交大数值分析 题库 课后题目 大全 期末

1.填空

1) 设P k (x k ,y k ) , k =1,2,…,5 为函数y =x 2-3x +1上的5个互异的点，过P 1,…,P 5且次数不超过4次的插值多项式是 x 2-3x +1 。

函数3320,10(),01(1),12x f x x x x x x -≤<⎧⎪=≤<⎨⎪+-≤≤⎩

与函数3321,10()221,01x x x g x x x x ⎧++-≤<=⎨++≤≤⎩中,

，

另一函数不是三次样条函数的理由是二阶导不连续 。

2) 设若1031A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则矩阵A 的1-范数1=A 4 ，cond 1(A)= 16 。 3) 方程组Ax b 用超松驰法求解时，迭代矩阵为]U D )1[()L D (B 1ω+ω-ω-=-ω,要使迭代法收敛，条件0<ω<2是 必

要条件 (充分条件、必要条件、充要条件)；如果A 是正定矩阵，用超松驰法求解，方法收敛当且仅当ω在区间 (0,2) 时。 4) 函数f(x)=|x| 在[-1,1]的，次数不超过一次的最佳平方逼近多项式是12

。 5) 要使20的近似值的相对误差限≤0.1%, 应至少取___4___位有效数字,此时的绝对误差限为 31102

2.设0,00>>x a ，证明迭代公式

)3/()3(221a x a x x x k k k k ++=+ 是计算a 的三阶方法。

证明 显然，当0,00>>x a 时，),2,1(0 =>k x k 。令)3/()3()(22a x a x x x ++=ϕ，则

2

22

222222)3()()3(6)3()3/()33()(a x a x a x x a x x a x a x x +-=+⋅+-++='ϕ 故对1)(,0<'>∀x x ϕ，即迭代收敛，设{}k x 的极限为l ，则有

)3/()3(22a l a l l l ++=

解得

a l l ±==,0，由题知取a l =。即迭代序列收敛于a 。 []()=-++-=--∞→+∞→32331

)3/()3(lim )(lim k k k k k k k k x a a x ax x a x a x a

=+--∞→)3()()(lim 2

33

a x x a x a k k k k

04131lim 2≠=+∞→a a x k

k 故题中迭代式确是求a 的三阶方法。

3.讨论用Jacobi 法和Gauss-Seidel 方法解方程组Ax=b 时的收敛性，如果收敛，并比较哪种方法收敛较快，其中

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=212120203A 解答 （1）对Jacobi 方法，迭代矩阵

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=021

121003200B 11211

)(<=B ρ，方法收敛。

（2）对Guass-Seidel 方法，迭代矩阵

=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-0210320002110001111B ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-12110021003200 112

11)(<=B ρ故方法收敛。 因为12

111211<，故Gauss-Seidel 方法较Jacobi 方法收敛快。

5.试用Simpson 公式计算积分

dx e x ⎰

21/1 的近似值, 并判断此值比准确值大还是小,并说明理由。

解 ()4()()62b a b a S f a f f b -+⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦

= 2.026323 截断误差 21/(4)11(),(1,2)2880

x e dx S f ηη-=-∈⎰ 而1

32(4)8

2436121()x x x x f x e x +++= 因此21/1x S e dx >⎰

6.欧拉预报--校正公式求解初值问题

(0)0 y y x

y

'+-=⎧

⎨

=

⎩

取步长h=0.1,计算y(0.1),y(0.2)的近似值,小数点后保留5位.

y(0.1)

1

y =0.005000

y(0.2)

2

y=0.019025