基于Lorenz 系统的忆阻混沌系统分析
新型类Lorenz系统的混沌控制
和 参数 自适 应律
Ｖ ｔ ≤Ｖ ０ ． Ａ） （） （ ） Ａ ｉ（ 为正 定 矩 阵 Ａ 的最 小 特征 值 ，
』 一 ＋Ｏ 【 ｇ Ｘ 一
ｄ ＝ 一 （ ） Ｙ＋ ０ ｌ ｚ ｘ＋ （ Ｙ）
（ ５ ）
所 以 、 、 Ｌ ． ∈ ２ 根据 Ｂ ｒａ ｔ ａｂｌ 引理 可得 ｌ ｌ ０ ａ ｉ Ｉ ｊ＝ ， ｍＩ
面利用 自适应 控制原 理将 混沌 控制 到系统 的任意 １个 不 稳定 平衡点 Ｐ （ ，。 Ｚ） 。 。Ｙ ，。 ． 现假 定受 控系统 为
ｒ ＝１ （ ）＋Ｕ ０ Ｙ— 】
２ ４ — — ２比 【 ０５ｚ＋４ ｚ—＋ ２． Ｘ ｇ ｄ ＋ Ｙ ｘ Ｚ ｘ ＝
： 一
控制 器与参数 自适应律 ， 将该类 Ｌ ｒ ｚ ｏｅ 混沌 系统控制到它的任意 １个不稳定平衡 点 ， ｎ 借助 于 Ｂ Ｍ ｔ ￣ｂ ａ 引理 ， 从理论 上保证
了混沌控制的渐近稳定性． ｔｂ数值的仿真结果表 明， Ｍａ ａ ｌ 所设计的非线性控制 器与参数 自适应律能有效地 实现混沌控制．
暖
Ｊ ４ｕ＋ｏ 一 ｘ） ＋０ 一 （＋ “ ＝ｏ ｔｘ） （＋ｏ（ ｚ ｇｋ ）＋２ ）
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（） ３
从 而将 混沌 系统 （ ） 制 到不 稳 定 平 衡 点 Ｐ （ ｏ Ｙ ， ２控 。 Ｘ ，。 Ｚ） 问题 转化 为系统 （ ） 坐标 原点 的镇定 问题 ． 。的 ３在 定理 当选 择如 下控 制器
关 键 词 ： 型 类 Ｌ ｒｎ 新 ｏｅｚ系统 ； 沌 ； 沌 控 制 混 混
中 图分 类 号 ： Ｐ ７ ； ４ ５ Ｔ ２ ３ Ｏ １
lorenz混沌吸引子轨道原理
lorenz混沌吸引子轨道原理
Lorenz混沌吸引子轨道原理是一种描述混沌现象的数学模型，它是由美国数学家Edward Lorenz在20世纪60年代提出的。
这个模型可以用来解释许多自然现象，如气象学中的天气预报、流体力学中的湍流现象等。
Lorenz混沌吸引子轨道原理的核心是混沌吸引子。
混沌吸引子是一种奇异的吸引子，它具有无限细节和复杂性。
在Lorenz混沌吸引子轨道原理中，混沌吸引子是一种吸引轨道，它可以吸引周围的轨道，使它们最终趋向于混沌吸引子。
Lorenz混沌吸引子轨道原理的基本方程是Lorenz方程。
这个方程描述了一个三维空间中的动力学系统，它包含了三个变量：x、y和z。
这个方程的形式非常简单，但是它却可以产生出极其复杂的轨迹。
Lorenz混沌吸引子轨道原理的一个重要应用是天气预报。
天气系统是一个非常复杂的动力学系统，它包含了许多变量和参数。
使用Lorenz混沌吸引子轨道原理，可以对天气系统进行建模，并预测未来的天气情况。
除了天气预报，Lorenz混沌吸引子轨道原理还可以应用于其他领域，如金融市场、生物学、化学等。
在金融市场中，Lorenz混沌吸引子轨道原理可以用来预测股票价格的波动。
在生物学中，它可以用来研究生物体内的混沌现象。
在化学中，它可以用来研究化学反
应的动力学过程。
Lorenz混沌吸引子轨道原理是一种非常重要的数学模型，它可以用来解释许多自然现象和社会现象。
它的应用范围非常广泛，可以帮助我们更好地理解和预测世界的变化。
《两个混沌系统的动力学分析及其系统控制与同步研究》范文
《两个混沌系统的动力学分析及其系统控制与同步研究》篇一一、引言混沌系统是物理学、数学、工程学和许多其他领域研究的热点问题。
混沌现象表现为系统对初始条件的敏感依赖性，以及在非线性系统中出现的复杂、不可预测的行为。
本文将针对两个典型的混沌系统进行动力学分析，并探讨其系统控制与同步的有关问题。
二、两个混沌系统的动力学分析（一）第一个混沌系统：Lorenz系统Lorenz系统是一个经典的混沌系统，其动力学行为表现为对初始条件的极度敏感性。
该系统由三个非线性微分方程组成，描述了大气中温度的复杂变化过程。
我们将通过数值模拟和相图分析等方法，深入探讨Lorenz系统的动力学特性。
（二）第二个混沌系统：Chua's电路Chua's电路是一个电子电路混沌系统的典型代表，其电路中的非线性元件导致了复杂的混沌行为。
我们将对Chua's电路的电路方程进行推导，并通过时域分析和频域分析等方法，揭示其混沌特性和动力学行为。
三、系统控制与同步研究（一）Lorenz系统的控制与同步针对Lorenz系统的混沌特性，我们将探讨如何通过外部控制信号或系统参数调整等方法，实现对该系统的有效控制。
同时，我们将研究Lorenz系统的同步问题，探讨不同Lorenz系统之间的同步方法及其在通信、计算等领域的应用。
（二）Chua's电路的控制与同步对于Chua's电路的混沌行为，我们将尝试利用反馈控制、自适应控制等手段，实现对系统的稳定控制和参数调整。
此外，我们还将研究Chua's电路的同步问题，包括电路间的同步方法和其在信号处理、电子设备同步等方面的应用。
四、实验与结果分析（一）实验设计我们将设计一系列实验来验证上述理论分析的正确性。
对于Lorenz系统和Chua's电路，我们将分别进行数值模拟实验和实际电路实验，以观察系统的混沌行为和验证控制与同步方法的可行性。
（二）结果分析通过实验数据的分析和处理，我们将验证所提出的控制与同步方法的可行性和有效性。
《2024年度两个混沌系统的动力学分析及其系统控制与同步研究》范文
《两个混沌系统的动力学分析及其系统控制与同步研究》篇一一、引言混沌系统是一种复杂的非线性动态系统，其状态变化具有不可预测性、敏感依赖初始条件和长期行为的不规则性等特点。
近年来，随着非线性科学的发展，混沌系统的研究逐渐成为了一个重要的研究方向。
本文将针对两个典型的混沌系统进行动力学分析，并探讨其系统控制与同步的方法。
二、两个混沌系统的动力学分析（一）Lorenz混沌系统Lorenz混沌系统是一种典型的流体动力学系统，具有三维非线性微分方程描述。
通过对该系统的动力学分析，我们可以发现其状态变化具有对初始条件的敏感性、具有分岔和混沌等现象。
具体地，我们可以通过分析该系统的相图、功率谱等特征，进一步了解其动力学特性。
（二）Chua's电路混沌系统Chua's电路混沌系统是一种电子电路系统，其电路元件包括电阻、电感和非线性电容等。
该系统的动力学行为表现为复杂的混沌振荡，具有一定的应用价值。
通过对该系统的动力学分析，我们可以了解到混沌系统在不同参数条件下的动态变化情况。
三、系统控制与同步研究（一）系统控制对于混沌系统的控制，主要是通过调整系统参数或者引入外部控制信号等方式，使得系统的状态达到预期的稳定状态。
针对Lorenz混沌系统和Chua's电路混沌系统，我们可以采用不同的控制策略，如参数微调法、反馈控制法等，以实现对系统状态的稳定控制。
（二）系统同步混沌系统的同步是指两个或多个混沌系统在一定的条件下，其状态变化达到某种程度的协调和一致性。
针对两个混沌系统的同步问题，我们可以采用不同的同步方法，如完全同步法、延迟同步法等。
这些方法可以通过调整系统参数或者引入适当的控制器来实现两个混沌系统的同步。
四、实验结果与分析（一）实验设计为了验证上述理论分析的正确性，我们设计了相应的实验方案。
具体地，我们采用了数值模拟和实际电路实验两种方式来验证Lorenz混沌系统和Chua's电路混沌系统的动力学特性和控制与同步效果。
(印刷电路)基于Lorenz系统的混沌调制保密通信的电路实现
收稿日期!#$$=!$J !#!#修改稿收到日期!#$$=!$=!#%作者简介!杨志民!%=!=$"%男%甘肃天水人%教授%硕士研究生导师A 主要研究方向为电路理论与应用A B !6/8(&:/.QU 6".3.,)4D ,)<.基于!"*)A J 系统的混沌调制保密通信的电路实现杨志民%!熊!丽%!张新国#!张!洁%!任文娟%!%A 西北师范大学物理与电子工程学院%甘肃兰州!?@$$?$##A 兰州大学信息科学与工程学院%甘肃兰州!?@$$$$"摘!要!对基本的E ’-4.U 混沌系统进行标度变换和优化设计!用优化设计的E ’-4.U 混沌电路组成混沌调制保密通信电路!并用模拟电子电路实现了保密通信A 理论分析和实验结果证明了该通信方案的有效性A 关键词!标度变换"混沌调制"保密通信"E ’-4.U 系统中图分类号!a *=%%)@!!!!文献标识码!I !!!!文章编号!%$$%G =J J #!#$%$"$#G $$!$G $!S 8-<,8186L(464.1/18’.’0<2/’56’D ,(/18’.54<,-4<’66,.8</18’.C /54D’.E ’-4.U <2/’18<5:5146_I *V^28G 68.%%]M H *VE 8%%^O I *V ]8.G Q ,’#%^O I *V+84%%‘B *b 4.G R,/.%!%AS ’((4Q 4’0K 2:58<5/.DB (4<1-’.8<5B .Q 8.44-8.Q %*’-123451*’-6/(7.894-581:%E /.U 2’,?@$$?$%V /.5,%S 28./##AS ’((4Q 4’0M .0’-6/18’./.DB .Q 8.44-8.Q %E /.U 2’,7.894-581:%E /.U 2’,?@$$$$%V /.5,%S 28./"+,-#*%.#&I E ’-4.U<2/’18<5:514685(/C 4(8.Q 6,14D %’L 186,6D 458Q .4D %586,(/14D %/.D86L (464.14D 38122/-D 3/-4Aa 244X L 4-864.1-45,(15/-48.Q ’’D/Q -4464.13812<’6L ,14-586,(/18’.-45,(151’94-80:8154004<1894.455A M 1</.C 4,54D 8.54<-41<’66,.8</18’.5:51465A /)01"*2-&(/C 4(8.Q 6,1/18’.#<2/’56’D ,(/18’.#54<,-4<’66,.8</18’.#E ’-4.U 5:5146!!混沌保密通信方式主要有@种%即混沌遮掩4混沌调制和混沌开关A 混沌调制是一种常用的通信方式%其基本思路是将欲传送的信号和混沌振荡信号同时加入调制电路%由此产生混沌调制信号%将该调制信号通过发射机发射%再通过接收机接收并进行解调%从而得到欲传送的信号A 混沌调制方式比起混沌开关和混沌遮掩有以下优点&首先%由于混沌信号谱的整个范围都用来隐藏信息%因此具有宽频谱的特性#其次%对参数变化具有更高的敏感性%从而增强了保密性’%G J(A%==@年%S ,’6’和H L L4.2486实现了E ’-4.U 系统的混沌遮掩保密通信方案’%(%但该方案在保真度和安全度方面均存在一些不足A%=="年%T 8(/.’98<&和^/Q2(’,(T B 提出了混沌遮掩的改进方案’#(%但只对所提出的方案进行了理论分析和计算机仿真%未能用硬件进行实现A 文献’@(根据文献’#(提出的混沌遮掩改进方案%用电子电路实现了保密通信%但缺乏对电路的优化A 笔者首先对基本的E ’-4.U 混沌系统进行了标度变换%使其转换为电路易于实现的E ’-4.U 混沌系统%然后对E ’-4.U 混沌电路进行优化设计%用优化设计的E ’-4.U 混沌电路组成混沌调制保密通信电路%使电路的综合性能达到最佳%并用模拟电子电路实现了保密通信A 实验结果证明了所设计方案的有效性A%!基本E ’-4.U 方程的标度变换基本E ’-4.U 方程组为!#$%$!*’)#S 8-<,8186L (464.1/18’.’0<2/’56’D ,(/18’.54<,-4<’66,.8</18’.C /54D’.E ’-4.U <2/’18<5:5146a "$:!R &""%a R $/"&R &"]%a ]$"R &%]-./+!%"当取参数:Y %$%/Y #J %%Y J /@时%系统!%"是混沌的A!!在实际的电子线路中%无源元件的数值及有源电子器件的工作电压均有一定的范围%例如运算放大器的电源电压一般为Z %>$[%>&%很好的线性工作范围为Z%$$[%$&A 在一般的混沌电路中%方程!%"的变量都是某个运算放大器的输出电压%故其变化范围不应超出电源电压值A 而基本E ’-4.U 方程数值解中变量的变化范围可能很大%因而不便于使用通常电路元件实现A 故在实际应用中%利用标度变换的方法%即对原方程引入新变量:$"%$%U $R %$%S $]@$%!#"将基本方程中变量的变化范围进行适当调整%使其能够用普通的电路实现A 例如对于方程!%"中的变量"%如果其数值范围是Z #>$#>%那么就不能够直接作为电路中以伏特数为单位的电压变量或电压动态范围+现在如果取:Y "/%$作为新的电路变量%其变化范围就是Z#)>$#)>&%从而完全符合电路设计的要求A采用!#"式的变换%则E ’-4.U 方程!%"变为a :$:!U &:"%a U $/:&U &@$:S %a S $@)@:U &%S -./+!@"即得a "$:!R &""%a R $/"&R &@$"]%a ]$@)@"R &%]-./+!!"代入具体参数值:Y %$%/Y #J %%Y J/@%得a "$&%$"#%$R %a R $#J "&R &@$"]%a ]$@)@"R &!J /@"]-./+!>"!!用T/1(/C 对!>"式进行仿真得到的相图如图%所示A 由图可见%各个参数的数值范围都在Z %$$[%$&A 即经过标度变换后的E ’-4.U 混沌系统在实际应用中完全符合电路设计的要求A根据!>"式设计的电路如图#所示A 图%!!>"式的仿真结果P 8Q %a 24586,(/18’.-45,(15’04W,/18’.!>"图#!!>"式的实现电路P 8Q #a 24<8-<,81’04W,/18’.!>"#!混沌保密通信电路的实现%)$!电路的优化设计图#所示的电路虽然能够实现!>"式的功能%但为了得到最优电路%还需进行优化设计A 优化设计的基本思路是&在不改变电路功能的条件下%将电路尽量简化和合并%降低电路的复杂程度与总误差%以及电路总电阻的热噪声%同时降低电路成本A 优化设计电路的Bb N 仿真结果如图@所示A 优化以后的E ’-4.U 电路如图!所示A 由图!可见%电路的运算放大器由%#个减少成为"个%其它无源元件也有相应的减少A 优化以后得到的电路简单%调试容易%适用于规模化生产A%)%!混沌调制保密通信电路优化以后的E ’-4.U 混沌电路可以实现混沌保密通信%其系统框图如图>所示A 图中虚线的左边为发送系统%右边为接收系统A 在发射端%送往\4G 的信号是混沌信号,!6"与欲传送信号’!6"相加后的合成信号%即经过信道后送到接收端\4G 的信号T !6"A 这样%接收系统就更容易与发送系%!统保持良好同步%因而本电路的鲁棒性好A图@!优化设计电路的B b N 仿真P 8Q @E ’-4.U <8-<,81’0’L 186,6D 458Q.4D 图!!优化以后的E ’-4.U 电路P 8Q !a 24E ’-4.U <8-<,81’0’L 186,6D 458Q.4D 图>!混沌保密通信系统框图P 8Q >a 24D 8/Q -/6’054<-41<’66,.8</18’.5:51465!!用优化设计得到的E’-4.U 混沌电路组成混沌调制保密通信电路如图"所示A 发送系统最上面的运算放大器设计成减法器%是发送系统的调制器A 欲传送信号从该运算放大器的反相输入端输入%其输出信号通过通信信道!有线或无线"发送到接收系统中A 接收系统基本混沌电路与发送系统基本混沌电路相同%最上面的运算放大器是发送端的解调器%#个输入信号都是混沌信号%输出是混沌信号的误差信号%恰好是发送端的传送信号%从而完成了混沌保密通信A图"!混沌保密通信优化电路原理图P 8Q "a 24<8-<,81’054<-41<’66,.8</18’.5:51465@!硬件电路的实现和测试图"所示电路的硬件实现电路如图?所示%测试结果如图J 所示A 对于发送端%增加跳线器组h #%0#1端与0@1端连接即是E ’-4.U 混沌电路%在示波器上可以观察到"%."#%"%."@和"#."@的相图%如图J !/"4!C "4!<"所示A 同样%对于接收端%增加跳线器组h @%0#1端与0@1端连接亦是E ’-4.U 混沌电路A 如上连接%#个E ’-4.U 混沌电路完全独立%不同步A "%.R %%"#.R #和"@.R @不同步相图如图J !D "4!4"4!0"所示A 对于发送端%0#1端与0@1端连接%对于接收端%0#1端与0%1端连接%则接收端E ’-4.U 混沌电路与发送端E ’-4.U 混沌电路同步%"%.R %%"#.R #和"@.R @同步相图如图J !Q "4!2"4!8"所示A 若使#个E ’-4.U 混沌电路实现保密通信%则对于发送端%0#1端与!#$%$!*’)#S8-<,8186L(464.1/18’.’0<2/’56’D,(/18’.54<,-4<’66,.8</18’.C/54D’.E’-4.U<2/’18<5:51460%1端连接%E’-4.U混沌电路被调制#对于接收端%0#1端与0%1端连接%E’-4.U混沌电路被同步%当通信过程开始后%有输出信号A另外%增加跳线器组h%%不做通信实验时%无输入信号%0#1端与0%1端连接%避免干扰#做通信实验时%有输入信号%0#1端与0%1端开路%避免短路A 图J!R"是接入收音机后发送端的调制信号!上"与接受端的解调信号!下"A由图可见%接收端基本解调出语音信号%实现了保密接收%但语音通信效果不是很完美%原因是模拟乘法器参数离散%使得同步噪声较大A图=是发送和接收的信息信号波形图%由图可见%二者完全同步%发送的信息信号与接收的信息信号相同A图?!实验电路板照片P8Q?a24L2’1’Q-/L2’04X L4-864.1<8-<,81L(/14!/""%."#相图!!!!!!!!!C""%."@相图!!!!!!!!!<""#."@相图!D""%.R#不同步相图!!!!!!!4""#.R#不同步相图!!!!!!!0""@.R@不同步相图!Q""%.R%同步相图!!!!!!!2""#.R#同步相图!!!!!!!8""@.R@同步相图!R"混沌保密通信发送端输入调制信号与接收端解调输出信号图J!实验结果照片P8Q J a24L2’1’Q-/L2’04X L4-864.1-45,(15#下转第!=页$@!。
一种变形Lorenz系统的混沌特性研究
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ｖ ｌｄｔ ｆＭｅ ｎ ｋ ｖＳｍ ｅｈ ｄ ｉ ｈｅ ｇ ｎ ｒ ｌｚ ｄ Ｈａ ｈｏ ｏ ｅ ｈ ｔｄ ｆｒ ａ ｌ ｒ ｎ ｙ ｔ ｍ ａ ｆｒ ｔｏ ｒ ｎ ｆ ｒ ｔ ｎ ｉ ｈ ａｉ ｉ ｏ ｌ ｉ ｏ ’ ｔ ｏ ｎ ｔ ｅ ｅａ ｉｅ ｍｉ ｎ ｐｒｖ ｓｔ ａ ｅｏ ｙ ｍ ｂ ｅ Ｌ ｅ ｚ ｓ ｓｅ ｈ ｓａ ｄｅｏ ｍａｉｎ ｔａ ｓｏ ｍａｉ ｎ ｔ ｅ ｏ ｏ
一类具有忆阻器的Lorenz 型混沌系统稳定性 及余维一分岔分析
)
λ1 = −b, λ2,3 = 2 −1 − a − ρr ± (a + ρr + 1)2 + 4d .
通过对 (2.2) 式中特征值的实部及虚部进行分析，我们可以得到如下定理：
(2.2)
定理 1: 系统 (1.3) 在平衡点 E0 处的稳定性有以下 6 种情况：
1)
当
b
<
0,
d
<
0,
−1−ρr
<
Keywords
Lorenz-Type System, Pitchfork Bifurcation, Hopf Bifurcation
一类具有忆阻器的 Lorenz 型混沌系统稳定性 及余维一分岔分析
黄 俊，陈玉明
文章引用: 黄俊, 陈玉明. 一类具有忆阻器的 Lorenz 型混沌系统稳定性及余维一分岔分析 [J]. 应用数学进展, 2019, 8(4): 858-867. DOI: 10.12677/aam.2019.84096
Received: Apr. 7th, 2019; accepted: Apr. 22nd, 2019; published: Apr. 29th, 2019
Abstract
Based on the classical Lorenz system, this paper obtains a class of 3D memristive chaotic circuit system through feedback control, and analyzes the local dynamics of this system. Firstly, the local stability at the origin of this system is investigated through analyzing linearized system. Secondly, based on the center manifold theorem and Hopf bifurcation theory, the co-dimension one Pitchfork bifurcation and Hopf bifurcation at the origin of this system are investigated, and the results are verified by numerical simulation.
类LORENZ混沌系统及其电路实现
• 188•本文研究动力学特性更为复杂的新三维混沌系统。
首先利用数值建模分析了三维混沌系统的基本动力学特性，然后搭建新混沌系统硬件电路，通过Multisim软件进行硬件电路仿真模拟，最后验证了系统的物理可行性，结果表明仿真实验与理论分析结论吻合。
1963年MIT(Massachusetts Institute of Technology)气象学家Loren 发现已确定的三阶微分方程具有不规则的解，提出了“蝴蝶效应”理论，开启了研究混沌现象的序幕。
混沌作为非线性动力学的一个分支，在很多领域具有广泛应用。
复杂混沌系统的产生、分析和控制近年来引起了国内外同行的广泛关注。
经典的混沌系统诸如：Rössler 系统、Chen 系统及Lü系统等被提出，一些新的混沌系统被发现，它们具有更大的Lyapunov 指数和更强的混沌特性。
本文基于文献中Lorenz-Like 系统，搭建了新三维混沌系统，发现此系统的混沌特性比原系统复杂，在不同参数值下不仅折叠吸引子的涡卷数增加；并且发现在4.28＜b ＜10.5时，系统产生新的两翼折叠混沌吸引子，其最大Lyapunov 指数高达6.7872，比上述文献中混沌系统的Lyapunov 指数值均大。
1 混沌系统模型及特性分析1.1 混沌系统模型本文基于Lorenz-Like 系统构建了一个新三维自治混沌系统，该系统的数学模型可描述为：（1）式中，x ，y ，z 为状态变量。
当初值为(10，10，60)，参数a =10、b =3、c =50、h =-1时，系统存在一个典型混沌吸引子如图1所示。
图1 系统(1)相图1.2 三维系统参数的影响系统动力学特性随参数的变化而变化，系统的运行状态可以直观的由Lyapunov 指数谱及分岔图反映。
当固定参数a 、c 、h ，参数b 变化。
图2(a)反映在0＜b ≤2.256及b ＞12.39区域Lyapunov 指数谱符号为(-，-，-)或(0，-，-)，系统处于周期运动状态；在2.257＜b ≤12.35区域Lyapunov 指数谱符号为(+，0，-)，系统处于混沌运动状态。
一类Lorenz型系统中的混沌分析
一类Lorenz型系统中的混沌分析
杨文杰;张帆;郑前前
【期刊名称】《许昌学院学报》
【年(卷),期】2022(41)2
【摘要】首先,分析了一类Lorenz型混沌系统平衡点的局部稳定性,得到了超临界Hopf分岔的存在条件.然后,推导了Hopf分支的一些公式,它可以帮助通过Hassards方法找到Hopf分岔的形式和分岔周期解的稳定性.再次,证明了带时滞的此类Lorenz型模型在经历一个超临界Hopf分岔时,会发生混沌,这表明了时滞对此类Lorenz型系统有一定的影响作用.最后,通过模拟仿真分析验证理论研究结论的正确性.
【总页数】4页(P8-11)
【作者】杨文杰;张帆;郑前前
【作者单位】许昌学院数理学院
【正文语种】中文
【中图分类】O193
【相关文献】
1.一类衍生Lorenz混沌系统的混沌分析
2.一类四维超混沌Lorenz型系统的动力学行为
3.一类具有忆阻器的Lorenz 型混沌系统稳定性及余维一分岔分析
4.一类具有时滞的Lorenz型系统中的混沌现象
5.一类具有忆阻器的Lorenz型混沌系统余维二分岔及无穷远处动力学分析
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基于忆阻器的超混沌系统混沌控制及应用研究
基于忆阻器的超混沌系统混沌控制及应用研究基于忆阻器的超混沌系统混沌控制及应用研究摘要：本文主要研究了基于忆阻器的超混沌系统的混沌控制及其应用。
首先，介绍了超混沌系统和忆阻器的基本概念，分析了超混沌系统的混沌特性。
接着，设计了一种基于自适应控制算法的混沌控制方法，并将其应用在超混沌系统中。
实验结果表明，该控制方法能够有效控制超混沌系统的混沌运动，并实现多状态的轨迹追踪。
最后，讨论了超混沌系统混沌控制在通信加密、混沌加密和混沌同步等领域的应用前景。
关键词：超混沌系统；忆阻器；混沌控制；应用1. 引言混沌是一种随机非周期的动力学现象，具有高度的敏感性和复杂性。
近年来，混沌系统及其控制在各个领域得到了广泛的研究和应用。
超混沌系统是一类比混沌系统更加复杂的非线性动力学系统，具有更大的参数空间和更丰富的动力学行为。
忆阻器是一种新型的电子元件，具有非线性的电压-电流特性。
它能够将电流的历史信息储存，具有时滞效应。
近年来，忆阻器在混沌系统中的应用也引起了研究者们的兴趣。
本文将超混沌系统和忆阻器两者结合起来，研究了基于忆阻器的超混沌系统的混沌控制及其应用。
2. 超混沌系统的混沌特性分析超混沌系统与普通混沌系统相比，具有更多的分支、更高的维数和更丰富的复杂性。
在本文中，我们以一种常用的三维超混沌系统为例，分析其混沌特性。
该超混沌系统的动力学方程如下：dx/dt = -σx + σy + zdy/dt = -x + aydz/dt = b(x - cz)其中，x、y、z为系统的状态变量，σ、a、b、c为系统的参数。
通过数值计算和分析，我们可以得到该超混沌系统在不同参数值下的混沌运动轨迹。
实验结果表明，该系统在一定的参数范围内具有混沌吸引子，其轨迹呈现出复杂的分形结构和奇特的运动方式。
3. 基于自适应控制算法的混沌控制方法为了控制超混沌系统的混沌运动，本文设计了一种基于自适应控制算法的混沌控制方法。
首先，将超混沌系统表示为控制系统的形式，引入辅助变量和控制误差。
基于忆阻器混沌系统的动力学分析及电路设计
基于忆阻器混沌系统的动力学分析及电路设计基于忆阻器混沌系统的动力学分析及电路设计摘要：本文对基于忆阻器混沌系统的动力学特性进行了深入分析，并针对该系统设计了一个简单的电路模型。
通过数学模型的建立和电路实验的验证，我们发现基于忆阻器的混沌系统具有丰富的非线性行为，具有较强的自适应性和记忆性，可以应用于密码学、通信系统和混沌计算等领域。
1. 引言混沌系统作为一种复杂的非线性动力学系统，具有高度不确定性和随机性，具有广泛的应用前景。
忆阻器是一种新型的电学元件，其内部的电阻值可以随电流的方向和大小发生变化。
在过去的几十年中，科学家们发现了忆阻器具有混沌行为的特性，并且可以用于构建混沌系统。
本文旨在对基于忆阻器的混沌系统的动力学特性进行深入研究，并设计一个简单的电路模型来验证实验结果。
2. 基于忆阻器的混沌系统的动力学分析2.1 模型建立基于忆阻器的混沌系统可以通过建立适当的数学模型来描述。
假设忆阻器的电阻值为R，电流为I，忆阻器的状态方程可以表示为：dR/dt = -αR + βI其中α和β为常数。
该模型考虑了忆阻器的自适应性和记忆性，可以模拟忆阻器的非线性动力学行为。
2.2 动力学特性分析通过数值计算和图形展示，我们可以观察到基于忆阻器的混沌系统的动力学特性。
在特定的参数范围内，系统表现出周期运动、混沌运动和稳定运动等不同的行为。
通过调节参数α和β的大小，我们可以控制系统的动力学特性，从而实现所需的混沌行为。
3. 基于忆阻器的混沌系统的电路设计基于上述数学模型，我们设计了一个简单的电路模型来实现基于忆阻器的混沌系统。
电路的主要组成部分包括忆阻器、电源、电容和电阻等。
通过调节电压源的大小、电容和电阻的数值，我们可以控制电路的动力学特性。
4. 电路实验与结果分析通过实验验证，我们发现设计的电路模型能够很好地模拟基于忆阻器的混沌系统的动力学特性。
实验结果表明，调节电路参数，我们可以观察到不同的混沌行为，如周期运动、倍周期运动和混沌运动等。
Lorenz混沌系统的分析与电路实现
图５ Ｌ ｏ ｒ ｅ ｎ ｚ系统 电路 模 型 实 现 的 时 域 波 形
图 ５为 Ｌ ｏ ｒ ｅ ｎ ｚ 系 统 电路模 型 实现 的三 个 状
态 变量 ， ， 的时域 波 形 ， 可 以实 时 动 态 观察 其
波 形 的变化 。
图３ Ｌ ｏ ｒ ｅ ｎ ｚ系 统 的 电路 模 型
Ｌ ｏ ｒ ｅ ｎ ｚ 混沌系统的分析与 电路实现
图 １为 Ｌ ｏ ｒ ｅ ｎ ｚ 系统 通过 Ｍａ ｔ ｌ ａ ｂ编程 实现 的
—
在 电路 模 型 中设 置 元件 的 电阻 值 和 电容 值 ， 启 动仿 真按 钮 ， 同 时在 示 波 器 属 性框 设 置 合 适 的 参数 ， 如纵 横 轴 的标度 、 起始值等 ， 通 过示 波 器 模 块 可 以观察 到 Ｌ ｏ ｒ ｅ ｎ ｚ 系统 相 图如 图 ４所示 ， 时域
图 ４中为 Ｌ ｏ ｒ ｅ ｎ ｚ 系统 电路模 型 实 现 的相 ，
运算放 大器 ， 型 号采用 Ｌ Ｆ ３ ５ ３ Ｄ， Ａ１和 Ａ２为模 拟 乘法器 ， 采用集成 芯片 Ａ Ｄ６ ３ ３ ， ＶＣ Ｃ 和 ＶＤ Ｄ 分
别 为＋１ ２ Ｖ和一 １ ２ Ｖ。
从 电路仿 真结果 同样可 以动态地观察 到 Ｌ ｏ ｒ ｅ ｎ ｚ 系 统 的蝴蝶 状 混 沌 吸 引子 ， 双涡 卷 现 象 。仿 真 实 验 表 明该 电路设计 是 可行 的 。
电路与系统学报 ， ２ ０ ０ ９ ， １ ４ （ ３ ） ： １ ２ １ — １ ２ ５ ．
［ １ Ｏ ］ 张建 忠． 用 Ｍａ ｔ ｌ ａ ｂ数 值模 拟 非线 性 电路 混 沌 实验 ［ Ｊ ］ ． 实验技术与管理 ， ２ ０ ０ ７ ， ２ ４ （ ｉ １ ） ： ８ ６ — ９ １ ． ［ １ １ ］姚齐 国． Ｌ ｏ ｒ ｅ ｎ ｚ 系统 动力 学行 为 的 ＭＡ ＴＬ Ａ Ｂ仿真 与分 析［ Ｊ ］ ． 水 电能源科学 ， ２ ０ ０ ７ ， ２ ５ （ ５ ） ： １ ２ １ １ ２ ３ ． ［ １ ２ ］杨 纪华． 基 于 Ｍａ ｔ ｌ ａ ｂ混沌系统的数值仿真［ Ｊ ］ ． 绵 阳
《2024年两个混沌系统的动力学分析及其系统控制与同步研究》范文
《两个混沌系统的动力学分析及其系统控制与同步研究》篇一一、引言混沌系统是一种复杂的非线性动态系统，其状态变化具有不可预测性、敏感依赖初始条件和长期行为的不规则性等特点。
近年来，随着非线性科学的发展，混沌系统的研究逐渐成为了一个热门领域。
本文以两个典型的混沌系统为例，对其进行动力学分析，并探讨其系统控制与同步的相关研究。
二、两个混沌系统的动力学分析1. Lorenz混沌系统Lorenz混沌系统是一种具有三个状态变量的自治非线性系统。
本文通过分析Lorenz系统的数学模型，探讨了其动力学特性，如系统的平衡点、稳定性、分岔和混沌现象等。
通过数值模拟，我们观察到Lorenz系统中复杂的时间序列和空间结构，进一步验证了其混沌特性。
2. Chua's电路混沌系统Chua's电路是一个具有电路元件（如电阻、电感和非线性电容）的电子电路，可展现出混沌现象。
本文对Chua's电路进行了动力学分析，包括电路的等效模型、状态方程和相图分析等。
通过对电路参数的调整，我们观察到Chua's电路中混沌现象的演变过程。
三、系统控制与同步研究1. 系统控制针对混沌系统的不可预测性和敏感性，本文探讨了系统控制的方法。
通过引入外部控制信号或调整系统参数，我们可以使混沌系统从混沌状态转变为周期状态或稳定状态。
此外，我们还研究了混沌系统的参数辨识和模型预测控制等控制策略。
2. 系统同步混沌系统的同步是指将两个或多个混沌系统通过某种方式联系起来，使它们达到某种程度的一致性。
本文研究了混沌系统的同步方法，包括主从同步、投影同步和相同步等。
通过数值模拟和实验验证，我们观察到这些同步方法在混沌系统中的应用效果。
四、结论本文对两个典型的混沌系统进行了动力学分析，并探讨了其系统控制与同步的相关研究。
通过对Lorenz系统和Chua's电路的深入研究，我们了解了混沌系统的复杂特性和动力学行为。
在系统控制方面，我们研究了混沌系统的控制方法和参数辨识等策略。
Lorenz混沌系统的同步控制及实验研究的开题报告
Lorenz混沌系统的同步控制及实验研究的开题报告一、研究背景混沌理论是近几十年来发展起来的一种新兴的研究领域，深刻揭示并证明了物理系统中常见的混沌行为是由微小的非线性动力学效应引起的，混沌系统可广泛应用于密码学、通信、认知科学等领域。
针对混沌系统应用的实际需求，研究混沌系统的控制和同步问题已成为该领域的热点之一。
Lorenz混沌系统是混沌系统的代表性之一，其著名的“蝴蝶效应”吸引了广泛的关注，很多科学家和工程师致力于对其进行研究和应用。
二、研究内容本课题将以Lorenz混沌系统为研究对象，通过控制器设计和同步控制方法，研究Lorenz混沌系统的同步控制问题。
1. Lorenz混沌系统介绍Lorenz混沌系统是非线性动力学系统中经典的例子，由美国经济学家Edward Lorenz于1963年首先提出。
Lorenz混沌系统是由三个非线性的一阶微分方程组成，它可以产生具有奇异吸引子的混沌行为。
2. 同步控制原理同步控制是指控制多个非线性系统以相同方式响应一个或多个控制器信号的过程。
同步控制技术可以广泛应用于通信、控制、加密等领域。
Lorenz混沌系统的同步控制是非线性动力学领域的重要问题之一。
3. 实验研究在本研究中，将使用Matlab软件对Lorenz混沌系统进行数值仿真，并通过设计反馈控制器和使用同步控制方法，实现Lorenz混沌系统的同步控制。
三、研究意义本研究将探索Lorenz混沌系统的控制和同步问题，具体有以下研究意义：1. 深入理解混沌系统的动力学特性和同步控制原理，掌握混沌理论基础知识。
2. 掌握Matlab软件的使用，熟悉编程技巧和方法。
3. 研究Lorenz混沌系统的同步控制方法，为实际系统应用提供参考和借鉴。
4. 探索混沌系统的应用前景和潜力，为实际应用提供支持和帮助。
四、预期成果1. 完成Lorenz混沌系统的数值仿真，探究其动力学特性。
2. 设计反馈控制器，实现Lorenz混沌系统的同步控制。
新五模态类Lorenz系统的混沌行为及其数值仿真
作者简介 ：刘 晓峰 （９ ４ ） １ ６ ～ ，男 ，河北抚宁人 ，副教授 。
第３ 期
刘晓峰 等：新五模 态类 Ｌ ｒ ｚ系统的混沌行为及其数值仿真 ｏｅ ｎ
１５ ９
Ｋ ｅ ｒ ：Ｎａ ｅ － ｏｋ ｓｅ ｕａｉ ｓ ｂｉｕ ｃ ｔｏ ｙ ｗｏ ｄｓ ｖｉｒＳｔ ｅ ｑ ｔｏｎ ； ｆ ｒ ａｉ ｎ； ｃ ａ ｓ ｓｒ ｎ ｔ ａ ｔ ｒ ｈ ｏ ； ｔａ ｇｅａｔ ｃ ｏ ｒ Ａｂｓ ｒ ｃ ：Ｔｈ ａ ｎ ｏ ｒ ｓ ｉ ｌ ｖ ｅ — ｔ ｋｅ ｑ ａ ｉ ｎｓｏ ｏ ｕｓｆ ｒｔ ｉ ｎ ｉ ｎｓｗａ ｔａ ｔ ｅ ｐｌｎｅ ｉ ｃ ｍｐ ｅ ｓｂ ｅ Ｎａ ｉ ｒＳ ｏ ｓｅ ｕ ｔｏ ｎ ａ ｔ ｒ ｏ ｗｏ ｄ ｍｅ ｓｏ ｓ ｅ ｐａ ｅ ｎ Ｆｏ ｒｅ ｅ ｉ ｓ ｔ ｎ ａｆｖ — ｏ ｅ Ｌｏ ｅ —ｉ ｅ ｅ ａ ｉｎｓｗａ ｂ ａｎｅ Ｄｙ ｍｉ ｓｂ ｈ ｖ ｏ ｓ ｘ ｎｄ ｄ ｉ ｕ ｉｒｓ ｒｅ ， ｈｅ ｅ ｍ ｄ ｒ ｎｚ ｌｋ ｑｕ ｔｏ ｓｏ ｔｉ ｄ． ｎａ ｃ ｅ ａ ｉ ｒ ｉ ０ ｅ ｓ ｓｅ ｗｅ ｅ ｄ ｓ ｕ ｓ ｄ ａ ｉ ｌ ｔｄ ｎｕ ｒｃ ｌ ｃ ｏｒ ｉ ｏ ｔ ｅ ｃ ｎ ｇ ｎ ｆＲｅ ｎｏ ｄ ｕ ｆｔ ｙ ｔ ｍ ｒ ｉｃ ｓ ｅ ｎｄ ｓｍｕ ａ ｅ ｍｅ ｉ ａ ｌ ａ ｃ ｄ ｎｇｔ ｈ ｈａ ｉ ｇ ｏ ｙ ｌ ｓｎ ｍｂｅ ． ｈ ｙ ｒ
第 ３ 卷第 ３ １ 期 ２ ０１ １年 ６ 月
版 辽宁工业大学学报 （ 自然科学 ）
ｉ Ｊｕｎ ｌ ｆ ｉ ｎｎ ｉｅｓ ｙｏ ｅｈ ｏｏ ｙＮａ ｒｌ ｃｅ ｃ ｄｔ ｎ ｏ ｒａ ａ ｉｇ ｏＬ ｏ Ｕｎｖ ｒ ｔ ｆ ｃ ｎ ｌｇ （ ｔ ａ Ｓ ｉｎ ｅＥ ｉ ｏ ） ｉ Ｔ ｕ
基于Lorenz系统的混沌调制保密通信的电路实现
混沌保 密通 信 方式 主要 有 ３种 ，即混沌 遮 掩 、
混沌 调制 和混沌开 关．混 沌调制 是一种 常用 的通信
进方 案 ］ ，但 只对 所 提 出 的方 案 进 行 了理 论 分析
和计 算机仿 真 ，未能 用硬件进 行实 现．文献 ［３ 根 ］
据文 献［２］ 出的混沌 遮掩 改进方案 ，用 电子 电路 提 实现 了保 密通信 ，但缺 乏对 电路 的优 化．笔 者首先 对基 本 的 Ｌ ｒｎ 混 沌 系 统 进行 了标 度 变换 ，使其 ｏｅ ｚ 转换 为 电路 易 于 实现 的 Ｌ ｒｎ 混 沌 系 统 ，然后 对 ｏｅｚ
摘
要 ：对 基 本 的 Ｌ ｒｎ ｏ ｅ ｚ混沌 系统 进 行 标度 变换 和 优 化 设 计 ，用 优 化 设 计 的 Ｌ ｒ ｎ ｏ ｅｚ混 沌 电路 组 成 混 沌调 制保 密 通信
电路 ，并 用模 拟 电子 电路 实现 了保 密 通信 ． 理 论 分 析 和 实验 结 果证 明 了该 通 信 方 案 的 有 效 性．
（１ Ｃｏ ｌｇｅｏｆＰｈｙ ｉｓ ａ ｅ ｔ ｏ ｃ ． ｌｅ ｓｃ ｎｄ Ｅｌ ｃ ｒ ｎｉｓ Ｅｎｇ ｎ ｅ ｉ ｇ， Ｎｏｒｈｗｅ ｔＮ ｏ ｍ ａ ｎ ｖ ｒ ｉｙ， Ｌａ ｈ ３０ ０， Ｇ ａ ｓ ， Ｃｈｉａ ｉ ｅ ｒｎ ｔ ｓ ｒ ｌＵ ｉ ｅ ｓｔ ｎｚ ｏｕ ７ ０７ ｎｕ ｎ
ｉｓｅ ｆ ｃ ｉ ｅ ｓ ． Ｉ ａ ｅ ｕ ｅ ｎ ｓ ｃ ｅ ｏ ｔ ｆｅ ｔｖ ｎｅ ｓ ｔ ｃ ｎ ｂ ｓ ｄ ｉ ｅ ｒ ｔｃ ｍｍ ｕｎ ｃ ｔｏｎ ｓ ｓ ｅ ． ｉａ ｉ ｙ ｔ ｍｓ Ｋｅ ｒ ｓ ｌ ｂｅｉ ｕ ａ ｉｎ； ｃ ａ ｓ ｍｏｄ ｌ ｔｏ ｙ ｗｏ ｄ ： ａ ｌｎｇ ｍ ｔ ｔｏ ｈ ｏ ｕ ａ ｉ ｎ； ｓ ｃ ｅ ｃ ｍ ｍｕｎ ｃ ｔｏ ｅ ｕｒ ｏ ｉａ ｉ ｎ； Ｌｏｒ ｎｚ ｓ ｓ ｅ ｅ ｙ ｔ ｍ
一个新类Lorenz混沌系统的动力学分析及电路仿真
第5卷第4期2007年12月1672-6553/2007/05 /324-6动力学与控制学报J OURNA L O F DYNAM ICS AND CONTROLV o.l 5N o .4D ec .20072007-03-23收到第1稿,2007-05-13收到修改稿.*甘肃省自然科学基金资助项目(3ZS042-B25-049);兰州交通大学科研基金(DXS -2006-74,DXS -2006-75)一个新类Lorenz 混沌系统的动力学分析及电路仿真*李险峰1张建刚2褚衍东1常迎香2(1.兰州交通大学非线性研究中心,兰州 730070)(2.兰州交通大学数理与软件工程学院,兰州 730070)摘要 提出了一个新的三维自治类L orenz 系统.理论分析了该系统的动力学特性,并通过数值计算分析了系统在平衡点处的稳定性,以及产生H opf 分岔的条件.通过计算系统的时间序列的Lyapunov 指数谱、L ya -punov 维数、分岔图、Po i ncar 截面图等研究了系统的动力学特性.最后对该系统的一个混沌吸引子进行了实际电路的设计与仿真模拟.关键词 新类Lo renz 系统, L yapunov 指数, 分数维数, P o i nca r 截面图, 电路仿真引言混沌振动是存在于自然界中的一种普遍运动形式,是在确定系统中产生的不规则运动,其基本特征是具有对初始条件的敏感性[1].人们在认识和研究混沌理论和应用的过程中,逐步认识到混沌的研究价值和应用价值.随着对混沌的深入研究和实际工程需要,各种非线性混沌系统也被相继提出,并得到了广泛的研究.特别是自从上世纪60年代提出Lorenz 系统[2]以来,许多新的自治混沌系统也相继提出并得到了广泛的研究[3-8].其中最为著名的是Rossler 系统[3],在Lorenz 混沌系统反控制中被发现的Chen 系统[4,5]、L 系统[6]、统一混沌系统[7]、L i u 系统[8]以及Q i 系统[9-11]等,特别是L系统在Lorenz 系统和Chen 系统之间架起了一道桥梁,实现了从一个系统到另一个系统的过渡[6,7].本文提出了一个新的类Lorenz 系统,该系统含有2个非线性项,文中利用理论推导、数值仿真、Lyapunov 指数谱、Lyapunov 维数、分岔图、Po incar 截面图等分析了该系统的基本动力学特性,从数值和理论上分析了系统的混沌特性.结果表明该系统和Lorenz 系统族中[12-14]每一个系统有着类似的性质,并且奇怪吸引子都具有较低分数维数.最后设计了模拟该混沌系统的实际电路,同时基于E W B 软件平台及电子仪器进行了实际电路仿真验证.1 新的类Lorenz 系统的模型及基本动力学特性该系统是根据Lorenz 吸引子和Chen 吸引子线性部分系数的特征,构造了一个三维非线性动力学系统.系统的模型如下:x =a (y -x ) y =abx -axz z =xy -cz(1)其中x =(x,y,z )TR 3为系统的状态变量,a,b ,c 为参数,且a 0.系统(1)中共含有2个非线性项,分别是xz ,xy .可以通过严格的数学证明系统(1)与上述Lorenz 系统族中每一个系统都不具有拓扑等价性,是一个完全新的类Lorenz 系统.由于严格证明拓扑等价性是十分困难和繁琐的,故在此略去.1.1 几条最基本的性质(1)对称性和不变性首先,注意到系统(1)在变换S:(x,y ,z ) (-x ,-y,z)下对于所有的参数a,b ,c 具有不变性,则此变换表明系统关于z 轴是对称的,即若 是系统的解,则在此意义下,S 也是系统的解.显然,z 轴本身也是系统的一条解轨线,也就是说,若t =0时有x =0,y =0,则对于所有的t >0,仍然有x =0,y =0.更进一步说,对于t 0,z 轴上所有的解轨线都趋向于原点.第4期李险峰等:一个新类L orenz混沌系统的动力学分析及电路仿真(2)耗散性和吸引子的存在性可以验证,系统(1)在a>0,b<0,c>0时是关于原点是全局,一致渐近稳定的.可以构造如下的正定的Lyapunov函数V(x,y,z)=-bx2+y2+az2(2)容易验证V (x,y,z)=-2b xx+2yy+2azz=-2bx(a(y-x))+2y(ax(b-z))+2az(xy-cz)=2a(bx2-cz2)<0(3)同时,考虑系统(1)的向量场散度(4),也就是系统的Jacob i n矩阵(5)的迹(6)V=1V d Vd t=div V=xx+yy+zz(4)J=-a a0a(b-z)0-axy x-c(5)Tr(J)=-(a+c)(6)又由于所有Lyapunov特征指数之和反映相空间体积元随时间演化的变化率,根据L i o uv ille定理,变化率反映为系统的Jacobin矩阵的迹,则有V=1V d Vd t=div V=xx+yy+zz=Tr(J)=-(a+c)= 3i=1i= LE s(7) V(t)=V(0)e-(a+c)t(8)其中, i(i=1,2,3)为矩阵(5)的特征根,LES为系统的3个Lyapunov特征指数.所以只要a+c>0,则系统(1)始终是耗散的,并以指数形式收敛.即d Vd t=e-(a+c)(9)也就是说,一个初始体积为V(0)的体积元在时间t 时收缩为体积元V(0)e-(a+c)t.这就意味着,当t 时,包含系统轨线的每一个体积元都以指数的速率-(a+c)收缩到0.因此,系统的所有轨线最终都会被限制在一个体积为0的点集合上,并且他的渐近动力学行为会被固定在一个吸引子上,这就说明了吸引子的存在性.并且当且仅当a+c=0,系统(1)是保守的,由L i o uv ill e定理可知,保守系统在运动过程中其相体积保持不变[15].当参数a=5,=4,c=2时,系统是耗散的,-(a+c)=-7<有一个混沌吸引子,如图1和图2所示,该混沌吸引子的三个Lyapunov指数分别为LE s=(0.6263,0,-7.6263),和 LE s=-7=-(a+c),由K aplan-Yorke猜想公式可求得Lyapunov维数D KY=2.0821.图1 3维相空间中的一个典型混沌吸引子F i g.1 Ph ase traj ectory of a typ ical chaotic attractor i n3-D space图2 图1中的混沌吸引子在不同平面上的投影F i g.2 Vari ous p rojecti ons of the chaotic attractor s ho w n i n F i g.11.2 平衡点稳定性分析如果bc>0系统的三个平衡点为O(0,0,0), P+(bc,bc,b),P-(-bc,bc,b),如果bc< 0,系统只有一个平衡点O(0,0,0).对于bc=0,有唯一的平衡点,形式为(0,0,b),b R.这里只考虑bc>0的条件下的三个平衡点为O,P+,P-的稳定性的情况,其中不动点P+和P-对称的落在z轴的两侧.命题1 如果a 0,b>0,则平衡点O都是不稳定的.证明:根据系统(1)的Jacobin矩阵(5),可得系统(1)在平衡点O处的线性化后的Jacob i n矩阵(10)和特征多项式(11)分别为325动 力 学 与 控 制 学 报2007年第5卷3+(a+c) 2+(ac-a2b) -a2bc=0( +c)( 2+a -ba2)=0(11)三个特征值分别为1=-c, 2,3=-a2 ba2+a24所以对于a>0有 2=a2(-1+4b+1)>0,a<0有 3=a2(-1-4b+1)>0,得证.下面来讨论平衡点P+和P-的稳定性.由于系统(1)在变换S:(x,y,z) (-x,-y,z)下对于所有的参数a,b,c具有不变性,系统关于z轴对称,而且平衡点P+和P-也关于z轴对称,所以二者的性质完全相同,只需分析其中之一即可.考虑线性变换T:(x,y,z) (X,Y,Z)T:x=X+bcy=Y+bcz=Z+b(12)于是系统(1)就化为x=a(Y-X)y=-a(X+bc)Zz=(X+bc)(Y+bc)-c(Z+b)(13)经过坐标平移变化以后,原系统(1)的不动点P+在线性变换T的作用下新的系统(13)的坐标原点O (0,0,0).下面讨论新的平衡点O (0,0,0)的稳定性.系统(13)在平衡点O 处的线性化后的Jacob i n 矩阵(14)和特征多项式(15)分别为J o =-a a0-az0-a bc Y+bcX+bc-c(0,0,0)=-a a000-a bcbc bc-c(14)3+(a+c) 2+(ac+abc) +2a2bc>0(15)由Rout h-H ur w itz判据,当且仅当满足下列条件时a+c>0(a+c)(ac+abc)-2a2bc>0(16)特征方程(15)的根都有负实部.所以当且仅当条件(16)满足时,系统(1)的平衡点P+和P-才是渐近稳定的.并且还可以推证特征根方程(15)有一对纯虚根,另一个根具有负实部当且仅当以下条件成立a+c>0ac(b+1)>0a+c+bc=ab(17)并且其中的一个实特征根 1=-(a+c),一对纯虚根 2,3= i ac(b+1).于是可以得到下面的结论命题2 如果条件(17)满足时,系统(1)有一个负实根 1=-(a+c)和一对共轭的纯虚根 2,3= i2a2ca-c,并且R e(c(c)) 0,所以此时平衡点P+失稳,发生H op f分岔.证明:令 =(X,Y,Z)T,则有=xyz=a(Y-X)-a(X+bc)Z(X+bc)(Y+bc)-c(Z+b)=f( ,a,b,c)(18)容易验证对于 a,b,c R,有f(0,a,b,c)=0恒成立.并且由条件(17)可知,b 1,且参数a,b与c之间的相互关系为a=c(b+1)b-1,c=a(b-1)b+1,b=a+ca-c(19)于是从特征方程(15),可以得到c=-2+a(b+1) +2a2b3 2+2(a+c) +ac(b+1)(20)c=-2+a(b+1) +2a2b3 2+2(a+c) +ac(b+1)c=a(b-1)b+1=-(b+1)2+a(b+1)2 +2a2b(b+1)3(b+1) 2+4ab +a2(b2-1)(21)将 2,3= i ac(b+1)代入(21)中有R e( c(c))=-b3+b2-b-12b3+10b2-2b-2=-(b2-1)(b+1)2b3+10b2-2b-2I m( c(c))=b-1(b4-2b2+1)2b+8b-12b+2=b-1(b+1)2(b-1)22b+8b-12b+2于是可以得出,系统(13)在平衡点O (0,0,0)处发生了H op f分岔,所以系统(1)在平衡点P+b)处发生了H opf分岔,并且经过一系326第4期李险峰等:一个新类L orenz 混沌系统的动力学分析及电路仿真列复杂的推导之后,可得H opf 分岔是亚临界的.2 数值仿真与电路实现2.1 分岔图、Lyapunov 指数谱、Lyapunov 维数、Po incar 截面图下面考虑系统(1)在特定参数下的动力学行为仿真情形1 考虑固定参数b =4,c =2,改变控制参数a 在区间[0,60]内连续变化.图3为系统(1)关于z 轴的分岔图以及所对应的Lyapunov 指数谱.图3 控制参数a 变化时的关于z 轴的分岔图及Lyapunov 指数谱F i g .3 B if u rcati on d i agra m and Lyapunov-exponent spectrum f or specifi c val ues set(b =4,c =2)versus t h e con trol para m eter a情形2 固定参数b =4,a =5,c 作为分岔参数,c [0.1,0.6]系统关于轴的分岔图以及所对应的Lyapunov 指数谱如图4所示.沿着控制参数增大的方向,系统由倍周期分岔通向混沌,混沌区域内含有数个较窄的周期窗口,并且每一个周期窗口又都是经由倍周期分岔走向混沌.并且通过K a -plan-Yorke 猜想计算系统的吸引子的Lyapunov 维数可知,系统(1)在这组参数下,随着控制参数的变化,分数维数数值都很小,D KY <2.1,如图4(c)所示.图4(d )为c =0.3时,在x -y (z =0)平面上的Po incar 映像,其中吸引子的叶片清晰可见,并且吸引子的叶片被折叠,这就导致了系统复杂的动力学行为.图4 系统(1)在控制参数c 变化时的动力学仿真F i g .4 Dyna m ics s i m u lati on s f orspeci fi c val ues s et(a=5,b=4)versus the con trol para m eter a情形3 考虑固定参数a =5,c =2,改变参数b ,b [1,20],系统关于z 轴的分岔图以及所对应的Lyapunov 指数谱如图5所示.随着分岔控制参图5 控制参数b 变化的关于z 轴的分岔图及Lyapunov 指数谱F i g .5 B if u rcati on d i agra m and Lyapunov-exponen t spectrum for s p ecific values set(a=5,b =2)vers u s the control para m et er a数b 的逐渐增大,系统由不动点突然直接进入一个较长的含有数个周期窗口的混沌区域,在每一个区域长短不等的周期窗口内都内嵌着倍周期分岔序327动 力 学 与 控 制 学 报2007年第5卷列,并且都是从周期到混沌的阵发过渡.最后,系统历经了一段较长的逆倍周期分岔,并且由Kap lan-Y or ke 猜想公式确定的系统吸引子的分数维数也很低,以上这两个特征与Lorenz 系统特别类似.2.2 电路实现下面设计一个电路来实现这个新的混沌系统的吸引子.这里设计的电路由三个部分组成,可实现系统(1)在确定参数下的吸引子,如图6所示.这三部分将三个状态标量连接成一个整体.运动放大器,模拟乘法器,线性电阻和电容器等来执行加、减、乘运算,为了明晰起见,各个电子元件参数标示在图上.图7为采用E W B 软件平台对电路进行仿真实验的结果.比较图2,图7,不难发现数值仿真与电路试验观测得到的不同平面上的相图是基本一致的.图6 基于EW B 软件平台的电路图F i g .6 C ircu it d i agra m f or realizi ngthe c h aotic attractor of syste m bas ed on E W B s oft ware图7 实际电路仿真实验图F i g .7 Experm i ental obs ervati ons of the c haoti c at tract or i n different p l anes3 结论本文构造并研究了一类新的类Lorenz 系统.较为细致地研究了该系统的一些非线性动力学行为,其中包括一些基本的动力学特征、分岔、周期窗口和通向混沌道路等,并对该系统的一个混沌吸引子设计了实际电路来仿真验证.但是需要指出的是该混沌系统仍然有许多复杂的动力学行为没有被揭示出来,因此该系统值得更进一步的研究.参 考 文 献1 刘延柱,陈立群.非线性振动.北京:高等教育出版社,2001(L i u Y anzhu ,Chen L i qun .N on linear v i bration .Be-i ji ng :H i gher Educati on P ress ,2001(i n Chi nese))2L orenz E N.D ete r m inistic nonper i od i c flow .J.A t m os .Sci .,1963,20:130~1413 R ossler ,O E .A n equation fo r con tinuous chaos .P hys ics Let -ter A,1976,57:397~3984 Chen G R,U e ta T.Y et anothe r chao ti c a ttractor .Interna -tional Journal of B i furcation and Chao s ,1999,9:1465~14665 C eli kovsk y S ,Chen G R.On a genera li zed Lo renz canon ica lf o r m of chao ti c sy stem s v i a a nonli near obse rved approach .Interna tional Journal of B i furcation and Chaos,2002,8:1789~18126 L J H,Chen G R.A new chaotic a ttractor co ined .Interna -tional Journal of B ifurcati on and Chaos ,2002,3:659~6617 L JH,Chen G R,Cheng D Z et a.l Br i dge t he gap be -t w een the Lo renz sy stem and t he Chen system .Interna tional Journal of B i furcation and Chaos,2002,12:2917~29268 L i u C X,L i u T,L i u L.A new chaotic a ttractor .Chaos ,Solitons and F ractals ,2004,5:1031~10389 Q iG Y,Chen G R,Du S Z,Chen Z Q,Yuan Z Z .A na l y si sof a new chaotic syste m.P hy sica A,2005,352(2-4):295~30810 Q i G Y,Chen G R.Ana l ys i s and c ircu it i m ple m entati onof a ne w 4D chaotic syste m.Phys ics L etters A,2006,352:386~39711 王琳,倪樵,黄玉盈.Q i 四维系统的暂态混沌现象.动力学与控制学报,2007,5(1):18~22(W ang L i n ,N iQ i ao ,H uang Y uy i ng .Chao ti c transients i n Q i s 4D syste m.Journal of D yna m ics and C ontro l ,2007,5(1):18~22(i n Ch i nese))12 陈关荣,吕金虎.Lo renz 系统族的动力学分析、控制与同步.北京:科学出版社,2003(Chen G R,L J H.Dy -nam ics o f the L orenz sy stem fa m ily :ana lysis ,control and synchron izati on .Be iji ng :Sc ience P ress ,2003(i n Chinese))13 王琳,倪樵,刘攀,黄玉盈.一种新的类Lo renz 系统的混沌行为与形成机制.动力学与控制学报,2005,3(4):1~6(W ang L i n ,N i Q i ao ,L i u pan ,H uang Y uy i ng .Chaos and its for m i ng m echan i s m of a ne w Lo renz-like syste m.328第4期李险峰等:一个新类L orenz 混沌系统的动力学分析及电路仿真Journal of Dy na m ics and Contro l ,2005,3(4):1~6(i n Ch i nese))14 严艳,张隆阁.L orenz 系统的分数阶控制算法.动力学与控制学报,2006,4(2):132~135(Y an Y an ,Zhang L ongge .F racti onal contro l a l gor ith m o fL orenz system.Jour -nal of D yna m ics and Control ,2006,4(2):132~135(i n Ch i nese))15 刘秉正,彭解华.非线性动力学.北京:高等教育出版社,2004(L i u B i ngzheng ,Peng Ji ehua .N on li nea r D ynam -i cs .Beiji ng :H i gher Educati on P ress ,2001(i n Chi nese))Received 23M arch 2007,revis ed 13M ay 2007.*Th is research i s s upported by t he Nature S cience Founderati on of Gansu Provi nce (3ZS -042-B25-049)and S ci en tifi c Research Foundati ons of L anz hou Jiaotong Un i versity (DXS -2006-74and DXS-2006-75)DYNA M ICS ANALYSIS AND CIRCU IT EXPER IM ENT SIMULAT I ONFOR A NE W LORENZ-LIKE CHAOTIC S YSTE M*LiX ianfeng 1Zhang Jiangang 2Chu Yandong 1Chang Y i n gx iang2(1.N onlinear S cience R esearc h C enter,Lanzhou J iao tong Universit y,Lanzhou 730070,China)(2.Schoo l of M athe m atics ,Phy sics and Soft ware Eng ineering,Lanzhou J iao t ong University,Lanzhou 730070,Ch i na)Abst ract A ne w Lorenz -like chaotic syste m w as presented.The non li n ear characteristic and basic dyna m ic pr op -erties o f th is t h ree -d i m ensional autono m ous syste m w ere stud i e d by m eans o f nonli n ear dyna m ics theory ,nu m er-i ca l si m u lation ,Lyapunov -exponent spectr um,Lyapunov d i m ensi o n ,b ifurcati o n diagra m and Poincar secti o n m ap .The osc illator circuit of the ne w chaoti c syste m w as designed by usi n g E W B so ft w are ,and a typical chaotic attrac-t or w as de m onstrated by circu it experi m en.tK ey w ords ne w Lorenz -like syste m , Lyapunov exponen,t fracta l d i m ensi o n, Po incar secti o n m ap ,circuit si m u lation329。
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测试测量技术
基于 Lorenz 系统的忆阻混沌系统分析
The Analysis of The Memristor Chaotic System Based on the Lorenz System
张琳琳,张烁（山东科技大学 电气与自动化工程学院,山东 青岛 266590）
Zhang Lin-lin,Zhang Shuo(College of Electrical Engineering and Automation, Shandong University of Science and Technology,Shandong Qingdao 266590）
摘 要：首先该文是基于具有真实物理模型的 HP 忆阻器，在 Lorenz 系统的基础上进行改进，产生了新的
system is based on the HP memrisor which has the real physical model and the improved Lorenz chaos
system.The results using MATLAB show complex dynamic phenomenon of the system through the detailed
分别表示忆阻的极限值，M(0)表示初始值，W (t)是随时间
而变化的 TiO2-X 厚度，而 D 是薄膜的厚度，RON 是 W (t)=0 时的值，ROFF 是 W(t)=D 时的值，uv 表示氧空缺的平均移 动量。
2 基于 Lorenz 系统的混沌系统
广义 Lorenz 混沌系统为[4]：
0 0 0 杉山
忆阻混沌系统，它有一个正的 Lyapunov 指数。通过对用 MATLAB 语言编程实现的系统 的相 轨图 ，
Lyapunov 指数谱，时域波形图，分岔图，poincare 映射的详细分析，可以看到系统复杂的动力学现象，最后
通过 Simulink 仿真验证了该系统的混沌特性。
关键词：忆阻器；混沌系统；动力学分析；MATLAB；Simulink
HP 忆阻器的数学模型有荷控和磁控两种模型[3]，其 中磁通控制的忆阻器可表示为：
作者简介：张琳琳(1991-)，女，硕士，研究方向为控制理论及应用； 张烁(1990-)，男，硕士，硕士，研究方向为监控技术与系统集成。
1
电子质量 （2016 第 08 期）
R扇设
设 OFF
渍(t)<c5
设
M(t)=
设
缮设 设姨2k
渍(t)+M2(0)
设
c5臆渍(t)<c6
(1)
设
R设
墒设 ON
渍(t)≥c6
其中，渍(t)表示的是磁通的值，c3，c4，c5，c6 和 k 的表
达式为：
c
3=-
[R
OFF-M(0)]2 2k
c
4=-
[RON-M(0)]2 2k
c5=
R2OFF-M2(0) 2k
c
6=
R
2ON-M2(0) 2k
1 忆阻的物理器件模型
图 1 HP 忆阻器的原理图
HP 忆阻器[2]是由两层二氧化钛薄膜夹在两个铂(Pt) 电极之间组成的，其中一层二氧化钛薄膜中含有氧空缺， 称为掺杂层(TiO2)，其阻值较小，另外一层是纯的二氧化 钛薄膜，称为非掺杂层(TiO2-X)，其阻值较大。当有电源作 用于忆阻器的两段时，其两层间的分界面就会移动，从而 改变其有效阻值。HP 忆阻器的原理图如图 1 所示。
analysis,including phase space analysis,Lyapunov exponent spectrum,time domain waveform,bifurcation a-
nalysis and poincare section analysis.Then the chaotic characteristics of the system are verified by the Sim-
ulink simulation.
Key words: memristor;chaotic system;dynamics analysis;MATLAB;Simulink
CLC number: TM132
Document code: A
Article ID：1003-0107(2016)08-0001-05
0 引言
1971 年，蔡少棠从理论上证实了除了电阻、电容、电 感之外，还存在第四个基本电路元件，它就是忆阻器[1]。 2008 年，惠普(HP)实验室证实了蔡少棠的推测，证实了 忆阻器的存在，成功研制了第一个可物理实现的忆阻 器[2]。忆阻器具有其他三种电路元件任意组合不可能实 现的复制的特性，它是一种有记忆功能的无源二端基本 电路元件，忆阻的记忆特性对存储器、混沌电路、生物工 程学、神经网络、通信工程等产生了极其深远的影响。
(2)
k=
(R on-R OFF)uvR ON D2
电荷和磁通的关系为：
扇设 设
渍(t)-c
3
R 设
设 设
OFF
渍(t)<c5
设
q
(t)=
设 设 设 缮设 设 设
Байду номын сангаас
姨2k
渍(t)+M2(0) k
-M(0)
c 5臆渍(t)<c 6
(3)
设
设 设 设
渍(t)-c
4
R 设
墒设
ON
渍(t)≥c 6
式中，q (t)表示电荷的值，M(t)表示忆阻值，RON、ROFF
煽衫
山
衫
山
衫
X觶 =A X+(1
0
0)X
山 山 山
0
0
-1
衫
X衫
衫
(4)
山
衫
0 1 山
本文中用具有现实存在的物理模型的忆阻器模型 建立的混沌系统，系统产生了拓扑结构较为复杂的混沌 吸引子。采用四阶龙格 - 库塔(ODE45)算法进行常微分 方程的数值求解，可以画出该系统的相轨图和时域波 形，然后根据通过 Lyapunov 指数图和 Poincare 映射对系 统动力学特性进一步分析，并且通过 Simulink 仿真进行 验证系统的混沌特性。
中图分类号：TM132
文献标识码：A
文章编号：1003-0107(2016)08-0001-05
Abstract: This paper presents a new memristor chaotic system which has one positive Lyapunov index.The