一元二次方程定义及其解法(配方法)

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一元二次方程的解法(二)配方法(基础)

一元二次方程的解法（二）配方法—知识讲解（基础）【学习目标】1．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程；2．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤；3．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力.【要点梳理】知识点一、一元二次方程的解法---配方法1．配方法解一元二次方程：(1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±．知识点二、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．要点诠释：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．【典型例题】类型一、用配方法解一元二次方程1.用配方法解方程：2x2+3x﹣1=0．【思路点拨】首先把方程的二次项系数化为1，移项，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解．【答案与解析】解：2x2+3x﹣1=0x2+x2+）x+x1=【点评】一般地，用先配方，再开平方的方法解一元二次方程，应按以下步骤进行：(1)把形如ax2+bx+c=0(a≠0)的方程中二次项的系数化为1；(2)把常数项移到方程的右边；(3)方程的两边都加“一次项系数一半的平方”，配方得形如(x+m)2=n(n≥0)的方程；(4)用直接开平方的方法解此题．举一反三：【变式】用配方法解方程.(1)x2-4x-2=0； (2)x2+6x+8=0.【答案】(1)方程变形为x2-4x=2．两边都加4，得x2-4x+4=2+4．利用完全平方公式，就得到形如(x+m)2=n的方程，即有(x-2)2=6．解这个方程，得x-2=或x-2=-．于是，原方程的根为x=2+或x=2-．(2)将常数项移到方程右边x2+6x=-8．两边都加“一次项系数一半的平方”=32，得 x2+6x+32=-8+32，∴ (x+3)2=1．用直接开平方法，得x+3=±1，∴ x=-2或x=-4．类型二、配方法在代数中的应用2．若代数式221078M a b a =+-+，2251N a b a =+++，则M N -的值（）Ａ．一定是负数Ｂ．一定是正数Ｃ．一定不是负数Ｄ．一定不是正数【答案】B ；【解析】（作差法）22221078(51)M N a b a a b a -=+-+-+++ 2222107851a b a a b a =+-+----29127a a =-+291243a a =-++2(32)30a =-+>．故选Ｂ．【点评】本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大于零而比较出大小.3．用配方法证明：二次三项式﹣8x 2+12x ﹣5的值一定小于0．【答案与解析】解：﹣8x 2+12x ﹣5=﹣8（x 2﹣x ）﹣5=﹣8[x 2﹣x+（）2]﹣5+8×（）2=﹣8（x ﹣）2﹣，∵（x ﹣）2≥0，∴﹣8（x ﹣）2≤0，∴﹣8（x ﹣）2﹣＜0，即﹣8x 2+12﹣5的值一定小于0．【点评】利用配方法将代数式配成完全平方式后，再分析代数式值的符号. 注意在变形的过程中不要改变式子的值．举一反三：【高清ID 号：388499关联的位置名称（播放点名称）：配方法与代数式的最值—例4变式1】【变式】求代数式 x 2+8x+17的最小值【答案】x 2+8x+17= x 2+8x+42-42+17=（x+4）2+1∵（x+4）2≥0，∴当（x+4）2=0时，代数式 x 2+8x+17的最小值是1.4．已知223730216b a a b -+-+=，求4a b -的值．【思路点拨】解此题关键是把3716拆成91416+ ，可配成两个完全平方式．【答案与解析】将原式进行配方，得2291304216b a a b ⎛⎫⎛⎫-++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2231024a b ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴ 302a -=且104b -=， ∴ 32a =，14b =．∴ 3312222a -=-=-=-．【点评】本题可将原式用配方法转化成平方和等于0的形式，进而求出a ．b 的值．一元二次方程的解法（二）配方法—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1. （2015•滨州）用配方法解一元二次方程x 2﹣6x ﹣10=0时，下列变形正确的为（）A ．（x+3）2=1B ．（x ﹣3）2=1C ．（x+3）2=19D ．（x ﹣3）2=192．下列各式是完全平方式的是（）A ．277x x ++B ．244m m --C ．211216n n ++ D ．222y x -+ 3．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（）A ．3B ．-3C ．3±D ．以上都不对4．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是（）A ．（a-2）2+1B ．（a+2）2-1C ．（a+2）2+1D ．（a-2）2-15．把方程x 2+3=4x 配方，得（）A ．（x-2）2=7B ．（x+2）2=21C ．（x-2）2=1D ．（x+2）2=26．用配方法解方程x 2+4x=10的根为（）A ．2．-2．．二、填空题7．（1）x 2+4x+ =（x+ ）2；（2）x 2-6x+ =（x- ）2；（3）x 2+8x+ =（x+ ）2.8．若223(2)1x mx x ++=--，那么m ＝________．9．若226x x m ++是一个完全平方式，则m 的值是________．10．求代数式2x 2-7x+2的最小值为 .11．（2014•资阳二模）当x= 时，代数式﹣x 2﹣2x 有最大值，其最大值为． 12．已知a 2+b 2-10a-6b+34=0，则的值为．三、解答题13. 用配方法解方程（1）（2）221233x x +=14. （2014秋•西城区校级期中）已知a 2+b 2﹣4a+6b+13=0，求a+b 的值．15．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边，且2226810500a b c a b c ++---+=．(1)求a ，b ，c 的值；(2)判断三角形的形状．【答案与解析】一、选择题1．【答案】D ；【解析】方程移项得：x 2﹣6x=10，配方得：x 2﹣6x+9=19，即（x ﹣3）2=19，故选D ．2．【答案】C ；【解析】211216n n ++214n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 3.【答案】C ；【解析】若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 2=9,解得m=3±；4.【答案】A ；【解析】a 2-4a+5= a 2-4a+22-22+5=（a-2）2+1 ；5.【答案】C ；【解析】方程x 2+3=4x 化为x 2-4x=-3，x 2-4x+22=-3+22，（x-2）2=1.6.【答案】B ；【解析】方程x 2+4x=10两边都加上22得x 2+4x+22=10+22，x=-214二、填空题7．【答案】（1）4；2；（2）9；3；（3）16；4.【解析】配方:加上一次项系数一半的平方.8．【答案】-4；【解析】22343x mx x x ++=-+，∴ 4m =-．9．【答案】±3；【解析】2239m ==．∴ 3m =±.10．【答案】-338；【解析】∵2x 2-7x+2=2（x 2-72x ）+2=2（x-74）2-338≥-338，∴最小值为-338， 11．【答案】-1,1【解析】∵﹣x 2﹣2x=﹣（x 2+2x ）=﹣（x 2+2x+1﹣1）=﹣（x+1）2+1，∴x=﹣1时，代数式﹣x 2﹣2x 有最大值，其最大值为1；故答案为：﹣1，1．【解析】 -3x 2+5x+1=-3（x-56）2+3712≤3712，• ∴最大值为3712． 12．【答案】4.【解析】∵a 2+b 2-10a-6b+34=0∴a 2-10a+25+b 2-6b+9=0∴（a-5）2+（b-3）2=0，解得a=5，b=3，∴=4．三、解答题13.【答案与解析】（1）x 2-4x-1=0x 2-4x+22=1+22(x-2)2=5x-2=5 x 1=5x 2=5(2) 221233x x += 226x x +=2132x x += 222111()3()244x x ++=+ 2149()416x += 1744x +=± 132x = 22x =-14.【答案与解析】解：∵a 2+b 2﹣4a+6b+13=0，∴a 2﹣4a+4+b 2+6b+9=0，∴（a ﹣2）2+（b+3）2=0，∴a ﹣2=0，b+3=0，∴a=2，b=﹣3，∴a+b=2﹣3=﹣1．15.【答案与解析】（1）由2226810500a b c a b c ++---+=，得222(3)(4)(5)0a b c -+-+-= 又2(3)0a -≥，2(4)0b -≥，2(5)0c -≥，∴ 30a -=，40b -=，50c -=，∴ 3a =，4b =，5c =．（2）∵ 222345+= 即222a b c +=，∴ △ABC 是以c 为斜边的直角三角形．。

一元二次方程的概念和解法(直接开平方法、配方法、公式法)

一元二次方程的概念和解法一、学习目标：1、掌握一元二次方程的概念和一般形式，会找出一元二次方程的各项及其系数；2、会用直接开平方法解一元二次方程。

二、旧知回顾与训练：1、什么叫方程？什么叫整式方程？什么叫方程的解？2、什么是一元一次方程？怎样理解方程“元”和“次”的含义？解一元一次方程的方法和步骤是怎样的？3、解方程：12223x x x -+-=-三、新知学习与训练：（一）一元二次方程的概念：类比一元一次方程的概念得出一元二次方程的概念：只含有___个未知数，并且未知数的最高次数是___ 的方程叫做一元二次方程。

思考：怎样理解一元二次方程的概念？方法小结：1、方程必须是整式方程；2、方程中只能有一个未知数，并且未知数的最高次数只能为二次；3、方程化简后含未知数的二次项的系数不能为0。

练习：下列方程中，哪些是关于x 的一元二次方程？（1）250x -= ；（22x -= ；（3）21230x x+-=；（4）330x x -=；（5）230x xy +-=；（6）-x 2＝0；（7）x （5x -2）＝x （x ＋1）＋4x 2 。

（二）一元二次方程的一般形式：类比一元一次方程的一般形式得出一元二次方程的一般形式：。

其中＿＿、＿＿＿、＿＿＿分别叫做二次项、一次项和常数项；、分别叫做二次项系数、一次项系数。

二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号。

思考：1、一元二次方程的一般形式的结构特征是什么？2、一元二次方程的一般形式：ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）中，为什么“a ≠0”？ 3、怎样把一元二次方程整理为一般形式？范例：例1、方程013)2(=+++mx x m m是关于x 的一元二次方程，求m 的值。

例2、把方程3x （x-1）＝2（x ＋1）＋8化成一般形式，并写出二次项，一次项系数及常数项？练习：1、下列关于x 的方程是否是一元二次方程？为什么？若是一元二次方程，请分别指出其二次项系数、一次项系数、常数项：032)1(2=++x ax ；023)2(2=+mx x ；0128)1)(3(2=----m mx x m ；（4）（b 2＋1）x 2－bx ＋b ＝2；（5） 2tx （x -5）＝7-4tx 。

一元二次方程概念及其解法

对于一元二次方程，最多有两个解，也可能有一个解或无解。
解的情况取决于判别式 $Delta = b^2 - 4ac$ 的值：当 $Delta > 0$ 时，方程有两个不相等的实数根；当 $Delta = 0$ 时，方程有两个相等的实数根（即一个重根）；当 $Delta < 0$ 时，
方程无实数根。
其他实际问题
增长率问题
已知某量的增长率和初始值，求经过一段时间后的总量。
储蓄问题
已知本金、利率和存款期限，求到期后的本息和。
工程问题
已知工作效率和工作时间，求工作总量或剩余工作量。
05 一元二次方程与函数关系探讨
一元二次函数图像性质
开口方向
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物
线开口向下。
对称性
顶点
抛物线关于对称轴对称，对称轴为x=-b/2a。
抛物线的顶点坐标为(b/2a, c-b^2/4a)，是抛物线的最高点或最低点。
与x轴交点
当Δ=b^2-4ac≥0时，抛物线与x轴有交点，交点坐标为(-b±√Δ/2a, 0)。
判别式与函数图像关系
判别式Δ=b^2-4ac 的值决定了抛物线与 x轴的交点个数
frac{n}{m}$，$x_2 = frac{q}{p}$
03 特殊类型一元二次方程求解
完全平方型
概念
示例
完全平方型一元二次方程是指可以化为 $(x+a)^2=b$ 或 $(x-a)^2=b$ 形式的一元二次方程。
方程 $(x+3)^2=16$ 可以化为 $x+3=pm4$，解得 $x=-3pm4$，即 $x_1=1$，$x_2=-7$。

初中数学重点梳理：一元二次方程

一元二次方程知识定位一元二次方程是数学竞赛中经常出现的一些特殊形式的方程中的一种。

要熟练掌握一元二次方程的定义及定理以及解法和根的判别。

同时一元二次方程的实际应用题，本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中一元二次方程相关问题的常见题型及其求解方法。

本讲将通过例题来说明这些方法的运用。

知识梳理1、一元二次方程的一般式：20 (0)ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。

2、一元二次方程的解法（1）直接开平方法（也可以使用因式分解法）①2(0)x a a =≥ 解为：x a =②2()(0)x a b b +=≥ 解为：x a b +=③2()(0)ax b c c +=≥ 解为：ax b c +=±④22()()()ax b cx d a c +=+≠ 解为：()ax b cx d +=±+ （2）因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法如：20(,0)()0ax bx a b x ax b +=≠⇔+=此类方程适合用提供因此，而且其中一个根为0290(3)(3)0x x x -=⇔+-= 230(3)0x x x x -=⇔-= 3(21)5(21)0(35)(21)0x x x x x ---=⇔--=22694(3)4x x x -+=⇔-= 2241290(23)0x x x -+=⇔-=24120(6)(2)0x x x x --=⇔-+= 225120(23)(4)0x x x x +-=⇔-+=（3）配方法①二次项的系数为“1”的时候：直接将一次项的系数除于2进行配方，如下所示：2220()()022P P x Px q x q ++=⇔+-+= 示例：22233310()()1022x x x -+=⇔--+=②二次项的系数不为“1”的时候：先提取二次项的系数，之后的方法同上：22220 (0)()0 ()()022b b bax bx c a a x x c a x a c a a a++=≠++=⇒-⇒++= 222224()()2424b b b b aca x c x a a a a -⇒+=-⇒+=示例：22221111210(4)10(2)2102222x x x x x --=⇔--=⇔--⨯-= （4）公式法：一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b acx a a -+=①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：21,24b b acx -±-=② 当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a=- ③ 当240b ac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根。

一元二次方程的解法配方法—知识讲解

一元二次方程的解法配方法—知识讲解配方法是求解一元二次方程的一种常用方法。

它的思路是通过配方将二次项的求解转换为一次项来求解，然后再将一次项的根带回去求解二次项的根。

下面我们来详细讲解一元二次方程的配方法。

设一元二次方程为ax^2+bx+c=0，我们先通过移项把方程化为标准形式。

1. 移项将方程整理为：ax^2+bx=-c。

2.通过加减乘除等操作，将方程两边的二次项系数a化为1，即将方程整理为：x^2+b'x+c'=0，其中b'=b/a，c'=-c/a。

接下来的步骤就是配方的过程了。

3.在方程的两边同时加上一个常数k，使方程右边成为一个完全平方形式，即(x+b'/2)^2=x^2+b'x+(b'/2)^24.将方程右边的完全平方形式写成两项的形式，并引入一个新的常数k'，使方程变为：(x+b'/2)^2=k'-c'+(b'/2)^2，其中k'为常数。

5.方程的左边是一个完全平方形式(x+b'/2)^2，所以方程右边也必须是一个完全平方形式。

接下来的步骤就是解方程中的一次项的相关过程了。

6.方程右边的完全平方形式可以展开为x^2+(b'/2)x+(b'/2)^2，所以将方程右边展开，得到：x^2+(b'/2)x+(b'/2)^2=k'-c'+(b'/2)^27.方程左边是二次项的完全平方形式，所以方程右边展开之后的结果中，x^2与x相互抵消，剩下的部分为b'x。

8.将方程右边展开之后的结果与方程左边进行比较，得到：x^2+(b'/2)x=k'-c'。

9.由于x^2和x两项不能相互抵消，所以方程左边与右边展开之后的结果中，b'x的系数必须相等，即b'/2=0。

最后的步骤就是求解方程的根了。

人教版九年级数学上册一元二次方程的定义与解法(1)

(4)
y2
1 2
y
（_14_）_2 _
( y_1__)2 4
它们之间有什么关系?
总结归律:
p 2
p
x px ____ ( x __) 2 方像程这（样m的－等1号)x两2＋边m都x是＋整1=式0为，关只于含x有的一一个元未二知次数方（程一则元m）的2，值为（
）
10×6x2=1500
22
课堂检测
1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数，一次项系数及常数项：
1 5x2 1 4x； 24x2 81；
1 5x2 1 4x
一般式：5x2 4x 1 0.
二次项系数为５，一次项系数－4，常数项－1.
2 4x2 81
一般式：4x2 81 0.
二次项系数为4，一次项系数0，常数项－81.
x2－75x+350=0 ②
x2 x 56 ③
（１）这些方程的两边都是整式（２）方程中只含有一个未知数（3）未知数的最高次数是2.
像这样的等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
知识归纳
一元二次方程的概念 • 像这样的等号两边都是整式, 只含有一个未知数(一元)，并且未
x3 5 ， x3 5
或
解一次方程
x1 3 5 ，x2 3 5
新知探究
【例2】用配方法解方程：3x2+8x-3=0
解：两边除以3，
x2 8 x 1 0
3
得：
分析：配方法解一元二次方
移项，得： x2 8 x 1
程的一般步骤：
3
（1）把二次项的系数化为1；（2）把常数项移到等号的右边；

一元二次方程的解法总结

一元二次方程的解法（直接开平方法、配方法、公式法和分解法）一元二次方程定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程。

一般形式:ax²+bx+c=0(a,b，c为常数，x为未知数，且a≠0）.顶点式: y=a（x—h）²+k（a≠0，a、h、k为常数）交点式：y=a（x—x₁）（x—x₂）(a≠0）［有交点A（x₁，0)和B（x₂，0)的抛物线，即b²-4ac≥0］ .直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。

用直接开平方法解形如(x—m）²=n(n≥0）的方程，其解为x=m±配方法：1.将此一元二次方程化为ax²+bx+c=0的形式（此一元二次方程满足有实根）2.将二次项系数化为13.将常数项移到等号右侧4。

等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方5.将等号左边的代数式写成完全平方形式6。

左右同时开平方7.整理即可得到原方程的根公式法:1。

化方程为一般式：ax²+bx+c=0 (a≠0）2。

确定判别式，计算Δ(=b²—4ac)；3。

若Δ〉0，该方程在实数域内有两个不相等的实数根：x=若Δ=0,该方程在实数域内有两个相等的实数根:x₁=x₂=若Δ〈0,该方程在实数域内无实数根因式分解法:因式分解法又分“提公因式法”;而“公式法”（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种），另外还有“十字相乘法”，因式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解的内容在八年级上学期学完。

用因式分解法解一元二次方程的步骤1. 将方程右边化为0;2. 将方程左边分解为两个一次式的积;3. 令这两个一次式分别为0,得到两个一元一次方程；4. 解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。

用待定系数法求二次函数的解析式（1）当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时,可设解析式为一般形式：y=ax²+bx+c(a≠0）.(2）当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大（小）值时,可设解析式为顶点式：y=a（x-h）²+k（a≠0)。

一元二次方程定义及其解法(配方法)

一元二次方程定义及其解法(配方法) 一元二次方程的定义及其解法（配方法）一、目标导航1.掌握一元二次方程的定义及a、b、c的含义；2.掌握配方法解一元二次方程的方法。

二、教学重难点重点：1.掌握一元二次方程的定义及a、b、c的含义；2.掌握配方法解一元二次方程的方法。

难点：配方法解一元二次方程。

三、走进教材知识点一：一元二次方程的定义1.一元二次方程的定义：方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的方程叫做一元二次方程。

2.一元二次方程的一般形式：ax^2+bx+c=0（其中a≠0），其中ax^2叫做二次项，a叫做二次项系数，bx叫做一次项，b叫做一次项系数，c叫做常数项。

举例：x^2+2x-3=0.3.一元二次方程的解：能使一元二次方程的左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，一元二次方程的解也可以叫做一元二次方程的根。

自主练：下列方程中，是一元二次方程的有。

（填序号）①x=5；②x+y-3=0；③3x^2+2x-5x-3=0；④x(x+5)=x-2x^2；⑤2x^2-5x+8=0；⑥4x^2-2y^2=0.知识点二：配方法解一元二次方程1.解一元二次方程的思路：降次，即把二次降为一次，把一元二次方程转化为一元一次方程，化未知为已知，化繁为简，这是转化思想的体现。

2.配方法：利用配方法将一个一元二次方程的左边配成完全平方形式，而右边是一个非负数，即把一个方程转化成(x+n)^2=p（p≥0）的形式，这样解方程的方法叫做配方法。

3.配方法具体操作：1）对于一个二次三项式，当二次项系数为1时，配上一次项系数一半的平方就可以将其配成一个完全平方式，举例：解方程x^2+2x-3=0.2）当二次项系数不为1时，首先把二次项系数化为1，方程两边除以二次项系数，然后再利用（1）的步骤完成配方。

举例：解方程2x^2+2x-3=0.4.(x+n)^2=p（p≥0）的解法：对于方程(x+n)^2=p（p≥0），它的左边是一个完全平方式，右边是非负数，利用平方根的定义，可以将这个方程进行降次，降为两个一元一次方程，即x+n=√p和x+n=-√p，解两个一元一次方程即可。

一元二次方程,配方法(一)

一元二次方程,配方法(一)一元二次方程的配方法什么是一元二次方程一元二次方程是指一个未知数的二次方程，一般的形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c是已知系数，x是未知数。

一元二次方程的配方法一元二次方程的配方法是指将方程中的二次项与一次项进行配方，从而简化方程的形式，便于求解方程。

准备工作在进行配方法之前，需要确定方程是否为一元二次方程，并将方程化为标准形式ax^2 + bx + c = 0。

如果方程不是一元二次方程，则需要进行变型或分解，将其转化为一元二次方程。

配方法步骤1.将一元二次方程的一次项系数b分成两部分，即将b拆分为m和n，使得m+n=b。

2.将方程重写为两个括号的形式，即（x + m）（x + n）= 0。

3.根据乘法公式展开括号，得到x^2 + (m + n)x + mn = 0。

4.比较展开后的方程与原方程的系数，确定mn和c之间的关系。

–若mn = c，则方程为完全平方形式，可转化为（x + m）^2 = 0的形式，直接解得解x = -m。

–若mn != c，则方程需要继续化简。

5.根据mn和c之间的关系，将方程化简为新的一元二次方程。

6.求解新的一元二次方程，得到解x。

7.将得到的解带入原方程，验证解的正确性。

示例假设有一元二次方程2x^2 + 7x + 3 = 0，我们可以使用配方法进行求解。

1.将一次项系数b拆分为m和n，使得m+n=7。

我们可以取m=1，n=6。

2.重写方程为（x + 1）（x + 6）= 0。

3.展开括号，得到x^2 + 7x + 6 = 0。

4.比较系数，发现mn=6，c=3。

由于mn != c，我们需要继续化简方程。

5.可以将方程分解为（x + 1）（x + 6）= 0，得到x^2 + (1+6)x+ 1*6 = 0。

6.化简后的方程为x^2 + 7x + 6 = 0。

我们可以看到新的方程与原方程相同。

7.求解新方程得到解x = -1，x = -6。

一元二次方程的解法(二)配方法—知识讲解(基础

一元二次方程概念与解法

一元二次方程概念与解法教学目标1•了解一元二次方程及其相关概念，会用配方法、公式法、分解因式法解简单的一元二次方程2•能够利用一元二次方程解决简单的实际问题。

教学重点一元二次方程的三种解法：配方法、公式法、分解因式法。

教学难点列一元二次方程解决实际问题。

知识点梳理：一元二次方程知识框图：1•一元二次方程：只含有一个未知数，并且含未知数的项的最高次数是2的整式方程，这样的方程叫做一元二次方程。

2. —元二次方程的一般形式：a2x+bx+c=0(a丰0)3•—元二次方程的解法直接开平方法：适用于(mx+n) 2=h (h > 0)的一元二次方程。

配方法：适用于化为一般形式的一元二次方程。

关键：方程两边都加上一次项系数一半的平方。

公式法：-b b2 4acx=(b2-4ac> 0)2a关键：b2-4ac>0时，方程才有解。

因式分解法：适用于方程右边是0,左边是易于分解成两个一次因式乘积的一元二次方程。

4 .一元二次方程ax2+bx+c=0 (a丰0)的根的判别式是_____________________ ，当 _______ 时，它有两个不相等的实数根；当_____________ 时，它有两个相等的实数根；当 ____________ 时，？它没有实数根.5.根的判别式及应用(△ =b2-4ac)(1) 判定一元二次方程根的情况.△ >0 有两个不相等的实数根 △ =0 有两个相等的实数根 △ <0 没有实数根； △ > 0有实数根•6.根与系数的关系(韦达定理)的应用bc 韦达定理：如果一元二次方程 ax 2+bx+c=0(a 工的两根为X 1、X 2，则X 1+X 2=-,X 1 X 2=.aa(1) 已知一根求另一根及未知系数； (2) 求与方程的根有关的代数式的值； (3) 已知两根求作方程；(4) 已知两数的和与积，求这两个数； (5) 确定根的符号：(X i ,X 2是方程两根).0,一元二次方程的应用解应用题的关键是把握题意是否符合实际意义• 例题讲解1：一元二次方程基本概念(1) mf-3x+x 2=0是关于X 的一元二次方程的条件是 A m=1 B m 丰-1 C m 丰0 D m为任意实数(2) (k-1 ) x 2-kx+仁0是关于x 的一元二次方程的条件是 Js 丰1_.有两正根X ,x 2x ,x 2 00,有两负根有一正根一负根0,X 1 x 2 x 1x 20,0, X 1X 2 0有一正根一零根0,X 1 X 2 0 X 1X 2 0 有一负根一零根0, X 1 x 2 0X 1=X 2=00, X i X 2，找准等量关系，列出方程•？最后还要注意求出的未知数的值(3) _____________________________________ 已知方程mX+mx+3m-X+x+2=0,当m 时，为一元二次方程；当m ___________________________ 时，为兀一次方程1. 关于x 的方程(k — 3)X 2+ 2x — 1 = 0,当k _______ 时，是一元二次方程。

一元二次方程概念及解法

一元二次方程一、一元二次方程的概念：1、定义：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．补充关于初中常见代数式：2、一元二次方程的一般式：例1．已知（m －1）x |m|+1+3x －2＝0是关于x 的一元二次方程，求m 的值.举一反三：【变式】若方程2(2)310m m x mx --=是关于x 的一元二次方程，求m 的值．3、一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.的两根求，，的两根分别为为常数方程已知关于0)2(1-2)0,,,(0)(22=+++≠=++b m x a a m b a b m x a xb a b b ax x x --=++求有一个非零根的一元二次方程关于,,02二、一元二次方程的解法1、基本思想：一元二次方程−−−→降次一元一次方程 2、常见解法：直接开平方法：模型)0(2≥=p p x因式分解理论基础：（1）提公因式法解方程： (1)3x+15＝-2x 2-10x ； (2)x 2-3x ＝(2-x)(x-3)．（2）运用公式完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+ 平方差公式：22()()a b a b a b +-=-三数和平方公式：2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++224(3)25(2)0x x ---= 22)25(96x x x -=+- 01442=++x x（3）十字相乘：化成标准形式之后“看两端，凑中间”模型一：（1）=0 （2）21016x x -+=0；（3）2310x x --=0模型二：(1) 21252x x --=0 (2) 22568x xy y +-=0配方法：0362=+-x x 01242=+-x x公式法：步骤：0322=+-x x 0962=+-x x 0242=+-x x关于四种方法比较3、思想补充：换元思想0913424=+-x x 2(21)4(21)40x x ++++=的值。

一元二次方程及其解法

第2课时一元二次方程及其解法一·基本概念理解1 一元二次方程的定义:含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ,它的特征是：等式左边加一个关于未知数x 的二次多项式,等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a叫做二次项系数;bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。

2、一元二次方程的解法(1）、直接开平方法:利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。

根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根,当0≥b 时，b a x ±=+,b a x ±-=，当b 〈0时,方程没有实数根.（2）、配方法:配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±,把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。

配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式（3）、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b a ac b b x公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c（4)、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段,求出方程的解的方法,这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式（5）、韦达定理若1x ，2x 是一元二次方程的一般形式:)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根，则a b x x -=+21，ac x x =21。

一元二次方程的解法配方法详解

一元二次方程的解法配方法详解一元二次方程是高中数学中重要的内容之一，掌握其解法方法对于学习数学和解决实际问题都具有重要意义。

本文将详细介绍一元二次方程的解法配方法，帮助读者更好地理解和应用这一知识点。

一、基本概念和性质在解一元二次方程之前，我们首先需要了解其基本概念和性质。

一元二次方程的一般形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c为已知系数，x为未知数。

方程中的二次项、一次项和常数项分别代表函数曲线的平移、伸缩和抬升等特征。

二、解法配方法之求根公式对于一元二次方程，我们可以通过求根公式来求解。

求根公式的形式为x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)，其中±表示两个解，分别对应方程的两个根。

在使用求根公式时，我们需要先计算出判别式D=b²-4ac的值，判别式的正负与方程的根的情况相关。

三、解法配方法之因式分解除了求根公式外，我们还可以运用因式分解的方法来解一元二次方程。

通过将方程进行因式分解，将其转化为简便形式，即可更容易找到解的值。

因式分解的关键在于将二次方程表示为两个一次因式相乘的形式，即(ax+b)(cx+d)=0。

然后，利用乘法公式，将方程展开求解。

四、解法配方法之配方法在解一元二次方程时，有时候无法直接使用求根公式或因式分解的方法。

此时，我们可以借助配方法来求解。

配方法的核心思想是将方程转化为平方差或完全平方的形式。

通过添加适当的常数项，并结合平方差公式或完全平方公式，从而将方程进行变形，进而求解。

五、实例演练为了更好地理解一元二次方程的解法配方法，我们将通过几个实例演练来加深对该知识点的理解。

根据具体的实例，我们将使用求根公式、因式分解以及配方法等不同的解法配方法，展示其在不同情境下的应用效果。

六、总结一元二次方程的解法配方法是高中数学中的重要内容，通过本文的介绍，我们可以了解到求根公式、因式分解和配方法等不同的解法，以及其在实际问题中的应用。

一元二次方程的定义及配方法解一元二次方程压轴题七种模型全攻略(解析版)--初中数学

一元二次方程的定义及配方法解一元二次方程压轴题七种模型全攻略目录【典型例题】【考点一一元二次方程的识别】【考点二利用一元二次方程的定义求参数的值】【考点三一元二次方程的一般形式及各项系数】【考点四已知一元二次方程的解求参数(式子)的值】【考点五直接开平方法解一元二次方程】【考点六配方法解一元二次方程】【考点七用配方法解一元二次方程错解复原】【过关检测】【考点一一元二次方程的识别】【例题１】(2023春·安徽合肥·八年级统考期中)下列方程是一元二次方程的是()A.x2+1x2=1 B.ax2+bx+c=0(a，b，c均为常数)C.x3x+2=5 D.2x+12=4x2-3【答案】C【分析】根据形如ax2+bx+c=0a≠0(a，b，c均为常数)的整式方程判断即可．【详解】A、x2+1x2=1中有分式，不是一元二次方程，故不符合题意；B、ax2+bx+c=0a≠0是一元二次方程，故不符合题意；C、x3x+2=5整理得3x2+2x-5=0是一元二次方程，故符合题意；D、2x+12=4x2-3整理得4x+4=0不是一元二次方程，故不符合题意；故选C．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，形如ax2+bx+c=0a≠0(a，b，c均为常数)的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键．【变式1-1】(2023秋·江苏镇江·九年级统考期末)下列方程中，一定是一元二次方程的是()A.x2-2x +2=0 B.x2+2x+3=x x+1C.2x+3y=6D.a2+2x2-2x+3=0典型例题【答案】D【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可解答．【详解】A．x2-2x+2=0不是整式方程，故不符合题意；B．方程x2+2x+3=x x+1化简可得x+3=0不是一元二次方程，故不符合题意；C．2x+3y=6是二元一次方程，故不符合题意；D．a2+2x2-2x+3=0是一元二次方程，故符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程是整式方程，只含有一个未知数且未知数的项的次数最高为2次是解题的关键．【变式1-2】(2023春·浙江·八年级专题练习)下列关于x的方程：①ax2+3x2+2=0；②x2+x-1=0；③x2+1x =0；④x2-2x3+3=0；⑤2x2-1=2x+12中，是一元二次方程的个数为()A.1B.2C.3D.4【答案】A【分析】本题根据一元二次方程必须满足两个条件：(1)未知数的最高次数是2；(2)二次项系数不为0．据此逐项判定即可．【详解】解：ax2+3x2+2=0，当a=-3，不是一元二次方程，故①不是一元二次方程；x2+x-1=0满足一元二次方程的条件，故②是一元二次方程；x2+1x=0分母含有未知数是分式方程，故③不是一元二次方程；x2-2x3+3=0未知数的最高次数是3，是一元三次方程，故④不是一元二次方程；2x2-1=2x+12化简后为4x+3=0，是一元一次方程，故⑤不是一元二次方程；所以正确的只有②共1个，故选：A．【点睛】本题考查一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．【考点二利用一元二次方程的定义求参数的值】【例题１】(2023秋·陕西宝鸡·九年级统考期末)已知x m +x=1是关于x的一元二次方程，则m的值是()A.2B.2或-2C.0D.-2【答案】B【分析】根据一元二次方程的定义，一个未知数，含未知数的项的最高次数为2的整式方程，解答即可．【详解】解：∵x m +x=1是关于x的一元二次方程，∴m =2，∴m=±2；故选B．【点睛】本题考查一元二次方程的定义．熟练掌握掌握一元二次方程的定义，是解题的关键．【变式2-1】(2023春·湖南株洲·九年级校联考阶段练习)若关于x的方程m-1x m +1-3x+4=0是一元二次方程，则m应满足的条件是()A.m=-1B.m=1C.m=±1D.m=2【答案】A【分析】根据一元二次方程的定义，即可求解．【详解】解：∵关于x的方程m-1x m +1-3x+4=0是一元二次方程，∴m +1=2且m-1≠0，解得：m=-1．故选：A【点睛】本题主要考查了一元二次方程，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程是解题的关键．+7x-1=0是一元二次方程，则【变式2-2】(2023·上海·八年级假期作业)若关于x的方程(a-2)x4-aa的值为．【答案】6【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，根据定义解答即可．+7x-1=0是一元二次方程，【详解】解：∵(a-2)x4-a4-a=2,a-2≠0，解得a=6，故答案为：6．【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，熟记定义是解题的关键．【考点三一元二次方程的一般形式及各项系数】【例题１】(2023春·八年级单元测试)方程3x1-x+10=2x+2化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为()A.-3x2，1，6B.3x2，1，6C.3，1，6D.3，-1，-6【答案】D【分析】利用去括号法则、移项及合并同类项将方程化成一般式3x2-x-6=0，根据一元二次方程定义直接求解即可得到答案．【详解】解：3x1-x+10=2x+2，∴3x-3x2+10=2x+4，∴3x2-x-6=0，∴根据一元二次方程定义可知二次项系数为3、一次项系数为-1、常数项为-6，故选：D．【点睛】本题考查整式相关运算及一元二次方程定义，掌握相关运算及一元二次方程定义是解决问题的关键．【变式3-1】(2023·全国·九年级假期作业)一元二次方程3x2-x+4=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是()A.3，-x，5B.3，-1，-4C.3，-1，4D.3x2，-1，4【答案】C【分析】直接利用一元二次方程中各项系数的确定方法分析得出答案．【详解】解：一元二次方程3x2-x+4=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为：3，-1，4．故选：C．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确确定各项系数是解题关键．【变式3-2】(2023春·安徽滁州·八年级校联考期中)方程2x2=8x+2化为一般式后的二次项、一次项、常数项分别是()A.2x2,8x,2B.-2x2,-8x,-2C.2x2,-8x,-2D.2x2,-8x,2【答案】C【分析】方程整理为一般形式，找出所求即可．【详解】解：方程整理得：2x2-8x-2=0，则二次项、一次项、常数项分别为2x2,-8x,-2．故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式是解此题的关键，注意：找各项时带着前面的符号．【变式3-3】(2023·江苏·九年级假期作业)将下列方程化为一元二次方程一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项：(1)3x2=5x-2；(2)a x+1=2-x．x-1【答案】(1)二次项系数为3，一次项系数为-5，常数项为2(2)二次项系数为a，一次项系数为1，常数项为-a-2【分析】(1)一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a，b，c是常数且a≠0)，a，b，c分别是二次项系数、一次项系数、常数项，据此解答即可；(2)一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a，b，c是常数且a≠0)，a，b，c分别是二次项系数、一次项系数、常数项，据此解答即可．【详解】(1)解：∵3x2=5x-2化为一般形式为3x2-5x+2=0，∴二次项系数为3，一次项系数为-5，常数项为2；(2)∵a x+1x-1=2-x化为一般形式为ax2+x-a-2=0，∴二次项系数为a，一次项系数为1，常数项为-a-2．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a，b，c是常数且a≠0)，其中a，b，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．【考点四已知一元二次方程的解求参数(式子)的值】【例题１】(2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习)关于x的一元二次方程2x2+x+a-1=0的一个根是0，则a的值为．【答案】1【分析】根据关于x的一元二次方程2x2+x+a-1=0的一个根是0，将x=0代入方程即可解出答案．【详解】解：∵关于x的一元二次方程2x2+x+a-1=0的一个根是0，∴当x=0时，a-1=0，解得a=1．故答案为1．【点睛】本题主要考查的是一元二次方程解的应用，其中理解一元二次方程解的概念是解题的关键．【变式4-1】(2023·湖南长沙·校考二模)若x=1是一元二次方程2x2-x+m=0的一个根，则m的值是．【答案】-1【分析】把x=1代入方程求解即可．【详解】解：∵x=1是一元二次方程2x2-x+m=0的一个根，∴2-1+m=0，∴m=-1，故答案为：-1．【点睛】本题考查一元二次方程的解得定义，熟练掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键．【变式4-2】(2023·甘肃平凉·统考二模)若m是方程2x2-3x+1=0的一个根，则6m2-9m+2023的值为．【答案】2020【分析】先根据一元二次方程解的定义得到2m2-3m=-1，再把2m2-3m=-1整体代入所求式子中求解即可．【详解】解：∵m是方程2x2-3x+1=0的一个根，∴2m2-3m+1=0，∴2m2-3m=-1，∴6m2-9m+2023=32m2-3m+2023=-1×3+2023=2020，故答案为：2020．【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．【变式4-3】(2023·全国·九年级假期作业)若m是一元二次方程x2-x-3=0的根，则m3+m2-5m的值为【答案】6【分析】根据一元二次方程的解的定义可得出m2-m-3=0，从而可求出m2=m+3，m2-m=3，再将m3+m2-5m整理变形，最后整体代入求值即可．【详解】解：∵m是一元二次方程x2-x-3=0的根，∴m2-m-3=0，∴m2=m+3，m2-m=3，∴m3+m2-5m=m m2+m-5m=m m+3+m-5m=2m2-m=2×3=6．【点睛】本题考查一元二次方程的解的定义，代数式求值．掌握方程的解就是使方程成立的未知数的值是解题关键．【考点五直接开平方法解一元二次方程】【例题１】(2023·上海·八年级假期作业)解关于x的方程：5x2-125=0．【答案】x1=5，x2=-5【分析】利用直接开方法求解即可．【详解】解：整理方程，即得x2=25，直接开平方法解方程，得：x =±25∴方程两根为x 1=5，x 2=-5．【点睛】本题考查直接开方法求解一元二次方程，理解并熟练运用直接开方法是解题关键．【变式5-1】(2023·上海·八年级假期作业)解关于x 的方程：9x 2-625=0．【答案】x 1=53，x 2=-53【分析】整理方程，得x 2=6259=259，进而根据直接开平方法解一元二次方程JK 【详解】整理方程，得x 2=6259=259，直接开平方法解方程，得：x =±259，即方程两根为x 1=53，x 2=-53．【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．【变式5-2】(2023·江苏·九年级假期作业)解下列一元二次方程：(2x +1)2+42x +1 +4=0；【答案】x 1=x 2=-32【分析】使用完全平方公式对方程进行变形，再求得结果．【详解】解：(2x +1)2+42x +1 +4=02x +1+22=0(2x +3)2=02x +3=0∴x 1=x 2=-32．【点睛】本题考查了解一元二次方程，其中准确使用完全平方公式进行变形是解题的关键．【变式5-3】(2023·上海·八年级假期作业)解下列方程：(1)x +2 2=3x -1 2；(2)9(2x +1)2-16(x -2)2=0；(3)4x 2-4x +1=0；(4)12x =-x 2-36．【答案】(1) x 1=32，x 2=-14(2)x 1=-112，x 2=12(3)x 1=x 2=12(4)x 1=x 2=-6【分析】(1)由x +2 2=3x -1 2，得x +2=3x -1或者x +2=-(3x -1)，再解一次方程即可；(2)由9(2x +1)2-16(x -2)2=0，得9(2x +1)2=16(x -2)2，可得3(2x +1)=±4(x -2)，再解一次方程即可；(3)由4x 2-4x +1=0，得(2x -1)2=0，从而可得答案；(4)由12x =-x 2-36，得x 2+12x +36=0，即(x +6)2=0，从而可得答案．【详解】(1)解：∵x +2 2=3x -1 2，∴x +2=3x -1或者x +2=-(3x -1)，∴原方程的解为：x 1=32，x 2=-14；(2)∵9(2x +1)2-16(x -2)2=0，∴9(2x +1)2=16(x -2)2，∴3(2x +1)=±4(x -2)，解得：x =-112或x =12，所以原方程的解为：x 1=-112，x 2=12；(3)∵4x 2-4x +1=0，∴(2x -1)2=0，解得：x =12．∴原方程的解为：x 1=x 2=12；(4)∵12x =-x 2-36，∴x 2+12x +36=0，∴(x +6)2=0，∴原方程的解为：x 1=x 2=-6．【点睛】本题主要考查利用因式分解法与直接开平方法求解一元二次方程，熟记因式分解法与直接开平方法解一元二次方程的步骤是解本题的关键．【考点六配方法解一元二次方程】【例题１】(2023·全国·九年级假期作业)用配方法解关于x 的方程：x 2+12x +25=0．【答案】x 1=-6+11，x 2=-6-11【分析】先移项后，再配方得x +6 2=11，再直接开方即可求解．【详解】解：x 2+12x +25=0，移项得：x 2+12x =-25，配方得：x 2+12x +36=-25+36，即x +6 2=11，∴x+6=±11，解得：x1=-6+11，x2=-6-11．【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的步骤是解题的关键．【变式6-1】(2023秋·广东汕头·九年级统考期末)用配方法解方程：x2+6x-6=0．【答案】x1=15-3,x2=-15-3【分析】根据配方法解一元二次方程即可求解．【详解】解：x2+6x-6=0，∴x2+6x=6 ．∴x2+6x+9=6+9．∴x+32=15．∴x+3=±15．解得：x1=15-3,x2=-15-3．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．【变式6-2】(2023·江苏·九年级假期作业)用配方法解方程：-2x2-5x+20=0．【答案】x1=-54+1854，x2=-54-1854【分析】先将二次系数化为“1”，然后将常数项移到等号的右边，再在等号的两边同时加上一次项系数一半的平方，即可把方程左边化成含未知数的完全平方式，最后两边开平方求解．【详解】由-2x2-5x+20=0，得2x2+5x-20=0，即x2+52x-10=0，配方，得：x2+52x+2516=10+2516，即x+542=18516，解得：x=-54±18516，所以原方程的解为：x1=-54+1854，x2=-54-1854．【点睛】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根，注意先将二次项系数化为1，然后再配方是解题的关键．【变式6-3】(2023·江苏·九年级假期作业)用配方法解方程：0.3x2-0.2x+130=0．【答案】x1=x2=1 3【分析】利用配方法求解即可．【详解】解：由0.3x2-0.2x+130=0，得：3x2-2x+13=0，∴x2-23x+19=0，∴x-132=0，∴原方程的解为：x1=x2=13．【点睛】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根，注意先将二次项系数化为1，然后再配方，掌握配方法的步骤是解题的关键．【变式6-4】(2023·江苏·九年级假期作业)用配方法解方程：y2-43y-2013=0．【答案】y1=23+45，y2=23-45【分析】由y2-43y-2013=0，得y2-43y+12=2025，即(y-23)2=2025，再利用直接开平方的方法解题即可．【详解】解：∵y2-43y-2013=0，∴y2-43y+12=2025，即y-232=2025，∴y-23=±45，∴原方程的解为：y1=23+45，y2=23-45．【点睛】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根，掌握配方法的步骤是解本题的关键．【变式6-5】(2023春·浙江·八年级专题练习)解下列方程3x2+4x-1=0．(用配方法)【答案】x1=-23+73，x2=-23-73【分析】根据配方法解一元二次方程即可求解．【详解】解：∵3x2+4x-1=0，∴3x2+4x=1，则x2+43x=13∴x2+43x+49=13+49即x+2 32=79∴x+23=±73，解得：x1=-23+73，x2=-23-73．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．【考点七用配方法解一元二次方程错解复原】【例题１】(2023·全国·九年级假期作业)以下是圆圆在用配方法解一元二次方程x2-2x-4=0的过程：解：移项得x2-2x=4配方：x2-2x+1=4x-12=4开平方得：x-1=±2移项：x=±2+1所以：x1=3，x2=3圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．【答案】有错误，过程见解析【分析】直接利用配方法解一元二次方程的方法进而分析得出答案．【详解】解：圆圆的解答过程有错误，正确的解答过程如下：移项得：x2-2x=4，配方：x2-2x+1=4+1，x-12=5，开平方得：x-1=±5，移项：x=±5+1，所以：x1=5+1，x2=-5+1．【点睛】此题主要考查了解一元二次方程，正确掌握配方法解方程的步骤是解题关键．【变式7-2】(2023秋·河北沧州·九年级统考期末)阅读材料，并回答问题：佳佳解一元二次方程x2+6x-4=0的过程如下：解：x2+6x-4=0x2+6x=4--------------------------------①x2+6x+9=4-----------------------------②(x+3)2=4-------------------------------③x+3=±2--------------------------------④x+3=2，x+3=-2x1=1，x2=-5．问题：(1)佳佳解方程的方法是；A.直接开平方法B.配方法C.公式法D.因式分解法(2)上述解答过程中，从步开始出现了错误(填序号)，发生错误的原因是；(3)在下面的空白处，写出正确的解答过程．【答案】(1)B(2)②，等号右边没有加9(3)x1=-3+13，x2=-3-13．【分析】(1)利用配方法解方程的方法进行判断；(2)第2步方程两边都加上4，则可判断从②步开始出现了错误；(3)利用配方法解方程的基本步骤解方程．【详解】(1)解：佳佳解方程的方法为配方法；故选：B；(2)解：上述解答过程中，从②步开始出现了错误，发生错误的原因是方程右边没有加上9；故答案为：②；等号右边没有加9；(3)解：正确解答为：解：x2+6x-4=0，移项得x2+6x=4，配方得x2+6x+9=4+9，即(x+3)2=13，∴x+3=±13，∴x+3=13或x+3=-13，所以x1=-3+13，x2=-3-13．【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．【变式7-3】(2023秋·山西朔州·九年级统考期末)下面是某同学解方程x2+4x-12=0的部分运算过程：解：移项，得x2+4x-12=0，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第一步配方，得x2+4x+4=12+4，⋯⋯⋯⋯⋯⋯第二步即x+22=16，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第三步两边开平方，得x+2=4，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第四步⋯(1)该同学的解答从第步开始出错；(2)请写出正确的解答过程．【答案】(1)四(2)解得过程见解析，x1=2，x2=-6．【分析】(1)仔细检查分析每一步的运算即可得到答案；(2)利用配方法解方程，变形后为x+22=16，再解方程不要漏解．【详解】(1)解：该同学的解答从第四步开始出错．(2)移项，得x2+4x-12=0，配方，得x2+4x+4=12+4，即x+22=16，两边开平方，得x+2=4或x+2=-4，解得：x1=2，x2=-6．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“利用配方法解方程的步骤”是解本题的关键．【变式7-4】(2023春·八年级单元测试)用配方法解一元二次方程：2x 2+3x +1=0．小明同学的解题过程如下：解：x 2+32x +12=0x 2+32x +94-94+12=0x +322=74x +32=±72x 1=-3+72，x 2=-3-72小明的解题过程是否正确？若正确，请回答“对”；若错误，请写出你的解题过程．【答案】错误，见解析【分析】运用配方法解答该方程即可判定正误．【详解】解：错误，正确解法如下：2x 2+3x +1=0x 2+32x +12=0x 2+32x +916-916+12=0x +34 2=116x +34=±14解得x 1=-12，x 2=-1．【点睛】本题主要考查了运用配方法解一元二次方程，掌握配方法成为解答本题的关键．【过关检测】一、选择题1.(2023春·浙江·八年级专题练习)方程x +1 2=9的解为()A.x =2，x =-4B.x =-2，x =4C.x =4，x =2D.x =-2，x =-4【答案】A【分析】方程利用平方根定义开方即可求出解．【详解】解：方程x+12=9，开方得：x+1=3或x+1=-3，解得：x=2，x=-4．故选：A．【点睛】题目主要考查利用直接开方法解一元二次方程，熟练掌握直接开方法是解题关键．2.(2023·江苏·九年级假期作业)下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为()A.ax2+bx+c=0B.x2-2=(x+3)2C.x2+3x-5=0 D.x2-1=0【答案】D【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可．【详解】解：A、当a=0时，该方程不是关于x的一元二次方程，故A不符合题意；B、方程整理后不含有二次项，该方程不是关于x的一元二次方程，故B不符合题意；C、该方程属于分式方程，不是关于x的一元二次方程，故C不符合题意；D、符合一元二次方程的定义，故D符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0a≠0．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．3.(2023春·四川成都·九年级统考开学考试)把一元二次方程x2-9=8x化成一般形式后，一次项系数的一半为()A.8B.4C.-8D.-4【答案】D【分析】将方程化为一般形式，再求出答案即可．【详解】解：原方程变为x2-8x-9=0，可知一次项系数的一半是-82=-4．故选：D．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，判断系数是解题的关键．4.(2023春·四川绵阳·九年级专题练习)关于x的一元二次方程为(m-2)x m -x+3=0，则m的值是()A.2B.-2C.2或-2D.m≠2【答案】B【分析】利用定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程判定即可．【详解】解：∵方程(m-2)x m -x+3=0是关于x的一元二次方程，∴m =2，且m-2≠0．解得m=-2．故选：B．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是明确一元二次方程的定义．5.(2023·广东佛山·校联考一模)已知a是方程x2-2x+2023=0的根，则代数式2a2-4a+2的值为()A.4044B.-4044C.2024D.-2024【答案】B【分析】由a是方程x2-2x+2023=0的一个根，将x=a代入方程得到关于a的等式，变形后即可求出所求式子的值．【详解】解：∵a是方程x2-2x+2023=0的一个根，∴将x=a代入方程得：a2-2a+2023=0，∴a2-2a=-2023，∴2a2-4a+2=2a2-2a+2=2×-2023+2=-4044故选：B．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，得到关于a的式子，代入代数式化简求值．二、填空题6.(2023·全国·九年级假期作业)一元二次方程x-1=2x+2的一般形式是．x+2【答案】x2-x-6=0【分析】利用整式的乘法运算展开，然后整理即可得解．【详解】解：x-1=2x+2，x+2x2+2x-x-2=2x+4，x2+2x-x-2-2x-4=0，x2-x-6=0，所以，一般形式为x2-x-6=0，故答案为：x2-x-6=0．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a，b，c是常数且a≠0)，在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．7.(2023·全国·九年级专题练习)一元二次方程x2-8x-2=0，配方后可变形为．【答案】x-42=18【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上16，然后把方程左边写成完全平方形式即可．【详解】解：x2-8x=2，x2-8x+16=18，x-42=18，故答案为：x-42=18．【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，掌握配方法是解题的关键．8.(2023秋·贵州铜仁·九年级统考期末)一元二次方程x2+2x=1的二次项系数、一次项系数与常数项的和等于．【答案】2【分析】先化为一般形式，继而即可求解．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a，b，c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．【详解】解：x2+2x=1的一般形式为x2+2x-1=0，∴二次项系数、一次项系数与常数项分别为1,2,-1∴1+2-1=2，故答案为：2．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．9.(2023春·八年级单元测试)关于x的方程m-1+3x-2=0是一元二次方程，则m的值为x m+1．【答案】-3【分析】根据一元二次方程的定义进行求解即可：只含有一个未知数，且未知数最高次数是2的整式方程是一元二次方程，注意二次项系数不能等于0．+3x-2=0是一元二次方程，【详解】解：∵关于x的方程m-1x m+1∴m+1=2，且m-1≠0，解得：m=-3．故答案为：-3．【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，解决本题的关键是要熟练掌握一元二次方程的定义．10.(2023春·浙江金华·八年级校考阶段练习)已知a是方程x2-4x+2=0的一个实数根，则-2a2+8a+2025的值是．【答案】2029【分析】先根据一元二次方程解的定义得到a2-4a=-2，再把a2-4a=-2整体代入所求式子中求解即可．【详解】解：∵a是方程x2-4x+2=0的一个实数根，∴a2-4a+2=0，∴a2-4a=-2，∴-2a2+8a+2025=-2a2-4a+2025=-2×-2+2025=4+2025=2029，故答案为：2029．【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．三、解答题11.(2023·全国·九年级假期作业)判断下列各式哪些是一元二次方程．①x2+x+1；②9x2-6x=0；③12y2=0；④5x2-12x+4=0；⑤x2+xy-3y2=0；⑥3y2=2；⑦(x+1)(x-1)=x2．【答案】②③⑥.【分析】直接根据一元二次方程的定义进行判断即可．【详解】解：①x2+x+1不是方程；④5x2-12x+4=0不是整式方程；⑤x2+xy-3y2=0含有2个未知数，不是一元方程；⑦(x+1)(x-1)=x2化简后没有二次项，不是2次方程，②③⑥符合一元二次方程的定义．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的辨别，熟练掌握一元二次方程的定义是解答此题的关键．12.(2023春·浙江·八年级专题练习)填表：方程一般形式二次项系数一次项系数常数项2x2-x=42y-4y2=0(2x)2=(x+1)2【答案】见解析【分析】将方程化为一般形式ax2+bx+c=0a≠0，其中a为二次项系数、b为一次项系数、c为常数项，由此可解．【详解】解：方程一般形式二次项系数一次项系数常数项2x 2-x =42x 2-x -4=02-1-42y -4y 2=0-4y 2+2y =0-420(2x )2=(x +1)23x 2-2x -1=03-2-1【点睛】本题考查一元二次方程的相关概念，一元二次方程的一般形式是ax 2+bx +c =0(a ，b ，c 是常数且a ≠0)．在一般形式中ax 2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数、一次项系数、常数项，掌握上述知识点是解题的关键．13.(2023春·浙江·八年级专题练习)用直接开平方法解下列方程：(1)49x 2-36=0；(2)9x +1 2=25．【答案】(1)x 1=67，x 2=-67(2)x 1=23，x 2=-8314.【分析】(1)用直接开平方法解答即可；(2)用直接开平方法解答即可．【详解】(1)49x 2-36=0，移项，得49x 2=36，两边同时除以49，得x 2=3649，开方，得x =±67，则方程的两个根为x 1=67，x 2=-67．(2)9x +1 2=25两边同时除以9，得x +1 2=259，开方，得x +1=±53，即x +1=53或x +1=-53，则方程的两个根为x 1=23，x 2=-83．【点睛】本题主要考查了用开方法解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握开方法.15.(2023春·全国·八年级专题练习)解方程：(1)x 2-5=0(2)x 2+2x -5=0【答案】(1)x 1=5,x 2=-5(2)x 1=-1+6,x 2=-1-6【分析】(1)利用直接开平方法解一元二次方程即可得出未知数的值；(2)利用配方法解一元二次方程即可得到未知数的值．【详解】(1)解：x 2-5=0移项，得：x 2=5解得：x =5，x =-5；(2)解：x 2+2x -5=0配方可得：x 2+2x +1=6；∴x +1 2=6；解得：x =-1+6，x =-1-6．【点睛】本题考查了解一元二次方程的方法，根据一元二次方程的特点选取合适的解法是解题的关键．16.(2023秋·湖南长沙·九年级校联考期末)解方程．(1)12x 2-2=0；(2)x 2+2x -1=0．【答案】(1)x 1=2，x 2=-2(2)x 1=-1+2，x 2=-1-2【分析】(1)利用直接开平方法解方程得出答案；(2)利用配方法解方程得出答案．【详解】(1)解：12x 2-2=0，移项得：12x 2=2，即x 2=4，开平方得：x 1=2，x 2=-2；(2)解：x 2+2x -1=0，移项得：x 2+2x =1，配方得：x 2+2x +1=1+1，则x +1 2=2，开平方得：x +1=±2，解得：x 1=-1+2，x 2=-1-2．【点睛】本题主要考查了直接开平方法以及配方法解方程，灵活运用解一元二次方程的方法是解题关键．17.(2023春·全国·八年级专题练习)用适当的方法解下列方程：(1)6x-12=25；(2)x2-2x=2x-1：【答案】(1)x=1或x=-2 3(2)2+3，2-3【分析】(1)利用直接开平方法求解即可；(2)利用配方法求解即可．【详解】(1)解：(6x-1)2=25，∴6x-1=±5，∴x1=1，x2=-23；(2)解：x2-2x=2x-1，x2-4x=-1，x2-4x+4=-1+4，即(x-2)2=3，∴x-2=±3，∴x1=2+3，x2=2-3．【点睛】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是熟练运用直接开平方法以及配方法，本题属于基础题型．18.(2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末)解方程：(1)x2+5x+7=11+3x(2)4x2+12x+9=81【答案】(1)x1=5-1，x2=-5-1(2)x1=3，x2=-6【分析】(1)选用配方法求解即可．(2)先用配方法，后用直接开平方法求解即可．【详解】(1)x2+5x+7=11+3xx2+2x=4x2+2x+1=5x+12=5x+1=±5∴x1=5-1，x2=-5-1．(2)解：2x+32=81，2x+3=9或2x+3=-9，x1=3，x2=-6．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，灵活选择求解方法是解题的关键．19.(2023春·浙江·八年级专题练习)在用配方法解一元二次方程4x2-12x-1=0时，李明同学的解题过程如下：解：方程4x2-12x-1=0可化成2x2-6×2x-1=0，移项，得2x2-6×2x=1．配方，得2x2-6×2x+9=1+9，即2x-32=10．由此可得2x-3=±10∴x1=3+102，x2=3-102．晓强同学认为李明同学的解题过程是错误的，因为用配方法解一元二次方程时，首先把二次项系数化为1，然后再配方，你同意晓强同学的想法吗？你从中受到了什么启示？【答案】见解析【分析】晓强认为李明的解题过程错误，我不同意他的想法，说明理由即可．【详解】解：不同意晓强的想法，当二次项系数不为1时，有时也可以把系数的算术平方根与字母看成整体，再配方．【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．·21·。

函数与方程中的一元二次方程与解法

函数与方程中的一元二次方程与解法一元二次方程是数学中常见且重要的方程形式，它在函数与方程的研究中具有广泛的应用。

本文将重点探讨一元二次方程及其解法，帮助读者更好地理解和应用这一概念。

一、一元二次方程的定义与形式一元二次方程是指具有如下形式的方程：ax² + bx + c = 0其中，a、b、c为常数，且a ≠ 0。

二、一元二次方程的解法解一元二次方程可以使用以下几种方法：方法一：因式分解法当一元二次方程可以被因式分解为两个一次因式相乘时，我们可以直接根据因式的零点得到方程的解。

例如，对于方程2x² + 5x + 3 = 0，我们可以将其因式分解为(2x + 1)(x + 3) = 0。

由此可得，方程的两个解为x = -1/2和x = -3。

方法二：配方法配方法是一种常用的解一元二次方程的方法，通过变形使方程左侧成为一个平方的形式，从而得到方程的解。

具体步骤如下：1. 将方程标准形式转化为完成平方的形式。

2. 完成平方后，将方程变形为(x + p)² = q的形式。

3. 对方程进行求根运算，得到方程的解。

例如，对于方程3x² + 4x + 1 = 0，我们可以通过配方法求解：1. 将方程变形为3(x² + 4/3x) + 1 = 0。

2. 完成平方后，得到3[(x + 2/3)² - 4/9] + 1 = 0。

3. 化简得到(x + 2/3)² - 4/3 + 1/3 = 0，即(x + 2/3)² = 1/3。

4. 对方程进行求根运算，得到方程的两个解为x = -2/3 + √(1/3)和x = -2/3 - √(1/3)。

方法三：利用求根公式一元二次方程的求根公式是解一元二次方程的一种常用公式，可以直接得到一元二次方程的精确解。

求根公式如下：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)例如，对于方程x² - 5x + 6 = 0，我们可以直接利用求根公式求解：x = (5 ± √(5² - 4*1*6)) / (2*1)，化简得到方程的两个解为x = 2和x = 3。

一元二次方程的基本概念与常见求解方法

一元二次方程的基本概念与常见求解方法知识点睛一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2，最高次数的项系数不为 0 的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式2(0)0ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项．（1）要判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下四个标准：一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式．一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数．一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是2．一元二次方程最高次数的项系数不为0．（2）任何一个关于x 的一元二次方程经过整理都可以化为一般式2(0)0ax bx c a ++=≠．要特别注意对于关于 x 的方程2(0)0ax bx c a ++=≠．当0a ≠时，方程是一元二次方程；当00a b =≠且时，方程是一元一次方程．（3）关于x 的一元二次方程2(0)0ax bx c a ++=≠的项与各项的系数．ax 2 为二次项，其系数为a ；bx 为一次项，其系数为b ；c 为常数项．一元二次方程的解法（1）直接开平方法：适用于解形如 (ax +b )2 = ()00a c ≠，的一元二次方程．（2）配方法：解形如2 )00(ax bx c a ++=≠的一元二次方程，运用配方法解一元二次方程的一般步骤是：① 二次项系数化为1．② 常数项右移．③ 配方 (两边同时加上一次项系数一半的平方)．④ 化成 (x +m )2 = n 的形式．⑤ 若0n ≥，直接开平方得出方程的解。

（3）公式法：设一元二次方程为2 )00(ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：2124b ac x x ∆=-，，是方程的两根，则：1. ∆ > 0 ⇔ 方程 2)00(ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根 x = 2. ∆ = 0 ⇔ 方程 2 )00(ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根 122b x x a==-； 3. ∆ < 0 ⇔ 方程2 )00(ax bx c a ++=≠ 没有实数根．运用公式法解一元二次方程的一般步骤是：① 把方程化为一般形式．② 确定 a 、b 、c 的值．③ 计算24b ac -的值．④ 若 240b ac -≥，则代入公式求方程的根．⑤ 若240b ac -<，则方程无实数根．（4）因式分解法：适用于方程一边是零，另一边是一个易于分解的多项式．因式分解法的一般步骤：① 将方程化为一元二次方程的一般形式；② 把方程的左边分解为两个一次因式的积；③ 令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④ 解出这两个一元一次方程得到原方程的解．一元二次方程解法的灵活运用直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法．在具体解题时，应当根据题目的特点选择适当的解法．（1）直接开平方法：用于缺少一次项以及形如 ax 2 = b 或 (x +a )2 = b (0)b ≥ 或 (ax +b )2 =(cx +d )2 的方程，能利用平方根的意义得到方程的解．（2）配方法：配方法是解一元二次方程的基本方法，而公式是由配方法演绎得到的．把一元二次方程的一般形式 ax 2 +bx +c = 0(a 、b 、c 为常数，0a ≠) 转化为它的简单形式 Ax 2 = B ，这种转化方法就是配方，之后再用直接开平方法就可得到方程的解．（3）公式法：适用于任何形式的一元二次方程，但必须先将方程化为一般形式，并计算 24b ac -的值．（4）因式分解法：适用于右边为 0(或可化为 0)，而左边易分解为两个一次因式积的方程，缺常数项或含有字母系数的方程用因式分解法较为简便，它是一种最常用的方法．【例 1】（1）若 x 2a +b -3x a-b +1 = 0 是关于 x 的一元二次方程，求 a 、b 的值．（2）若 n (n ≠0) 是关于 x 的方程 x 2 +mx +2n = 0 的根，则 m +n 的值为 ( )A. 1B. 2C. -1D. -2（3）已知 43x =，则2421x x x ++的值是 .（4）当 111552n n x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭时，(.n x = （ n 为自然数）【例 2】（1）用直接开平方法解方程：2269(5) 2x x x -+=-．（2）用配方法解方程：22310x x ++=．（3）用分解因式法解方程：2()2136x x -=-．（4）用公式法解方程：161432)2(2x x x x ⎛⎫++-=+ ⎪⎝⎭例 3】（1）解关于 x 的方程： 21 213()()0m x m x m -+-+-=．（2）解关于 x 的方程22656223200x xy y x y --++-=．【例 4】（1）如果方程 22()2020x px q x qx p p q -+=-+=≠和有公共根，则该公共根为．（2）若方程2222100ax ax x ax a +-=--=和有公共根，求a 的值例 5】（1）解方程：22132(10)|2|x x ---+=．（2）解方程：221|4|x x +-=．练习2 高次方程和无理方程知识点睛1.特殊高次方程的解法:一般的高次方程没有统一的求解方法. 对于一些特殊的高次方程, 可通过降次, 转化为一元二次方程或一元一次方程求解，转化的方法有因式分解法（因式定理）、换元法、变换主元法等.2. 特殊分式方程的解法:求解分式方程总的原则是通过去分母或换元, 使其转化为整式方程, 然后再求解. 在这个过程中离不开分式的恒等变形, 如通分、约分及降低分子的次数等等, 这就有可能使方程产生增根（或遗根）.3. 特殊无理方程的解法:解无理方程的基本思路是把根式转化为有理方程求解. 转化过程中常用的方法有: 乘方、配方、因式分解、等价变换、换元、增元、对偶、利用比例性质等. 如果变形过程是非等价变形（如方程两边平方）, 可能产生增根, 因此应注意验根.精讲精练【例 6】（1）解方程：43225122560x x x x --++=．（2）解关于 x 的方程 ()()322212 0x t x tx t t +--+-=．（3）解方程 321010x x ++++=【例 7】（1）解方程：(8x + 7)2 (4x + 3)(x + 1)= 29 ；（2）解方程： x x x x x x +-=------2221120102910451069．（3）解方程：222234112283912x x x x x x x x ++-+=+-+．【例 8】（1）解方程：()()222323322x x x x x =+-++--．（2）解方程：22252x x x ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭．（3）方程()()3232232?47615180x x x x x x x x -+---++-+=全部实根是．【例 9】（12=．（2）解方程 266 0x x --+=．【例 10】（1）已知 2x =，求．（2）无理方程 221518x x -=-的解是。