 上，且111A R A D λ=，PQR 的重心为G ，则（）A ．若G 在平面11CDD C 内，则3λ=B ．若1B ，G ，D 三点共线，则1λ=C ．若DG ⊥平面PQR，则12λ=D ．点G 到直线11A D8．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，11AB AD AA ===，且1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=︒，则下列说法中正确的有（）A ．11BD AA AD AB=+- B ．1BD =C ．1AC BD⊥D ．直线1A C ⊥平面11BDD B 9．下列选项正确的是（）A ．空间向量()1,1,2a =-与向量()2,2,4b =-- 共线B ．已知向量()2,,4a x = ，()0,1,2b = ，()1,0,0c = ，若a ，b ，c共面，则2x =C ．已知空间向量()1,1,0a =r ，()1,0,2b =-r ，则a 在b 方向上的投影向量为12,0,55⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．点(2,1,1)A 是直线l 上一点，(1,0,0)a =是直线l 的一个方向向量，则点(1,2,0)P 到直线l10．如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，SA ⊥平面ABCD ，SA AB =，O 、P 分别是,AC SC 的中点，M 是棱SD 上的动点，则（）A ．OM AP⊥B ．存在点M ，使//OM 平面SBCC ．存在点M ，使直线OM 与AB 所成的角为30︒D ．点M 到平面ABCD 与平面SAB 的距离和为定值11．若正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 是1CC 中点，则下列说法正确的是（）A ．BD ⊥平面1A AEB ．B 到平面1AB E 的距离为53C ．平面1AB E 和底面1111D C B A 所成角的余弦值为23D ．若此正方体每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面只能是三角形和六边形三、填空题12．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠= ，14AB AC AA ===，点,,G E F 分别是11A B 、1CC 、AB 的中点，点D 是AC 上的动点.若GD EF ⊥，则线段DF 长度为.13．如图，二面角l αβ--等于120︒，A 、B 是棱l 上两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内，AC l ⊥，BD l ⊥，且1AB AC BD ===，则CD 的长等于．14．如图，两个正方形ABCD ，CDEF 的边长都是6，且二面角A CD E --为60︒，M 为对角线AC 靠近点A 的三等分点，N 为对角线DF 的中点，则线段MN =.15．在棱长为2的正四面体ABCD 中，点M 满足()1AM xAB y AC x y AD =+-+-，点N 满足λ=BN BA ()1BC λ+- ，则点M 与平面BCD 的位置关系是；当AM最小且BN uuu r 最小时，AM MN ⋅=．16．已知点P 为棱长等于4的正方体1111ABCD A B C D -内部一动点，且4PA = ，则11PC PD ⋅ 的值达到最小时，1PC 与1PD夹角的余弦值．17．如图，三棱柱111ABC A B C -的各条棱长均为是2，侧棱1BB 与底面ABC 所成的角为60°，侧面11BCC B ⊥底面ABC ，点P 在线段11A C 上，且平面1B CP ⊥平面11ACC A ，则111AC PC =．四、解答题18．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，2PA AB ==，E 为线段PB 的中点，F 为线段BC上的动点．(1)证明：平面AEF ⊥平面PBC ；(2)若直线AF 与平面PAB所成的角的余弦值为5，求点P 到平面AEF 的距离．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AD CD ⊥，且AD CD ==BC =2PA =．(1)求证：AB PC ⊥；(2)在线段PD 上，是否存在一点M ，使得二面角M AC D --的大小为o 45，如果存在，求BM 与平面MAC 所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由．20．在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是矩形，平面ABCD ⊥平面SBC ，SB SC =，M 是BC 的中点.1AB SM ==，2BC =.(1)求证；AM SD ⊥；(2)求直线SA 与平面SCD 所成角的正弦值；(3)在线段SD 上是否存在点P ，使得面AMP ⊥面SCD ，若存在，求:SP SD 的值；若不存在，说明理由.21．如图，三棱柱111ABC A B C -中，面ABC ⊥面11AAC C ，AB AC ⊥，12AA AB AC ===，160A AC ∠= ．过1AA 的平面交线段11B C 于点E （不与端点重合），交线段BC 于点F ．(1)求证：四边形1AA EF 为平行四边形；(2)若3BF FC =，求直线11A C 与平面1AFC 所成角的正弦值．22．在斜三棱柱111ABC A B C -中，1BC CC ⊥，2AC BC ==，1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，又已知11BA AC ⊥.(1)证明：⊥BC 平面11ACC A ．(2)求平面1AA B 和平面1A BC 的夹角的余弦值23．如图所示，四棱锥S -ABCDP 为侧棱SD 上的点．(1)求证：AC ⊥SD ；(2)若SD ⊥平面PAC ，则侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE //平面PAC ？若存在，求SE ∶EC 的值；若不存在，试说明理由．24．如图，在多面体ABCDEF 中，平面ACEF ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，AB AD ⊥，2AD =，1AB BC ==．(1)求证：CD AF ⊥；(2)若四边形ACEF 为矩形，且30EDC ∠=︒，求直线DF 与平面DCE 所成角的正弦值；(3)若四边形ACEF 为正方形，在线段AF 上是否存在点P ，使得二面角P BD A --的余弦值为23？若存在，请求出线段AP 的长；若不存在，请说明理由．。