连续型随机变量.

任给长度为l的子区间(c,c+l), ac<c+lb, 有
P{c < X c l}

c l
c
c l
f ( x)dx
1 dx l . ba ba
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c
例5： 某观光电梯从上午8时起，每半小时运行一趟. 某人在上午8点至9点之间到达，试求他等候时间少 于5分钟的概率．
解：对任意实数t， f(t)非负，又



f (t )dt 0dt et dt e t
0
0

0
1
则 f(t)是连续型随机变量的概率密度.
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参数的确定
例2： 设随机变量X的概率密度为
x Ae ,x<0 f ( x) x Ae , x 0
P{X < t} 1 F (tF )( t) 1 et , t 0
指数分布的特点：无后效性（无记忆性）
若X服从指数分布, 则任给s,t >0, 有 P{X>t+s| X > t}=P{X > s}， 事实上 P{ X t , X t s} P{ X t s | X t} P{ X t}
f ( x) Ae ,
x
求（1）系数A;（2）X的分布函数. ( < x < ) 解：
(1)1


f ( x)dx

0

Ae dx
x

0
Ae dx
x
Ae
x 0
Ae
x 0
2A
1 x e , x < 0, 2 f ( x) 1 e x , x 0. 2
2
相互独立，且
i 1,2,,5
所以，该批子弹被接受的概率为
4 1 e 5 p P( B1B2 B5 ) P( B1 )P( B5 ) ( ) 9 1 e
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几种连续型分布
1.均匀分布 设连续型随机变量X具有概率密度
1 , a < x < b; f ( x) b a 其它 , 0,
( t s ) e P{ X t s} 1 F (t s) s e P{ X t} e t 1 F (t )
P{ X s}.
指数分布常用来描述处于稳定工作状态的元件寿命.
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3.正态分布(GAUSS 分布)
< x <
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从一批子弹中任意抽出5发试射，如果没有一发 例 5： 子弹落在靶心2cm以外，则整批子弹将被接受. 设弹着点与靶心的距离X(cm)的概率密度为
Axe ,0 < x < 3 f ( x) 0 , 其他
x2
求（1）系数A;（2）该批子弹被接受的概率. 解：
x1
x2
2） 连续型随机变量X取任意数值的概率均为0. 概率为0的事件不一定是不可能事件， 概率为1的事件不一定是必然事件.
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概率密度的性质： 1. 3.
f ( x) 0
2.
x2



f ( x)dx 1
P( x1 < X x2 ) f ( x)dx
f (x) 1
F ( x)
F(x)
1
O
1
2
x
O
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1
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2
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x
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F x
x

f t dt P X x
概率密度所对应的平面曲线称为随机变量X的 概率曲线，
f(x)
O
x x
分布函数值F(x)是概率曲线下从 到x的一块面积。
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则称X在区间(a,b)上服从均匀分布,记为 X~U(a,b).
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均匀分布的密度函数f(x)的图形
f(x)
1 ba
a
O
b
x
均匀分布常用来描述在某个区间内随机取值， 在某段时间内随机到达，误差分布等。
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均匀分布的特点：
若随机变量X~U(a,b), 则它落在(a,b)中任意子区间内 的概率只依赖于子区间的长度，而与子区间的位置 无关.
j( x ) = j( x; 0, 1 ) =
1 2
e

x2 2
, x ∈R
则称随机变量X 服从标准正态分布, 即X ~ N( 0, 1 )
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1) 正态分布概率密度曲线的特征 ＋∞ 2 ) dx = 1 (1) ∫ j ( x ; m , s －∞ 即概率曲线下总面积为1。 (2)曲线关于直线x = m 对称, 即对任意实数x 有
x
1 t e 2
0
1 1 1 x 1 x e 1 e 2 2 2 2
所求分布函数为
1 x e , x<0 2 F ( x) 1 1 e x , x 0 2
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3.
P( x1 < X x2 ) f ( x)dx
故方程有实根的概率为 P{Y 1} P{Y 2}
＝ 0dy

1
5
2
1 dy 0dy 5 5
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3 5
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例7:在数值计算中,由于四舍五入引起的误差X 服从均匀分布.如果小数后面第五位按四舍五入处 理,试求误差在0.00003和0.00006之间的概率. 解法1 由题设知,误差在[-0.00005,0.00005] 上服 从均匀分布,所以X的概率密度为
x1
x2
f(x)
O x1 x2
4.
x
若f ( x)在点x处连续，则F ( x) f ( x).
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由性质4在f(x)的连续点x处有
F ( x Δ x) F ( x) f ( x) F ( x) lim Δ x 0 Δx P( x < X x Δ x) lim . Δ x 0 Δx
1 A 2
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由密度函数求分布函数
( 2) 当x < 0时，有F ( x)
x

1 t 1 x f (t )dt e dt e 2 2
x
当x 0时，有F ( x)
1 t e 2
0
x

x1 1 t t f (t )dt e dt 0 e dt 2 2 0
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6. 设X为连续型随机变量，则对任一指定实数 x0 ，有
P{X x0} 0, x0 R
注： 1） P( x1 < X x2 ) P( x1 X x2 ) P( x1 < X < x2 )
P( x1 X < x2 ) f ( x)dx
概率密度的性质： 1. 2.
f ( x) 0
f(x)
1



f ( x)dx 1
O
验证性质1和性质2是判断一个函数是否为 概率密度的方法。
x
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例1：（密度函数的判定）
e t , t 0 , 0 是概率密度函数. 验证 f (t ) 0 , t < 0
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例6： 设随机变量Y服从(0,5)上的均匀分布，求方程
4 x 2 4 xY Y 2 0
有实根的概率. 解：
Y ~ U (0,5)
方程有实根 0
2
1 , 0 < y < 5, f ( y) 5 . 0, 其它
即 (4Y ) 4 4 (Y 2) 0 Y 1, Y 2
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由分布函数求密度函数
例4 设连续型随机变量X 的分布函数为 1 1 < x < F x arctan x 2 试求 X 的密度函数．
f x，则 解： 设 X 的密度函数为
1 f x F x 2 1 x 1
(1)1 f ( x)dx 0


3
2 A 1 e 9
A Axe dx (1 e 9 ) 2
x2
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( 2) 设 Bi 表示第i发子弹合格的事件，则 B1 , B2 ,, B5
4 2 2 1 e x xe dx , P( Bi ) P{0 X 2} 0 9 9 1 e 1 e
x1
4.
5.
若f ( x)在点x处连续，则F ( x) f ( x).
连续型随机变量的分布函数F(x)是一个在 (,) 上的连续函数.
6. 设X为连续型随机变量，则对任一指定实数 x0 ，有
P{X x0} 0, x0 R
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概率的计算
设随机变量X的概率密度为 例 3： 求（1） P{-1<X<1};（2）P{X=2}
§ 2.3 连续型随机变量
离散型随机变量只能取有限个或可列无穷多个数值，
还有一类随机变量的取值却充满某个有限区间或无穷区间.
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定义2.3.1 设F(x)是随机变量 X的分布函数 , 若存在非负函数 f (x) , 使得对任意实数x , 有
F x
x

f t dt
X
x
考虑函数 f ( x )=
x/2 , 0 < x < 2; 0, 其它
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f (x)的变上限积分为
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x

x < 0, 0, x 2 x t f (t )dt dt ,0 x < 2, 0 2 4 2t dt 1, x 2. 02
1 10000 , 0.00005 x 0.00005 f x 0.00005 ( 0.00005 ) 0 其他
故所求概率为: 0.00005 P{0.00003x 0.00006}= 0.00003 10000dx 0.2
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设随机变量X 的概率密度函数为 2 (x–m
j ( x; m, s 2 ) =
s 2
1
e

2 s2
, x ∈R
其中m , s ( s 0是常数， 则称随机变量X 服从参数为m， s2 的正态分布或高斯分布，记为X ~ N(m , s2 )。 特别地, 当m 0, s 1时, 其概率密度函数为
解： 设X表示某人到达的时间，则 X ~ U [0， 60]
1 , 0 x 60, f ( x ) 60 0, 其它.
为了使等候时间少于5分钟，此人应在电梯运行前5分 钟之内到达，所求概率为
P{25 < X 30} P{55 < X 60} 30 1 60 1 1 ＝ dx dx . 25 60 55 60 6 目 录
1 x f ( x) e , 2 ( < x < )
1 1 1 x x e dx e dx 0 2 2
解：
(1) P{1 < X < 1} f ( x)dx
1
1

0
1
1 1 1 1 1 (1 e ) (e 1) 1 e 2 2
(2)因为X是连续型随机变量，所以 P{ X 2} 0
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2. 指数分布
设连续型随机变量X的概率密度为
e x , x 0; f ( x) ( 0), x 0. 0,
则称X服从参数为的指数分布. X的分布函数为
1 e x , x 0; F ( x) x 0. 0,
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则称 X为连续型随机变量, 称 f (x) 为 X 的概率密度.
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引例1：一个靶子是半径为2米的圆盘，设击中靶上任 一同心圆盘的概率与该圆盘的面积成正比，射击均能 中靶，用X 表示弹着点与圆心的距离。试求X 的分布 函数。 解：由第一节可知，X 的分布函数为
0, x < 0; 2 x F ( x) 4 , 0 x < 2; 1, x ≥ 2.
看出概率密度的定义与物理学中的线密度 的定义相类似, 这就是为什么称f(x)为概率 密度的原因.
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5.
连续型随机变量的分布函数F(x)是一个在 (,) 上的连续函数.
离散型随机变量的分布函数F(x)是右连续的
连续型随机变量的分布函数F(x)在整个数轴上连续的
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