小学六年级奥数 第四章 分数的比较大小

第四章分数大小的比较
知识要点
分数大小的比较方法有很多，主要有通分、倒数比较、相减比较、相除比较、交叉相乘等。

通分：(1)统一分母，比较分子，分子越大分数越大。

(2)统一分子，比较分母，分母越小分数越大。

倒数比较：倒数大的分数小于倒数小的分数。

相减比较：有两个分数b
a
与
d
c
，若
b
a
－
d
c
＞0，则
b
a
＞
d
c
；
若b
a
－
d
c
＜0，则
b
a
＜
d
c。

相除比较：分数b
a
与
d
c
，若
b
a
÷
d
c
的商为真分数，则
b
a
＜
d
c
；
若商为假分数，则b
a
＞
d
c。

交叉相乘：分数b
a
与
d
c
，若bc＞ad，则
b
a
＞
d
c。

除了以上几种方法，还有用“1”减法、公式法、化小数比较等等。

典例巧解
例1 有五个分数2
3
，
5
8
，
15
23
，
10
17
，
12
19
，请按从小到大的顺序排列。

点拨此题若统一分母比较麻烦，而分子的最小公倍数很容易找出为60，故统一分子。

解2
3
＝
60
90
，
5
8
＝
60
96
，
15
23
＝
60
92
，
10
17
＝
60
102
，
12
19
＝
60
95
，因为
60
102
＜
60
96
＜
60
95
＜
60
92
＜
60
90
，
所以
10
17
＜
5
8
＜
12
19
＜
15
23
＜
2
3。

例2 比较9999995
9999997
和
6666661
6666663
的大小。

点拨一可利用求倒数的方法比较。

解9999995
9999997
的倒数是
9999997
9999995
＝1＋
2
9999995
，6666661
6666663
的倒数是
6666663
6666661
＝1＋
2
6666661
比较倒数右边的结果知1＋
2
6666661
＞1＋
2
9999995
，
所以
6666663
6666661
＞
9999997
9999995
，即
9999995
9999997
＞
6666661
6666663。

点拨二由于这两个分数的分子和分母都很接近，且都相差2，可以找到一个标准数。

这两个分数的大小都比1略小，则可用“1”做减法。

解9999995
9999997
＝1－
2
9999997
，
6666661
6666663
＝1－
2
6666663。

由于
2
9999997
＜
2
6666663
，
在被减数相同的情况下，减数越小，说明差越大，所以
9999995
9999997
＞
6666661
6666663。

例3 若A＝
21
200820081
-+，B＝
22
1
2008200820092008
-⨯+
，比较A与B的大小。

点拨由于这两个分数的分子都是1，只要比较这两个分数分母的大小就可以了。

解分数B的分母为： 20082－2008×2009＋20082
＝20082－2008(2009－2008)
＝20082－2008
分数A的分母为：20082－2008＋1
而20082－2008＋1＞20082－2008，
所以
21
200820081
-+＜
2
1
20082008
-
＝
22
1
2008200820092008
-⨯+
，
即A＜B。

例4 比较19961994
1995
＋1995
1993
1996
与1997
1994
1995
＋1994
1993
1996
的大小。

点拨本题若用减法计算，不用求两个算式的和，就可以比较出大小。

解 (19961994
1995
＋1995
1993
1996
)－(1997
1994
1995
＋1994
1993
1996
)
＝19961994
1995
＋1995
1993
1996
－1997
1994
1995
－1994
1993
1996
；
＝(19951993
1996
－1994
1993
1996
)－(1997
1994
1995
－1996
1994
1995
)
＝1－1 ＝0
故19961994
1995
＋1995
1993
1996
＝1997
1994
1995
＋1994
1993
1996。

例5 在下列□内填两个相邻的整数，使不等式成立。

□＜1＋1
2
＋
1
3
＋
1
4
＋
1
5
＋
1
6
＋
1
7
＋
1
8
＋
1
9
＋
1
10
＜□
点拨先估算各分数的和，找到最接近的整数，以便确定□内填的整数。

解因为1＋1
2
＋
1
3
＋
1
6
＝2，所以
1＋1
2
＋
1
3
＋
1
4
＋
1
5
＋
1
6
＋
1
7
＋
1
8
＋
1
9
＋
1
10
＝2＋1
4
＋
1
5
＋
1
7
＋
1
8
＋
1
9
＋
1
10
＝2＋(1
4
＋
1
8
)＋(
1
5
＋
1
10
)＋
1
7
＋
1
9
＝2＋
38＋310＋17＋19＜2＋38＋310＋15＋18
＝2＋12＋12＝3 因此上面两个方框内应分别填2和3，
1＋
12＋13
＋14＋15＋16＋17＋18＋19＋110
例6 A ＝45×67×89×…×10000001000001，试比较A 与0.003的大小。

点拨 题目中所给的式子不容易化简，要判断它与0.003谁大谁小就比较困难。

我们可以想办法进行化简。

如果在式子中添上56，78，910，…这样一些分数的话，再经过约 分，式子就变得简单多8。

解 假设B ＝
56×78×910×…×10000011000002
， 由于45＜56，67＜78，89＜910，…，10000001000001＜10000011000002
， 所以A 2＜A×B＝41000002＜41000000，而41000000＝22()1000＝(0.002)2， 根据不等式的有关性质可得A ＜0.002＜0.003，因此A 比0.003小。

例7 比较2004820049888888999999⋅⋅⋅⋅⋅⋅个个与20028
20030
888890100001
⋅⋅⋅⋅⋅⋅个个的大小。

点拨 在这里我们需要明确公式：
(1)当a ＞b 时，a b ＞a k b k ++，a b ＜b k a k
--； (2)当a ＜b 时，a b ＜a k b k ++，a b ＞b k a k
--。

此题属第(2)种情况，而2002888890⋅⋅⋅个＝200488888⋅⋅⋅个＋2，2003000001⋅⋅⋅个＝20049
999⋅⋅⋅个＋2。

解 因为20048888⋅⋅⋅个＜20049999⋅⋅⋅个，2002888890⋅⋅⋅个＝200488888⋅⋅⋅个＋2，2003000001⋅⋅⋅个＝20049
999⋅⋅⋅个＋2，
所以200482004988889999⋅⋅⋅⋅⋅⋅个个＜20028
20030
8889010001
⋅⋅⋅⋅⋅⋅个个。

例8 有四个数0.525，0.52，917与3567
，比较这四个数的大小。

点拨 我们可以把原数化成小数，再加以比较。

解 因为0.525＝0.52555…，0.52＝0.52525…，
9 17＝0.529411…，
35
67
＝0.522388…，
所以
9
17
＞0.525＞0.52＞
35
67。

解题技巧
分数大小的比较方法很多，关键是认真观察，多角度、多侧面地思考问题，找到分数的特点，选择适当的方法比较。

如果两个分数的分母相同，分子大的分数较大；如果两个分数的分子相同，分母小的分数较大；如果分子、分母都不相同，那么或统一分母，或者统一分子，再进行比较。

有时需另辟蹊径，例如：相减比较，差大于零减数就小；相除比较，若商
是真分数，则被除数小于除数，若商是假分数，则被除数大于除数；交叉相乘比较，分数a b
和c
d
，如果ad＞bc，那么
a
b
＞
c
d
；倒数比较，倒数大的分数小于倒数小的分数；化为小数
或循环小数比较，等等。

竞赛能级训练
A 级
1.比较
2000
1999
1999
2000
与
2000
1999
19992000
20002000
+
+
的大小。

2.把777
9999
，
7777
99999
和
7777777
999999999
+
+
按从小到大的顺序排列。

3.将87654
87655
，
8765
8766
，
876
877
，
87
88
这四个数按从大到小的次序排列出来。

4.分数4
7
，
17
25
，
149
300
，
5
9
，
201
402
中，哪一个最大？
5.有八个数，0.51，2
3
，
5
9
，0.51，
24
47
，
13
25
是其中的六个，如果从小到大排列时，第四
个数是0.51。

那么从大到小排列时，第四个数是多少？
6.将下列分数由小到大排成一列不等式：2
7
，
5
17
，
10
37
，
15
52。

7.已知A×11
3
＝B×60%＝C÷70%＝D×
5
6
＝E÷1
1
4
，把A，B，C，D，E这五个数从小到大
排列起来。

8.比较218191
654321
和
152347
456789
的大小。

9.比较1
2
×
3
4
×
5
6
×
7
8
×…×
99
100
与
1
10
的大小。

11.比较下面四个算式的大小。

12.比较下面四个算式的大小。

1 11＋
1
33
，
1
12
＋
1
29
，
1
13
＋
1
25
，
1
14
＋
1
21
B 级
1.有两个分数a 和b ，a ＝
12345674938502，b ＝345678913827624
，这两个分数相比较，哪一个比较大？ 2.将六个分数512，58，25，115，1140，724
分成三组，使每组中的两个分数的和相等。

3.在(117＋119)×20，(124＋129)×30，(131＋137)×40，(141＋147)×50这四个算式中，得数最大的是哪个？
4.比较1－12＋13－14＋…＋11997－11998＋11999与11000＋11001＋…＋11998＋11999
的大小。

5.有算式A 与B ，A ＝1111137711111515191923
++++⨯⨯⨯⨯⨯，B ＝11111121231232000
+++⋅⋅⋅+++++++⋅⋅⋅+，比较算式A 与B 的大小。

6.若A ＝21201020101+-，B ＝22
12010200920102009+⨯-，比较A 与B 的大小。

7.比较1－12－14－18－116－132－…－11024
与0.001的大小。

8.满足下面式子的n 的最小值是多少？
1111122334(1)n n +++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯+＞19491998
9.如果
1229＜70□＜2970
，那么□中应填哪个自然数？ 10.比较22.000031.00003 2.00003+与22.000021.00002 2.00002+的大小。

能力测试
一、填空题(每题5分，共25分)
1.(浙江省竞赛试题)比较0.6182，0.6182，0.6182，0.6182，0.6182的大小：( )。

2.1.6×A＝B÷34＝C×47＝D÷114
，把A ，B ，C ，D 按从小到大的顺序排列是( )＜( )＜( )＜( )。

3.将
19992000，14991500，11101111，9899，214215
按从大到小的顺序排列：( )。

4.比较235861235862和652971652974的大小：( )。

5.比较200120004343与20012000432001432001
--的大小：( )。

二、选择题(每题5分，共15分)
1.有三个分数：x ＝1－
4444355554，y ＝1－5555466665，z ＝1－8888799998，它们的大小是( )。

A.x ＞y ＞z B.y ＞x ＞z C.x ＞z ＞y D.z ＞y ＞x
2.下面各式中，最大的是( )。

A.1－
110＋1100－1100＋110000 B.1×110×1100×1100×110000
C.1＋110－1100＋1100－110000
D.1÷110÷1100÷1100÷110000 3.下面分数中，最大的是( )。

A.10519 B.14725 C.15776 D.211088
E.341814
三、解答题(每题15分，共60分)
1.有一些最简真分数，满足下列条件：
(1)分子与分母都是两位数的质数；
(2)分母正好是分子这个质数逆序排列所成的质数，如1331。

请找出所有满足条件的最简真分数，并按从小到大的顺序将它们排列出来。

2.试比较9999949999与10000150001
的大小。

3.比较下面两个分数的大小。

1
11111996199719982004+++⋅⋅⋅+和1111199019911991199219992000
++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯ 4.从134，1，1，14，123，1112，65
六个数中选出三个数，分别记为A ，B ，C ，要求选出的三个数使得A×(B－C)尽量大，并写出A×(B－C)的最简分数。