数学物理方程期末试卷
数学物理方程练习题第七版(学生用)
= u(0, t) 0= , ux (2,t) 1,
u(x= ,0)
cos π x + x3 − 3x2 − x.
2
3．求定解问题的解：
u
x= x + u yy
sinπ x,
0 < x < 1, 0 < y < 1,
= u(0, y) 1,= u(1, y) 2,
u(x,0) =1+ x,
7
u
rr
+
1 u
r
r
+
1 r2
uθθ
= 0,
u= (1,θ ) A cosθ (−π < θ ≤ π ).
4. 设 A, B 为常数，用试探法求如下定解问题的解：
u rr
1 +rur
+
1 r2
u
θθ
=
0,
r < a,
u r= =a A cosθ + B sinθ (−π < θ ≤ π ).
练习十五
练习六
1．求解如下定解问题：
ut = uxx + cosπ x, (0 < x < 1, t > 0), u= x (0,t) u= x (1,t) 0, u(x,0) = 0.
3
2．求解如下定解问题：
= u tt
a2u
xx
+
t
sin
π l
x
,
u= (0,t) u= (l,t) 0, t ≥ 0,
X= ′(0)
X= (l)
0.
3. 求如下定解问题的解：
= ut uxx , 0 < x < 2, t > 0, ux= (0, t) u= (2, t) 0,
数学物理方程与特殊函数试题及答案
数学物理方程与特殊函数试题及答案猜你喜欢： 1. 2. 3. 4. 5.数学物理方程与特殊函数是一门专业性比拟强的课程，要学好这门课程，同学们还是要用心去学才能学好数学物理方程与特殊函数。
下面是给大家的数学物理方程与特殊函数试题及答案，欢送大家学习参考。
1.对于一般的二阶线性偏微分方程0(1) 它的特征方程为，假设在域内ACB那么此域内称(1) 椭圆型假设在域内B那么此域内称(1)为抛物型假设在域内 B 那么此域内称(1)为双曲型。
2. 第一类格林公式第二类格林公式 . 已那么 ;而函数按1xP的展开式4.一维热传导方程可用差分方程似代替。
二维拉普拉斯方程可用差分方0 近似代替。
5. 勒让德多项式的正交性???。
二.用别离变量法求?的解。
(15分) 解：用别离变量法求解，先设满足边界条件且是变量被别离形式的特解为tTxXtxu?代入方程(1)上式左端不含有x，右端不含有t，从而得到两个线性常微分方程解(6)得 x由(2)得，及相应的固有函数为xlnBxXnn?sin? 7?? ，再由(5)得，? 由(7)，(8)得由(1)，(3)得又由(3) 得所以，原定解问题的解为?三.求方程? 的解。
(15分) 解：对(1)两端积分的通解为任意二阶可导函数，令(4)满足(2)，(3)得解之得6(5)，(6)代入(4)得u 四.求柯西问题的解。
(12分) 解;先确定所给方程的特征线。
为此，写出它的特征方程 dy2-2dxdy-3dx20 它的两族积分曲线为作特征变换4?经过变换原方程化它的通解为中21ff 是两个任意二次连续可微的函数。
方程(1)的通解为由(2。
西安邮电大学期末数理方程试题+答案
数学物理方程与特殊函数09级试题选讲一、求解定解问题22200,0,(0,0)x x lt u u a t x u u x l t xx u x ===춶=ﶶﶶï==<<>í¶¶ïï=ïî)()(),(t T x X t x u =)()()()(2t T x X a t T x X ¢¢=¢22)()()()(b -=¢¢=¢x X x X t T a t T 0>b 设，代入原方程得，则)()(22=+¢t T a t T b 0)()(2=+¢¢x X x X b 则，0x x lu u xx==¶¶==¶¶'(0)'()0X X l Þ==又因为得固有值问题2()()0'(0)'()0X x X x X X l b ¢¢ì+=í==î22)(ln pb =()cos 0,1,2,n n n xX x A n lp ==则固有值固有函数，数学物理方程与特殊函数09级试题选讲)()()(2=+¢t T la n t T p 2()()n a tl n T t C ep -Þ=2()01(,)cosn a tln n n x u x t C C elp p ¥-==+å从而0t ux==有因为01cosnn n x x C C lp ¥==+å所以220022[(1)1]cos 12n ln l n x l C x dx l l nl C xdx lp p --====òò2()2212(1)1(,)cos 2n a ntln l l n xu x t enlp p p¥-=--=+å数学物理方程与特殊函数09级试题选讲二、求解定解问题2222,,0(),0(),0(0)(0)t x t x u ut x t t t x ux x u x x =-=춶=-<<>ﶶïï=F £íï=Y ³ïïF =Y î解：特征变换为x t x tx h =-ìí=+î2u x h¶=¶¶原方程化为12()()u f f x h =+则它的通解为00(),()()(),()()2222t xt x ux u x u u h x x h x h x h=-====F =Y +-Þ=F =F =Y =Y 又因为数学物理方程与特殊函数09级试题选讲1212(0)()()2()(0)()2f f f f h h xx +=Y +=F 2112()()(0)2()()(0)2f f f f h h x x ì=Y -ïïÞíï=F -ïî12()()((0)(0))22()()(0)22u f f x t x tx h=F +Y -+-+=F +Y -F 则它的解为三、求解定解问题)0,(,0,3,03202022222>+¥<<-¥ïïïîïïíì=¶¶==¶¶-¶¶¶+¶¶==y x y ux u y uy x u x u y y 解：原方程的特征方程为22()23()0dy dydx dx --=13C x y +=2C x y +-=，则特征线为3x y x yx h =-ìí=+î特征变换20ux h¶=¶¶原方程化为12()()u f f x h =+则它的通解为数学物理方程与特殊函数09级试题选讲12(,)(3)()u x y f x y f x y =-++即203,y y u ux y==¶==¶又因为21212(3)()3(3)()0f x f x xf x f x ì+=í¢¢-+=î则可得C x x f¢-=2149)3(C x x f ¢+=2243)(C x x f¢-=2141)(222234)(34)3(),(yx y x y x y x u +=++-=22()()C Du vv u u v d v u ds n n s ¶¶Ñ-Ñ=-¶¶òòò 四、证明平面上的格林公式其中n 为曲线的外法线向量。
数学物理方程期末试卷
数学物理方程期末试卷第一部分：选择题请在每个题目中选择仅一个正确答案并将字母填入括号内。
1.求解y″+y=0有解的方法是？A. 特征根法 ( )B. 系数法 ( )C. 齐次线性微分方程法 ( )D. 变量分离法 ( )2.求解 $\\frac{\\partial^2u}{\\partialx^2}+\\frac{\\partial^2u}{\\partial y^2}=0$ 有解的条件是？A. u在区域内为调和函数 ( )B. u在区域内为多项式函数 ( )C. 区域的边界条件为第一类边界条件 ( )D. 区域的边界条件为第二类边界条件 ( )3.解 $\\frac{\\partial u}{\\partial t}+2u=0$，u(x,0)=x，在t=1时，u(x,1)=?A. $\\frac{x}{2}$B. xe−2C. $\\frac{x}{e^2}$D. xe2 ( )4.对于一般的偏微分方程，逐步消去导数的方法称为？A. 特征线法 ( )B. 微分方程求解法 ( )C. 变量分离法 ( )D. 特征值法 ( )5.$y=A\\cos(x)-B\\sin(x)$ 是如下微分方程的？A. $y''+y=\\sin(x)$B. $y''-y=\\cos(x)$ ( )C. $y''+y=\\cos(x)$D. $y''-y=\\sin(x)$第二部分：填空题请在每个题目中填入恰当的答案。
1.y″−2y′+2y=0的通解为______。
2.$\\frac{\\partial^2 u}{\\partial t^2}-c^2\\frac{\\partial^2u}{\\partial x^2}=0$ 的波动方程，初始时刻条件为$u(x,0)=\\varphi(x)$，$u_t(x,0)=\\psi(x)$，其解为$u(x,t)=\\frac{1}{2}(f_1(x-ct)+f_2(x+ct))$，其中f1(x),f2(x)分别是u(x,0)和u t(x,0)的__________。
数学物理方法期末试题(5年试题含答案)
………密………封………线………以………内………答………题………无………效……附：拉普拉斯方程02=∇u 在柱坐标系和球坐标系下的表达式 柱坐标系：2222222110u u u uzρρρρϕ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂球坐标系：2222222111sin 0sin sin u u ur r r r r r θθθθθϕ∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭一、填空题36分（每空2分）1、 数量场2322u x z y z =+在点(2, 0, -1)处沿2423x xy z =-+l i j k 方向的方向导数是。
2、 矢量场()xyz x y z ==+A r r i +j k 在点(1, 3, 3)处的散度为 。
3、 面单连域内设有矢量场A ，若其散度0∇⋅A =，则称此矢量场为 。
4、 高斯公式Sd ⋅=⎰⎰ A S ；斯托克斯公式ld ⋅=⎰ A l 。
5、 将泛定方程和 结合在一起，就构成了一个定解问题。
只有初始条件，没有边界条件的定解问题称为 ；只有边界条件，没有初始条件的定解问题称为 ；既有边界条件，又有初始条件的定解问题称为 。
………密………封………线………以………内………答………题………无………效……6、 ()l P x 是l 次勒让德多项式，则11()()l l P x P x +-''-= ； m n =时，11()()mn P x P x dx -=⎰。
7、 已知()n J x 和()n N x 分别为n 阶贝塞尔函数和n 阶诺依曼函数(其中n 为整数)，那么可知(1)()n H x = 。
(2)()n H x = 。
8、 定解问题2222000(0,0)|0,||0,|0x x ay y bu ux a y b x y u u V u u ====⎧∂∂+=<<<<⎪∂∂⎪⎪==⎨⎪==⎪⎪⎩的本征函数为 ，本征值为 。
数理方程期末试题及答案
带入微分方程求解得：
k
a2
A 2
则得通解
T1
t
C1
cos
n l
a
t
D1
sin
n l
a
t
a2
A 2
sin t
带入初始条件得： C1
0,
D1
A a2 2
l a
则原定解问题的解为
u x,t
A a2 2
l sin a t cos
a l
l
x
2、 求解下列初值问题：（10 分）
uuttx,0u
xx
数； （3） 将形式解带入泛定方程以及初始条件，求解待定函数 Tn(t).
4、试述行波法的适用范围，并写出无限长弦自由振动的达朗贝尔公式。 答：行波法（特征线法）对双曲型方程是有效的，沿着双曲型方程两条特征线做
自变量替换总可以把双曲型方程化为可积形式，获得通解，由此行波法仅适用于
无界条件的波动方程。
3x x ,t sin x,ut x,0 x
0
解：应用达朗贝尔公式： u 1 (x at) (x at) 1
xat
( )d
其中
2
2a xat
，
x sin x, x x ，带入上式得：
u
1 2
sin
x
at
sin
x
at
1 2a
xat
d
xat
sin x cos at t
数学物理方程期末试题答案
一、 简述题：（每题 7 分，共 28 分） 1、 简述数学物理中的三类典型方程，并写出三类方程在一维情况下的具体形
式。
答：波动方程：
2u t 2
数学物理方程试题
考生注意：所有答题务必书写在考场提供的答题纸上，写在本试题单上的答题一律无效（本题单不参与阅卷）。
一、（本题20分）。
设细杆因外界原因而产生纵振动，以(,)u x t 表示其静止时x 点处在时刻t 离开原位置的偏移，并假设振动过程中所发生的张力服从虎克定律，即x 处单位面积受到的张力(,)(,)u x t p x t E x
∂=∂，其中E 为细杆的杨氏模量．令()x ρ为细杆的密度，试写出该振动所满足的偏微分方程．
二、（本题20分）。
判定方程
0623222222=∂∂+∂∂+∂∂-∂∂∂+∂∂y u x u y y x u x u
的类型并化简．
三、（本题10分）。
设有圆域r R <上的Laplace 方程的第二边值问题
0sin [0,2]4r R
u u n θθπ=∇=⎧⎪∂⎨=∈⎪∂⎩ 请讨论此方程是否有解（其中，（r ，θ）是该园域所在的二维空间的极坐标表示）.
四、（本题10分）。
试用齐次化原理导出平面非齐次波动方程2()(,,)tt xx yy u a u u f x y t -+=在齐次初
始条件0000
t t t u u ==⎧=⎪⎨=⎪⎩下的求解公式．
五、（本题10分）。
求解热传导方程的初值问题
0(,0)sin t xx u u u x x -=⎧⎨=⎩
六、（本题20分）。
求解下列弦振动方程的定解问题
()200,0(,0)0,(,0)()(0,)(,)0tt xx t u a u x l t u x u x x l x u t u l t ⎧-=<<<⎪==-⎨⎪==⎩。
试题一-数学物理方法-西北师范大学
西北师范大学物理与电子工程学院2006-2007学年度第一学期《数学物理方法》期末试卷(A 卷)系别:专业：级别：班级：学号：姓名：任课教师：题号一二三四五六七八总分得分一、(10分)在经典数学物理方程中,以二阶线性偏微分方程为主要研究对象.请问二阶线性偏微分方程从数学上分为哪几类?在物理上分别对应于什么过程?并写出各类方程的标准形式.二、(10分)数学物理方程有两大基本任务:导出定解问题和求解相应的定解问题.请问什么是定解问题?定解问题包括哪些要素?我们学习了哪些定解问题?以及求解这些定解问题的主要方法有哪些?三、(10分)定解问题的适定性对于导出定解问题和求解定解问题具有重要的指导意义.请问什么是定解问题的适定性?适定性包括哪些方面?并从物理角度分析如下定解问题是不适定的(提示:可以从温度场或静电场出发,解可能不存在).∆u =f (f =0)(在区域D 内)∂u ∂n S =0(S 为区域D 的边界,n 为边界S 的外法线方向)四、(5分)一根长为l 的均匀细杆,其温度分布满足如下定解问题：u t −a 2u xx =0(0<x <l,t >0)u (0,t )=0,u x (l,t )=0(t ≥0)u (x,0)=200(0≤x ≤l )《数学物理方法》试卷(A 卷)第1页(共3页)不求解定解问题,从物理角度直观分析细杆上温度随时间的变化情况,并考察t →+∞时细杆上的温度.五、(30分)分离变量法是求解定解问题的重要方法之一.请问分离变量法对定解问题有什么要求？分离变量法有哪些基本步骤？关键的步骤是什么？请用分离变量法求解如下弦振动方程的混合问题(要求写出完整的求解过程),并分析解的物理意义.u tt =a 2u xx (0<x <l,t >0)u (0,t )=0,u (l,t )=0(t ≥0)u (x,0)=sin 2πx l ,u t (x,0)=0(0≤x ≥l )六、(15分)一根无限长的均匀细杆,其振动满足如下定解问题:u tt =a 2(u xx +2x u x )(−∞<x <∞,t >0)u (x,0)=ϕ(x )(−∞<x <∞)u t (x,0)=ψ(x )(−∞<x <∞)其中ϕ(x ),ψ(x )为充分光滑的已知函数.请求解该定解问题,并说明解的物理意义(提示:令v (x,t )=xu (x,t )).七、(10分)格林函数又称点源影响函数,请用镜像法求出Laplace 方程上半空间Dirichlet 问题的格林函数,并说明其物理意义.同时请写出Laplace 方程上半空间Dirichlet 问题∆u =0(z >0,−∞<x <∞,−∞<y <∞)u (x,y,0)=f (x,y )(−∞<x <∞,−∞<y <∞)解的积分公式.八、(10分)求解常微分方程的本征值问题时,会得到各种各样的特殊函数,诸如Legendre(勒让德)多项式、Bessel(贝塞耳)函数、Hermite(厄密)多项式《数学物理方法》试卷(A 卷)第2页(共3页)和Laguerre(拉盖尔)多项式等.对连带Legendre多项式,请填空(每空2分)：l阶连带Legendre微分方程的一般形式为,其中有两个本征值l(l+1)和m.l的取值范围为,相应m的取值范围为.l阶连带Legendre微分方程的解为l阶连带Legendre多项式,连带Legendre多项式的性、性和完备性是使它成为一个坐标函数系的三个重要性质.《数学物理方法》试卷(A卷)第3页(共3页)西北师范大学物理与电子工程学院2006-2007学年度第一学期《数学物理方法》期末试卷(A卷)参考答案一、(10分)二阶线性偏微分方程从数学上分为双曲型、抛物型、椭圆型三类,在物理上,双曲型方程对应于波动过程,抛物型方程对应于传输和扩散过程,椭圆型方程对应于稳定场过程.双曲型方程的标准形式为u tt−a2∆u=f,抛物型方程的标准形式为u t−a2∆u=f,椭圆型方程的标准形式为∆u=f.二、(10分)物理问题在数学上的完整提法是：在给定的定解条件下,求解数学物理方程.数学物理方程加上相应的定解条件就构成定解问题.定解问题包括泛定方程和定解条件.物理规律用偏微分方程表达出来,叫作数学物理方程.数学物理方程,作为同一类物理现象的共性,反映的是矛盾的普遍性,与具体条件无关,是解决问题的依据,所以又称为泛定方程.定解条件包括边界条件和初始条件,有时还需要衔接条件.边界条件和初始条件反映了具体问题特定的环境和历史,即矛盾的特殊性.泛定方程提供解决问题的依据,定解条件提出具体的物理问题,泛定方程和定解条件作为一个整体,合称为定解问题.学习的定解问题有:对波动过程:针对有界弦,提出了弦振动方程的混合问题;针对无界弦,提出了弦振动方程的初值问题(或Cauchy问题).对传输和扩散过程:针对有界杆,提出了热传导方程的混合问题;针对无界杆,提出了热传导方程的初值问题;针对一端有界的杆,提出了热传导方程的半无限问题.对稳定场过程:提出了Laplace方程圆、球、半空间、半平面的Dirichlet问题.求解这些定解问题的主要方法有:分离变量法(有界空间、无界空间、极坐标系、球坐标系)、Fourier级数法(齐次泛定方程、非齐次泛定方程)、行《数学物理方法》试卷(A卷)参考答案第1页(共4页)波解法(或D’Alembert解法)、冲量定理法、格林函数法(波动、热传导、镜像法)等.三、(10分)定解问题是对真实的物理问题经过一定的近似后得到的,近似就涉及到是否合理的问题,即定解问题是否提的正确,这一问题称为定解问题的适定性.定解问题的适定性包括解的存在性、解的唯一性和解的稳定性三个方面.该定解问题如果从温度场来考虑,反映的是这样一种温度场：区域D内存在热源,而边界上是绝热的.热源不停的放出热量,而热量又不能经由边界散发出去,D内的温度必然要不停的升高,其温度分布不可能是稳定的,故该问题不能由Possion方程来描述,因此该定解问题的解是不存在的.从而该定解问题是不适定的.(注:从静电场分析类似,只不过内部有电荷分布,而电场的法向分量为零.)四、(5分)从该定解问题可以看出：杆的左端温度为0,右端绝热,杆内部没有热源,杆上初始时刻各处温度均为常数200.根据热传导规律,杆上的温度将随时间降低,越靠近左端,温度降得越快,最后当t→+∞时细杆的温度将和左端的温度相等,即杆上各处的温度均为0.五、(30分)分离变量法要求定解问题的泛定方程与边界条件必须是齐次的.分离变量法其基本步骤为：1、变量分离;2、求解本征值问题;3、求解另外的常微分方程;4、特解的叠加;5、利用定解条件确定叠加系数.分离变量法关键的步骤是求解本征值问题.1.变量分离设u(x,t)=X(x)T(t),代入泛定方程得X +λX=0T +λa2T=0,其中λ为分离常数.将u(x,t)=X(x)T(t)代入边界条件得X(0)=0,X(l)=0.《数学物理方法》试卷(A卷)参考答案第2页(共4页)2.求解本征值问题X +λX =0X (0)=0,X (l )=0本征值λn =n 2π2l 2,本征函数X n (x )=sin nπxl ,n =1,2,···.3.求解常微分方程T+n 2π2a 2l 2T =0,n =1,2,···T n (t )=C n cos nπa l t +D n sin nπalt ,n =1,2,···.其中C n ,D n 为任意常数.得一系列特解u n (x,t )=X n (x )T n (t )=C n cos nπa l t +D n sin nπa l t sin nπxl,n =1,2,···.4.特解的叠加u (x,t )=∞ n =1u n (x,t )=∞ n =1C n cos nπal t +D n sin nπa l t sin nπx l.5.利用初始条件确定叠加系数C n ,D nu (x,0)=∞ n =1C n sinnπx l =sin 2πxl =⇒C 2=1C n =0,n =2.u t (x,0)=∞ n =1D n nπa l sin nπxl=0=⇒D n =0,n =1,2,···.所以该定解问题的解为u (x,t )=cos2πa l t sin 2πxl.解的物理意义：该Fourier 级数解在物理上表示驻波.六、(15分)令v (x,t )=xu (x,t ).化原定解问题为：v tt =a 2v xx (−∞<x <∞,t >0)v (x,0)=xϕ(x )(−∞<x <∞)v t (x,0)=xψ(x )(−∞<x <∞)利用D’Alembert 公式,有《数学物理方法》试卷(A 卷)参考答案第3页(共4页)v(x,t)=(x−at)ϕ(x−at)+(x+at)ϕ(x+at)2+12ax+atx−atαψ(α)dα.所以,u(x,t)=1xv(x,t)=12x(x−at)ϕ(x−at)+(x+at)ϕ(x+at)+1ax+atx−atαψ(α)dα.解的物理意义：f(x−at)表示右行波(或右传播波、正行波),f(x+at)表示左行波(或左传播波、逆行波),u(x,t)表示沿x轴正、负方向传播的行波,其中前一项来源于初始位移ϕ(x),后一项来源于初始速度ψ(x).七、(10分)Laplace方程上半空间Dirichlet问题的格林函数为：G(M,M0)=1r MM−g(M,M0)=1r MM−1r MM1=1(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2−1(x−x0)2+(y−y0)2+(z+z0)2,其中1r MM=1(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2在静电学上表示M0(x0,y0,z0)处单位正电荷在M(x,y,z)处产生的电势,−g(M,M0)表示接地导体平面z=0上感应负电荷在M(x,y,z)处产生的电势,其可以用镜像点M1(x0,y0,−z0)处单位负电荷产生的电势−1(x−x0)2+(y−y0)2+(z+z0)2来代替.Laplace方程上半空间Dirichlet问题解的积分公式为：u(x0,y0,z0)=−14πf∂G(M,M0)∂ndS=14π∞−∞∞−∞f(x,y)·∂∂z1(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2−1(x−x0)2+(y−y0)2+(z+z0)2z=0dx dy=z02π∞−∞∞−∞f(x,y)(x−x0)2+(y−y0)2+z203/2dxdy八、(10分)(1−x2)d2ydx2−2xdydx+l(l+1)−m21−x2y=0.l=0,1,2,3,···,m=0,1,2,···,l.正交、归一.《数学物理方法》试卷(A卷)参考答案第4页(共4页)。
数理方程试题
数理⽅程试题太原科技⼤学数学物理⽅程课程试卷卷⼀．填空（每⼩题3分，共15分）（1）三维热传导⽅程的⼀般形式为_____________。
（2）设函数的傅⾥叶变换为 , 则⽅程的傅⾥叶变换为______________。
（3）下列拉普拉斯⽅程的诺依曼问题是否有解________。
（4）区域的格林函数在区域边界上 =______。
（5）⼀维热传导⽅程的基本解为_____________________。
⼆．化下列⽅程为标准型，说明其类型并求解此定解问题（15分）。
()u x t ,()U t α,2tt xxu a u =2220,sin 4r R u x y R u n θ=?=+= Ω()0,G M M 21(,0)0,(,0)2xx xy yy y u u u u x u x x--===??三．⽤⾏波法求下列初值问题的解（20分）。
241,,0,(,0),(,0)1,.tt xx t u u x R t u x x u x x x R =+∈==+∈??四．⽤分离变量法求下列初边值问题的解（15分）。
22,01,0,(0,)1,(1,)0,0,(,0),.t xx u u x t u t u t t u x x x R =-??=-=??=∈?五．⽤拉普拉斯变换法求下列初边值问题的解（15分）。
六．证明题（20分）（1）（5分）证明9,0,0,(0,)cos ,lim (,)0,(,0)0,(,0)0,0.tt xx x t u u x t u t t u x t u x u x x →+∞?=+∞??==??==+∞?? ()()x x x δδ'=-（2）（8分）已知格林第⼆公式ds )nu v n v u(dxdy )u v v u (??-??=?-ΩΩ?，证明：⼆维调和函数的积分表达式为011u 1u(,y )ln u (ln )ds 2r n n r 0x π?Ω=-?. 其中)y ,(00x 为区域Ω内任⼀点，22)()(r 00y y x x -+-=，n 为区域边界的外法线⽅向。
华南理工大学期末考试数学物理方程卷a及答(08[1]6
![华南理工大学期末考试数学物理方程卷a及答(08[1]6](https://img.taocdn.com/s3/m/fef9a21833687e21ae45a910.png)
ìï dU (l, t) í dt
=
-a2l 2U (l, t) ,
ïî U (l, 0) = F(l).
U (l, t) = F(l)e-a2l2t .
ò u(x, t) = sin x *
1
e = -
x2 4 a2t
1
+¥
sin
x
e
-
(
x-x 4a2
) t
2
d
x
=
sin xe-a2t .
2a p t
òò ìDu = 0,
í î
u |G =
(x, y, z) Î f (x, y, z)
W
的解可表示为（
u( M 0
)
=
-
G
f (x, y, z) ¶G dS ）。 ¶n
8. 贝塞尔方程 x2 y¢¢ + xy¢ + ( x2 - 5) y = 0 的通解是（ y( x) = AJ (x) + BJ ( x) ）。
wn
分别为（
np l
），（
(2n + 1)p 2l
），（
(2n + 1)p 2l
），（
np l
）。
3.
表达波动方程初值问题
ìíutt îu(
= x,
a2uxx , -¥ 0) = j (x),
< ut
x < +¥,t (x,0) =y
>0 ( x)
的解的达朗贝尔公式是
ò （ u(x,t) = j ( x - at) + j (x + at) + 1
=
¥ m=1
4J 2 (mm(0) )
山东大学物理学院 数学物理方法 2022-2023期末试题及解析
《数学物理方法》课程考试大纲2022-2023山东大学物理学院 数学物理方法期末试题一、 填空题(每题3分，共27分)1. 已知zz =cos (aa +iibb )，z 的代数表达式为________________2. 指出多值函数�(zz −aa )(zz −bb )的支点和阶数___________3. 已知级数∑aa nn xx nn ∞nn=0的收敛半径为A ，试问级数∑aa nn √1+bb nn nnxx nn ∞nn=0（|bb |<1）的收敛半径为_____________4.ssss nn 2zz zz 3的极点为_____，且为______ 阶极点5. 利用柯西公式计算∮zz 2−zz+1zz 2(zz−1)ddzz |zz |=2_______________6. 连带勒让德多项式的正交代数表达式为_______________7. 计算留数1(zz 2+1)2_________________________8. 从t=a 持续作用到t=b 的作用力ff (tt )，可以看作许多前后相继的瞬时力的总和，其数学表达形式为__________9. ∫3δδ(xx −ππ)[ee 2xx +cccccc xx ]ddxx 10−10=_________________ 二、 简算题(每题5分，共15分)1. 将函数ff (zz )=1zz 2−3zz+2，在区域0<|zz −1|<1上展开为洛朗级数 2. �cos mmxx(xx 2+aa 2)2d xx ∞−∞，m>03. 已知解析函数ff =uu +iiνν，而uu =xx 3−3xxyy 2，试求ff三、 (8分)用级数法解微分方程yy ′′+xxyy ′+yy =0四、 (10分)在圆域ρρ<ρρ0上求解泊松方程的边值问题�ΔΔuu =aa +bb (xx 2−yy 2)uu ρρ=pp 0=cc五、 (15分)设有一均匀球体，在球面上的温度为cos 2θθ，试在稳定状态下求球内的温度分布（已知，PP 0(xx )=1，PP 1(xx )=xx , PP 2(xx )=12(3xx 2−1)）六、 (10分)利用拉普拉斯变换解RC 电路方程：�RRRR +1CC �RR dd tt tt=EE 0sin ωωttRR (0)=0七、 (15分)计算：⎩⎨⎧ðð2uu ððtt 2−aa 2ðð2uuððxx2=AA cos ππxx ll sin ωωttuu |xx=0=0, uu |xx=ll =0uu |tt=0=φφ(xx ), uu tt |tt=0=ψψ(xx )2022-2023 数学物理方法期末试题 参考答案一、 填空题(每题3分，共27分)1.【正解】 12(ee bb +ee −bb )cos aa +i2(ee −bb −ee bb )sin aa 【解析】cos (aa +i bb )=ee ss (aa+ss bb )+ee −ss (aa+ss bb )2=12(ee −bb ee ss aa+ee bb ee −ss aa )=12[e −bb(cos aa +isin aa )+e bb (cos aa −isin aa )]=12[(e bb+e −bb )cos aa +i(e −bb −e bb )sin aa ]=12(ee bb +ee −bb)cos aa +i 2(ee −bb−ee bb )sin aa 2.【正解】支点：z=a 、b 、∞；皆为一阶支点【解析】注意到函数为12次，且当z=a 、b 时函数置零，z=∞为熟知的支点，阶数皆为2−1=1 3.【正解】A【解析】由根值判别法，幂级数的收敛区间为ll ii ll nn→∞�aa nn ⋅(1+bb nn )nn⋅xxxx (−1,1)而|bb |<1⇒ll ii ll nn→∞√1+bb nn nn=1故收敛半径保持不变，仍为A 4.【正解】zz =0；一阶 【解析】ll ii llzz→0ssss nn 2zz zz 3→∞，且ll ii ll zz→0zz ⋅ssss nn 2zz zz 3=1故zz =0为一阶极点5.【正解】2πi注意到原函数的极点为zz =0和zz =1，且分别为2阶与一阶极点，故上述积分即为II =2ππii �Re cc�ff (zz ),0]+Re cc [ff (zz ),1]��而Re cc [ff (zz ),0]=ll ii ll zz→0dd �zz 2−zz +1zz −1�ddzz=0Re cc [ff (zz ),1]=ll ii ll zz→1zz 2−zz +1zz 2=1因此II =2ππii6.【正解】�PP ll mm (xx )⋅PP kk mm (xx )ddxx =01−1(ll ≠kk ) 7. 【正解】Re cc [ff (zz ),ii ]=ll ii ll zz→ss dd �1(zz +ii )2�ddzz=−2[2ii ]−3Re cc [ff (zz ),−ii ]=ll ii ll zz→−ss dd �1(zz −ii )2�ddzz=−2[−2ii ]−38.【正解】∫ff (ττ)1−1δδ(tt −ττ)ddττ 9.【正解】ee 2ππ−1【解析】由δδ函数的挑选性，上述积分即为 (ee 2xx +cccccc xx )|xx=ππ=ee 2ππ−1 二、 简算题(每题5分，共15分)1.【解析】在区域0<|zz −1|<1内ff (zz )=1zz 2−3zz +2=−12⋅11−zz 2−1zz −1=−12⋅11−zz 2−1zz ⋅11−1zzff (zz )=−�12kk+1zz kk ∞kk=0−�zz −(kk+1)∞kk=0 =−�zz kk−1kk=−∞−�12kk+1zz kk∞kk=02.【解析】由约旦引理，从上半平面的半圆弧补全围道，上半平面有一个二阶极点zz 0=iiaa ，该点的留数为RReeccff (zz 0) =limzz→zz 0d d zz e immzz(zz +aa i)2=lim zz→zz 0[i ll e immzz (zz +aa i)2−2e ss nn zz (zz +aa i)3] =−llaa +14aa 3ie −mmaaII =ππi ⋅(−llaa +14aa 3ie −mmaa )=llaa +14aa3ππe −mmaa 3.【解析】根据C-R 条件,有∂uu ∂xx =3xx 2−3yy 2=∂νν∂yy−∂uu ∂yy =6xxyy =∂νν∂xxddνν=−(−6xxyy )d xx +3(xx 2−yy 2)d yy =d(3xx 2yy −yy 3) 有νν=3xx 2yy −yy 3+CC ,代入得ff (zz )=xx 3−3xxyy 2+i(3xx 2yy −yy 3+CC ) =(xx +i yy )3+i CC =zz 3+i CC 0三、(8分)【解析】设 yy =�aa nn xx nn ∞nn=0 是方程的解,其中 aa 0,aa 1 是任意常数,则yy ′=�nnaa nn xx nn−1∞nn=1yy ′′=�nn (nn −1)aa nn xx nn−2∞nn=2=�(nn +2)(nn +1)aa nn+2xx nn ∞nn=0方程 yy ′′+xxyy ′+yy =0,得�[(nn +2)(nn +1)aa nn+2+nnaa nn +aa nn ]xx nn ∞nn=0=0故必有(nn +2)(nn +1)aa nn+2+(nn +1)aa nn =0即aa nn+2=−aa nnnn +2(nn =0,1,2,⋯ ) 可见,当 nn =2(kk −1) 时aa 2kk=(−12kk )aa 2kk−2=(−12kk )(−12kk −2)⋯(−12)aa 0=aa 0(−1)kkkk !2kk当nn =2kk −1时aa 2kk+1=(−12kk +1)aa 2kk−1=(−12kk +1)(−12kk −1)⋯(−13)aa 1=aa 1(−1)kk (2kk +1)!�aa 2nn xx 2nn ∞nn=0与�aa 2nn+1xx 2nn+1∞nn=0的收敛域均为(−∞,+∞) 故yy =�aa κκxx κκ∞κκ=0=�aa 2κκxx 2κκ∞κκ=0+�aa 2κκ+1xx 2κκ+1∞κκ=0=�aa 0(−1)nn nn !2nn xx 2nn∞nn=0+�aa 1(−1)nn (2nn +1)!xx 2nn+1∞ss=0即yy =aa 0e −xx 22+aa 1�(−1)nn (2nn +1)!xx 2nn+1∞nn=0,xx ∈(−∞,+∞)四、 (10分)【解析】 首先找到满足方程的特解vv =aa 4(xx 2+yy 2)+bb 12(xx 4−yy 4)=aa 4ρρ2+bb 12(xx 2+yy 2)(xx 2−yy 2) =aa 4ρρ2+bb 12ρρ4cos 2φφ 令uu =vv +ww =aa 4ρρ2+bb 12ρρ4cos 2φφ+ww对于齐次方程，且满足球心为有限值的泊松方程通解为ww (ρρ,φφ)=�ρρnn (AA mm cos ll φφ+BB nn sin llφφ)∞mm=0代入边界条件，有 �ρρ0nn (AA mmcos ll φφ+BB nn sin llφφ)∞mm=0=cc −aa 4ρρ02−bb 12ρρ04cos 2φφ比较系数解得uu =vv +ww =cc +aa 4(ρρ2−ρρ02)+bb 12ρρ2(ρρ2−ρρ02)cos 2φφ 五、(15分)【解析】对于满足球心处为有限值的拉普拉斯方程通解为uu (rr ,θθ)=�AA ll rr l P ll (cos θθ)∞ll=0代入边界条件有�AA ll rr 0l P ll (cos θθ)∞ll=0=cos 2θθ=xx 2由于P 2(xx ) =12(3xx 2−1) ,有xx 2=13[1+2P 2(xx )]=13P 0(xx )+23P 2(xx )即�AA ll rr 0lP ll (cos θθ)∞ll=0=cos 2θθ=xx 2=13P 0(xx )+23P 2(xx )对比系数可得uu (rr ,θθ)=13+23⋅1rr 02⋅rr 2P 2(cos θθ)六、(10分)【解析】对方程进行拉普拉斯变换，有jj ‾RR +jj ‾ppCC =EE 0ωωpp 2+ωω2 解得jj ‾=ωωEE 0(RR +1ppCC )(pp 2+ωω2)再进行反演RR (tt )=EE 0ωωRR (−RRCC e llRRRRωω2RR 2CC 2+1+RRCC cos ωωtt +ωωRR 2CC 2sin ωωtt ωω2RR 2CC 2+1) =EE 0RR 2+1/CC 2ωω2(RR sin ωωtt +1CCωωcos ωωtt )−EE 0/CCωωRR 2+1/CC 2ωω2e −tt /RRRR七、(15分)【解析】应用冲量定理法，先求解vv uu −aa 2vv xxxx =0ννxx ∣x=0=0,vv x ∣x=l =0vv ∣tt=ττ+0=0,vv t ∣t=ττ+0=AA cos ππxxllsin ωωττ根据通解的一般形式并代入边界条件，可得vv (xx ,tt ;ττ)=AAllππaasin ωωττsin ππaa (tt −ττ)ll cos ππxx ll uu (xx ,tt )=�vv (xx ,tt ;ττ)tt=AAll ππaa cos ππxx ll �sin ωωττsin ππaa (tt −ττ)ll d ττtt 0=AAll ππaa 1ωω2−ππ2aa 2/ll 2(ωωsin ππaa ll tt −ππaa ll sin ωωtt )cos ππxx ll。
数学物理方程试卷
数学物理方程试卷一、常微分方程(1)证明椭圆线方程$x^2+y^2=1$的曲率半径是无穷的证明：曲线的曲率半径R为曲线点处的法线与曲率半径的夹角$\frac{1}{R}$的反正切值，其表达式为$\frac{，y'，}{\sqrt{1+y'^2}}$，其中$y'$为曲线其中一点处的导数值。
而椭圆线方程$x^2+y^2=1$的一阶导数分别为$\frac{dy}{dx}=\frac{-x}{y}$以及$\frac{dx}{dy}=\frac{x}{y}$，这里可以得到$y' = \frac{-x}{y}=\frac{-1}{x}$。
此时曲率半径表达式变为$\frac{x}{，x，\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}$，表达式中的$，x，$可以去掉，并且$x$取任意值，故椭圆线方程$x^2+y^2=1$的曲率半径是无穷的。
(2)证明球面$x^2+y^2+z^2=a^2$的曲率、曲率半径一致证明：根据曲线曲率的定义可知，球面$x^2+y^2+z^2=a^2$的曲率为$\kappa=\frac{，R_1\cdot R_2，}{R^3}$，其中$R_1$、$R_2$分别为曲线其中一点处的两个切线的曲率半径，$R$为曲线其中一点处的曲率半径。
而对于球面，它的两个曲率半径$R_1$和$R_2$是完全一样的，这是因为在球面其中一点的法线方向没有区别，故$R_1=R_2$。
此时曲率可以表示为$\kappa=\frac{R_1^2}{R^3}=\frac{R^2}{R^3}=\frac{1}{R}$，即曲率等于其曲率半径的倒数，也就是说球面$x^2+y^2+z^2=a^2$的曲率和曲率半径是一致的。
二、偏微分方程。
数学物理方程考试试题及解答
2. ( 本题 7 分 )
解：设 u
[ x 2 2 y 2 3 yz At 2 ] [6 x 2t Bt 3 ]
（ 2 分）
代入方程
2 A 6Bt a 2 [(2 12 y At 2 ) (12t Bt 3 )] （4 分）
令 ，
B 0
（A） u( x, t ) A cos ( x at )
（C） u( x, t ) A cos x sin a t （D） u( x, t ) A cos ( x at )
1
三 . 解下列问题
1.
( 本题 8 分 )
u u 0 3 求问题 x 的解 y 3x u ( x,0) 8e
t 0
3 sin 2 x
解：设 u( x, t ) X ( x)T (t ) 代入方程及边界
4
T a 2T 0 X X 0 X (0) X ( ) 0
n (
n
)2 n2 , X n sin nx
un (Cn cos ant Dn sin ant )sin nx
x
）
（A） u( x, y) e sin xy （C） u ( x, y )
（B） u ( x, y )
x2 y2
x2 y2
1 x2 y2
（D） u ( x, y) ln
2. 一细杆中每点都在发散热量，其热流密度为 F ( x, t ) ,热传导系数为 k ，侧面绝热,体密度为 ,比 热为 c ，则热传导方程是 ( （A） ) （B）
3
代入方程，
A a 2 [0 0 6 At ] 6 x
数学物理方法期末考试大题
2、 求解热传导问题
ut a 2u xx A sin t u x |x 0 0, u |x l 0 u | x t 0
3、 两端固定弦在点 x0 受谐变力 f t f0 sin t 作用而振动，求解振动情况。[提示： 外加力的线密度可表示为 f x, t f 0 sin t x x0 ]
4、 均匀的薄板占据区域 0 x a ， 0 y b 。边界上的温度
u |x 0 0 ， u |x a 0 ， u | y 0 u0 ， lim u 0
y
求解板的稳定温度分布。
三、非齐次方程的分离变数法（15 分） 1、 长为 l 的均匀细杆两端固定，杆上单位长度受有纵向外力 f 0 sin 2 x l cos t ，初始位 移为 sin x l ，初始速度为零，求解杆的纵振动。
4、 求解细杆导热问题。杆长 l ，初始温度均匀为 u0 ，两端分别保持温度 u1 和 u2 。
四、球函数（12 分） 1、一空心圆球区域，内半径为 r1 ，外半径为 r2 ，内球面上有恒定电势 u0 ，外球面上电势保 持为 u1 cos 2 ， u0 、 u1 均为常数，试求内外球面之间空心圆球区域的电势分布。
数学物理方法期末考试大题数学物理方法判断题数学物理方法数学物理方法复习数学物理方法教材数学物理方法试卷数学物理方法课件数学物理方法pdf数学物理方法试题数学物理方法答案
一、拉普拉斯变换（8 分） 1、求积分 I t
0
cos tx dx x2 a2
二、齐次方程的分离变数法（15 分） 1、 求解细杆导热问题，杆长 l ，b 为常数，两端保持为零度，初始温度分布
数学物理方程期末考试题及答案
数学物理方程期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 以下哪一项不是数学物理方程的特点？A. 连续性B. 离散性C. 线性D. 非线性答案：B2. 波方程是描述什么的方程？A. 热传导B. 电磁波C. 机械波D. 流体动力学答案：C3. 拉普拉斯方程通常出现在哪种物理现象中？A. 热传导B. 流体流动C. 电磁场D. 弹性力学答案：C4. 以下哪个不是偏微分方程的解的性质？A. 唯一性B. 线性C. 稳定性D. 离散性答案：D5. 波动方程的解通常表示什么？A. 温度分布B. 电荷分布C. 压力分布D. 位移分布答案：D二、填空题（每空2分，共20分）6. 波动方程的基本形式是 _______。
答案：\( \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 u \)7. 热传导方程，也称为________方程。
答案：傅里叶8. 拉普拉斯方程 \( \nabla^2 \phi = 0 \) 在静电学中描述的是________。
答案：电势9. 边界条件通常分为________和________。
答案：狄利克雷边界条件；诺伊曼边界条件10. 波动方程的一般解可以表示为________和________的叠加。
答案：基频解；高阶谐波三、简答题（每题10分，共30分）11. 解释什么是边界层的概念，并给出一个实际应用的例子。
答案：边界层是流体力学中的一个概念，指的是流体靠近物体表面处的一层非常薄的流体，其中速度梯度很大。
在边界层内，流体的速度从物体表面的零速度逐渐增加到与外部流体速度相匹配。
一个实际应用的例子是飞机的机翼，边界层的厚度和特性对飞机的升力和阻力有重要影响。
12. 描述什么是格林函数，并解释它在解决偏微分方程中的作用。
答案：格林函数是一种数学工具，用于解决线性偏微分方程。
它是一个特定的函数，当它与方程的算子相乘时，结果是一个狄利克雷问题，其解是原始方程的一个解。
数学物理方程试卷
《数学物理方法》试卷A一、选择题（每题3分，共15分）1、 偏微分方程与（ B ）结合在一起，称为初值问题.A 定解条件B 初始条件C 边界条件D 初始条件与边界条件2、定解问题称为适定的，若它（ C ）A 存在唯一的解B 存在稳定的解C 存在惟一且稳定的解D 存在解 3、下列偏微分方程中，属于2阶、线性、非齐次的有（ A ）A0cos 222=-+∂∂+∂∂t u xu tx tu B22244x e xt xu u=-+∂∂C6sin 22=+∂∂u tu D t t u ux u 652=∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂ 4、二阶线性偏微分方程2225650u u xu t x tx∂∂+++=∂∂∂属于（ A ）方程.A 双曲型B 椭圆型C 抛物型D 混合型5、下面说法错误的是（ D ）A 第一类n 阶Bessel 函数()x J n 与第二类n 阶Bessel 函数()x Y n 是线性无关的.B 第一类n 阶Bessel 函数()x J n 的实零点关于原点是对称的.C 半奇数阶的第一类Bessel 函数都是初等函数.D 第一类n 阶Bessel 函数()x J n 与()x J n -是线性相关的.二、填空题（每题4分，共20分）1、 设i λ,(1,2,)i = 是零阶Bessel 函数()0J x (02)x <<的正实零点，则=⎰dx x J x xJ j i )2()2(020λλ___________________________.2、 设函数u 在有界区域3R ⊂Ω内是调和的，0M 为Ω内的任意一点，设K 表示以0M 为中心，以1为半径的球面，且K ⊂Ω，则()0u M =_________________. 3、 设函数cos x ，()fx 的Fourier 变换分别为[]()1cos F x G ω=，()()2F f x G ω=⎡⎤⎣⎦，则()()112FG w G w -⋅=⎡⎤⎣⎦__________________________.4、 设3R ⊂Ω为有界区域，光滑闭曲面Γ为Ω的边界，设Γ上任一点处的法向导数nu ∂∂均存在，则边值问题5、 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧Γ=∂∂Ω=∂∂+∂∂+∂∂Γ上在内在,|,0222222x n u z uy u x u 有解的必要条件______________________.6、 方程()()'''()0xy x y x xy x α++=()0α>的一个特解为____________________三、计算题（65分）1、 求解定解问题2、 22220200,020|0,|0,0.|0,|,02x x t t u ux t t x u u t u u x x t ====⎧∂∂=<<>⎪∂∂⎪⎪==>⎨⎪∂⎪==<<∂⎪⎩（15分）3．用行波法求解下列初值问题22222400340,,0|,|1,xy y u u ux y x x y y u e x u x y ==⎧∂∂∂+-=-∞<<+∞>⎪∂∂∂∂⎪⎪=-∞<<+∞⎨⎪∂⎪=-∞<<+∞∂⎪⎩.（10分）3、利用Green 函数法求解边值问题()22222200,0|,,,z u u uz xy z u f x y x y =⎧∂∂∂++=>⎪∂∂∂⎨⎪=-∞<<+∞⎩.（13分）4、利用积分变换法解定解问题()22220009,0,0|cos ,lim ,0,0|0,|0,0x x t t u u x t tx u t u x t t u u x t =→+∞==⎧∂∂=<<+∞>⎪∂∂⎪⎪==>⎨⎪∂⎪==<<+∞⎪∂⎩.（14分）7、 求解定解问题8、 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=>=-=><<-∂∂=∂∂===10|0,0|,1|0,10,221022x x u t u u t x x utu t x x . （13分）《数学物理方法》试卷B一、选择题（每题4分，共20分） 1．柯西问题指的是（ ）A ．微分方程和边界条件. B. 微分方程和初始条件. C ．微分方程和初始边界条件. D. 以上都不正确. 2．定解问题的适定性指定解问题的解具有（ ）A ．存在性和唯一性. B. 唯一性和稳定性.C. 存在性和稳定性.D. 存在性、唯一性和稳定性. 3．牛曼内问题⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂=∇Γf n u u ,02 有解的必要条件是（ ）A ．0=f .B ．0=Γu. C ．0=⎰ΓdS f . D ．0=⎰ΓdS u .4．用分离变量法求解偏微分方程中，特征值问题⎩⎨⎧==<<=+0)()0(0 ,0)()(''l X X lx x X x X λ 的解是A ．) cos, (2x l n l n ππ⎪⎭⎫⎝⎛. B ．) sin, (2x l n l n ππ⎪⎭⎫⎝⎛. C ．) 2)12(cos ,2)12( (2x l n l n ππ-⎪⎭⎫⎝⎛-. D ．) 2)12(sin,2)12( (2x l n l n ππ-⎪⎭⎫⎝⎛-. 5．指出下列微分方程哪个是双曲型的（ ） A ．0254=++++y x yy xy xx u u u u u . B ．044=+-yy xy xx u u u .C ．02222=++++y xyy xyxx u y xyuu y xyuu x .D ．023=+-yy xy xx u u u . 二、填空题（每题4分，共20分） 1．求定解问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤==>-==><<=∂∂-∂∂====πππx 0 ,cos 2 ,00t ,sin 2 ,sin 20 ,0 ,00002222x u u t u t u t x x ut u t t t x x 的解是_______________ 2．对于如下的二阶线性偏微分方程0),(),(2),(=++++-fu euduu y x c u y x b u y x a yxyy xy xx其特征方程为________________________________________________________. 3．二阶常微分方程0)()4341()(1)(2'''=-++x y xx y xx y 的任一特解=y __________4．二维拉普拉斯方程的基本解为________________________________________，三维拉普拉斯方程的基本解为__________________________________________.5．已知x xx Jx xx J cos 2)( ,sin 2)(2121ππ==-，利用Bessel 函数递推公式求=)(23x J _______________________________________.三、（15分）用分离变量法求解如下定解问题222220000, 0, 00, 0, t 0, 0, 0x .x x lt t t u ua x l t t x uu x x u x u l ====⎧∂∂-=<<>⎪∂∂⎪∂∂⎪==>⎨∂∂⎪⎪==≤≤⎪⎩四、（10分）用行波法求解下列问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞<<∞-=∂∂=+∞<<∞->=∂∂-∂∂∂+∂∂==.,0 ,3 , ,0 ,03202022222x y u x u x y y uy x u x u y y 五、（10分）用Laplace 变换法求解定解问题：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<=>==><<∂∂=∂∂===.20 ,sin ,0 ,0,0 ,20 ,02022x x u t u u t x x ut u t x x π 六、（15分）用格林函数法求解下定解问题22220, y 0, () , .y u ux y u f x x =⎧∂∂+=<⎪∂∂⎨⎪=-∞<<+∞⎩ 七、（10分）将函数()fx x =在区间[0，1]上展成Bessel 函数系(1)11{()}mm J x μ∞=的级数，其中(1)mμ为Bessel 函数1()J x 的正零点，1,2,m = .答案一个宿舍一份，电子版已发到班级邮箱想打印的请自己下载。
初一各科期末试题及答案
初一各科期末试题及答案初一的同学们，期末考试即将来临，为了帮助大家更好地复习和准备，我们特别整理了一份涵盖各科的期末试题及答案。
这份资料包含了语文、数学、英语、物理、化学、生物、历史、地理等科目的典型题目，以及详细的解答过程。
希望这份资料能够帮助同学们查漏补缺，巩固知识，提高解题能力。
一、语文试题及答案1. 请解释下列成语的意思：- 胸有成竹：比喻做事之前已经有了成熟的计划和充分的准备。
- 画蛇添足：比喻做事多此一举，反而弄巧成拙。
答案：成语“胸有成竹”意味着在行动之前已经对事情有了充分的考虑和准备；而“画蛇添足”则是指在不必要的情况下做了多余的事情，导致结果不如预期。
2. 阅读下面的文言文，回答问题：“子曰：‘学而时习之，不亦说乎？有朋自远方来，不亦乐乎？人不知而不愠，不亦君子乎？’”（1）请翻译这段文言文。
（2）这段文言文体现了孔子的哪些教育理念？答案：（1）孔子说：“学习了知识并且经常复习，不是很愉快吗？有朋友从远方来，不是很快乐吗？别人不了解我，我也不生气，不也是君子吗？”（2）这段文言文体现了孔子重视学习、重视朋友交往以及宽容待人的教育理念。
二、数学试题及答案1. 计算下列表达式的值：- 3x^2 - 2x + 1答案：表达式的值为3x^2 - 2x + 1。
2. 解下列方程：- 2x + 3 = 7答案：将方程2x + 3 = 7化简，得到2x = 4，进一步解得x = 2。
三、英语试题及答案1. 将下列句子翻译成英文：- 我每天早晨都去公园跑步。
答案：I go running in the park every morning.2. 填空题：- I ______ (be) a student since I was ten years old.答案：have been，因为句子描述的是从过去一直持续到现在的状态。
四、物理试题及答案1. 计算下列物体的重力：- 质量为5kg的物体在地球表面。
数学物理方程期末考试试题及答案
数学物理方程期末考试试题及答案一、求解方程（15分）⎧utt -a2uxx=0⎪⎨ux-at=0=ϕ(x)⎪u⎩x+at=0=ψ(x).其中ϕ(0)=ψ(0)。
⎧ξ＝x-at解：设⎨则方程变为：η=x+at⎩uξη=0，u=F(x-at)+G(x+at)(8’)由边值条件可得：F(0)+G(2x)=ϕ(x),F(2x)+G(0)=ψ(x)由ϕ(0)=ψ(0)即得：u(x,t)=ϕ(x+at x-at)+ψ()-ϕ(0)。
22二、利用变量分离法求解方程。
（15分）⎧utt -a2uxx=0,(x,t)∈Q,⎪⎨ux=0=ux=l=0,t≥0,⎪u=ϕ(x),ut t=0=ψ(x)⎩t=0其中0≤x≤l。
a>0为常数解：设u=X(x)T(t)代于方程得：X''+λX=0，T''+λa2T=0(8’)X=C1cosλx+C2sinλx，T=C1cosλat+C2sinλat由边值条件得：C 1=0,λ=(∞n π2)ln πx lu =∑(B n cos λat +A n sin λat )sin n =1B n =2l n πx 2l n πx ，ϕ(x )sin dx A =ψ(x )sin dx n ⎰⎰00l l an πl2三．证明方程u t -a u xx -cu =0(c ≥0)具有狄利克雷边界条件的初边值问题解的唯一性与稳定性. (15分)证明：设v =e -ct u 代入方程：⎧v t-a 2v xx =0⎪⎨v t =0=ϕ(x )⎪v (0,t )=g (t ),v (l ,t )=g (t ).12⎩设v 1,v 2都是方程的解设v =v 1-v 2代入方程得：⎧v t-a 2v xx =0⎪⎨v t =0=0⎪v (0,t )=,v (l ,t )=0⎩由极值原理得v =0唯一性得证。
(8’)由v 1-v 2≤v 1-v 2得证。
τ≤ε，稳定性得证由v =e -ct u 知u 的唯一性稳定性四．求解二维调和方程在半平面上的狄利克雷问题(15分).∆u =u xx +u yy +u zz=0,z >0,u z =0=f (x ).解：设p (ξ,η,ζ)是上半平面内一点，在该点放置单位点电荷，其对称点p (ξ,η,-ς)格林函数：G (x ,y ,ξ,η)=-14π14π1(x -ξ)+(y -η)+(z -ς)1(x -ξ)+(y -η)+(z +ς)222222+∂G∂G=-∂n∂z z=0=ς2π[(x-ξ)+(y-η)+ς]2223/2方程的解：u(ξ,η)=ς2πϕ(x,y)⎰[(x-ξ)2+(y-η)2+ς2]3/2dx R2五、证明下列初边值问题解的唯一性.(20分)u utt-a2(uxx+uyy)=f(x,y,t) t=0=ϕ(x,y),=ψ(x,y),ut t=0uΓ=g(x,y,t).其中t>0,(x,y)∈Ω,Γ为Ω的边界.解:设u1,u2都是方程的解设u=u1-u2代入方程得：u tt -a(uxx+uyy)=0u u t t=02 =0=0 t=0uΓ=0.设E(t)=12222[u+a(u+u]dxdy t x y⎰⎰2ΩdE(t)=2⎰⎰[ut utt+a2(uxuxt+uyuyt)]dxdydtΩ=2[ut [utt-a(uxx+uyy)]dxdyΩ⎰⎰2=0(10’)E(t)=E(0)=0，u=C，由边值条件得：u=0。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(0) (0)
1
6、用达朗贝尔公式求解下列一维波动方程的初值问题（10 分）
2u t 2
ut
a
0
2 2u x2
sin
2
cos x,
x,
x u t
,t t0 0
0
7、用积分变换法求解定解问题（10 分）：
2u
xy
1, x
0,
y
0
u x0 y 1,
u y0 1,
8、用积分变换法求解定解问题(10 分)：
对
的情况讨论，只有当
0 时才有非零解，令
2 ，得到
2
n 2 42
2
为
特征值，特征函数
X
n( x)
Bn
sin
n 4
(1
分)，再解T (t) ，得到Tn (t)
C e;
n2 2t 16
n
（2
u(x,t)
分 ）， 于 是
n1
n2 2t
(Cne 16
sin
nx 4
,
（1
分）再由初始条件得到
Cn
设单位时间流入单位截面积的热量为 q ，杆的初始温度分布是 x(l x) ，试写出 2
其定解问题。(10 分)
3、试用分离变量法求定解问题(10 分)：
u 2u
u
t
x 2 0,
,0
x 4, t
u
0 0,
x0
x4
u 2x
.
t 0
4、分离变量法求定解问题(10 分)
utt a u(0, t )
③ 5，6 两道题是考察行波法。第 5 题就是书本中一维波动方程的 D'Alembert 公式的推导，是最最基础的东西，在这里考察学生平时的基础，题目不难但 是能很好的考察学生对行波法的理解。第 6 题考察了 D'Alembert 公式的应用， 同时又因为方程式非齐次的，也考察了方程的齐次化。
④ 第 7,8 两道题是对积分变换法的考察。第 7 题是对拉普拉斯变换的考察拉普 拉斯变换的基本概念以及常见函数的拉普拉斯正变换；利用拉普拉斯变换的 基本定理，拉普拉斯变换表以及部分分式展开法对常见函数进行拉普拉斯反 变换。第 8 题主要考察傅里叶变换的基本定理及其性质。
2012 学年第二学期数学与物理方程期末试卷 出卷人：欧峥
1、长度为 l 的弦左端开始时自由，以后受到强度为 Asint 的力的作用，右端 系在弹性系数为 k 的弹性支承上面；初始位移为(x),初始速度为 (x).试写出相
应的定解问题。(10 分)
2、长为 l 的均匀杆，侧面绝热，一端温度为 0 度，另一端有已知的恒定热流进入，
⑤ 9,10 两道题是考察格林函数法。第 9 题有些难度，是一道二维拉普拉斯的狄 利克雷问题，主要考察对第二格林公式的理解及其应用。第 10 题看似比较简 单，但是也是大家比较容易忽略的问题，不一定能将其完整的解答。这里还 要求你写出其物理意义，意图当然不言而喻了，就是想体现数学物理方程这 门课的意义,将数学与物理结合起来，了解古典方程的类型，明白其物理意义 和现象。
x
l
因此，相应的定解问题为：
（1 分）
（3 分） （3 分） （3 分）
3、解 令 u(x,t) X (x)T (t) （2 分），代入原方程中得到两个常微分方程：
4
T ' (t) T (t) 0 ， X '' (x) X (x) 0 （2 分），由边界条件得到 X (0) X (4) 0 ，
又右端系在弹性系数为 k 的弹性支承上面，所以
（2 分）
Tux (l,t) ku(l,t) 0, 即 Tux (l,t) ku(l,t) 0. （2 分）
而初始条件为
u t0 (x),ut t0 (x).
因此，相应的定解问题为
uutxt
a2uxx , 0 x l,t 0,
(0, t )
① 用数理方程研究物理问题的一般步骤；数理方程的建立(导出),包括三类典型 方程的建立(导出)推导过程。这里的 1,2 两道题就是考察学生在实际物理背 景下能否写出定解问题。这些定解问题并不复杂，主要就是让学生了解一下。
② 3,4 两道题主要考察分离变量法的精神、解题步骤和适用范围。第 3 题是最 基本的分离变量法的运用，分离变量法的主要思想:1、将方程中含有各个变 量的项分离开来，从而原方程拆分成多个更简单的只含 1 个自变量的常微分 方程；2、运用线性叠加原理，将非齐次方程拆分成多个齐次的或易于求解的 方程；3、利用高数知识、级数求解知识、以及其他巧妙方法，求出各个方程 的通解；4、最后将这些通解“组装”起来。第 4 题是非齐次方程，主要考察 学生对非齐次方程的处理能力。
2 4
4
2x sin
n
xdx
16
0
4
n
(1) n1
（
1
分 ）， 所 以 原 定 解 问 题 的 解 为
u(x,t)
16
n2 2t
(1)n1 e 16
sin
nx
,
n1 n
4 （1 分）
4、解：令 u(x,t) V (x,t) W (x) 将其代入定解问题可以得到：
3
答案及分析
1、解: 这是弦的自由振动，其位移函数 u(x,t) 满足
utt a2uxx ,
（2 分）
其中 a2 T .由于左端开始时自由，以后受到强度为 Asint 的力的作用，所以
ux (0, 0) 0, Tux (0,t) Asin t 0,t 0,
因此
A sin t ux (0,t) T ,t 0.
2uxx 3,
sin 2 l
u(l,t)
x 6
cos
2 l
x, (0
x
l,t
0)
u(x, 0)
31
x l
,
ut
(
x,
0)
sin
4 l
x
5、利用行波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题）(10 分)：
2u
uutx 2at
0
x at 0
a 2 2u x 2
(x ) (x ).
utt a2uxx, x R,t 0 u(x,0) sin x,ut (x,0) 0
9、用格林函数法求解定解问题(10 分)：
2u
x
2
2u y2
0,
y 0,
u y0 f (x) , x .
10、写出格林函数公式（三维）及满足的条件，并解释其物理意义。(10 分)
2
考试内容分析
A sin t T
,Tux
(l
,
t
)
ku(l,
t
)
0,
u t0 (x),ut t0 (x).
t 0.
（2 分）（2 分）
2、解：侧面绝热，方程为
ut a2uxx , 0 x l, t 0
边界条件为
初始条件为
q
u
x0 0, ux
xl
,t 0 k
u
t0
x(l x) , 0 2