量纲分析与无量纲化实例及MATLAB求解
数据的无量纲化处理
数据的无量纲化处理引言概述：在数据分析和机器学习领域，数据的无量纲化处理是一项重要的预处理步骤。
通过将数据转化为无量纲的形式，可以消除不同特征之间的量纲差异，使得模型更加准确和稳定。
本文将介绍数据的无量纲化处理的概念、常用方法和应用场景。
一、标准化1.1 Z-score标准化Z-score标准化是一种常用的无量纲化方法。
它通过计算每一个样本特征的标准差和均值，将数据转化为均值为0，标准差为1的分布。
具体步骤如下：1. 计算每一个特征的均值和标准差。
2. 对每一个样本特征进行标准化，即减去均值，再除以标准差。
3. 得到标准化后的数据。
1.2 Min-max标准化Min-max标准化是将数据映射到一个特定的范围内，常见的是[0, 1]。
它可以保留原始数据的分布形态，并且适合于有界数据。
具体步骤如下：1. 计算每一个特征的最小值和最大值。
2. 对每一个样本特征进行标准化，即减去最小值，再除以最大值减最小值。
3. 得到标准化后的数据。
1.3 小数定标标准化小数定标标准化是通过挪移数据的小数点位置，将数据映射到[-1, 1]之间。
具体步骤如下：1. 找到数据中的最大绝对值。
2. 将数据除以最大绝对值。
3. 得到标准化后的数据。
二、正则化2.1 L1正则化L1正则化是一种通过对数据进行约束以减小模型复杂度的方法。
它通过将每一个样本特征的绝对值之和限制在一个固定值以内，将数据映射到一个球面上。
具体步骤如下：1. 计算每一个样本特征的绝对值之和。
2. 对每一个样本特征进行正则化，即除以绝对值之和。
3. 得到正则化后的数据。
2.2 L2正则化L2正则化是一种通过对数据进行约束以减小模型复杂度的方法。
它通过将每一个样本特征的平方和限制在一个固定值以内，将数据映射到一个球面上。
具体步骤如下：1. 计算每一个样本特征的平方和。
2. 对每一个样本特征进行正则化，即除以平方和的平方根。
3. 得到正则化后的数据。
2.3 Max绝对值标准化Max绝对值标准化是一种通过对数据进行约束以减小模型复杂度的方法。
量纲分析法
方法二：布金汉（Buckingham）定理（定理）
一般情况下，瑞利法要求相关物理量个数 n 不超过4个， 待求量纲指数不超过3个。当有关物理量超过4个时，需要归并 有关物理量或选待定系数，以求得量纲指数。
定理是量纲分析更为普遍的原理，由美国物理学家布金汉提出：
若某一物理过程包含n个物理量，即 f(q1,q2,..q.n),0
(2)写出指数乘积关系式 t m1l2g3
l
1, 2, 3 为待定系数，为无量纲量
(3)写出量纲式 [t][m ]1[l]2[g]3
m
(4)以基本量纲表示 T M 1 L 2L 2 3 T M 1 L 2 3 T 2 3 mg
(5)根据量纲和谐原理
1 0 2 3 0 2 3 1
意义
(1)无量纲量的大小与所选单位无关，具有客观性：
凡有量纲的物理量，都有单位，同一物理量，因选取的度
量单位不同，数值也不同，运动方程式的计算结果会受人主
观选取单位的影响；
(2)不受运动规律的影响：
无量纲量是常数，数值大小与度量单位无关，也不受运动
规律的影响；
(3)可进行超越函数运算：
由于有量纲量只能做简单的代数运算，做对数、指数、三
0
[
l
]
L1M
0T
0
[ g ] L 1 M 0 T 2
(L0M0T1)y1(L0M1T0)y2(L1M0T0)y3 (L1M0T2)y4 L0M0T0
LM T L M T y 3 y 4 y 2 y 1 2 y 4
0 00
y3
y 4
0
y2
0
y 1 2 y 4 0
y 12 ,y20 ,y3 1 ,y4 1
3数据的无量纲化处理及示例
数据的无量纲处理方法及示例在对实际问题建模过程中，特别是在建立指标评价体系时，常常会面临不同类型的数据处理及融合。
而各个指标之间由于计量单位和数量级的不尽相同，从而使得各指标间不具有可比性。
在数据分析之前，通常需要先将数据标准化，利用标准化后的数据进行分析。
数据标准化处理主要包括同趋化处理和无量纲化处理两个方面。
数据的同趋化处理主要解决不同性质的数据问題，对不同性质指标直接累加不能正确反应不同作用力的综合结果，须先考虑改变逆指标数据性质，使所有指标对评价体系的作用力同趋化。
数据无量纲化主要解决数据的不可比性，在此处主要介绍几种数据的无量纲化的处理方式。
(1)极值化方法可以选择如下的三种方式：(A)兀=兀=巴max— min R即每一个变量除以该变量取值的全距，标准化后的每个变量的取值围限于［-l.llo ,、. x. — min x. — min(B)Xj =」------- =」-------max — min R即每一个变量与变量最小值之差除以该变量取值的全距，标准化后各变量的取值围限于［0,1］。
(O片=丄，即每一个变量值除以该变量取值的最大值，标准化后使变量的最大取max值为1。
采用极值化方法对变呈数捋无量纲化是通过变量取值的最大值和最小值将原始数据转换为界于某一特定围的数据，从而消除量纲和数量级的影响。
由于极值化方法对变量无量纲化过程中仅仅对该变量的最大值和最小值这两个极端值有关，而与其他取值无关，这使得该方法在改变各变量权重时过分依赖两个极端取值。
(2)标准化方法利用x； = i—来计算，即每一个变量值与其平均值之差除以该变量的标准差，无量a纲化后各变量的平均值为0,标准差为1,从而消除量纲和数量级的影响。
虽然该方法在无量纲化过程中利用了所有的数据信息，但是该方法在无量纲化后不仅使得转换后的各变量均值相同，且标准差也相同，即无量纲化的同时还消除了各变量在变异程度上的差异。
(3)均值化方法Y计算公式为：X； = ± ,该方法在消除量纲和数疑级影响的同时，保留了各变疑取值差异程度上的信息。
无量纲化方法课件
指数法
总结词
指数法是通过将原始数据乘上一个无量纲的 指数，从而消除数据间的量纲和取值范围的 影响。
详细描述
指数法通过选择一个无量纲的指数，将原始 数据转换为一个相对值。该方法适用于具有 明显偏态分布的数据，能够更好地比较不同 变量之间的差异。指数法的优点是可以根据 实际数据分布选择合适的指数，从而更好地
无量纲化方法的前沿研究动态
01
基于机器学习的无量 纲化方法
随着机器学习技术的不断发展，越来 越多的研究者开始尝试将机器学习应 用于无量纲化方法中，以实现更高效 、准确的处理效果。
02
多维无量纲化方法
针对多维数据的无量纲化方法研究也 正在逐步展开，这将为多维数据的分 析和处理提供新的思路和方法。
03
02
常见的无量纲化方法
标准化法
总结词
标准化是一种常见的无量纲化方法，它通过将原始数据减去 均值，再除以标准差，从而消除数据间的量纲和取值范围的 影响。
详细描述
标准化方法在数据分析中广泛应用，它能够使数据在不同变 量之间具有可比性，同时保留数据的原始结构。该方法通过 将数据转换为一个标准化的分布，即均值为0，标准差为1的 分布，来实现无量纲化的目的。
感谢观看
THANKS
无量纲化方法的发展趋势
结合深度学习等先进技术
随着深度学习等技术的不断发展，无量纲化方法将更多地结合这些技术，以实现更高效、准确的处理效果。
拓展应用领域
无量纲化方法的应用领域正在不断拓展，例如在金融、医学、环境等领域都有广泛的应用前景。
完善理论体系
未来无量纲化方法的研究将更加注重理论体系的完善，以更好地指导实际应用。
、应用领域及优缺点等。
03
量纲分析法
量纲分析法量纲分析法是一种工程数学方法，用于处理含有多个变量的物理问题。
这种方法非常有用，因为在实际应用中，我们通常需要考虑许多不同的变量和参数，这些参数可能具有不同的单位和量纲，使得问题变得复杂和难以处理。
利用量纲分析法，可以将各个参数转换为无量纲形式，从而简化问题并提高计算精度。
1. 什么是量纲首先，我们需要明确什么是量纲。
量纲是一个物理量所具有的度量属性，通常包括基本量纲，比如长度、时间、质量、电流等等。
每个量纲都有一个标准单位，比如米、秒、千克、安培等等。
通过组合不同的基本量纲和单位，我们可以得到其他物理量的单位和量纲。
比如速度可以表示为长度/时间，加速度可以表示为长度/时间^2。
在处理物理问题时，量纲是非常重要的，因为它们决定了各个物理量之间的关系和单位的选择。
2. 如何运用量纲分析法量纲分析法是一种基于量纲的数学方法，用于研究变量之间的关系和有效参数的数量。
在使用这种方法时，我们需要将所有涉及的物理量和参数转换为无量纲形式，然后通过比较各个无量纲参量的数量级和变化趋势来分析问题。
这种方法可用于许多不同的物理问题，例如流体力学、热传递、电路分析等等。
下面我们以流体力学为例来讲解量纲分析法的应用过程。
首先，我们考虑一个典型的流体力学问题：水从一根直管中流出的速度是多少？公司设计师可以运用以下方程式解决此题: v = (P1 - P2) / ρL其中v是水的速度，P1和P2是入口和出口处的压力，ρ是水的密度，L是管道长度。
我们观察到这个公式涉及四个参数，每个参数都有自己的单位和量纲。
在使用量纲分析法时，我们需要将它们都转换为无量纲形式。
我们可以定义以下五个无量纲参量：F1 = v L / νF2 = (P1 - P2) / (0.5ρv^2)F3 = D / LF4 = ε/ D其中，ν是水的动力粘度，D是管道的直径，ε是管道壁面粗糙度。
这里表示F1 代表惯性力，F2 代表压力力，F3 代表管道长度比，F4 代表管道细度等无量纲参量。
量纲分析法
第三节 量纲分析法量纲分析是20世纪初提出的, 在物理领域中建立数学模型的一种方法，它是在经验和实验的基础上, 利用物理定律的量纲齐次原则，确定各物理量之间的关系。
3.1 量纲齐次原则与Pi 定理许多物理量是有量纲的，有些物理量的量纲是基本的，另一些物理量的量纲则可以由基本量纲根据其定义或某些物理定律推导出来。
例如在动力学中，把长度l , 质量m 和时间t 的量纲作为基本量纲，记为[][][]T t M m L l ===,,; 而速度f v ，力的量纲可表示为[][]21,--==MLT f LT v .在国际单位制中，有7个基本量：长度、质量、时间、电流、温度、光强度和物质的量，它们的量纲分别为L 、M 、T 、I 、Θ、J 、和N ；称为基本量纲。
任一个物理量q 的量纲都可以表成基本量纲的幂次之积，[]ηξεδγβαJ N I T M L q Θ=量纲齐次性原则：用数学公式表示一个物理定律时，等式两端必须保持量纲一致。
量纲分析就是在保证量纲一致的原则下，分析和探求物理量之间关系；先看一个具体的例子，再给出量纲分析的一般方法。
例3—1： 单摆运动，质量为m 的小球系在长度为l 的线的一端，线的另一端固定，小球偏离平衡位置后，在重力mg 作用下做往复摆动，忽略阻力，求摆动周期t 的表达式。
解：在这个问题中有关的物理量有g l m t ,,,设它们之间有关系式3211αααλg l m t =---------------（3.1）其中32,,ααα为待定常数，入为无量纲的比例系数，取（3．1）式的量纲表达式有[][][][]321αααg l m t = 整理得：33212αααα-+=T LM T --------------（3.2）由量纲齐次原则应有⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=12003321αααα ---------------（3.3）解得：,21,21,0321-===ααα 代入（3．1）得 glt λ= -------（3.4）（3.4）式与单摆的周期公式是一致的下面我们给出用于量纲分析建模的 Buckingham Pi 定理，定理：设n 个物理量n x x x ,,,21 之间存在一个函数关系()0,,,21=n x x x f --------------（3.5）[][]m x x 1为基本量纲，n m ≤。
matlab 矩阵 无量纲归一化
matlab 矩阵无量纲归一化【Matlab 矩阵无量纲归一化】引言：在实际的数据分析和处理过程中，往往需要将不同属性的数据归一化到相同的尺度上，以保证各属性之间的权重相对均衡，避免因为数据尺度差异带来的偏差。
矩阵的无量纲归一化是一种常见的数据处理方法，能够有效地解决这个问题。
本文将介绍如何使用Matlab实现矩阵的无量纲归一化。
1. 理解无量纲归一化的基本概念无量纲归一化（Dimensionless Normalization），是将不同属性的数据转化到同一量纲下的数据处理方法。
其主要目的是消除数据之间的量纲差异，以便能够进行更加准确的数据分析和处理。
无量纲归一化有多种方法，其中最常见的方法包括线性变换和非线性变换。
其中，线性变换包括最值归一化和标准化，而非线性变换包括对数变换和指数变换等。
本文将重点介绍最值归一化和标准化这两种常用的线性变换方法。
2. 最值归一化最值归一化（Min-Max Normalization）是最简单的一种无量纲归一化方法，其将数据线性映射到一个指定的最小值和最大值之间。
具体地，对于一个矩阵X = [x1, x2, ..., xn]，最值归一化的公式如下：x^' = (x - min(X)) / (max(X) - min(X))其中，x为原始数据，min(X)和max(X)分别为矩阵X的最小值和最大值。
通过这个公式，可以将数据归一化到[0, 1]的范围内。
在Matlab中，可以使用如下代码实现最值归一化：matlabfunction X_normalized = min_max_normalization(X)X_normalized = (X - min(X(:))) / (max(X(:)) - min(X(:)));end其中，X为待归一化的矩阵。
通过调用上述函数，即可得到矩阵的最值归一化结果。
3. 标准化标准化（Standardization），又称为Z-score标准化，是另一种常见的无量纲归一化方法。
数学建模3.1量纲分析法
[q j ] X i ,
aij i 1
n
j 1,2, , m
A {aij }nm
m=6, n=3
rank A = 3
Ay=0 有m-r=3个基本解
s = 1,2,…, m-r
m-r 个无量纲量
y1 ( 1 / 2,1 / 2,0, 1, 0, 0) T y 2 ( 0, 2, 0, 0, 1, 0) y ( 1, 3, 1, 0, 0, 1)T 3
s qj
j 1
m
y sj
为得到差 p 的显式表达式 F=0
1 ( 2 , 3 )
1 v 2 1 p 2 lv 1 1 2 1 3 l v g
未定
v gl : Froude number
p v 2 ( 2 , 3 ) v 2 ( 2 , 3 ),
f , s , l , v, , g
~模型船的参数(均已知) 注意：二者的相同
f1 , s1 , l1 , v1 , 1 , g1
~原型船的参数 (f1未知，其他已知)
f l g ( 1 , 2 )
3
f1 l13 g1 1 ( 1, 2 ) v1 s1 1 , 2 2 l1 g1l1
l t g
l t 2 g
t m l g
1 2
3
为什么假设这种形式
设p= f(x,y,z)
x,y,z的量纲单 位缩小a,b,c倍
对 x,y,z的两组测量值x1,y1,z1 和x2,y2,z2， p1 = f( x1,y1,z1), p2 = f( x2, y2,z2 )
数学建模-3.量纲分析法
m
q ysj
s
j
j 1
为得到阻力 f 的显式表达式
F(1, 2 ,3 ) = 0与 (g,l,,v,s,f) = 0 等价
1 2
1 1
g 2l 2v l 2s
3
g l1 3
f 1
F=0 3(1,2)
fl3g( 1,2), 1vg,l2ls2 未定
2021/3/18
11
3.2 量纲分析在物理模拟中的应用
R e 2 lv: R e y n o l d n u m b e r ;F r 3 v g l: F r o u d e n u m b e r
2021/3/18
8
量纲分析示例：波浪对航船的阻力
航船阻力 f
航船速度v, 船体尺寸l, 浸没面积 s,
海水密度, 重力加速度g。
f(q 1,q 2, ,q m )0 (g,l,,v,s,f)0
例: 航船阻力的物理模拟
通过航船模型确定原型船所受阻力
已知模 f l 3 g ( 1, 2 )
型船所 受阻力
1
v gl
,
2
s l2
可得原 型船所 受阻力
在国际单位制中，有7个基本量：质量、长度、时间、电流、温度、光强度
和物质的量，它们的量纲分别为 M、L、T、I、 、J、和N；称为基本量纲。
任意一个物理量q的量纲都可以表成基本量纲的幂次之积，
无量纲化(Dimensionless)是根据量纲分析思想，恰当地选择特征尺度， 将有量纲量化为无量纲量达到减少参数，简化模型的效果。
20XX年复习资料
大学复习资料
专 业： 班 级： 科目老师： 日 期：
3.1 量纲分析法与无量纲化
(最新整理)关于量纲分析法
单摆运动的规律由公式 F(t, l, m, g, ) = 0 给出。
假设物理量 t, m, l, g 之间有关系式
t ml g 1 2 3 (1)
1, 2, 3 为待定系数，为无量纲量 (1)的量纲表达式
[t][m ]1[l]2[g]3 T M LT 1 2 3 2 3
t2l1g F()0
(t l/g)
Pi定理 (Buckingham) 设 f(q1, q2, , qm) = 0
是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2, , Xn 是基本量
纲, nm, q1, q2, , qm 的量纲可表为
n
[q] X, aij
j
i
j1,2, ,m
i1
量纲矩阵记作 A{aij}nm, 若ranAkr
需要平衡的地方：频繁订货则c1增加而储存费降低，T小；减少 订货次数则c1减少而储存费增加，T大。
构造模型
记q(t)为t时刻货物的存量，具体形式为：
q(t)=Q-rt，
0tT且Q=rt
考虑一个定货周期的总费用：
q
T
cc1c2 0 q(t)dt
Q
c1c21 2rT 2c1c21 2QTr
从此模型不难看出，当T= 0 时总费用最低。 T 2T
一、量纲齐次原则
物理量的量纲
物 长度 l 的量纲记 L=[l] 理 质量 m的量纲记 M=[m] 量 时间 t 的量纲记 T=[t]
的 速度 v 的量纲 [v]=LT-1
量 纲
加速度 a 的量纲 [a]=LT-2
力 f 的量纲 [f]=LMT-2
动力学中 基本量纲 L, M, T
导出量纲
国际单位制SI制的基本量
数据的无量纲化处理及示例
数揭的无：■纲处理方法与示例在对实际问题建模过程中，特别是在建立指标评价体系时，常常会面临不同类型的数据处理与融合。
而各个指标之间由于计量单位和数量级的不尽相同，从而使得各指标间不具有可比性。
在数据分析之前，通常需要先将数据规范化，利用规范化后的数据进行分析。
数据规范化处理主要包括同趋化处理和无量纲化处理两个方面。
数据的同趋化处理主要解决不同性质的数据问题，对不同性质指标直接累加不能正确反应不同作用力的综合结果，须先考虑改变逆指标数据性质，便所有指标对评价体系的作用力同趋化。
数据无量纲化主要解决数据的不可比性，在此处主要介绍几种数据的无量纲化的处理方式。
(1)极值化方法可以选择如下的三种方式：(A)兀=—— = imax — min R即每一个变量除以该变量取值的全距，规范化后的每个变量的取值范围限于［-1,1］。
(B)£ = 人一 min 二舛 _ minmax —min R即每一个变量与变量最小值之差除以该变量取值的全距，规范化后各变量的取值范围限于［0,1］。
(C)召=丄，即每一个变量值除以该变量取值的最大值，规范化后max使变量的最大取值为lo采用极值化方法对变量数据无量纲化是通过变量取值的最大值和最小值将原始数据转换为界于某一特定范围的数据，从而消除量纲和数量级的影响。
由于极值化方法对变量无量纲化过程中仅仅对该变量的最大值和最小值这两个极端值有关，而与其他取值无关，这使得该方法在改变各变量权重时过分依赖两个极端取值。
(2)规范化方法利用兀=口来计算，即每一个变量值与其平均值之差除以该变量a的规范差，无量纲化后各变量的平均值为0,规范差为1,从而消除量纲和数量级的影响。
虽然该方法在无量纲化过程中利用了所有的数据信息，但是该方法在无量纲化后不仅使得转换后的各变量均值相同，且规范差也相同，即无量纲化的同时还消除了各变量在变异程度上的差异。
(3)均值化方法计算公式为：A-=i,该方法在消除量纲和数量级影响的同时，保留了各变量取值差异程度上的信息。
量纲分析模型
量纲分析在实际问题中的应用
假设 问题的解是依据适当的物理基本量的量纲 齐次方程给出的。 齐次方程给出的。
任 务
•首先找出所有与问题的解 （因变物理量 ） 首先找出所有与问题的解（因变物理量） 有关的物理量和基本量； 有关的物理量和基本量； •其次寻求一个 适当的 无量纲齐次方程来确 其次寻求一个适当的无量纲齐次方程来确 适当的无量纲齐次方程 定待定方程的形式（ 定待定方程的形式 （ 即 变量是独立的无量 纲积的方程） 纲积的方程）； •最后把因变物理量解出来。 最后把因变物理量解出来。
定义：一物理量与基本物理量之间的规定关系， 定义 ：一物理量与基本物理量之间的规定关系， 称
基本物理量 以基本物理量的幂 为该量的量纲。这种规定关系常以基本物理量的幂 为该量的量纲 。这种规定关系常
名称 量纲 单位 符号 指乘积形式表示，因此也称为量纲积。 指乘积形式表示，因此也称为量纲积。 即任一物理 长度 L 米 m 量Q的量纲皆可表示成 M 的量纲皆可表示成 • 质量 千克 kg • 时间 s δ [Q]=LαM βTγITΘεJζNη 秒 •电流强度 I 安培 A 其中， ， ， ， ， ， ， 是基本物理量的量纲 是基本物理量的量纲； 其中，L，M，T，I，Θ，J，N是基本物理量的量纲； • 温度 Θ 开尔文 K η称为量纲指数 称为量纲指数。 α, β, γ, δ, ε, ζ, η称为量纲指数。 • 光强 J 坎德拉 cd •物质的量 N 摩尔 mol 称量纲指数均为0的物理量为无量纲量。 称量纲指数均为0的物理量为无量纲量。
2.10.1 量纲分析建模和Pi定理 量纲分析建模和Pi定理 Pi 量纲齐次法则
用数学表达式表示一个物理定律时， 用数学表达式表示一个物理定律时，等式两边 的量纲必须是一致的（或者都是无量纲量）。 的量纲必须是一致的（或者都是无量纲量）。 例如, 例如, 牛顿第二定律 F=ma, [F]=MLT-2, [ma]=MLT-2 量纲分析是在物理领域中建立数学模型的方法， 量纲分析是在物理领域中建立数学模型的方法，利 是在物理领域中建立数学模型的方法 用物理量的量纲提供的信息， 用物理量的量纲提供的信息，根据量纲齐次法则确 定物理量之间的关系。 定物理量之间的关系。
如何用matlab解薛定谔方程？数值求解的无量纲化技术
如何用matlab解薛定谔方程？数值求解的无量纲化技术我前面讲了 matlab解二次微分方程的方法。
薛定谔方程当然是个二次微分方程. 所以，上一讲的matlab 的ode函数是可以解薛定谔方程的。
不过，在求解之前，我们还有个工作必须先做。
薛定谔方程中有个hbar，它的数值是如此之小，而且还要平方。
还有电子电荷e，光速c, 电子质量m 这样的数值也是如此。
这样的数值是不适合在计算程序中出现的。
凡是天文数值都不适合在计算程序中出现。
有个很优美的技术来消除它们，就是无量纲化。
这个技术是我们做计算的时候必须做的，所以，我在这里讲讲这个事情。
无量纲化，就是用一些特征的长度做长度单位，用一些特征的能量做能量单位。
假设我们研究的问题是原子，我们就可以用玻尔半径a = 0.529埃为长度单位，以氢原子基态能量的绝对值 13.6eV 为能量单位。
为了用它们做无量纲化，我们需要它们的公式形式：a = hbar^2 /me^2, |E0| = e^2/2a。
氢原子的径向波函数满足的薛定谔方程是[（-hbar^2/2m) （d^2/dr^2 + (2/r) d/dr) - e^2/r] R(r) = E R(r).把这方程两边除上述|E0|，得到 [a^2 （d^2/dr^2 + (2/r) d/dr) - 2a/r] R(r) = E R(r)。
这里的E 是以|E0| = 13.6eV 为单位的。
然后，把 a 除到导数下面的r上，方程就变成[（d^2/dr^2 + (2/r) d/dr) - 2/r] R(r) = E R(r)，这里的r 是以a 为单位的。
这个方程里面的每个量都仅仅是一些无量纲的数了，方程大大简化了。
我们最后需要求解的方程是这个无量纲化的薛定谔方程：[（d^2/dr^2 + (2/r) d/dr) - 2/r] R(r) = E R(r)。
这方程怎么解，上一讲已经讲过了。
好不好懂，请给个意见。
数据的无量纲化处理及示例
.数据的无量纲化处理及示例————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：数据的无量纲处理方法及示例在对实际问题建模过程中，特别是在建立指标评价体系时，常常会面临不同类型的数据处理及融合。
而各个指标之间由于计量单位和数量级的不尽相同，从而使得各指标间不具有可比性。
在数据分析之前，通常需要先将数据标准化，利用标准化后的数据进行分析。
数据标准化处理主要包括同趋化处理和无量纲化处理两个方面。
数据的同趋化处理主要解决不同性质的数据问题，对不同性质指标直接累加不能正确反应不同作用力的综合结果，须先考虑改变逆指标数据性质，使所有指标对评价体系的作用力同趋化。
数据无量纲化主要解决数据的不可比性，在此处主要介绍几种数据的无量纲化的处理方式。
（1）极值化方法可以选择如下的三种方式：（A ）'max min iiix x x R 即每一个变量除以该变量取值的全距，标准化后的每个变量的取值范围限于[-1,1]。
(B) 'minminmax mini iix x x R即每一个变量与变量最小值之差除以该变量取值的全距，标准化后各变量的取值范围限于[0,1]。
(C) 'maxiix x ，即每一个变量值除以该变量取值的最大值，标准化后使变量的最大取值为1。
采用极值化方法对变量数据无量纲化是通过变量取值的最大值和最小值将原始数据转换为界于某一特定范围的数据，从而消除量纲和数量级的影响。
由于极值化方法对变量无量纲化过程中仅仅对该变量的最大值和最小值这两个极端值有关，而与其他取值无关，这使得该方法在改变各变量权重时过分依赖两个极端取值。
（2）标准化方法 利用'iix xx 来计算，即每一个变量值与其平均值之差除以该变量的标准差，无量纲化后各变量的平均值为0，标准差为1，从而消除量纲和数量级的影响。
虽然该方法在无量纲化过程中利用了所有的数据信息，但是该方法在无量纲化后不仅使得转换后的各变量均值相同，且标准差也相同，即无量纲化的同时还消除了各变量在变异程度上的差异。
matlab 矩阵 无量纲归一化
matlab 矩阵无量纲归一化无量纲归一化是指将矩阵的元素进行缩放，将其映射到特定的范围内，使得矩阵的元素无单位，统一具有相同的量级。
在Matlab中，可以通过以下几种常用的方法实现矩阵的无量纲归一化。
1. 最小-最大归一化（MinMax Scaling）最小-最大归一化是通过线性变换将矩阵的元素缩放到特定的范围内，通常是[0, 1]。
公式如下：X' = (X - Xmin) / (Xmax - Xmin)其中，X'是归一化后的矩阵，X是原始矩阵，Xmin和Xmax 分别是原始矩阵的最小值和最大值。
2. Z-Score归一化（Standardization）Z-Score归一化将矩阵的元素转化为均值为0、标准差为1的正态分布。
公式如下：X' = (X - μ) / σ其中，X'是归一化后的矩阵，X是原始矩阵，μ是原始矩阵的均值，σ是原始矩阵的标准差。
3. 小数定标归一化（Decimal Scaling）小数定标归一化是通过移动小数点的位置将矩阵的元素缩放到特定的范围内。
公式如下：X' = X / (10^k)其中，X'是归一化后的矩阵，X是原始矩阵，k是使得原始矩阵的最大值小于1的整数。
4. Log函数归一化（Logarithmic Scaling）Log函数归一化是通过取对数将矩阵的元素缩放到特定的范围内。
公式如下：X' = log(X)其中，X'是归一化后的矩阵，X是原始矩阵。
这些方法的选择取决于数据的特点和应用的需求。
最小-最大归一化是最常用的方法，适用于大多数情况。
Z-Score归一化适用于需要保留数据间的相对大小关系的情况。
小数定标归一化和Log函数归一化适用于特殊的数据情况，如存在非常大或非常小的数值。
以下是一个简单的Matlab代码示例，演示如何使用最小-最大归一化对矩阵进行归一化处理：```matlab% 生成一个3x3的随机矩阵X = rand(3,3);% 最小-最大归一化Xmin = min(X(:));Xmax = max(X(:));X_normalized = (X - Xmin) / (Xmax - Xmin);% 显示原始矩阵和归一化后的矩阵disp('原始矩阵：');disp(X);disp('归一化后的矩阵：');disp(X_normalized);```这段代码首先生成一个3x3的随机矩阵X，然后使用min函数和max函数计算出矩阵的最小值Xmin和最大值Xmax。
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0
1
00 1
(M)??
??? 2 0 0 ?1 0 ? 2 (T) ??
m=6, n=3
(g) (l) (?) (v) (s) ( f )
f (q1, q2,? , qm ) ? 0 ? ( g, l, ? , v, s, f ) ? 0
rank A = r
rank A = 3
Ay=0 有m-r个基本解 Ay=0 有m-r=3个基本解
F(? 1, ?2,…, ?m-r ) = 0 与 f (q1, q2, ? , qm) =0 等价, F未定
量纲分析示例：波浪对航船的阻力
航船阻力 f
航船速度 v, 船体尺寸 l, 浸没面积 s,
海水密度 ?, 重力加速度 g。
f (q1, q2,? , qm ) ? 0 ? ( g, l, ? , v, s, f ) ? 0
??????
1 2
? ?
?1 ?1
g 2l 2v l?2s
???? 3 ? ? g l?1 ? 3 f?1
设物理量 t, m, l, g 之间有关系式
t ? ? m l g ? 1 ? 2 ? 3 (1)
? 1, ? 2, ? 3 为待定系数，? 为无量纲量
(1)的量纲表达式
[t ] ? [ m]? 1 [ l ]? 2 [ g ]? 3
T ? M L T ? 1 ? 2 ?? 3 ?2? 3
?? 1 ? 0 ??? 2 ? ? 3 ? 0 ??? 2? 3 ? 1
n
? [ q j ] ?
X ,aij i
i ?1
j ? 1,2,? , m
A ? { a ij } n ? m
[g] = LT -2, [l] = L, [?] = L-3M,
[v] = LT -1,, [s] = L2, [f] = LMT -2
?1 1 ? 3 1 2 1 (L) ?
A?
? ?
0
量纲分析与无量纲化实例及 MATLAB求解
2.9 量纲分析与无量纲化
2.9.1 量纲齐次原则
物 长度 l 的量纲记 L=[l] 理 质量 m的量纲记 M=[m] 量 时间 t 的量纲记 T=[t] 的 [ 速度 v 的量纲 v]=LT -1 量 [ 加速度 a 的量纲 a]=LT -2 纲 [ 力 f 的量纲 f]=LMT -2
单摆运动中 t, m, l, g 的一般表达式 f (t , m , l , g ) ? 0
t m l g ? ? y1 y2 y3 y4
y1~y4 为待定常数 , ?为无量纲量
?[t] ? L0 M T0 1 ??[m] ? L0 M 1T 0 ??[l] ? L1M T0 0 ??[ g ] ? L1M T0 ? 2
p1?? f (ax1,by1,cz1), p2? ? f (ax2,by2,cz2)
p1 ? p1?
p2
p
?
2
f (x1, y1, z1) ? f (ax1,by1,cz1) f (x2, y2, z2 ) f (ax2 ,by2, cz2 )
p= f(x,y,z)的形式为 f ( x, y, z) ? ? x? y ? z ?
(L0M 0T 1 ) y1 (L0M 1T 0 ) y2 (L1M 0T 0 ) y3 (L1M 0T ?2 ) y4 ? L0M 0T 0
L M T ? L M T y3? y4
y2 y1 ? 2 y4
0 00
? y3 ? y4 ? 0
? ?
y 2
?
0
??
Hale Waihona Puke y 1?2y 4
?
0
基本解 y ? (y1, y2, y3, y4)T ? (2, 0, ? 1,1)T
?? 1 ? 0 ??? 2 ? 1/ 2 ??? 3 ? ?1/ 2
t?? l
g
l
m mg 对比
t ? 2? l
g
量纲齐次原则 等式两端的量纲一致
量纲分析 ~利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系
例：单摆运动 求摆动周期 t 的表达式
设物理量 t, m, l, g 之间有关系式
t ? ? m l g ? 1 ? 2 ? 3 (1)
ys = (ys1, ys2, …,ysm)T s = 1,2,…, m-r
m-r 个无量纲量
m
? ? ? qysj
s
j
j?1
? y1 ? ( ? 1/ 2,?1/ 2,0, 1, 0, 0)T
? ?
y 2
?
(
0, ? 2, 0, 0,1, 0)T
? ?
y3
?
(
? 1,
? 3, ? 1, 0, 0,1)T
t 2l ?1g ? ? F(? ) ? 0
(t ? ? l / g )
Pi定理 (Buckingham) 设 f(q1, q2, ? , qm) = 0
是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2, ?
纲, n? m, q1, q2, ? , qm 的量纲可表为
n
? [qj ] ?
X ,aij i
j ? 1,2,? ,m
动力学中 基本量纲 L, M, T
导出量纲
引力常数 k 的量纲 [k] =[][ [ f l]2 m]-2=L3M-1T-2
[ 对无量纲量? ， ? ]=1(=L0M0T0)
f ? k m1m2 r2
量纲齐次原则 等式两端的量纲一致
量纲分析 ~利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系
例：单摆运动 求摆动周期 t 的表达式
? 1, ? 2, ? 3 为待定系数，? 为无量纲量
(1)的量纲表达式
[t ] ? [ m]? 1 [ l ]? 2 [ g ]? 3
T ? M L T ? 1 ? 2 ?? 3 ?2? 3
?? 1 ? 0 ??? 2 ? ? 3 ? 0 ??? 2? 3 ? 1
?? 1 ? 0 ??? 2 ? 1/ 2 ??? 3 ? ?1/ 2
t?? l
g
l
m mg 对比
t ? 2? l
g
? t ? m l g ? 1 ? 2 ? 3
为什么假设这种形式
设p= f(x,y,z)
x,y,z 的量纲单 位缩小 a,b,c倍
对 x,y,z 的两组测量值 x1,y1,z1 和x2,y2,z2，
p1 = f( x1,y1,z1), p2 = f( x2, y2,z2 )
i?1
, Xn 是基本量
量纲矩阵记作 A ? {a ij } n? m , 若 rank A ? r
线性齐次方程组 Ay ? 0 有 m-r 个基本解，记作
ys = (ys1, ys2, …,y sm)T , s = 1,2,…, m-r
m
? ? ? q 则
ysj
s
j
j?1
为m-r 个相互独立的无量纲量, 且