二阶线性微分方程的解法

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二阶微分方程解法

第六节二阶常系数齐次线性微分方程之袁州冬雪创作讲授目标：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，懂得二阶常系数非齐次线性微分方程的解法讲授重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法讲授过程：一、二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程:方程y+py+qy=0称为二阶常系数齐次线性微分方程,其中p、q均为常数.如果y1、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解,那末y=C1y1+C2y2就是它的通解.我们看看, 可否适当选取r,使y=e rx知足二阶常系数齐次线性微分方程,为此将y=e rx代入方程y+py+qy=0得(r2+pr+q)e rx=0.由此可见,只要r知足代数方程r2+pr+q=0,函数y=e rx就是微分方程的解.特征方程:方程r2+pr+q=0叫做微分方程y+py+qy=0的特征方程.特征方程的两个根r1、r2可用公式求出.特征方程的根与通解的关系:(1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时,函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无关的解.这是因为,函数xr e y 11=、xr e y 22=是方程的解,又xr r xr x r ee e y y )(212121-==不是常数. 因此方程的通解为x r x r e C e C y 2121+=.(2)特征方程有两个相等的实根r 1=r 2时,函数xr e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解.这是因为,x r e y 11=是方程的解,又0)()2(121111=++++=q pr r xe p r e x r x r ,所以x r xe y 12=也是方程的解,且x exe y y xr xr ==1112不是常数.因此方程的通解为x r x r xe C e C y 1121+=.(3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2=a ib 时,函数y =e (a +ib )x 、y =e (aib )x是微分方程的两个线性无关的复数形式的解.函数y =e ax cos bx 、y =e ax sin bx 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解. 函数y 1e (a +ib )x 和y 2e (aib )x都是方程的解而由欧拉公式得y 1e (a +ib )x e x (cos x i sin x ) y 2e (aib )xe x (cos x i sin x )y 1y 22e x cos x )(21cos 21y y x e x +=βα y 1y 22ie x sin x)(21sin 21y y ix e x -=βα故e axcos bx 、y 2=e axsin bx 也是方程解.可以验证,y 1=e axcos bx 、y 2=e axsin bx 是方程的线性无关解. 因此方程的通解为y =e ax (C 1cos bx +C 2sin bx ).求二阶常系数齐次线性微分方程y +py+qy =0的通解的步调为:第一步写出微分方程的特征方程r 2+pr +q =0第二步求出特征方程的两个根r 1、r 2.第三步根据特征方程的两个根的分歧情况,写出微分方程的通解.例1 求微分方程y-2y-3y =0的通解.解所给微分方程的特征方程为r 2-2r -3=0,即(r 1)(r 3)0其根r 1=-1,r 2=3是两个不相等的实根,因此所求通解为y =C 1e -x +C 2e 3x .例 2 求方程y+2y+y=0知足初始条件y|x=0=4、y|x=0=-2的特解.解所给方程的特征方程为r2+2r+1=0,即(r1)20其根r1=r2=1是两个相等的实根,因此所给微分方程的通解为y=(C1+C2x)e-x.将条件y|x=0=4代入通解,得C1=4,从而y=(4+C2x)e-x.将上式对x求导,得y=(C2-4-C2x)e-x.再把条件y|x=0=-2代入上式,得C2=2.于是所求特解为x=(4+2x)e-x.例 3 求微分方程y-2y+5y= 0的通解.解所给方程的特征方程为r2-2r+5=0特征方程的根为r1=12i r2=12i是一对共轭复根因此所求通解为y=e x(C1cos2x+C2sin2x).n阶常系数齐次线性微分方程:方程y(n) +p1y(n-1)+p2 y(n-2) ++p n-1y+p n y=0,称为n阶常系数齐次线性微分方程,其中p1,p2 ,,p n-1,p n都是常数.二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式,可推广到n阶常系数齐次线性微分方程上去.引入微分算子D及微分算子的n次多项式L(D)=D n+p1D n-1+p2 D n-2 ++p n-1D+p n则n阶常系数齐次线性微分方程可记作(D n+p1D n-1+p2 D n-2 ++p n-1D+p n)y=0或L(D)y0注D叫做微分算子D0y y D y y D2y y D3y y D n yy(n)分析令y e rx则L(D)y L(D)e rx(r n+p1r n-1+p2 r n-2 ++p n-1r+p n)e rx=L(r)e rx 因此如果r是多项式L(r)的根则y e rx是微分方程L(D)y0的解n阶常系数齐次线性微分方程的特征方程L(r)r n+p1r n-1+p2 r n-2 ++p n-1r+p n0称为微分方程L(D)y0的特征方程特征方程的根与通解中项的对应:单实根r对应于一项:Ce rx;一对单复根r1,2=a ib对应于两项:e ax(C1cos bx+C2sin bx);k重实根r对应于k项:e rx(C1+C2x++C k x k-1);一对k 重复根r 1,2=a ib 对应于2k 项: e ax [(C 1+C 2x ++C k x k -1)cos bx +(D 1+D 2x ++D k x k -1)sin bx ].例4 求方程y (4)-2y +5y =0 的通解.解这里的特征方程为r 4-2r 3+5r 2=0,即r 2(r 2-2r +5)=0,它的根是r 1=r 2=0和r 3,4=12i .因此所给微分方程的通解为y =C 1+C 2x +e x (C 3cos2x +C 4sin2x ).例5 求方程y (4)+b 4y =0的通解,其中b 0.解这里的特征方程为r 4+b 4=0.它的根为)1(22,1i r ±=β,)1(24,3i r ±-=β.因此所给微分方程的通解为)2sin2cos(212x C x C ey xβββ+=)2sin2cos(432x C x C exβββ++-.二、二阶常系数非齐次线性微分方程简介二阶常系数非齐次线性微分方程:方程y +py +qy =f (x )称为二阶常系数非齐次线性微分方程,其中p 、q 是常数. 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程的通解y =Y (x )与非齐次方程自己的一个特解y =y *(x )之和:y =Y (x )+ y *(x ).当f(x)为两种特殊形式时,方程的特解的求法:一、f(x)=P m(x)e lx型当f(x)=P m(x)e lx时,可以猜测,方程的特解也应具有这种形式.因此,设特解形式为y*=Q(x)e lx,将其代入方程,得等式Q(x)+(2l+p)Q(x)+(l2+pl+q)Q(x)=P m(x).(1)如果l不是特征方程r2+pr+q=0 的根,则l2+pl+q0.要使上式成立,Q(x)应设为m次多项式:Q m(x)=b0x m+b1x m-1++b m-1x+b m,通过比较等式双方同次项系数,可确定b0,b1,,b m,并得所求特解y*=Q m(x)e lx.(2)如果l是特征方程r2+pr+q=0 的单根,则l2+pl+q=0,但2l+p0,要使等式Q(x)+(2l+p)Q(x)+(l2+pl+q)Q(x)=P m(x).成立,Q(x)应设为m+1 次多项式:Q(x)=xQ m(x),Q m(x)=b0x m+b1x m-1++b m-1x+b m,通过比较等式双方同次项系数,可确定b0,b1,,b m,并得所求特解y*=xQ m(x)e lx.(3)如果l是特征方程r2+pr+q=0的二重根,则l2+pl+q=0,2l+p=0,要使等式Q(x)+(2l+p)Q(x)+(l2+pl+q)Q(x)=P m(x).成立,Q(x)应设为m+2次多项式:Q(x)=x2Q m(x),Q m(x)=b0x m+b1x m-1++b m-1x+b m,通过比较等式双方同次项系数,可确定b0,b1,,b m,并得所求特解y*=x2Q m(x)e lx.综上所述,我们有如下结论:如果f(x)=P m(x)e lx,则二阶常系数非齐次线性微分方程y+py+qy=f(x)有形如y*=x k Q m(x)e lx的特解,其中Q m(x)是与P m(x)同次的多项式,而k按l不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2.例1求微分方程y-2y-3y=3x+1的一个特解.解这是二阶常系数非齐次线性微分方程,且函数f(x)是P m(x)e lx型(其中P m(x)=3x+1,l=0).与所给方程对应的齐次方程为y-2y-3y=0,它的特征方程为r2-2r-3=0.由于这里l =0不是特征方程的根,所以应设特解为y *=b 0x +b 1.把它代入所给方程,得 -3b 0x -2b 0-3b 1=3x +1,比较两头x 同次幂的系数,得⎩⎨⎧=--=-13233100b b b -3b 0=3,-2b 0-3b 1=1.由此求得b 0=-1,311=b .于是求得所给方程的一个特解为31*+-=x y .例2求微分方程y -5y +6y =xe 2x的通解.解所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程,且f (x )是P m (x )e lx 型(其中P m (x )=x ,l =2).与所给方程对应的齐次方程为y -5y +6y =0,它的特征方程为r 2-5r +6=0.特征方程有两个实根r 1=2,r 2=3.于是所给方程对应的齐次方程的通解为Y =C 1e 2x +C 2e 3x .由于l =2是特征方程的单根,所以应设方程的特解为y *=x (b 0x +b 1)e 2x .把它代入所给方程,得-2b 0x +2b 0-b 1=x .比较两头x 同次幂的系数,得⎩⎨⎧=-=-0212100b b b -2b 0=1,2b 0-b 1=0.由此求得210-=b ,b 1=-1.于是求得所给方程的一个特解为x e x x y 2)121(*--=.从而所给方程的通解为x x x e x x e C e C y 223221)2(21+-+=.提示y *=x (b 0x +b 1)e 2x (b 0x 2+b 1x )e 2x[(b 0x 2+b 1x )e 2x][(2b 0x +b 1)(b 0x 2+b 1x )×2]e2x[(b 0x 2+b 1x )e 2x][2b 02(2b 0x b 1)×2(b 0x 2+b 1x )×22]e 2xy *5y *6y *[(b 0x 2+b 1x )e 2x]5[(b 0x 2+b 1x )e 2x]6[(b 0x 2+b 1x )e 2x] [2b 02(2b 0x b 1)×2(b 0x 2+b 1x )×22]e2x5[(2b 0x +b 1)(b 0x 2+b 1x )×2]e 2x 6(b 0x 2+b 1x )e 2x[2b 04(2b 0x b 1)5(2b 0x +b 1)]e2x[2b 0x +2b 0b 1]e2x方程y+py+qy =e lx[P l (x )cos wx +P n (x )sin wx ]的特解形式应用欧拉公式可得e lx [P l (x )cos wx +P n (x )sin wx ]x i x i e x P e x P )()()()(ωλωλ-++=,其中)(21)(i P P x P n l -=,)(21)(i P P x P n l +=. 而m =max{l ,n }. 设方程y +py +qy =P (x )e (l +iw )x 的特解为y 1*=x k Q m (x )e (l +iw )x , 则)(1)(*ωλi m k e x Q x y -=必是方程)()(ωλi e x P qy y p y -=+'+''的特解,其中k 按liw 不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1.于是方程y+py +qy =e lx[P l (x )cos wx +P n (x )sin wx ]的特解为 =x k e lx [R (1)m (x )cos wx +R (2)m (x )sin wx ].综上所述,我们有如下结论:如果f (x )=e lx[P l (x )cos wx +P n (x )sin wx ],则二阶常系数非齐次线性微分方程 y+py +qy =f (x )的特解可设为 y *=x k e lx [R (1)m (x )cos wx +R (2)m (x )sin wx ],其中R (1)m (x )、R (2)m (x )是m 次多项式,m =max{l ,n },而k 按l +i w(或l -iw )不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1. 例3求微分方程y +y =x cos2x 的一个特解.解所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程, 且f (x )属于e lx [P l (x )cos wx +P n (x )sin wx ]型(其中l =0,w =2,P l (x )=x ,P n (x )=0）.与所给方程对应的齐次方程为y +y =0,它的特征方程为r 2+1=0.由于这里l +iw =2i 不是特征方程的根,所以应设特解为 y *=(ax +b )cos2x +(cx +d )sin2x .把它代入所给方程,得(-3ax -3b +4c )cos2x -(3cx +3d +4a )sin2x =x cos2x . 比较两头同类项的系数,得31-=a ,b =0,c =0,94=d .于是求得一个特解为x x x y 2sin 942cos 31*+-=.提示 y *=(ax +b )cos2x +(cx +d )sin2x .y *=a cos2x 2(ax +b )sin2x +c sin2x +2(cx +d )cos2x (2cx +a 2d )cos2x +(2ax 2b c )sin2xy *=2c cos2x 2(2cx +a 2d )sin2x 2a sin2x +2(2ax 2b c )cos2x (4ax 4b 4c )cos2x (4cx 4a 4d )sin2x y *y *(3ax 3b 4c )cos2x (3cx 4a 3d )sin2x 由⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=+-=-0340304313d a c c b a 得31-=a ,b =0,c =0,94=d .。

二阶微分方程解

二阶微分方程解二阶微分方程分为齐次和非齐次两种类型。

在这里，我们主要讨论二阶常系数齐次线性微分方程的解法。

二阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为：ayy'' + by' + cy = 0其中，a、b、c为常数。

求解过程如下：1. 特征方程：首先求出微分方程的特征方程。

特征方程为：r^2 - pr - q = 0其中，p、q为常数。

2. 求解特征方程：求出特征方程的两个根r1和r2。

可以使用公式：r1,2 = (-p ±√(p^2 - 4q)) / 23. 根据根与系数的关系，得出二阶微分方程的通解：通解= yC1* e^(r1x) + yC2 * e^(r2x)其中，yC1和yC2为待定系数，可通过初始条件求解。

4. 求解特解：若需要求解特解，可以先设特解的形式为y = yE(x)，然后将其代入原方程，求解待定系数。

举例：求解二阶常系数齐次线性微分方程：yy'' - 2y' + 3y = 01. 特征方程：r^2 - 2r + 3 = 02. 求解特征方程：r1= 1，r2 = 33. 通解：通解= yC1* e^x + yC2* e^-x4. 求解特解：设特解为y = yE(x) = e^(x^2)将其代入原方程，求解得到yE(x)为原方程的特解。

需要注意的是，二阶微分方程的解法不仅限于齐次方程，还包括非齐次方程。

非齐次方程的解法通常需要先求解齐次方程的通解，然后通过待定系数法求解特解。

此外，还有其他类型的二阶微分方程，如艾里方程等，其解法更为复杂。

二阶微分方程求解的技巧

二阶微分方程求解的技巧一阶微分方程只含有一阶导数，而二阶微分方程含有二阶导数。

求解二阶微分方程的技巧较为复杂，需要利用一些特定的方法和技巧。

下面我们将介绍几种常用的技巧，帮助你求解二阶微分方程。

1.齐次线性方程法：如果二阶微分方程可以写为形式：$ay''+by'+cy=0$，其中a、b、c是常数,则称之为齐次线性方程。

我们可以从中解得一个求解公式：$y=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}$，其中$C_1$和$C_2$是任意常数，$\lambda_1$和$\lambda_2$是方程的特征根。

为了寻找特征根，我们需要解决特征方程：$a\lambda^2+b\lambda+c=0$。

如果特征方程有两个相异的实根$\lambda_1$和$\lambda_2$，则方程的解是通解。

如果它们是重根，则方程的解是通解的一部分。

如果特征方程有两个虚根，则方程的解由实部和虚部组成。

2.变量可分离法：如果方程可以写为形式：$y''=f(x)g(y')$，其中f和g是一元函数，我们可以利用变量可分离法进行求解。

首先，设$y'=p$，则$y''=p\frac{dp}{dx}$。

将这些代入原方程，我们得到：$p\frac{dp}{dx}=f(x)g(p)$。

将上式变换为分离变量：$\frac{dp}{g(p)}=f(x)dx$。

然后，我们对两边进行积分，并解出p关于x的函数，最后再通过积分得到y关于x的函数。

3.常数变易法：如果方程可以写为形式：$ay''+by'+cy=f(x)$，其中f(x)是已知的函数，我们可以使用常数变易法进行求解。

首先，我们猜测一个特解$y^*$，并将其带入方程中。

然后我们将$y^*$代入方程，并解出常数。

我们将这些解代入齐次线性方程的通解中，并得到方程的通解。

4.欧拉方程法：如果方程是二阶常系数线性方程，并可以写为形式：$ax^2y''+bxy'+cy=0$，我们可以使用欧拉方程法进行求解。

二阶阶微分方程的解法及应用

f (0) 0 ,
f (0) 1
思考: 设 ( x) e x
x
x 0
( x u ) d u, (0) 0,
提示: 对积分换元 , 令 t x u , 则有
解初值问题: 答案:
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例3. 设函数
数, 且
内具有连续二阶导
(1) 试将 x＝x( y) 所满足的微分方程 2 d x dx 3 ( y sin x)( ) 0 2 dy dy
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(7) y 2 y 5 y sin 2 x
特征根: 齐次方程通解: Y e x ( C1 cos 2 x C2 sin 2 x ) 令非齐次方程特解为代入方程可得 A 117 ,
原方程通解为 y e x ( C1 cos 2 x C2 sin 2 x )
dp f ( x, p ) dx
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2. 二阶线性微分方程的解法齐次 • 常系数情形非齐次 • 欧拉方程
代数法
x 2 y p x y q y f (x) d t 令 x e ,D dt D( D 1) pD q y f (et )
o x x
F x g (20 x) g 2( x 10) g
由牛顿第二定律, 得
d x 20 2 2( x 10) g dt dx 0 x t 0 12 , d t t 0
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2
结束
微分方程通解:
由初始条件得故定解问题的解为

二阶常系数线性微分方程的解法

1
二阶常系数齐次线性方程解的性质回顾
一阶齐次线性方程 y P( x) y 0 (1)
1、方程(1)的任意两个解的和仍是(1)的解； 2、方程(1)的任意一个解的常数倍仍是(1)的解；
2
二阶常系数齐次线性方程解的性质 y ay by 0 (2)
1、方程(2)的任意两个解的和仍是(2)的解； 2、方程(2)的任意一个解的常数倍仍是(2)的解；
Q( x) Qm ( x) , 即 y Qm ( x) erx 情形2 若 r 是特征方程的单根, 即 r2 ar b 0 ,
而 2r a 0 , 则令 Q( x) xQm ( x) , 即
y xQm ( x)erx
14
Q (2r a)Q (r 2 ar b)Q Pm ( x) (*) 情形3 若 r 是特征方程的二重根, 即 r2 ar b 0 ,
2
2
此时原方程的通解为
y
(C1
C 2 x)e2x
1 2
x 2e2x
；
Q( x) Ax2 , Q Pm ( x) , 2 A 1
21
y 4 yAe x ,
代入原方程,得
A
(
1 2)2
,
即特解为
y
(
1 2)2
e
x
,
此时原方程的通解为
于是 y x( 1 x 1)e2x ，
2
2
原方程通解为
y
C1e x
C 2e2 x
x(1 2
x
1) e2 x
.
18
例6 求微分方程 y 6 y 9 y x e3x 的通解.
解特征方程 2 6 9 0 , 特征根 1,2 3 ，
对应齐次方程通解 Y (C1 C2 x)e3x . 因为 r 3 是二重特征根,

二阶微分方程解法

二阶微分方程解法
1.二阶常系数齐次线性微分方程解法
一般形式:y”+py’+qy=0,特征方程r2+pr+q=0。

特征方程
r2+pr+q=0的两根为r1,r2微分方程y”+py’+qy=0的通解。

两个不相等的实根r1,r2，y=C1er1x+C2er2x。

两个相等的实根r1=r2，y=(C1+C2x)er1x。

一对共轭复根r1=α+iβ,r2=α-iβ，
y=eαx(C1cosβx+C2sinβx)。

2.二阶常系数非齐次线性微分方程解法
一般形式:y”+py’+qy=f(x)。

先求y”+py’+qy=0的通解
y0(x),再求y”+py’+qy=f(x)的一个特解y*(x)。

则
y(x)=y0(x)+y*(x)即为微分方程y”+py’+qy=f(x)的通解。

求
y”+py’+qy=f(x)特解的方法:
①f(x)=Pm(x)eλx型。

令y*=xkQm(x)eλx［k按λ不是特征方程的根,是特征方程的单根或特征方程的重根依次取0,1或2］再代入原方程,确定Qm(x)的m+1个系数。

②f(x)=eλx［Pｌ(x)cosωx+Pn(x)sinωx］型。

令y*=xkeλx ［Qm(x)cosωx+Rm(x)sinωx］［m=max﹛ｌ,n﹜,k按λ+iω不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1］再代入原方程,分别确定Qm(x)和Rm(x)的m+1个系数。

(整理)二阶常系数线性微分方程的解法版.

第八章 8.4讲第四节二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念形如 )(x f qy y p y =+'+'' (1)的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p 、q 均为实数,)(x f 为已知的连续函数.如果0)(≡x f ,则方程式 (1)变成0=+'+''qy y p y (2)我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法.二、二阶常系数齐次线性微分方程1．解的叠加性定理1 如果函数1y 与2y 是式(2)的两个解, 则2211y C y C y +=也是式(2)的解,其中21,C C 是任意常数.证明因为1y 与2y 是方程(2)的解,所以有0111=+'+''qy y p y 0222=+'+''qy y p y 将2211y C y C y +=代入方程(2)的左边,得)()()(221122112211y C y C q y C y C p y C y C ++'+'+''+'' =0)()(22221111=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以2211y C y C y +=是方程(2)的解.定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性.叠加起来的解从形式看含有21,C C 两个任意常数,但它不一定是方程式(2)的通解.2.线性相关、线性无关的概念设,,,,21n y y y 为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数,,,,21n k k k 使得当在该区间内有02211≡+++n n y k y k y k , 则称这n个函数在区间I 内线性相关,否则称线性无关.例如 x x 22sin ,cos ,1在实数范围内是线性相关的,因为0sin cos 122≡--x x又如2,,1x x 在任何区间(a,b)内是线性无关的,因为在该区间内要使 02321≡++x k x k k必须0321===k k k .对两个函数的情形,若=21y y 常数, 则1y ,2y 线性相关,若≠21y y 常数, 则1y ,2y 线性无关.3.二阶常系数齐次微分方程的解法定理 2 如果1y 与2y 是方程式(2)的两个线性无关的特解,则212211,(C C y C y C y +=为任意常数)是方程式(2)的通解.例如, 0=+''y y 是二阶齐次线性方程,x y x y cos ,sin 21==是它的两个解,且≠=x y y tan 21常数,即1y ,2y 线性无关, 所以 x C x C y C y C y cos sin 212211+=+=( 21,C C 是任意常数)是方程0=+''y y 的通解.由于指数函数rxe y =(r 为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子,根据指数函数的这个特点,我们用rxe y =来试着看能否选取适当的常数r ,使rx e y =满足方程(2).将rx e y =求导,得 rx rx e r y re y 2,=''='把y y y ''',,代入方程(2),得0)(2=++rx eq pr r 因为0≠rx e , 所以只有 02=++q pr r (3)只要r 满足方程式(3),rx e y =就是方程式(2)的解.我们把方程式(3)叫做方程式(2)的特征方程,特征方程是一个代数方程,其中r r ,2的系数及常数项恰好依次是方程(2)y y y ,,'''的系数. 特征方程(3)的两个根为 2422,1q p p r -±-=, 因此方程式(2)的通解有下列三种不同的情形. (1) 当042>-q p 时，21,r r 是两个不相等的实根. 2421q p p r -+-=,2422q p p r ---= x r x r e y e y 2121,==是方程(2)的两个特解,并且≠=-x r r e y y )(2121常数,即1y 与2y 线性无关.根据定理2,得方程(2)的通解为 x r x r e C e C y 2121+=(2) 当042=-q p 时, 21,r r 是两个相等的实根. 221p r r -==,这时只能得到方程(2)的一个特解x r e y 11=,还需求出另一个解2y ,且≠12y y 常数,设)(12x u y y =, 即 )(12x u e y x r =)2(),(21121211u r u r u e y u r u e y x r x r +'+''=''+'='. 将222,,y y y '''代入方程(2), 得 []0)()2(12111=++'++'+''qu u r u p u r u r u e x r 整理,得0])()2([12111=+++'++''u q pr r u p r u e x r由于01≠x r e , 所以 0)()2(1211=+++'++''u q pr r u p r u 因为1r 是特征方程(3)的二重根, 所以02,01121=+=++p r q pr r从而有 0=''u因为我们只需一个不为常数的解,不妨取x u =,可得到方程(2)的另一个解 x r xe y 12=.那么,方程(2)的通解为x r x r xe C e C y 1121+=即 xr e x C C y 1)(21+=.(3) 当042<-q p 时,特征方程(3)有一对共轭复根 βαβαi r i r -=+=21, (0≠β)于是 x i x i e y ey )(2)(1,βαβα-+== 利用欧拉公式 x i x e ix sin cos +=把21,y y 改写为)sin (cos )(1x i x e e e e y x x i x x i ββαβαβα+=⋅==+)sin (cos )(2x i x e e e e y x x i x xi ββαβαβα-=⋅==-- 21,y y 之间成共轭关系,取-1y =x e y y x βαcos )(2121=+, x e y y i y x βαsin )(2121_2=-= 方程(2)的解具有叠加性,所以-1y ,-2y 还是方程(2)的解,并且≠==--x x e x e y y x x βββααt a n c o s s i n 12常数,所以方程(2)的通解为 )sin cos (21x C x C e y x ββα+=综上所述,求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤如下:(1)写出方程(2)的特征方程02=++q pr r(2)求特征方程的两个根21,r r(3)根据21,r r 的不同情形,按下表写出方程(2)的通解.例1求方程052=+'+''y y y 的通解.解: 所给方程的特征方程为0522=++r ri r i r 21,2121--=+-=所求通解为 )2sin 2cos (21x C x C e y x +=-.例 2 求方程0222=++S dt dS dtS d 满足初始条件2,400-='===t t S S 的特解.解所给方程的特征方程为0122=++r r121-==r r通解为 te t C C S -+=)(21 将初始条件40==t S 代入,得 41=C ,于是 t e t C S -+=)4(2,对其求导得te t C C S ---=')4(22 将初始条件20-='=t S 代入上式,得 22=C所求特解为te t S -+=)24(例3求方程032=-'+''y y y 的通解.解所给方程的特征方程为 0322=-+r r其根为 1,321=-=r r所以原方程的通解为 x x e C e C y 231+=-二、二阶常系数非齐次方程的解法1.解的结构定理3 设*y 是方程(1)的一个特解,Y 是式(1)所对应的齐次方程式(2)的通解,则*+=y Y y 是方程式(1)的通解.证明把*+=y Y y 代入方程(1)的左端:)()()(*++*'+'+*''+''y Y q y Y p y Y=)()(*+*'+*''++'+''qy py y qY Y p Y=)()(0x f x f =+*+=y Y y 使方程(1)的两端恒等,所以*+=y Y y 是方程(1)的解. 定理4 设二阶非齐次线性方程(1)的右端)(x f 是几个函数之和,如 )()(21x f x f qy y p y +=+'+'' (4) 而*1y 与*2y 分别是方程 )(1x f qy y p y =+'+''与 )(2x f qy y p y =+'+''的特解,那么**+21y y 就是方程(4)的特解, 非齐次线性方程(1)的特解有时可用上述定理来帮助求出.2.)()(x P e x f m x λ=型的解法 )()(x P e x f m x λ=,其中λ为常数,)(x P m 是关于x 的一个m 次多项式. 方程(1)的右端)(x f 是多项式)(x P m 与指数函数xe λ乘积的导数仍为同一类型函数,因此方程(1)的特解可能为x e x Q y λ)(=*,其中)(x Q 是某个多项式函数.把 x e x Q y λ)(=*x e x Q x Q y λλ)]()(['+=*'x e x Q x Q x Q y λλλ)]()(2)([2''+'+=*''代入方程(1)并消去xe λ,得)()()()()2()(2x P x Q q p x Q p x Q m =+++'++''λλλ (5) 以下分三种不同的情形,分别讨论函数)(x Q 的确定方法:(1) 若λ不是方程式(2)的特征方程02=++q pr r 的根, 即02≠++q p λλ,要使式(5)的两端恒等,可令)(x Q 为另一个m 次多项式)(x Q m :m m m x b x b x b b x Q ++++= 2210)(代入(5)式,并比较两端关于x 同次幂的系数,就得到关于未知数m b b b ,,,10 的1+m 个方程.联立解方程组可以确定出),,1,0(m i b i =.从而得到所求方程的特解为x m e x Q y λ)(=*(2) 若λ是特征方程02=++q pr r 的单根, 即02,02≠+=++p q p λλλ,要使式(5)成立, 则)(x Q '必须要是m 次多项式函数,于是令)()(x xQ x Q m =用同样的方法来确定)(x Q m 的系数),,1,0(m i b i =.(3) 若λ是特征方程02=++q pr r 的重根,即,02=++q p λλ 02=+p λ.要使(5)式成立,则)(x Q ''必须是一个m 次多项式，可令)()(2x Q x x Q m =用同样的方法来确定)(x Q m 的系数.综上所述,若方程式(1)中的x m e x P x f λ)()(=,则式(1)的特解为x m k e x Q x y λ)(=*其中)(x Q m 是与)(x P m 同次多项式,k 按λ不是特征方程的根,是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0,1或2.例4 求方程x e y y 232-='+''的一个特解.解 )(x f 是x m e x p λ)(型, 且2,3)(-==λx P m对应齐次方程的特征方程为 022=+r r ,特征根根为2,021-==r r . λ=-2是特征方程的单根, 令x e xb y 20-=*,代入原方程解得230-=b 故所求特解为 x xe y 223--=* . 例5 求方程x e x y y )1(2-='-''的通解.解先求对应齐次方程02=+'-''y y y 的通解.特征方程为 0122=+-r r , 121==r r齐次方程的通解为 x e x C C Y )(21+=.再求所给方程的特解1)(,1-==x x P m λ由于1=λ是特征方程的二重根,所以x e b ax x y )(2+=*把它代入所给方程,并约去xe 得 126-=+x b ax比较系数,得61=a 21-=b 于是 x e x x y )216(2-=* 所给方程的通解为 x e x x x C C y y y )6121(3221+-+=+=* 3.x B x A x f ϖϖsin cos )(+=型的解法,sin cos )(x B x A x f ωω+=其中A 、B 、ω均为常数.此时,方程式(1)成为x B x A q y p y ωωsin cos +=+'+'' (7)这种类型的三角函数的导数,仍属同一类型,因此方程式(7)的特解*y 也应属同一类型,可以证明式(7)的特解形式为)sin cos (x b x a x y k ωω+=*其中b a ,为待定常数.k 为一个整数.当ω±i 不是特征方程02=++q pr r 的根, k 取0;当ω±i 不是特征方程02=++q pr r 的根, k 取1;例6 求方程x y y y sin 432=-'+''的一个特解.解 1=ω，ω±i i ±=不是特征方程为0322=-+r r 的根，0=k .因此原方程的特解形式为x b x a y sin cos +=* 于是 x b x a y cos sin +-=*'x b x a y sin cos --=*''将*''*'*y y y ,,代入原方程，得⎩⎨⎧=--=+-442024b a b a解得 54,52-=-=b a原方程的特解为: x x y sin 54cos 52--=*例7 求方程x e y y y x sin 32+=-'-''的通解.解先求对应的齐次方程的通解Y .对应的齐次方程的特征方程为 0322=--r r3,121=-=r rx x e C e C Y 321+=-再求非齐次方程的一个特解*y .由于x e x x f -+=2cos 5)(,根据定理4,分别求出方程对应的右端项为,)(1x e x f =x x f sin )(2=的特解*1y 、*2y ,则 **+=*21y y y 是原方程的一个特解.由于1=λ,ω±i i ±=均不是特征方程的根,故特解为)sin cos (21x c x b ae y y y x ++=+=***代入原方程,得x e x c b x c b ae x x sin sin )42(cos )24(4=-++--比较系数,得14=-a 024=+c b 142=-c b解之得 51,101,41-==-=c b a . 于是所给方程的一个特解为 x x e y x s i n 51c o s 10141-+-=* 所以所求方程的通解为x x e e C e C y Y y x x x sin 51cos 10141321-+-+=+=-*.。

二阶常系数线性微分方程的解法

2.2 二阶常系数线性微分方程的解法
数学系贺丹
2.2 二阶常系数线性微分方程的解法
若二阶线性微分方程为 ay by cy f ( x) ，其中 a, b, c 均为常数，则称该方程为二阶常系数线性微分方程。
二阶常系数线性齐次方程的解法
ay by cy 0 ，
①
猜想方程①具有 y erx 形式的解，其中 r 为待定常数，
方程②叫做方程①的特征方程。
按特征方程的两个根 r1, r2 的三种可能情况： 1． r1 r2 是两个不相等的实根； 2． r1 r2 是两个相等的实根；
3． r1 i ， r2 i 是一对共轭复数。
3
2.2 二阶常系数线性微分方程的解法
1 ．特征方程的根是两个不相等实数的情形。
∵函数 y1 和 y2 都是方程①的解，且它们是线性无关的，
∴ 方程①的通解为 y C1 y1 C2 y2 ，即
y e x (C 1 co x s C 2 six n )
（其中 , 为特征方程的复根的实部及虚部）。
7
2.2 二阶常系数线性微分方程的解法
小结：求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤
高阶常系数线性齐次方程的解法 n 阶常系数线性齐次方程为
a0 y(n) a1 y(n1) an1 y an y 0 ， ③
其特征方程为 a0r n a1r n1 an1r an 0 . ④
方程②是一个一元 n 次方程，有 n 个根。类似二阶常系
数线性齐次方程，相应地可得到方程①的 n 个线性无关
∵ erx 0 ， 2ar b 0, ar 2 br c 0 ， ∴ u( x) 0 ，
取 u( x) 0 的一个解 u( x) x ，则 y2 xerx 。

2.2-二阶常系数线性微分方程的解法

∴对应的齐次方程的通解为Y e x (C1 C2 x) 。 ∵ f ( x) xe x ，属 f ( x) Pm ( x)e x 型( m 1, 1 )，
而 1是特征方程的重根，
∴设
y x2 ( A x A1 )e x
，A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 6
，
A1

0
。
∴ y 1 x3ex ，
取 u( x) 0 的一个解 u( x) x ，则 y2 xerx 。
∴方程①的通解为 y C1erx C2 xerx ，即 y erx (C1 C2 x) 。
3 ．特征方程的根是一对共轭复数的情形。
∵ y1 e( i ) x 、 y2 e( i ) x 是方程①的特解，
将 y ， ( y ) A ， ( y ) 0 ，代入原方程后得
5A 6( A x A1 ) 6A x (6A1 5A ) 2x 3 ，有
6A 2

6
A1

5
A
3

A A1

1 3 7 9
. 故原方程的特解为 y
∴设 Qm ( x) A0 x m A1 x m1 Am1 x Am 。
把 Qm ( x) 代入 ④ 式，比较等式两端 x 同次幂的系数，就得到以 A0 , A1 ,, Am1 , Am 作为未知数的 m 1 个方程的联立方程组，从而可以定出这些 Ai (i 0, 1, , m) ，
且
y1 y2

e( i ) x e( i ) x
e2 i x 不为常数，它们是线性无关的，

二阶线性微分方程的解法

二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念形如y py qy f(x) (1)的方程称为二阶常系数线性微分方程•其中p、q均为实数，f (x)为已知的连续函数.如果f (x) 0,则方程式(1)变成y py qy 0 (2)我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法.二、二阶常系数齐次线性微分方程1．解的叠加性定理1如果函数y i与y是式⑵的两个解，则y C i y i 也是式⑵的解，其中C1,C2是任意常数.证明因为y i与y是方程⑵的解，所以有y1 py1 qy1 0y2 py2 qy2 0将y C i y i C2y2代入方程⑵的左边，得(C1 y1 C2y2) p(C1 y1 C2y2) q(C1 y1 C2y2)=C i(y i py i qy i) C2(y2 py2 qy2) 0所以y C i y i C?y2是方程⑵的解•定理i 说明齐次线性方程的解具有叠加性.叠加起来的解从形式看含有C i,C2两个任意常数，但它不一定是方程式(2)的通解•2•线性相关、线性无关的概念设y i，y2，,y n,为定义在区间i内的n个函数，若存在不全为零的常数k「k2,,心，使得当在该区间内有k』k?y2 k n y n0,则称这n个函数在区间I内线性相关，否则称线性无关.例如1, cos2 x,sin2 x在实数范围内是线性相关的,因为2 21 cos x sin x 0又如1, x,x2在任何区间（a,b）内是线性无关的，因为在该区间内要使k1 k2x k3x20必须k1 k2 k3 0.对两个函数的情形，若上常数，则y2线性相关若吐常数，则y2 y2y1，y线性无关.3•二阶常系数齐次微分方程的解法定理2如果y1与y2是方程式⑵的两个线性无关的特解，则y C d C2y2（G，C2为任意常数）是方程式（2）的通解.例如，y y 0是二阶齐次线性方程，sin x，y2cosx是它的V1两个解，且-tan X 常数，即y1，y2线性无关，所以y2y C1 y1C2y2& sin x C2 cos x（C1,C2是任意常数）是方程y y 0的通解•rx由于指数函数y e （r为常数）和它的各阶导数都只差一个常数因子，根据指数函数的这个特点，我们用y 来试着看能否选取适当的常数r ,rx使y e满足方程（2）.将y e rx求导，得rx2 rxy re , y r e把y, y , y 代入方程⑵，得.2\ rx(r pr q)e 0因为e^0,所以只有r 2 pr q 0只要r 满足方程式（3）, y e rx就是方程式 ⑵的解.我们把方程式（3）叫做方程式（2）的特征方程，特征方程是一个代数方程其中r2,r 的系数及常数项恰好依次是方程（2） y , y , y 的系数•特征方程（3）的两个根为 A,2 P "一,因此方程式（2）的通解有下列三种不同的情形y i e rix , y 2 e r2x 是方程⑵的两个特解，并且上e （ri r2）x 常数，即 y 2y i 与y 2线性无关•根据定理2,得方程 ⑵的通解为 yC i e"C 2e°x2⑵ 当p 4q 0时，九“是两个相等的实根r i D £,这时只能得到方程⑵的一个特解y i e rix ,还需求出另一个解y 2,且里常数，设里 u （x ）,即y i y ir i x ,、2(1)当 p4q 0时，r i ,r 2是两个不相等的实根•r iP . P 24q 2P P 24q 2y2 e u(x)y e rix(u r i u), y e rix(u 2r i u 『u).将y2, y2, y代入方程⑵，得e rix (u 2r1u r12u) p(u r1u) qu 0整理，得e rix[u (2r i p)u (r i2 pr i q)u] 0由于e riX 0,所以u (2r i p)u (r, pq q)u 0因为r i是特征方程(3)的二重根，所以r i2pr i q 0, 2r i p 0从而有u 0因为我们只需一个不为常数的解，不妨取u x,可得到方程⑵的另个解r i xy2 xe .那么，方程(2)的通解为c F i x 小r i xy C i e C2xe即y (G C2x)e rix.(3)当p2 4q 0时，特征方程(3)有一对共轭复根r i i，r2 i (0)-Tt曰(i )x (i)x于是y i e ，y2 e利用欧拉公式e ix cosx isin x把y i,讨2改写为y i (i )x e xe i xe e x(cos x isinx)y2(i )x e x e i x e e x(cos xisin x)y i，y之间成共轭关系，取y i = ^(y i y2) e x COS x，2一1、x .y 2評 y2) e sin X方程⑵的解具有叠加性,所以y i , y 2还是方程⑵的解,并且xy e (C 1 cos x C 2 sin x)综上所述，求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤如下 (1)写出方程⑵的特征方程2r pr q 0(2)求特征方程的两个根r i , a⑶根据r i , r 2的不同情形，按下表写出方程 ⑵的通解.例1求方程y 2y 5y 0的通解.解：所给方程的特征方程为r 22r 5 0 r i1 2i,r 21 2iy 2 y ixe sin xxe cos xtan x 常数，所以方程(2)的通解为2例2求方程d孚2dS dt2dt 的特解.解所给方程的特征方程为2rS2r0满足初始条件S t 04,S t 01 02r1 r2 1通解为S (C1 C2t)e t将初始条件S t 0 4代入，得C i 4,于是S (4 C2t)e t,对其求导得S (C2 4 C2t)e t将初始条件S t 02代入上式，得C2 2所求特解为S (4 2t)e t例3求方程y 2y 3y 0的通解.解所给方程的特征方程为r2 2r 3 0其根为r13, r2 1所以原方程的通解为y C1e 3x C2e x二、二阶常系数非齐次方程的解法1.解的结构定理3设y是方程(1)的一个特解，丫是式(1)所对应的齐次方程式(2) 的通解，则y Y y是方程式(1)的通解.证明把y Y y代入方程(1)的左端：(Y y ) p(Y y ) q(Y y )=(Y pY qY) (y py qy )=0 f(x) f (x)y Y y 使方程(1)的两端恒等,所以y Y y 是方程(1)的解.定理 4 设二阶非齐次线性方程(1)的右端f (x) 是几个函数之和,如y py qy f1(x) f2 (x) (4)而 y1 与y2 分别是方程y py qy f1(x)与y py qy f2(x)的特解，那么y i y就是方程(4)的特解，非齐次线性方程(1)的特解有时可用上述定理来帮助求出.2. f (x) e X p m(x)型的解法f(x) e x P m(x),其中为常数,P m(x)是关于x的一个m次多项式.方程(1)的右端f (x)是多项式P m(x)与指数函数e x乘积的导数仍为同一类型函数,因此方程(1)的特解可能为y Q(x)e x,其中Q(x)是某个多项式函数.把y Q(x)e x[ Q(x) Q(x)]e xy[ 2Q(x) 2 Q(x) Q (x)]e xy代入方程(1)并消e x,得去Q (x) (2 p)Q(x) ( 2p q)Q(x) P m(x) (5)以下分三种不同的情形，分别讨论函数Q(x)的确定方法(1) 若不是方程式 (2)的特征方程 r 2pr q 0 的根 , 即2p q 0 ,要使式 (5)的两端恒等 ,可令 Q(x) 为另一个 m 次多项式 Q m (x) :Q m (x) b 0 b 1x b 2x 2b m x m代入 (5)式,并比较两端关于 x 同次幂的系数 ,就得到关于未知数 b 0,b 1, ,b m 的 m 1个方程 .联立解方程组可以确定出 b i (i 0,1, ,m) .从而得到所求方程的特解为y Q m (x)e x项式函数 ,于是令Q(x) xQ m (x)用同样的方法来确定 Q m (x) 的系数 b i (i0,1, ,m).22(3) 若是特征方程 r2pr q 0 的重根 , 即 2p q 0,2 p 0.要使(5)式成立，则Q (x)必须是一个 m 次多项式，可令2Q(x) x 2Q m (x)用同样的方法来确定 Q m (x)的系数.综上所述，若方程式(1)中的f(x)P m (x)e x ,则式(1)的特解为x k Q m (x)e其中Q m (x)是与P m (x)同次多项式，k 按不是特征方程的根，是特征方程(2) 若是特征方程 r 2pr q 0 的单根 , 即22pq 0, 2 p 0 ,要使式 ⑸成立，则Q (x)必须要是m 次多的单根或是特征方程的重根依次取 0,1或2.2x例4求方程y 2y 3e 的一个特解解 f(x)是 P m (x)e x型,且 P m (x) 3, 2=-2是特征方程的单根，令y xb °e 2x ，代入原方程解得例5求方程y 2y (x 1)e x的通解.特征方程为 r22r 1 0, r 1r 2 1齐次方程的通解为再求所给方程的特解Y (G C 2x)e x .1, P m (x) x 1由于1是特征方程的二重根，所以y x 2(ax b)e x把它代入所给方程，并约去e x得6ax 2b x 1比较系数，得11a—b6 2于是 y 2/X x(6 1' x1)e所给方程的通解为 y y y (C 1 C 2x1 2 x ±x 3)e2 6f(x) Acos x Bsin x,其中 A 、B 、均为常数.对应齐次方程的特征方程为r2 2r,特征根根为口 0,02.故所求特解为3 b 0— 2y3 2xxe 2解先求对应齐次方程 y2y y 0的通解.3. f (x) A cos xB sin x 型的解法此时,方程式⑴成为y py q Acos x Bsin x (7)这种类型的三角函数的导数，仍属同一类型，因此方程式⑺的特解y也应属同一类型，可以证明式(7)的特解形式为y x k(acos x bsin x)其中a,b为待定常数.k为一个整数.当i不是特征方程r2 pr q 0的根，k取0；2当i不是特征方程r pr q 0的根，k取1;例6求方程y 2y 3y 4sinx的一个特解.解1，i i不是特征方程为r2 2r 3 0的根，k 0.因此原方程的特解形式为y acosx bsi nx于是y a si nx bcosxy acosx bsin x将y,y ,y 代入原方程，得4a 2a 2b4b4解得 a 2,b4 5 5原方程的特解为：y 2cosx4 .sinx 5 5例7求方程y 2y 3y e x sin x的通解解先求对应的齐次方程的通解Y.对应的齐次方程的特征方程为r2 2r 3 0r i 1,r2 3Y C1e x C2e3x再求非齐次方程的一个特解y •由于f(x) 5cos2x e x,根据定理4,分别求出方程对应的右端项为f i(x) e x, f2(x) sinx的特解y i、y?,则y y y是原方程的一个特解•由于1, i i均不是特征方程的根，故特解为y y1y2 ae x (b cosx csin x)代入原方程，得X X4ae (4b 2c) cosx (2b 4c) sin x e sin x比较系数，得4a 1 4b 2c 0 2b 4c 1解之得 a 1,b 1,c14 10 5于是所给方程的一个特解为1 x 1 1sin xy e cosx —4 10 5所以所求方程的通解为y Y y C1e x C2e3x 1 x 1e1 . cosx sin x4 10 5。

二阶线性微分方程及其解法

n 阶微分方程的一般形式为：()(,,',",,)0n F x y y y y =L ，一般情况下，求n 阶微分方程的解是困难的. 作为基础知识，本节仅讨论二阶常系数线性微分方程的求解方法.一、二阶线性微分方程解的结构如果二阶微分方程)',,(''y y x F y =的未知函数及其导数都是一次项的，称为二阶线性微分方程. 二阶线性微分方程的一般形式为).()(')(''x f y x q y x p y =++ （）如果0)(≡x f ，则方程（）成为.0)(')(''=++y x q y x p y （）方程（）称为二阶齐次线性微分方程，相应地，方程（）称为二阶非齐次线性微分方程. 定理齐次线性微分方程解的叠加性定理. 设1y 和2y 是二阶齐次线性微分方程（）的两个解，则2211y c y c y +=也是微分方程（）的解，其中21,c c 为任意常数.证：将2211y c y c y +=代入方程（）的左端，可得))(()')((')'(221122112211y c y c x q y c y c x p y c y c +++++))(()'')(()''''(221122112211y c y c x q y c y c x p y c y c +++++==+++))(')(''(1111y x q y x p y c ))(')(''(2222y x q y x p y c ++=0，所以，2211y c y c y +=也是微分方程（）的解.□定理表明，二阶齐次线性微分方程的解可叠加. 如果我们已知二阶齐次线性微分方程的两个解1y 和2y ，很容易得到含有任意常数21,c c 的解，2211y c y c y +=. 如果解1y 和2y 有一定关系，那么，解2211y c y c y +=中的任意常数21,c c 可以合并成一个任意常数. 因此，依据本章第一节的论述，它并不是二阶齐次线性微分方程的通解. 那么，二阶齐次线性微分方程的两个解1y 和2y 要满足哪些条件才能使解2211y c y c y +=成为二阶齐次线性微分方程的通解呢？为此，引入线性相关和线性无关的概念.定义设函数1y 和2y 是定义在某个区间I 上的两个函数，如果存在两个不全为零的常数21,c c ，使02211=+y c y c在区间I 上恒成立，则称函数1y 和2y 在区间I 上是线性相关的，否则是线性无关的.确定两个函数1y 和2y 在区间I 上是否线性相关的简易方法为：看这两个函数之比12y y 是否为常数. 如果12y y 等于常数，则1y 与2y 线性相关；如果12y y 等于函数，则1y 与2y 线性无关. 例如, 123,y y =则1y 与2y 线性相关. 12y x y =,则1y 与2y 线性无关. 定理二阶齐次线性微分方程的通解结构定理. 如果1y 和2y 是二阶齐次线性微分方程（）的两个线性无关的特解，则2211y c y c y +=是微分方程（）的通解，其中21,c c 为任意常数.例如, 1x y e =,22x y e =,3x y e -=42x y e -=都是二阶齐次线性微分方程10y ''-=的解, 21,c c 是任意常数,则下列哪些选项表示微分方程10y ''-=的通解:A. 1122c y c y +B. 1124c y c y +C. 112c y c +D. 1324c y c y +E. 113c y y +F. 114y c y +G. 112234()()c y y c y y +++由二阶齐次线性微分方程的通解结构定理,可知:选项B,G 为该方程的通解.本定理可推广到更高阶齐次线性微分方程.定理非齐次线性微分方程的通解结构定理. 如果*y 是二阶非齐次线性微分方程（）的一个特解，Y 是该方程对应的二阶齐次线性微分方程（）的通解，即余函数，则*y Y y +=是二阶非齐次线性微分方程（）的通解.证：将*y Y y +=代入方程（）的左端，可得*))((*)')(('*)'(y Y x q y Y x p y Y +++++*))(()*'')(()'*'''(y Y x q y Y x p y Y +++++==+++))(')(''(Y x q Y x p Y *))(*')('*'(y x q y x p y ++=)(x f ，所以，*y Y y +=是微分方程（）的解，又Y 是二阶齐次线性微分方程（）的通解，它含有两个任意常数，即解中*y Y y +=含有两个任意常数，因此*y Y y +=是二阶非齐次线性微分方程（）的通解.□上述定理和定义是求非齐次线性微分方程通解的理论基础.根据上述定理和定义，求二阶非齐次线性微分方程通解的步骤为：（1）求对应的二阶齐次线性微分方程（）的两个线性无关的特解1y 和2y ，构成对应的二阶齐次线性微分方程的余函数2211y c y c Y +=；（2）求二阶非齐次线性微分方程（）的一个特解*y ；则，二阶非齐次线性微分方程（）的通解为*y Y y +=.上述步骤也适用于求更高阶非齐次线性微分方程的通解.二、二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为.0'''=++qy py y （）其中p ，q 为常数. 根据定理，要求二阶常系数齐次线性微分方程（）的通解，只要求出该方程的任意的两个线性无关的特解1y 和2y 即可. 注意到方程（）的系数是常数，可以设想如果能找到一个函数y ，其导数''y ，'y 和y 之间只相差一个常数，该函数就可能是方程（）的特解. 而基本初等函数中的指数函数x e y λ=恰好具有这个性质. 因此，设方程（）的解为x e y λ=，其中λ为待定常数，将xe y λ=、x e y λλ='和x e y λλ2"=代入微分方程（），则有0)(2=++x e q p λλλ，即02=++q p λλ （）我们称方程（）为二阶常系数齐次线性微分方程（）的特征方程，而称q p F ++=λλλ2)(为二阶常系数齐次线性微分方程（）的特征多项式，特征方程的根2422,1q p p -±-=λ 称为二阶常系数齐次线性微分方程（）的特征根.因为微分方程（）的特征方程（）为二次代数方程，其特征根有三种可能的情况，下面分别讨论并给出微分方程（）的通解.（1）当042>-q p 时，特征方程有两个相异的实根1λ和2λ，因此，微分方程有两个特解x x e y e y 2121,λλ==由于x e y y )(2121λλ-=，所以21,y y 线性无关.故二阶常系数齐次线性微分方程（）的通解为x x e c e c y 2121λλ+= （21,c c 为任意常数）（）（2）当042=-q p 时，特征方程有重根21λλλ==，因此，微分方程只有一个特解x e y λ=1.设x e x h y x h y λ)()(12==是微分方程（）另一个特解，求导得:x x e x h e x h y λλλ)()(''2+=， x x x e x h e x h e x h y λλλλλ)()('2)(""22++=. 将222",',y y y 代入微分方程（），注意到方程02=++q p λλ和2p -=λ，化简后得：0)("=x h .满足这个条件的函数无穷多, 取最简单的一个x x h =)(，则微分方程（）另一个特解为xxe y λ=2，且21,y y 线性无关.故二阶常系数齐次线性微分方程（）的通解为 x e x c c y λ)(21+= （21,c c 为任意常数）（）（3）当042<-q p 时，特征方程有一对共轭复根βαλi +=1，βαλi -=2 其中2p -=α，242p q -=β. 因此，微分方程有两个特解x i x i e y e y )(2)(1,βαβα-+==.因为x i e y y β221=，所以21,y y 线性无关. 为了便于在实数范围内讨论问题，我们用欧拉公式找两个线性无关的实数解.由欧拉公式x i x e ixsin cos +=可得 ),sin (cos 1x i x e y x ββα+=),sin (cos 2x i x e y x ββα-=根据齐次线性微分方程的解的叠加性定理,有,cos )(2121x e y y x βα=+.sin )(2121x e y y ix βα=-x e x βαcos 和x e xβαsin 均为微分方程（）的解. 而x x e x e x x βββααcot sin cos =. 故二阶常系数齐次线性微分方程（）的通解为x e x c x c y αββ)sin cos (21+= （21,c c 为任意常数） . （）综上所述，求二阶常系数齐次线性微分方程（）的通解，只须先求出其特征方程（）的根，再根据特征根的不同情况，分别选用公式（）、（）或（），即可写出其通解.上述求二阶常系数齐次线性微分方程（）的通解的方法称为特征根法，其步骤为：（1）写出的特征方程；（2）求出特征根；（3）根据特征根的三种不同情况，分别用公式（）、（）或（）写出微分方程（）的通解. 特征根法亦适用于求更高阶常系数齐次线性微分方程的通解.例1 求方程04'3"=--y y y 的通解.解：特征方程为,0432=--λλ特征根41=λ，,12-=λ所求通解为x x e c e c y -+=241 （21,c c 为任意常数）.例2 求方程0'2"=++y y y 的通解.解：特征方程为,0122=++λλ特征根,121-==λλ 所求通解为x e x c c y -+=)(21 （21,c c 为任意常数）.例3 求方程0'"=++y y y 的通解.解：特征方程为,012=++λλ 特征根,23212,1i ±-=λ 所求通解为 ,)23sin 23cos (2121x e x c x c y -+= （21,c c 为任意常数）. 例4 求方程04'4"=+-y y y 的满足定解条件1)0(=y ，4)0('=y 的特解.解：特征方程为,0442=+-λλ特征根,221==λλ 所求通解为x e x c c y 221)(+=对上式求导，得,)(2'22122x x e x c c e c y ++=由定解条件1)0(=y ，4)0('=y 代入：11=c ，,22=c因此，所求特解为x e x y 2)21(+=.三、二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式为).('''x f qy py y =++ （p ，q 为常数）（）由定理可知，如果*y 是二阶非齐次线性微分方程的一个特解，则二阶非齐次线性微分方程的通解为*y Y y += 其中Y 为余函数，即该方程对应的二阶齐次线性微分方程的通解，可用二中的方法求得.当)(x f 为某些特殊类型函数时，可用待定系数法确定二阶非齐次线性微分方程一个特解*y ，代入公式（）即可得到二阶非齐次线性微分方程的通解. 现就)(x f 为某些特殊类型函数时，讨论用待定系数法确定二阶非齐次线性微分方程一个特解*y 的方法.1、当()()x m f x x e μϕ=，其中μ为常数，()m x ϕ为m 次多项式：1011()m m m m m x b x b x b x b ϕ--=++⋅⋅⋅++，0≥m .因为多项式与指数函数的积的导数的形式不变，因此设微分方程（）的一个特解为x e x z y μ)(*=，)()(x x x z m k ψ=其中)(x m ψ为m 次待定多项式.例如, 0()3,x ϕ=则设00()x B ψ=;1(),x x ϕ=101()x B x B ψ=+;22()1,x x ϕ=+则设22012().x B x B x B ψ=++以2*"["()2'()()]x y z x z x z x e μμμ=++，代入微分方程（），整理后可得待定系数平衡公式2()()(2)'()''()()m p q z x p z x z x x μμμϕ+++++=或()()'()'()''()()m F z x F z x z x x μμϕ++=. （）由此，通过比较两端x 的同次幂的系数确定待定多项式()()k m z x x x ψ=中的待定系数. 因为特征方程的根不同，)(x z 的次数也不同，分别讨论之.（1）当0)(2≠++=q p F μμμ，即μ不是特征方程的根时，要使平衡公式（）的两端恒等，)(x z 与()m x ϕ应为同次多项式，即 m m m m m B x B x B x B x x x z ++⋅⋅⋅++==--11100)()(ψ代入平衡公式（），比较等式两端x 的同次幂的系数，可得含有待定系数m B B B ,,,10⋅⋅⋅的1+m 个联立方程：,)(002b B q p =++μμ,)(2)(1012b mB p B q p =++++μμμ……确定),,2,1,0(m i B i ⋅⋅⋅=，就可以确定待定多项式)(x z ，得到微分方程（）的一个特解x e x z y μ)(*=.(2) 当0)(2=++=q p F μμμ，即μ是特征方程的单根时，0)('≠μF . 要使平衡公式（）的两端恒等， )('x z 与()m x ϕ为同次多项式，设 )()()(1110m m m m m B x B x B x B x x x x z ++⋅⋅⋅++==--ψ.用与（1）同样的方法，就可以确定)(x z ，得到微分方程（）的一个特解x ex z y μ)(*=. (3) 当0)(2=++=q p F μμμ，02)('=+=p F μμ，即μ是特征方程的重根时，要使平衡公式（）的两端恒等，)(''x z 与()m x ϕ为同次多项式，设)()()(111022m m m m m B x B x B x B x x x x z ++⋅⋅⋅++==--ψ.用与（1）同样的方法，就可以确定)(x z ，得到微分方程（）的一个特解x e x z y μ)(*=.上述讨论可归纳如下：当()()x m f x x e μϕ=，其中常数μ，m 次多项式)(x m ϕ已知，微分方程的特解形式为x m k x e x x e x z y μμψ)()(*==，即()()k m z x x x ψ=，其中：)(x m ψ与()m x ϕ为同次多项式；2,1,0=k ，分别根据μ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根而确定.2、当)sin cos ()(x b x a e x f xββα+=，其中βα,,,b a 为常数时，可得复数βαi ±.设微分方程的特解形式为 x k e x A x A x y αββ)sin cos (*21+=，其中：21,A A 为待定常数；1,0=k ，分别根据βαi ±不是特征方程的根或是特征方程的一对共轭复根而确定.以*",*'*,y y y 代入原方程，比较同类项的系数，解得21,A A . 例5 求方程2"'(72)xy y y x e ++=-的通解.分析：所给方程为二阶常系数非齐次线性微分方程，通解可写为*y Y y += 其中Y 为余函数，2,μ=，1()72x x ϕ=-可用待定系数平衡公式确定.解：特征方程为 ,012=++λλ 其特征根为2312,1i ±-=λ，余函数为 x e x c x c Y 2121)23sin 23cos (-+= 21,c c 为任意常数. 特征多项式为1)(2++=λλλF ，且()21F λλ'=+,2=μ不是特征方程的根.设201*(),().x y z x e z x B x B ==+根据待定系数平衡公式,010001(2)()(2)()()7()57(57)7 2.F z x F z x z x B x B B B x B B x ''''++=++=++=-比较系数, 077,B = 01572B B +=-, 得2011,1,(1).x B B y x e *==-=-即所求通解为1221233(cos sin )+1)22x x y c x c x e x e -=+-（（21,c c 为任意常数）. 例6 求方程2'2"x y y y =+-的通解.分析: 220x x x e ⋅=.解：特征方程为,0122=+-λλ其特征根为12,1=λ，余函数为x e x c c Y )(21+= 21,c c 为任意常数.特征多项式为12)(2+-=λλλF ，且)1(2)('-=λλF0=μ不是特征方程的根，22()x x ϕ=为二次多项式，故设2012*()y z x B x B x B ==++，根据待定系数平衡公式得)22()4(2)2)(0('))(0(21010202102120B B B x B B x B B B x B F B x B x B F +-++-+=+++++,2x =比较等式两端x 同次幂的系数，可得 ,10=B ,0410=+-B B ,022210=+-B B B解得,6,4,0210===B B B 即2*4 6.y x x =++所求通解为 64)(221++++=x x e x c c y x （21,c c 为任意常数）.例7 求方程"2'316xy y y xe +-=通解.解：特征方程为 ,0322=-+λλ其特征根为2,121-==λλ，余函数为x x e c e c Y 221-+= 21,c c 为任意常数.特征多项式为32)(2-+=λλλF ，且)1(2)('+=λλF1=μ是特征方程的单根，1()16x x ϕ=为一次多项式，故设01*()x y x B x B e =+，即 01()()z x x B x B =+，根据待定系数平衡公式得010001(1)()(1)()()4(2)28(24)16,F z x F z x z x B x B B B x B B x ''''++=++=++=比较系数, 001816,240B B B =+=,得012,1,(21).x B B y x x e *==-=-所求通解为312(21)x x x y c e c e x x e -=++-, (21,c c 为任意常数).例8 求方程x ey y y 24'4"-=++的通解.解：特征方程为 ,0442=++λλ其特征根为221-==λλ，余函数为x e x c c Y 221)(-+= 21,c c 为任意常数.特征多项式为44)(2++=λλλF ，且42)('+=λλF2-=μ是特征方程的重根，0()1x ϕ=为零次多项式，故设x e x B y 220*-=，即20)(x B x z =.根据待定系数平衡公式得001(2)()(2)()()21,,2F z x F z x z x B B ''''-+-+=== x e x y 2221*-=. 所求通解为22121()2x y c c x x e -=++ (21,c c 为任意常数). 例9 求方程x y y 2cos 24"=+的通解.分析：所给方程为二阶常系数非齐次线性微分方程，通解可写为*y Y y += 其中Y 为余函数，可用节二中的方法求得：*y 为一个特解，可用待定系数法确定.解：特征方程为,042=+λ其特征根为i 22,1±=λ，余函数为,2sin 2cos 21x c x c Y += 21,c c 为任意常数.因为x x f 2cos 2)(=，2,0==βα，i 2±是特征方程的一对共轭复根.设微分方程的特解为12*(cos 2sin 2)y x A x A x =+， 12,A A 为待定常数.1221*'cos 2sin 22(cos 2sin 2)y A x A x x A x A x =++-，1212*"4sin 24cos 24(cos 2sin 2),y A x A x x A x A x =-+-+代入方程x y y 2cos 24"=+，可得214cos 24sin 22cos 2A x A x x -=，比较等式两端x x 2cos ,2sin 项的系数，得1210,2A A ==，特解为 .2sin 21*x x y =所求通解为 x x x c x c y 2sin 212sin 2cos 21++= (21,c c 为任意常数). 例10 求方程x e y y y 22'"-=-+满足定解条件38)0(',0)0(==y y 的特解. 解：特征方程为,022=-+λλ其特征根为2,121-==λλ，余函数为x x e c e c Y 221-+= 21,c c 为任意常数.特征多项式为2)(2-+=λλλF ，且12)('+=λλF2-=μ是特征方程的单根，0()1x ϕ=为零次多项式，故设微分方程的特解为x xe B y 20*-=，即x B x z 0)(=.根据待定系数平衡公式得0(2)()(2)()()31,F z x F z x z x B ''''-+-+=-= 01,3B =- 所以，特解为x xe y 231*--=，所求通解为x x x xe e c e c y 222131---+= (21,c c 为任意常数). x x x x xexe e c e c y 2222132312'---+--=，由定解条件38)0(',0)0(==y y 代入可得：021=+c c ，,3221=-c c 联立求解得1,121-==c c ，所以，方程满足定解条件的特解为.3122xx x xe e e y ----=。

二阶微分方程的解法

二阶微分方程的解法引言：在微积分中，二阶微分方程是一种常见的数学工具，用于描述复杂的物理和工程问题。

解决二阶微分方程可以提供对系统的深入理解，并有助于预测和控制其行为。

本文将介绍几种常见的二阶微分方程的解法，包括常系数线性二阶微分方程、非齐次线性二阶微分方程以及常见特殊形式的二阶微分方程。

一、常系数线性二阶微分方程的解法：常系数线性二阶微分方程的一般形式可以表示为：\\[ay'' + by' + cy = 0\\]其中，a、b、c为常数，y是未知函数。

这个方程中的三个系数a、b、c决定了方程的性质和解的形式。

1.特征方程法：解决常系数线性二阶微分方程的一种常见方法是通过求解特征方程来获得解的形式。

通过设定y=e^(rx)，将其代入原方程，可以得到特征方程：\\[ar^2 + br + c = 0\\]根据特征方程的解，可以将原方程的通解表示为：\\[y = C_1e^(r_1x) + C_2e^(r_2x)\\]其中，r1和r2是特征方程的解，C1和C2是待定常数。

这个方法适用于特征方程有两个不相等的实根的情况。

2.欧拉方程法：对于具有复数解的特征方程，可以使用欧拉方程法来解决。

通过设y=e^(rx)，将其带入原方程，并使用欧拉公式进行变换，可以得到解的形式：\\[y = e^(ax) (C_1cos(bx) + C_2sin(bx))\\]其中，a和b是特征方程的实部和虚部，C1和C2是待定常数。

这个方法适用于特征方程有复数解的情况。

二、非齐次线性二阶微分方程的解法：非齐次线性二阶微分方程的一般形式可以表示为：\\[ay'' + by' + cy = f(x)\\]其中，f(x)是已知函数。

为了解决这个方程，首先需要求解对应的齐次方程\$ay'' + by' + cy = 0\$的通解。

然后，根据待定系数法或常数变易法，找到非齐次方程的一个特解。

二阶线性常微分方程的解法

二阶线性常微分方程的解法在数学中，二阶线性常微分方程是一个常见且重要的概念。

本文将介绍二阶线性常微分方程的解法，帮助读者更好地理解和应用这一知识点。

一、二阶线性常微分方程的定义二阶线性常微分方程是指形如下式的微分方程：y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = g(x)其中y(x)是未知函数，p(x)，q(x)和g(x)是已知函数，一般假设其在所考虑的区间上连续。

二、齐次方程的解法首先，我们来研究二阶线性常微分方程的齐次形式，即g(x)为零的情况。

这类方程的解法非常有规律性。

假设y1(x)和y2(x)是二阶线性常微分方程的两个解，那么线性组合c1y1(x) + c2y2(x)也是该方程的解，其中c1和c2是任意常数。

因此，我们可以找到两个解y1(x)和y2(x)，并通过线性组合的方式得到方程的通解。

具体的解法有三种情况。

1. 两个不同实数根当方程的特征方程有两个不同的实数根r1和r2时，对应的两个解分别为y1(x) = e^(r1x)和y2(x) = e^(r2x)。

2. 重根当方程的特征方程有一个重根r时，对应的两个解分别为y1(x) =e^(rx)和y2(x) = xe^(rx)。

3. 复数根当方程的特征方程有共轭复数根a±bi时，对应的两个解分别为y1(x) = e^(ax)cos(bx)和y2(x) = e^(ax)sin(bx)。

三、非齐次方程的解法对于非齐次方程，我们需要借助齐次方程的解，通过特解的方法来求解。

假设y1(x)和y2(x)是齐次方程的两个解，我们可以得到非齐次方程的特解为y(x) = u1(x)y1(x) + u2(x)y2(x)，其中u1(x)和u2(x)是待定函数。

具体的求解步骤是：1. 将待求特解y(x)代入原方程，消去齐次方程的项，得到u1'(x)y1(x) + u2'(x)y2(x) = g(x)。

二阶常系数线性微分方程的解法

二阶常系数线性微分方程的解法一、二阶常系数线性微分方程的一般形式二阶常系数线性微分方程的一般形式为：$$y''+ay'+by=f(x)$$其中，$a$和$b$为常数，$f(x)$为一般函数，$y$为未知函数。

二、特征方程为了解二阶常系数线性微分方程，我们需要首先解决特征方程的问题。

特征方程是由原方程的常系数得到的，它的一般形式为：$$r^2+ar+b=0$$关于特征方程的特征根有以下三种情况：（1）特征根为不相等实数：$r_1\eq r_2$。

此时，原方程的通解为：$$y=c_1e^{r_1x}+c_2e^{r_2x}$$（2）特征根为相等实数：$r_1=r_2=r$。

此时，原方程的通解为：$$y=c_1e^{rx}+c_2xe^{rx}$$（3）特征根为共轭复数：$r_1=\\alpha+i\\beta$，$r_2=\\alpha-i\\beta$，其中$\\alpha$和$\\beta$均为实数，而且$\\beta\eq 0$。

此时，原方程的通解为：$$y=e^{\\alpha x}(c_1\\cos\\beta x+c_2\\sin\\beta x)$$其中，$c_1$和$c_2$均为常数。

三、常数变易法常数变易法是解非齐次线性微分方程的常用方法。

它的基本思路是先假设非齐次项的解为一个函数的形式，然后将它代入原方程，得到关于未知函数的一个代数方程，通过求解这个方程，就能得到非齐次方程的一个特解。

通过常数变易法，设非齐次项的解为$y_p(x)=u(x)v(x)$，其中$u(x)$和$v(x)$均为一般函数。

将$y_p(x)$代入原方程，得到：$$u''v+2u'v'+uv''+au'v+avu'=f(x)$$通过适当的选择$u(x)$和$v(x)$，可以让上式左边的部分消去。

一般可以选择$u(x)$和$v(x)$为特征方程的解，即$u(x)$和$v(x)$满足：$$u''+au'+bu=0$$$$v''+av'+bv=0$$此时，如果特征根为不相等实数或者共轭复数，$u(x)$和$v(x)$可以分别取不同的解，而如果特征根为相等实数，$u(x)$和$v(x)$需要取不同的线性无关解。

2.2二阶常系数线性微分方程的解法

当自由项 f (x) 为两种特殊类型函数时方程②特解的求法—待定系数法。
13
2.2 二阶常系数线性微分方程的解法
1. f (x) Pm(x)ex ( 其中 pm ( x)是 x 的 m 次多项式 )
这时方程②为 ay by cy Pm ( x)ex
③
可以设 y Q( x)ex ( 其中Q( x) 是多项式 ) 。
例 1．求方程 y 5 y 6 y 2x 3 的特解。
解： f ( x) 2x 3 (2x 3)e0x ，
属 f ( x) Pm ( x)e x 型（ m 1, 0 ），
特征方程为 r2 5r 6 0 ， r1 2 ， r2 3 ，
∵ 0 不是特征根，
∴设特解为 y Q1( x)e0x Aox A1 ，
得 erx (ar 2 br c) 0 ，但 erx 0 ，故有
ar 2 br c 0 ，
②
2
2.2 二阶常系数线性微分方程的解法
ar 2 br c 0 ，
②
若 r 是一元二次方程②的一个根，则 y erx 就是方程①的一个特解。
方程②叫做方程①的特征方程。
按特征方程的两个根 r1, r2 的三种可能情况： 1． r1 r2 是两个不相等的实根； 2． r1 r2 是两个相等的实根；
9
2.2 二阶常系数线性微分方程的解法
高阶常系数线性齐次方程的解法 n 阶常系数线性齐次方程为
a0 y(n) a1 y(n1) an1 y an y 0 ， ③
其特征方程为 a0r n a1r n1 an1r an 0 . ④
方程②是一个一元 n 次方程，有 n 个根。类似二阶常系
Q( x) 应为 m 次多项式 , Q( x) 应为 m 1 次多项式 ,