【思维拓展】数学六年级思维拓展之最短路线问题

六年级数学奥数题-最短路线问题

一、解答题

1．如图，有一个圆锥形沙堆的底面直径BC为4厘米，圆锥的侧面展开圆心角为120度，母线AC的长度为6厘米．请问：

（1）如果一只蚂蚁想从B点去C点，最短路线应该怎么走？请设计出一条最短路线（蚂蚁只能在圆锥表面走）；

（2）如果一只蚂蚁需要由B点出发到达线段AC上（可以到其上的任意一点），那么最短路线应该怎么走？

2．有一个圆锥如图所示，A、B在同一条母线上，B为AO的中点，试求以A为起点，以B为终点且绕圆锥侧面一周的最短路线。

3．如图，有一个长方体形状的柜子，一只蚂蚁要从左下角的A点出发，沿柜子表面爬到右上角的B点去取食物，蚂蚁爬行路线的长度最短是多少？一共有几条最短路线？请在图中表示出来．

4．古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．他精通数学、物理，聪慧过人．有一天，一位将军向他请教一个问题：如图16﹣3，将军从甲地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到乙地的马棚，为了使走的路线最短，应该让马在什么地方饮水？

5．小红的生日舞会，做了一顶圆锥形帽子，要将帽子涂成红色和蓝色，O 点为顶点，BC为底面圆直径30cm，A点是OB的下三分之一处，OB=30cm，从A点出发，CA之间最短的距离之上涂成红色，下边涂成蓝色。那么小红的帽子有多大地方涂的是蓝色？（ =3）

6．正三角形ABC的边长是6厘米，在一条直线上将它翻滚几次，使A点再次落在这条直线上，那么A点在翻滚过程中经过的路线总长度是多少厘米？如果三角形面积是15平方厘米，那么三角形在滚动过程中扫过的面积是多少平方厘米？(结果保留π

)

参考答案

1．（1）B′C即为最短路线．（2）线段B′D即为最短路线．解答作图如下：

【解析】

试题分析：（1）要求蚂蚁爬行的最短距离，将圆锥的侧面展开，根据“两点之间线段最短”线段B′C即为最短路线．

（2）根据“垂线段最短”，在圆锥的侧面展开图中，从点B′向AC所在的直线作垂线，垂线段B′D即为最短路线．

解：解答作图如下：

点评：圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，运用弧长公式即可求出扇形的圆心角．

2．见详解。

【解析】

【分析】

圆锥的侧面可展为一个平面图形（如下图所示），其中若将OA、粘合起来，

恰为题中的圆锥，并且B与重合。从而在扇形中是A点与点的最短路

程。

【详解】

将圆锥面沿母线AO剪开，得到下图中的扇形

其中A点与，B点与点在母线AO分别表示同一个点（即A与，B与在圆锥上是重合的）。在扇形中连接，再将扇形还原成圆锥：

则曲线AB即为所求的最短路线。

3．蚂蚁爬行路线的长度最短是5；一共有4条最短路线．如下图所示：

【解析】

试题分析：蚂蚁爬的是一条直线时，路径才会最短．本题中蚂蚁要跑的路径有三种类型，求出每种类型的长度，比较大小即可求得最短的途径．

解：由分析可得：

类型一：（如前面与左面）根据勾股定理得：AB=5；

类型二：（如前面与上面）根据勾股定理得：AB=5；

类型三：（如下面与左面）根据勾股定理得：AB=；

5＜，即类型一，类型二最短，每种类型有两种路线，即一共有4条最短路线，如下图所示：

答：蚂蚁爬行路线的长度最短是5；一共有4条最短路线．

点评：解答本题的关键是知道当蚂蚁爬的是一条直线时，路径才会最短．即蚂蚁爬的是展开图中一个长方形的对角线．

4．饮马处的C点如图所示．

【解析】

试题分析：根据：在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定．作出点A关于直线MN的对称点A′，根据轴对称确定最短路线问题，连接A′B与MN的交点即为饮马处C．解：饮马处的C点如图所示．

点评：本题考查了轴对称确定最短路线问题，此类问题理论依据是线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等和三角形的任意两边之和大于第三边．

5．750平方厘米

【解析】

【详解】

底面周长为圆锥展开后扇形的弧长

蓝色面积=圆锥侧面积-红色面积

底面周长=30× =30×3=90

侧面展开后扇形所在圆的周长=2× ×30=180

ࠀ 所以侧面展开图为半圆

蓝色面积= ×30×30× - ×（20+20）×30

=1350-600=750（平方厘米）

6．8π；24π+15

【解析】如图所示，A点在翻滚过程中经过的路线为两段120︒的圆弧，所以路线的总长度为：

120

2π628π

360

⨯⨯⨯=厘米；

三角形在滚动过程中扫过的图形的为两个120︒的扇形加上一个与其相等的正三

角形，面积为：2120

π621524π15

360

⨯⨯⨯+=+平方厘米．