用YΔ等效变换巧算复杂电路的等效电阻
电阻Y形连接等效变换为△形连接的另一种计算方法
电阻Y形连接等效变换为△形连接的另一种计算方法
张智民
【期刊名称】《电世界》
【年(卷),期】2012(053)005
【摘要】电阻Y形连接变换为△形连接的等效电路图如图1所示。
【总页数】1页(P49-49)
【作者】张智民
【作者单位】中国石油天然气管道局,河北廊坊065000
【正文语种】中文
【中图分类】TM645.12
【相关文献】
1.电阻Y形与△形联接的等效变换的一种简单计算方法 [J], 姚祖恩
2.用顺次短接顺次断开法求电阻T形网络与π形网络的等效变换 [J], 高伟吉
3.T形和Π形电阻电路等效变换的教学探讨 [J], 田社平;孙盾;张峰
4.电阻星形(Y形)网络与三角形(△形)网络等效变换两种推导方法的比较 [J], 吕芳;李奋荣
5.电阻T形网络与π形网络等效变换的简单推导 [J], 董永胜
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全国中学生物理竞赛纯电阻电路的简化和等效变换
例析物理竞赛中纯电阻电路的简化和等效变换李进山东省邹平县第一中学计算一个电路的电阻，通常从欧姆定律出发，分析电路的串并联关系。
实际电路中，电阻的联接千变万化，我们需要运用各种方法，通过等效变换将复杂电路转换成简单直观的串并联电路。
本节主要介绍几种常用的计算复杂电路等效电阻的方法。
1、等势节点的断接法在一个复杂电路中，如果能找到一些完全对称的点（以两端连线为对称轴），那么可以将接在等电势节点间的导线或电阻或不含电源的支路断开（即去掉），也可以用导线或电阻或不含电源的支路将等电势节点连接起来，且不影响电路的等效性。
这种方法的关键在于找到等势点，然后分析元件间的串并联关系。
常用于由等值电阻组成的结构对称的电路。
【例题1】在图8-4甲所示的电路中，R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = R ，试求A、B两端的等效电阻R AB。
模型分析：这是一个基本的等势缩点的事例，用到的是物理常识是：导线是等势体，用导线相连的点可以缩为一点。
将图8-4甲图中的A、D缩为一点A后，成为图8-4乙图。
3R 。
答案：R AB =8【例题2】在图8-5甲所示的电路中，R1 = 1Ω，R2 = 4Ω，R3 = 3Ω，R4 = 12Ω，R 5 = 10Ω ，试求A 、B 两端的等效电阻R AB 。
模型分析：这就是所谓的桥式电路，这里先介绍简单的情形：将A 、B 两端接入电源，并假设R 5不存在，C 、D 两点的电势相等。
因此，将C 、D 缩为一点C 后，电路等效为图8-5乙对于图8-5的乙图，求R AB 是非常容易的。
事实上，只要满足21R R =43R R的关系，该桥式电路平衡。
答案：R AB =415Ω 。
【例题3】在如图所示的有限网络中，每一小段导体的电阻均为R ，试求A 、B 两点之间的等效电阻R AB 。
【例题4】用导线连接成如图所示的框架，ABCD 是正四面体，每段导线的电阻都是1 。
求AB 间的总电阻。
用YΔ等效变换巧算复杂电路的等效电阻
用Y/Δ等效变换巧算复杂电路的等效电阻钟佩文重庆市潼南中学，重庆 潼南 402660摘要：在某些复杂电路中，几个电阻既非串联，又非并联，如果使用常规方法计算它们的等效电阻，那么将会是一件十分困难繁琐的事情。
本文采用Y-Δ等效变换与Δ-Y 等效变换两种方法，将复杂电路中的Y 形联接与Δ形联接的电阻进行合理地互换，高效精确地计算电路的等效电阻，以达到事半功倍的效果。
关键词：Y-Δ等效变换；Δ-Y 等效变换；Y 形联接；Δ形联接；等效电阻在电路分析中，经常会遇到几个既非串联，又非并联的电阻组成的复杂电路。
要计算这个电路的等效电阻，如果单纯地采用串、并联规律的传统方法进行化简，那么运算过程将会非常困难繁琐。
本文重点介绍两种方法——Y-Δ等效变换与Δ-Y 等效变换，旨在找出复杂电路中Y 形联接与Δ形联接的电阻，将其进行合理地互换。
可使看似毫无规律的电阻呈现出简单的串、并联关系，在电路串并联基础上计算等效电阻，让复杂深奥的问题迎刃而解。
如图1中a 、b 所示，a 图为Y 形联接的电阻，b 图为Δ形联接的电阻，它们之间等效变换的条件是：仍然保持电路中其余各个部分的电流和电压不变，即要求对应端（如1,2,3）流入或流出的电流（如I 1,I 2,I 3）一一相等，对应端之间的电压（如U 12,U 23,U 13）一一相等。
当满足上述等效变换的条件时，在Y 形联接与Δ形联接两种接法中，对应2a3 I 1I 3b图1 Y 形联接与Δ形联接的电阻的任意两端的等效电阻也必然相等，即为：()23131223131221R R R R R R R R +++=+()23131213122332R R R R R R R R +++=+ ①()23131223121331R R R R R R R R +++=+联立三式，可以解出：将Y 形联接等效变换为Δ形联接时，331322112R R R R R R R R ++=131322123R R R R R R R R ++=②231322113R R R R R R R R ++=将Δ形联接等效变换为Y 形联接时，23131213121R R R R R R ++=23131223122R R R R R R ++=③23131223133R R R R R R ++=1、Y-Δ等效变换的实际应用 例题1 求解图2之中a 、b解析： 在图2所示的电路图Ⅰ中，5个阻值均为R 的电阻既非串联，又非并联，图2 电路图Ⅰb图3 a 、b 两点之间经过Y-Δ等效变换的电路图Ⅰ如果采用串、并联规律的传统方法进行化简，那么欲求它们的等效电阻将会变得非常复杂繁琐。
电阻的Ｙ形与△形联接及等效变换
电阻的Ｙ形与△形联接及等效变换电路中电阻用串、并联方法化简为一个等效电阻。
这种电路不论有多少电阻，结构有多复杂，都能用串、并联方法化简为一个等效电阻的电路，称为简单电阻电路；但有些电路电阻与电阻的关系，既不串、也不并这种类型的电路称为复杂电阻电路。
对于这类电阻可用三角形网络等效变换为星形网络或星形网络等效变换为三角形网络的方法来分析。
一、电阻的Ｙ形与△形联接的概念<?XML:NAMESPACE PREFIX = O />在电路中，有时电阻的联结即非串联又非并联，如图所示中，电阻<?XML:NAMESPACE PREFIX = V /> 的一端都接在一个公共结点上，各自的另一端则分别接到三个端子上，我们称此联结方式为Y形联结；电阻则分别接在三个端子的每两个之间，我们称之为三角形联结。
二、Y形和△形之间的等效变换如图所示，设它们对应端之间有相同电压如果它们彼此等效，则 对于图中联结的电路，各电阻中的电流分别为 对结点1、2、3分别列KCL方程，有（1） 而对图联结的电路，根据广义回路分别列KVL方程，有 又因 求解上述三个方程，可得出根据等效变换的原则，式（1）和式（2）中电压、和前面的系数应该相应地相等，故经整理后可得（3）上式就是从已知的联结电路的电阻来确定等效电路的各对应电阻的关系式。
也可整理成 （4）可见，上式就是从已知的联结电路的电阻来确定等效联结电路的各对应电阻的关系式。
2-1电阻的Y-Δ等效变换
组织教学：清点人数，强调课堂纪律。
复习提问：1.受控源可分为哪几类？2.什么是转移电阻？什么是转移电导？导入新课：线性电阻和直流电源组成的电路称为直流线性电阻电路，简称直流电阻电路。
许多现实应用中的电阻电路都相当复杂，所以学习一些基本的分析方法就显得非常重要，通过学习这些方法，在电力、电信和无线电技术中，有许多工程的实际问题，都可以归结为电阻电路的计算问题，本节课我们首先介绍电阻的等效转换方法。
新授课：2-1电阻的Y－Δ等效变换一、联接形式1、电阻的Y形（T形、星形）联接：各个电阻的一端都接在一个公共节点上，另一端则分别接在三个端钮上。
如图中R1、R2、R3。
2.电阻的∆形（∏形、三角形）联接：各个电阻分别接在三个端钮的每两个之间。
如图中R12、R23、R31。
二、等效变换 1、 Y —∆变换已知R1、R2、R3 ，求等效的R12、R23、R31。
一般公式： 2、 ∆ —Y 变换：已知R12、R23、R31 ，求等效的R1、R2、R3 。
一般公式：313322112R R R R R R R R ⨯+⨯+⨯=113322123R R R R R R R R ⨯+⨯+⨯=213322131R R R R R R R R ⨯+⨯+⨯=对臂电阻单个相邻电阻之积的和=∆R 31231231121R R R R R R ++⨯=31231223122R R R R R R ++⨯=31231231233R R R R R R ++⨯=(a)(b)3、 特例，当三个电阻相等时： 课堂练习：1.下图2-10a 中的各个电阻阻值如图所示，求电路的等效电阻R ab 。
二．如图所示电路中, 已知U s=225V , R 0=1Ω, R 1=40Ω, R 2=36Ω, R 3=50Ω, R 4=55Ω, R 5=10Ω, 试求各电阻的电流。
周圈电阻之和相邻电阻之积=Y R ∆∆==R R R R Y Y 13或解 将△形连接的R 1, R 3, R 5等效变换为Y 形连接的R a, R c 、R d, 如图2.10(b)所示, 代入式(2.8)求得图2.10(b)是电阻混联网络, 串联的R c 、R 2的等效电阻R c2=40Ω, 串联的R d 、R 4的等效电阻R d4=60Ω, 二者并联的等效电阻R a 与R ob 串联, a 、b 间桥式电阻的等效电阻 桥式电阻的端口电流cb( a ) I I b( b )Ω=++⨯=++=Ω=++⨯=++=Ω=++⨯=++=5405010501044050101040204050104050135351355113513R R R R R R R R R R R R R R R R R R d c a Ω=+⨯=2460406040ab R Ω=+=442420i RR 2、R 4的电流各为 为了求得R 1、R 3、R 5的电流, 从图2.10(b)求得 回到图2.10(a )电路, 得 并由KCL 得小结：本节课我们学习重点在于电阻的星形和三角形连接之间的转换，同学们要熟练掌握两种连接方式的转换公式，做到从整体把握电路的化简方法。
用YΔ等效变换巧算复杂电路的等效电阻
用Y/Δ等效变换巧算复杂电路的等效电阻钟佩文重庆市潼南中学，重庆 潼南 402660摘要：在某些复杂电路中，几个电阻既非串联，又非并联，如果使用常规方法计算它们的等效电阻，那么将会是一件十分困难繁琐的事情。
本文采用Y-Δ等效变换与Δ-Y 等效变换两种方法，将复杂电路中的Y 形联接与Δ形联接的电阻进行合理地互换，高效精确地计算电路的等效电阻，以达到事半功倍的效果。
关键词：Y-Δ等效变换；Δ-Y 等效变换；Y 形联接；Δ形联接；等效电阻在电路分析中，经常会遇到几个既非串联，又非并联的电阻组成的复杂电路。
要计算这个电路的等效电阻，如果单纯地采用串、并联规律的传统方法进行化简，那么运算过程将会非常困难繁琐。
本文重点介绍两种方法——Y-Δ等效变换与Δ-Y 等效变换，旨在找出复杂电路中Y 形联接与Δ形联接的电阻，将其进行合理地互换。
可使看似毫无规律的电阻呈现出简单的串、并联关系，在电路串并联基础上计算等效电阻，让复杂深奥的问题迎刃而解。
如图1中a 、b 所示，a 图为Y 形联接的电阻，b 图为Δ形联接的电阻，它们之间等效变换的条件是：仍然保持电路中其余各个部分的电流和电压不变，即要求对应端（如1,2,3）流入或流出的电流（如I 1,I 2,I 3）一一相等，对应端之间的电压（如U 12,U 23,U 13）一一相等。
当满足上述等效变换的条件时，在Y 形联接与Δ形联接两种接法中，对应2a3 I 1I 3b图1 Y 形联接与Δ形联接的电阻的任意两端的等效电阻也必然相等，即为：()23131223131221R R R R R R R R +++=+()23131213122332R R R R R R R R +++=+ ①()23131223121331R R R R R R R R +++=+联立三式，可以解出：将Y 形联接等效变换为Δ形联接时，331322112R R R R R R R R ++=131322123R R R R R R R R ++=②231322113R R R R R R R R ++=将Δ形联接等效变换为Y 形联接时，23131213121R R R R R R ++=23131223122R R R R R R ++=③23131223133R R R R R R ++=1、Y-Δ等效变换的实际应用 例题1 求解图2之中a 、b解析： 在图2所示的电路图Ⅰ中，5个阻值均为R 的电阻既非串联，又非并联，图2 电路图Ⅰb图3 a 、b 两点之间经过Y-Δ等效变换的电路图Ⅰ如果采用串、并联规律的传统方法进行化简，那么欲求它们的等效电阻将会变得非常复杂繁琐。
电阻网络Y-△变换恒等式
物理 通报
解题 思路 与技 巧
电 阻 网络 Ｙ一 △ 变 换 恒 等 式
吴 好
（ 镇 江 中学 江 苏 镇 江 ２ １ ２ Ｏ １ ７ ） （ 收 稿 日期 ： ２ ０ １ ２ —１ １—１ ０ ）
在 栗 些 复 杂 的 电 路 中 往 往 会 遇 到 电 阻 的 Ｙ 型
一
（ ＼ Ｒ 丽 ｌ Ｒ ２ ＋ｚ Ｒ Ｒ 丽 Ｒ ３ ＋３ Ｒ Ｒ） ｌ 一 瓦 １ １ ２ ／ 。 。 ＋ （ ＼ 丽 Ｒ １ Ｒ Ｒ ２ ＋２ Ｒ Ｒ ３ ＋３ Ｒ Ｒ） １ 一 １ ２ ３ ／ 。 一 。
２ ． ２ 证 明 方 法 二
【 例 １ 】如 图 ２ （ ａ ） 所示 ， 一个 立方体 原来 用 １ ２ 根
根 据 Ｙ 型 网络与 △ 型网络 “ １ ， ２ ”间 、 “ ２ ， ３ ”间 、
相 同的电 阻丝构 成立 方 体 框 架 ， 每根 电阻 丝 的 电 阻 均为 ｒ ， 现将 其 中一根拆 去 ， 求 Ａ， Ｂ两点 间 的电阻．
很 显然 ， 利用 “ Ｙ 一 △ 变换 恒 等式 ”并 结 合 记忆 口诀很 容 易推 出式 （ １ ）～ （ ６ ） ， 并便 于记忆 ．
４ 例 题
Ｕ， 与 Ｕ 。 取不 同数值 时 上式 恒 成 立 的条 件 是 ， Ｕ
与【 ， 。 的系数 均 为零． 根 据 Ｕ 与 己 ， 。 。 的系数 为零 容 易 得到 （ １ ） 、 （ ２ ）两式 ； 按 照 类 似 的方 法 可 以得 到 式
（ ３） ．
将式 （ １ ） 、 （ ２ ） 、 （ ３ ）相加并 化 简得 到
Ｒ ＋Ｒ ｚ 。 ＋Ｒ ＝ ＝ ＝ 墨
2-1电阻的Y-Δ等效变换
图 2.10(b)是电阻混联网络 , 串联的 Rc、R2 的等效电阻 Rc2=40 Ω, 串联的 Rd、 R4 的等效电阻 Rd4=60Ω, 二者并联的等效电阻
Rab 40 60 24 40 60
Ra 与 Rob 串联, a、b 间桥式电阻的等效电阻
Ri 20 24 44
U ac Ra I Rc I 2 20 5 4 3 112V
回到图 2.10(a)电路, 得
I1 U ac 112 2 .8 A R1 40
并由 KCL 得
I 3 I I 1 5 2 .8 2 .2 A I 5 I 3 I 4 2 .2 2 0 .2 A
c R1 I
I I R
5
2
I a
R2 I b I a
R R
a
c
I
2
1 3
5 4
o R
c
R
2
I4 R d ＋ U
s
b R
4
I
R
d 0Leabharlann 3R R d ＋ U
s
4
－
0
－
(a)
(b)
解
将△形连接的 R1, R3, R5 等效变换为 Y 形连接的 Ra, Rc、Rd, 如图 2.10(b)
所示, 代入式(2.8)求得
桥式电阻的端口电流
I Us 225 5A R0 Ri 1 44 Rd 4 60 I 5 3A Rc 2 Rd 4 40 60 Rc 2 40 I 5 1A Rc 2 Rd 4 40 60
R2、R4 的电流各为
I2 I4
为了求得 R1、R3、R5 的电流, 从图 2.10(b)求得
电阻的Y形联接与形联接的等效变换
目录
• Y形联接电阻 • 形联接电阻 • Y形联接与形联接的等效变换 •形联接电阻的定义
01
Y形联接电阻是指三个电阻的一端 连接在一起，另一端分别连接到 电路中的三个节点，形成一个Y形 的电阻网络。
02
在Y形联接中，三个电阻的阻值和 电流之间的关系可以用欧姆定律 和基尔霍夫定律来描述。
限流器
利用串联电阻限制电流的 大小，常用于保护电路和 电子设备。
并联谐振
利用并联电阻和电容等元 件组成谐振电路，常用于 信号过滤和选频。
03 Y形联接与形联接的等效 变换
等效变换的原理
电路理论
电阻的Y形联接与形联接等效变换基 于电路理论，通过改变电阻的联接方 式，实现电路性能的等效转换。
节点电压法
形联接电阻的特点
阻值
串联电阻的总阻值等于各电阻阻值的总和，并联 电阻的总阻值等于各电阻的倒数的总和。
电流与电压
串联电路中电流处处相等，并联电路中电压处处 相等。
功率
串联电路中总功率等于各电阻功率之和，并联电 路中总功率分配到各电阻上。
形联接电阻的应用场景
分压器
利用串联电阻实现电压的 分压作用，常用于信号处 理和测量领域。
等效变换的应用场景
电子设备设计
在电子设备设计中，通过电阻的Y形联接与形联接等效变换，优化 电路性能，降低成本。
电力传输系统
在电力传输系统中，通过等效变换降低线路损耗，提高传输效率。
信号处理电路
在信号处理电路中，利用等效变换改善信号质量，提高电路的稳定 性。
04 Y形联接与形联接的等效 变换实例
实例一：简单电阻网络的等效变换
在实际应用中，Y形联接电阻可以用于实现分压、分流、滤波等功能，同时也可 以用于实现电路的匹配和阻抗变换等。
※1.8 电阻△、Y电路互换等效
Y形连接，即三个电阻的一ห้องสมุดไป่ตู้连接在一个 公共节点上，而另一端分别接到三个不 同的端钮上。如下图中的R1R3 和R4 （ R2、 R3和R5）。 三角形连接，即三个电 阻分别接到每两个端钮 之间，使之本身构成一 个三角形。如图1-21中的 R1、 R2、和 R3（ R3、 R4 和R5）为三角形连接。
R1 R2 R3
R12 R12 R12
R12 R23 R31
3、若Y形电路的三个电阻相等，即R1=R2=R3=RY， 则其等效Δ电路的电阻也相等，即R12=R23=R31=RΔ。 R 3RY 其关系为
3
图1-21电阻的Y形和 形连接
1
例如要求出图1-22中a、b端的等效电阻，必须将 R12、 R23、 R31组成的三角形连接等效为星形连接， 这样，运用电阻串、并联等效电阻公式可方便 地求出a、b端的等效电阻。
图1-22 电阻三角形连接等效变为Y形连接
2
电阻Y形电路和Δ 形电路的等效变换公式
1、已知三角形连接的三 个电阻来确定等效Y形连 接的三个电阻的公式为：
R31 R12 R23 R31 R12 R 23 R23 R31 R23 R31 R23 R31
2、已知Y形连接的三个电 阻来确定等效三角形连接 的三个电阻的公式为：
R1 R2 R2 R3 R3 R1 R3 R1 R2 R2 R3 R3 R1 R1 R1 R2 R2 R3 R3 R1 R2
电阻电路的等效变换法
i
R1
+
u
R2
-
VAR:
i + u VAR：
R=R1+R2
注意：当电路中的某一部分用其等效电路替代后，未被替代部分的电压电流均 应保持不变，即“对外等效”。
§2-1 引言
三、等效法
1、等效法：将复杂电路进行等效化简，从而求出各i. u, p的一种分析方法
2、本章内容
电阻的等效变换 电源的等效变换
第二章 电阻电路的等效变换法
R4
Rg
R2
R3
若R1 R3=R2 R4
R1
R4
则电桥平衡
或者
R2
R3
R1
R4
x
R2
R3
第二章 电阻电路的等效变换法
§2-3 Y—△等效变换
一、电阻的Y、△联接 1、为什么需Y—△变换 2、Y形联接
Байду номын сангаас
§2-3 Y—△等效变换
3、△形联接 a
4、举例： 上图：R1.R2.R3 R3.R4.R5——△ R1.R3.R4 R2.R3.R5——Y
+
i
+
US -
U
R0 -
i
+
US R0
R0
U
-
§2-5 两种实际电源的等效变换
2、实际电流源——实际电压源
iS R0
+
i
iSR0 -
R0
3、说明： 注意极性 等效对外电路等效，内部不等效 举例说明其应用 受控源也可以同样等效（但不能将受控变掉）
§2-5 两种实际电源的等效变换
+
U1
-
R0
三角形电阻和y形电阻转换公式
三角形电阻和y形电阻转换公式
三角形电阻和Y形电阻是电路中常见的两种电阻连接方式。
它们可以相互转换，并且有特定的公式可以用于计算它们之间的等效电阻。
首先，我们来看一下三角形电阻的转换公式。
在一个三角形电阻连接中，三个电阻分别连接在三个角上，并且它们之间没有其他连接。
假设这三个电阻分别为R1、R2和R3。
那么三角形电阻的等效电阻Rt 可以用如下公式计算：
1/Rt = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3
这个公式意味着，将三个电阻的倒数相加，然后再取倒数，就可以得到三角形电阻的等效电阻。
接下来，我们来看一下Y形电阻的转换公式。
在一个Y形电阻连接中，三个电阻分别连接在一个共点上，并且它们之间没有其他连接。
假设这三个电阻分别为R1、R2和R3。
那么Y形电阻的等效电阻Ry 可以用如下公式计算：
1/Ry = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3
这个公式与三角形电阻的转换公式是相同的，只是名称不同而已。
需要注意的是，这些转换公式只适用于电阻之间没有其他连接的情况。
如果电路中存在其他元件或连接，这些公式可能不再适用。
希望以上解释能够满足您的需求，如果您还有其他问题，请随时提问。
第二章电阻电路的等效变
第二章-电阻电路的等效变第二章 电阻电路的等效变换2.1 学习要点1. 电阻的等效变换：电阻的串并联， Y 与△的等效变换。
2. 电源的串联、并联及等效变换。
3. “实际电源”的等效变换。
4. 输入电阻的求法。
2.2 内容提要 2.2.1 电阻的等效变换1. 电阻的串联：等效电阻： R eq ＝∑1=k nk R ；分压公式：u k ＝eqkeq ×R R u ； 2. 电阻的并联：等效电导：G eq ＝∑1=k nk G ；分流公式：qe G G i i keqk ×=；2.2.2. 电阻的Y 与△的等效变换1. △→Y ：一般公式：Y 形电阻＝形电阻之和形相邻电阻的乘积∆∆；即31232331*********231231212311++=++=++R R R R R R R R R R R R R R R R R R 2312＝2. Y →△：一般公式：形不相邻电阻形电阻两两乘积之和形电阻＝Y Y ∆；即：213322131113322123313322112++=++=++=R R R R R R R RR R R R R R R R R R R R R R R R2.2.3 电源的串联、并联等效变换 电源的串联、并联等效变换见表2.1。
表2.1 电源的串联、并联等效变换图2.2.4 “实际电源”的等效变换 1. “实际电压源”→“实际电流源” R i ＝R u 或 G i ＝1/R u i s ＝u s /R u 2. “实际电流源”→“实际电压源”R u ＝R i ＝1/G i u s ＝i s R i ＝i s /G i两者等效互换的原则是保持其端口的V AR 不变。
2.2.5 输入电阻的求法一端口无源网络输入电阻的定义（见图2.2）：R in ＝u/ i1. 当一端口无源网络由纯电阻构成时，可用电阻的 串并联、Y 形与△形等效变换化简求得。
2. 当一端口无源网络内含有受控源时，可采用外加电压法或外加电流法求得： 即输入电阻R in ＝u s /i 或 R in ＝u/ i s方法是：在端口处加一电压源u s （或电流源i s ）, 再求比值u s /i 或u/ i s ，该比值即是一端口无源网络的输入电阻。
电阻电路的等效变换
i1
i
i2
短路
根据电流分配
b
a
c
d
R
R
R
R
b
a
c
R
R
R
R
b
a
c
d
R
R
R
R
第2章 电阻电路的等效变换
引言
2.1
本章内容
电路的等效变换
2.2
电阻的串联和并联
2.3
电阻的Y形连接和△形连接的等效变换
2.4
电压源、电流源的串联和并联
2.5
实际电源的两种模型及其等效变换
2.6
输入电阻
2.7
2. 电阻的串、并联；
6
30V
计算
求电流 i1
例4
受控源和独立源一样可以进行电源转换；转换过程中注意不要丢失控制量。
注意
+
_
US
+
i1
ri1
US
+
i1
R2//R3
ri1/R3
US
+
R
i1
+
_
(R2//R3)ri1/R3
带受控源
例5
把电路转换成一个电压源和一个电阻的串连
2k
10V
500I
i
0
考虑内阻
伏安特性：
一个好的电压源要求
i
+
u
+
注意
非理想：分压
2. 实际电流源
实际电流源也不允许开路。因其内阻大，若开路，电压很高，可能烧毁电源。
is
u
i
0
考虑内阻
伏安特性：
电路中Y-Δ变换
解：
Y
Δ
Us 1 I A 0.535 A R31 1.868
例2.求图示电路中电压源的输出电流I。
解：
2 1.5 13 Req 1 2 1.5 7
26 I 14A Req
例3.求等效电阻R。
解：
u ①② R12 u ②③ R23 u ③① R31 u ①② R12
R3u ①② R1 R2 R2 R3 R3 R1 R1u②③ R1 R2 R2 R3 R3 R1
由Δ网络可得
i1 i2
i3 i1 i2
u ③① R31
§26 星形电阻网络与三角形电阻网 络的等效变换
提出问题 在含有不平衡电桥的电路中如何求等效电阻？
等效条件：（设加撇为Δ网络中的变量）
i1 i1 , i 2 i 2 , i 3 i 3 , u①② u①② , u②③ u②③ , u③① u③① .
i3 i1 i2
u ③① R31
由Y网络可得
i1
R3u①② R1 R2 R2 R3 R3 R1
R2 u③① R1 R2 R2 R3 R3 R1
i2 i3
R1u ②③ R1 R2 R2 R3 R3 R1 R2 u ③① R1 R2 R2 R3 R3 R1
u ②③ R23
比较上面两组式子，可得出由星形电阻网络变换 为等效的三角形电阻网络时电阻的计算式
等效结果：
Y ↓
R1R2 R12 R1 R2 R3 R2 R3 R23 R2 R3 R1 R3 R1 R31 R3 R1 R2
电阻的Y-△等效变换
电阻的Y－△等效变换
“两个电路，有相同的连线端子，如果它们对应端子的电流方向和大小相同，对应两端子的电压方向和大小相同，则它们互为等效电路。
”如果把它们看成一个黑匣子，则它们的对外表现是相同的。
毫无疑问，两个等效电路内部必然有一个对应关系存在。
换句话说，对于如图电路，知道其中一个电路中的三个电阻，就可计算出另一个电路中的三个电阻。
从电路设计的角度看问题，要求各端子的电流大小和方向、两两端子的电压大小和方向的指标已确定，则起码有两种电路形式存在。
对于Y 型连接的电路。
根据KCL和KVL，写出三个独立方程：
i1+ i2+ i3＝0
R1i1－R2i2＝u12
R2i2－R3i3＝u23
将电流看做未知量，是一个三元一次方程组，解得：
对于△型连接的电路，端子1', 2', 3' 的电流为：
令：i1＝i'1，i2＝i'2，i3＝i'3，得：
对于任何的u12，u23，u31，上式都要成立，只能是其系数等于0 ，由此解得Y－△的等效电阻公式：
从上式也可解出△－Y的等效电阻公式：。
电阻的Y形与△形转换
R R 31 12 R 1 R 12 R 23 R 3 1
1 1
1
1
R1
5Ω
1
R12
6Ω 2
3Ω
2
R2
3
R3
3
1Ω
6Ω
2
2Ω
R12
2
2Ω
4Ω 4Ω 2
解：先标出三个端点,将△ 3、5、1 →Y
R1 3 5 5 3 5 1 3 R2 3 1 1 3 5 1 3 R3 1 5 5 3 5 1 9
（1）
u31 u12 i1 R12 R31 u12 u23 i2 R23 R12 u23 u31 i3 R31 R23
比较⑴、⑵两式，则有：
（2）
R R R R R R R R R R R R R R R R R R 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 R R R 31 23 12 R R R 2 1 3
电路等效的一般概念：
1
i1 u1
1
i'1
A
2
u2
3
i2 u3 i3
B
A
2
i'2 u'2 u'3 3 i'3
u'1
C
图中各对应电压、电流相等时，B电路与C电路等效。
即等效条件为： u1 u1
u2 u2
i1 i1
i2 i2
' 3
i3 i
三.Y-△等效变换
1
1
i' 1 u ' 12 R12
补：
利用电阻串并联求图示电路的等效电阻Rab
如何计算电路的等效电阻？
如何计算电路的等效电阻？
如何计算电路的等效电阻?
答：从你给的图中可得知，它们之间有并联、串联、复联的俗称混联电路。
为了便于计算我重新给电阻偏了统一的号，并添加了相应的电阻值，这样更有说服力。
（R1 50Ω）（R2 40Ω）（R3 10Ω）（R4 55Ω）（R5 36Ω）
求此类电路等效电阻的简单方法，就是将电路作丫/△等效互换，使它变为电阻串联、并联电路。
等效变换时，可以将R1. R2 R3的△形联演变成Y型联接，如下面图2所示。
根据电阻的△/丫等效变换公式可得：Ra=R1×R2/R1+R2+R3 =40x50/40+10+50=20Ω Rc=R1xR3/R1+R2+R3 =50×10/40+10+50=5Ω Rd=R2xR3/R1+R2+R3 =40×10/40+10+50=4Ω
将计算得出的Ra Rc Rd的阻值代入下列式中，可得a、b两点的等效电阻Rad=Ra+（Rc+R5∥Rd+R4）=20+（60×40/60+40）=44Ω
几十年的计算方法，可能使用起来不太方便，加上本人水平有限，难免有瑕疵，希望对提问者有一点帮助。
同时欢迎太家批评指正，在此谢过大家。
知足常乐2018.2.18湖北钟祥。
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用Y/Δ等效变换巧算复杂电路的等效电阻
钟佩文
重庆市潼南中学，重庆 潼南 402660
摘要：在某些复杂电路中，几个电阻既非串联，又非并联，如果使用常规方法计算它们的等效电阻，那么将会是一件十分困难繁琐的事情。
本文采用Y-Δ等效变换与Δ-Y 等效变换两种方法，将复杂电路中的Y 形联接与Δ形联接的电阻进行合理地互换，高效精确地计算电路的等效电阻，以达到事半功倍的效果。
关键词：Y-Δ等效变换；Δ-Y 等效变换；Y 形联接；Δ形联接；等效电阻
在电路分析中，经常会遇到几个既非串联，又非并联的电阻组成的复杂电路。
要计算这个电路的等效电阻，如果单纯地采用串、并联规律的传统方法进行化简，那么运算过程将会非常困难繁琐。
本文重点介绍两种方法——Y-Δ等效变换与Δ-Y 等效变换，旨在找出复杂电路中Y 形联接与Δ形联接的电阻，将其进行合理地互换。
可使看似毫无规律的电阻呈现出简单的串、并联关系，在电路串并联基础上计算等效电阻，让复杂深奥的问题迎刃而解。
如图1中a 、b 所示，a 图为Y 形联接的电阻，b 图为Δ形联接的电阻，它们之间等效变换的条件是：仍然保持电路中其余各个部分的电流和电压不变，即要求对应端（如1,2,3）流入或流出的电流（如I 1,I 2,I 3）一一相等，对应端之间的电压（如U 12,U 23,U 13）一一相等。
当满足上述等效变换的条件时，在Y 形联接与Δ形联接两种接法中，对应的
2
a
3 I 1
I 3
b
图1 Y 形联接与Δ形联接的电阻
任意两端的等效电阻也必然相等，即为：
()23
131223131221R R R R R R R R +++=+
()23
131213122332R R R R R R R R +++=
+ ①
()23
131223121331R R R R R R R R +++=
+
联立三式，可以解出：将Y 形联接等效变换为Δ形联接时，
3
3
1322112R R R R R R R R ++=
13
1322123R R R R R R R R ++=
②
2
3
1322113R R R R R R R R ++=
将Δ形联接等效变换为Y 形联接时，
23
131213
121R R R R R R ++=
23
131223
122R R R R R R ++=
③
23
131223
133R R R R R R ++=
1、Y-Δ等效变换的实际应用
例题1 求解图2之中a 、b
图2 电路图Ⅰ
b
图3 a 、b 两点之间经过Y-Δ等效变换
的电路图Ⅰ
解析： 在图2所示的电路图Ⅰ中，5个阻值均为R 的电阻既非串联，又非并联，如果采用串、并联规律的传统方法进行化简，那么欲求它们的等效电阻将会变得非常复杂繁琐。
因此不难另辟蹊径，图2中虚线部分的3个电阻是Y 形联接，使用Y-Δ等效变换以及等效变换公式②，将其转换为图3中虚线部分Δ形联接的3个电阻。
在图3所示的电路图Ⅰ中，根据电阻的简单串、并联关系，a 、b 两点之间的等效电阻为：
R R
R R R R R R R R R R R R R R R R R R ab =+⨯+
+⨯+⎪
⎭
⎫
⎝⎛+⨯++⨯=3333333333 ④
2、Δ-Y 等效变换的实际应用
例题2 求解图4之中a 、b 两点之间的等效电阻。
解析： 本例题与例题1比较类似，在图4所示的电路图Ⅱ中，5个阻值均为R 的电阻既非串联，又非并联，如果采用串、并联规律的传统方法进行化简，那么欲求它们的等效电阻也将会变得非常复杂繁琐。
因此不难另辟蹊径，图4中虚线部分的3个电阻是Δ形联接，使用Δ-Y 等效变换以及等效变换公式③，将其转换为图5中虚线部分Y 形联接的3个电阻。
在图5所示的电路图Ⅱ中，根据电阻的简单串、并联关系，a 、b 两点之间的等效电阻为：
R R
R R R R R R R R R ab =+++⎪⎭⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=3
3333 ⑤
例题3 在图6中，Δabc 为一个等边三角形，d 、e 、f 为各边上的中点，分别求解ab 、bc 、ac 两点之间的等效电阻。
解析：图6为一个等边三角形的网络电路，各个电阻R 之间没有明显的串、并联
图5 a 、b 两点之间经过Δ-Y 等效变换
图4 电路图Ⅱ
关系，采用常规方法显然无法求解3个端点a 、b 、c 之间的等效电阻。
观察上
述网络电路中电阻联接方式的特征，不难发现等边三角形Δabc 里面含有3个小的等边三角形Δade 、Δdbf 与Δefc ，它们都是由3个阻值均为R 的Δ形联接的电阻组成。
因此可以借助于Δ-Y 等效变换以及等效变换公式③，将整个网络电路转换为图7所示的Y 形联接电路。
在图7所示的电路图Ⅲ中，根据电阻的简单串、并联关系，a 、b 两点之间的总电阻为：
91034
3
2343233R R R R R R R R ab =+⨯+⨯⎪⎭⎫
⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+=总 ⑥ 同理可得： 9
10R
R R bc ac =
=总总 因为等边三角形Δabc 的三边具有轴对称性，所以ab 、bc 、ac 两点之间的等效电阻各占相应总电阻的一半，即为：
9
52R
R R R R ab bc ac ab ====总 ⑦ 由此可见，当求解几个既非串联，又非并联的电阻组成的复杂电路的等效电阻问题时，需要深入挖掘该电路中电阻联接方式的特征，找出Y 形联接或Δ形联接的电阻。
然后采用Y-Δ等效变换或Δ-Y 等效变换进行合理地互换，整理化简为简单的串、并联关系的电阻，最后运用常规方法高效精确地计算它们的等效电阻，让复杂深奥的问题迎刃而解。
参考文献
[1] 赵凯华，张维善.电磁学[M].高等教育出版社,1985.
f
c 图6 电路图Ⅲ R
R
b
c
图7 Δade 、Δdbf 与Δefc 经过Δ-Y 等效变换
[2] 秦曾煌. 电工学上册电工技术[M].高等教育出版社,1999.
[3] 荆丽明.如何巧看电路的连接[J].物理教学探讨,2015，(2):62-63.。