湖北省荆门市龙泉中学2019届高三数学11月月考试题理

荆门市龙泉中学2019年高三年级11月月考数学（理）试题考试时间120分钟，全卷满分150分。

★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将姓名、考号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}1 , 0 , 1 , 2 , 3A =-,{}2log (1)2B x x =+<，则A B I 等于（ ） A ．{1,0,1,2}- B ．}2,1,0{ C ．}3,2,1,0,1{- D ．}3,2,1,0{2．已知复数z 满足：()21i z i +=-，其中i 是虚数单位，则z 的共轭复数为（ ）A. 1355i -B. 1355i + C. 13i - D. 13i +3.若1cos()43πα+=，(0,)2πα∈，则sin α的值为（ ）A.46- B ．46+ C.718 D ．34.在“吃鸡”游戏中，某玩家被随机降落在边长为4的正三角形绝地岛上，已知在离三个顶点距离都大于2的区域内可以搜集枪支弹药、防弹衣、医疗包等生存物资，则该玩家能够获得生存物资的概率为（ ） A ．631π-B ．43C ．63πD ．415.下列说法正确的是( )A. 命题“∃x ∈R,使得0322<++x x ”的否定是:“∀x ∈R,0322>++x x ”.B.“q p ∧为真命题”是“q p ∨为真命题”的必要不充分条件.C. R a ∈,“11<a”是“1>a ”的必要不充分条件. D.命题p:“∀2cos sin ,≤+∈x x R x ”,则﹁p 是真命题.6.中国古代诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十斤绵，赠分八子做盘缠,次第每人多十七，要将第八数来言”.题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（ ）A. 174斤B. 184斤C. 191斤D. 201斤7.执行右图的程序框图，如果输入1a =，1b =，则输出的S =（ ） A ．54 B ．33 C ．20 D ．78.函数sin ln ||y x x =+在区间[3,3]-的图象大致为（ ）9.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,||)A ωϕπ>><的部分图象如图所示，则函数()cos()g x A x ϕω=+图象的一个对称中心可能为（ ）)0,25.(A - B ．1(,0)6 C.1(,0)2- D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛0,61-10.在平面直角坐标系xOy 中,点()3,0A,()1,2B ,动点P 满足OP =u u u v OA OB λμ+u u u v u u u v,其中][,0,1,1,2λμλμ⎡⎤∈+∈⎣⎦,则所有点P 构成的图形面积为( )A. 1B. 2C. 3D. 2311.已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，O 为坐标原点，设M 为抛物线上的动点，则MO MF的最大值为( )A.3B. 1C.33 D.332 12.若曲线()()21(11)ln 1f x e x e a x =-<<-+和()32(0)g x x x x =-+<上分别存在点,A B ,使得AOB ∆是以原点O 为直角顶点的直角三角形,,21CB AC C y AB =且轴于点交则实数a 的取值范围是（ ） A. ()24,122--e e B. ()12,242--e e C. ()22,24e e - D. ()12,122--ee二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知平面向量(2,1),(2,).a b x ==r r 若a r 与b r 的夹角为θ，且(2)()a b a b +⊥-r r r r，则实数x = .14.等差数列{}n a 的公差是2，若248,,a a a 成等比数列，是n S {}n a 的前n 项和，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1的前n 项和是 .15.过点），（11作圆4)2(22=+-y x C ：的两条相互垂直的弦AB 和EF ，则四边形AEBF 的最大面积： .16.()f x 是R 上可导的奇函数，()f x '是()f x 的导函数.已知0x >时，()(),(1)f x f x f e '<=,不等式()22ln(1)0ln(1)x x f x x e ++<++≤的解集为M ，则在M 上()sin6g x x =的零点的个数为 .三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题和第23题为选考题，考生根据要求作答. 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c . （1）若2=c ，3π=C ，且ABC ∆的面积为3，求a ，b 的值；（2）若，A sin A B sin sinC 2)(=-+试判断ABC ∆的形状．18.（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，90ABC BAD ∠=∠=︒，4AD AP ==，2AB BC ==，M 为PC 的中点．（1）求异面直线AP ，BM 所成角的余弦值；（2）点N 在线段AD 上，且AN λ=，若直线MN 与平面PBC 所成 角的正弦值为45，求λ的值．19.（本小题满分12分）海康威视数字技术股份有限公司在习主席“企业持续发展之基、市场制胜之道在于创新”的号召下，研制出了一种新产品。

该公司试制了一批样品分别在国内和国外上市销售，并且价格根据销售情况不断进行调整，结果40天内全部销完．公司对销售及销售利润进行了调研，结果如图所示，其中图①(一条折线)、图②(一条抛物线段)分别是国外和国内市场的日销售量与上市时间的关系，图③是每件样品的销售利润与上市时间的关系．（1）分别写出国外市场的日销售量)(t f 与上市时间t 的关系及国内市场的日销售量)(t g 与上市时间t 的关系；（2）该产品上市后，问哪一天这家公司的日销售利润最大？最大是多少？20.（本小题满分12分）设椭圆C ：()22221x y a b a b+=>>0，21,F F 为左、右焦点，B 为短轴端点，且421=∆F BF S ，离心率为22,O 为坐标原点． （1）求椭圆C 的方程，（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C 恒有两个交点M ,N ,且满足ON OM ON OM -=+？若存在，求出该圆的方程，若不存在，说明理由．21.(本小题满分12分）已知函数()212f x x =，()ln g x a x =． （1）若曲线()()y f x g x =-在2x =处的切线与直线370x y +-=垂直，求实数a 的值； （2）设()()()h x f x g x =+，若对任意两个不等的正数12,x x ，都有()()12122h x h x x x ->-恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若[]1,e 上存在一点0x ，使得()()()()00001f xg x g x f x +-'<''成立，求实数a 的取值范围．选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）4-4 ：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中,直线L 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=t y t x 21231(t 为参数),在以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线:C θρcos 2=. (1)判断直线L 与曲线C 的位置关系; (2)若()y x M ,是曲线C 上的动点,求1+x y的取值范围.23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()a x x x f -++=2 (1)当1=a 时,求()x x f 4≤的解集;(2)若对,,21R x R x ∈∃∈∀使得()22221-++=x x x f 成立,求a 的取值范围.数学（理）试题参考答案1-12 BBAA CBCA CCDB 13. 12-14. 1+n n 15. 6 16. 2 17. (1)∵c ＝2，C ＝π3，∴由余弦定理C ab b a c cos 2222-+= 得422=-+ab b a .又∵△ABC 的面积为3，∴C ab sin 21＝3，ab ＝4. 联立方程组⎩⎨⎧==-+44222ab c b a ,解得a ＝2，b ＝2.(2)由sin C ＋sin(B －A)＝sin 2A ，得sin(A ＋B)＋sin(B －A)＝2sin Acos A ， 即2sin Bcos A ＝2sin Acos A ，∴cos A ·(sin A －sin B)＝0，∴cos A ＝0或sin A －sin B ＝0，当cos A ＝0时，∵0<A<π，∴A ＝π2，△ABC 为直角三角形；当sin A －sin B ＝0时，得sin B ＝sin A ，由正弦定理得a ＝b ，即△ABC 为等腰三角形． ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．18.（1）因为PA ⊥平面ABCD ，且,AB AD ⊂平面ABCD ， 所以PA AB ⊥，PA AD ⊥，又因为90BAD ∠=︒，所以,,PA AB AD 两两互相垂直． 分别以,,AB AD AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， 则由224AD AB BC ===，4PA =可得(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,4,0)D ，(0,0,4)P ，又因为M 为PC 的中点，所以(1,1,2)M ．所以(1,1,2)BM =-u u u u r ，(0,0,4)AP =u u u r， 所以cos ,||||AP BM AP BM AP BM ⋅〈〉=u u u r u u u u ru u u r u u u u r u u u r u u u u r 646==⨯，所以异面直线AP ，BM 所成角的余弦值为36． （2）因为AN λ=，所以(0,,0)N λ(04)λ≤≤，则(1,1,2)MN λ=---u u u u r， (0,2,0)BC =u u u r ，(2,0,4)PB =-u u u r，设平面PBC 的法向量为(,,)x y z =m ，则0,0,BC PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r m m 即20,240.y x z =⎧⎨-=⎩令2x =，解得0y =，1z =，所以(2,0,1)=m 是平面PBC 的一个法向量．因为直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值为54，所以54||||,cos =⋅=><m MN m MN m MN ，解得].4,0[1∈=λ 19.（1)⎩⎨⎧≤<+-≤≤=）（）（403024063002)(t t t tx f（2）设每件产品A 的销售利润为 )(t q 则从而这家公司的日销售利润Q(t)的解析式为：()，时，当020)274820(4820272002'≥-⨯=+-=≤≤t t t t t Q t ∴ ()t Q 在区间 []20,0 上单调递增，此时()()600020max ==Q t Q②当 3020≤<t 时()*∈+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=N t t t Q ,640038092， ∴ 27=t 时()()639927max ==Q t Q③当()()6300304030=<≤<Q t Q t 综上所述 ()()639927max ==Q t Q20解析：（1）因为椭圆)0,0(1:2222>>=+b a by a x C ,由题意得422121=⨯⨯=∆b c S F BF , 22==a c e ，222c b a +=，所以解得所以2284a b ⎧=⎨=⎩椭圆C 的方程为22184x y +=（2）假设存在圆心在原点的圆222r y x =+，使得该圆的任意一条切线与椭圆C 恒有两个交点N M ,,因为ON OM ON OM -=+，所以有0=⋅ON OM ,设),(),,(2211y x N y x M ，当切线斜率存在时，设该圆的切线方程为y kx m =+，解方程组22184x yy kx m+==+⎧⎪⎨⎪⎩得222()8x kx m++=,即,则△=,即22840k m-+>)21(2)82)(21(4164222222,1kmkmkkmx+-+-±-=;2182,2142221221kmxxkkmxx+-=+-=+∴要使0=⋅ONOM,需1212x x y y+=,即222222881212m m kk k--+=++,所以223880m k--=,所以22388mk-=≥又22840k m-+>,所以22238mm⎧>⎨≥⎩,所以283m≥,即263m≥或263m≤-.因为直线y kx m=+为圆心在原点的圆的一条切线,21mrk=+,,263r=, 所以圆的半径为所求的圆为2283x y+=,此时圆的切线y kx m=+都满足263m≥或263m≤-,而当切线的斜率不存在时切线为263x=±与椭圆22184x y+=的两个交点为2626(,)33±或2626(,)33-±满足0=⋅ONOM,综上, 存在圆心在原点的圆2283x y+=满足条件. . ……… 12分21解：（1）由()()21ln 2y f x g x x a x =-=-，得()ay x x x'=-． 由题意，232a-=，所以2a =-．（3）不等式()()()()00001f x g x g x f x +-'<''等价于00001ln ax a x x x +<-，整理得0001ln 0a x a x x +-+<．构造函数()1ln a m x x a x x+=-+， 由题意知，在[]1,e 上存在一点0x ，使得()00m x <．()()()()222211111x ax a x a x a a m x x x x x--+--='++--==． 因为0x >，所以10x +>，令()0m x '=，得1x a =+．①当11a +≤，即0a ≤时，()m x 在[]1,e 上单调递增．只需()120m a =+<，解得2a <-． ②当11a e <+≤即01a e <≤-时，()m x 在1x a =+处取最小值． 令()()11ln 110m a a a a +=+-++<即()11ln 1a a a ++<+，可得()()11ln 1*a a a++<+． 令1t a =+，即1t e <≤，不等式()*可化为1ln 1t t t +<-． 因为1t e <≤，所以不等式左端大于1，右端小于等于1，所以不等式不能成立． ③当1a e +>，即1a e >-时，()m x 在[]1,e 上单调递减，只需()10am e e a e+=-+<，解- 11 - 得211e a e +>-． 综上所述，实数的取值范围是()21,2,1e e ⎛⎫+-∞-⋃+∞ ⎪-⎝⎭．22(1)化直线的参数方程为普通方程:L 10x +=,化曲线的极坐标方程为普通方程()22:11C x y -+= ,因为圆心()1,0C 到直线L 的距离1d r ==,故直线L 与曲线C 的位置关系是相切. (2)1y x +可以看成圆上的点M 与定点()1,0-连线的斜率. 设过()1,0-的直线斜率为k ,过()1,0-的直线为()1y k x =+,即10kx y -+= 由圆心()1,0C到此直线的距离1d =≤可得k ⎡∈⎢⎣⎦,即1y x +的取值范围是⎡⎢⎣⎦23(1) 当1a =时,()21f x x x =++-21,2,3,21,21, 1.x x x x x --≤-⎧⎪=-<<⎨⎪+≥⎩①当2x ≤-时,由214x x --≤得16x ≥-,又2x ≤-,故无解; ②当21x -<<时,由34x ≤得34x ≥,又21x -<<,故314x ≤<; ③当1x ≥时,由214x x +≤得12x ≥,又1x ≥,故1x ≥ 综上所述3,4x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭(2)设()22g x x x =-++,由题意可知：)(x f 的值域⊆)(x g 的值域,()222f x x x a x x a a =++-≥+-+=+, ()22224g x x x x x =-++≥---= 由)[)2,4,a ⎡++∞⊆+∞⎣得24a +≥,故),2[]6,(+∞⋃--∞∈a。