8-4描述函数法

n 1 n 1
式中 A0—直流分量； Yn sin( nt n ) — n次谐波， 且 Yn ( An2 Bn2 )1/ 2， n arctan( An / Bn )。
An 1




1 A0 y (t )d t 2 1 y (t ) cos( n t )d t ；Bn y (t ) sin( n t )d t ；
负倒描述函数曲线上的箭头表示A增大的方向。 ☆非线性系统的稳定性判定规则： (最小相位系统，P = 0 ) (1) G( jω)曲线不包围-1/N(A)曲线，闭环系统稳定； (2) G( jω)曲线包围-1/N(A)曲线，闭环系统不稳定； (3) G( jω)曲线与 -1/N(A) 曲线相交，闭环系统可能 出现自振荡；自振荡的频率为G(jω) 在交点处的 ω值，振幅是N(A)在交点处的A值。 例8-5 非线性系统如图所示，分析系统稳定性。
N
y
例：
x
N ( A) N1 ( A) N2 ( A)
k1
x10 y1
x2
k2
x20
y2
y
k1 ( x x10 ) x x10 0 | x | x10 y1 k1 ( x x10 ) x x10

k2 x20 y2 k2 x2 k2 x20

x2 x20 | x2 | x20 x2 x20

2

Y j B1 jA1 e ； A A
解：该非线性特性关于原点对称，A0=0； y (t ) cos t 是 ( t ) 的奇函数，A1=0；
B1


0
y (t ) sin t d t cos
/2
0
4M

4M
B1 jA1 4M 。 ； N ( A) A A
x20 x10 x20 x20 2 x10 x10 2 2k1k 2 N ( A) arcsin 1 ( ) 1 ( ) arcsin A A A A A A
(3) 线性部分的等效变换
非线性系统中的线性部分等效变换采用方框 图变换方法，变换过程中，不允许线性环节与非 线性环节交换位置。要点仍然是保持信号关系不 变。 例如：
1. 描述函数的基本概念 (1) 描述函数的定义及计算方法 非线性环节及其正弦输入为
y f ( x) ；

x(t ) A sin t ；

环节输出的傅立叶级数为
y A0 { An cos( n t ) Bnsin( n t )} A0 Ynsin( n t n )
r
G1
G2 - y N x G 3
x y
c
-
G1
G2 y N x G3
c
N
G2G3 1 G1G2
x
4. 非线性系统稳定性分析的描述函数法 用 Nyquist 稳定判据分析非线性系统的条件： 非线性部分 N(A) 和线性部分 G(s) 可以分开。 常用非线性环节输入 e(t) 分析系统稳定性。 非线性系统的特征方程：
x2 y1 ：
k1 ( x x10 ) x20 x x20 ( x10 x20 / k1 ) k1 ( x x10 ) x20 x x20 ( x10 x20 / k1 )
串联非线性环节例续
y

k2 x20 x x20 k2 k1 ( x x10 ) x20 x x10 0 | x | x10 k2 k1 ( x x10 ) x10 x x20 k2 x20 x x20
②非线性特性原点对称，即A0 = 0； ③ Yn<<Y1, n > 1是保证应用描述函数法分析非线
/2 x 4kA 2 0 sin d sin d B1 y (t ) sin d 0 A 0 /2 x 4kA 1 0 sin d 0 (1 cos 2 )d 2 A
x10 x20 / 2 4k1k2 A 2 2 sin )d sin d (sin 1 A k1 A 2

4
/2
0
y (t ) sin d
x20 ( x10 x20 / k1 ) 整理后，得到 注意到，
2 x10 x20 2 2 x10 x10 2 2 x20 x20 2 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) A A A A k1 A A
A sin( 2 ) mh 2 arcsin( mh / A)
B1
x20 x10 x20 x20 2 x10 x10 2 2k1k2 A arcsin 1 ( ) 1 ( ) arcsin A A A A A A
2 2 x10 x10 4k1k 2 A 1 cos (1 sin cos 2 ) A k1 A 1 1 2
1 1 g ； T1T2 2 KT1T2 G ( j g ) 8 ； T1 T2
KT1T2 T1 T2
Im 0 -2 Re
G( jω)包围整个-1/N(A)， 非线性系统不稳定。
例8-6非线性系统如图所示，试分析：
r x k y a
K s(0.1s 1)(0.2s 1)
4M


/2
0
sin t d t
(2) 应用描述函数的条件 ①非线性系统能够简化成一个非线性环节与一
个线性环节闭环连接的串联结构；
r x N y G(s) c
性系统具有较高精度的条件。 大多数实际非线性系统满足上述条件。 (3) 描述函数法的物理意义 忽略次要因素，利用线性系统的频率分析方 法近似分析非线性系统，简化分析过程。
x
N1 y1 y x N
y
N2 y 2
例：
x
M
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x10
y1 y
k x20 y2
并联非线性环节例续
M x x10 0 | x | x10 y1 M x x10

k ( x x20 ) x x20 0 | x | x20 y2 k ( x x20 ) x x20
r x
M
-M
k
y
10 s ( s 1)( 4s 1)
c
k=0.5，M=1；
解：计算非线性特性的描述函数，该特性可看作 是理想继电特性与比例环节的并联组合，即得
4M 1 1 1 N ( A) k ； 0， 2 ； A N (0) N ( ) k
-1/N(A)曲线是一段负实轴，(-2，0 ]； 计算G( jω)与负实轴的交点，
1 N ( A)G( s) 0
Nyquist稳定判据的特征方程： N ( A)G( j ) 1 因曲线N(A)G(jω)很难绘制，应用Nyquist稳定判 据的特征方程等价于 G( j ) 1/ N ( A) 式中 -1/N(A)—负倒描述函数。应用 Nyquist 稳 定判据判断非线性稳定性时，以 -1/N(A) 替代临 界点(-1, 0 )。
必须注意，线性系统的频率特性与输入正弦 信号的幅度无关，典型非线性环节的描述函数是 输入正弦信号幅度的函数，却与输入频率无关。 应用描述函数法分析非线性系统时，正是利 用这种特点。 2. 典型非线性特性的描述函数 (1) ☆饱和特性：y(x)是奇函数；
4
/2
x0 x0 x0 2 2kA 1 ( ) arcsin A A A x0 x0 x0 2 2k N ( A) 1 ( ) ， A x0 arcsin A A A
等效非线性环节的描述函数计算：y(t)是奇函数， A0 = 0，A1 = 0
0 0 1 y (t ) k1k 2 ( A sin x10 ) 1 2 k 2 x20 2 /2 A sin 1 h 1 arcsin( h / A)
(2) ☆死区特性：y(x)是奇函数；
B1


4
/2
0
y (t ) sin d
/2
4k A


/2
x0 (sin sin )d A
2
4k A


x0 1 (1 cos 2 ) sin d A 2
x0 x0 x0 2 2kA 1 ( ) arcsin 2 A A A
c
k=2，a=1； (1) K=15时非线性系统稳的运动状况； (2) 欲使系统不出现自振荡，K的临界值。 1 KT1T2 K 解：
g
T1T2 5 2 ； G ( j g )
T1 T2 15
x0 x0 x0 2 2k N ( A) 1 ( ) ， A x0 arcsin 2 A A A
(3) ☆继电特性：非线性特性关于原点对称，y(t)
既不是奇函数也不是偶函数；
2 2 2M 2M mh 2 h 2 2 B1 M sin d cos 1 ( ) 1 ( ) 1 1 A A 2M mh 2 h 2 2Mh N ( A) (m 1) ，A h 1 ( ) 1 ( ) j 2 A A A A 4M 理想继电特性h=0： N ( A) A 4M h 2 死区继电特性m=1： N ( A) A 1 ( A ) 4M h 2 4Mh 滞环继电特性m=-1： N ( A) A 1 ( A ) j A2
2 2 2M 2Mh 2 A1 M cos d sin (m 1) 1 1 A
3. 非线性系统的简化 当非线性系统是由多个非线性环节和线性环 节组合而成时，需要等效变换成一个非线性环节 和一个线性环节连接成的闭合回路，便于分析。 变换的要点是保证信号等效，主要应用解析 表达式。 (1)并联非线性环节的等效特性

N ( A) N1 ( A) N 2 ( A)
x10x20 ：
k ( x x20 ) M，x x10 k ( x x20 )， x10 x x20 y 0 | x | x20 k ( x x20 )，x20 x x10 k ( x x20 ) M ，x x10
8-4 描述函数法
非线性环节在正弦输入作用下，输出是一 次谐波和高次谐波的组合信号，一次谐波是与 输入信号同频率的正弦信号。若非线性环节的 输出可以用一次谐波近似，可得到非线性环节 的描述函数。 ☆描述函数：非线性环节的近似频率特性； (频率响应可用一次谐波近似。)
描述函数法： 是在频域内分析系统的稳定性 和自振荡的一种近似方法。


当非线性环节关于原点对称时，A0=0，而且 Yn(n>1)比Y1小得多。则近似为 y A1 cos t B1 sin t Y sin( t ) ； 描述函数定义为
N ( A) | N ( A) | e
jN ( A)
例 8-3 计算理想继电特性的描述函数。 M x 0； y ( x) x A sin t ； M x0

x20x10 ：
k ( x x20 ) M，x x20 M， x20 x x10 y 0 | x | x10 M，x10 x x20 k ( x x20 ) M ，x x20

(2)串联非线性环节的等效特性
x
N1 y1 x2 N2 y y2 x