第五节 静电场的环路定理 电势能

7-5 静电场的环路定理 电势能

一、静电场力所作的功

如图所示，有一正点电荷q 固定于原点O ，试验电荷0q 在q 的电场中由点A 沿任意路径ACB

到达点B 。 在路径上点C 处位移元l d ，从原点O 到点C 的径矢为r 。 电场力对

0q 作的元功为 l E d d 0⋅=q W

已知点电荷的电场强度为

r r q e E 20π41ε=

r r qq W d π41d 200ε=

于是，在试验电荷0q 从点A 移至点B 的过程中，电场力所作的总功为

⎰⎰-===B A r r B A r r qq r r qq dW W 00200)11(π4d π4εε

式中A r 和B r 分别为试验电荷移动时的起点和终点距点电荷q 的距离。 上式表明，在点电荷q 的

非匀强电场中，电场力对试验电荷

0q 所作的功，只与其移动时的起始和终了位置有关，与所经

历的路径无关。 由此推广到任意静电场，可得出如下结论：一试验电荷

0q 在静电场中从一点沿任意路径运动到另一点时，静电场力对它所作的功，仅与试验电荷

0q 及路径的起点和终点的位置有关，而与该

路径的形状无关。

二、静电场的环路定理 在静电场中，若将试验电荷0q 沿闭合路径移动一周，电场力作的功可表示为

⎰⎰⋅=⋅=l l q q W 00d d l E l E

⎰=⋅l d q 00l E

由于0q 不为零，故

⎰=⋅l

0d l E （7-13） 上式表明， 在静电场中，电场强度E 沿任意闭合路径的线积分为零。 E 沿任意闭合路径的线积分又叫做E 的环流，这叫做静电场的环路定理。

至此，我们明了静电场力是保守力; 静电场是保守场。

三、电势能

与物体在重力场中具有重力势能一样，电荷在静电场中的一定位置上具有一定的电势能，这个电势能是属于电荷—电场系统的，而静电场力对电荷所作的功等于电荷电势能的改变量。 如果以A E p 和A E p 分别表示试验电荷0q 在电场中点A 点B 处的电势能，则试验电荷从A 移动到B ，静电场力对它作的功为

)(p p pB p A B A AB E E E E W --=-=

或

)(d p p p p 0A B B A AB E E E E q --=-=⋅⎰l E （7-14）

在国际单位制中，电势能的单位是焦耳，符号为J 。

电势能也和重力势能一样，是一个相对的量。 要决定电荷在电场中某一点电势的值，也必须先选择一个电势能参考点，并设该点的电势能为零。在式（7-14）中，若选

0q 在点B 处的电势能为零，即0p =B E ，则有

⎰⋅=AB A q E l

E d 0p )0(P =B E （7-15） 这表明，试验电荷

0q 在电场中某点处的电势能，在数值上就等于把它从该点移到零势能处静电

场力所作的功。

四、思考题

1、为什么说静电力是保守力？

2、电场强度E 的环流定理如何表示？ 由电场力作功与路径无关，可以证明：将试验电荷沿闭合路径移动一周，电场力作的功为零。 即