本讲目的晶体周期性结构及其数学描写-FudanUniversity
晶体结构的周期性和点阵
返回
§1·2 空间点阵
平移满足群的定义，这个群称之为平移群。
证明：(I) 封闭性，TiTj=Tk (II) 主操作，T1存在 (III) 逆操作，Ti的逆操作T-i也存在 (IV)结合律，(TiTj)Tk=Ti(TjTk)
上一内容 下一内容 回主目录
返回
§1·2 空间点阵
点阵
– 直线点阵 – 平面点阵 – 空间点阵
上一内容 下一内容 回主目录
返回
§1·2 空间点阵
归结为两类： 素单位：每个单位中包含一个点阵点者 复单位：每个单位中包含2个或2个以上的点阵点。
设构成素单位两边的向量为a, b, c，空间点阵对 应的平移群为 Tmnp=ma + nb +pc (m,n,p = 0,±1,±2,…)
上一内容 下一内容 回主目录
如：H2O 的C2v群是阿贝尔群——它的群表相对于主 对角线是对称的.
NH3 的C3v群则是非对易群——它的群表对于主 对角线不对称.
上一内容 下一内容 回主目录
返回
§1·2 空间点阵
4. 群的阶和子群 群的阶——群中元素得数目 C2v: 四阶群； C3v: 六阶群 子群——群中所包含的小群
2. 群的举例 G={i, -1, -i, +1} 其中i= 1
封闭性：群中任两元素相乘必是群元素之一
结合律：i(-1)(-i)=i[(-1)(-i)]=-1
单位元素： +1
逆元素：i (-i) (-1) (-1) (+1) (+1)
上一内容 下一内容 回主目录
返回
§1·2 空间点阵
3. 对易群(阿贝尔群) 群中所有元素的乘积均满足交换律, 即AB=BA
晶体的结构的周期性1讲解
v a1 (a2 a3 )
等于晶体中每个格点平均所占据的体积。 —— 原胞是体积最小的结构单元。
2、 维格纳 – 赛茨原胞： 原胞的选取不是唯一的，也不一定是平行六面体， 只要求它是体积最小的结构单元即可。
以任意格点为中心作它与最近邻（有时也包括次近邻等 各格点）连线的垂直平分面，由这些面所围成的最小的封闭 多面体，也满足原胞的要求。 —— 维格纳 – 赛茨原胞。 ① 每个维格纳 – 赛茨原胞只含一个格点且位于原胞中心。 ② 维格纳 – 赛茨原胞外形的对称性高于平行六面体原胞。 它是一种对称性原胞，它具有晶体所属点阵点群的全部对称性。 一切保持点阵不变的旋转、 反映和反演操作都将保持 W-S原胞不变。
具有NaCl 结构的化合物如：LiF、LiCl、NaF、NaBr、 MgO、CaO、BaO、MnO、FeO、NiO 等。
2、CsCl 结构： CsCl结构是由两个简立方的子晶格彼此沿立方体空间对 角线位移1／2 的长度套构而成。
基元：取相邻的一对Cs+和Cl-作为组成CsCl晶体的基元。 结点：取基元中的Cs+所在的点为结点。显然这些基元的代表 点（即结点）构成的是简单立方的晶格 具有CsCl 结构的化合物如：CsBr、CsI、TlCl、TlBr 等。
原胞体积
=
a3
0.5a3
= 2 = 晶胞中所包含的格点数
(3) 面心立方的晶胞与原胞:
关于晶胞：
a ˆ ˆ a1 ( j k ) 2 ˆ k 基矢 a ˆ ˆ a2 (i k ) a a2 1 2 a ˆ ˆ ˆ j a a ( i j ) 3 原胞体积 3 2 ˆ i 1 3 v0 a1 (a2 a3 ) a 面心立方的晶胞与原胞 4
复旦大学高等结构分析X-ray单晶
衍射仪的基本结构
19
X射线管如何工作？
water
X-rays
electrons
cathode
Filament
20
Mo靶的特征X射线
21
衍射仪的种类
四圆单晶衍射仪
面探测器单晶衍射仪
22
四圆单晶衍射仪数据收集过程
• • • • • 安置单晶于测角仪上，对心于衍射仪中心 确定晶胞参数和方位矩阵 确定晶系和劳埃对称性 确定衍射数据收集的独立区 收集衍射强度数据
空间群可以明确说明一种晶体可能具有的 对称元素种类和这些元素在晶胞中的位置。
7
晶体结构=结构基元+点阵
2d hkl sin n
8
测 定 衍 晶 射 测 结 结 体 定 胞 数 果 构 参 的 结 据 衍 模 选 构 的 射 数 解 型 择 强 与 解 还 释 的 基 与 析 原 度 精 安 与 数 本 表 修 置 据 对 校 达 称 正 性
Diamond
Diamond
单晶结构分析程序简介
之程序包
Oscail-X
58
WinGX
59
X射线单晶体衍射资源
晶体学信息文件-CIF
• 定义：是一种用于计算机传输的晶体学档 案文件，属于自由格式，有一定的弹性， 可供人和计算机阅读。 • 内容：晶体结构测量过程的方法与参数； 化合物分子式、晶胞参数、空间群 全部原子坐标及其原子位移参数； 精修结果的有关参数； 其他信息如二面角，氢键等
23
面探测器衍射仪与数据收集
• 晶体与探测器间的距离d 50~60mm • 扫描角度 0.5~1 • 准直器与晶体大小 0.3mm or 0.5mm • 曝光时间：5~10s • 收集数据范围 半球以上
固体物理：1_2 晶格的周期性(periodicity)
东北师范大学物理学院
1 – 2 晶格的周期性
第一章 晶体的结构
布拉伐格子(Bravais lattice)
晶格周期性的数学描述
简单晶格，任一原子A的位矢 Rl l1a1 l2 a2 l3a3
Rl 2a1 3a23
Rl 3a1 a2 a3
东北师范大学物理学院
1 – 2 晶格的周期性
（5）简立方、体心立方、面心立方的晶胞
与原胞的体积之比
东北师范大学物理学院
第一章 晶体的结构
二维三角晶格
东北师范大学物理学院
1 – 2 晶格的周期性
第一章 晶体的结构
关于晶胞选取 晶胞有时是原胞，有时不是原胞； 各种不同结构格子的原胞与晶胞的选取有统一的规定。
东北师范大学物理学院
1 – 2 晶格的周期性
第一章 晶体的结构
原胞与晶胞的区别与联系
原胞
晶胞
晶格中体积最小的周期单元 体积较大的周期单元
东北师范大学物理学院
1 – 2 晶格的周期性
第一章 晶体的结构
k 简立方、体心立方和面心立方晶格的原胞和基矢
j
i
v0 a3 / 2
v0 a3
简立方结构原胞
a1
=ai
a2 =aj
a3=ak
v0 a3
体心立方原胞
面心立方原胞
a1 =a/2( i j k ) a2 =a/2( i j k )
每个原胞平均不只含
一用个a格, b点, c，来其表基示矢；常
东北师范大学物理学院
1 – 2 晶格的周期性
第一章 晶体的结构
维格纳-赛茨原胞 (Wingner-Seitz)
定义：由某一个格点为中心，做出最近各点和次近 各点的连线的中垂面，这些面所包围的封闭空间称 为维格纳-赛茨原胞。
复旦固体物理讲义-16空晶格模型—_能带概念
10.107.0.68/~jgche/
空晶格模型 能带概念
4
1、空晶格模型
• 假定
V (r R ) V (r )
• 即仍然具有周期性势，但
V 0
• 思考：与自由电子气有无关系、异同？
2 n (k , r ) En k n (k , r ), 仍用原子单位
——方程的解是否相同？ ——边界条件是否相同？
10.107.0.68/~jgche/
空晶格模型 能带概念
m k a
7
广延区图
E (k ) k
2
空晶格布里渊区？
4
3
2 1
a
2
3
4
10.107.0.68/~jgche/ 空晶格模型 能带概念
a
8
4
4
2 k m k a
2 En k E m k a
* 简并打开 * 打开的宽度，定量计算（微扰法）
a
13
4
3
2 1
10.107.0.68/~jgche/ 空晶格模型 能带概念
a
微扰法能隙
• 空晶格零级近似能带
* 微扰
芯区外电子受 Z d 到势 ~ r
• 回顾Sommerfeld模型
* 把价电子处理成自由电子气，如何 处理离子实？ 正电背景：均匀分布保持电中性
2 2
动能
24
10.107.0.68/~jgche/
空晶格模型 能带概念
令 0
E Tn V ( n )
n k E Tn V ( n ) a n k' E Tn V ( n ) a
复旦固体物理讲义-12晶体结构衍射理论
• 满足衍射条件是不是一定看得到光斑？
* Bragg条件和von Laue方程仅给出衍射极大的条件
http://10.107.0.68/~jgche/ 晶体结构衍射理论
14
3、散射强度和结构因子
• 衍射束(光斑)的强度由什么来决定？ • von Laue方程也给出了物理原因：受电子散射
e
i K k ' k r
i k ' r
(r ) K eiK r
F (K )e
dr
1 iK r K V ( r ) e dr • 电子密度的傅立叶分量
k 'k K
F V (K )
S K (r )e iK r dr
* 衍射强度由此得到 * X射线与晶体的相互作用，实际上是晶体中每个原 子中电子分布对X射线的散射 * Bravais格子的结构决定了衍射极大的条件
• 一个原子中所有电子对X射线的散射总和可以 归结为以这个原子为中心的散射
http://10.107.0.68/~jgche/
晶体结构衍射理论
15
• 晶胞内原子具体位置决定了散射的位相（热振 动对此有影响）——几何结构因子 • 每个原子中电子的数目和分布决定了该原子的 散射能力——原子形成因子
http://10.107.0.68/~jgche/ 晶体结构衍射理论
12
讨论：布里渊区边界？
• 点是倒格点，改 写von Laue公式
K K k 2 2
2
KC 2 KD 2
• 从原点出发到 Brillioun区边界面 上的任何矢量都 满足衍射条件！
k1
k2
http://10.107.0.68/~jgche/
固体物理CH1-1 晶体结构的周期性
特征：
● 不一定是最小重复单元 （图E，书中图1.5）
● 可能含有多个格点，其数目=原胞体积的整数倍, 书中图1.5 : 4
Wigner-Seitz原胞（书中p4，图1.3）
概念：既反映平移不变的周期性，又反映旋转对称性的最小
重复单元 特征： ● 最近邻格点垂直平分面（线）的包络─不在格点上 （图 b） ● 仅含一个格点
二. 微结构整体几何描述之一─空间点阵
Po,NaCl, YBa2Cu3O7, ABO3, A2B2O7 Why 引入：晶体千千万万，一一描述 繁、难 引入抽象，便于分析归类观念 找出同一类的通性 How引入：基本的两个问题： 由什么组成、 如何组成
1. 基元（basis）：
晶体中由一种或数种粒子组成的最小重复单元
原胞 ： 一个原子加上原子周围长度为a的区域 [图（b）]
例1(b)：一维复式格子：以两种原子说明，设A、B两种原子组成的无限 周期性点列，所有A原子形成一个子晶格，所有
B原子也形成一个子晶格
原胞： 两种选法，包含两个原子
例2：二维格子的原胞
以任一结点为顶点，两个独立 方向上（不共线）最小周期边 长所围成的平行四边形
|ai|≠1
晶胞基矢：
概念： 支撑起晶胞的n个独立矢量：(a, b, c)
特征：
基矢 与晶轴同向
= a•(b x c)
例1: 一维格子
布喇菲格子
基矢 : a
复式格子：
基矢 : a
例2：二维格子的基矢
支撑起原胞的n个独立矢量
面心与体心立方的原胞和晶胞基矢
基矢的起点与终点一般选在格点上
原胞
ai 不一定是单位矢量 ai 1 a (a a ) 1 2 3
复旦大学材料物理第6课
第6课 热膨胀如果晶体中的振动是严格的简谐振动，晶体将不会因受热而膨胀。
这里只以双原子分子为例，定性地讨论热膨胀问题，所得结果可以直接应用于一维品格。
如图7．5．1所示，假定左边的原子固定不动，而右边的原于可以自由地振动。
如果势能曲线对原子的平衡位置对称，则当原子振动后，其平均位置将和振幅的大小无关，如果这种振动就是热振动，则两原子间的距离将和温度无关。
实际上，两原子之间的互作用势能曲线并不是严格的抛物线，而是不对称的复杂函数，如图7．5．1中的实曲线所示。
平衡位置的左边较陡，右边较平滑，因此当原子振动后，随着振幅(或总能量)的增加，平均位置将向右边移动。
例如，当振动的总能量为某一个E l 时，平均位置移至p 1。
与各个能量相应的平均位置如图7．5．I 中的AB 曲线所示。
物体的热膨胀就是由于势能曲线的这种不对称性所导致。
可以用经典的方法计算平均位置向右边移动的距离。
设r 0是原子的平衡位置，δ是离开平衡位置的位移。
把原子在r 0十δ点的势能u(r 0十δ)对平衡位置r 0展开，则0002323002311()()()()()......2!3!r r r U U U U r U r r r rδδδδ∂∂∂+=++++∂∂∂右边第一项是常数，可令之为0；0()0r Ur ∂=∂；令 0022331();2!1()3!r r U f r Ug r∂=∂∂-=∂ 忽略δ的高次项，有230()U r f g δδδ+=-根据玻耳兹曼统计，位移平均值可表为//BB U k T U k Te d ed δδδδ∞--∞∞--∞=⎰⎰如果在势能的展开式中只保留2δ项．即假定力是准弹性的，振动是简谐振动，则0δ=，即原子的平均位置和平衡位置相同，原子间的平均距离没有发生改变，即没有热膨胀现象发生。
如果计入非对称项3δ，则0δ≠。
设δ很小，则上式中的分子、分母部分可分别写成：23223/()//344/2(1)())B B B B U k Tf g k Tf k TB f k TB B B g ed ed ed k Tk T g g e d k T k T fδδδδδδδδδδδδδδ∞∞∞-----∞-∞-∞∞--∞≈≈+==⎰⎰⎰⎰与21//2()B B U k Tf k TB k Ted ed fδπδδ∞∞---∞-∞==⎰⎰【注意：23/()0B f k TB g ed k Tδδδ∞--∞=⎰！因为被积函数是个奇函数。
晶体结构的周期性是如何描述的
cP
hexagonal (R)
a = b c, a = ß= 90o, g = 120o
晶体点阵结构理论
四方 tetragonal (P I) a = b c, a = ß= g = 90o
c a a
tP
tI
P-简单(Primitive) I-体心(Body centred) F-面心(All-face centred)
结构化学
晶体结构的周期性是如何描述的
目录
什么是晶体的周期性 晶体点阵结构理论发展的历史
晶体点阵结构理论
什么是晶体的周期性
晶体是由原子、离子、分子或基团在空间按一定规 律周期性地重复排列形成的固体物质。
晶体最突出的特征是晶体内原子、分子等微粒在所 占有的空间中作周期排列。晶体结构的周期性可抽象成 为一个数学上的点阵，所以首先需要确定晶体中重复出 现的最小单元，作为结构基元，不同晶体的结构基元复 杂程度差别很大，对于指定的一种晶体，各个结构基元 在化学组成、空间结构、排列取向、周围环境4个方面 都必须完全相同，将每个结构基元用一个几何上的点来 代表，称为点阵点、阵点或结点，于是，整个晶体就被 抽象成一组点，称为点阵。
3、平面点阵中的素单位和复单位 净含一个点阵点的空间点阵单位是素单位，取法有无限多 种，体积都相同；净含多于一个点阵点的空间点阵单位是复单
位，取法也有无限多种。所以需要规定一种正当空间单位。 正当空间单位的标准:（次序不能颠倒）
1. 与空间点阵对称性一致的平行六面体 2. 直角数目尽可能多 3. 包含点阵点数目尽可能少（即体积尽可能小） 正当空间单位有6种形状，14种型式
每个结构基元内容：
2C，4H
a
结构基元的重复周期： a
复旦大学材料物理第4课
第4课位错的概念：在晶体中，位错概念是从诠释实际晶体易于塑性形变（范性形变）的内在原因而引人的。
简单的理论计算表明，理想完整晶体中要使晶面间作整体的相对滑动，从而实现晶体的塑性形变，大约需要高达切变模量的l／10，即G/10的外切应力．这在实践过程中是不太可能的。
于是人们设想了位错模型，在位错中从现有的位置移动到相邻的类同位置，只需少数原子作一些位置调整，位错连续作这样的移动并扫过整个晶体，则完成整个晶面问的相对滑动，最终实现塑性形变。
这一过程只需甚小的外切应力，在塑性较好的金属材料中，实测的临界切应力与对含位错晶体的理论计算值是相当接近的，仅为10-4～l0-5G上下。
线缺陷：位错如果晶体中原干排列周期性的破坏，集中于某条线周围，那么这种缺陷称为线缺陷，如果将原子在晶体中排列设想为一层层的结构，而在层与层的相砌过程中发生了如图3．2．1(a)所示的那种在某一层中少了半层原干的结构，这种错排导致的晶体缺陷集中在中断原子面的刃口处，所以称之为刃位错。
也可能发生如图3．2．1(b)那样的错排，此时，再绕轴线一周原子面上开一个晶面间距，而晶格缺陷集中于轴线附近构成另一种线缺陷，称为螺位错。
最初位错概念是为了说明机械强度提出的，但是后来人们发现，它影响着晶体的力学，电学，光学等方面的性质，并且直接关系到晶体的生长过程。
对于刃位错，位错线与运动方向相垂直，而在螺位错的情况下，两者相互平行。
刃位错的表示：⊥位错环1 空穴导入型：2 间隙原子导入型：伯格斯（Burgers）矢量柏掐斯矢量可以用柏格斯回路法来确定。
具体做法是：在含位错的晶体中．取远离位错线的一阵点作为起点，绕着位错线按右手螺旋法则连接相邻的原于作一远离位错线的闭合回路；再在完整晶体中如固5-4(b)、(d)所示以任一阵点为起点，以类同的方法作回路，此回路将不闭合。
则后者由回路终点指向起点的差距矢量就定义为该位错的柏格斯矢量b。
易知，这相当于图中的FS矢量。
复旦大学材料物理第3课
第3课晶体的宏观对称性——32种点群晶体的外形是一个有限的多面体，各个晶面外形具有一定的对称性；例如，由两个简单立方格子套合而成购NaCl 立方结构晶体，沿它的中心轴旋转90。
，结果晶体的各晶面仍旧回复到原来位置，这就是晶体的对称性。
而这种能使晶体各晶面仍回到原来位置的操作称为对称操作。
事实上人们对晶体内部结构的认识就来源于对外形对称性的研究，经过百亲年对大量晶体进行测角与投影研究，归结出晶体存在32种典型的对称类型，1891年费多洛夫、熊夫利斯和巴罗独立地发表了空间群理论，充实了空间点阵学说，形成了晶体结构的几何理论。
X 射线的发现使人们有了研究晶体内部结构的工具。
这些研究的结果证实了上述理论的正确性。
群的定义关于群的数学定义：操作的一个集合，如果有而且只有以下四个条件被满足，它就构成一个群：(i) 任意两个操作的积还是集合内的一个操作（封闭性）；(ii) 集合内有一个恒等操作1(E)；(iii) 每一个操作R 都有一个逆操作R -1，使得RR －1＝1(E)；(iv) 操作的乘法满足结合律。
群的元素个数定义为群的阶，可以用h 来表示。
点对称操作：在操作过程中保持空间有一个不动点的对称操作。
对于晶体而言，点对称操作有下列元素：(i) 恒等操作（1，E ）； (ii) 旋转操作（n ， 360/n ）；对于晶体，n=2,3,4,6 （n=1就是恒等操作）旋转和对称轴晶体若绕某轴旋转360/(1,2,3,......)nn α==后，所得的结果是各晶面仍旧间复到原来位置，那么称此晶体具有n 次对称轴，并用n 表示，而旋转操作表示为()L α，这里α是旋转角度，由于宏观对称性是受到微观周期性的制约和影响，所以晶体的宏观对称元素不是任意的，对于旋转对称只可能存在1，2，3．4和6等五种，5及比6更大的对称轴是不存在的，在图形上分别用？？？？？？等符号来标记2,3,4,6如图2．6．1所示。
通常在晶体对称轴中，轴次最高的称主对称轴，简称主轴(但立方晶系则以3次轴为主轴)，其他对称轴称为副对称轴．简称副轴。
复旦大学材料物理第2课讲解
金属键金属键在本质上和共价键有类似的地方，但是其外层电子比共价键更公有化，电子自由游移于正离子之间，遍及整个晶体，构成近自由电子这就像是正离子浸在近自由电子的海洋之中。
金属键和共价键最明显的区别就是金属短缺乏方向性和饱和性。
金属键的外层电子的波函数互相重叠，这样就使孤立的能级逐步变成一个共有电子的能带。
按照泡利不相容原理，能带从底部填起．一直填到费米能级为止。
有关金属键的较严密解释需借助于以后将要讨论的固体能带理论，但也可能较直观的将金属键看作是多原子共价键的极限情况。
以Na金属为例：金属晶体金属键由数日众多的s轨道所组成，s轨道没有方向性，它可以在任何方向和相邻原干的s轨道重叠，同时相邻原子的数目除了空间因素外别无其他限制，所以金属键没有方向性和饱和性，为了使各个s轨道最大程度的重叠．金属离子应按最紧密的方式堆积才能使金属结构最稳定。
金属正离子可以视为圆球，一个圆球周围最靠近的圆球数叫做配位数。
如同离子晶体那样，金属正离子的密堆积也有以AB形式及ABC形式重叠的密堆积两种。
从AB形式密堆积中可以取出一个六方品胞如图1．5．2(a)所示，称为六方密堆积(用符号A3表示)o而从ABC形式密堆积中可以取出一个面心立方晶胞如图1．5．2(b)所示，故称为立方密堆积，记作符号A1。
金属元素还有第三种常见的结构，即立方体心排列结构(见图1．5．2(c))，其中每个原子被8个位于立方体顶点上的近邻原子所包围，此外每个原子还有另外稍远—点的6个近邻原子(其他6个体心立方体中6个体心原子)。
体心立方结构的堆积密度与密堆积结构的堆积密度差别不大，常用符号A2来表示体心立方结构。
六方密堆积的空间占有率为74％，体心立方的为68％（习题）。
合金结构：合金是指两种或两种以上的金属(也包括有非金属元素)经过熔合过程而得到的宏观均匀体系。
合金的种类很多，从结构上来看，可以分为：1.金属固溶体2.金属（间）化合物固溶体：是指两种或两种以上的固体物质完全混溶后所形成的新的固态物质，可分为：i.置换固溶体：两种金属元素A和B可以形成置换固溶体。
晶体的结构的周期性2概述
正交晶系
c
面
心
ab
简 单
c aa1 312a02°
六方晶系
简 单a
简c 单
c b
a
三角晶系
c体
心
b
b a
四方晶系
简
体
单
心
面 心
铁 , 铬 , 钒 , 钨 , 钼
立方晶系
铁 , 铝 , 铜 , 镍 , 铅
五、对称性破缺（symmetry breaking ）：
1、晶体的出现是对称性破缺的结果： 晶体是从液体或气体经相变而产生的。 物质的气相与液相是一种均匀的高度对称的无序相。 它对任意的平移或转动均保持不变。 而对晶体，由于其原子的排列具有周期性，也具有一定 的平移对称性，但这种平移对称性与气体或液体的平移对称 性相比，使晶体保持不变的平移不再是任意的。它要求向某 方向的平移不能小于该方向的格点周期，否则晶格就不能自 身重合。所以，晶体的对称性要比气态与液态物质的对称性 低。同样的道理，晶体的转动对称性也要比气态与液态物质 的转动对称性低。
而对称性的高低是指：相对而言所含对称元素的多少。 即：对相对含有较多对称元素的系统，我们就说它的对称 性比较高。
如果在相对来讲具有较高对称性的相中某一对称元素突 然消失，这就会导致具有较低对称性的相出现，于是就发生 了相变。因此，一种有序相的出现总是与某种对称性破缺相 联系。
只有对称性破缺才能显示物质世界的多样性与各自的特 殊性。对称破缺是一个很重要的具有普遍意义的概念。
原来具有较高对称性的系统出现不对称因素，使其对称 程度降低的这种现象叫做对称性破缺。
所以，可认为晶体的出现是对称性破缺的结果。
2、对称性破缺与相变： 对称破缺的概念是 1937 年 Landau 在其二级相变的理论
1-2第二章晶体结构之一：周期性
第二章晶体结构一、教学要求（1）内容提要：物质通常有三种聚集状态：气态、液态和固态。
而按照原子（或分子）排列的规律性又可将固态物质分为两大类，晶体和非晶体。
晶体中的原子在空间呈有规则的周期性重复排列；而非晶体的原子则是无规则排列的。
原子排列在决定固态材料的组织和性能中起着极重要的作用。
金属、陶瓷和高分子的一系列特性都和其原子的排列密切相关。
一种物质是否以晶体或以非晶体形式出现，还需视外部环境条件和加工制备方法而定，晶态与非晶态往往是可以互相转化的。
本章主要内容包括：：晶体学基础；金属的晶体结构；合金相结构；离子晶体结构；共价晶体结构；聚合物的晶态结构；非晶态结构。
（2）基本要求掌握晶体的空间点阵、晶胞、晶向和晶面指数、晶体的对称性等结晶学基础知识，了解32种点群和230种空间群等；掌握三种典型的金属晶体结构、合金相结构、离子晶体结构和硅酸盐晶体结构，了解共价晶体结构和分子与高分子晶体结构。
（3）重点难点重点：结晶学基本原理及典型的金属晶体、合金相、离子晶体结构。
难点：空间点阵、非化学计量化合物和鲍林规则。
（4）主讲内容①晶体学基础；②金属的晶体结构；③合金相结构；④离子晶体结构；⑤共价晶体结构；⑥聚合物晶体结构。
二、具体章节及学时分配（总计22.0h）：2009-3-2,2009-9-1，2011.03.27引言——晶体的结构特征与基本性质（1.0h）2.1晶体结构的周期性（4.0-6.0h）2.2.1点阵与平移群一、点阵结构与点阵（1）一维点阵结构与直线点阵；（2）二维点阵结构与平面点阵（3）三维点阵结构与空间点阵二、点阵的条件与性质（1）定义；（2）条件；（3）点阵与点阵结构的对应关系。
2.2.2点阵单位与点阵参量一、点阵单位与点阵常数（1）直线点阵单位与线段参数（2）平面点阵单位与网格参数（3）空间点阵单位与晶胞参数二、其他晶体结构参数（1）（原子）阵点坐标与原子间距；（2）晶向（直线点阵）指数（3）晶面（平面点阵）指数；（4）晶面间距与晶面夹角（5）晶带与晶带定律三、极射投影*2.2.3 倒易点阵与晶体衍射*2.2晶体结构的对称性（4.0h）2.3.1对称性的基本概念——对称及其对称元素与对称操作2.3.2宏观对称性—晶体外形（有限）表现的对称性—点对称性一、点对称操作与宏观对称元素；二、点群及其表示方法——32个点群（晶类）；三、晶系与空间点阵型式——7种晶系与14种布拉菲点阵2.3.3微观称对性—晶格基元（无限）排列的对称性—体对称性一、空间对称操作与微观对称元素；二、空间群及其表示方法；三、等效点系——2.3.4点群与空间群的关系2.3.4 晶体结构符号2.3典型晶体结构分析（8.0h）2.3.1金属晶体结构2.3.2共价晶体结构2.3.3离子晶体结构2.3.4分子晶体结构2.3.5高分子(晶体)结构2.4 合金相结构引言——晶体的结构特征与基本性质晶体与非晶体的区别，主要在于组成物质的各种粒子（原子、离子或分子及其集团）具有在空间按一定周期性排列的规律，即所谓的“长程有序”（周期平移有序）。
晶体的结构的周期性1讲解
体心立方情况下的维格纳 —塞茨原胞：
原点和8个近邻格点连线的 垂直平分面围成的正八面体， 和沿立方轴的6个次近邻格点连 线的垂直平分面割去八面体的 六个角，形成的14面体
八个面是正六边形， 六个面是正四边形
3、晶胞： 周期性和对称性是晶体结构的两大特点，原胞能很好
的描述晶体结构的周期性，但有时不能兼顾对称性
2、 维格纳 – 赛茨原胞：
原胞的选取不是唯一的，也不一定是平行六面体， 只要求它是体积最小的结构单元即可。
以任意格点为中心作它与最近邻（有时也包括次近邻等 各格点）连线的垂直平分面，由这些面所围成的最小的封闭 多面体，也满足原胞的要求。
—— 维格纳 – 赛茨原胞。 ① 每个维格纳 – 赛茨原胞只含一个格点且位于原胞中心。
又称为晶格平移矢量，R的端点就是格点。——晶格平移矢
量所决定的晶格就是布喇菲晶格。
② 基矢：a1、a2、a3 称为 基矢（初基平移矢量）。必须
指出：对同一种晶格基矢的选 取并不是唯一的。
三、原胞与晶胞：
1、体，作为周 期性晶格的结构单元，这样的结构单元称为原胞。
③ 结点与空间点阵 ： 表示晶体基元质心所在位置 的点 ------ 结点 , 结点的总体被称为空间点阵。
基元与结点示意图
2、布喇菲晶格：
结点的总体称为布喇菲点阵或布喇菲晶格 ，它可以反 映晶体结构的几何性质。
① 布喇菲晶格的判断标准：在布喇菲晶格中，每个格 点在几何上必定是完全等价的 ，这是判断一个晶格是否为 布喇菲晶格的标准。
② 维格纳 – 赛茨原胞外形的对称性高于平行六面体原胞。 它是一种对称性原胞，它 具有晶体所属点阵点群的全部对称性 。 一切保持点阵不变的旋转、 反映和反演操作都将保持 W-S 原胞不变。
ssp-01-晶体结构(上)-2017
第一讲_晶体结构上 —— 固体物理
理想晶体 —— 内在结构完全规则的固体叫做完整晶体 实际晶体 —— 固体中或多或少地存在有不规则性，在规则 排列的背景中尚存在微量不规则性的晶体
第一讲_晶体结构上 —— 固体物理
二
固体物理的学科领域
—— 高纯度的完整晶体，杂质、缺陷对金属、半导体 电介质、磁性材料以及其它固体材料性能的影响 —— 一般条件下金属、半导体、电介质、磁性物质、 发光等材料的各种性质 —— 强磁场、强辐射、超高压、极低温等特殊条件下 材料表现出的各种现象
2. 复式晶体结构
——简单晶体结构的基元中只有一个原子。复式晶体结构的基元 中包含两个或更多的原子。它们可以是相同的原子也可以是不同 的原子。
1) 不同原子或离子构成的晶体
NaCl 、 CsCl 、ZnS等
第一讲_晶体结构上 —— 固体物理
2) 相同原子但几何位置不等价的原子构成的晶体
金刚石结构的C、Si、Ge 六角密排结构Be、Mg、Zn
固体物理
Soid State Physics
• 学时: 48 • 课程属性：专业基础课(必修) • 任课教师：李丹，办公室在7409, danli@ • 上课时间：星期一14:10 ~ 16:00、星期三14:10~16:00 • 上课地点: YF205、 YF411
第一讲_晶体结构上 —— 固体物理
2017课程时间安排
Feb. 27 Mar. 15 Apr. 3 Mar. 1 Mar. 20 Apr. 5 Mar. 6 Mar. 8 Mar. 13 Mar. 22 Mar. 27 Mar. 29 Apr. 10 Apr. 12 Apr. 17
Apr. 19
May.8
Apr. 24
01_02晶格的周期性
a1 , a2 , a3
§1-2晶格的周期性 —— 晶体结构
单胞(晶胞） —— 为了反映晶格的对称性 常取最小重复单元的几倍作为重复单元
单胞的边在晶轴方向，边长等于该方向上的一个周期 单胞的基矢—— 单胞三个边的矢量
单胞基矢
a, b , c
§1-2晶格的周期性 —— 晶体结构
一些情况下 —— 单胞就是原胞 一些情况下 —— 单胞不是原胞 简单立方 — 单胞是原胞 面心立方 — 单胞不是原胞
§1-2晶格的周期性 —— 晶体结构
1 3 a 4
—— 原胞中只包含一个原子
§1-2晶格的周期性 —— 晶体结构
3) 体心立方晶格
由立方体的中心到三个顶点引三个基矢
a1 (a / 2)( i j k )
基矢 a2 ( a / 2)(i j k )
a3 (a / 2)(i j k )
原胞体积 v0 a1 (a2 a3 )
3
—— 原胞中只包含一个原子
§1-2晶格的周期性 —— 晶体结构
2) 面心立方晶格 立方体的顶点到三个近邻的面心引三个基矢
a1 (a / 2)( j k )
基矢 a2 ( a / 2)( k i )
a3 (a / 2)(i j )
原胞体积 v0 a1 (a2 a3 )
§1-2晶格的周期性 —— 晶体结构
3) 复式格子的特点：不同等价原子各自构成相同的简单晶格 复式格子由它们的子晶格相套而成
NaCl晶格 —— Na+和Cl－各有一个相同的面心立方晶格
§1-2晶格的周期性 —— 晶体结构
CsCl的复式晶格 —— CsCl结构是由两个简立方的子晶格彼此沿立方体空间 对角线位移1／2 的长度套构而成
2.2晶格的特征和周期性
在晶体学中人们已经对各种类型的布拉维格子 选取原胞和晶胞的方式作了统一的规定。 我们已知，对于某些晶体，尽管构成这些晶 体的原子、离子或分子各异，只要这些晶体之 间原子、离子或分子的规则排列方式相同，我 们就说它们具有相同的晶体结构。 文献中经常出现一些晶体结构的符号表示， 比如对于元素晶体（或单质晶体）常用符号An 表示，二元化合物晶体则用Bn(AB型化合物)或 Cn(AB2型或A2B型化合物)表示等。为此，在下 面晶格实例中按照这些符号进行排序。
第二节
主要内容：
晶格的特征与周期性
一、 空间点阵和布拉维格子 二、 原胞和晶胞 三、 一些单质和化合物晶体的结构 四、配位数、致密度和密堆积 五、晶列、晶面和它们的表征
§2.2 晶格的特征与周期性
一、 ห้องสมุดไป่ตู้间点阵和布拉维格子 1.晶体结构
理想晶体是由完全相同的基本结构单元（原子、离 子或分子等）在三维空间中有规则排列而构成的，这 种规则排列的方式称为晶体结构。 不同晶体的这种规则排列方式可能不同，我们就说 它们的晶体结构不同。 有些晶体,尽管构成这些晶体的原子、离子或分子各 异（如：Cu、Ag、Au、Al晶体等）,可是这些晶体之 间原子、离子或分子的规则排列方式相同,只是原子、 离子或分子之间的间距不同,这时我们就说它们具有相 同的晶体结构。
几点说明： 1） 由定义可知,构成布拉维格子的所有格点 是完全等价的，所有的格点周围环境相同。 该特点也是判断某一格子是否为布拉维格子 的依据。 2）布拉维格子是一个无限延展的理想点阵， 它忽略了实际晶体中表面、结构缺陷的存在。 但是它反映了晶体所具有的平移对称性，即平 移任一格矢Rn，晶体保持不变的特性。 3）理想晶体结构可等价于布拉维格子加上基 元。 晶体结构=布拉维格子+基元
晶体的周期性
晶胞（惯用原胞、布拉菲原胞）：
为反映晶体的对称性，重复单元不一定取最小。
* 晶胞同时反映了晶体结构的周期性和对称性。
晶胞特点： [1]晶胞的选取反映晶体的对称性。 [2]晶胞中格点不仅出现在顶角上，还会出现在体心或者面心。 [3]晶胞体积为原胞体积的整数倍。 [4]每个晶胞中包含>=1个格点。
几种常见的晶胞
简立方晶胞（SC）
原胞体积=晶胞体积
体心立方晶胞（BCC）
晶胞体积 原胞体积
面心立方晶胞（FCC）
晶胞体积 原胞体积
六方晶胞（Hexagonal）
几种常见的晶体结构
CsCl
NaCl
金刚石结构（Si、Ge）
立方ZnS结构（闪锌矿）
六方ZnS、ZnO结构（纤维锌矿）
练习：
基元？ 点阵？ 原胞，基矢？
谢谢！
结束语
谢谢大家聆听！！！
21
按照空间点阵学说：晶体内部结构可以看成一些相同的点， 在空间做规则的周期性的无限排布。
晶体结构对称性
空间点阵对称性
空间点阵+基元=晶体结构
基元：晶体的基本结构单元。
（1）一个基元对应一个结点。 （2）基元的周围环境相同——等效性。 （3）基元内部是有结构的，可以由一种或者数种原子构成。
晶体结构
基元
向上的周期为边长的平行六面体。
原胞特点： [1]体积最小的重复单元。 [2]格点只出现在平行六面体顶角上，内部和面上都不包含格点。 [3]每个原胞平均包含一个格点。 [4]原胞的选择方式（形状）有多种，但是原胞的体积相等。
点阵中任意两格点之间的位置矢量：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
本讲目的：晶体周期性结构及其数学描写1.晶体中原子排列结构有何特征？2.如何描写这种原子排列？http://10.107.0.68/~jgche/晶格和基元1第6讲、晶格和基元1.为何要研究晶体中原子排列结构？2.晶体的结构特征3.晶格(=空间点阵=Bravais格子)4.基元(原胞、Wigner-Seitz原胞和晶胞)5.实战http://10.107.0.68/~jgche/晶格和基元21、为何要研究晶体中原子排列结构？*超高温、超高压下石墨 金刚石*金刚石：绝缘体，C-C键长=1.57A*石墨：良导体，C-C键长=1.42A#石墨：不同方向上电导率也相差很大，电导率各向异性#石墨是层状结构，纯净的石墨在平行和垂直层方向的电导率差五个量级•自由电子气模型根本无从描写电导率如此大的差异http://10.107.0.68/~jgche/晶格和基元3http://10.107.0.68/~jgche/晶格和基元4处理1029粒子数/立方米的需要！•自由电子气模型的局限使我们首先放弃自由电子近似*注意，对i, J 的求和是1029/m 3数量级•根据绝热近似先假定原子保持在平衡位置不动•如哈密顿满足平移不变性，1029就可办法处理*这可通过晶体中原子的位置理想化，并忽略缺陷和边界等达到。
原子排列将成无限扩展的、无边界的 理想晶体--=-J i R r V )(1H ˆ电子核电子∑--=-J i R r V ,0)(2H 核()()r R R r V R r Ji J J i J 核电子核电子核电子---=---=-∑H ˆ)(21H ˆ,0'00'http://10.107.0.68/~jgche/晶格和基元5J R 0"0'0J J J R R R +=•因为对理想晶体，求和是无限的，与先后次序无关，对哈密顿的要求转化为*即任何两个R 相加，一定等于第三个R#这即所谓的晶体结构的平移不变性→哈密顿的平移不变性*原子排列结构满足该条件→理想晶体#差别主要是：实际晶体有界，而理想晶体则无界•特别注意：这里R 还是原子坐标；在我们引入新概念格点——晶体基本结构单元的代表点——后，R 就是表示格点的位置矢量，称为格矢。
格矢则更具有普遍性（后面讨论）()()r R R r V R r Ji J J i J 核电子核电子核电子---=---=-∑H ˆ)(21H ˆ,0'00'2、晶体的结构特征•物理*固定熔点，长程有序，解理性•几何外型*凸多面体，晶棱平行，晶面夹角守恒http://10.107.0.68/~jgche/晶格和基元6http://10.107.0.68/~jgche/晶格和基元7例子：钇钡铜氧高温超导材料•如果要考虑电子与原子的相互作用，需要把原子的坐标位置表示出来•怎样描写原子排列最有效*当然完全可以按原子，一个个全写出它们的坐标*任何材料，每个原子的坐标肯定很少有相同的，即使相似结构，这样做显然是低效的http://10.107.0.68/~jgche/晶格和基元8以二维结构为例•思考：假定在A，B两种二维材料中，原子无限地排列成相似的矩形，交点可以想象成原子位置。
如何高效地描写所有这些原子的坐标？http://10.107.0.68/~jgche/晶格和基元9如何高效地描写所有这些原子的坐标•如果矩形中间还有另一种原子呢？*相似结构*每个原子http://10.107.0.68/~jgche/晶格和基元10规律？•如果写每个原子坐标的话就没有什么规律*不同材料中的原子有不同的坐标！写出每个原子的坐标显然是低效的*要找规律！观察•晶体可以按结构来区分*比如金、银、铜，虽然化学成分不同，如果不查究化学成分，即不管原子是金或银还是铜，不管原子之间间距的大小，那它们是完全相同的，就是它们的结构完全相同*这就是数学来抽象描写的依据：不区分物理、化学成分，每个原子都是不区分的，只有原子（数学上仅仅是一个几何点）的相对几何排列有意义*是一些结构完全相同的单元排列而成http://10.107.0.68/~jgche/晶格和基元11晶体的外形 对称性•晶体可以看作由全同的基本结构单元在空间有规则地重复排列而构成，这样的单元称为基元•外形与基本形状有一定的关系，形成一系列突多面体，比如可长成如下四个面http://10.107.0.68/~jgche/晶格和基元12外型的规则反映了内部原子排列有序•暴露在最外的面形状不同，即不同的晶面•也可长成另外的形状，但有规律•晶面夹角守恒http://10.107.0.68/~jgche/晶格和基元13http://10.107.0.68/~jgche/晶格和基元14基本重复单元（物理）几何结构（数学）晶体+=描写晶体结构的数学方式就是用几何点代表基元。
这种几何点的结构就是晶体结构。
比如金银铜的结构就完全相同数学上如何描写这样的晶体结构性质http://10.107.0.68/~jgche/晶格和基元15http://10.107.0.68/~jgche/晶格和基元163、晶格（空间点阵、Bravais 格子）•理想晶体：实际晶体的数学抽象(理想化)*以完全相同的基本结构单元(基元)规则地、重复地、以完全相同的方式无限地排列而成•格点(结点)：基元位置，代表基元的几何点•晶格：格点(结点)的总和*晶格也称为空间点阵和Bravais 格子*表示如用几何点来代表基元，那么几何点在空间排列成晶格(点阵、格子)，基元加在格点上形成晶体数学物理基元晶格晶体+=•晶格是晶体结构的数学表示，晶格中的每个格点代表基元。
不要和代表原子的小球混淆晶格（数学抽象）•定义：空间一组无限排列的点，从其中任一点上看去，它周围其他所有点的围绕方式都相同*数学表示：如果选择一组不共面的平移矢量(a1、a2和a3，也称为基矢)，那么用整数l1, l2, l3和基矢组成的矢量(也称为格矢)R l=l1a1+ l2a2+ l3a3*所给出的所有空间点的集合称为晶格，也可称为空间点阵(简称点阵)和Bravias格子(简称格子)•基矢可以有多种选择，一般选最短•特点：无限(无边界)离散的阵列*无论从这个阵列中的哪一地方去观察，其周围环境，即点的分布和排列方位都是完全相同的http://10.107.0.68/~jgche/晶格和基元17格矢的重要特点•任何一个格矢可由另两个格矢的和来表示R l=R m+R n•这总是成立的，因为任何一个格矢总是由三个, l2, l3和基矢的乘积构成，整数的和整数比如l1依然是整数•平移任一格矢，晶格保持不变，因此它必是无限伸展的http://10.107.0.68/~jgche/晶格和基元18基矢多重选择•只要能够通过平移所选择的基矢，表示所有的格点即可Pa2Q a1http://10.107.0.68/~jgche/晶格和基元194、基元(原胞、Wigner-Seitz原胞、晶胞)•格点代表基元，或者说基元数学上由格点代表*每个格点所代表的内容完全相同，即基元*千万别把原子当作格点，虽然有时它可以是格点•基元=完全相同的重复的基本结构单元*由一个或多个原子组成(一个时原子点可视作格点)•晶体=全同基元平移(没有转动)放在每个格点上*基元之间没有重叠地填满所有空间*基元填充后也没有剩余空间•平移实际已意味着每个基元全同，有两层含义*基元全同：基元内可有多个、多种原子*形状结构全同：单个原子时只有形状，无所谓结构；多个原子时，结构指原子互相之间的位置关系http://10.107.0.68/~jgche/晶格和基元20原胞•原胞：最小的基本结构(很多书上经常会出现：原胞内有且只有一个格点。
这完全是废话)——最小意味着不能再分。
当然只包含一个格点，格点是基元的代表点 那为什么这样说？——这是相对于晶胞来说的(以后会讲到)•用格矢平移原胞，将填满整个空间，没有任何空间遗漏，也没有任何空间重叠！——因为原胞就是基元•选取原胞的方法可以不只是一种，通常与基矢的选取有关(选表面积最小) ，但体积一定相同——因为它将填满整个空间http://10.107.0.68/~jgche/晶格和基元21原胞？小球是格点，别把小球当作原子，虽然它可以是原子！？http://10.107.0.68/~jgche/晶格和基元22原胞的多重选择？设问：有没有一种原胞，它的选取是唯一的？http://10.107.0.68/~jgche/晶格和基元23Wigner-Seitz原胞•以某个格点为中心，作其与邻近格点的中垂面，这些中垂面所包含最小体积的区域•对称性原胞，不依赖于基矢的选择，与相应的Bravais格子有完全相同的对称性http://10.107.0.68/~jgche/晶格和基元24•在实际研究工作中Wigner-Seitz原胞的选取原胞方法很少用*因为很少有需要，同时也不方便*很多时候，我们不必关心原胞边界在什么位置*这时是将基矢确定的平行六面体当作边界•有时，会有特殊的解能带理论所确定薛定谔方程方法，需要边界具有一定的对称性*比如为边界上波函数衔接方便，需要取这样的原胞*比如有一种方法叫原胞法，就是取这样的原胞•而确定原胞和选择基矢才是最重要的*原胞大，处理的原子数就多•倒格子中(晶格可称为正格子)，与W-S原胞对应的称为布里渊区，构造方法与W-S原胞相同 第8讲http://10.107.0.68/~jgche/晶格和基元25http://10.107.0.68/~jgche/晶格和基元26原胞体积a 1a 3a 2)(321a a a ⨯∙=Ω原胞内组分和结构•原胞内可只有一个原子，当然至少有一个原子•原胞内也可以有多个原子：如两个原子的金刚石•原胞内还可以有十几个、上百个、成千个原子，如碳管、生物晶体，等等http://10.107.0.68/~jgche/晶格和基元27http://10.107.0.68/~jgche/晶格和基元28高温超导材料YBaCuO 结构•钙钛矿结构变形，掺入一些其他元素•别把原子位置当格点晶胞•结晶学上用的基元：保持晶体宏观对称性•反映晶体宏观对称性*如果用原胞，不管怎么选取基矢，都不能正确反映晶体的对称性——原胞基矢只反映格子的对称性*当然有可能原胞等于晶胞，比如SC结构•晶胞包含整数倍的原胞（？）•晶胞的基矢常用a，b，c来表示•晶胞的别称*单胞、结晶学原胞、惯常原胞(conventional unit cell) *相对于结晶学晶胞，原胞则称为物理学原胞http://10.107.0.68/~jgche/晶格和基元29思考：对同一晶体，原胞的形状是不是唯一的？为什么？晶胞的形状是不是唯一的？为什么？http://10.107.0.68/~jgche/晶格和基元30http://10.107.0.68/~jgche/晶格和基元31 5、实战问题：小球表示原子排列结构。