第3章(1) 逻辑代数

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1-4逻辑代数的基本公式

1-4逻辑代数的基本公式

§1—4基本逻辑公式、定理课题:基本逻辑公式、定理课堂类型:讲授课时:4学时教学目的和要求:教学重点:1、常量之间的关系;变量和常量的关系。

2、运算律。

教学难点:运算律;摩根定理;冗余律。

教学方法:理论与实践相结合进行教学。

教学过程:逻辑代数的基本公式是一些不需证明的、直观的、可以看出的恒等式。

它们是逻辑代数的基础,利用这些基本公式可以化简逻辑函数,还可以用来推证一些逻辑代数的基本定律。

一、逻辑变量与逻辑函数1、逻辑变量在逻辑代数中,用英文字母表示变量,称作逻辑变量。

逻辑变量取值简单,在二值逻辑中,不是1就是0。

这里的1和0不是表示数值大小,而是表示事物相互对立而又联系着的两个方面,即两种状态。

如是和非、真和假、高和低、有和无、开和关、电灯的亮和灭等。

设A为逻辑变量,逻辑变量既可以自身、也可以与逻辑常量进行逻辑运算,逻辑变量与常量间的运算公式列下表。

由于变量A的取值只能为0或1,因此当A≠0时,必有A=1。

逻辑代数是按一定的逻辑关系进行运算的代数,是分析和设计数字电路的数学工具。

在逻辑代数,只有0和1两种逻辑值,有与、或、非三种基本逻辑运算,还有与或、与非、与或非、异或几种导出逻辑运算。

逻辑是指事物的因果关系,或者说条件和结果的关系,这些因果关系可以用逻辑运算来表示,也就是用逻辑代数来描述。

事物往往存在两种对立的状态,在逻辑代数中可以抽象地表示为 0 和 1 ,称为逻辑0状态和逻辑1状态。

逻辑代数中的变量称为逻辑变量,用大写字母表示。

逻辑变量的取值只有两种,即逻辑0和逻辑1,0 和 1 称为逻辑常量,并不表示数量的大小,而是表示两种对立的逻辑状态。

逻辑代数是分析和设计逻辑电路的数学基础。

逻辑代数,亦称布尔代数,是英国数学家乔治布尔于1849年创立的。

在当时,这种代数纯粹是一种数学游戏,自然没有物理意义,也没有现实意义。

在其诞生100多年后才发现其应用和价值。

逻辑代数是由英国科学家乔治·布尔创立的,故又称布尔代数。

哈工大数电答案

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第3章 逻辑代数及逻辑门【3-1】 填空1、与模拟信号相比,数字信号的特点是它的 离散 性。

一个数字信号只有两种取值分别表示为0 和1 。

2、布尔代数中有三种最基本运算: 与 、 或 和 非 ,在此基础上又派生出五种基本运算,分别为与非、或非、异或、同或和与或非。

3、与运算的法则可概述为:有“0”出 0 ,全“1”出 1;类似地或运算的法则为 有”1”出”1”,全”0”出”0” 。

4、摩根定理表示为:A B ⋅=A B + ;A B +=A B ⋅。

5、函数表达式Y=AB C D ++,则其对偶式为Y '=()A B +。

6、根据反演规则,若Y=AB C D C +++,则Y =()AB C D C ++⋅ 。

7、指出下列各式中哪些是四变量A B C D 的最小项和最大项。

在最小项后的( )里填入m i ,在最大项后的( )里填入M i ,其它填×(i 为最小项或最大项的序号)。

(1) A +B +D (× ); (2) ABCD (m 7 ); (3) ABC ( × ) (4)AB (C +D ) (×); (5) A B C D +++ (M 9 ) ; (6) A+B+CD (× ); 8、函数式F=AB+BC+CD 写成最小项之和的形式结果应为m ∑(3,6,7,11,12,13,14,15),写成最大项之积的形式结果应为M (∏ 0,1,2,4,5,8,9,10 )9、对逻辑运算判断下述说法是否正确,正确者在其后( )内打对号,反之打×。

(1) 若X +Y =X +Z ,则Y=Z ;( × ) (2) 若XY=XZ ,则Y=Z ;( × ) (3) 若X ⊕Y=X ⊕Z ,则Y=Z ;(√ ) 【3-2】用代数法化简下列各式(1) F 1 =1ABC AB += (2) F 2 =ABCD ABD ACD AD ++=(3)3F AC ABC ACD CD A CD=+++=+ (4) 4()()F A B C A B C A B C A BC=++⋅++⋅++=+【3-3】 用卡诺图化简下列各式(1) 1F BC AB ABC AB C =++=+ (2) 2F AB BC BC A B=++=+(3) 3F AC AC BC BC AB AC BC=+++=++ (4) 4F ABC ABD ACD CD ABC ACD A D=+++++=+或AB AC BC ++(5) 5F ABC AC ABD AB AC BD =++=++ (6) 6F AB CD ABC AD ABC A BC CD=++++=++(7) 7F AC AB BCD BD ABD ABCD A BD BD =+++++=++ (8) 8 F AC AC BD BD ABCD ABCD ABCD ABCD=+++=+++(9) 9()F A C D BCD ACD ABCD CD CD =⊕+++=+(10)F 10=10F AC AB BCD BEC DEC AB AC BD EC =++++=+++【3-4】 用卡诺图化简下列各式 (1) P 1(A ,B ,C )=(0,1,2,5,6,7)m AB AC BC =++∑ (2) P 2(A ,B ,C ,D )=(0,1,2,3,4,6,7,8,9,10,11,14)m AC AD B CD =+++∑ (3)P 3(A ,B ,C ,D )=(0,1,,4,6,8,9,10,12,13,14,15)m AB BC AD BD =+++∑(4) P 4 (A ,B ,C ,D )=17M M A BC BC D ∙=+++ 【3-5】用卡诺图化简下列带有约束条件的逻辑函数(1)()1,,,(3,6,8,9,11,12)(0,1,2,13,14,15)()d P A B C D m AC BD BCD ACD =+=++∑∑或 (2) P 2(A ,B ,C ,D )=(0,2,3,4,5,6,11,12)(8,9,10,13,14,15)dm BC BC D +=++∑∑(3) P 3 =()A C D ABCD ABCD AD ACD BCD ABD ++++=++或 AB +AC =0 (4) P 4 =A B ABCD ABCD +=+(A B C D 为互相排斥的一组变量,即在任何情况下它们之中不可能两个同时为1) 【3-6】 已知: Y 1 =AB AC BD ++ Y 2 =ABCD ACD BCD BC +++ 用卡诺图分别求出Y Y 12⋅, Y Y 12+, Y Y 12⊕。

第3章 布尔代数与逻辑函数化简

第3章 布尔代数与逻辑函数化简

布尔代数与逻辑函数化简
(二) 逻辑代数的特殊定理
吸收律 A + AB = A
A + AB = A (1 + B) = A
布尔代数与逻辑函数化简
(二) 逻辑代数的特殊定理
吸收律 A + AB = A 推广公式:
摩根定律(又称反演律) 推广公式: A+B A B A· B A B A+B A · B 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 A 0 0 思考:(1) 若已知 A + B = 1 + C,则 B = C 吗? 1 0 1 1 1 0 0 0 (2) 若已知 AB = AC,则 B = C 吗? 1 1 0 0 1 1 0 0
逻辑变量与常量的运算公式
0–1律 0+A=A 1+A=1 1· =A A 0· =0 A
重叠律
A+A=A A· =A A
互补律
还原律
布尔代数与逻辑函数化简
二、基本定律
(一) 与普通代数相似的定律
交换律 结合律 分配律 A+B=B+A (A + B) + C = A + (B + C) A (B + C) = AB + AC A· =B· B A (A · · = A · · B) C (B C) A + BC = (A + B) (A + C) 普通代数没有! 逻辑等式的 证明方法 利用真值表
例如 A 0 0 0 0 1 1 1 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 Y 1 0 0 0 0 0 0 1
逻辑式为
ABC
布尔代数与逻辑函数化简

第1章 逻辑代数基础

第1章  逻辑代数基础
5、三个重要运算规则
①代入规则:任何一个含有变量 A 的等式,如果将所有出现 A 的位置都用
同一个逻辑函数代替,则等式仍然成立。这个规则称为代入规则。 例如,已知等式 AB A B ,用函数 Y=AC 代替等式中的 A,
根据代入规则,等式仍然成立,即有:
( AC) B AC B A B C
A
E
B Y
4
第1章 逻辑代数基础---三种基本运算
功能归纳:
真值表:
开关 A 开关 B 断开 断开 闭合 闭合 断开 闭合 断开 闭合
灯Y 灭 灭 灭 亮
A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
Y 0 0 0 1
将开关接通记作1,断开记作0;灯亮记作1,灯灭记作0。可以作出如
上表格来描述与逻辑关系,这种把所有可能的条件组合及其对应结果一一列
的逻辑函数, 并记为:
F f ( A, B, C , )
3
第1章 逻辑代数基础---三种基本运算
②三种基本运算
a.与逻辑(与运算)
定义:仅当决定事件(Y)发生的所有条件(A,B,C,…)均满足 时,事件(Y)才能发生。表达式为:
Y=A· C· B· …=ABC…
描述:开关A,B串联控制灯泡Y
法进行描述。每种方法各具特点,可以相互转换。 ①真值表
将输入变量的各种可能取值和相应的函数值排列在一起而组成的表格。
真值表列写方法:每一个变量均有0、1两种取值,n个变量共有2n种不 同的取值,将这2n种不同的取值按顺序(一般按二进制递增规律)排列起
来,同时在相应位置上填入函数的值,便可得到逻辑函数的真值表。
原式左边
AB A C ( A A ) BC

《数字逻辑》第3章习题答案

《数字逻辑》第3章习题答案


【3-1】填空: (1) 逻辑代数中有三种最基本运算: 与 、 或 和 非 ,在此基础上又派生出五种基本运算, 分别为 与非 、 或非 、 异或 、 同或 、和 与或非 。 (2) 与运算的法则可概述为:有 0 出 0 ,全 1 出 1 ;类似地,或运算的法则为 有”1”出”1”, 全”0”出”0” 。 (3) 摩根定理表示为: A B = A B ; A B = A B 。 (4) 函数表达式 Y= AB C D ,则其对偶式为 Y ' = ( A B)C D 。 积的形式结果应为 M ( 0,1,2,4,5,8,9,10)。 (5) 函数式 F=AB+BC+CD 写成最小项之和的形式结果应为 m ((3,6,7,11,12,13,14,15)), 写成最大项之
0 0 1 1 1 1
1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 0 1
1 1 0 0 1 0
【3-8】写出下列函数的反函数 F ,并将其化成最简与或式。 (1) F1 ( A D )( B C D)( AB C ) (2) F2 ( A B )( BCD E )( B C E )(C A) (3) F3 A B C A D (4) F4 ( A B)C ( B C ) D 解: (1) F1 AD C (2) F2 AB A C E (3) F3 AB AC A D (4) F4 BC C D ABD A B C 【3-9】用对偶规则,写出下列函数的对偶式 F ,再将 F 化为最简与或式。 (1) F1 AB B C A C (2) F2 A B C D (3) F3 ( A C )( B C D)( A B D) ABC (4) F4 ( A B )( A C )( B C )(C D) (5) F5 AB C CD BD C 解:题中各函数对偶函数的最简与或式如下: (1) F1 A BC AB C (2) F2 A B D A C D (3) F3 AC A BD (4) F4 A BC B C CD (5) F5 ABC D (6) F6 AB C D 【3-10】已知逻辑函数 F A B C , G=A⊙B⊙C,试用代数法证明: F G 。 解:

电工电子技术基础知识点详解3-1-2-逻辑代数运算法则

电工电子技术基础知识点详解3-1-2-逻辑代数运算法则

逻辑代数及其运算法则1.逻辑代数逻辑代数又称布尔代数,它是分析与设计逻辑电路的数学工具。

它虽然和普通代数一样也是用字母表示变量,但变量的取值只有“0”和“1”两种,分别称为逻辑“0”和逻辑“1”。

这里的“0”和“1”不再表示数量的大小,而是代表两种相互对立的逻辑状态。

逻辑代数所表示的是逻辑关系,而不是数量关系,这是它与普通代数本质上的区别。

在逻辑代数中只有“与”运算(逻辑乘)、“或”运算(逻辑加)和“非”运算(求反)三种基本运算。

根据三种基本逻辑运算可以导出逻辑运算的一些法则。

2.逻辑代数运算法则(1) 常量与变量的关系自等律 A A =+0 A A =⋅1 0-1律 A A =+1 00=⋅A 互补律 1=+A A 0=⋅A A 重叠律 A A A =+ A A A =⋅ 还原律 A A =(2) 逻辑代数的基本运算法则 交换律 A B B A +=+ A B B A ⋅=⋅结合律 )()(C B A C B A ++=++)()(C B A C B A ⋅⋅=⋅⋅ 分配律 C A B A C B A ⋅+⋅=+⋅)()()()(C A B A C B A +⋅+=⋅+证:BC A BCC B A BC C B A A BC AC AB AA C A B A +=+++=+++=+++=+⋅+)1()()()( 反演律(摩根定律) B A B A ⋅=+证:B A B A +=⋅证:(3) 简化逻辑函数常用公式 (1)A B A A =⋅+ (2)A B A A =+)(证:A B A AB A AB AA B A A =+=+=+=+)1()( (3)AB B A A =++)( (4)B A B A A +=+证:B A AB A B A A ++=+ )(A AB A =+ )(A A B A ++= B A += (5)A B A AB =+ (6)A B A B A =+⋅+)()(证:A A A B B A A B B B A AB AA B A B A =+=++=+++=+⋅+)()()( 利用上述逻辑代数的基本公式,可以对某些逻辑关系式进行运算和化简,这样就可以用较少的逻辑门电路实现同样的逻辑功能,从而帮助我们对各种数字电路进行分析和设计。

第三章电气控制线路设计

第三章电气控制线路设计

例3-4加热炉自动上料机构 3)启动之前,各运动部件需处于原 位,即行程开关 SQl、SQ3都处于被 压下的状态,因此,启动的条件除启 动按钮外,还有行程开关SQ1、SQ3的 状态需为动作状态。
例3-4加热炉自动上料机构控制线路
1SB1↓→M1正 转,炉门开启 2炉门降至 SQ4,KM3吸合, 推杆进。 3推杆进至SQ2, KM4吸合,推 杆退。 4推杆退至SQ1 停,KM2吸, 炉门上升至 SQ3停。
(2)“或”运算 K=A+B
1.三种基本逻辑运算
(3)逻辑“非”
2.逻辑代数公理、定理与电器控制
例3-6 A+1=1
2.逻辑代数公理、定理与电器控制
例3-7
2.逻辑代数公理、定理与电器控制
例3-8
A B A B
例3-10,已知逻辑函数关系画电气线路图
KM 1 SB1 KA1 ( SB2 KA2) KM 1 KM 2 ( SB4 KA2) ( SB3 KA1 KM 2)
例3-14,例3-13的电气线路图
KA1 ( SB KA1) SQ2 KA2 ( SQ1 KA2) SQ3 YA1 KA1 YA2 KA2
(二)运算元件的一般逻辑式
1用持续信号排除额外起始信号
1用持续信号排除额外起始信号
图3-41 (b)
2、用持续信号排除额外终止信号(a)
电磁吸盘控制
充磁启动:按下SB8+ → KM5 √ → KM5+ →主 触头吸合,电磁吸盘充磁。 → KM5+辅助常开触点吸合,自锁。 充磁停止:按下 SB7(-) → KM5 × → KM5 (-)主 触头释放脱开,充磁停止。 退磁操作:按下SB9+ → KM6 √ → KM6+ →主 触头吸合,电磁吸盘退磁。 松开SB9(-) → KM6 × →KM6 (-)主触头释 放脱开,退磁结束

《数字电子技术(第三版)》3布尔代数与逻辑函数化简

《数字电子技术(第三版)》3布尔代数与逻辑函数化简

《数字电子技术(第三版)》3布尔代数与逻辑函数化简数字电子技术第3章布而代数与逻辑函数化简学习要点:学习要点:三种基本运算,基本公式、定理和规则。

逻辑函数及其表示方法。

逻辑函数的公式化简法与卡诺图化简法。

无关项及其在逻辑函数化简中的应用。

3.1基本公式和规则3.1.1逻辑代数的公式和定理(1)常量之间的关系与运算:00=001=010=011=1或运算:0+0=0非运算:1=00+1=10=11+0=11+1=1(2)基本公式A+0=A0-1律:A1=A互补律:A+A=1A+1=1A0=0AA=0双重否定律:A=A等幂律:A+A=A(3)基本定理AB=BA交换律:A+B=B+A(AB)C=A(BC)结合律:(A+B)+C=A+(B+C)A00A(B+C)=AB+AC1分配律:A+BC=(A+B)(A+C)1BA.BB.A000100000111A.B=A+B反演律(摩根定律):A+B=AB证明分配率:A+BC=(A+B)(A+C)证明:证明:(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC=A+AB+AC+BC=A(1+B+C)+BC=A+BC分配率A(B+C)=AB+AC等幂率AA=A等幂率AA=A分配率A(B+C)=AB+AC0-1率A+1=1(4)常用公式AB+AB=A还原律:(A+B)(A+B)=AA+AB=A吸收率:A(A+B)=AA(A+B)=ABA+AB=A+B证:A+AB=(A+A)(A+B)明分配率A+BC=(A+B)(A+C)互补率A+A=1互补率A+A=10-1率A·1=11=1 =1(A+B)=A+B冗余律:AB+AC+BC=AB+AC证明:AB+AC+BC=AB+AC+(A+A)BC=AB+AC+ABC+ABC互补率A+A=1互补率A+A=1分配率A(B+C)=AB+AC0-1率A+1=1=AB(1+C)+AC(1+B)3.1.2逻辑代数运算的基本法则(1)代入法则:任何一个含有变量A的等式,如果将所有出现A的位置都用同一个逻辑函数代替,则等式仍然成立。

逻辑代数基本定律和常用公式

逻辑代数基本定律和常用公式

逻辑代数基本定律和常⽤公式1、基本定律逻辑代数是⼀门完整的科学。

与普通代数⼀样,也有⼀些⽤于运算的基本定律。

基本定律反映了逻辑运算的基本规律,是化简逻辑函数、分析和设计逻辑电路的基本⽅法。

(1)交换律(2)结合律(3)分配律(4)反演律(德·摩根定律)2、基本公式(1)常量与常量(2)常量与变量(3)变量与变量3、常⽤公式除上述基本公式外,还有⼀些常⽤公式,这些常⽤公式可以利⽤基本公式和基本定律推导出来,直接利⽤这些导出公式可以⽅便、有效地化简逻辑函数。

(1)证明:上式说明当两个乘积项相加时,若其中⼀项(长项:A·B)以另⼀项(短项:A)为因⼦,则该项(长项)是多余项,可以删掉。

该公式可⽤⼀个⼝诀帮助记忆:“长中含短,留下短”。

(2)证明:上式说明当两个乘积项相加时,若他们分别包含互为逻辑反的因⼦(B和),⽽其他因⼦相同,则两项定能合并,可将互为逻辑反的两个因⼦(B和)消掉。

(3)证明:上式说明当两项相加时,若其中⼀项(长项:·B)包含另⼀项(短项:A)的逻辑反()作为乘积因⼦,则可将该项(长项)中的该乘积因⼦()消掉。

该公式可⽤⼀个⼝诀帮助记忆:“长中含反,去掉反”。

例如:(4)证明:上式说明当3项相加时,若其中两项(AB和C)含有互为逻辑反的因⼦(A和),则该两项中去掉互为逻辑反的因⼦后剩余部分的乘积(BC)称为冗余因⼦。

若第三项中包含前两项的冗余因⼦,则可将第三项消掉,该项也称为前两项的冗余项。

该公式可⽤⼀个⼝诀帮助记忆:“正负相对,余(余项)全完”。

例:。

数字电子技术基础(第3章) 组合逻辑分析与设计

数字电子技术基础(第3章)  组合逻辑分析与设计

第3章 组合逻辑设计
A B
&
Y
与非门的逻辑符号
L=A+B (2)或非运算:逻辑表达式为: Y A B
A 0 0 1 1 B Y 0 1 1 0 0 0 1 0 真值表
A B
≥1
Y
或非门的逻辑符号
第3章 组合逻辑设计
(3)异或运算:逻辑表达式为: Y
A 0 0 1 1 B Y 0 0 1 1 0 1 1 0 真值表
A
B F
A B
F
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 1
第3章 组合逻辑设计
功能表
开关 A 断开 断开 闭合 闭合 开关 B 断开 闭合 断开 闭合 灯Y 灭 亮 亮 亮
真值表
A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
Y 0 1 1 1
逻辑符号 实现或逻辑的电 路称为或门。或 门的逻辑符号:
A B
≥1
第3章 组合逻辑设计
第3章 组合逻辑分析与设计
3.1 逻辑代数基础
3.2 逻辑函数的化简
3.3 组合逻辑电路的分析
3.4 组合逻辑电路的设计
3.5 VHDL硬件描述语言 3.6 基本组合逻辑电路的设计举例 3.7 组合逻辑电路中的竞争-险象
第3章 组合逻辑设计
3.1 逻辑代数基础
逻辑代数(Logic Algebra)是由英国数学家乔治· 布尔(George Boole)于1847年首先提出的,因此也称为
(A+B)(A+C)
第3章 组合逻辑设计
吸收率:
A ( A B) A B A A B A B
证明: A A B ( A A)(A B)

第3章 布尔代数与逻辑函数化简3[1].1-3.2

第3章 布尔代数与逻辑函数化简3[1].1-3.2

A B
AB
求反率
A 0 0 1 1 B 0 1 0 1
AB
=AB
AB
1 0 0 0
1 0 0 0
AB
1 1 1 0
1 1 1 0
3. 分配律证明
ABC B· C
A+BC = (A+B)(A+C)
A+BC (A+B) (A+C) (A+B)(A+C)
000 001 010 011 100 101 110 111
_
_
F A B C D E
_
_
_
_
例2 与上面用摩根定律求出结果一样。
逻辑代数的基本法则
注意:在运用反演规则求一个函数的反函数时,逻辑 运算的优先顺序: 先算括号 与运算 或运算 非运算。
另外,为保持原式的逻辑优先关系, 也要正确使用括 号, 否则就要发生错误。
3.1.3 基本公式应用
(4) 或非-或非式
将或与表达式两次取反, 用摩根定律展开一次 得或非-或非表达式
F ( A B)( A C ) A B A C
_ _
同一逻辑的五种逻辑图
A B A C
&
≥1
A B F A C
& & &
___ _
&
_
F
A B A C
_
&
≥1 F
a )AC与或式; (a) F AB ( A B A C ≥1
那么所得到的表达式就是函数F的反函数 (或称补函数) 。
反函数和对偶函数之间在形式上只差变量的“非”。
逻辑代数的基本法则
例1: F A( B C ) CD

各种逻辑函数

各种逻辑函数

第3章逻辑函数3.2 逻辑代数的运算规则3.2.1 基本公理3.2 逻辑代数的运算规则3.2.2 基本定律3.2 逻辑代数的运算规则3.2.2 基本定律3.2 逻辑代数的运算规则3.2.2 基本定律3.2 逻辑代数的运算规则3.2.3 摩根定理(1)逻辑变量“与”运算后取反等于各个逻辑变量分别取反的“或”运算。

(2)逻辑变量“或”运算后取反等于各个逻辑变量分别取反的“与”运算。

3.2 逻辑代数的运算规则3.2.3 摩根定理3.2 逻辑代数的运算规则3.2.4 基本运算规则1.代入规则C用(C+D)代替2.反演规则3.2 逻辑代数的运算规则3.2.4 基本运算规则3.对偶规则3.2 逻辑代数的运算规则3.2.4 基本运算规则3.对偶规则3.3 逻辑函数的表述形式3.3.1 逻辑代数表述方式3.3.2 逻辑图表述方式3.3 逻辑函数的表述形式3.3.3 真值表表述方式3.3 逻辑函数的表述形式3.3.4 卡诺图表述方式3.4 逻辑函数的标准形式3.4.1 最小项表述方式1.最小项的定义3.4 逻辑函数的标准形式3.4.1 最小项表述方式2.最小项的性质3.4 逻辑函数的标准形式3.4.2 最大项表述方式1.最大项的定义3.4 逻辑函数的标准形式2.最大项的性质3.最小项与最大项的关系3.4 逻辑函数的标准形式3.4.3 标准与或表达式3.4 逻辑函数的标准形式3.4.4 标准或与表达式3.4 逻辑函数的标准形式3.4.5 两种标准形式的相互转换3.4 逻辑函数的标准形式3.4.6 逻辑函数表达式与真值表的相互转换3.5 逻辑代数化简方法3.5.1 并项化简法3.5 逻辑代数化简方法3.5.1 并项化简法3.5 逻辑代数化简方法3.5.4 消去冗余项化简法3.6 卡诺图化简法3.6.1 与或表达式的卡诺图表示3.6 卡诺图化简法3.6.1 与或表达式的卡诺图表示3.6 卡诺图化简法3.6.1 与或表达式的卡诺图表示3.6 卡诺图化简法3.6.2 与或表达式的卡诺图化简3.6 卡诺图化简法3.6.2 与或表达式的卡诺图化简3.6 卡诺图化简法3.6.2 与或表达式的卡诺图化简3.6 卡诺图化简法3.6.2 与或表达式的卡诺图化简3.6 卡诺图化简法3.6.2 与或表达式的卡诺图化简3.6 卡诺图化简法3.6.3 或与表达式的卡诺图化简1.或与表达式的卡诺图表示3.6 卡诺图化简法3.6.3 或与表达式的卡诺图化简2.或与表达式的卡诺图化简3.6 卡诺图化简法3.6.4 含无关项逻辑函数的化简3.6 卡诺图化简法3.6.4 含无关项逻辑函数的化简3.6 卡诺图化简法3.6.5 多输出逻辑函数的化简。

第3章-逻辑代数基础

第3章-逻辑代数基础
为0。 (b) 任何两个不同最大项逻辑“或”为“1”。 (c) 全部最大项之逻辑“与”为“0”。 (d) 某一种最大项不是包括在逻辑函数F中,就是包括在反变
量F中。 (e) n个变量构成旳最大项有n个相邻最大项。相邻最大项是指
除一种变量互为相反外,其他变量均相同旳最大项。
35
最小项与最大项旳关系
下标i相同旳最小项与最大项互补,即: mi Mi
措施二:
Y AB(C D E)
12
AB AC AB AC 合理( A地利B用)反( A演定C理) 能将某些问题简化
证明:
AA AC AB BC AC AB BC
AC AB
13
3.对偶规则 对于任何一种逻辑体现式F,假如将式中全
部旳“·”换成“+”,“+”换成“·”,“0” 换成“1”,“1”换成“0”,而变量保持不变, 原体现式中旳运算优先顺序不变。那么就能够得 到一种新旳体现式,这个新旳体现式称为F旳对 偶式F*。这个规则叫做对偶规则。
A BD CD BC 25
例3-13 化简 F (B D)(B D A G)(C E)(C G)(A E G)
解:(1) 先求出F旳对偶函数,并对其进行化简 F* BD BDAG CE CG AEG
BD CE CG
(2) 求 F* 旳对偶函数,得F旳最简或与体现式:
F A BC ( A BC)( A BC D)
( A BC) ( A BC)( A BC D)
( A BC)
20
(4)F ABCD ABC F D ABC
(5)F A ACD ABC F A CD ABC A CD BC
(6)F AC AD CD F AC ( A C)D AC ACD AC D

第3章逻辑函数运算规则及化简解读

第3章逻辑函数运算规则及化简解读
【例3-10】将 F AB ABC 写成标准与或表达式。 。
解:F AB ABC AB(C C ) ABC ABC ABC ABC m 3,6,7
3.4.4 标准或与表达式
【例3-11】将 F ABC ABC ABC ABC 开为最大项之积的形式。
3.4.3 标准与或表达式
【例3-9】将
F ABC ABD
展开为最小项之和的形式。
解:F ABC ABD ABC ( D D) ABD(C C ) ABCD ABCD ABCD ABCD m15 m14 m6 m4 m 4, 6,14,15
3.2.4 逻辑代数的基本规则
1.代入规则 任何一个含有变量A的逻辑等式,如果将所有出现A的位置都 代之以同一个逻辑函数F,则等式仍然成立。 例: A(B+C)=AB+AC,等式中的C都用(C+D)代替, 该逻辑等式仍然成立,即 A(B+(C+D))=AB+A(C+D)
3.2.4 逻辑代数的基本规则
3.2.3 摩根定理
【例3-1】 应用摩根定理化简逻辑函数 解:反复应用摩根定理可得:
F ( AB C)( A BC)
F AB C A BC ABC ABC ( A B)C A( B C ) AC BC AB AC A BC
C
0 1 0 1 0 1 0 1
Y
0 0 0 1 0 1 1 1
3.3.4 卡诺图表述
(a) 2变量卡诺图
(b) 3变量卡诺图
(c) 4变量卡诺图
图3-2 2、3、4变量的卡诺图 CDE AB 00 01 11 10 000 m0 m8 m24 m16 001 m1 m9 m25 m17 011 m3 m11 m27 m19 010 m2 m10 m26 m18 110 m6 m14 m30 m22 111 m7 m15 m31 m23 101 m5 m13 m29 m21 100 m4 m12 m28 m20

02-1逻辑代数的基本概念

02-1逻辑代数的基本概念
F=A B= AB
逻辑符号 =1 A
B
F
与非可以构成运算的完备集
A
&
F=A
A 1
&
F=A
用与非门实现的非运算
与非可以构成运算的完备集
&
&
F=A+B
用与非门实现的与运算
与非可以构成运算的完备集
A
& &
F=A+B
B
&
用与非门实现的或运算
为什么要用复合门? 速度快。 用复合门实现电路只需一种类 型的集成芯片。
54系列与74系列的比较:
系列 54 74
电源电压(V) 4.5 ~ 5.5 4.75 ~ 5.25
环境温度(℃) -55 ~ +125 0 ~ 70
2.CMOS集成电路逻辑门


CMOS集成门电路由场效应管构成。它的特点 是集成度高、功耗低,但速度较慢、抗静电能 力差。 同TTL门电路一样,CMOS门电路也有74和54 两大系列。

传输延迟时间tpd
t pd 1 2 (t PH L t PLH )

tPHL和tPLH的定义 :
扇入和扇出系数

“拉电流”工作状态 : “灌电流”工作状态:



扇入系数:指一个门电路所能允许的输入端 个数。 扇出系数:一个门电路所能驱动的同类门电 路输入端的最大数目。 I I 扇出系数的计算公式为: 扇 出 系 数 I 或 I
& 1 &
分类

主要分为TTL系列逻辑门电路和CMOS系列逻辑 门电路两大类。 TTL系列逻辑门电路:TTL与非门、 TTL集电 极开路(OC)门、TTL三态(TS)门。 CMOS系列逻辑门电路:CMOS与非门、CMOS或 非门、CMOS漏极开路、CMOS三态门等。

1.3.1逻辑代数基本定律和规则

1.3.1逻辑代数基本定律和规则
解:利用反演规则可得
Y A C B D
应用反演规则应注意:
1.保持原来的运算优先顺序,即如果在原函数表达式中,AB 之间先运算,再和其它变量进行运算, 那么非函数的表达式 中,仍然是AB之间先运算。 2.不属于单个变量上的反号应保留不变。
Y AB C D C
Y ( A B)C D C
对偶规则:如果两个逻辑式相等,则它们的对偶式也相等。
Y A(B C) Y AB CD
Y D A BC Y D ( A B) (C D)
利用对偶规则,可以使要证明及要记忆的公式数目减少一半。
1 A A
A(B C) AB AC
0 A A
A BC ( A B)( A C)
例如,在反演律中用BC 去代替等式中的 B,则新的等式仍成立。
BC代替等式中的B
ABC A BC A B C
02
如果将逻辑函数Y 中的所有“·”换成“+”,“+”换成
“·”,“0”换成“1”,“1”换成“0”,而变量保持不变,
则可得到的一个新的函数表达式 Y D, Y D 称为Y 的对偶式。

一、逻辑代数的基本定律:有10个基本定律
定律名称 0-1律 自等律 重叠律 互补律 交换律 结合律 分配律 吸收律 反演律 还原律
定律1
A·0=0 A·1=A A·A=A
A A 0
A·B=B·A A·(B·C )=(A·B )·C A·(B+C )=AB+AC
A(A+B )=A
AB A B
(B B
C) C
A (A
B B)
A A B A B A B
摩根定律
A B AB BA 00 0 0 01 0 0 10 0 0 11 1 1
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3.2 逻辑函数的卡诺图化简法
3.2.1 最小项的定义及其性质
1、最小项 ⑴、定义:
在n个变量逻辑函数中,若m为包含n个因子的乘 积项,而且这n个变量均以原变量或反变量的形式在m 中出现一次,则称m为该组变量的最小项。
例:3变量逻辑函数中
ABC , ABC, ABC , ABC, ABC , ABC, ABC , ABC 是最小项
一、化简的意义和最简的概念 1、化简的意义
• 节省器材。元器件减少,成本降低。
• 提高了工作的可靠性。单个门电路减少,输入、输出头减 少,电路的工作可靠性提高
· 例: A B·
·· &

&
C
·1
&
≥1 Y=ABC+ABC+ABC
A
&
Y=ABC+ABC+ABC
B
≥1
C
=A(BC+BC+BC) =A(BC+BC+BC+BC) =A(B+C)
4、配项法:
利用 A=A(B+ B )作配项用,然后消去更多的项 Z=AB+ A C+BC=AB+ A C+(A+ A )BC
=AB+ A C+ABC+ A BC=AB+ A C 也可利用 A+1=1 或 A+A=A 来配项
Z=ABC+ A BC+ AB C=ABC+ A BC+ AB C+ABC =(A+ A )BC+( AB +AB)C=BC+C=C
3.1.1 逻辑代数的基本定律和恒等式 1 基本关系 加运算规则: 0+0=0 ,0+1=1 ,1+0=1,1+1=1 A+0 =A,A+1 =1,A+A A+A =1 =A, 乘运算规则: 0•0=0 0•1=0 1•0=0 1•1=1
A•0 =0 A•1 =A A•A =A A•A =0
非运算规则: 0=1 1=0
证 :左= A[B+(C+D)] =AB+AC+AD 右=AB+A(C+D)= AB+AC+AD
∴左=右,成立
意义:利用这条规则和现有的等式,可以推出更多的等 式,而无需证明。
(2)反演规则 对于任何一个逻辑函数F,若将F表达式中所有的“·”和
“+”互换,“0”和“1”互换,原变量和反变量互换,并保持运算 优先顺序不变,则可得到F的反函数。
; 分配律 ; 结合律,AA=A ; 结合律 ; 1+B+C=1 ; A • 1=1
2.逻辑代数运算规律
吸收规则
原变量吸收规则: A+AB =A
反变量吸收规则: A+AB=A+B
A+AB=A+B 证明: A+AB =A+AB+AB
注: 红色变 量被吸收 掉!
=A+(A+A)B
=A+ 1•B
; A+A=1
第三章 逻辑代数
• 逻辑代数 • 逻辑函数的卡诺图化简法
3.1 逻辑代数
普通代数中的函数:
Y = A×B +C
因变量
自变量
逻辑代数中的函数:
Y = AB + C
输出变量
输入变量
• 逻辑代数中的函数与普通代数中的函数有相同的形式; • 逻辑代数中的函数有与、或、非运算; • 输入、输出变量只能取值0和1。
③、任意两个最小项乘积为0。
证: ABC ⋅ ABC = ( A⋅ A)(B ⋅ B)(C ⋅C) = ( A⋅ A)(B ⋅ B)(C ⋅C) = A⋅ B ⋅ 0 = 0
④、具有相邻性的两个最小项之和可以合并成一项, 并消去一对因子。
例: ABC + ABC = AC(B + B) = AC
3.2.2 逻辑函数的最小项表达式
A=A
2.逻辑代数运算规律
交换律:
A+B = B+A AB=BA
结合律:
A+B+C=(A+B)+C=A+(B+C) ABC=(AB)C=A(BC)
2.逻辑代数运算规律
分配律: A(B+C)=AB+AC A+BC=(A+B)(A+C)
证明: 右边 =(A+B)(A+C)
=AA+AB+AC+BC
=A +A(B+C)+BC =A(1+B+C)+BC =A • 1+BC =A+BC =左边
F = A + B+C → F′ = A⋅B⋅C
• 转换时应先“与”后“或”,先括号内后括号外的顺序。 • 所谓对偶规则,是指某个逻辑恒等式成立时,则其对偶式也
成立。
3.1.3 逻辑函数的表示与变换
一、逻辑函数的表示方法
逻辑电路图:
A
1
&
≥1 Y

B
1
&
种 表
逻辑代数式(逻辑表示式, 逻辑函数式)

(3)对偶规则
对于任何一个逻辑函数F,若将F表达式中所有的“·”和“+” 互换,“0”和“1”互换,并保持运算优先顺序不变,则所得到新 的函数称为函数F的对偶函数F'。
例 F = ( A + B ) ⋅ ( A + C) → F′ = A⋅ B + AC
: F = A + BC → F′ = A(B + C )
Y=AB + AB
方 法
真值表:将逻辑函数输入变量取值的不同组合与
所对应的输出变量值用列表的方式一一对应列出
的表格。
N个输入变量
2 n 种组合。
卡诺图
例:写出下例的真值表,表达式,(逻辑式),逻辑图。
B
C
A
真值表
Y
逻辑式 Y=C(A+B) C
&Y
A BC Y
00 0 0
0 0 0 111 1
0 1 1 100 1
;A=A
;利用反演定理 ;将AB当成一个变量, 利用公式A+AB=A+B
二、代数化简法 1、并项法:
运用定理 A+ A =1,将两项合并成一项,从而消去一个变量。 Z = ABC + ABC + ABC + ABC
= (A + A)BC + (A + A)BC = BC + BC = C
Z = ABC + ABC = AB (C + C ) = AB Z = A(BC + BC) + A(BC + BC)
=A+B
2.逻辑代数运算规律
混合变量吸收规则: AB+AB =A
证明:
AB+AC+BC =AB+AC AB+AC+BC=AB+AC+(A+A)BC
=AB+AC+ABC+ABC =AB(1+C) +AC(1+B) =AB +AC
2.逻辑代数运算规律
反演定理(摩根定理)
A•B =A+B 证明: 用真值表证明
类型的最简式。
二、代数化简法
例1: F = ABC + ABC + ABC
提出AB
= ABC + AB(C + C)
=1
= ABC + AB 提出A
= A(BC + B)
= A(C + B) = AC + AB
反变量吸收
二、代数化简法
例2 将 Y=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC
化简为最简逻辑代数式。
逻辑式
Y=ABC+ABC+ABC+ABC
二、各种表示方法之间的转换
2、从逻辑式列出真值表
将A、B、C…输入变量的各种取值逐一代入逻辑式
中,计算出Y值,然后列表。
真值表
逻辑式 Y = A + BC + ABC
A B C BC ABC Y
0 111000
0 100110
0 01 1 010
0 01 0 010
A+B = A•B
A B A•B A+B
00 1 1
01 1 1
10 1 1
11 0 0
3.1.2 逻辑代数基本规则
(1)代入规则 对逻辑等式中的任意变量A,若将所有出现A的位置都代之以
同一个逻辑函数,则等式仍然成立。 例:若:A(B+C)=AB+AC C→C+D 则:A[B+(C+D)]=AB+A(C+D)
00 01000
01 11101
1 1 1 00 1
二、各种表示方法之间的转换
3、从逻辑式画出逻辑图
逻辑式
A
1
Y=AB+ABC+ABC B
C
1
逻辑图
&
&
Y ≥1
&
二、各种表示方法之间的转换
4、从逻辑图写出逻辑式
· · A
≥1
B
1 1
≥1
逻辑图
≥1
Y
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