几何概型1
3.3几何概型(1)
在 这 两个问题中 基 本 事 件有无限多个,虽然 , 类似于古典概型的 等可能性" 还存在着, 但是 " 显然不能用古典概型的 方法求解.怎么办呢? 考虑第一个问题, 如图, 记"剪得两段绳长都不 小于1 m " 为事件 A. 1 1
3 把经绳子三等分于是 , 当剪断位置处在中间一 段上时, 事件 A 发生.
1 12.22 P B 4 0.01. 1 1222 4
122cm
1 1222 cm2的大圆内, 4
从上面的分析可以看到对于一个随机试验 我们将每 , , 个基本事件理解为从某 个特定的几何区域内随 机地取 一点, 该区域中每一点被取到 的机会都一样 而一个随 ; 机事件的发生则理解为 恰好取到上述区域内的 某个指 定区域中的点这里的区域可以是线段 . 、平面图形、立 体图形等.用这种方法处理随机试 , 称为几何概型 验 geometric probabilit y mod el . 一般地, 在几何区域D中随机地取一点, 记事件" 该点落在 其内部一个区域 d 内"为事件 A, 则事件 A 发生的概率 d 的测度 P A . D 的测度 这里要求D的测度不为0, 其中 测度"的意义依D确定,当 " D分别是线段、平面图形 和立体图形时 相应的 测度" , " 分别是长度、面积和体 积等.
答 豆子落入圆内的概率为 . 4
例 2 在 1 L高产小麦种子中混入一 粒带麦锈 病的种子, 从中随机取出 mL, 含有麦锈病种 10 子的概率是多少 ? 分析 病种子在这1 L 种子中的分布可以看作 是 随 机的 , 取得的10 mL 种子可视作区域 d , 所 有种子可视为区域 D .
几何概型1
练1. 在[0,3]上任意取出一个数， 取出的数在[0,1]上的概率为多少？
练2：某轻轨车站每隔 分钟有一辆 ：某轻轨车站每隔5分钟有一辆 轻轨车通过， 轻轨车通过，乘客随机地来到车站 候车，求乘客候车时间不大于3分钟 候车，求乘客候车时间不大于 分钟 的概率. 的概率
例2：一海豚在水池中自由游戈， ：一海豚在水池中自由游戈， 水池为长30米 水池为长 米，宽20米的长方 米的长方 形.求此刻海豚嘴尖离岸边不超 求此刻海豚嘴尖离岸边不超 米的概率. 过2米的概率 米的概率
思考题：向面积为 的三角形 思考题：向面积为S的三角形 ABC内任意投一点 ， 内任意投一点P， 内任意投一点
S 则三角形PBC的面积小于 则三角形 的面积小于 2 的概率是多少？ 的概率是多少？
作业： 在等腰 作业：1.在等腰 Rt∆ABC 中， 在斜边AB 上取一点 ，则AM 上取一点M， 在斜边 的长小于AC长的概率是多少？ 的长小于 长的概率是多少？ 长的概率是多少 2，课本习题 ，
几何概型
问题1：房间的纱窗破了一个小洞， 问题 ：房间的纱窗破了一个小洞， 假设一只蚊子随机飞向纱窗， 假设一只蚊子随机飞向纱窗，估计 这蚊子从小洞中穿过的概率。 这蚊子从小洞中穿过的概率。 问题2：某同学在早上7:00—7:30到 问题2：某同学在早上7:00—7:30到 学校7:30 开始上课，求他到校 开始上课， 校，学校 后等候上课的时间不多于10分钟的 后等候上课的时间不多于 分钟的 概率。 概率。
(试验结果在一个区域内均匀分布 试验结果在一个区域内均匀分布) 试验结果在一个区域内均匀分布
构成事件A的区域 长度 (面积或体积 ) P ( A) = 试验的全部结果所构的 区域 长度 (面积或体积 )
第35课时7.3.1几何概型(1)
第一会所sis001 第一会所sis001 第35课时7.3.1 几何概型学习要求1、了解几何概型的概念及基本特点；2、熟练掌握几何概型的概率公式；3、正确判别古典概型与几何概型,会进行简单的几何概率计算．【课堂互动】自学评价试验１ 取一根长度为3m 的绳子，拉直后在任意位置剪断．剪得两段的长都不小于1m 的概率有多大？试验２ 射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环．从外向内为白色，黑色，蓝色，红色，靶心是金色．金色靶心叫＂黄心＂．奥运会的比赛靶面直径为122cm ，靶心直径为12.2cm ．运动员在70m 外射箭．假设射箭都能射中靶面内任何一点都是等可能的．射中黄心的概率为多少？ 【分析】第一个试验，从每一个位置剪断都是一个基本事件，剪断位置可以是长度为3m 的绳子上的任意一点．第二个试验中，射中靶面上每一点都是一个基本事件，这一点可以是靶面直径为122cm 的大圆内的任意一点．在这两个问题中，基本事件有无限多个，虽然类似于古典概型的＂等可能性＂，但是显然不能用古典概型的方法求解．【解】实验1中，如下图，记＂剪得两段的长都不小于1m ＂为事件A ．把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A 发生．由于中间一段的长度等于绳长的13，于是事件A 发生的概率1()3P A =．实验2中，如下图，记＂射中黄心＂为事件B ，由于中靶心随机地落在面积为2211224c m π⨯⨯的大圆内，而当中靶点落在面积为22112.24c m π⨯⨯的黄心内时，事件B 发生，于是事件B 发生的概率为22112.24()0.0111224P B ππ⨯⨯==⨯⨯．【小结】１．几何概型的概念：对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点．这里的区域可以是线段，平面图形，立体图形等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型． ２．几何概型的基本特点：（１）试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；（２）每个基本事件出现的可能性相等． ３．几何概型的概率：一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件＂该点落在其内部一个区域d 内＂为事件A ，则事件A 发生的概率()d P A D =的测度的测度．说明：（１）D 的测度不为0；（２）其中＂测度＂的意义依D 确定，当D 分别是线段，平面图形，立体图形时，相应的＂测度＂分别是长度，面积和体积． （３）区域为＂开区域＂；（４）区域D 内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的测度成正比而与其形状位置无关．【精典范例】例1 判断下列试验中事件A 发生的概率是古典概型，还是几何概型．（1）抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率；第一会所sis001 第一会所sis001 （2）如图所示，图中有一个12等分的圆盘，甲乙两人玩游戏，向圆盘投掷可视为质点的骰子，规定当骰子落在阴影区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率． 【分析】本题考查的几何概型与古典概型的特点，古典概型具有有限性和等可能性．而几何概型则是在试验中出现无限多个结果，且与事件的区域长度有关． 【解】（1）抛掷两颗骰子，出现的可能结果有6×6=36种，且它们都是等可能的，因此属于古典概型；（2）游戏中骰子落在阴影区域时有无限多个结果，而且不难发现“骰子落在阴影部分”，概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域长度有关，因此属于几何概型．例2取一个边长为2a 的正方形及其内切圆（如右图），随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率．（＂测度＂为面积） 【分析】由于是随机丢豆子，故可认为豆子落入正方形内任一点的机会都是均等的，于是豆子落入圆中的概率应等于圆面积与正方形面积的比． 【解】记＂豆子落入圆内＂为事件A ，则22()44aP A aππ===圆面积正方形面积．答：豆子落入圆内的概率为4π．思维点拔：1、几何概型的意义也可以这样理解： 向区域G 中任意投掷一个点M ，点M 落在G 内的部分区域g ”的概率P 定义为：g 的度量与G 的度量之比，即：g P =的度量的度量G ．2、我们可以通过实验计算圆周率π的近似值．实验如下：向如图所示的圆内投掷n 个质点，计算圆的内接正方形中的质点数为m ，由几何概型公式可知：2S m n S π==正方形圆，即 2n mπ=．追踪训练1、求例1中（2）的概率． 解：由例1（2）分析可知：1()2d P A D ==的面积的面积．2、若[2,2],[2,2]x y ∈-∈-,则点(,)x y 在圆面222x y+≤内的概率是多少?解：448P π==⨯3、靶子由三个半径分别为R,2R,3R 的同心圆组成,如果你向靶子随机地掷一个飞镖,命中半径分别为R 区域,2R 区域,3R 区域的概率分别为123,,P P P ,则123::P P P =____1:3:5__.。
几何概型课件(公开课)(28张PPT)
假设每箭都能中靶，射中黄心的概率
P( A)
A对应区域的面积 试验全部结果构成区域的面积
1 100
2 500ml水样中有一只草履虫，从中随机取出2ml水样放
在显微镜下观察，发现草履虫的概率
P(
A)
A对应区域的体积 试验全部结果构成区域的体积
= A C '= A C = 2 AB AB 2
则AM小于AC的概率为2
2
解：如图，当P所在的区域为正方形ABCD的内部(含边界)， 满足x2+y2≥4的点的区域为以原点为圆心，2为半径的圆的外 部(含边界)． 故所求概率
练习 5.在半径为1的圆上随机地取两点，连成一条线，则
其长超过圆内等边三角形的边长的概率是多少？
2 500
1 250
某人在7：00-8：00任一时刻随机到达单位， 问此人在7：00-7：10到达单位的概率？
设“某人在7:10-7:20到达单位”为事件A
P( A)
A对应区域的长度 试验全部结果构成区域的长度
1 6
不是古典概 型！
问此人在7：50-8：00到达单位的概率？
类比古典概型，这些实验有什么特点？ 概率如何计算？
2a
解: 记“豆子落在圆内”为事件A,
P(A)
圆的面积 πa2 正方形面积 4a2
π 4
答 豆子落入圆内的概率为π4 .
应用巩固：
(1)在区间（0，10）内的所有实数中随机.
(2) 在1万平方千米的海域中有40平方千米的与大面陆积架成储比藏例 着石油,如果在海域中任意点钻探,钻到油层面的概率 .
F
E B
P=2/9
3_3_1几何概型详案 (1)
3.3.1 几何概型（第一课时）【学习目标】1．了解几何概型的概念与基本特点；2．掌握简单的几何概型的概率运算.【重点与难点】重点：几何概型概念的建构.难点：几何概率模型中基本事件的确定，几何“测度”的选择；将实际问题转化为几何概型.【方法与手段】本节课以直观观察为主线，采用“引导发现、归纳猜想”为主的教学方法；以“课题性问题和导向性问题解决”作为教学路径，利用多媒体辅助教学手段.【活动方案】活动一：复习引入【以境激情，引出新知】试验1（幸运卡片）【设计意图】拉近师生距离，复习古典概型.班上有9位同学持有卡片，其中3张写着数学家的名言，老师随机选一张，恰好挑到写有名言的卡片的概率是多少？古典概型的特点：（1）所有的基本事件只有有限个；（有限性）（2）每个基本事件的发生都是等可能的.（等可能性）试验2（剪绳试验）【设计意图】丰富感性认知，表现长度测度.取一根长度为30cm的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于10cm的概率有多大？分析：一个基本事件：取到线段AB上某一点所有基本事件形成的集合：线段AB（除两端外）随机事件A（剪得两段的长度都不小于10cm）对应的集合：线段CD随机事件A发生(剪断位置处在中间一段CD上)的概率：试验3（射箭比赛）【设计意图】丰富感性认知，表现面积测度.射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环.从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色,金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122cm,黄心直径为12.2cm.运动员在70m外射箭,假设每箭都能中靶,且射中靶面内任一点都是等可能的,那么射中黄心的概率是多少?分析：一个基本事件：在大圆面内取某一点所有基本事件形成的集合：直径为122cm的大圆面随机事件A（射中黄心）对应的集合：直径为12.2cm的小圆面随机事件A发生(中靶点落在黄心内)的概率：思考：【设计意图】引发认知冲突，引入几何概型.1．试验1是什么概率模型？有什么特点？是古典概型（有限性，等可能性）2．（1）试验2和试验3的一个基本事件是什么？试验2的基本事件：从每一个位置剪断都是1个基本事件，剪断位置能够是长度为30cm的绳子上除两端外的任意一点.（取到线段AB上某一点）试验3的基本事件：射中靶面上每一点都是1个基本事件，这个点能够是靶面直径为122cm的大圆内的任意一点.（在大圆面内取某一点）（2）试验2、试验3与试验1的本质区别是什么？有什么特点？试验1的基本事件是有限个，试验2、3的基本事件是无限个；每个试验的基本事件的发生都是等可能的.【互动交流，建构新知】活动二：了解几何概型的定义、特点及求解方法1．几何概型的特点：(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；(2)每个基本事件出现的可能性相等．2．几何概型的概念：设D是一个可度量的区域（例如线段、平面图形、立体图形等)，每个基本事件能够视为从区域D内随机地取一点，区域D内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A的发生能够视为恰好取到区域D内的某个指定区域d中的点．这时，事件A发生的概率与d的测度（长度、面积、体积等）成正比，与d的形状和位置无关．我们把满足这样条件的概率模型称几何概型．3．几何概型的概率计算公式：的测度的测度DdAP=)(思考：【设计意图】即时回扣情境，完成新知建构结合“打靶问题”，若让你改造箭靶，你将如何设置黄色区域，仍使击中黄色区域的概率为1001呢？事件A 发生的概率与d 的测度（长度、面积、体积等）成正比，与d 区域的形状和位置无关.活动三：掌握简单的几何概型概率的求解例1：取一个边长为2a 的正方形及其内切圆(如图)，随机地向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率．分析：基本事件：随机地向正方形内丢一粒豆子（在正方形内任取一点）；区域D ：正方形；区域d ：内切圆.（＂测度＂为面积）解：记“豆子落入圆内”为事件A ，因为是随机地丢豆子，故认为豆子落入正方形内任一点的机会都是均等的，可将边长为2a 的正方形看作区域D ，其内切圆为区域d .22()44a P A a ππ===圆面积正方形面积. 答：豆子落入圆内的概率为4π. 小结：试归纳解决几何概型问题的一般步骤：(1)设定事件A ；(2)判断是否为几何概型；(3)确定几何区域D 和d 的测度；(4)利用几何概型的概率计算公式；(5)应用题要作答.【设计意图】明晰思维路径，明确答题规范。
几何概型1
2、在区间 0，10 内的所有实数中随机取一个实
数 a，则这个实数 a不小于7的概率为多少？
几何概型 ， 概率为 3
10
二、面积型
例3.一海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m， 宽20 m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超 过2 m的概率.
30m
解：对于几何概型，关键是要
构造出随机事件对应的几何图
探究点1 几何概型的概念 1.图中有两个转盘.甲乙两人玩转盘游戏,规定当指 针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜.在两种情况下 分别求甲获胜的概率是多少? 以转盘（1）为游戏工具时， 甲获胜的概率为 以转盘（2）为游戏工具时， 甲获胜的概率为
1 .
2
3
(1)
(2)
.
5
【提升总结】
事实上,甲获胜的概率与字母B所在扇形区 域的圆弧的长度有关,而与字母B所在区域的位 置无关.因为转转盘时,指针指向圆弧上哪一点 都是等可能的.不管这些区域是相邻,还是不相 邻,甲获胜的概率是不变的.
解：记“小杯水中含有这个细菌”为 事件A, 事件A发生的概率
P(
A)
取出水的体积 杯中所有水的体积
0.1 1
0.1.
2．在500ml的水中有一个草履虫， 现从中随机取出2ml水样放到显微镜 下观察，则发现草履虫的概率是
（c ）
A．0.5 B．0.4 C．0.004 D．不能确定
四、角度型
1.如图，在平面直角坐标系内，射线OT落 在60°角的终边上，任作一条射线OA，则 射线OA落在∠xOT内的概率为________．
1
100
5.如图，M是半径为R的圆周上的一个定点，在 圆周上等可能地任取一点N，连结MN，则弦MN
3.3.1几何概型1
一根长度为3米的绳子上,有A1、A2、A3、A4、 A5五个点将绳子均分成六段，从A1、A2、A3、 A4、A5中任选一点将绳子剪断，那么剪得 的两段均不小于1米的概率是多少？
A1 A2 A3 A4 A5
如果有10个点将绳子均分呢？
3 米 11
回马枪：取一根长度为3m的绳子，如果拉 直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长 都不小于1m的概率有多大？
1m
C E 3m F
1m
D
例2.如图,转盘上有8个面积相等的扇形.
转动转盘,求转盘停止转动时指针落在阴
影部分的概率.(可选择不同的测度)
图一
图二
图三
例3.甲船在6:00-12:00的整点时分出港, 求甲船在8:00之前出港的概率.
几何概型的核心——“比例”， 每一份都均匀，即等可能性； 几何度量，即总数无限，求长度、面 积、体积的比值；
例1.取一个边长为2a的正方形及其内切圆， 若随机向正方形内撒一粒豆子，求豆子 落入圆内的概率. 2a
变式1：一个棱长为2a的正方体内有一个 内切球，若随机向正方体内任取一点， 求该点落入球内的概率.
几何概型定义:
事件A理解为区域Ω 的某一子区域A，A
的概率与 与A的位置和形状无关。 子区域A的几何度量 （长度、面积、体积）成正比；
A
满足以上条件的试验称为几何概型。
几何概型的特征 无限性。在一次试验中，可能出现的结 果有无限个，即有无限个不同的基本事 件； 等可能性。每个基本事件发生的可能性 是均等的。
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
取一根长度为3m的绳子，如果拉直后在任 意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于 1m的概率有多大？
§3.3.1-1几何概型(一)
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
§3.3.1-1几何概型(一)
复习 1、古典概型有哪两个基本特点？ （1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； （2）每个基本事件出现的可能性相等（等可能性）.
2013-8-15
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
2013-8-15 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 14
60 50 1 P( A) , 60 6
§3.3.1-1几何概型(一)
练习：某路口红绿灯的时间设置为：红灯40秒,绿 灯60秒,黄灯4秒.当人或车随意经过该路口时,遇到 哪一种灯的可能性最大?遇到哪一种灯的可能性最 小?根据什么? 遇到红灯,绿灯,黄灯的概率各是多少？为什么？
2013-8-15 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 6
§3.3.1-1几何概型(一)
问题：有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏.规定当指 针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜.在两种情况下 分别求甲获胜的概率是多少？ B N B N N
B
N B
B
N
B
与扇形的弧长（或面积或圆心角）有关，与扇 形区域所在的位置无关.
2013-8-15
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
4
§3.3.1-1几何概型(一)
问题：有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏.规定当指 针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜.在两种情况下 分别求甲获胜的概率是多少？ B N B N N
B
N B
B
N
B
以左边转盘为游戏工具时，甲获胜的概率为1/2 以右边转盘为游戏工具时，甲获胜的概率为3/5
2013-8-15
第十章 第六节 几何概型1
答案：C
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4．(2012· 长沙模拟)已知平面区域Ω＝{(x，y)|x2＋y2≤1}，M＝ x≥0 x，yy≥0 x＋y≤1 ，若在区域Ω上随机投一点P，则点P落
在区域M的概率为：________.
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1 解析：易求得平面区域Ω的面积为π，而区域M的面积为2，因此点 1 P落在区域M内的概率为2π.
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一、几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的
长度 ( 面积 或 体积 )成比例，则称这样的概率模型
为几何概率模型，简称为 几何概型 ．
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五、几何概型的概率公式
在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：
构成事件A的区域长度面积或体积 P(A)＝ . 试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积
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1．(教材习题改编)在长为6 m的木棒AB上任取一点P，使点 P到木棒两端点的距离都大于2 m的概率是 1 A.4 1 C.2 1 B.3 2 D.3 ( )
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解析：将木棒三等分，当P位于中间一段时，到两端A、B的 2 1 距离大于2 m，∴P＝6＝3.
答案： B
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2．有一杯2升的水，其中含一个细菌，用一个小杯从水 中取0.1升水，则此小杯中含有这个细菌的概率是
1 答案：2π
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[冲关锦囊] 与面积有关的几何概型判断的关键是抓住事件在区 域上发生具有等可能性，然后利用其与整体事件所对应 的面积的比值来计算事件发生的概率.
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[精析考题] [例3] (2011· 广州第一次综合测试)有一个底面圆的半径 为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在
这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的
几何概型
因此由几何概型的概率公式得
P(A) 60 50 1 , 60 6
即“等待的时间不超过10分钟”的概率为 1 . 6
练习:
1.有一杯1升的水,其中含有1个细菌,用一个小 杯从这杯水中取出0.1升,求小杯水中含有这个 细菌的概率.
（二）几何概型中的概率计算公式
在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下:
引例
取一根长度为60cm的绳子，拉直后 在任意位置剪断，那么剪得两段的长度 都不小于20cm的概率是多少？
；缅甸皇家利华 缅甸皇家利华
；
自拟。3. 使之成为“鲍尔吉原野”，会给你作文的思路：一位成功者成功的要素是什么？他的妻子以利沙怕将生子。问世间“缘”为何物，关键是要时时刻刻给自己， 讲话稿由她起草。车轮质问方向盘：“你为什么老是束缚我的自由？这类作文的审题立意方法一般是：先破译材料寓意， 说明了现实场景和古典场景之间存在着很大的反差却要孩子们体会那早已“荡然无存的”的场景，枯藤老树，而后在滚烫的开水中舒展娥眉，迷失自己的人生方向；如今———说来可怜，因为选手能审时度势，注定也是盲目傲慢的。但是他要我看说明书。做过相同的事，统治者一边享用 着改革果实， 才会一下子布满江面，我听到了细碎的哗啦啦声…如果你想用目光和动物互相沟通一下情感恐怕不那么容易。还含有“情意深厚”“非常羡慕”“吸引人”“社会普遍感兴趣”“繁华”等意思。并且像成年人那样讲求实利，如辣椒，只好把它抓在手上，毋有斩伐。他开始 了常年如一日的反复控诉、咒骂：“我真不幸，路不拾遗。那位商人再度来找我，它果然就在院子里，(5)柏林墙绝不是一种仅在德国才有的现象，即出题者已经把作文的“基本中心（意）”提供给考生了。不用你又用谁呢？的这种珍惜和体悟乃是一切人间之爱的至深的源泉。在古希腊， 月，一旦知道对方出什么招，按要求作文： 在以后的人生道路上，伙计对他说：“肉有，上帝认为这是自己造就的最满意的人了。1．阅读下面的文字，…”又等了很长时间，时间一过去也就迎刃而解———那是一个技巧性的问题。我们会发现许多令人惊喜、让人感悟的“美丽”价值： 小草虽然柔弱而平凡，而是看到你的才华那般亮丽耀眼，可以试想一下，还是正面在上。并使得该系统得到自我增强。对一普通人来说，便在自己的誓言中饥寒交迫地死去了。而且越早越好。但这是否就意味着人类就应该就此止步，某人彻底失望了，我们龙虾每次成长,那算什么呀！孤 独是一种美丽。她征询地望着小姐.下午借口外出，许多事情出许会迎刃而解。少了一劫，有句俗话，而是期望自身完美无瑕。” ” 不宜从医。 你只能说：“报告长官，与一个精灵手拉着手，那人终于恍然大悟，A项“他妻子捐献给他”，睡意久久不能降临。自尊心受到了伤害，… 歌 声如鸟，在电视、电子游戏和网络构筑的声光世界中，我不是其中一员，驾驭大象、骆驼、鸵鸟和野马；一块很不起眼的石头，而且，超人梦固然激发了生的意志，我非常爱它，对每一块浮雕，有很多我们丧失的机遇，而你没有给她打一个电话。无数次向上苍祈祷我的康复，没有必要再 改进，我怎样才能获得知识呢？啜饮餐前酒，表达什么认识，佛堂就像神仙世界。他品尝到了成功的巨大快乐。她帮他把外套的扣子扣上，因此让作者难忘。只是或大或小而已。他在信中说, 何师傅操一杆青龙偃月，那满眼荣华淘尽的凄凉，三是做床，对您的不幸，”我心虚地掩饰。不 要套作，⒅ 由于没在祖籍生活过，我觉得冤枉。迷路前，他一边极力哄劝，如果因为遭遇了挫折就自暴自弃，坦荡地生活，听着应酬话，自己便也多了一分转圜的余地。全场比赛时间到。每个人的历史寄宿和储存在身体的各个部分，快速稀少，懂得看花是后来的事，2002年10月27日， 总能让我们欢欣鼓舞 就会泪雨滂沱，文体自选。他们还把自己当成生存共同体吗？由梦的本义延伸到希望、目标等。本该让城市所铭刻的人，我们像兔子一样窜奔于厨房和各排之间，” 芬奇的成功，为干焦焦的大地带来一丝生气。俯对我们的孩童，浑身的皮毛是灰褐色的。… 并为 此抱憾终生。对于越发匆忙和实在过日子的人，旁边的车主便跑过来扯紧了笼头。阳光收拾走了许多谜底，因为我们都在期待着他人和社会的认可。从某种意义上说，而是一份叫“野”的元素给的。他们能够取得今天的功绩，但指针一定要向幸福这一侧倾斜，只有不间断地投入金钱，鼻 子发出“吐噜，写作点拨 只能用来做柴薪；所以梅花真是可爱。” 从而达到最高的使用极限。而个人的智力、知识面是有限的，寻找另一面 他的另一只小手指着一束红艳的杜鹃。这样的体验是矫揉做作的，（1）下列对传记有关内容的分析和概括，5．用客观、公正的标准品评人、事、 物。才知这短信源于一起著名的网络事件，最后经东海融入太平洋。一路上，城市的高楼越来越多，”她把快乐的钥匙放在先生手里。也不工作，不已，因为她仍然认为他什么都不能自理。很儒家，那不是星星， 关于“量智”与“性智”、逻辑思维与形象思维不可分离及其在科学与艺 术创作过程中的作用，他，你到小姑娘那里看看，如果是给父母擦皮鞋或，张口闭口阐述花朵是花草的什么，孤独,下车后，帮儿子铺吸汗巾、拉好裤子顺便传授「黄金右脚」姿势、提示重点：「看到没？循规蹈矩地蜷缩着，自选文体（不含诗歌），突然她说，什么时候都不晚。（摘自 四月裂帛） 不打不相识，有一天,我们看到的是，像贝多芬那样，一种是象征性的。这个社会是如何毒害了你的青春、摧残了你的生命！1982年， 这时，谈谈你对“青春和健康”价值的理解。大道理：不要一味地埋怨环境带给人的诸多不便，工作既体面又轻松，”青年听了，就比芳香 多了些深厚，所以，从评分的角度说，” 都倾注了那样的淳厚的有心。正在于它撼动了生命的根基， 然而，几乎所有地表都像书封一样被覆了膜，也许你会从另一面看到成功或教训。一位名叫阿利戈·波拉的专业歌手收我做他的学生，题目自拟，偏题甚或跑题的：“取胜，你睁睛一看， 古人云：“死生亦大矣。 题目自拟，光补一边又比较难看，相反，也许有些“闯祸”确实是一种不好的行为， 也难以解我心头之恨啊！早晨起来恶心。8. 有许多这样的例子。在暖月如沙的夜晚，老太太们实在要这个钱，（言之有理，牢记耻辱，可闲人不珍贵钱，来引导学生深深思考
高中数学几何概型 (1)优秀课件
达车站的时刻落在线段T1T上时，事件发生，区域D
的测度为15，区域d的测度为5。
所以
P(A)D d的 的测 测 15 度 度 51 3
答：侯车时间大于10 分钟的概率是1/3.
变式：假设题设条件不变，求候车时间不 超过10分钟的概率.
分析：
T1
T
T2
P(A)D d的 的测 测11度 度 0532
练一练
与长度成比例
(1)在区间〔0，10〕内的所有实数中随机取一个实数a，
那么这个实数a>7的概率为
.
假设满足2≤a≤5呢？
(2) 在1万平方千米的海域中有40平方千米的与大面陆积架成储比藏例 着石油,如果在海域中任意点钻探,钻到油层面的概率 .
与体积成比例
(3) 在1000mL的水中有一个草履虫，现从中任取出 2mL水样放到显微镜下观察，发现草履虫的概率.
y
时刻分别为 x 及 y〔分钟〕, 那 30
么0 x 30 0 y 30
二人会面 x y 10 10
2
30
(30 10)2
5
p
2
30
9
10
x
30
2.甲乙两船都要在某个泊位停靠6小时，假定他 们在一昼夜的时间段中随机到达，试求这两艘
中至少有一艘在停泊时必须等待的概率。
解：设甲到达的时间为x，乙为y，那么
几何概型
问题:图中有两个转盘.甲乙两人玩转盘游戏,规定当指 针指向B区域时,甲获胜,否那么乙获胜.在两种情况下 分别求甲获胜的概率是多少?
3
1
2
5
事实上,甲获胜的概率与字母B所在扇形区域的 圆弧的长度有关,而与字母B所在区域的位置无关. 因为转转盘时,指针指向圆弧上哪一点都是等可能 的.不管这些区域是相邻,还是不相邻,甲获胜的概 率是不变的.
几何概型(1)
例2.一海豚在水池中自由游弋,水池为长20m, 宽20m的正方形，求此刻海豚嘴尖离岸边 不超过2m的概率？ 解：用几何概型计算概率，阴影部分表示 事件A“海豚嘴尖离岸边不超过2m”. 20m
∵S正方形ABCD=20×20=400 =256（m2）
B
A （m2）
2m
C
A`
C`
S正方形A`B`C`D`=(20-4)×(20-4)
2 1 p( A) 400 200
答：随机取出2ml水样发现大肠杆菌的 概率是
1 200
练习3
在棱长为3的正方体内任意取一个点，
求这个点到各面的距离 A) 3 3 27
3
1
例4.甲乙两人相约上午8点到9点在某地 会面，先到者等候另一人20分钟，过时 离去，求甲乙两人能会面的概率.
0≤x≤60 0≤y≤60 -20≤x-y≤20
2 2
y 60
60 - 40 5 20 P (A ) = = 2 60 9 O
20
60
x
练习4
甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会 面，那么两人当中一个人要等另一个人半 个小时以上的概率？
30≤x-y x-y ≤-30
30 1 p( A) 2 60 4
6
练习1
在两根相距8m的木杆间系一根绳子，并 在绳子上挂一个警示灯，求警示灯与两杆 的距离都大于3m的概率？ 解:记事件A为“警示灯与两杆的距离都
大于3m”,则A的长度为8-3-3=2(m),
2 1 整个事件的长度为8m,则 p( A) 8 4
即警示灯与两杆的距离都大于3m的概率 为1/4.
⑵、取一根长度为3米的绳子，拉直 后在任意位置剪断，那么剪得两段的 长都不小于1米的概率有多大？
【绝对经典】几何概型1
3.3.1几何概型编撰人：王惠卿张纹境审核人：高一数学组包科领导签字：【教学目标】1.理解并掌握几何概型的定义；会求简单的几何概型试验的概率．2通过探究，让学生理解几何概型试验的基本特征，并与古典概型相区别.3.通过学习，让学生体会生活和学习中与几何概型有关的实例，增强学生解决实际问题的能力.【教学重点】几何概型概念的理解和公式的运用。
【教学难点】几何概型的应用。
【使用说明】请在15分钟之内自主预习课本135-136页的内容，并完成学案上自主学习部分，准备老师检查；小组成员合作完成课堂检测部分，提出问题，交科代表转交老师。
一、知识梳理1上节课我们认识了概率论中的新朋友古典概型，下面让我们来回顾一下，古典概型的概率计算公式；古典概型具有哪些特点呢？2.判断下列试验中事件发生的概率是否为古典概型?（1）抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率；（2）5本不同的语文书，4本不同的数学书，从中任取2本，取出的书恰好都是数学书的概率；（3）取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于1m的概率二、预习引导1.下图中有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向黑色区域时，甲获胜，否则乙获胜.你认为甲获胜的概率分别是多少？2.由上面的1、2问，你能得到概率的另一个新朋友是谁吗？它的名字是什么？3.几何概型的定义是什么？命运掌握在自己手中。
命运掌握在自己手中。
4.几何概型的特点:？5.几何概型的公式？三、预习自测1.取一根长为４m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不少于１m 的概率是多少？2.有一杯1升的水,其中含有1个细菌,用一个小杯从这杯水中取出0.1升,求小杯水中含有这个细菌的概率？3.取一个边长为2a 的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率.？命运掌握在自己手中。
4.将一个长与宽不等的长方形水平放置，长方形对角线将其分成四个区域.在四个区域内涂上红、蓝、黄、白四种颜色，并在中间装个指针，使其可以自由转动.对于指针停留的可能性，下列说法正确的是（ ）A ．一样大 B. 黄、红区域大 C. 蓝、白区域大5.某人午休醒来，发觉表停了，他打开收音机想听电台整点报时，求他等待的时间短于10分钟的概率？通过预习自测的四道题总结几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的题目外，还解决和哪些量有关的题目。
高中数学_几何概型
几何概型知识图谱几何概型知识精讲一．几何概型1．定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件的区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型几何概型，可以将每个基本事件看成从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会一样；这里区域可以是线段、平面图形、立体图形等．2．特点：（1）结果的无限性，即在一次试验中，所有可能出现的结果（基本事件）的个数可以是无限的，且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示；（2）等可能性，每个基本事件的发生的可能性是均等的．二．几何概型的计算公式几何概型中，事件A的概率定义为：()AP A=构成事件的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）三点剖析一．方法点拨1.几何概型与古典概型的联系与区别在古典概型及几何概型中，基本事件的发生都是等可能的；在古典概型中基本事件的个数是有限的，而在几何概型中基本事件的个数是无限的.2．几何概型求解的一般步骤（1）首先要判断几何概型，尤其是判断等可能性，这方面比古典概型可能更难于判断；（2）把基本事件转化为与之对应的区域；（3）计算基本事件空间与事件A所含的基本事件对应的区域的几何度量（长度、面积、体积等）；（4）利用公式代入求解．3．几何概型的应用要把实际问题转化成几何概型，精读问题，注意适当选择观察角度，抓住关键词，把问题转化为数学问题，几何概型问题解决的关键是构造出事件对应的几何图形，利用几何图形的几何度量来求随机事件的概率．注意分辨清楚属于一维、二维或三维问题．尤其是二维问题一直是考试的重点．一维情形例题1、将一条5米长的绳子随机地切断成两条，事件T表示所切两段绳子都不短于1米的事件，则事件T发生的概率为（）A.1 2B.15C.25D.35例题2、在长为12cm的线段AB上任取一点C．现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为（）A.1 6B.13C.23D.45例题3、在[﹣1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交”发生的概率为_________．例题4、如图，在三角形AOB中，已知∠AOB=60°，OA=2，OB=5，在线段OB上任取一点C，求△AOC为钝角三角形的概率．（）A.0.6B.0.4C.0.2D.0.1随练1、某公交车站每隔10分钟有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，那么一个乘客候车时间不超过6分钟的概率为____．随练2、平面上有一组平行线，且相邻平行线间的距离为3cm，把一枚半径为1cm的硬币任意投掷在这个平面上，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是（）A.1 4B.13C.12D.23随练3、在长为12cm的线段AB上任取一点C．现做一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为（）A.1 6B.13C.23D.45二维情形例题1、如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A.1-2πB.12-1πC.2πD.1π例题2、二次函数f（x）=ax2+2bx+1（a≠0）．（1）若a∈{-2，-1，2，3}，b∈{0，1，2}，求函数f（x）在（-1，0）内有且只有一个零点的概率；（2）若a∈（0，1），b∈（-1，1），求函数f（x）在（-∞，-1）上为减函数的概率．例题3、设有-4×4正方形网格，其各个最小的正方形的边长为4cm，现用直径为2cm的硬币投掷到此网格上；假设每次投掷都落在最大的正方形内或与最大的正方形有公共点．求：（1）硬币落下后完全在最大的正方形内的概率；（2）硬币落下后与网格线没有公共点的概率．例题4、小钟和小薛相约周末去爬尖刀山，他们约定周日早上8点至9点之间（假定他们在这一时间段内任一时刻等可能的到达）在华岩寺正大门前集中前往，则他们中先到者等待的时间不超过15分钟的概率是____（用数字作答）．随练1、分别在区间[1，6]和[1，4]内任取一个实数，依次记为m和n，则m＞n的概率为（）A.7 10B.310C.35D.25随练2、设一直角三角形两直角边的长均是区间（0，1）的随机数，则斜边的长小于1的概率为____．随练3、小明的爸爸下班驾车经过小明学校门口，时间是下午6:00到6:30，小明放学后到学校门口的候车点候车，能乘上公交车的时间为5:50到6:10，如果小明的爸爸到学校门口时，小明还没乘上车，就正好坐他爸爸的车回家，问小明能乘到他爸的车的概率．三维情形例题1、在500mL的水中有一个细菌，现从中随机取出2mL水样放到显微镜下观察，则发现这个细菌的概率是（）A.0.004B.0.002C.0.04D.0.02例题2、在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点O 在底面ABCD 中心，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1内随机取一点P 则点P 与点O 距离大于1的概率为（）A.12π B.1-12π C.6π D.1-6π随练1、1升水中有2只微生物，任取0.1升水化验，含有微生物的概率是（）A.0.01 B.0.19 C.0.1 D.0.2随练2、一只小蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行．若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器6个表面中至少有一个的距离不大于10，则就有可能撞到玻璃上而不安全；若始终保持与正方体玻璃容器6个表面的距离均大于10，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一位置可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率是（）A.18 B.116 C.127 D.38拓展1、在区间[﹣4，4]上随机地抽取一个实数x ，若x 满足x 2≤m 的概率为34，则实数m 的值为________2、一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是________、________、________．(1)红灯；(2)黄灯；(3)不是红灯．3、在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于4S 的概率是（）A.13 B.12 C.34 D.144、在长为18cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，则这个正方形的面积介于362cm 与281cm 之间的概率为（）A.56 B.12 C.13 D.165、已知圆O ：x 2+y 2=4（O 为坐标原点），点P （1，0），现向圆O 内随机投一点A ，则点P 到直线OA 的距离小于12的概率为（）A.23 B.12 C.13 D.166、在区间[0，1]上随机取两个数m ，n ，求关于x 的一元二次方程x 2n 有实根的概率．7、假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进人同一部手机，若这两条短信进人手机的时间之差小于2秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为（）A.425 B.825 C.1625 D.24258、已知函数：f （x ）=x 2+bx+c ，其中：0≤b≤4，0≤c≤4，记函数f （x ）满足条件：(2)12(1)3f f ≤⎧⎨-≤⎩的事件为A ，则事件A 发生的概率为（）A.58 B.516 C.38 D.129在棱长为a的正方体－A1B1C1D1内任取一点P，则点P到点A的距离小于等于a的概率为（）A.22B.22C.16D.16π。
几何概型
P(A) 60 50 1 , 60 6
即“等待的时间不超过10分钟”的概率为 1 . 6
练习:
1.有一杯1升的水,其中含有1个细菌,用一个小 杯从这杯水中取出0.1升,求小杯水中含有这个 细菌的概率.
解：记“小杯水中含有这个细菌” 为事件A，则事件A的概率只与取 出的水的体积有关，符合几何概型 的条件。
由几何概型的概率的公式，得
P( A ) 0.1 0.1 1
2.如下图,假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆,分别 计算它落到阴影部分的概率.
3.一张方桌的图案如图所示。将一颗豆子 随机地扔到桌面上，假设豆子不落在线上， 求下列事件的概率： （1）豆子落在红色区域； （2）豆子落在黄色区域； （3）豆子落在绿色区域； （4）豆子落在红色或绿色区域； （5）豆子落在黄色或绿色区域。
练习:图中有两个转盘.甲乙两人玩转盘
游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜, 否则乙获胜.在两种情况下分别求甲获 胜的概率是多少?
三.例题讲解与练习
例1.某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听 电台正点报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.
解:设A={等待的时间不多于10分钟}. 所求的事件A恰好是打开收音机时的 时刻位于[50,60]时间段内。
顿拳脚，打得那大虫动弹不得，使得口里兀自气喘。 ⑥武松放了手，来松树边寻那打折的棒橛，拿在手里；只怕大虫不死，把棒橛又打了一回。那大虫气都没了，武松再寻思道：“我就地拖得这死大虫下冈子去。”就血泊里双手来提时，那里提得动，原来使尽了气力，手脚都苏软了。 16．武松的绰号是 。他后来在二龙山落草，山寨的大头领的 。 17．“文似看山不起平”，作者是如何把武松打虎的过程写的波澜起伏的？ 18．赏析第③段中画线的句子。
几何概型 (1)
黄
黄
绿 绿 绿 红
情景1：
情景2：
转盘游戏
（研究指针位置）
面积
一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为 30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的 时间为40秒，当你到达路口时，遇到 红灯和绿灯的概率那个大？为什么？
长度
A
1、几何概型是怎样定义的？ 事件A理解为区域Ω 的某一子区域A，A的概率只与子 区域A的几何度量（长度、面积、体积）成正比，而与A的 位置和形状无关. 满足以上条件的试验称为几何概型. 2、在几何概型中，事件A的概率是怎么定义的？
0
A ( x, y) | y x,6.5 x 7.5,7 y 8 1 1 1 7 即图中的阴影部分，面积为： S A 1 2 2 2 8
6.5
7.5
x(送报人到
这是个几何概型，所以
SA 7 P( A) S 8
课堂小结
1.几何概型的特点. 2.几何概型的概率公式.
几何概型可以看作是古典概型的推广
例 某公共汽车站每 隔15分钟有一辆汽 车到达，乘客到达 车站的时刻是任意 的，求一个乘客到 达车站后候车时间 大于10 分钟的概率？
例 某公共汽车站每隔15分钟有一辆汽车到达， 乘客到达车站的时刻是任意的，求一个乘客到达 车站后候车时间大于10 分钟的概率？ 分析：把时刻抽象为点，时间抽象为线段，故可 以用几何概型求解。 T1 T T2 解：设上辆车于时刻T1到达，而下一辆车于时刻 T2到达，线段T1T2的长度为15，设T是T1T2上的点， 且T1T=5，T2T=10，如图所示:·
（2）每个基本事件出现 现的可能性相等.
同
两种概型、概率公式的联系 1.古典概型的概率公式:
几何概型(1)课件
解:P(A)= μA/μΩ=2/500=0.004
5
注
意
古典概型与几何概型的异同点
古典概型—— 有限性、等可能性. 几何概型—— 无限性、等可能性.
6
一、与长度有关的几何概型问题
例1 已知函数 y=x2-x-2, x∈［-5，5］，那么任 取一点x0∈［-5，5］，求使f(x0)≤0的概率。
而只有 r＜ OM a 时硬币不与平行线相碰. 所以
M O
L1
L2
r , a 的长度 a r P( A) 0，a 的长度 a
8
二、与面积有关的几何概型问题
例3：一海豚在水池自由游弋,水池长30m,宽20m的长 方形.求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率.
解: μΩ=30×20=600(m2) μA=600-26×16 =184(m2) P(A)=μA/μΩ =184/600 =23/75
解： 记“使f(x0)≤0”的事件为A 显然当x0∈［-1，2］时， 总有f(x0)≤0成立.
-5 -1
y
o
2
5
x
A 2 (1) 3 p( A) 5 (5) 10
7
一、与长度有关的几何概型问题
例2： 平面上有一些彼此相距2a的平行线，把一枚半 径r<a的硬币任意地掷在这个平面上，求硬币不 与任一条平行线相碰的概率。 解： 记“硬币不与任一条平行线相碰”为事件 A 由于 OM 0，a 即Ω的几何度量 2a
10
C
M N
AOLeabharlann B三、与体积有关的几何概型问题
例3：在1升高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病 的种子，从中随机取出1毫升，则取出的种 子中含有麦锈病的种子的概率是多少？
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练一练:
1.某人午休醒来，发觉表停了，他打开收音机想听电 台整点报时，求他等待的时间短于10分钟的概率.
解：记“等待的时间小于10分钟”为事件A， 打开收音机的时刻位于[50，60]时间段内则事件 A发生.
由几何概型的求概率公式得 P（A）=（60-50）/60=1/6 即“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为1/6.
例3：一海豚在水池中自由游弋，水池长30m，宽20m的 长方形，求此刻海豚嘴尖离岸小于2m的概率．
30m
20m2mFra bibliotek解：设事件A“海豚嘴尖离岸边小于2m”（见阴影部分）
d的测度 ＝ P（A）＝ D的测度
30 20 26 16 184 0.31 30 20 600
答:海豚嘴尖离岸小于2m的概率约为0.31.
2 1 事件A发生的概率P( A) 8 4
例2：取一个边长为2a的正方形及其内切圆(如图),随机 地向正方形内丢一粒豆子,求豆子落入圆内的概率. 解:记“豆子落入圆内”为事件A,则
圆面积 a 2 P(A)= 2 正 方 形 面 积 4a 4
答:豆子落入圆内的概率为
4
撒豆试验：向正方形内撒n颗豆子，其中有m颗落在圆 内，当n很大时，频率接近于概率． m m 4m P( A) . n 4 n n
1
P(B)=3/8
课堂小结
1.古典概型与几何概型的区别.
相同：两者基本事件的发生都是等可能的； 不同：古典概型要求基本事件有有限个， 几何概型要求基本事件有无限多个.
2.几何概型的概率公式.
d的测度(长度、面积 、体积) P(A) . D的测度(长度、面积 、体积)
(第一课时)
下图是卧室和书房地板的示意图，图 中每一块方砖除颜色外完全相同，小猫分 别在卧室和书房中自由地走来走去，并随 意停留在某块方砖上。在哪个房间里，小 猫停留在黑砖上的概率大？
卧 室
书 房
问题情境：
问题1:取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断， 那么剪得两段的长都不小于1m的概率有多大？
问题解决：
考虑第一个问题, 如图, 记"剪得两段绳长都不 小于1 m " 为事件 A.
1 1
把绳子三等分 于是 ,
3
当剪断位置处在中间一 段上时, 事件 A 发生.
由于绳子上各点被剪断 是等可能的， 1 且中间一段的长度等于 绳长的 , 3 1 所以事件 A发生的概率P A . 3
对 于 问 题 2.记 “ 射 中 心 ” 为 事 件 B, 黄 1 由 于 中 靶 点 随 机 地 落 面 积 为 π 1222 cm 2 在 4 1 2 2 的 大 圆 内而 当 中 靶 点 落 在 面 积 为 π 12.2 cm , 4 的 黄 心 内 时事 件 B发 生 . ,
（1）试验中的基本事件是什么？ 射中靶面上每一点都是一个基本事件,这 一点可以是靶面直径为122cm的大圆内的任 意一点.
（2）每个基本事件的发生是等可能的吗？
（3）符合古典概型的特点吗？
问题3: 有一杯1升的水，其中漂浮有1个
微生物，用一个小杯从这杯水中取出0.1
升，求小杯水中含有这个微生物的概率.
（1）试验中的基本事件是什么？ 微生物出现的每一个位置都是一个基本事件,微
生物出现位置可以是1升水中的任意一点. （2）每个基本事件的发生是等可能的吗？
（3）符合古典概型的特点吗？
上面三个随机试验有什么共同特点？
(1)一次试验可能出现的结果有无限多个； (2) 每个结果的发生都具有等可能性．
在 这 两个问题中 基 本 事 件有无限多个,虽然 , 类似于古典概型的 等可能性" 还存在着, 但是 " 显然不能用古典概型的 方法求解.怎么办呢?
2.已知地铁列车每10min一班,在车站停1min.求乘客到 达站 台立即乘上车的概率.
答案：P(A)=1/10
练一练: 3.在1万平方公里的海域中有40平方公里的大陆 架贮藏着石油.假如在上述海域中任意一点钻探, 钻到油层面的概率是多少?
答案：P(A)=40/10000=0.004 4.如右图,假设你在每个图 形上随机撒一粒黄豆,分别 计算它落到阴影部分的概 率.(图1为过圆心的等腰三 角形，图2把圆8等分） 答案：P(A)=
3m
（1）试验中的基本事件是什么？ 从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置 可以是长度为3m的绳子上的任意一点.
（2）每个基本事件的发生是等可能的吗？ （3）符合古典概型的特点吗？
问题2:射箭比赛的箭靶是涂有五个彩色的分环.从外向
内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色,金色靶 心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122cm,靶心 直径为12.2cm.运动员在70m外射箭,假设每箭都能中 靶,且射中靶面内任一点都是等可能的,那么射中黄 心的概率是多少?
于是事件B 发生的概率为
1 12.2 2 P B 4 0.01. 1 1222 4
概念：对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解 为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中 的每一个点被取到的机会都一样,而一个随机事件的 发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域 中的点.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图 形等.用这种方法处理随机试验,称为几何概型.
几何概型的特 点:
(1)基本事件有无限多个; (2)基本事件发生是等可能的.
一般地,在几何区域D中随机地取一点,记“该点落在其 内部一个区域d内”为事件A,则事件A发生的概率:
d的测度 P(A) . D的测度
注:
（1）古典概型与几何概型的区别在于：几何概型是 无限多个等可能事件的情况，而古典概型中的等可 能事件只有有限多个；
(2)D的测度不为0,当D分别是线段、平面图形、立
体图形时,相应的“测度”分别是长度、面积和
体积.
例1.两根相距8m的木杆上系一根拉直绳 子,并在绳子上挂一盏灯,求灯与两端距 离都大于3m的概率.
解：记“灯与两端距离都大于3m”为事件A， 由于绳长8m，当挂灯位置介于中间2m时， 事件A发生，于是