隐函数及参数方程所确定的函数的导数

x 2y
斜率为
k = y
x =2 y =2
=
2x y x 2y
x =2 = 1
y =2
切线的方程为
y ( 2 )= 1 (x 2 ) 即y=x4 法线的方程为
y ( 2 )= 1 (x 2 ) 即y=x
练习 求由下列方程所确定的隐函数的导数 dy dx
(1) x2 y2 2x = 0
并求 dy
dx
dx x=0
解 e y可以看作 y为中间变量的复合函数,
在方程两边对 x 求导,运用复合函数求导法则 ,
(x yexey)=0 (xy) (ex ) (e y ) =0
y xyx
ex
ey
yx
=0
yx
ex =
xe
y
y
,(xey
0)
为求ddxy|x=0, 先 x= 把 0 代入 x ye 方 xey程 =0 ，
练习 1 .设函 y=x x数 (x 0 ),求 y 解 等式两边取自然对数得
lny =xlnx
上式两边 x求 对导:
得 1 y =lnx x 1
y
x
化简得 y=y(lx n 1 )=xx(ln x1)
(2) 由多个因子的积、商、乘方、开方而成的函数的 求导问题。
例 3 设 y = ( x 1 ) 3 ( 3 x 1 ) 2 ( x 2 ) ， 求 y .
再用参数方程的求导方法 得二阶导数
d2 dx
y
2
=
d dx
dy dx
=
(t )
(t )
(t )
例1
求由 参数方程
x=Rcot s y=Rsitn
(0t<2p)
所确 定函数的一阶导数
dy dx
和二阶导数
d2 dx
y
2
解 由参数方程的求导方法 , 得一阶导数
dy = (Rsint) = R cos t 或 dy = cot t dx (Rcost) Rsitn dx
解 等式两边取对数得
ly n = ln x 1 ) ( 1 ln x 1 ) ( 2 ln x 4 ) ( x 3
上式两边 x求对导得
y 1
y
=
1 x
1
1 3( x 1)
x
2
4
1
y
=
(x 1)3 x 1 (x 4)2ex
x1 13(x11)x2 41
二、由参数方程所确定的函数的求导法
注意：
d2y dx2
(4cost)
答案 dy=4cots, dx
d2 dx
y
2
=
4
2.求曲 x线 y==lcnsoitn st在t=p2处的切线和. 法
解
dy dx
= (cos t ) = (ln sin t )
sin t 1 cos t
= sitn ta t n
sin t
当 t = p 时 , x=0 , y= 0 , 曲线上(点 0,0) 2
例1 设 y = x sx in (x 0 )求 ,y .
解 等式两边取对数得 ln y=sixn ln x（隐函数）
上式两边x求 对导:
1 y = cx o lx n s sinx 1
y
x
y=y(cx o ln sxsixn 1) x
= xsinx (coxslnxsinx) x
例2 已知 函数 y=(arx c )xt(a x n 0),求y .
解 (x2y22x)=0 即 2 x 2 y y 2 = 0
故 y =1x y
(2) x = y arctan y
解
(x)=y(arcy)ta即n1 =
y
1
1 y2
y
故
y
=
1 2
y2 y2
下面介绍对数求导法 ，它可以用来解决两种类型函数
的求导问题。
(1)求函 y=f数 (x)g(x （ ) 幂)指 的函 导 。数 数
解 这里 y2 可以看作是以 y为中间变量的复合函数
在方程两边对x求导,运用复合函数的求导法则 ,
(x2y2)=(R 2) 即 (x2) ( y2) =0
2x 2y yx
=0
yx
=
x y
注意: 隐函数求导的结果中,可能会含有变量y.
它 与显函数不同 , 显函数求导结果中 ,
只含有自变 量 x
例2求由方程xy ex ey = 0所确定隐函数的导数 dy
解 等式两边取自然对数：
ln y =lnx(1)2ln(3x1)1ln(x2)
3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3
上式两边 x求 对导:
1 y
y =
1 2 31 1 1 x 1 3 3x 1 3 x 2
y =(x 1 )3(3 x 1 )2(x 2 )x1 13x213(x12)
练习
1.设y=(x(x 1)43)2xe x1,求 y.
再由一阶导数 dy = cot t 和 x = R cos t组成参数方 dx
程导数 x ydd==2xR y2c=co oRttcsctoo再tstt用 参= 数cscR 方s2 程t it的n求= 导R方s1i法n3
, t
得二阶
x = a(t sin t )
p
例2
求摆线
y
在t = a(1 cos t )
(t )
注意：
d2 dx
y
2
(t ) (t)
= dy dt
dt dx
=(t) 1 = ( t )
( t ) (t )
((t)0)
即 dy = ( t ) dx ( t )
如果函数
x
y
= (t) = (t)
(t) 具有二阶导数 ,
由一阶导数
dy = (t) dx (t)
和x = (t)
还可以组成
参数方程 ddxxy== ((t(t)t)) (1 t 1)
隐函数求导法 , 就是不管隐函数能否显化 , 直 接在方程 F ( x, y) = 0 的两端对 x 求导 , 由此得到隐 函数的导数， 若 y 是由 F ( x, y) = 0 所确定的函数 , 将方程两边对 x 求导 , 但 要 把 y 看成 中间变量 , 应用复合函数求导 法则进行求导。
例 1 求由方程 x2 y2 = R2 所确定 隐 函数的导数 dy dx
第四讲 隐函数及参数方程 所确定的函数的导数
• 内容提要
1.隐函数的导数； 2.由参数方程所确定的函数的导数。
• 教学要求
1.熟练掌握隐函数与参数式所确定的函数的一阶、二阶导数 的求法；
2.掌握抽象形式的函数的一阶、二阶导数的求法； 3.熟练掌握对数求导法。
一、隐函数的求导法
1.显函数、隐函数的概念
处切线斜率
k = dy dx
t=p 2
=sin ttatn| p= t= 2
切线方程为 x=0,
法线方程为 y =0.
小结
一、隐函数的求导法
二、由参数方程所确定的函数的求导法
参数方程
x = (t)
y
=
(t
)
dy = ( t )
d 2y
dx ( t )
dx 2
(t)，
=
( (
t t
) )
F(x, y) = 0 所确定的 隐函数.
把一个 隐函数 化为 显函数 , 称为 隐函数的显化
例如 由方4x程 y3 =1所确定的， 可隐 由函 方程数 解出y ，得显y函 =34数 x1.
注意: 并不是所有的隐函数都可化为显函数. 如 方程 xy ex ey = 0 所确定的隐函数就不能显化。 2、隐函数求导法
得 y x =0 = 0 ,
y |x=0
=
ex y x ey
x=0
=
e0 0 0 e0
=1
y=0
例 3 求由方程 x2 xy y2 = 4确定的曲线上点(2, 2)
处的切线方程和法线方程，
解 方程两边对x求导 , 得 2x yxy 2y y =0 于是 y = 2x y 故曲线上在点 (2, 2) 处切线的
在参数方程
x = (t)
y
=
(t)
(t)中，如果
x=(t)存在t反 = ~(x 函 )， 则参数 数方程所确定的
函数y可看成由y =( t)t= ,~ (x )复合而成的函数，
即 y= [ ~ (x ).]如y= 果 (t)和 t= ~(x)均可导
且 (t)0 运用复合函数求导法则 ,
则 dy dx
(1) 显函数:我们把函数y可由自变量x的解析式 y=f(x)来表示的这种函数, 称 为显函数.
对于方 4x程 y3=1也可以确定一个函数, 因为当 变量 x在(,)内任取一个 变值 量y， 都有唯一确 定的值与之对应 . 这个函数称为由 4x方 y程 3 =1 确定的隐函数 .
(2)隐函数:若变量y与x之间的函数关系是由某一个 方程 F(x, y) = 0 所确定,那么这种函数称为由方程
解 等式两边取自然对数得 ln y=x la ntra x cn 上式两边 x求 对导:
(l y ) n = (x la n tra x ) c n
1 y
y
=ln artc axn x 1 arctan x
1
1 x
2
y=yln arcxta(1n x2)x arcxtan
y=(arx c )x tln an rc x t(1 a x n 2)x arc x tan
2
2
法线方程为 ya=xap21即yxa2p=0
练习
1. 求下列参数方程所确定的函数的导数 dy 和 d 2 y dx dx2
(1) x y= =a bc siottns(0t2p)
注意：
d d
2y 2x
(bcott) a
答案 dy=bcot,t dx a
dd22xy =a2sbin3t
(2)yx==ccooss2tt
= 2
处的切线方程
和法线方程
解 由参数方程的求导方法 , 得
dy dx
=
a(1 a(t
cost) sint)
= sint 1 cos t
=
cot
t 2
当 t = p 时 , x=a(p 1) y= a 摆线上点
2
2
切a线(p2方程1)为,ay处a切=线x斜率a为pk1= 即 ddxy yt = p2 =xc otap2t t =p22=a1=0
例如, 由参数方程
x = R cos t
y
=
R sin t
(0 t < 2p)
所确定的函数是 x2 y2 = R2 , 这表明由参数方程可
以确定函数.
一般地
,
如果
参数方程
x y
= =
(t) (t)
(t)
确定了 y 是 x 的函数 y = f ( x) , 则称此函数为由参数
方程所确定的函数.下面讨论参数方程的求导法.