《工程力学》第7次作业(应力状态与强度理论).
材料力学7-应力状态和强度理论x
Beijing Jiaotong UniversityInstitute of Engineering MechanicsBeijing Jiaotong UniversityInstitute of Engineering Mechanics应力状态和强度理论1. 一点的应力状态北京交通大学工程力学研究所汪越胜Wang Yue-Sheng北京交通大学工程力学研究所汪越胜Wang Yue-Sheng应力状态1.一点的应力状态 of Engineering Mechanics InstituteBeijing Jiaotong University应力状态1.一点的应力状态 of Engineering Mechanics InstituteBeijing Jiaotong University拉、压杆件截面上的应力: 拉、压杆件截面上的应力:拉、压杆件上一点的应力: 拉、压杆件上一点的应力:AFNσβF σ= N A北京交通大学工程力学研究所σ θ = σ cos 2θτ θ = σ sin ( 2θ )汪越胜 Wang Yue-Shengσ单元体σσ2σ σασα τα τβ σβ1 2σ α = σ cos α1 τ α = σ sin ( 2α ) 2汪越胜 Wang Yue-Sheng北京交通大学工程力学研究所应力状态1.一点的应力状态 of Engineering Mechanics InstituteBeijing Jiaotong University应力状态1.一点的应力状态 of Engineering Mechanics InstituteBeijing Jiaotong University构件内一点处各截面方向上的应力的情况，称为 该点的应力状态。
可由围绕该点的一个单元体面 上的应力表示。
根据平衡方程∑Fn=0∑Ft=0单元体如何取？σ θ dA − (σ x dAcosθ )cosθ = 0 τ θ dA − (σ x dAcosθ )sinθ = 0σ θ = σ x cos θ2北京交通大学工程力学研究所1 τ θ = σ x sin (2θ ) 2汪越胜 Wang Yue-Sheng在研究点的周围，取一个由三对互相垂直的平面 构成的边长无穷小的六面体，每对相互平行面上 的性质相同的应力大小相等。
7工程力学(下)—应力分析与强度理论3
p D x
用横截面将容器截开， 用横截面将容器截开 ， 受力如图b 所示,根据 受力如图 所示 根据 平衡方程
σm
图b
σ m (π D δ ) = p × π D pD σm = 4δ
2
4
取长为l 的一段，用纵截面将容器截开， 取长为 的一段，用纵截面将容器截开，进行研 究，受力如图c所示 受力如图 所示: 所示
1 ε x = σ x − υσ y E 1 ε y = σ y − υσ x E E (ε x + υε y ) 解得: 解得 σ x = 2 1− µ
yA x
σy
A
σx
E σy = (ε y + υε x ) 2 1− µ
E E (ε y + υε x ) σx = (ε x + υε y ) σ y = 2 2 1− µ 1− µ σy yA σx x A
(σ 1 > 0)
(σ 1 > 0)
3、应用情况：符合脆性材料的拉断试验， 如 、应用情况：符合脆性材料的拉断试验， 铸铁单向拉伸和扭转中的脆断； 铸铁单向拉伸和扭转中的脆断；但未考虑其余 主应力影响且不能用于无拉应力的应力状态， 主应力影响且不能用于无拉应力的应力状态， 如单向、三向压缩等。 如单向、三向压缩等。
§7-5 强度理论 强度理论： 一 强度理论：是关于材料破坏决定性因素 的各种假说。 的各种假说。 强度理论也相应地分为两大类： 强度理论也相应地分为两大类： 两大类 一类是解释材料脆性断裂破坏的， 一类是解释材料脆性断裂破坏的，包括最大 脆性断裂破坏的 拉应力理论和最大拉应变理论； 拉应力理论和最大拉应变理论； 另一类是解释材料塑性屈服破坏的， 另一类是解释材料塑性屈服破坏的，包括最 塑性屈服破坏的 大剪应力理论和形状改变比能理论。 大剪应力理论和形状改变比能理论。 二 四个强度理论及其相当应力
工程力学 07 第7章 应力状态分析 强度理论
20
2 xy x
y
tan 2* x y 2 xy
tan 20 • tan 2 * 1
xy xy
0 0
会用即可！
( y , y ) min
tan
20
xy x
y
根据三角函数值理解
max
min
1 2
x y
1 2
x y
2
4
2 xy
0 0 90° 0
推论1：正应力的极值便是单元体的主应力
max min x y
推论2：对于从同一点截取不同方位的单元体， 其相互垂直平面上的正应力之和不变。
( x
y ) cos 2
x x sin 2
60°
m
α
114.5MPa
m
1 2
( x
y ) sin
2
x
cos 2
35.0MPa
§7.2 平面应力状态应力分析应力圆——图解法
1. 原理
x
y
2
x
y
2
cos 2
xy sin 2(1)
x
y
2
sin 2
xy
cos 2
2
(1)2 (2)2 , 得 ( x x0 )2 ( y y0 )2 R2
• 主应力 ：主平面上的正应力 三个
• 三个主应力用σ1、 σ2 、 σ3 表示，按代 数值大小顺序排列，即 σ1 ≥ σ2 ≥ σ3
3、应力状态的分类
简单应力状态 单向应力状态： 三个主应力中只有一个不等于零 二向应力状态： 两个主应力不等于零 三向应力状态 三个主应力皆不等于零
复杂应力状态
§7.2 平面应力状态应力分析——解析法
C07应力状态和强度理论
x平面上有正应力sx, 切 应力txy, 和txz。切应力
的两个下标中, 第一个 下标表示切应力所在 平面, 第二个下标表示 切应力的方向。
同理y平面上有正应力
sy, 切应力tyx, 和tyz; z 平面上有正应力sz, 切 应力tzx, 和tzy。
7.5 三向应力状态
在一般的空间应力 状态的9个应力分量 中, 根据切应力互等 定理, 在数值上有txy ＝tyx, txz＝tzx, tyz＝ tzy, 因 而 , 独 立 的 应 力分量是6个, 即sx, sy, sz, txy, tyz和tzx。
G
,
g yz
t yz
G
,
g zx
t zx
G
7.8 广义虎克定律
一般空间应力状态下, 在线弹性范围内、小变形 条件下各向同性材料的广义胡克定律:
ex
1 E
[s x
m(s
y
sz
)]
e
y
1 E
[s
y
m(s z
s x )]
ez
1 E
[s
z
m(s x
s y )]
g xy
t xy
G
,
g yz
t yz
G
,
g zx
s3
O
s3
s
O
z
x
s2
s1
整个单元体内的最大切应力为:
t max
s1 s3
2
7.5 三向应力状态
t
y
s2
tmax
s3
O z
D
s1
O
s
s3
x
s2
s1
工程力学c材料力学部分第七章 应力状态和强度理论
无论是强度分析还是刚度分析，都需要求出应力的极值， 无论是强度分析还是刚度分析，都需要求出应力的极值，为了找 到构件内最大应力的位置和方向 需要对各点的应力情况做出分析。 最大应力的位置和方向， 到构件内最大应力的位置和方向，需要对各点的应力情况做出分析。
受力构件内一点处所有方位截面上应力的集合，称为一点的 受力构件内一点处所有方位截面上应力的集合，称为一点的 研究一点的应力状态时， 应力状态 。研究一点的应力状态时，往往围绕该点取一个无限小 的正六面体—单元体来研究。 单元体来研究 的正六面体 单元体来研究。
σ2
σ2
σ1
σ1
σ
σ
σ3
三向应力状态
双向应力状态
单向应力状态 简单应力状态
复杂应力状态 主应力符号按代数值的大小规定： 主应力符号按代数值的大小规定：
σ1 ≥ σ 2 ≥ σ 3
平面应力状态的应力分析—解析法 §7−2 平面应力状态的应力分析 解析法
图(a)所示平面应力单元体常用平面图形(b)来表示。现欲求 )所示平面应力单元体常用平面图形( )来表示。现欲求 垂直于平面xy的任意斜截面 上的应力 垂直于平面 的任意斜截面ef上的应力。 的任意斜截面 上的应力。
二、最大正应力和最大剪应力
σα =
σ x +σ y
2
+
σ x −σ y
2
cos 2α − τ x sin 2α
τα =
令
σ x −σ y
2
sin 2α + τ x cos 2α
dσ α =0 dα
σ x −σ y
2
sin 2α +τ x cos2α = 0
可见在 τ α
=0
《材料力学》第7章应力状态和强度理论习题解..pdf
应力圆（ O.Mohr 圆）
主单元体图
[ 习题 7-9 （ c）] 解：坐标面应力： X（ -20 ， -10 ）； Y（ -50 ， 10）。根据以上数据作出如图所示的应
力圆。图中比例尺为 1cm 代表 10MPa 。按比例尺量得斜面的应力为：
1 0MPa , 2 16.25MPa ， 3 53.75MPa ； 0 16.10 。
1 d3
d3
16
6
16 8 10 N mm 3.14 803 mm3
79.618MPa
[ 习题 7-1 （ b）] 解： A 点处于纯剪切应力状态。
MA 0
RB 1.2 0.8 2 0.4 0
RB 1.333(kN )
1
A A
QA RB 1.333( kN)
Q A 1.5
A
1333N 1.5 40 120 mm2
单元体图
应力圆（ O.Mohr 圆）
主单元体图
[ 习题 7-9 （ d）] 解：坐标面应力： X（ 80， 30）； Y（ 160， -30 ）。根据以上数据作出如图所示的应
力圆。图中比例尺为 1cm 代表 20MPa 。按比例尺量得斜面的应力为：
1 170MPa , 2 70MPa ， 3 0MPa ； 0 71.60 。
第七章 应力状态和强度理论 习题解
[ 习题 7-1] 试从图示各构件中 A 点和 B 点处取出单元体，并表明单元体各面上的应力。
[ 习题 7-1 （ a）]
解： A 点处于单向压应力状态。
N F 2F 4F
A
A
1 d2
d2
4
[ 习题 7-1 （ b）] 解： A 点处于纯剪切应力状态。
《工程力学》第7次作业(应力状态与强度理论).
《工程力学》第7次作业（应力状态与强度理论）2009－2010学年第2学期3系、5系各班班级学号姓名成绩一、填空题1．过构件内某点各个截面中的最大正应力和最小正应力就是该点处的。
2．最大切应力作用面与主应力作用面成度角。
3．研究点的应力状态，通常是该点取单元体，由于单元体尺寸为，所以可认为单元体每个侧面上的应力是；两相互平行的侧面上相应的应力大小是的，符号是的。
4．若单元体某一截面上的，则该截面称为主平面；主平面上的称为主应力。
一个单元体上有相互的三对主平面，因此有三个主应力，它们按代数值大小的排列顺序是。
5．人们把从生产实践和力学试验中观测到的材料失效现象与构件的应力分析相结合，提出了一些解释材料在复杂应力状态下失效原因的假说，这些假说称为。
材料失效的现象尽管多种多样，但其主要形式不外乎两种：一是，二是。
6．第一强度理论认为是引起材料失效的原因，其强度条件为。
7．第三强度理论认为是引起材料失效的原因，其强度条件为。
8．第四强度理论认为是引起材料失效的原因，其强度条件为。
二、问答题1、什么叫一点处的应力状态？为什么要研究一点处的应力状态？如何研究一点处的应力状态？2、.什么叫单元体？什么叫主平面和主应力？主应力与正应力有什么区别？三、计算题1、试画出图示简支梁上点A和B处的应力单元体，并算出这两点的主应力数值。
2、试求各单元体中指定斜截面上的正应力和切应力。
3、对于下列所示的单元体，试求：（1）求出主应力和主平面方位；（2）画出主单元体；（3）最大切应力。
4、如图所示的圆轴，直径30=d mm ，如拉力50=F KN ，扭矩2.0=M KN·m ， []120=σMPa 。
试按第三和第四强度理论，校核其强度。
7工程力学(下)—应力分析与强度理论2
ν
(
)
由于忽略铜块与钢块上凹坑之间的摩擦， 由于忽略铜块与钢块上凹坑之间的摩擦，所以 σx，σy，σz都是主应力，且 ， 都是主应力，
σ 1 = σ 2 = −15.5 MPa σ 3 = −30 MPa
∴σ 1 = 44.3MPa
σ 3 = −20.3MPa
1 0.3 ε z = [0 − υ (σ x + σ y )] = − ( − 20.3 + 44.3) × 10 6 E 210 × 10 9 = − 34.3 × 10 − 6
边长a 例7-8 边长 =0.1 m的铜质立方体置于刚性很 的铜质立方体置于刚性很 大的钢块中的凹坑内(图 ， 大的钢块中的凹坑内 图a)，钢块与凹坑之间无 间隙。 间隙。试求当铜块受均匀分布于顶面的竖向外 加荷载F 加荷载 =300 kN时，铜块内的主应力、最大 时 铜块内的主应力、 切应力。已知铜的弹性模量E 切应力。已知铜的弹性模量 =100 GPa，泊松 ， 比n＝0.34。铜块与钢块上凹坑之间的摩擦忽略 ＝ 。 不计。 不计。
思考题： 已知单元体上的应力， 思考题： 已知单元体上的应力，求 σ x τ x .
解：σ α = 120MPa、τ α = 80MPa、
(MPa)
α = 30°、σ y = 0
σα = σx
2 2 3 3 = σx − τ x = 120MPa 4 2 +
τx
σx120Fra bibliotek80σx
30°
cos 60° − τ x sin 60°
工程力学07第七章 应力应变分析 强度理论-修改.
§7-2 平面应力状态分析-解析法
e
x
xy
α
n
α
α
α
ayx
f
y
t
e
dA
dAcos α
a dAsinf
3.任意斜截面上的应力
设斜截面的面积为dA , a-e的面积为dAcos, a-f 的面积为 dAsin
对研究对象列 n和 t 方向的平衡方程得
Fn 0 dA ( xydAcos )sin ( xdAcos )cos
应力
哪一个面上？ 哪一点？
哪一点？ 哪个方向面？
4.一点的应力状态
过一点不同方向面上应力的情况,称之为这一点的应力状 态,亦指该点的应力全貌.
§7-1 应力状态概述
二、应力状态的研究方法
1. 单元体 2. 单元体特征
（1）单元体的尺寸无限小,每个面上应力均匀分布
（2）任意一对平行平面上的应力相等 2 3
2
xy cos 2 ]
0
tan20
2 xy x
y
0 0
90
0 和 0+90°确定两个互相垂直的平面,一个是最大正应力
所在的平面,另一个是最小正应力所在的平面.
§7-2 平面应力状态分析-解析法
2.最大正应力
将 0和 0+90°代入公式
x
y
2
x
y
2
cos 2
xy sin 2
得到max和min (主应力）
低碳钢 （low- carbon steel）
铸铁 （cast-iron）
为什么脆性材料扭转时沿45°螺旋面断开？
§7-1 应力状态概述
3.重要结论
（1）拉中有剪,剪中有拉;
7工程力学(下)—应力状态和强度理论1
σα =
σx +σ y
2
+
σ x −σ y
2
cos 2α − τ x sin 2α
7.2 平面应力状态
对于斜截面的切线t参考轴列平衡方程为 对于斜截面的切线 参考轴列平衡方程为 ΣFt = 0, τ α d A − (σ x d A cos α ) sin α − (τ x d A cos α ) cos α + (σ y d A sin α ) cos α
σα =
σ x + σ y σ x −σ y
2 + 2
cos 2α −τ x sin 2α
τα =
σ x −σ y
2
sin2α +τ x cos2α
2 求正应力的极值
σ x −σ y dσ α = −2[ sin 2α + τ x cos 2α ] = 0 令: dα 2
比较可知, 极值正应力所在的平面, 比较可知 极值正应力所在的平面 就是切应力 τα为零的平面。这个切应力等于零的平面 叫做 为零的平面。这个切应力等于零的平面, 主平面, 主平面上的正应力, 叫做主应力。也就 主平面 主平面上的正应力 叫做主应力。 主应力 是说, 在通过某点的各个平面上, 是说 在通过某点的各个平面上 其中的最大正 应力和最小正应力就是该点处的主应力。 应力和最小正应力就是该点处的主应力。 表示主平面的法线n与 轴间的夹角 轴间的夹角, 以α0表示主平面的法线 与x轴间的夹角 由上式 可得 −2τ x tan 2α 0 = σ x −σ y
σ α = σ x cos 2 α + σ y sin 2 α − 2τ x sin α cos α
又由三角关系: 又由三角关系
材料力学 第七章 应力状态与强度理论
取三角形单元建立静力平衡方程
n 0
dA ( xdA cos ) sin ( xdA cos ) cos ( y dA sin ) cos ( y dA sin ) sin 0
t 0
dA ( xdA cos ) cos ( xdA cos ) sin ( y dA sin ) sin ( y dA sin ) cos 0
2 2
cos 2 x sin 2
2 x y 2 x y ( ) ( cos 2 x sin 2 )2
2
2
x y
sin 2 x cos 2
( 0) (
x y
2
2
sin 2 x cos 2 )
max x y x y 2 x 2 2 min
2
max
1 3
2
例7-2 试求例7-1中所示单元体的主应力和最大剪应力。
（1）求主应力的值
x 10MPa, y 30MPa, x 20MPa max x y x y 2 2 x min 2
复杂应力状态下（只就主应力状态说明） 有三个主应力
1 , 2 , 3
1
E
由 1引起的线段 1应变 1
由 2引起的线段 1应变 1
2
由 3引起的线段1应变 1
3
E
E
沿主应力1的方向的总应变为：
1 1 1 1
1 42.4 1 3 2 0 MPa 由 max 3 2.4 2
工程力学(材料力学部分第七章)
4 主应力及应力状态的分类
主应力和主平面
切应力全为零时的正应力称为主应力；
主应力所在的平面称为主平面；
主平面的外法线方向称为主方向。
主应力用1 , 2 , 3 表示 (1 2 3 ) 。
应力状态分类
单向应力状态
11
应力状态分类
单向应力状态 二向应力状态(平面应力状态)
三向应力状态(空间应力状态)
D点
由 y 40, yx 60
D'点
画出应力圆
52
圆心坐标
OC x y 80 (40)
2
2
20
半径
R
x
2
y
2
2 xy
80 (40) 2
(60)2
84.85 85
2
53
圆心坐标 OC 20
半径
R 85
1 OA1 OC R
E
105 MPa
3 OC R
65 MPa
D (x ,xy)
x y
2
R 1 2
x y
2
4
2 xy
38
3 应力圆上的点与单元体面上的应力的对应关系 (1) 点面对应
应力圆上某一点 的坐标值对应着 单元体某一方向面上的正应力和切应力。
39
(1) 点面对应
应力圆上某一点的坐 标 值对应着单元体某 一方向面上的正应力 和切应力。
D点对应的面与E点 对应的面的关系
主应力。
从半径CD转到CA1 的角度即为从x轴转
到主平面的角度的
两倍。
44
主应力 即为A1, B1处的正应力。
max min
x
y
2
x
2
工程力学C课件 07章应力状态和强度理论
2 xy
R
oc
x y 2
应力圆作法：
y
y
B x A x
x y
2
a (x ,x)
fc
o
Re
b (y ,y)
二、应力圆的特点：
点面对应， 转向相同， 二倍角对应。
y
y
y
A x A' x
x
a'
a
2
C
三、应力圆的应用 1. 求任意斜截面上的应力
y
y
x x
( x y ) / 2
( ,)
(principal plane) 主平面
主应力 (principal stress)
x
2
y
sin
2
x
cos 2
0
tan
20
2 x x
y
0 ( / 4 0 / 4)
0 0 /2
两个主平面相互垂直，因此，主应力也一定互相垂直。
cos 20
1
1 tan2 20
x y
x y
2
4
2 x
d d
( x
y ) cos 2 2 x sin 2
令此导数等于零，可求得达到极值时的 值，以 1表示此值，即
( x y )cos 21 2 x sin 21 0
tan
21
x 2 x
y
解出sin21和cos21，代入式(7−4)可求得切应力的最大和最小值：
主切应力
max min
单轴(向)应力状态
复杂应力状态
简单应力状态
主应力符号按代数值的大小规定：1 2 3
y
σy
τyz τzy
应力状态及强度理论
/
2
低碳钢
低碳钢 : σ s 240MPa; τs 200MPa
灰口铸铁 : σ Lb 98 ~ 280MPa σ yb 640 ~ 960MPa; τb 198 ~ 300MPa
铸铁
30° 40
图示单元体中应力单位为MPa
20
①求斜截面上旳应力
30
解 : x 30 y 40
60°
y
二、应力圆旳画法
y
Ox
C O
B(y ,yx)
x
xy
建立应力坐标系，如下图所示， （注意选好百分比尺）
在坐标系内画出点A( x，xy) 和B(y，yx)
x
A(x ,xy)
AB与 轴旳交点C便是圆心。
以C为圆心，以AC为半径画
圆——应力圆；
y
n 三、单元体与应力圆旳相应关系
x
xy
面上旳应力( ， ) 应力圆上一点( ， )
y
y
主单元体：
x
六个面上剪应力均为零旳单元体。
z
z
2
主平面：
剪应力为零旳截面。 x
主应力：
主平面上旳正应力。
1
主应力排序规则：按代数值大小排序：
3
σ1 σ2 σ3
三向应力状态： 三个主应力都不为零旳应力状态。（即三对平行平面上旳应
力均不为零）
二向应力状态： 一种主应力为零旳应力状态。（即仅一对平行平面上旳应力为零）
y
一、应力圆
x
y
xy
Ox
x
y
y
xy
σα
σx
σy 2
σx
σy 2
cos2α
τ xy sin2α
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《工程力学》第7次作业（应力状态与强度理论）
2009－2010学年第2学期3系、5系各班
班级学号姓名成绩
一、填空题
1．过构件内某点各个截面中的最大正应力和最小正应力就是该点处的。
2．最大切应力作用面与主应力作用面成度角。
3．研究点的应力状态，通常是该点取单元体，由于单元体尺寸为，所以可认为单元体每个侧面上的应力是；两相互平行的侧面上相应的应力大小是的，符号是的。
4．若单元体某一截面上的，则该截面称为主平面；主平面上的称为主应力。
一个单元体上有相互的三对主平面，因此有三个主应力，它们按代数值大小的排列顺序是。
5．人们把从生产实践和力学试验中观测到的材料失效现象与构件的应力分析相结合，提出了一些解释材料在复杂应力状态下失效原因的假说，这些假说称为。
材料失效的现象尽管多种多样，但其主要形式不外乎两种：一是，二是。
6．第一强度理论认为是引起材料失效的原因，其强度条件为。
7．第三强度理论认为是引起材料失效的原因，其强度条件为。
8．第四强度理论认为是引起材料失效的原因，其强度条件为。
二、问答题
1、什么叫一点处的应力状态？为什么要研究一点处的应力状态？如何研究一点处的应力状态？
2、.什么叫单元体？什么叫主平面和主应力？主应力与正应力有什么区别？
三、计算题
1、试画出图示简支梁上点A和B处的应力单元体，并算出这两点的主应力数值。
2、试求各单元体中指定斜截面上的正应力和切应力。
3、对于下列所示的单元体，试求：
（1）求出主应力和主平面方位；
（2）画出主单元体；
（3）最大切应力。
4、如图所示的圆轴，直径30=d mm ，如拉力50=F KN ，扭矩2.0=M KN·m ， []120
=σMPa 。
试按第三和第四强度理论，校核其强度。