第五章 相似原理与量纲分析
第五章 量纲分析和相似原理
L112T 11M 0 1
v Fr gh
Fr v g h
1
1 2
1 2
1 2 1 2
( L / T )1 ( L / T 2 ) ( L)
L
1 1 1 2 2
T 11M 0 1
§5-1 量纲分析的意义和量纲和谐原理
• 一种流动的主要作用力一般只有一种
• 主要作用力满足相似，是容易实现的 • 实践证明这种简化是可行的 • 即相似准则概念的提出
§5-3 相似理论基础
• 重p v p
2
3
2
Fm mlm2vm2
主要作用力：重力
G gV
G gV gl 3
dim x L T M
a b
c
§5-1 量纲分析的意义和量纲和谐原理
• 按照基本量纲的指数a、b、c的值，可分为以下三类：
• 如果a≠0，b=0，c=0为几何学的量
• 长度L、面积L2、体积L3、高度L
dim x L T M
a b
c
• 如果a≠0，b≠0，c=0为运动学的量
• 时间T、速度LT-1、加速度LT-2
§5-3 相似理论基础
粘滞力相似准则（雷诺准则）
Fp
pl p v p
2
2
Fm 2 2 mlm vm
主要作用力：粘滞力
du u Fs A l 2 lu dy l
plp vp mlm vm 2 2 plp vp m2v2 m l m
3 3a b c 1 2c
b 2
1 c 2
Q k d p
a b
第五章 相似原理和量纲分析
原型
l′ = kl l
特征长度
如：圆柱的直径d，管道的长度l，翼型的翼弦长b，管壁的绝对 粗糙度ε
一、几何相似
面积比例尺
A′ 2 kA = = kl A V′ kV = = kl3 V
体积比例尺
二、运动相似
模型与原型的流场所有对应点上、对应时刻的流速方向相 模型与原型的流场所有对应点上、
第五节 量纲分析法（瑞利法）
不可压缩黏性流体在粗糙管内定常流动时，沿管 不可压缩黏性流体在粗糙管内定常流动时，
道的压降Δ 与管道长度l 内径d 绝对粗糙度ε 道的压降Δp与管道长度l、内径d、绝对粗糙度ε、 平均流速v 流体密度ρ 有关。 平均流速v、流体密度ρ和动力黏度 有关。求导 出压强降的表达式。 出压强降的表达式。
第五节 量纲分析法（基本概念）
4 无量纲量 指该物理量的量纲为1 指该物理量的量纲为1，用L0M0T0表示，实际 表示， 是一个数，但与单纯的数不一样， 是一个数，但与单纯的数不一样，它是几个物理 量组合而成的综合物理量，如相似准则数： 量组合而成的综合物理量，如相似准则数：
vl LT L [Re] = = 2 1 = 1 LT ν
在压力作用下相似的流动，其压力分布必须相似 在压力作用下相似的流动，
欧拉数，是总压力与 欧拉数， 惯性力的比值
p Eu = 2 ρv
或者： 或者：
p Eu = 2 ρv
第二节 动力相似准则
（４）非定常相似准则
保证模型与原型的流动随时间变化相似
l Sr = vt lf = v
斯特劳哈尔数，也称 斯特劳哈尔数， 谐时数； 谐时数；是当地惯性 力与迁移惯性力的比 值
第二节 动力相似准则
（５）弹性力相似准则（柯西准则） 弹性ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ相似准则（柯西准则）
第五章 相似原理与量纲分析
例：长度比为1/50的船舶模型，在水池中以1m/s的 速度牵引前进时，则得波浪阻力为0.02N。求（1） 原型中的波浪阻力；（2）原型中船舶航行速度； （3）原型中需要的功率？
第三节 流动相似条动，它们都应为相同 的微分方程组所描述。 2、单值条件（几何条件、边界条件、物性条件、初 始条件）相同或相似； 3、由单值条件中的物理量所组成的相似准则数相等。
四、初始条件和边界条件的相似
初始条件：适用于非恒定流。
边界条件：包含几何、运动和动力三个方面的因素。 例如固体边界上的法线流速为零，自由液 面上的压强为大气压强等 。
流动相似的含义： 1、几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据；
2、动力相似是决定两个液流运动相似的主导因素；
3、运动相似是几何相似和动力相似的表现； 4、凡流动相似的流动，必是几何相似、运动相似 和动力相似的流动。
例：有一直径为15cm的输油管，管长5m，管中要通 过的流量为0.18m3/s ，现用水来作模型试验，当模型 管径和原型一样，水温为10℃（原型中油的运动粘度 为 0.13cm2/s），问水的模型流量应为多少时才能达 到相似？若测得5m长模型输水管两端的压差为3cm， 试求在5m长输油管两端的压差应为多少（用油柱高 表示）？
M F l kM k F kl k kl3kv2 M Fl
p Fp A k F kp k kv2 p Fp A k A
功率比例尺 动力粘度比例尺
kP
P F v k F kv k kl2 kv3 P Fv k k k k kl kv
例1：当通过油池底部的管道向外输油时，如果池内 油深太小，会形成大于油面的漩涡，并将空气吸入 输油管。为了防止这种现象，需通过模型实验确定 油面开始出现漩涡的最小油深hmin。已知输油管内 径d=250mm，qV=0.14m3/s，运动黏度ν=7.5x10-5m/s。 倘若选取的长度比例尺kl=1/5，为了保证流动相似， 模型输出管的内径、模型内液体的流量和运动黏度 应等于多少？在模型上测得h'min=60mm，油池的最 小深度hmin应等于多少？
第五章量纲分析和相似原理
Ρ ρ,ρ rho 电阻系数（小写）
∑ ζ,s sigma 总和（大写），表面密度；跨导（小写） Φ φ phi 磁通；角 Ψ ψ psi 角速；介质电通量（静电力线）；角 Ω ω omega 欧姆（大写）；角速（小写）；角
补充资料
A α 阿尔法 B β 贝塔 Γ γ 伽玛 Δ δ 德尔塔 Ε ε 伊普西隆 Ζ δ 泽塔 Μ κ 米欧 Νλ纽 Ξ μ 克西 Ο ν 欧米克隆 ∏π派 Ρξ柔 ∑ ζ 西格玛 Τη陶
对于不可压缩流体运动，则选取M、L、T三个基本量纲，其 他物理量量纲均为导出量纲。 速度 dimv=LT-1； 力 dimF=MLT-2； 加速度 dima=LT-2 动力粘度 dimκ=ML-1T-1
综合以上各量纲式，可得任一物理量q的量纲dimq都可用3
个基本量纲的指数乘积形式表示。
补充资料
1
2
n
据量纲和谐原理 [L]: 有: [T]: [M]: a = a1 1 ＋ a2 2 +……+an n b = b1 1 ＋ b2 2 +……+bn n c = c1 1 ＋ c2 2 +……+cn n
解出： 1 ， 2 ， 3 ， …….. n
（4）举例：已知影响水泵输入功率的物理量有：水的
2、量纲的分类：
（1）基本量纲（独立量纲） ——不能用其它量纲导出的、互相独立的量纲。 长度量纲： [L] 如： 质量量纲： [M] 时间量纲： [T] 温度量纲： [Θ] （2）导出量纲（非独立量纲）
如： 速度量纲： [ L T –1] ； 流量量纲： [ L3 T –1] 。
——可由基本量纲导出的量纲。
2
1 =1
第五章 量纲分析与相似原理ppt课件
或显解一个 参数，如：
f , , . . . ,
或求得一个因变量的表达式。
例1：液体在水平等直径的管内流动，设两点压强差 p 与下 , ,v ,l, 列变量有关：管径 d ，管壁粗糙度 ，试求 p 的 表达式。
解 ： fdv ,,, l ,,, p 0
z 3 a 1 1
为满足量纲的和谐，相应的量纲指数必须相同。因此
M : 1 z a L : 0 x y 3z a T : 2 y a
故 Fk D U D
1 a2 a1 aa
得 x 1 a , y 2 a , z 1 a
l 设 f4 R e ,
l v2 则 h d 2g
例2：已知文丘里流量计是用以测量有压管路的流量，已知压 强降落 p 随流量Q，流体密度 ，液体粘性系数 ，管 壁粗糙高度 ，流量计长度L以及大小直径 D 1 , D 2 变化。 试用 定律求出的压强降落 p 表示的流量公式。 解：函数式为：
f D ,, v , ,, 0 0
（动力量）为基 从各独立影响因素中选取D（几何量），v（运动量）， 本量建立 项：
, , D v D v D v
1 0 a bc 1 1 1 2 a bc 2 2 2 3 a bc 3 3 3
f , Q , DD , ,2 , p 0 1
选取 , Q, D1 为基本变量， 则存在6-3=3个 数
1 Q D p 2 Q D 3 Q D D2
3 3 3 1 2 2 2 1
1
1
1 1
量纲分析与相似原理PPT课件
Eu
2
（欧拉数，1/2是人为加上去的）
② П2 =ρa b b c cμ
M 0 L 0 T 0 = (M L – 3 ) a (L T –1 ) b L c (M L – 1 T – 1 )
解得：a = b = c = -1
2
ud
1 Re
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(雷诺数)
③ П3 =ρa u bd cε
第五章 量纲分析与相似原理
5.1 量纲
1. 物理量的量纲
量纲（因次）：表征各种物理量性质和类别的标志。
大小
单位制
物理量
类别
量纲
基本量纲
SI制中的基本量纲：
导出量纲
dim m = M , dim l = L , dim t = T 或：[m]=[M], [l]=[L], [t]=[T]
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第五节 量纲分析与相原理
5.6.2 相似原理 原型现象的Π数方程： 模型现象的Π数方程： 相似条件： 相似结果：
Π1 = f (Π2, Π3, ……Πn ) Π1m = f (Π2 m, Π3 m, ……Πn m ) Π2 m=Π2，Π3 m= Π3，……，Πn m= Πn
Π1= Π1 m
CP
2P
V 3l 2
P
D5n3
（D 为动力机械旋转部件的直径，n 为转速。）
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第五节 量纲分析与相似原理
5.6 模型实验与相似原理 5.6.1 模型实验
1. 什么是模型实验？
模型实验通常指用简化的可控制的方法再现实际发生的物理现象的实验。实际发 生的现象被称为原型现象，模型实验的侧重点是再现流动现象的物理本质；只有保 证模型实验和原型中流动现象的物理本质相同，模型实验才是有价值的。
第五章 相似原理和量纲分析
kρklkv 1 k
klkv 1 k
• 的制约，不能全部任意选择。
• 当模型与原型用同一流体时，kρ= kμ= 1，故有
k
1 kl
三、压力相似准则
在压力作用下相似的流动，其压力场必相似。
kF
Fp Fp
pA pA
p p
A A
k pkl2
代入
kF k ρkl2kv2
v v kv 速度比例尺
图5-2 速度场相似
由于流场的几何相似是运动相似的前提条件, 因此甚易证明，模型与原型流场中流体微团经过 对应路程所需要的时间也必互成一定比例，即
时间比例尺
kt
t t
l l
v v
l v
l v
kl kv
由几何相似和运动相似还可导出用kl、kv表 示的有关运动学量的比例尺如下：
• 二流动的重力作用相似，其弗劳德数必定相等， 即 Fr′= Fr ；反之亦然。
• 重力相似准则，又称弗劳德准则。
• 重力作用相似的流场，有关物理量的比例尺要受
kv
kl k g
12
1
的制约，不能全部任意选择。
• 由于在重力场中
故有
g g kg 1 kv kl1 2
二、黏滞力相似准则
在黏滞力作用下相似的流动，其黏滞力分布必 须相似。
kF
F F
d vx d vx
d yA d yA
d vx d vx
1 d y
A A
dy
k kv
1 kl
kl2
k kv kl
第五章 量纲分析与相似原理
除以 v2 除以 d
2
F f2 d , 2 v v
F f3 2 2 v d vd
F
d
v
MLT 2 ML3 ML1T 2 L LT 1
二、使用π定理的具体步骤
1)找出影响某物理现象的n个独立物理变量
2)从n个变量中选择m个基本变量，基本变量的条件为 其量纲中包括n个变量中所有的基本量纲。m一般等于这 些变量所涉及的基本量纲的个数。基本变量应选取最简 单，最有代表性和容易测量的物理量，如物体的长度， 流体的密度和粘度，相对速度等。
量纲分析与相似 原理
流体力学 张殿新
相似理论
两个同一类的物理现象其相应物理量成一定比例，则 称两个现象相似。确定两个现象是否相似的理论称为相似 理论。 一、力学相似的基本概念 力学相似是指两个流动系统中相应点处的各物理量 彼此之间互相平行（指向量物理量，如速度与力等），并 且互相成一定的比例（指向量或标量物理量的数值，标量 如长度与时间等）。 1、几何相似
2 2 作用在两立方体上的惯性力分别为 FIm m Lm 和
2 2 FIn n Ln ，于是，可得
p n
2 n
p m
2 m
以符号 Eu 表示比值，得
Eu p
2
称为流动的欧拉数。故欧拉数表征压差和惯性力的相对 比值。 原型水流和模型水流压力和惯性力的相似关系可以 写为
FIn FPn FIn ； FGn FIn ； Fn Fm FIm FPm FIm FGm FIm
1、欧拉相似准则 如果两个相似流动中起主导作用的力是压力，那 么要在压力作用下使原型与模型流动动力形似,则
FPn FPm FIn FIm
第五章-相似原理与量纲分析
第五章 相似理论与量纲分析5．1基本要求本章简单阐述和实验有关的一些理论性的基本知识。
其中，包括作为模型实验理论根 据的相似性原理，阐述原型和模型相互关系的模型律，以及有助于选择实验参数的量纲分析法。
5.1.1识记几何相似、运动相似、动力相似的定义，Re 、Fr 、Eu 等相似准则数的含义，量纲的定义。
5.1.2领会流动的力学相似概念，各个相似准数的物理意义，量纲分析法的应用。
5.1.3应用量纲分析法推导物理公式，利用模型律安排模型实验。
重点：相似原理，相似准则，量纲分析法。
难点：量纲分析法，模型律。
5．2基本知识点5．2．1相似的基本概念为使模型流动能表现出原型流动的主要现象和特性，并从模型流动上预测出原型流动的结果，就必须使两者在流动上相似，即两个互为相似流动的对应部位上对应物理量都有一定的比例关系。
具体来说，两相似流动应满足几何相似、运动相似和动力相似。
原型流动用下标n 表示，模型流动用下标m 表示。
1. 几何相似两流动的对应边长成同一比例，对应角相等。
即n nl m m L d C L d == n m θθ=相应有 222n nA l m m A L C C A L === 333n n V l m mV L C C V L ===2. 运动相似两流动的对应点上流体速度矢量成同一比例，即对应点上速度大小成同一比例，方向相同。
n nu m mu C u υυ== 相应有 t l l u t u C C C C C C ==或者 ， 2u u a t lC C C C C == 3. 动力相似两流动的对应部位上同名力矢成同一比例，即对应的受同名力同时作用在两流动上，且各同名力方向一致，大小成比例。
Im pn n In n Gn EnF m m Gm pm EmF F F F F F C F F F F F F υυ====== 4. 流动相似的含义几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据；动力相似是决定二个流动相似的主导因素；运动相似是几何相似和动力相似的表现；凡相似的流动，必是几何相似、运动相似和动力相似的流动。
第5章 相似性原理和量纲分析
（2）佛劳德准则——重力是主要的力
Fi FG FG Fi
改成
Fi Fi FG FG
FG mg gl 3
Fi l 2v2
v2 v 2 g l gl
弗劳德数：流体在流动过程中动能与重力位 能的比值。 重力位能和动能分别与重力和惯 性力成正比，故 Fr 也表示流体在流动中惯性 力和重力的比。
v Fr 1/ 2 ( gl )
适用范围：凡有自由水面并且允许水面上下自 由变动的各种流动（重力起主要作用的流动）， 如堰坝溢流、孔口出流、明渠流动、紊流阻力 平方区的有压管流与隧洞流动等。
（3）欧拉准则——压力是主要的力 Fp Fi Fp Fi Fp Fp 改成 Fi Fi
Fp pl 2
的目的
三 动力相似
模型与原型的流场所有对应点作用在流体微团上的各种力 彼此方向相同，大小互成比例
Fp
F W Fi kF Fp F W Fi
kF——力的比例尺
Fp、F、W、Fi 分别为总压力、切向力、重力和惯性力
动力相似是运动相似的保证
密度比例尺
kF Fi aV kF k 2 2 Fi aV ka kV k kv
例4：为了探索用输油管道上的一段弯管的压强降去计量油的流量，进行 了水模拟实验，选取的长度比例尺kl=1/5。已知输油管内径d=100mm， 油的流量qV=20L/s，运动粘度v=0.625×10-6m2/s，密度 720kg/m3， 水的运动粘度v’=1.0×10-6m2/s，密度 = 998kg/m3。为了保证流动相 似，试求水的流量。如果测得在该流量下模型弯管的压强降 p =1.177×104Pa，试求原型弯管在对应流量下的压强降。
5相似原理和量纲分析
26
工程流体力学
第五章、相似原理和量纲分析
【解】 要保证二流动相似，它们的雷诺数和韦伯数必
须相等，即
或 故有
'v'l' vl '
'v'2 l' v2l '
kvkl 1
kv2kl k
kv
k
0.07348 0.04409
1.667
kv
1 kl
k
k
l
k
2 v
1
k
kl 1 kv 1 1.667 0.6
工程流体力学
第五章、相似原理和量纲分析
第五章 相似原理和量纲分析
由于流体流动十分复杂，至今对一些工程中 的复杂流动问题，仍不能完全依靠理论分析来求 得解答。因此，实验常常是流动研究中最基本的 手段，而实验的理论基础则是相似原理，实验资
料的数据分析则要应用因次（量纲）分析。
飞机模型—风洞—飞机的气动特性—飞机
简化模型实验方法中流动相似的条件，除局部相似 之外，还可采用自模化特性和稳定性。
重力场中： g' g,
kg 1
则：
kv
kl
1 2
15
工程流体力学
第五章、相似原理和量纲分析
2.粘滞力相似准则
在粘滞力作用下相似的流动，其粘滞力场相似。
kFF F ((d dvxxv //d dy))y A A kkvkl
代入
kF k kl2kv2
1
kkvkl kvkl 1
k
k
vlvlvlvlRe
几何
相似 流 应
运动
动
满 足
相似
相
的 条
第五章相似理论与量纲分析课件
压力P、重力G等。设作用在模型与原型流动对应流
体质点上的外力分别为Tm、Pm、Gm和Tp、Pp、Gp，
则
Tm Tp
Pm Pp
Gm Gp
Fm Fp
kF
式中F为合外力，kF称为力的比尺。将F＝ma＝ρVa 代入上式，得
kF
Fm Fp
mm am mpap
mVm am pVp a p
kkVka
Km
Kp
令 Ma v 为无量纲数，称为马赫数。上式可用马
c
赫数表示为
Mam Map
上式称为马赫相似准则。当可压缩气流流速接近 或超过声速时，实现流动相似要求相应的马赫数 相等。
5.1.3 模型实验 模型实验是根据相似原理，制成与原型几何相似的 模型进行实验研究，并以实验结果预测原型将要发 生的流动现象。 1. 模型律的选择
基本量纲是指具有独立性的，不能由其它基本量 纲的组合来表示的量纲。对不可压缩流体，基本量纲 共有三个：长度量纲L、时间量纲T和质量量纲M。
导出量纲是指由基本量纲组合来表示的量纲。 除长度、时间、质量和温度，其它物理量的量纲均为 导出量纲。
任意一个物理量x的量纲都可以用L、T、M这三 个基本量纲的指数乘积来表示，即
二、弗劳德相似准则 当流动受重力G作用时，由动力相似条件有
Gm ρmlm2vm2
Gp ρplp2vp2
Fm
Fp
ρmlm2vm2 ρplp2vp2
重力 G gV gl3
代入上式整理，约简后得
vm2 vp2 gmlm gplp
令 Fr v2 为无量纲数，称为弗劳德数。 gl
上式可用弗劳德数表示为
K
西数表示为
Cam Cap
上式称为柯西相似准则，该式表明两流动弹性力 相似时，模型与原型流动的柯西数相等。柯西数的 物理意义在于它反映了流动中惯性力和弹性力之比。 对于液体，柯西相似准则只应用在压缩性显著起作 用的流动中，例如水击现象。
流体力学第五章 相似原理与量纲分析
模型流动特征长度不能太小
流体力学
近似模型法－弗劳德相似3
已知某船体长122m， 航行速度15m/s，现用船模 已知某船体长122m， 航行速度15m/s，现用船模 在水池中实验船模长 3.05m 。 求船模应以多大速 在水池中实验船模长3.05m。求船模应以多大速 运动才能保证与原型相似。若测得船模运动阻力 运动才能保证与原型相似。若测得船模运动阻力 为20N，实物船所受阻力等于多少？ 为20N，实物船所受阻力等于多少？
V1 m V2 m = = V1 p V2 p
流体力学
针对描述运动状态的量
= CV
CV – 速度比例系数
运动相似2
流体质点通过对应距离的时间相似
tm Lm Vm CL = = Ct = tp CV Lp V p
流体质点的加速度 相似
am Vm tm CV = = Ca = ap Ct Vp t p
弗劳德相似
明渠流、兴波阻力问题
(惯性力)p (压力)p (惯性力)m
α
(重力)p
(压力)m
α
(重力)m
单值条件相似 仅有弗劳德准则为决定性准则
流体力学
近似模型法－弗劳德相似2
( Fr ) m = ( Fr ) p
⎛ V ⎞ ⎛ V ⎞ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎝ gL ⎠ m ⎝ gL ⎠ p
一般情况下 g p = gm
可压缩流动
⎛V ⎞ = ⎛V ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ a ⎠m ⎝ a ⎠ p
欧拉相似
压差起主要作用
⎛ p ⎞ ⎛ p ⎞ ⎜ ⎜ ρV 2 ⎟ = ⎜ ρV 2 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠m ⎝ ⎠p
(Eu )m = (Eu ) p
第5章量纲分析和相似原理
引申：
1、反正确反映客观规律的物理方程，一定能表示成 由无量纲项组成的无量纲方程。
2、量纲和谐原理规定了一个物理过程中各物理量 之间的关系
量纲和谐原理的重要性
其应用为： a.一个方程在量纲上应是和谐的，所以可用来检验经验公 式的正确性和完整性。 b.可用来建立物理方程式的结构形式。 c.量纲和谐原理可用来确定公式中物理量的指数。 比如，在剪切流中，牛顿流体的方程为
关键问题：模型水流和原型水流保持流动相似。
5.3.1 相似概念
流动相似：是几何相似概念的扩展，两个流动的相应点上 的同名物理量（如速度、压强、各种作用力等）具有各自 的固定比例关系，则这两个流动就是相似的。
共有四方面内容
1 几何相似：
长度比尺：
lp1 lm1
lp2 lm2
...... lp lm
量纲分析和相似原理可以用定性的理论分析方法 建立物理量之间的联系，是解决实际工程问题的 有力工具
而且在求解流体力学基本方程组时，对于某些流 动问题，利用量纲分析有可能将原来的偏微分方 程简化为常微分方程，使流动的数学求解得到极
大的简化。
5.1 量纲分析的意义和量纲和谐原理
5.1.1 量纲（dimension）的概念 物理量：属性dimq 量纲（因次）
gmlm
其中无量纲数 Fr 之比
FrpFrm
v 称为弗劳德数，表征惯性力与重力 gl
在重力起主要作用的流动实验中，必须考虑Fr 数这一相似 参数。在Fr → ∞的流动中，重力效应可以忽略不计。
适用范围：凡有自由水面并且允许水面上下自由变动的各 种流动（重力起主要作用的流动），如堰坝溢流、孔口出 流、明槽流动、紊流阻力平方区的有压管流与隧洞流动等
第五章——量纲分析和相似原理
（3）运动相似 ——速度（加速度）场相似 在不同的流动空间中，对应点、对应时刻上的速度（加 速度）方向一致，大小成比例
速度比例常数
CV
V' V
基本比例常数
加速度比例常数
Ca
a ' V '/ t ' CV a V / t Ct
CV2 Cl
流量比例常数
CQ
Q' Q
l '3/ t ' l3 /t
'
不可压定常流相似，他们的弗劳德数、欧拉数、雷诺数必相等
这些无量纲数组称为相似准则或相似判据
相似原理可表述为：两种流动现象相似的充分必要条件是：能 够用同一微分方程描述同一种类的现象；并且满足单值条件相 似；有单值条件中的物理量组成相似准则相等
19
5.2 相似原理与模型实验
3. 相似原理的应用 应用相似原理进行试验研究的步骤： （1）分析导出的相似准则，判断决定性准则 （2）根据选定的相似准则设计实验方案 （3）确定实验中要测量的物理量，测定相似准则中的物理量 （4）将实验结果换算到实物系统中
p
g
V2 2g
l d
F2
Vd
,
d
令
F2
Vd
,
d
则
p V 2 l g 2g d
——达西公式。为沿程阻力系数。
8
5.1 量纲分析
3. Π定理的几点说明 （1）无量纲数组的特性 ① 对于确定的物理现象，无量纲数组个数是固定的 但是形式上不是唯一的 ② 无量纲数的算术运算的结果仍是无量纲数
第五章 体力学 相似原理与量纲分析
第五章量纲分析与相似原理教学要点一、教学目的与任务1本章教学目的1）使学生掌握流动相似的基本概念。
2）动力相似准则及理解模型设计的基本方法。
3）能应用量纲和谐原理进行量纲分析。
2 本章教学任务1理解几何、运动、动力、初始与边界条件相似的基本概念。
2掌握各种动力相似准则，特别是重力相似准则、粘性力相似准则，能灵活应用模型律进行模型设计。
3量纲与单位的基本概念，量纲的和谐原理。
4）掌握量纲的基本分析方法：π定理。
二、重点、难点重点：重力相似准则、粘性力相似准则，模型设计；量纲和谐原理，瑞利法与π定理。
难点：动力相似准则，量纲分析：瑞利法与π定理三、教学方法本章内容是学生学习流体力学进行量纲分析的基础。
主要采用理论讲解和例题分析的方法并借助于多媒体课件。
引言：一、实验观察法在实物或原形上进行实验，观察实验现象，并总结和推广到相应的模型或原形上。
二、相似方法该方法是模型中的现象相似于原型中的现象的方法，应用条件：模型中发生的现象与原型中发生的现象相似，才有可能应用于原型。
相似原理：研究支配相似系统的性质以及如何用模型实验解决实际问题的一门科学，是进行模型实验的依据。
但不是一种独立的科学方法，只是实验和分析研究的辅助方法。
三、量纲分析法是流体力学中重要的数学方法，它表征给定现象（过程）的各个物理量的量纲进行分析，从形式推理出发，建立包括有关物理量在内的描述个别现象（或过程）的方程。
模型试验是对真实流动现象在实验室内的再现，目的是揭示流动的物理本质 问题的提出：进行实验研究，需要解决什么问题？1.实验条件如何安排？（设计实验流动模型的根据）2.试验数据如何整理？3.试验结果如何换算？（试验结果与实际流动之间服从什么关系） 解决上述三个问题，是进行流体力学试验研究的基本问题。
§5－1 量纲分析法的意义和量纲和谐性原理一、量纲分析方法提出的根据1）自然界一切物理现象的内在规律，都可以用完整的物理方法来表示。
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第五章相似原理与量纲分析（1）第三章是理论研究方法，但除了极少数问题外，很难得到理论解析解，而必须借助于实验方法。
（2）实验研究方法有实物实验、比拟实验和模型实验三大类。
（3）实物实验是用仪器实测原型系统的流动参数，它对于较小的模型系统比较合适，对大型系统就很难；比拟实验有水电比拟和水气比拟，是利用电磁场来模拟流场和用液体来模拟气体，实施起来也有诸多限制；模拟实验是最常用的实验方法，此法是在测试中把原型按一定比例缩小后的模型，此外还可能要变更流体的性质和流动条件等等。
（4）模拟实验研究的理论指导基础是相似原理。
具体实践方法是通过量纲分析。
（5）流动相似是几何相似的推广。
§1 流动相似原理几何相似——对应边成同一比例；对角边相等。
当边上有粗糙度时还要求粗糙度相似。
运动相似——（1）几何相似的流动系统中，对应点的速度大小成同一比例，方向相同。
即流线是相似的。
（2）几何相似未必运动相似。
如同一模型的亚超音速流动。
（3）速度相似，和几何相似，则加速度相似。
动力相似——（1）几何相似和运动相似的两个流场中，对应点处的作用的性质相同的力，其大小成同一比例，方向相同。
（2）力相似，则力矩和其他与力相关的物理量也相似。
时间相似——流体动力所对应的时间间隔成比例。
这是对非定常问题而言的，意思是相应的非定常时间尺度成比例。
其他相似——热力相似；化学相似等。
§2 相似准则与量纲分析相似原理说明两个流动系统相似必须在几何相似、运动相似和动力相似三个方面都得到满足，两者才可以比拟。
但在实际应用中，并不能用这些定义来验证流动是否相似，因为通常原型流动的详情是未知的。
这就产生一个问题：有什么其他办法能保证两个流动系统相似呢？有，这就是相似准则。
利用相似准则，不必详细判断流场各点的几何、运动和动力量是否相似，而直接可判断流场是否相似。
（一）量纲量纲和无量纲数没有单位即没有量纲的量称无量纲量。
无量纲量有两种，一种是自然无量纲量，如e，另一种是由一定物理量组合起来的。
（二）量纲和谐原理只有量纲相同的物理量才可以相加减，所以正确的物理关系式中各相加减的项必须是量纲相等的，等式两边的量纲也是一样的。
这就是量纲和谐原理。
相似准则两个相似的流动，其各物理量的相似比例尺之间相互制约。
[举例略] 由于这些比例尺是两个流动对应物理量的比例，因此说明了两个相似的流动，其对应物理量之某些组合是相等的。
并且可以呈现无量纲的组合。
这种一个流动的物理量的无量纲组合，称之为流动的无量纲数或相似准则数。
相似原理说，两个流动相似的充分必要条件是由决定这两个流动的物理规律中导出的无量纲数相等。
这些无量纲数称为相似准则（数）。
一个流动现象中可以组合出无数个无量纲数，但是只有有限个数是独立的。
寻找这些独立的无量纲数是相似分析或量纲分析的核心内容。
决定一个流动的物理规律有两种。
一种是可以写出决定这个流动规律的物理方程和定解条件。
第二种是无法写出其物理方程，但是可以知道决定这个物理问题的物理量。
相似原理表明了，对第一种情况，可以从其物理方程和定解条件中导出其无量纲数，只要两个流动的无量纲数一样，则这两个流动相似。
反之也然——即两个相似的流动，其物理方程和定解条件必一样，并且其相似准则数相等。
对第二种情况，则可以从其相关联的物理量中导出相似准则数，当它们相等时，就可以保证两个流动相似。
[粘性不可压缩流动的相似分析]为简单起见，设流体受重力作用，写出以z 方向的N-S 方程来导出粘性不可压缩流体流动相似准则。
以下标1表示原型物理量，以下标2表示模型物理量，则原型和模型在z 方向的N-S 方程为：222111111111111221111111111[]121z z z z z z x y z v v v v p v v v v v g t x y z z x y z μρρ∂∂∂∂∂∂∂∂+++=−−+++∂∂∂∂∂∂∂∂z v2222222222222222222222222221[]z z z z z z x y z v v v v p v v v v v v g t x y z z x y z μρρ∂∂∂∂∂∂∂∂+++=−−+++∂∂∂∂∂∂∂∂22z 2l 根据流动相似条件，若模型与原型相似，则两系统对应点上的各种参量之比分别有相同的相似比例尺，即几何相似：12121,,l l x C x y C y z C z ===12t t C t =时间相似：12121,,2x v x y v y z v z v C v v C v v C v ===运动相似：2121,p g p C p g C g ==动力相似：121,C C ρμ2ρρμμ==其他相似：将上述各量代入原型方程，把原型方程化为以模型参量和相似比例尺表示，则有222222222222222222222222222222[]1[]v v z z z z x y z t l p v z z g l l C C v v v v v v v C t C x y z C C C p v v v C g C C z C C x y z μρρμρρ∂∂∂∂+++∂∂∂∂∂∂∂=−−+++∂∂∂2z ∂∂ 2v l C C 两边同除222222222222222222222222222221[]l z z z z x y z v t g l p z z v v l v C v v v v v v v C C t x y z C C C C p v v g C C C z C C C x y z μρρμρρ∂∂∂∂+++∂∂∂∂∂∂∂∂=−−+++∂∂∂22z v ∂比较模型方程和原型方程，可见只要方程中的各相似比例尺满足下列条件：则原型方程中的各相似比例尺就可以消去，于是变得和模型方程一样的形式。
这意味着，只要两个系统的边界条件和初始条件也相似的话，则一旦获得了模型方程的解，就可以按比例关系得到原型系统的各个参数，而不必去求原型方程。
由于两系统的参数符合几何相似、运动相似和动力相似，所以两个系统必然是相似因此上式就是粘性不可压流体在重力场中流动的相似的充要条件。
用L、t、V表示流动中任意一个长度、时间、速度（常把这样的量称为特征量）。
把物理量带回这个连等式，即有这表明，两个流动中的这些物理量的组合满足相等关系就是两个流动相似的充分必要条件。
因此这些组合量就是判断流动相似的准则。
推而广之，任何两个流动相似都可以得出相仿的这些无量纲组合量出来。
只要它们相等，流动必相似；反之也然。
这个结论，就是相似原理的主要内容。
前面导出的四个无量纲组合量会出现在很多流动问题中，因此特别申明它们：称为Strulhoul数。
它是与时间有关的相似准则数，其物理意义是非定常力与惯性力之比。
在定常流动中不需要考虑它，但在非定常问题中，这是一个重要的参数。
Froud数，刻画了质量力的影响。
其物理意义是流体所受的质量力与惯性力之比。
在描述有自由表面的流动如潮汐流动、液体表面波动等问题中有重要作用。
但对于不考虑重力的问题，则不需要考虑它。
更广泛的，如果流体承受的不是重力，而是任意质量力F（单位质量流体），则Fr数可以改为Reynolds数，是粘性影响的体现。
其物理意义是流体所受的惯性力与粘性力之比。
在研究管道流动、飞行器阻力、浸没在不可压流体中的物理阻力及边界层流动问题等问题中，这是非常重要的一个物理参数。
Re数中特征速度和特征长度常常在不同的问题中取不同的量。
比如管道中，成用半径或直径来定义Re数，而在绕流问题中，常取物体的特征长度。
Euler数，是与压力有关的相似准则数。
其物理意义是压力与惯性力之比。
Euler数常常用于描述压力对流速分布影响较大的流动，如空化、气泡现象。
考虑压降的问题（如管内流动时，也可取压降代替压强）上述四个无量纲准则数是粘性不可压缩流体中出现的。
对于其他不同条件的流动，还可能有另外的相似准则。
比如对于高速流动，密度随压力的变化较明显，必须考虑可压缩性的影响，此时Mach数是重要的相似准则数。
在表面张力重要的问题中，则有Weber数出现。
在旋转大气中，则有Rossby数和Ekman数。
3、量纲分析对于无法建立微分方程的问题，可以通过量纲分析法来导出其相似准则。
量纲分析法包括Rayleigh法和Buckingham法。
Rayleigh法——此法的前提是影响流动现象的变量之间的函数关系是幂函数乘积的形式，求解这个函数关系式的具体步骤是：确定影响流动的重要物理参数，并假设它们之间的关系是幂函数乘积形式；根据量纲和谐原理，建立各种物理量的幂指数的联立方程式；解此方程式求得各物理量的指数值，代入所假定的函数关系式中，得到无量纲（相似准则数）之间的函数关系式；通过模型实验，确定函数关系式中的待定常数和具体的函数形式。
[例1]颗粒在流体中的沉降速度直径为d的固体球形颗粒在无限大静止流体中自由沉降，已知影响沉降速度的有流体粘度μ和密度ρ，颗粒与流体的密度差△ρ，求颗粒的沉降速度。
[解]根据题意，有（a）按照Rayleigh方法，设式中K为常数。
以质量M、长度L和时间T作为基本量纲，得到量纲等式。
按照量纲和谐原理，两边关于M、L、T的量纲的防磁应该相等，于是有解此方程式（以d，e为参数），得到带回（a）式，得整理，得到这里的，称为Gallileo数。
[说明1]最后得到的形式中的K、d和e是必须从实验中得出的。
[说明2]Rayleigh方法重要的是不要把对流动有重要影响的参数遗漏，也不应该包括无关紧要的参数，否则使关联式变得太复杂。
通常，Rayleigh方法只适用于影响因素较少的简单流动问题。
Buckingham方法——其基本原则是：若某一物理过程需要n各物理参数，且这n个物理参数设计r个基本量纲，则此物理过程可用n-r个无量纲数来描述，这些无量纲的数称为π项。
其数学表达式为式中每一个π项都是独立的、无量纲的数，由若干物理参量组合而成。
这个原则也称为Buckinghamπ定理。
π项的基本物理参数的选取原则是：r个基本物理参数必须包含r个基本量纲；所算则的基本物理参数至少应包含一个几何特征参数、一个流体性质参数和一个流动特征参数；非独立变量不能作为基本物理参数。
[例2]圆管内不可压缩流体的压力降△p。
已知流动所涉及的物理参数包括压力降△p，圆管长L，圆管直径D，管内粗糙度e，流速v，流体密度ρ和流体粘度μ。
[解]根据题意，有上式中n=7，因所涉及的基本量纲为M，L，T，故r=3，n-r=4，可得现选取D、v、ρ作为基本物理参数，则有根据量纲和谐原理，以上各式等号左右的M ，L，T的指数对应相等，故有解这些方程组，可得到故有至此，圆管压降的函数表达式为π定理只能求出影响流动的无量纲数，而不像R法那样可确定无量纲数之间的幂函数乘积的关系式。