拟逆函数

函数是一种特殊的关系, 若R是从X到Y的关系，则逆关系Rc为从Y到X的关系，但对于任意给定一个函数f，它的逆不一定是函数，例如函数
f = {<x1, y1>, <x2, y1>, <x3, y2>}
其逆
f -1 = {<y1, x1>, <y1, x2>, <y2, x3>}
显然是关系而不是函数。

因为y1对应两个值x1, x2。

破坏了单值性。

在什么情况下函数的逆也是函数呢？
定理4.2.1 设f: x@y是一个双射函数，则其逆f-1是y到x的双射函数。

证明：因f是函数，f-1是关系，故
dom f -1 = ranf = Y
ranf = domf = X
对任yÎY，设x1, x2ÎX，使
<y, x1>, <y, x2>Î f -1
则<x1, y>, <x2, y>Î f
由f为单射，故x1 = x2，即对任有从Y到X的唯一的与之对应，故f -1为从有y到x的函数。

又ran f -1 = X，故f -1: y®x是满射。

对任y1, y2ÎY，y1≠y2，假设存在使
x = f -1 (y1 ) = f -1 (y2)
则<x, y1>, <x, y2>Îf，且y1≠y2
这与f为函数矛盾。

故f-1(y1 ) ≠ f-1 (y2)
即：f-1: Y®X为单射。

即f-1是双射。

定义4.2.1 设f: X®Y是一个双射函数，则称f的逆关系为f的逆函数，记f-1
例：f (x) = sinx, 若限定，Y = [-1, 1]则f是X到Y的双射函数，且x = arc sin y为f的逆函数。

定义4.2.2 设函数f: X®Y，g: W®Z, 若f (X)ÍW，则gof = {<x, z>| xÎX且zÎZ 并且$y | yÎY
y = f (x) , z = g (y)
则称g在函数f左边可复合。

可以证明两个函数的复合是一个函数（定理4.2.2）
例：g : Rt®R : g (x) = lnx
f : R®R : f (x) = x+1
则有domg = R+, rang = R
domf = R, ranf = R
而函数gof的定义域不的R，而是(-1, +¥)
且有gof(x) = g(f(x)) = ln(x+1)
注意，ranfÍdomg, 若不满足此条件，则定义gof为空。

例: X = {1, 2, 3}, Y = {p, q}, Z = {a, b}
f = {<1, p>, <2, p>, <3, q>}
g = {<p, b>, <q, b>}
则gof = {<1, b>, <2, b>, <3, b>}
在上节中讨论了函数的单射，满射，双射，这些性质经复合运算后，能否保持呢？
定理4.2.3 令gof 是一个复合函数。

1）若g，f是满射，则gof为满射，
2）若g，f 是入射，则gof是入射。

3）若g，f是入射，则gof是双射。

证：设f: X®Y，g：Y®Z
1）对任zÎZ，因g满，故存在yÎY, 使f(y)=z。

对于此y，由于f满故存在xÎX，使f(x)=y，故gof (x)=g(f(x))=g(y)=z
即gof 满。

2）对任x1, x2ÎX, x1¹x2 ，f为入射故
f (x1) ¹f (x2 )ÎY
又g也为入射，故
g (f (x1))¹g (f (x2))
于是x1¹x2必有gof (x1) ¹ gof (x2)，即gof 为入射。

3）由1），2）知3）成立。

设函数f: X®Y, IX: X®X, Iy: Y®Y分别为X，Y上的恒等函数。

则f = foIX = Iy of
此结论由复合函数的定义易见成立。

定理4.2.5 若函数f: X®Y 有逆函数f -1 : Y®X。

则
f -1of = IX
f o f -1 = Iy
证：仅证f –1of = IX
f –1of与IX的定义域都为X，又f, f -1都为双射。

故若f : x ® f (x)，则f -1 (f (x)) = x
即是说，对任xÎX，f –1of (x) = f -1 (f (x)) = x。