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八年级因式分解难题(附答案与解析)

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初二因式分解习题大全含答案

初二因式分解习题大全含答案

因式分解进阶中考要求例题精讲一、基本概念因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式.因式分解与整式乘法互为逆变形：()m a b c ma mb mc ++++整式的乘积因式分解式中m 可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式 因式分解的常用方法：提取公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法.分解因式的一般步骤：如果多项式的各项有公因式，应先提公因式；如果各项没有公因式，再看能否直接运用公式 十字相乘法分解，如还不能，就试用分组分解法或其它方法.注意事项：①若不特别说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内不能再分解为止；②结果一定是乘积的形式；③每一个因式都是整式；④相同的因式的积要写成幂的形式.在分解因式时，结果的形式要求：①没有大括号和中括号；②每个因式中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要注意能否再分解； ③单项式因式写在多项式因式的前面；④每个因式第一项系数一般不为负数；⑤形式相同的因式写成幂的形式.二、提公因式法提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面.确定公因式的方法：系数——取多项式各项系数的最大公约数；字母(或多项式因式)——取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂.三、公式法平方差公式：22()()a b a b a b -=+-①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反；②每一项都可以化成某个数或式的平方形式；③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积.完全平方公式：2222()a ab b a b ++=+2222()a ab b a b -+=-①左边相当于一个二次三项式；②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式；③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负；④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定.一些需要了解的公式：3322()()a b a b a ab b +=+-+ 3322()()a b a b a ab b -=-++33223()33a b a a b ab b +=+++ 33223()33a b a a b ab b -=-+-2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++模块一 因式分解的基本方法【例1】已知248﹣1可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数分别是 、 ．【解析】先利用平方差公式分解因式，再找出范围内的解即可．【答案】248﹣1=（224+1）（224﹣1），=（224+1）（212+1）（212﹣1），=（224+1）（212+1）（26+1）（26﹣1）； ∵26=64，∴26﹣1=63，26+1=65，∴这两个数是65、63．【点评】本题考查了利用平方差公式分解因式，先分解因式，然后再找出范围内的解是本题解题的思路【巩固】333333()()()()ay bx ax by a b x y +-++--=_________. 【解析】 原式22222()()()()()b a x y a b ab x y a b xy ⎡⎤=--++++++⎣⎦()()a b x y --22()a ab b ++22()x xy y ++ ()()a b x y abxy =---.【巩固】 化简下列多项式：()()()()23200611111x x x x x x x x x ++++++++++ 【解析】 原式()()()20051111x x x x x x ⎡⎤=+++++++⎣⎦()()()()200411111x x x x x x x ⎡⎤=++++++++⎣⎦ …()()2005111x x x x =++++⎡⎤⎣⎦()20071x =+【例2】已知整数a 、b 、c 满足不等式a 2+b 2+c 2+43≤ab+9b+8c ，则a 、b 、c 分别等于 ．【解析】由已知条件构造完全平方公式，得（a ﹣）2+3（﹣3）2+（c ﹣4）2≤0，然后由非负数的性质求解．【答案】由已知得a 2+b 2+c 2+43﹣ab ﹣9b ﹣8c≤0，配方得（a ﹣）2+3（﹣3）2+（c ﹣4）2≤0，又∵（a ﹣）2+3（﹣3）2+（c ﹣4）2≥0，∴（a ﹣）2+3（﹣3）2+（c ﹣4）2=0，∴a ﹣=0，﹣3=0，c ﹣4=0，∴a=3，b=6，c=4．故答案为：a=3，b=6，c=4．【点评】此题考查用分组分解法进行因式分解．难点是配方成非负数的形式，再根据非负数的性质求解． 模块二 重组分解法【例3】分解因式：2222(1)(2)(1)x x x x x x ++-++-【解析】 原式424322212x x x x x x x =+++----43221x x x =--+3(21)(21)x x x =---3(21)(1)x x =--2(1)(21)(1)x x x x =--++.【答案】2(1)(21)(1)x x x x --++【巩固】 分解因式：3322()()ax y b by bx a y +++【解析】3322()()ax y b by bx a y +++ 332222axy ab x b x y a by =+++2222()()xy ay b x ab ay b x =+++22()()ay b x xy ab =++【答案】22()()ay b x xy ab ++【例4】分解因式：2222111[()()](2)222x y x y x y -++- 【解析】 2222111[()()](2)222x y x y x y -++- 222222111[](2)442x xy y x xy y x y =-++++- 222211(2)(2)22x y x y =+- 【答案】222211(2)(2)22x y x y +-【巩固】 分解因式：2231()b a x abx +--【解析】2231()b a x abx +-- 2223(1)()a x bx abx =-+-2(1)(1)(1)ax ax bx ax =+-+-2(1)(1)ax ax bx =-++【答案】2(1)(1)ax ax bx -++【例5】已知三个连续奇数的平方和为251，求这三个奇数．【解析】 设三个连续奇数分别为21,21,23n n n -++，则利用()()()222212123251n n n -++++=，求n 的值．设三个连续奇数分别为21,21,23n n n -++，则 ()()()222212123251n n n -++++=整理后，得2200n n +-=，()()540n n +-=∴15n =-，24n =∴三个连续奇数分别为-11，-9，-7或7，9，11．【答案】连续奇数分别为-11，-9，-7或7，9，11．【巩固】 已知：a 、b 、c 为三角形的三条边，且222433720a ac c ab bc b ++--+=，求证：2b a c =+【解析】 22243372a ac c ab bc b ++--+(3)(2)a b c a b c =-+-+0=因为三角形的两边之和大于第三边，所以30a b c -+≠，故20a b c -+=，即2b a c =+.【答案】见解析 模块三 拆、填项法☞利用配方思想拆项与添项【例 1】分解因式：432234232a a b a b ab b ++++=_______.【解析】432234232a a b a b ab b ++++ 2222222()2()a b ab a b a b =++++222()a b ab =++【答案】222()a b ab ++【例 2】分解因式： 12631x x -+【解析】12631x x -+126621x x x =-+- 6363(1)(1)x x x x =-+--【答案】6363(1)(1)x x x x -+--【例 3】分解因式： 841x x ++【解析】841x x ++ 84421x x x =++- 4242(1)(1)x x x x =+++-42242(12)(1)x x x x x =++-+-2242(1)(1)(1)x x x x x x =+++-+- 【答案】6363(1)(1)x x x x -+--【例 4】分解因式： 4224781x x y y -+【解析】4224422422781188125x x y y x x y y x y -+=++-2222(95)(95)x y xy x y xy =+-++【答案】2222(95)(95)x y xy x y xy +-++【例 5】已知n 是正整数，且4216100n n -+是质数，那么n =_______.【解析】原式4222010036n n n =++- 222(10)(6)n n =+-22(610)(610)n n n n =-+++.又因为4216100n n -+是质数，且n 是正整数，且26101n n ++≠，故26101n n -+=，3n =.【答案】3n =【例 6】分解因式：()()()222241211y x y x y +-++-【解析】()()()222241211y x y x y +-++- ()()()222242212114y x y x y x y =+--+--()()22211(2)y x y xy ⎡⎤=+---⎣⎦ (1)(1)(1)(1)x x x xy y x xy y =+-------【答案】(1)(1)(1)(1)x x x xy y x xy y +-------【例 7】分解因式：42222222()()x a b x a b -++-【解析】42222224222222222()()2()()4x a b x a b x a b x a b b x -++-=--+--222222222222()4(2)(2)x b a b x x b a bx x b a bx =+--=+--+-+()()()()x a b x a b x a b x a b =++--+--+【答案】()()()()x a b x a b x a b x a b ++--+--+【例 8】分解因式：33(1)()()(1)x a xy x y a b y b +---++ 【解析】33(1)()()(1)x a xy x y a b y b +---++33(1)()[(1)(1)](1)x a xy x y a b y b =+--+-+++322322(1)()(1)()a x x y xy b y x y xy =+-++++-2222(1)()(1)()x a x xy y b x xy y =+-+++-+22()()x xy y ax by x y =-++++【答案】22()()x xy y ax by x y -++++【例 9】 把444x y +分解因式．【解析】4422224()(2)x y x y +=+使用平方差公式显然是不行的．44422422422422x y x x y y x y +=+⋅⋅+-⋅⋅2222(2)(2)x y xy =+-2222(22)(22)x xy y x xy y =++-+【答案】2222(22)(22)x xy y x xy y ++-+【例 10】分解因式：464x +【解析】464x +42222222166416(8)(4)(48)(48)x x x x x x x x x =++-=+-=++-+【答案】22(48)(48)x x x x ++-+【例 11】证明：在m n 、都是大于l 的整数时，444m n +是合数．【解析】444m n +422422444m m n n m n =++-2222(2)(2)m n mn =+-2222(22)(22).m n mn m n mn =+++-由于在m n 、都大于1时，两个因数中较小的那一个2222222()1m n mn m n n n +-=-+≥>即两个因数都是444m n +的真因数，所以444m n +是合数．【答案】见解析【例 12】分解因式：444222222222a b c a b b c c a ---+++【解析】444222222222a b c a b b c c a ---+++444222222(222)a b c a b b c c a =-++---44422222222(2224)a b c a b b c c a a b =-+++---22222[()(2)]a b c ab =-+--222222(2)(2)a b c ab a b c ab =-+-++--2222[()][()]a b c a b c =-+---()()()()a b c a b c a b c a b c =-+++--+--()()()()a b c a b c a b c b c a =+++--++-【答案】()()()()a b c a b c a b c b c a +++--++-☞拆项与添项【例 13】（“CASIO”杯河南省竞赛）把下列各式因式分解：4322928x x x x +--+【解析】原式()()()()()()42322222228812181x x x x x x x x x x =-+---=-+---()()()()()()221281142x x x x x x x =-+-=+-+-【答案】()()()()1142x x x x +-+-【例 14】若1x y +=-，则43222234585x x y x y x y xy xy y ++++++的值等于( )A.0B.1-C.1D.3【解析】43222234585x x y x y x y xy xy y ++++++4322342233224642x x y x y xy y x y xy xy x y x y =+++++++++42()()()1x y xy x y xy x y =+++++=【答案】1【例 15】分解因式：323233332a a a b b b ++++++【解析】前三项比完全立方公式少l ，四、五、六项的和也比立方公式少l ．如果把2拆为两个l ，那么就可以使两组都成为完全立方，皆大欢喜．于是323233332a a a b b b ++++++3232(331)(331)a a a b b b =++-++++33(1)(1)a b =+++22(2)[(1)(1)(1)(1)]a b a a b b =+++-++++22(2)(1)a b a ab b a b =++-++++【答案】22(2)(1)a b a ab b a b ++-++++【例 16】分解因式：51x x ++【解析】法1：此题既无公因式可提，又无法分组分解，更无法使用什么公式，于是我们想到要添项.不妨试试4x ，55444411(1)(1)x x x x x x x x x ++=+++-=++-无法进行下去.那么试试4x -，554411x x x x x x ++=-+++显然也无法进行下去.开始尝试3x ，如下：55333343311(1)(1)1(1)(1)x x x x x x x x x x x x x x x ++=-+++=+-+++=+-++，无法分解下去.这样尝试下去，可分解如下：552211x x x x x x ++=-+++222(1)(1)1x x x x x x =-+++++232(1)(1)x x x x =++-+.法2：也可以这样解：5543243211x x x x x x x x x x ++=+++++---32(1)(1)x x x =+++-22(x x + 3221)(1)(1)x x x x x +=-+++.只要我们能够用心地思考，大胆地尝试，我们会发现很多非常巧妙的想法！【答案】322(1)(1)x x x x -+++【例 17】分解因式：541a a ++【解析】原式5433322321(1)(1)(1)(1)(1)a a a a a a a a a a a a a a =++-+=++--++=-+++【答案】32(1)(1)a a a a -+++【例 18】分解因式：3333a b c abc ++-.【解析】3333a b c abc ++-332232233333a b a b ab c a b ab abc =++++---33()3()a b c ab a b c =++-++222()(2)3()a b c a b ab c ac bc ab a b c =+++++---++222()()a b c a b c ab bc ca =++++---.也可添加23b c ，23bc 或者23c a ，23ca .【答案】222()()a b c a b c ab bc ca ++++---【例 19】分解因式：22268x y x y -++-【解析】22222226821(69)(1)(3)x y x y x x y y x y -++-=++--+=+--(13)(13)(4)(2)x y x y x y x y =+-+++-=-++-【答案】(4)(2)x y x y -++-【例 20】分解因式： 224414x y x y -++【解析】2244442222222214216(4)(4)x y x y x y x y x y x y xy x y xy -++=++-=+++-【答案】2222(4)(4)x y xy x y xy +++-【例 21】分解因式：42471x x -+【解析】42422224712149(17)(17)x x x x x x x x x -+=++-=+++-【答案】22(17)(17)x x x x +++-【例 22】分解因式： 4414x y + 【解析】4414x y +442222222211()()42x y x y x y x y xy =++-=+-22221(22)(22)4x xy y x xy y =++-+ 【答案】22221(22)(22)4x xy y x xy y ++-+【例 23】分解因式：441x +=__________.【解析】442222222414414(21)(2)(221)(221)x x x x x x x x x x +=++-=+-=++-+【答案】22(221)(221)x x x x ++-+【例 24】分解因式：432433x x x x ++++【解析】(法1)：原式432222222()(333)(1)3(1)(3)(1)x x x x x x x x x x x x x =+++++=+++++=+++(法2)：原式432423222433(3)(3)(3)(3)(1)x x x x x x x x x x x x =++++=+++++=+++【答案】22(3)(1)x x x +++模块三 换元法【例1】 分解因式：(1)(2)(3)(4)24a a a a -----【解析】2(5)(510)a a a a --+【答案】2(5)(510)a a a a --+【例2】 分解因式：22(1)(2)12x x x x ++++-【解析】2(1)(2)(5)x x x x -+++【答案】2(1)(2)(5)x x x x -+++【例3】 分解因式：()()()()26121311x x x x x ----+=【解析】原式()()()()()()22226112131671651x x x x x x x x x x =----+=-+-++设2671x x t -+=，原式()()()22222661t t x x t x x x =++=+=-+ 【答案】()22661x x -+【例4】 分解因式：()()()()461413119x x x x x ----+=【解析】原式()()22467112719x x x x x =-+-++设2671x x t -+=，原式()()()222422693971t x t x t x x x =++=+=-+ 【答案】()22971x x -+【例5】 分解因式：22224(31)(23)(44)x x x x x x --+--+-【解析】咋一看，很不好下手，仔细观察发现：222(31)(23)44x x x x x x --++-=+-，故可设2231,23x x A x x B --=+-=，则244x x A B +-=+.故原式=24()AB A B -+2A =-222()B AB A B -+=--22222(31)(23)(232)x x x x x x ⎡⎤=----+-=--+⎣⎦. 【答案】22(232)x x --+【例6】 分解因式：2(2)(2)(1)a b ab a b ab +-+-+-【解析】由于题中以整体形式出现的式子有两个，共4个地方，故采取换元法后会大大简化计算过程，不妨设,a b x ab y +==，则原式=222(2)(2)(1)222x y x y x xy y y x --+-=-++-222221()2()1(1)(1)(1)(1)x y x y x y a b ab a b +=---+=--=+--=--【答案】22(1)(1)a b --【例7】 分解因式：()()()2113212xy xy xy x y x y ⎛⎫+++-++-+- ⎪⎝⎭ 【关键词】1997~1998年，天津市初二数学竞赛决赛，换元法【解析】设xy a x y b =+=，则原式()()()213211a a a b b =+++----()()()222221111a a b a b a b a b =++-=+-=+++- ()()()()1111x y x y =++--【答案】()()()()1111x y x y ++--【例8】 分解因式：4444(4)a a ++-【解析】为方便运算，更加对称起见，我们令2x a =-4444(4)a a ++-444(2)(2)4x x =++-+22224(44)(44)4x x x x =+++-++422(2416)256x x =+++422(24144)x x =++222(12)x =+222[(2)12]a =-+222(416)a a =-+【答案】222(416)a a -+【例9】 分解因式：()()()3332332125x y x y x y -+---【解析】设233255x y a x y b x y c -=-=-+=，，，显然0a b c ++=由公式()()3332223a b c abc a b c a b c bc ca ab ++-=++++---知，此时有3333a b c abc ++= 故原式()()()()()()3233255152332x y x y x y x y x y x y =---+=----【答案】()()()152332x y x y x y ----【例10】 分解因式：43241x x x x +-++【解析】原式222222111144x x x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++=+++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 设1x t x +=，则22212x t x+=- 原式()()()2222432x t t x t t =+--=+-()()22311x x x =++- 【答案】()()22311x x x ++-【例11】 分解因式：()()4413272x x +++-【解析】设2x t +=，则原式()()444211272212270t t t t =-++-=+-()()()()()2222159241951t t x x x x =+-=+++- 【答案】()()()2241951x x x x +++-模块四 主元法【例 25】分解因式：2222223a b ab a c ac abc b c bc -+--++【解析】这个多项式是a 、b 、c 的三项式，相数多，似乎无从下手，解决它的方法却是最基本的：把a 当作主要字母，也就是把这个多项式看成a 的二次式，按a 降幂排列整理为：22222()(3)()b c a b c bc a b c bc +-++++，后用十字相乘进行分解，“常数项”为22()b c bc bc b c +=+ 2222223a b ab a c ac abc b c bc -+--++[()][()]a b c b c a bc =-++-()()a b c ab ac bc =--+-【答案】()()a b c ab ac bc --+-【例 26】分解因式：22(1)(1)(221)y y x x y y +++++【解析】将x 看为主元，原式可化为：22(1)(221)(1)y y x y y x y y ++++++[(1)][(1)]yx y y x y =++++(1)()yx y yx x y =++++【答案】(1)()yx y yx x y ++++【例 27】分解因式：222222()()(1)()()ab x y a b xy a b x y ---+-++【解析】以a 、b 为主要字母，这个多项式是a 、b 的二次齐次式，把它整理为：2222[(1)()]()[()(1)]b xy x y ab x y a x y xy +-++--+++2222[()(1)]()[()(1)]b xy x y ab x y a x xy y =---+--+++2222[(1)(1)]()[(1)(1)]b x y y ab x y a x y y =---+--+++2222(1)(1)()(1)(1)b x y ab x y a x y =--+--++[(1)(1)][(1)(1)]x b y a y b x a =--+--+()()bx b ay a by b ax a =----++【答案】()()bx b ay a by b ax a ----++课后作业1.分解因式：()()()2442111x x x ++-+-【解析】 原式224222(21)(21)(21)x x x x x x =+++-++-+423103x x =++ 22(31)(3)x x =++【答案】22(31)(3)x x ++2.若x ，y 是整数，求证：()()()()4234x y x y x y x y y +++++是一个完全平方数.【解析】()()()()4234x y x y x y x y y +++++()()()()4423x y x y x y x y y =+++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦22224(54)(56)x xy y x xy y y =+++++令2254x xy y u ++=∴上式2422222(2)()(55)u u y y u y x xy y ++=+=++即()()()()4222234(55)x y x y x y x y y x xy y +++++=++【答案】见解析3.分解因式：44(1)(3)272x x +-+- 【解析】设1322x x y x +++==+，则原式=4442(1)(1)2722(61)272y y y y -++-=++- 422222(6135)2(9)(15)2(3)(3)(15)y y y y y y y =+-=-+=+-+22(5)(1)(419)x x x x =+-++【答案】22(5)(1)(419)x x x x +-++4.分解因式：322222422x x z x y xyz xy y z --++-【解析】原式()()()()()22222222x z y x z xy x z x x z y x =---+-=--【答案】()()22x z y x --。

八年级因式分解难题(附答案与解析)

八年级因式分解难题(附答案与解析)

2017 年 05 月 21 日数学（因式分解难题） 2一．填空题（共 10 小题）1．已知 x+y=10， xy=16，则 x 2y+xy 2 的值为．2．两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成 2（x ﹣1）（x ﹣9）；另一位同学因看错了常数项分解成 2（x ﹣2）（ x ﹣ 4），请你将原多项式因式分解正确的结果写出来：．．若多项式x 2+mx+4 能用完全平方公式分解因式，则 m 的值是 ．34．分解因式： 4x 2﹣4x ﹣ 3=．5．利用因式分解计算： 2022+202× 196+982= ．．△ 三边 a ，b ，c 满足 a 2+b 2+c 2，则△ ABC 的形状是 ．6 ABC =ab+bc+ca 7．计算： 12﹣22+32﹣42+52﹣62+⋯﹣1002+1012=．8．定义运算 a ★b=（ 1﹣ a ） b ，下面给出了关于这种运算的四个结论：①2★（﹣ 2）=3②a ★b=b ★a③若 a+b=0，则（ a ★ a ） +（ b ★ b ） =2ab④若 a ★ b=0，则 a=1 或 b=0．其中正确结论的序号是 （填上你认为正确的所有结论的序号） ．9 ．如果 1+a+a 2+a 3 ，代数式 2+a 3+a 4+a 5+a 6+a 7+a 8 = ．=0 a+a．若多项式2﹣6x ﹣ b 可化为（ x+a ）2﹣1，则 b 的值是．10x二．解答题（共 20 小题）11．已知 n 为整数，试说明（ n+7）2﹣（ n ﹣3）2的值一定能被 20 整除． 12．因式分解： 4x 2y ﹣4xy+y ．13．因式分解（1）a3﹣ab2（2）（ x﹣y）2+4xy．14．先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若 m2 +2mn+2n2﹣ 6n+9=0，求 m 和 n 的值．解：∵ m2+2mn+2n2﹣6n+9=0∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0∴（ m+n）2+（n﹣3）2=0∴m+n=0，n﹣3=0∴m=﹣3，n=3问题：（1）若 x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，求 x y的值．（2）已知△ ABC的三边长 a，b，c 都是正整数，且满足a2+b2﹣ 6a﹣6b+18+| 3﹣c| =0，请问△ ABC是怎样形状的三角形？15．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如 4=22﹣02，12=42﹣22， 20=62﹣42，因此 4，12，20 这三个数都是和谐数．（1）36 和 2016 这两个数是和谐数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2 和 2k（其中 k 取非负整数），由这两个连续偶数构造的和谐数是 4 的倍数吗？为什么？（3）介于 1 到 200 之间的所有“和谐数”之和为．16．如图 1，有若干张边长为 a 的小正方形①、长为 b 宽为 a 的长方形②以及边长为 b 的大正方形③的纸片．（1）如果现有小正方形① 1 张，大正方形③ 2 张，长方形② 3 张，请你将它们拼成一个大长方形（在图 2 虚线框中画出图形），并运用面积之间的关系，将多项式 a2+3ab+2b2分解因式．（2）已知小正方形①与大正方形③的面积之和为169，长方形②的周长为34，求长方形②的面积．（3）现有三种纸片各8 张，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），求可以拼成多少种边长不同的正方形．17．（ 1）有若干块长方形和正方形硬纸片如图1 所示，用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2．①用两种不同的方法，计算图 2 中长方形的面积；②由此，你可以得出的一个等式为：．（2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图 3 所示．①请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图；②请你用拼图等方法推出2a2+5ab+2b2因式分解的结果，画出你的拼图．18．已知 a+b=1，ab=﹣1，设 s1=a+b， s2=a2+b2，s3=a3+b3，⋯，s n=a n+b n（1）计算 s2；（2）请阅读下面计算s3的过程：因为 a+b=1，ab=﹣1，所以 s3=a3+b3=（a+b）（a2+b2）﹣ ab（a+b）=1×s2﹣（﹣ 1）=s2+1=你读懂了吗？请你先填空完成（2）中 s3的计算结果，再用你学到的方法计算s4．（3）试写出 s n﹣2， s n﹣1，s n三者之间的关系式；（4）根据（ 3）得出的结论，计算s6．19．（1）利用因式分解简算： 9.82+0.4×9.8+0.04（2）分解因式： 4a（a﹣1）2﹣（ 1﹣a）20．阅读材料：若 m 2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求 m、n 的值．解：∵ m2﹣2mn+2n2﹣ 8n+16=0，∴（ m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0∴（ m﹣ n）2+（n﹣4）2=0，∴（ m﹣n）2=0，（ n﹣ 4）2=0，∴ n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知 x2+2xy+2y2+2y+1=0，求 x﹣y 的值．（2）已知△ ABC的三边长 a、b、c 都是正整数，且满足a2+b2﹣ 6a﹣8b+25=0，求△ ABC的最大边 c 的值．（3）已知 a﹣b=4，ab+c2﹣6c+13=0，则 a﹣b+c=．21．仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式 x2﹣4x+m 有一个因式是（ x+3），求另一个因式以及 m 的值．解：设另一个因式为（x+n），得 x2﹣4x+m=（x+3）（x+n），则 x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n∴n+3=﹣4m=3n解得： n=﹣7，m=﹣21∴另一个因式为（ x﹣7）， m 的值为﹣ 21．问题：（1）若二次三项式 x2﹣5x+6 可分解为（ x﹣ 2）（x+a），则 a=；（2）若二次三项式 2x2+bx﹣5 可分解为（ 2x﹣1）（ x+5），则 b=；（3）仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+5x﹣ k 有一个因式是（2x﹣3），求另一个因式以及k 的值．22．分解因式：（1）2x2﹣x；（2）16x2﹣ 1；（3）6xy2﹣ 9x2y﹣y3；（4）4+12（x﹣ y） +9（x﹣y）2．23．已知 a，b，c 是三角形的三边，且满足（ a+b+c）2=3（a2+b2+c2），试确定三角形的形状．24．分解因式（1）2x4﹣4x2y2+2y4（2）2a3﹣4a2b+2ab2．25．图①是一个长为2m、宽为 2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．（1）图②中的阴影部分的面积为；（2）观察图②请你写出三个代数式（m+n）2、（m﹣ n）2、 mn 之间的等量关系是．（3）若 x+y=7，xy=10，则（ x﹣y）2=．（4）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图③，它表示了．（5）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）=m2+4mn+3n2．26．已知 a、b、c 满足 a﹣b=8，ab+c2+16=0，求 2a+b+c 的值．27 ．已知：一个长方体的长、宽、高分别为正整数a、 b 、 c ，且满足a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006，求：这个长方体的体积．28．（x2﹣4x）2﹣ 2（ x2﹣4x）﹣ 15．29．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（x+1）+x（ x+1）2=（ 1+x） [ 1+x+x（x+1）]=（ 1+x）2（ 1+x）=（ 1+x）3（1）上述分解因式的方法是，共应用了次．（2）若分解 1+x+x（x+1）+x（x+1）2+⋯+x（x+1）2004，则需应用上述方法次，结果是．（3）分解因式： 1+x+x（x+1）+x（ x+1）2+⋯+x（x+1）n（n 为正整数）．30．对于多项式 x3﹣5x2+x+10，如果我们把 x=2 代入此多项式，发现多项式 x3﹣5x2 +x+10=0，这时可以断定多项式中有因式（ x﹣ 2）（注：把 x=a 代入多项式能使多项式的值为0，则多项式含有因式（ x﹣a）），于是我们可以把多项式写成： x3﹣5x2+x+10=（x﹣ 2）（x2+mx+n），（1）求式子中 m 、n 的值；（2）以上这种因式分解的方法叫试根法，用试根法分解多项式x3﹣ 2x2﹣ 13x ﹣10 的因式．2017 年 05 月 21 日数学（因式分解难题）2参考答案与试题解析一．填空题（共10 小题）1．（2016 秋 ?望谟县期末）已知x+y=10，xy=16，则 x2y+xy2的值为160．【分析】首先提取公因式xy，进而将已知代入求出即可．【解答】解：∵ x+y=10，xy=16，∴x2y+xy2=xy（x+y）=10×16=160．故答案为： 160．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．2．（2016 秋?新宾县期末）两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成 2（ x﹣1）（x﹣9）；另一位同学因看错了常数项分解成 2（ x﹣2）（x﹣ 4），请你将原多项式因式分解正确的结果写出来：2（x ﹣3）2．【分析】根据多项式的乘法将2（x﹣1）（x﹣9）展开得到二次项、常数项；将2（ x﹣ 2）（x﹣4）展开得到二次项、一次项．从而得到原多项式，再对该多项式提取公因式 2 后利用完全平方公式分解因式．【解答】解：∵ 2（x﹣ 1）（x﹣9）=2x2﹣20x+18；2（ x﹣2）（x﹣4）=2x2﹣ 12x+16；∴原多项式为 2x2﹣12x+18．2x2﹣ 12x+18=2（x2﹣6x+9）=2（x﹣3）2．【点评】根据错误解法得到原多项式是解答本题的关键．二次三项式分解因式，看错了一次项系数，但二次项、常数项正确；看错了常数项，但二次项、一次项正确．3．（2015 春?昌邑市期末）若多项式x2+mx+4 能用完全平方公式分解因式，则m 的值是± 4．【分析】利用完全平方公式（ a+b）2=（a﹣b）2+4ab、（ a﹣ b）2=（ a+b）2﹣ 4ab 计算即可．【解答】解：∵ x2+mx+4=（x±2）2，即x2+mx+4=x2±4x+4，∴m=±4．故答案为：± 4．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟记有关完全平方的几个变形公式是解题关键．4．（2015 秋 ?利川市期末）分解因式： 4x2﹣ 4x﹣3= （2x﹣ 3）（2x+1）．【分析】 ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解，这种方法的关键是把二次项系数 a 分解成两个因数 a1， a2的积 a1?a2，把常数项 c 分解成两个因数 c1， c2的积 c1?c2，并使 a1c2+a2c1正好是一次项 b，那么可以直接写成结果： ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2），进而得出答案．【解答】解： 4x2﹣ 4x﹣3=（ 2x﹣3）（2x+1）．【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确分解各项系数是解题关键．5．（2015 春?东阳市期末）利用因式分解计算： 2022+202×196+982=90000．【分析】通过观察，显然符合完全平方公式．第 9页（共 31页）=（ 202+98）2=3002=90000．【点评】运用公式法可以简便计算一些式子的值．6．（2015 秋 ?浮梁县校级期末）△ ABC三边 a，b，c 满足 a2+b2+c2=ab+bc+ca，则△ ABC的形状是等边三角形．【分析】分析题目所给的式子，将等号两边均乘以2，再化简得（ a﹣ b）2+（a ﹣c）2+（b﹣c）2=0，得出： a=b=c，即选出答案．【解答】解：等式 a2+b2+c2=ab+bc+ac 等号两边均乘以 2 得：2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ac，即a2﹣ 2ab+b2+a2﹣2ac+c2+b2﹣2bc+c2=0，即（ a﹣b）2+（ a﹣ c）2+（b﹣c）2=0，解得： a=b=c，所以，△ ABC是等边三角形．故答案为：等边三角形．【点评】此题考查了因式分解的应用；利用等边三角形的判定，化简式子得a=b=c，由三边相等判定△ ABC是等边三角形．7．（2015 秋?鄂托克旗校级期末）计算：12﹣22+32﹣42+52﹣62+⋯﹣1002+1012= 5151．【分析】通过观察，原式变为 1+（32﹣22）+（52﹣ 42）+（1012﹣ 1002），进一步运用高斯求和公式即可解决．【解答】解： 12﹣22+32﹣42+52﹣62+⋯﹣1002+1012=1+（32﹣22） +（ 52﹣42） +（ 1012﹣1002）=1+（3+2）+（5+4）+（7+6）+⋯+（101+100）=（ 1+101）× 101÷2=5151．故答案为： 5151．【点评】此题考查因式分解的实际运用，分组分解，利用平方差公式解决问题．8．（2015 秋?乐至县期末）定义运算 a★b=（1﹣a）b，下面给出了关于这种运算的四个结论：①2★（﹣ 2）=3②a★b=b★a③若 a+b=0，则（ a★ a） +（ b★ b） =2ab④若 a★ b=0，则 a=1 或 b=0．其中正确结论的序号是③④（填上你认为正确的所有结论的序号）．【分析】根据题中的新定义计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：① 2★（﹣ 2）=（1﹣2）×（﹣ 2）=2，本选项错误；②a★b=（1﹣a）b，b★a=（1﹣b）a，故 a★ b 不一定等于 b★ a，本选项错误；③若a+b=0，则（ a★a）+（b★b）=（1﹣a）a+（1﹣b）b=a﹣ a2+b﹣b2=﹣ a2﹣b2=﹣2a2=2ab，本选项正确；④若 a★ b=0，即（ 1﹣a）b=0，则 a=1 或 b=0，本选项正确，其中正确的有③④．故答案为③④．【点评】此题考查了整式的混合运算，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．9．（ 2015 春?张掖校级期末）如果 1+a+a2+a3=0，代数式 a+a2+a3+a4+a5 +a6+a7+a8=0．【分析】 4 项为一组，分成 2 组，再进一步分解因式求得答案即可．【解答】解：∵ 1+a+a2+a3=0，∴a+a2+a3+a4+a5+a6+a7 +a8，=a（1+a+a2+a3）+a5（1+a+a2+a3），=0+0，=0．故答案是： 0．【点评】此题考查利用因式分解法求代数式的值，注意合理分组解决问题．10．（2015 春?昆山市期末）若多项式 x2﹣ 6x﹣b 可化为（ x+a）2﹣ 1，则 b 的值是﹣8．【分析】利用配方法进而将原式变形得出即可．【解答】解：∵ x2﹣6x﹣ b=（x﹣3）2﹣9﹣b=（ x+a）2﹣ 1，解得： a=﹣3，b=﹣8．故答案为：﹣ 8．【点评】此题主要考查了配方法的应用，根据题意正确配方是解题关键．二．解答题（共20 小题）11．已知 n 为整数，试说明（ n+7）2﹣（ n﹣3）2的值一定能被 20 整除．【分析】用平方差公式展开（ n+7）2﹣（ n﹣3）2，看因式中有没有20 即可．【解答】解：（n+7）2﹣（ n﹣ 3）2=（n+7+n﹣ 3）（n+7﹣ n+3）=20（n+2），∴（ n+7）2﹣（ n﹣ 3）2的值一定能被 20 整除．【点评】主要考查利用平方差公式分解因式．公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．12．（2016 秋?农安县校级期末）因式分解：4x2y﹣ 4xy+y．【分析】先提取公因式 y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．【解答】解： 4x2y﹣4xy+y=y（4x2﹣4x+1）=y（2x﹣ 1）2．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．13．（2015 秋?成都校级期末）因式分解32（1）a ﹣ab（2）（ x﹣y）2+4xy．【分析】（ 1）原式提取 a，再利用平方差公式分解即可；（2）原式利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）原式 =a（a2﹣ b2）=a（ a+b）（ a﹣ b）；（2）原式 =x2﹣ 2xy+y2+4xy=x2+2xy+y2=（x+y）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．14．（2015 春?甘肃校级期末）先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若 m2 +2mn+2n2﹣ 6n+9=0，求 m 和 n 的值．解：∵ m2+2mn+2n2﹣6n+9=0∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0∴（ m+n）2+（n﹣3）2=0∴m+n=0，n﹣3=0∴m=﹣3，n=3问题：（1）若 x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，求 x y的值．（2）已知△ ABC的三边长 a，b，c 都是正整数，且满足a2+b2﹣ 6a﹣6b+18+| 3﹣c| =0，请问△ ABC是怎样形状的三角形？【分析】（ 1）首先把x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，配方得到（ x﹣y）2+（y+2）2=0，再根据非负数的性质得到x=y=﹣2，代入求得数值即可；（2）先把 a2+b2﹣6a﹣ 6b+18+| 3﹣c| =0，配方得到（ a﹣ 3）2+（b﹣3）2+| 3﹣c| =0，根据非负数的性质得到a=b=c=3，得出三角形的形状即可．【解答】解：（1）∵ x2 +2y2﹣2xy+4y+4=0∴x2+y2﹣2xy+y2+4y+4=0，∴（ x﹣y）2+（y+2）2=0∴x=y=﹣ 2∴；22（2）∵ a +b ﹣6a﹣6b+18+| 3﹣ c| =0，22∴a ﹣6a+9+b ﹣6b+9+| 3﹣c| =0，22∴（ a﹣3） +（ b﹣ 3） +| 3﹣c| =0∴a=b=c=3∴三角形 ABC是等边三角形．【点评】此题考查了配方法的应用：通过配方，把已知条件变形为几个非负数的和的形式，然后利用非负数的性质得到几个等量关系，建立方程求得数值解决问题．15．（2015 秋?太和县期末）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如 4=22﹣02， 12=42﹣22，20=62﹣42，因此 4，12，20 这三个数都是和谐数．（1）36 和 2016 这两个数是和谐数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2 和 2k（其中 k 取非负整数），由这两个连续偶数构造的和谐数是 4 的倍数吗？为什么？（3）介于 1 到 200 之间的所有“和谐数”之和为2500．【分析】（ 1）利用 36=102﹣82；2016=5052﹣5032说明 36 是“和谐数”，2016不是“和谐数”；（2）设两个连续偶数为 2n，2n+2（n 为自然数），则“和谐数”=（2n+2）2﹣（ 2n）2，利用平方差公式展开得到（ 2n+2+2n）（2n+2﹣2n）=4（ 2n+1），然后利用整除性可说明“和谐数”一定是 4 的倍数；（3）介于 1 到 200 之间的所有“和谐数”中，最小的为： 22﹣02=4，最大的为：2250 ﹣ 48 =196，将它们全部列出不难求出他们的和．【解答】解：（1）36 是“和谐数”，2016 不是“和谐数”．理由如下：36=102﹣ 82；2016=5052﹣5032；（2）设两个连续偶数为2k+2 和 2k（n 为自然数），∵（ 2k+2）2﹣（ 2k）2=（2k+2+2k）（ 2k+2﹣ 2k）=（ 4k+2）× 2=4（2k+1），∵4（2k+1）能被 4 整除，∴“和谐数”一定是 4 的倍数；（3）介于 1 到 200 之间的所有“和谐数”之和，S=（22﹣ 02）+（42﹣ 22）+（62﹣42） +⋯+（502﹣482）=502 =2500．故答案是： 2500．【点评】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解把所求的代数式进行变形，从而达到使计算简化．16．（2015 春?兴化市校级期末）如图 1，有若干张边长为 a 的小正方形①、长为 b 宽为 a 的长方形②以及边长为 b 的大正方形③的纸片．（1）如果现有小正方形① 1 张，大正方形③ 2 张，长方形② 3 张，请你将它们拼成一个大长方形（在图 2 虚线框中画出图形），并运用面积之间的关系，将多项式 a2+3ab+2b2分解因式．（2）已知小正方形①与大正方形③的面积之和为 169，长方形②的周长为 34，求长方形②的面积．（3）现有三种纸片各8 张，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），求可以拼成多少种边长不同的正方形．【分析】（ 1）根据小正方形① 1 张，大正方形③ 2 张，长方形② 3 张，直接画出图形，利用图形分解因式即可；（2）由长方形②的周长为 34，得出 a+b=17，由题意可知：小正方形①与大正方形③的面积之和为 a2+b2=169，将 a+b=17 两边同时平方，可求得 ab 的值，从而可求得长方形②的面积；（3）设正方形的边长为（ na+mb），其中（ n、m 为正整数）由完全平方公式可知：（na+mb）2=n2a2+2nmab+m2b2．因为现有三种纸片各8张，n2≤8，m2≤8，2mn≤ 8（ n、 m 为正整数）从而可知n≤2，m≤2，从而可得出答案．【解答】解：（1）如图：拼成边为（ a+2b）和（ a+b）的长方形∴a2+3ab+2b2=（a+2b）（ a+b）；（2）∵长方形②的周长为34，∴a+b=17．∵小正方形①与大正方形③的面积之和为 169，∴a2+b2=169．将 a+b=17 两边同时平方得：（ a+b）2=172，整理得： a2+2ab+b2=289，∴2ab=289﹣169，∴ab=60．∴长方形②的面积为60．（3）设正方形的边长为（ na+mb），其中（ n、m 为正整数）∴正方形的面积 =（ na+mb）2=n2a2+2nmab+m2b2．∵现有三种纸片各8 张，∴n2≤8，m2≤8，2mn≤8（n、m 为正整数）∴n≤2，m≤2．∴共有以下四种情况；①n=1，m=1，正方形的边长为a+b；②n=1，m=2，正方形的边长为a+2b；③n=2，m=1，正方形的边长为2a+b；④n=2，m=2，正方形的边长为2a+2b．【点评】此题考查因式分解的运用，要注意结合图形解决问题，解题的关键是灵活运用完全平方公式．17．（2014 秋 ?莱城区校级期中）（1）有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示，用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2．①用两种不同的方法，计算图 2 中长方形的面积；②由此，你可以得出的一个等式为： a2+2a+1 = （a+1）2．（2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图 3 所示．①请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图；②请你用拼图等方法推出2a2+5ab+2b2因式分解的结果，画出你的拼图．【分析】（ 1）要能根据所给拼图运用不同的计算面积的方法，来推导公式；（2）要能根据等式画出合适的拼图．【解答】解：（1）①长方形的面积 =a2+2a+1；长方形的面积 =（a+1）2；②a2+2a+1=（a+1）2；（2）①如图，可推导出（ a+b）2=a2+2ab+b2；②2a2+5ab+2b2=（ 2a+b）（a+2b）．【点评】本题考查运用正方形或长方形的面积计算推导相关的一些等式；运用图形的面积计算的不同方法得到多项式的因式分解．18．（2013 秋?海淀区校级期末）已知a+b=1，ab=﹣1，设 s1=a+b，s2=a2+b2，s3=a3+b3，⋯， s n =a n+b n（1）计算 s2；（2）请阅读下面计算s3的过程：因为 a+b=1，ab=﹣1，所以 s33+b3（a+b ）（2+b2）﹣ ab（a+b）=1×s2﹣（﹣ 1）=s2+1= 4=a=a你读懂了吗？请你先填空完成（ 2）中 s3的计算结果，再用你学到的方法计算s4．（3）试写出 s n﹣2， s n﹣1，s n三者之间的关系式；（4）根据（ 3）得出的结论，计算s6．【分析】（1）（2）利用完全平方公式进行化简，然后代入a+b，ab 的值，即可推出结论；（3）根据（ 1）所推出的结论，即可推出 S n﹣2+S n﹣1=S n；（4）根据（ 3）的结论，即可推出 a6+b6=S6=S4+S5 =2S4+S3．【解答】解：（1）S2=a2+b2=（ a+b）2﹣ 2ab=3；（2）∵（ a2+b2）（a+b） =a3+ab2+a2 b+b3=a3+b3+ab（ a+b），∴a3+b3=4，即 S3=4；2222∵S4=（a +b ）﹣2（ab） =7，（3）∵ S2=3，S3=4， S4=7，∴S2+S3=S4，∴S n﹣2+S n﹣1=S n；（3）∵ S n﹣2+S n﹣1=S n，S2=3，S3=4，S4=7，∴S5=4+7=11，∴S6=7+11=18．【点评】本题主要考查整式的混合运算、完全平方公式的运用，关键在于根据题意推出 S2=3，S3=4， S4=7，分析归纳出规律： S n﹣2+S n﹣1=S n．219．（2013 春?重庆校级期末）（ 1）利用因式分解简算：9.8 +0.4×9.8+0.04【分析】（ 1）利用完全平方公式因式分解计算即可；（2）先利用提取公因式法，再利用完全平方公式因式分解即可．【解答】解：（1）原式 =9.82+2×0.2×9.8+0.22=（ 9.8+0.2）2=100；（2）4a（ a﹣1）2﹣（ 1﹣a）=（ a﹣ 1）（4a2﹣4a+1）=（ a﹣ 1）（2a﹣ 1）2．【点评】此题考查因式分解的实际运用，掌握平方差公式和完全平方公式是解决问题的关键．20．（ 2013 春?惠山区校级期末）阅读材料：若 m2﹣2mn+2n2﹣ 8n+16=0，求 m、n的值．解：∵ m2﹣2mn+2n2﹣ 8n+16=0，∴（ m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0 ∴（ m﹣ n）2+（n﹣4）2=0，∴（ m﹣n）2=0，（ n﹣ 4）2=0，∴ n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知 x2+2xy+2y2+2y+1=0，求 x﹣y 的值．（2）已知△ABC的三边长a、b、c 都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣8b+25=0，求△ ABC的最大边 c 的值．（3）已知 a﹣b=4，ab+c2﹣6c+13=0，则 a﹣b+c= 7．【分析】（1）将多项式第三项分项后，结合并利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为 0，两非负数分别为 0 求出 x 与 y 的值，即可求出 x﹣y 的值；（2）将已知等式 25 分为 9+16，重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为 0，两非负数分别为 0 求出 a 与 b 的值，根据边长为正整数且三角形三边关系即可求出 c 的长；（3）由 a﹣ b=4，得到 a=b+4，代入已知的等式中重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为 0，两非负数分别为 0 求出 b 与 c 的值，进而求出 a 的值，即可求出 a﹣b+c 的值．【解答】解：（1）∵ x2 +2xy+2y2+2y+1=0 222∴（ x +2xy+y ） +（ y +2y+1）=0∴（ x+y）2+（ y+1）2=0∴x+y=0 y+1=0解得 x=1， y=﹣1∴x﹣y=2；（2）∵ a2+b2﹣6a﹣8b+25=0∴（ a2﹣ 6a+9） +（ b2﹣8b+16）=0∴a﹣3=0，b﹣4=0解得 a=3，b=4∵三角形两边之和＞第三边∴c＜a+b，c＜3+4∴c＜7，又 c 是正整数，∴c最大为 6；（3）∵a﹣b=4，即a=b+4，代入得：（b+4）b+c2﹣6c+13=0，整理得：（b2+4b+4）+（c2﹣6c+9）=（b+2）2+（c﹣3）2=0，∴b+2=0，且 c﹣3=0，即 b=﹣ 2， c=3，a=2，则a﹣b+c=2﹣（﹣ 2）+3=7．故答案为： 7．【点评】此题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．21．（2012 秋?温岭市校级期末）仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2﹣4x+m 有一个因式是（ x+3），求另一个因式以及m 的值．解：设另一个因式为（x+n），得 x2﹣4x+m=（x+3）（x+n），则 x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n∴n+3=﹣4m=3n解得： n=﹣7，m=﹣21∴另一个因式为（ x﹣7）， m 的值为﹣ 21．问题：（1）若二次三项式 x2﹣5x+6 可分解为（ x﹣ 2）（x+a），则 a= ﹣ 3 ；（2）若二次三项式 2x2+bx﹣5 可分解为（ 2x﹣1）（ x+5），则 b= 9 ；（3）仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+5x﹣ k 有一个因式是（2x﹣3），求另一个因式以及 k 的值．【分析】（ 1）将（ x﹣2）（x+a）展开，根据所给出的二次三项式即可求出 a 的值；（2）（ 2x﹣1）（ x+5）展开，可得出一次项的系数，继而即可求出 b 的值；（3）设另一个因式为（ x+n），得 2x2 +5x﹣ k=（2x﹣3）（ x+n） =2x2+（2n﹣ 3）x﹣ 3n，可知 2n﹣ 3=5，k=3n，继而求出 n 和 k 的值及另一个因式．【解答】解：（1）∵（ x﹣ 2）（x+a）=x2+（a﹣2）x﹣2a=x2﹣5x+6，∴a﹣2=﹣ 5，解得： a=﹣3；（2）∵（ 2x﹣1）（ x+5）=2x2+9x﹣5=2x2+bx﹣ 5，（3）设另一个因式为（ x+n），得 2x2 +5x﹣ k=（2x﹣3）（ x+n） =2x2+（2n ﹣ 3）x﹣ 3n，则2n﹣3=5，k=3n，解得： n=4，k=12，故另一个因式为（ x+4），k 的值为 12．故答案为：（1）﹣ 3；（ 2 分）（2）9；（ 2 分）（ 3）另一个因式是 x+4，k=12（6分）．【点评】本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．22．（2012 春?郯城县期末）分解因式：（1）2x2﹣x；（2）16x2﹣ 1；（3）6xy2﹣ 9x2y﹣y3；（4）4+12（x﹣ y） +9（x﹣y）2．【分析】（ 1）直接提取公因式x 即可；（2）利用平方差公式进行因式分解；（3）先提取公因式﹣ y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解；（4）把（ x﹣y）看作整体，利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：（1）2x2﹣x=x（2x﹣ 1）；（2）16x2﹣ 1=（4x+1）（ 4x﹣1）；223（3）6xy ﹣ 9x y﹣y ，22=﹣ y（ 9x ﹣ 6xy+y ），2=﹣ y（ 3x﹣y）；（4）4+12（x﹣ y） +9（x﹣y）2，=（ 3x﹣3y+2）2．【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，是因式分解的常用方法，难点在（3），提取公因式﹣y 后，需要继续利用完全平方公式进行二次因式分解．23．（ 2012 春?碑林区校级期末）已知 a，b，c 是三角形的三边，且满足（ a+b+c）2=3（ a2 +b2+c2），试确定三角形的形状．【分析】将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题．【解答】解：∵（ a+b+c）2=3（ a2+b2+c2），∴a2+b2+c2 +2ab+2bc+2ac，=3a2+3b2+3c2，a2+b2﹣2ab+b2+c2﹣ 2bc+a2+c2﹣2ac=0，即（ a﹣b）2+（ b﹣ c）2+（c﹣ a）2=0，∴a=b=c，故△ ABC为等边三角形．【点评】本题考查了配方法的运用，非负数的性质，等边三角形的判断．关键是将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题．24．（2011 秋?北辰区校级期末）分解因式4 2 24（1）2x ﹣4x y +2y（2）2a3﹣4a2b+2ab2．【分析】（ 1）原式提取公因式后，利用平方差公式分解即可；（2）原式提取公因式，利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）2x4﹣4x2y2+2y4=2（x2﹣ y2）2=2（x+y）2（x﹣y）2；（2）2a3﹣4a2b+2ab2=2a（a2﹣2ab+b2）=2a（a﹣b）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，提取公因式后利用公式进行二次分解，注意分解要彻底．25．（2011 秋?苏州期末）图①是一个长为2m、宽为 2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．（1）图②中的阴影部分的面积为（m﹣n）2；（2）观察图②请你写出三个代数式（ m+n）2、（m﹣ n）2、 mn 之间的等量关系是（m+n）2﹣（ m﹣n）2=4mn ．（3）若 x+y=7，xy=10，则（ x﹣y）2= 9．（4）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图③，它表示了（ m+n）（2m+n）=2m2+3mn+n2．（5）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）=m2+4mn+3n2．【分析】（ 1）可直接用正方形的面积公式得到．（2）掌握完全平方公式，并掌握和与差的区别．（3）此题可参照第（ 2）题．（4）可利用各部分面积和 =长方形面积列出恒等式．（5）可参照第（ 4）题画图．【解答】解：（1）阴影部分的边长为（m﹣n），阴影部分的面积为（m﹣n）2；（2）（ m+n）2﹣（ m﹣ n）2=4mn；222（3）（ x﹣y） =（ x+y）﹣ 4xy=7 ﹣ 40=9；22（4）（ m+n）（2m+n）=2m +3mn+n ；（5）答案不唯一：例如：．【点评】本题考查了因式分解的应用，解题关键是认真观察题中给出的图示，用不同的形式去表示面积，熟练掌握完全平方公式，并能进行变形．26．（ 2009 秋?海淀区期末）已知 a、b、c 满足 a﹣ b=8，ab+c2 +16=0，求2a+b+c 的值．【分析】本题乍看下无法代数求值，也无法进行因式分解；但是将已知的两个式子进行适当变形后，即可找到本题的突破口．由 a﹣b=8 可得 a=b+8；将其代入 ab+c2+16=0 得：b2+8b+c2+16=0；此时可发现 b2+8b+16 正好符合完全平方公式，因此可用非负数的性质求出 b、 c 的值，进而可求得 a 的值；然后代值运算即可．【解答】解：因为 a﹣b=8，所以 a=b+8．（1 分）又ab+c2+16=0，所以（ b+8）b+c2+16=0．（ 2 分）又（ b+4）2≥0，c2≥ 0，则b=﹣4，c=0．（4 分）所以 a=4，（ 5 分）所以 2a+b+c=4．（ 6 分）【点评】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了非负数的性质以及代数式求值的方法．27．（2010 春?北京期末）已知：一个长方体的长、宽、高分别为正整数a、b、c，且满足 a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006，求：这个长方体的体积．【分析】我们可先将 a+b+c+ab+bc+ac+abc 分解因式可变为（ a+1）（b+1）（c+1）﹣1，就得（ 1+b）（c+1）（a+1）=2007，由于 a、b、c 均为正整数，所以（a+1）、（b+1）、（c+1）也为正整数，而 2007 只可分解为 3×3×223，可得（a+1）、（b+1）、（c+1）的值分别为 3、3、223，所以 a、b、c 值为 2、 2、222．就可求出长方体体积 abc 了．【解答】解：原式可化为： a+ab+c+ac+ab+abc+b+1﹣ 1=2006，a（ 1+b）+c（1+b） +ac（1+b）+（1+b）﹣ 1=2006，（1+b）（a+c+ac）+（1+b）=2007，（1+b）（c+1+a+ac）=2007，（1+b）（c+1）（ a+1）=2007，2007 只能分解为 3×3×223∴（ a+1）、（b+1）、（c+1）也只能分别为 3、 3、223 ∴a、b、c 也只能分别为 2、2、222 ∴长方体的体积 abc=888．【点评】本题考查了三次的分解因式，做题当中用加减项的方法，使式子满足分解因式．28．（2007 秋?普陀区校级期末）（x2﹣4x）2﹣ 2（ x2﹣4x）﹣ 15．【分析】把（x2﹣ 4x）看作一个整体，先把﹣ 15 写成 3×（﹣ 5），利用十字相乘法分解因式，再把 3 写成（﹣ 1）×（﹣ 3），﹣5 写成 1×（﹣ 5），分别利用十字相乘法分解因式即可．【解答】解：（x2﹣4x）2﹣ 2（ x2﹣4x）﹣ 15，=（ x2﹣4x+3）（x2﹣ 4x﹣5），=（ x﹣1）（x﹣3）（ x+1）（x﹣5）．【点评】本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程，本题需要进行多次因式分解，分解因式一定要彻底．29．（2007 春?镇海区期末）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：2=（ 1+x） [ 1+x+x（x+1）]=（ 1+x）2（ 1+x）=（ 1+x）3（1）上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次．（2）若分解 1+x+x（x+1）+x（x+1）2+⋯+x（x+1）2004，则需应用上述方法2004第 29 页（共 31 页）次，结果是（ 1+x）2005．（3）分解因式： 1+x+x（x+1）+x（ x+1）2+⋯+x（x+1）n（n 为正整数）．【分析】此题由特殊推广到一般，要善于观察思考，注意结果和指数之间的关系．【解答】解：（1）上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了 2 次．（2）需应用上述方法2004 次，结果是（ 1+x）2005．（3）解：原式 =（1+x）[ 1+x+x（x+1） ]+ x（ x+1）3+⋯+x（ x+1）n，=（ 1+x）2（ 1+x） +x（x+1）3+⋯+x（x+1）n，=（ 1+x）3+x（ x+1）3+⋯+x（ x+1）n，=（ x+1）n+x（ x+1）n，=（ x+1）n+1．【点评】本题考查了提公因式法分解因式的推广，要认真观察已知所给的过程，弄清每一步的理由，就可进一步推广．30．（2007 春 ?射洪县校级期末）对于多项式x3﹣5x2+x+10，如果我们把x=2代入此多项式，发现多项式 x3﹣ 5x2+x+10=0，这时可以断定多项式中有因式（x ﹣2）（注：把 x=a 代入多项式能使多项式的值为0，则多项式含有因式（x﹣a）），于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+x+10=（x﹣ 2）（x2+mx+n），（1）求式子中 m 、n 的值；（2）以上这种因式分解的方法叫试根法，用试根法分解多项式x3﹣ 2x2﹣ 13x ﹣10 的因式．【分析】（ 1）根据（ x﹣2）（x2+mx+n）=x3+（m﹣ 2）x2+（ n﹣ 2m） x﹣ 2n，得出有关 m，n 的方程组求出即可；（2）由把 x=﹣1 代入 x3﹣2x2﹣13x﹣10，得其值为 0，则多项式可分解为（x+1）（x2+ax+b）的形式，进而将多项式分解得出答案．【解答】解：（1）方法一：因（ x﹣2）（x2+mx+n）=x3+（m﹣2）x2+（n﹣2m）x﹣ 2n，=x3﹣ 5x2+x+10，（2 分）所以，解得： m=﹣ 3， n=﹣5（5 分），方法二：在等式x3﹣5x2+x+10=（x﹣2）（x2+mx+n）中，分别令 x=0，x=1，即可求出： m=﹣3，n=﹣5（注：不同方法可根据上面标准酌情给分）（2）把 x=﹣1 代入 x3﹣2x2﹣13x﹣ 10，得其值为 0，则多项式可分解为（ x+1）（x2+ax+b）的形式，（ 7 分）所以 x3﹣2x2﹣13x﹣10=（x+1）（x2﹣ 3x﹣10），（9 分）=（ x+1）（x+2）（x﹣5）．（10 分）【点评】此题主要考查了因式分解的应用，根据已知获取正确的信息，是近几年中考中热点题型同学们应熟练掌握获取正确信息的方法．。

初中数学因式分解难题汇编及答案

初中数学因式分解难题汇编及答案

初中数学因式分解难题汇编及答案一、选择题1．若实数a 、b 满足a+b=5，a 2b+ab 2=-10，则ab 的值是（ ）A ．-2B ．2C ．-50D ．50【答案】A【解析】试题分析：先提取公因式ab ，整理后再把a+b 的值代入计算即可．当a+b=5时，a 2b+ab 2=ab （a+b ）=5ab=-10，解得：ab=-2．考点：因式分解的应用．2．若()()21553x kx x x --=-+，则k 的值为（ ）A ．-2B ．2C ．8D ．-8【答案】B【解析】【分析】 利用十字相乘法化简()()253215x x x x -+=--，即可求出k 的值．【详解】∵()()253215x x x x -+=--∴2k -=-解得2k =故答案为：B ．【点睛】本题考查了因式分解的问题，掌握十字相乘法是解题的关键．3．已知12,23x y xy -==，则43342x y x y -的值为( )A ．23B ．2C ．83D ．163【答案】C【解析】【分析】利用因式分解以及积的乘方的逆用将43342x y x y -变形为(xy)3(2x-y)，然后代入相关数值进行计算即可．【详解】 ∵12,23x y xy -==，∴43342x y x y -=x 3y 3(2x-y)=(xy)3(2x-y)=23×1 3=83，故选C．【点睛】本题考查了因式分解的应用，代数式求值，涉及了提公因式法，积的乘方的逆用，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．4．下列等式从左到右的变形属于因式分解的是（）A．a2﹣2a+1＝（a﹣1）2B．a（a+1）（a﹣1）＝a3﹣aC．6x2y3＝2x2•3y3D．mx﹣my+1＝m（x﹣y）+1【答案】A【解析】【分析】直接利用因式分解的定义分析得出答案．【详解】解：A、a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，从左到右的变形属于因式分解，符合题意；B、a（a+1）（a﹣1）＝a3﹣a，从左到右的变形是整式乘法，不合题意；C、6x2y3＝2x2•3y3，不符合因式分解的定义，不合题意；D、mx﹣my+1＝m（x﹣y）+1不符合因式分解的定义，不合题意；故选：A．【点睛】本题考查因式分解的意义，解题关键是熟练掌握因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，注意因式分解与整式的乘法的区别．5．下列各式中不能用平方差公式进行计算的是( )A．(m－n)(m＋n) B．(－x－y)(－x－y)C．(x4－y4)(x4＋y4) D．(a3－b3)(b3＋a3)【答案】B【解析】A.(m－n)(m＋n)，能用平方差公式计算；B.(－x－y)(－x－y)，不能用平方差公式计算；C.(x4－y4)(x4＋y4)，能用平方差公式计算；D. (a3－b3)(b3＋a3)，能用平方差公式计算.故选B.6．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A．2a2﹣2a+1=2a（a﹣1）+1 B．（x+y）（x﹣y）=x2﹣y2C．x2﹣6x+5=（x﹣5）（x﹣1）D．x2+y2=（x﹣y）2+2x【答案】C【解析】【分析】根据因式分解是将一个多项式转化为几个整式的乘积的形式，根据定义，逐项分析即可．【详解】A、2a2-2a+1=2a（a-1）+1，等号的右边不是整式的积的形式，故此选项不符合题意；B、（x+y）（x-y）=x2-y2，这是整式的乘法，故此选项不符合题意；C、x2-6x+5=（x-5）（x-1），是因式分解，故此选项符合题意；D、x2+y2=（x-y）2+2xy，等号的右边不是整式的积的形式，故此选项不符合题意；故选C．【点睛】此题考查因式分解的意义，解题的关键是看是否是由一个多项式化为几个整式的乘积的形式．7．若a2-b2=14，a-b=12，则a+b的值为（）A．-12B．1 C．12D．2【答案】C【解析】【分析】已知第二个等式左边利用平方差公式分解后，将第一个等式变形后代入计算即可求出．【详解】∵a2－b2=（a+b）(a-b)=12(a+b)=14∴a+b=1 2故选C.点睛：此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．8．已知x﹣y＝﹣2，xy＝3，则x2y﹣xy2的值为（）A．2 B．﹣6 C．5 D．﹣3【答案】B【解析】【分析】先题提公因式xy，再用公式法因式分解，最后代入计算即可．【详解】解：x 2y ﹣xy 2＝xy （x ﹣y ）＝3×（﹣2）＝﹣6，故答案为B ．【点睛】本题考查了因式分解，掌握先提取公因式、再运用公式法的解答思路是解答本题的关键．9．将多项式x 2+2xy+y 2﹣2x ﹣2y+1分解因式，正确的是（ ）A ．（x+y ）2B ．（x+y ﹣1）2C ．（x+y+1）2D ．（x ﹣y ﹣1）2 【答案】B【解析】【分析】此式是6项式，所以采用分组分解法．【详解】解：x 2+2xy+y 2﹣2x ﹣2y+1=（x 2+2xy+y 2）﹣（2x+2y ）+1=（x+y ）2﹣2（x+y ）+1=（x+y ﹣1）2．故选：B10．若a b +=1ab =，则33a b ab -的值为（ ）A ．±B ．C ．±D ．【答案】C【解析】【分析】将原式进行变形，3322()()()a b ab ab a b ab a b a b -=-=+-，然后利用完全平方公式的变形22()()4a b a b ab -=+-求得a-b 的值，从而求解． 【详解】解：∵3322()()()a b ab ab a b ab a b a b -=-=+-∴33)a b b ab a =--又∵22()()4a b a b ab -=+-∴22()414a b -=-⨯=∴2a b -=±∴33(2)a b ab =±=±-故选：C ．【点睛】本题考查因式分解及完全平方公式的灵活应用，掌握公式结构灵活变形是解题关键．11．下列因式分解正确的是（ ）A ．x 3﹣x ＝x （x 2﹣1）B ．x 2+y 2＝（x+y ）（x ﹣y ）C ．（a+4）（a ﹣4）＝a 2﹣16D ．m 2+4m+4＝（m+2）2【答案】D【解析】【分析】逐项分解因式，即可作出判断．【详解】 A 、原式＝x （x 2﹣1）＝x （x+1）（x ﹣1），不符合题意；B 、原式不能分解，不符合题意；C 、原式不是分解因式，不符合题意；D 、原式＝（m+2）2，符合题意，故选：D ．【点睛】此题主要考查了提公因式法，以及公式法在因式分解中的应用，要熟练掌握．12．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）A ．x 2+2x ﹣1=（x ﹣1）2B ．x 2+4x+4=（x+2）2C ．（a+b ）（a ﹣b ）=a 2﹣b 2D ．ax 2﹣a=a （x 2﹣1）【答案】B【解析】【分析】因式分解是指将多项式和的形式转化成整式乘积的形式,因式分解的方法有:提公因式法,套用公式法,十字相乘法,分组分解法,解决本题根据因式分解的定义进行判定.【详解】A 选项,从左到右变形错误,不符合题意,B 选项,从左到右变形是套用完全平方公式进行因式分解,符合题意,C 选项, 从左到右变形是在利用平方差公式进行计算,不符合题意,D 选项, 从左到右变形利用提公因式法分解因式,但括号里仍可以利用平方差公式继续分解,属于分解不彻底,因此不符合题意,故选B.【点睛】本题主要考查因式分解的定义,解决本题的关键是要熟练掌握因式分解的定义和方法.13．若实数x 满足2210x x --=，则322742017x x x -+-的值为( )A ．2019B ．2019-C ．2020D ．2020-【答案】D【解析】【分析】根据2210x x --=推出x 2-2x=1，然后把-7x 2分解成-4x 2-3x 2，然后把所求代数式整理成用x 2-2x 表示的形式，然后代入数据计算求解即可．解：∵x 2-2x-1=0，∴x 2-2x=1，2x 3-7x 2+4x-2017=2x 3-4x 2-3x 2+4x-2017，=2x （x 2-2x ）-3x 2+4x-2017，=6x-3x 2-2017，=-3（x 2-2x ）-2017=-3-2017=-2020故选D.【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，利用因式分解整理出已知条件的形式是解题的关键，整体代入思想的利用比较重要．14．某天数学课上，老师讲了提取公因式分解因式，放学后，小华回到家拿出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，他突然发现一道题：-12xy 2+6x 2y+3xy=-3xy•（4y-______）横线空格的地方被钢笔水弄污了，你认为横线上应填写（ ）A ．2xB ．-2xC ．2x-1D ．-2x-l【答案】C【解析】【分析】根据题意，提取公因式-3xy ，进行因式分解即可．【详解】解：原式=-3xy×（4y-2x-1），空格中填2x-1．故选：C ．【点睛】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力．一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止，同时要注意提取公因式后各项符号的变化．15．多项式22ab bc a c -+-分解因式的结果是（ ）A ．()()a c a b c -++B ．()()a c a b c -+-C ．()()a c a b c ++-D ．()()a c a b c +-+【答案】A【解析】【分析】根据提取公因式和平方差公式进行因式分解即可解答.【详解】解：22))))))=((((((+)+(ab bc a c b a c a c a c a c b a c a c a b c -+--++-=-+=-+；【点睛】本题考查了利用提取公因式和平方差公式进行因式分解，熟练掌握是解题的关键.16．若x 2+mxy+y 2是一个完全平方式，则m=（ ）A ．2B ．1C ．±1D ．±2【答案】D【解析】根据完全平方公式：(a +b )2=a 2+2ab +b 2与(a -b )2=a 2-2ab +b 2可知，要使x 2+mxy +y 2符合完全平方公式的形式，该式应为：x 2+2xy +y 2=(x +y )2或x 2-2xy +y 2=(x -y )2. 对照各项系数可知，系数m 的值应为2或-2.故本题应选D.点睛：本题考查完全平方公式的形式，应注意完全平方公式有(a +b )2、(a -b )2两种形式. 考虑本题时要全面，不要漏掉任何一种形式.17．下列由左到右边的变形中，是因式分解的是（ ）A ．（x +2）（x ﹣2）＝x 2﹣4B ．x 2﹣1＝1()x x x-C ．x 2﹣4+3x ＝（x +2）（x ﹣2）+3xD ．x 2﹣4＝（x +2）（x ﹣2）【答案】D【解析】【分析】直接利用因式分解的意义分别判断得出答案．【详解】A 、（x+2）（x-2）=x 2-4，是多项式乘法，故此选项错误；B 、x 2-1=（x+1）（x-1），故此选项错误；C 、x 2-4+3x=（x+4）（x-1），故此选项错误；D 、x 2-4=（x+2）（x-2），正确．故选D ．【点睛】此题主要考查了因式分解的意义，正确把握定义是解题关键．18．下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）A ．()()2224x x x +-=-B ．2222()a ab b a b -+=-C ．()11am bm m a b +-=+-D ．()21(1)1111x x x x ⎛⎫--=--- ⎪-⎝⎭【答案】B【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，根据因式分解的定义，即可得到本题的答案．【详解】A ．属于整式的乘法运算，不合题意；B ．符合因式分解的定义，符合题意；C ．右边不是乘积的形式，不合题意；D ．右边不是几个整式的积的形式，不合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了因式分解的定义，即将多项式写成几个因式的乘积的形式，掌握定义是解题的关键．19．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）A ．2(3)(2)6x x x x +-=+-B ．24(2)(2)x x x -=+-C ．2323824a b a b =⋅D ．1()1ax ay a x y --=-- 【答案】B【解析】【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．【详解】解：A ．是整式乘法，故A 错误；B ．是因式分解，故B 正确；C ．左边不是多项式，不是因式分解，故C 错误；D ．右边不是整式积的形式，故D 错误．故选B ．【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．20．下列因式分解正确的是（ ）A ．()22121x x x x ++=++B ．()222x y x y -=-C ．()1xy x x y -=-D ．()22211x x x +-=- 【答案】C【解析】【分析】根据平方差公式，提公因式法分解因式，完全平方公式，对各选项逐一分析判断即可得答案．A.x2+2x+1=(x+1)2，故该选项不属于因式分解，不符合题意，B.x2-y2=(x+y)(x-y)，故该选项因式分解错误，不符合题意，C.xy-x=x(y-1)，故该选项正确，符合题意，D.x2+2x-1不能因式分解，故该选项因式分解错误，不符合题意，故选：C．【点睛】本题考查因式分解，因式分解首先看是否有公因式，如果有先提取公因式，然后再利用公式法或十字相乘法进行分解，要分解到不能再分解为止．。

八年级因式分解难题

八年级因式分解难题

八年级因式分解难题一、基础概念类。

1. 分解因式：x^2-4y^2解析：这是一个平方差公式的应用，a^2-b^2=(a + b)(a b)，在这里a=x，b =2y，所以x^2-4y^2=(x+2y)(x 2y)。

2. 分解因式：9x^2-16解析：同样是平方差公式，9x^2=(3x)^2，16 = 4^2，所以9x^2-16=(3x + 4)(3x-4)。

二、提取公因式与公式结合类。

3. 分解因式：2x^3-8x解析：首先提取公因式2x，得到2x(x^2-4)，然后x^2-4可以继续用平方差公式分解为(x + 2)(x-2)，所以2x^3-8x=2x(x + 2)(x 2)。

4. 分解因式：3x^2y-6xy + 3y解析：先提取公因式3y，得到3y(x^2-2x + 1)，而x^2-2x + 1=(x 1)^2，所以3x^2y-6xy + 3y=3y(x 1)^2。

三、完全平方公式类。

5. 分解因式：x^2+6x + 9解析：这是完全平方公式(a + b)^2=a^2+2ab+b^2的形式，在这里a=x，b = 3，所以x^2+6x + 9=(x + 3)^2。

6. 分解因式：4x^2-20x+25解析：根据完全平方公式(a b)^2=a^2-2ab + b^2，这里a = 2x，b=5，所以4x^2-20x + 25=(2x 5)^2。

四、较复杂的综合类。

7. 分解因式：x^4-81解析：可以先将x^4-81看作(x^2)^2-9^2，根据平方差公式得到(x^2+9)(x^2-9)，而x^2-9还可以继续分解为(x + 3)(x-3)，所以x^4-81=(x^2+9)(x + 3)(x 3)。

8. 分解因式：x^3+2x^2-9x-18解析：分组分解，将式子分为(x^3+2x^2)-(9x + 18)，分别提取公因式得到x^2(x + 2)-9(x + 2)，再提取公因式(x + 2)得到(x + 2)(x^2-9)，最后x^2-9=(x + 3)(x-3)，所以x^3+2x^2-9x-18=(x + 2)(x + 3)(x 3)。

因式分解难题答案集

因式分解难题答案集

因式分解难题答案集因式分解是代数学中的一个重要概念，它可以帮助我们简化复杂的代数表达式。

在本文档中，我们将提供一些常见难题的因式分解答案，希望对你的研究有所帮助。

难题一：因式分解多项式问题：把多项式 $3x^2 + 6x + 3$ 进行因式分解。

把多项式$3x^2 + 6x + 3$ 进行因式分解。

答案：将多项式进行因式分解得到 $(x + 1)(3x + 3)$。

将多项式进行因式分解得到 $(x + 1)(3x + 3)$。

难题二：因式分解含有平方项的多项式问题：把多项式 $x^2 - 4$ 进行因式分解。

把多项式 $x^2 - 4$ 进行因式分解。

答案：将多项式进行因式分解得到 $(x + 2)(x - 2)$。

将多项式进行因式分解得到 $(x + 2)(x - 2)$。

难题三：因式分解含有高次幂的多项式问题：把多项式 $x^3 - 8$ 进行因式分解。

把多项式 $x^3 -8$ 进行因式分解。

答案：将多项式进行因式分解得到 $(x - 2)(x^2 + 2x + 4)$。

将多项式进行因式分解得到 $(x - 2)(x^2 + 2x + 4)$。

难题四：因式分解含有多个变量的多项式问题：把多项式 $x^2 + 2xy + y^2$ 进行因式分解。

把多项式$x^2 + 2xy + y^2$ 进行因式分解。

答案：将多项式进行因式分解得到 $(x + y)^2$。

将多项式进行因式分解得到 $(x + y)^2$。

这些是一些常见的因式分解难题及其答案。

通过理解和掌握因式分解的方法，你将能够更好地解决和简化复杂的代数表达式。

希望本文档对你的研究有所帮助。

> 注意：以上答案仅供参考，并不代表所有的因式分解问题的唯一答案。

因式分解有时存在多种可能的解法，具体的答案可能因问题的具体形式而有所不同。

初二因式分解练习题和答案

初二因式分解练习题和答案

初二因式分解练习题和答案一、基础题型1. 将下列多项式进行因式分解：(1) $x^2 + 4x + 4$解析：观察多项式可知，常数项为4，且平方项系数为1，因此可以直接得出该多项式的因式分解形式为$(x+2)(x+2)$或$(x+2)^2$。

(2) $9a^2 - 16$解析：根据平方差公式可知，$9a^2 - 16$可以分解为$(3a+4)(3a-4)$。

2. 分解下列多项式：(1) $3x^2 + 12x + 9$解析：观察多项式可知，常数项为9，且平方项系数为3。

因此，这个多项式可以进行因式分解为$(x+3)(3x+3)$或$(x+3)^2$。

(2) $4x^2 - 5xy + y^2$解析：该多项式是一个二次三项式，根据二次三项式的平方公式，可以得到它的因式分解形式为$(2x-y)^2$。

二、综合题型1. 分解下列多项式：(1) $3x^2 - 8$解析：观察多项式可知，平方项系数为3，常数项为-8。

根据常数项为负数的特点，我们可以尝试将-8分解成两个因数的乘积。

考虑到平方项系数为3，我们可以写成$(3x)^2 - 2^2$。

利用二次差公式，得到$(3x+2)(3x-2)$。

(2) $6x^2 + 17x + 10$解析：我们可以使用因式分解法或求根法进行分解，为了简便起见，我们选择因式分解法。

将多项式划分为三个项，得到$(2x+5)(3x+2)$。

2. 分解下列多项式：(1) $4x^2 - 12xy + 9y^2$解析：观察多项式可知，平方项系数为4，常数项为$9y^2$。

考虑到常数项为平方形式，我们可以尝试进行“凑平方”的操作。

$(2x-3y)^2$即为所求解。

(2) $x^3 - 3x^2 + 2x$解析：观察多项式可知，这是一个三次多项式。

我们可以尝试提取公因式，并进行因式分解。

将每一项提取公因式，得到$x(x^2 - 3x + 2)$。

进一步分解，我们得到$x(x-1)(x-2)$。

数学八年级上 ：因式分解练习题及答案解析

数学八年级上 ：因式分解练习题及答案解析

一、单选题1、正整数a，b，c是等腰三角形三边的长，并且a+bc+b+ca=24，则这样的三角形有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2、任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n=s×t（s，t是正整数，且s≤t），如果p×q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：F（n）=．例如18可以分解成1×18，2×9，3×6这三种，这时就有F（18）==．给出下列关于F（n）的说法：（1）F（2）=；（2）F（24）=；（3）F（27）=3；（4）若n是一个完全平方数，则F（n）=1．其中正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．43、△ABC的内角A和B都是锐角，CD是高，若=，则△ABC是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形4、对于任意整数n，多项式（n+11）2-（n+2）2都能被（）整除．A．9 B．2 C．11 D．n+95、已知a-b=1，则a2-b2-2b的值为（）A．4 B．3 C．1 D．06、如果x2+x-1=0，那么代数式x3+2x2-7的值为（）A．6 B．8 C．-6 D．-87、如果x2+3x-3=0，则代数式x3+3x2-3x+3的值为（）A．0 B．-3 C．3 D．8、设x2-x+7=0，则x4+7x2+49=（）A．7 B．C．-D．0二、填空题9、设，则代数式3a3+12a2-6a-12的值为10、已知关于x的方程x2-nx+m=0有一个根是m（m≠0），则m-n= ．11、若ab=3，a+b=4，则a2b+ab2= ．12、设a2+2a-1=0，b4-2b2-1=0，且1-ab2≠0，则= ．13、已知a+b=3，ab=-1，则a2b+ab2= ．14、已知m2+m-1=0，那么代数式m3+2m2-2011的值是．15、甲、乙两农户各有两块地，如图所示，今年，这两个农户决定共同投资搞饲养业，为此，他们准备将这4块土地换成一块地，那块地的宽为（a+b）米，为了使所换土地的面积与原来4块地的总面积相等，交换之后的土地应该是米．三、解答题16、我们学过因式分解的概念，在计算多项式的过程中，如果能适当地分解因式进行化简，会使得计算更为简单．我们为此引入质因数分解定理：每一个大于1的整数都能分解为质因数的乘积的形式，如果把质因数按照从小到大的顺序排在一起，相同因数的积写成幂的形式，那么这种分解方法是唯一的．请你学习例题的解法，完成问题的研究．例：试求5746320819乘以125的值．解：∵125=1000÷8∴5769320819×125=5746320819000÷8=718290102375答：由上知，5746320819×125=718290102375．请根据例题，求一实数，使得它被10除余9，被9除余8，被8除余7，…，被2除余117、按下面规则扩充新数：已有a和b两个数，可按规则c=ab+a+b扩充一个新数，而a，b，c三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，…，每扩充一个新数叫做一次操作．现有数2和3．①求按上述规则操作三次得到扩充的最大新数；②能否通过上述规则扩充得到新数5183？并说明理由1、正整数a，b，c是等腰三角形三边的长，并且a+bc+b+ca=24，则这样的三角形有（）A．1个B．2个C．3个D．4个C【解答】分析：先将a+bc+b+ca=24 可以化为（a+b）（c+1）=24，然后根据24分解为大于等于2的两个正整数的乘积有几种组合讨论是否符合题意即可得出答案．解答：解：a+bc+b+ca=24 可以化为（a+b）（c+1）=24，其中a，b，c都是正整数，并且其中两个数相等，令a+b=A，c+1=C 则A，C为大于2的正整数，那么24分解为大于等于2的两个正整数的乘积有几种组合2×12，3×8，4×6，6×4，3×8，2×12，①、A=2，C=12时，c=11，a+b=2，无法得到满足等腰三角形的整数解；②、A=3，C=8时，c=7，a+b=3，无法得到满足等腰三角形的整数解；③、A=4，C=6时，c=5，a+b=4，无法得到满足等腰三角形的整数解；④、A=6，C=4时，c=3，a+b=6，可以得到a=b=c=3，可以组成等腰三角形；⑤、A=8，C=3时，c=2，a+b=8，可得a=b=4，c=2，可以组成等腰三角形，a=b=4是两个腰；⑥、A=12，C=2时，可得a=b=6，c=1，可以组成等腰三角形，a=b=6是两个腰．∴一共有3个这样的三角形．故选C．题考查数的整除性及等腰三角形的知识，难度一般，在解答本题时将原式化为因式相乘的形式及将24分解为大于等于2的两个正整数的乘积有几种组合是关键2、2×9，3×6这三种，这时就有F（18）==．给出下列关于F（n）的说法：（1）F（2）=；（2）F（24）=；（3）F（27）=3；（4）若n是一个完全平方数，则F（n）=1．其中正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4B【解答】分析：把2，24，27，n分解为两个正整数的积的形式，找到相差最少的两个数，让较小的数除以较大的数，看结果是否与所给结果相同．解答：解：∵2=1×2，∴F（2）=是正确的；∵24=1×24=2×12=3×8=4×6，这几种分解中4和6的差的绝对值最小，∴F（24）==，故（2）是错误的；∵27=1×27=3×9，其中3和9的绝对值较小，又3＜9，∴F（27）=，故（3）是错误的；∵n是一个完全平方数，∴n能分解成两个相等的数，则F（n）=1，故（4）是正确的．∴正确的有（1），（4）．故选B．点评：本题考查题目信息获取能力，解决本题的关键是理解此题的定义：所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，F（n）=（p≤q）．3、△ABC的内角A和B都是锐角，CD是高，若=，则△ABC是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形D【解答】分析：分别从当AD=BD时，可得△ABC是等腰三角形；当AC2=AD•AB，BC2=BD•AB时，△ABC 是直角三角形．解答：解：①若AD=BD，∵=，∴AC=BC，此时CD是高，符合题意，即△ABC是等腰三角形；②∵=，∴==，∴当AC2=AD•AB，BC2=BD•AB时成立，即，∵∠A是公共角，∴△ABC∽△ACD，∴∠ACB=∠ADC=90°，∴△ABC是直角三角形；∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．故选D．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及直角三角形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．4、对于任意整数n，多项式（n+11）2-（n+2）2都能被（）整除．A．9 B．2 C．11 D．n+9A【解答】分析：将多项式利用平方差公式分解因式，由n为整数，得到2n+13为整数，可得出多项式能被9整除．解答：解：多项式（n+11）2-（n+2）2=[（n+11）+（n+2）][（n+11）-（n+2）]=9（2n+13），∵n为整数，∴2n+13为整数，则多项式（n+11）2-（n+2）2都能被9整除．故选A点评：此题考查了因式分解的应用，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．5、已知a-b=1，则a2-b2-2b的值为（）A．4 B．3 C．1 D．0C【解答】分析：先将原式化简，然后将a-b=1整体代入求解．解答：解：∵a-b=1，∴a2-b2-2b=（a+b）（a-b）-2b=a+b-2b=a-b=1．故选C．点评：此题考查的是整体代入思想在代数求值中的应用．6、如果x2+x-1=0，那么代数式x3+2x2-7的值为（）A．6 B．8 C．-6 D．-8C【解答】分析：由x2+x-1=0得x2+x=1，然后把它的值整体代入所求代数式，求值即可．解答：解：由x2+x-1=0得x2+x=1，∴x3+2x2-7=x3+x2+x2-7，=x（x2+x）+x2-7，=x+x2-7，=1-7，=-6．故选C．点评：本题考查提公因式法分解因式，代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取代数式x2+x的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值．7、如果x2+3x-3=0，则代数式x3+3x2-3x+3的值为（）A．0 B．-3 C．3 D．C【解答】分析：先对所求代数式的前三项提取公因式x，再利用整体代入来求值．解答：解：当x2+3x-3=0时，x3+3x2-3x+3，=x（x2+3x-3）+3，=3．故选C．点评：本题考查提公因式法分解因式，关键是提取公因式后出现已知条件的形式，然后利用整体代入求解．8、设x2-x+7=0，则x4+7x2+49=（）A．7 B．C．-D．0D【解答】分析：首先将x4+7x2+49变形，可得x2（x2+7）+49；然后将x2-x+7=0变形，可得：x2=x-7，x2+7=x，整体代入即可得到7x2-7，提取公因式7，即可求得．解答：解：∵x4+7x2+49=x2（x2+7）+49又∵x2-x+7=0，∴x2=x-7，∴，把x2=x-7和代入x2（x2+7）+49得：=（-7）+49，=7x2-7，=7（x2-x+7），=7×0，=0．故选D．点评：本题主要考查了因式分解的应用．注意整体思想的应用9、设，则代数式3a3+12a2-6a-12的值为24【解答】分析：将所求式子提取3后，拆项变形，分别得到a+1的因式，将已知等式变形得到a+1=，把a与a+1的值代入计算，即可求出值．解答：解：∵a=-1，即a+1=，∴3a3+12a2-6a-12=3（a3+4a2-2a-4）=3（a3+a2+3a2+3a-5a-5+1）=3[a2（a+1）+3a（a+1）-5（a+1）+1]=3×[（-1）2×+3（-1）×-5+1]=3（8-14+21-3-5+1）=3×8=24．故答案为：24点评：此题考查了因式分解的应用，将所求式子进行适当的变形是解本题的关键．10、已知关于x的方程x2-nx+m=0有一个根是m（m≠0），则m-n= ．答案是-1．【解答】分析：将x=m代入原方程，列出关于m的一元二次方程m2-nm+m=0，然后通过因式分解法解该方程求得m-n的值即可．解答：解：∵关于x的方程x2-nx+m=0有一个根是m（m≠0），∴x=m满足关于x的方程x2-nx+m=0，∴m2-nm+m=0，即m（m-n+1）=0，∴m=0（舍去），或m-n+1=0，∴m-n=-1；故答案是：-1．点评：本题考查了一元二次方程的解的定义、因式分解的应用．解答该题时，通过提取公因式m将方程m2-nm+m=0的左边转化为两式之积的形式，从而求得m-n的值．11、若ab=3，a+b=4，则a2b+ab2= ．【答案】12．【解答】分析：此题只需先对a2b+ab2进行因式分解得ab（a+b），再将ab和a+b的值代入即可得到结果．解答：解：∵ab=3，a+b=4，∴a2b+ab2=ab（a+b）=3×4=12．故答案为：12．点评：本题考查了因式分解的应用，关键是提取公因式，比较简单．12、设a2+2a-1=0，b4-2b2-1=0，且1-ab2≠0，则= ．答案为-32．【解答】分析：根据1-ab2≠0的题设条件求得b2=-a，代入所求的分式化简求值．解答：解：∵a2+2a-1=0，b4-2b2-1=0，∴（a2+2a-1）-（b4-2b2-1）=0，化简之后得到：（a+b2）（a-b2+2）=0，若a-b2+2=0，即b2=a+2，则1-ab2=1-a（a+2）=1-a2-2a=-（a2+2a-1），∵a2+2a-1=0，∴-（a2+2a-1）=0，与题设矛盾∴a-b2+2≠0，∴a+b2=0，即b2=-a，∴==-=-（）5=-25=-32．故答案为-32．解法二：∵a2+2a-1=0，∴a≠0，∴两边都除以-a2，得--1=0又∵1-ab2≠0，∴b2≠而已知b4-2b2-1=0，∴和b2是一元二次方程x2-2x-1=0的两个不等实根∴+b2=2，×b2==-1，∴（ab2+b2-3a+1）÷a=b2+-3+=（b2+）+-3=2-1-3=-2，∴原式=（-2）5=-32．点评：本题考查了因式分解、根与系数的关系及根的判别式，解题关键是注意1-ab2≠0的运用13、已知a+b=3，ab=-1，则a2b+ab2= ．【答案】-3【解答】分析：将所求式子提取公因式ab，分解因式后，将a+b及ab的值代入即可求出值．解答：解：∵a+b=3，ab=-1，∴a2b+ab2=ab（a+b）=-1×3=-3．故答案为：-3点评：此题考查了因式分解的应用，利用了整体代入的思想，将所求式子分解因式是本题的突破点．14、已知m2+m-1=0，那么代数式m3+2m2-2011的值是{@answer}．【答案】-2010．【解答】分析：根据已知求出m2+m=1，把所求的代数式化成含有m2+m的形式，代入求出即可．解答：解：∵m2+m-1=0，∴m2+m=1．∴m3+2m2-2011=m（m2+m）+m2-2011=m•1+m2-2011=m+m2-2011=1-2011=-2010．故答案为：-2010．点评：本题考查了分解因式的应用，关键是如何把已知条件代入所求的代数式，思路是：求出m2+m的值，把m2+m当作一个整体进行代入．15、甲、乙两农户各有两块地，如图所示，今年，这两个农户决定共同投资搞饲养业，为此，他们准备将这4块土地换成一块地，那块地的宽为（a+b）米，为了使所换土地的面积与原来4块地的总面积相等，交换之后的土地应该是{@answer}米．【答案】（a+c）米．【解答】分析：首先计算原来4块地的总面积，再进一步因式分解，出现a+b的形式．解答：解：原来四块地的总面积是a2+bc+ac+ab=a（a+c）+b（a+c）=（a+c）（a+b），则交换之后的土地长是（a+c）米．故答案为：（a+c）米．点评：此题要能够熟练运用分组分解法进行因式分解．16、我们学过因式分解的概念，在计算多项式的过程中，如果能适当地分解因式进行化简，会使得计算更为简单．我们为此引入质因数分解定理：每一个大于1的整数都能分解为质因数的乘积的形式，如果把质因数按照从小到大的顺序排在一起，相同因数的积写成幂的形式，那么这种分解方法是唯一的．请你学习例题的解法，完成问题的研究．例：试求5746320819乘以125的值．解：∵125=1000÷8∴5769320819×125=5746320819000÷8=718290102375答：由上知，5746320819×125=718290102375．请根据例题，求一实数，使得它被10除余9，被9除余8，被8除余7，…，被2除余1．【答案】N=3×3×2×2×2×7×5-1=2519．【解答】分析：这个数加1可以被10，9，8，7，6，5，4，3，2整除，只需要求出10、9、8、7、6、5、4、3、2的最小公倍数减一即可．解答：解：设这个实数是N．根据题意，可知，这个自然数加1就可以被10，9，8，7，6，5，4，3，2整除，则N就是10，9，8，7，6，5，4，3，2的最小公倍数减去1，故N=3×3×2×2×2×7×5-1=2519．点评：本题考查带余数的除法，难度较大，关键是掌握解答本题的解答步骤．17、按下面规则扩充新数：已有a和b两个数，可按规则c=ab+a+b扩充一个新数，而a，b，c三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，…，每扩充一个新数叫做一次操作．现有数2和3．①求按上述规则操作三次得到扩充的最大新数；②能否通过上述规则扩充得到新数5183？并说明理由．【答案】5183可以通过上述规则扩充得到．【解答】分析：①将2与3分别代入求解，再取其最大的两个值依次代入即可求得答案；②找到规律：设扩充后的新数为x，则总可以表示为x+1=（a+1）m•（b+1）n，式中m、n为整数，即可得当a=2，b=3时，x+1=3m×4n，然后求解即可．解答：解：①∵a=2，b=3，c1=ab+a+b=6+2+3=11，∴取3和11，∴c2=3×11+3+11=47，取11与47，∴c3=11×47+11+47=575，∴扩充的最大新数575；②5183可以扩充得到．∵c=ab+a+b=（a+1）（b+1）-1，∴c+1=（a+1）（b+1），取数a、c可得新数d=（a+1）（c+1）-1=（a+1）（b+1）（c+1）（a+1）-1=（a+1）2（b+1），即d+1=（a+1）2（b+1），同理可得e=（b+1）（c+1）=（b+1）（a+1）-1，∴e+1=（b+1）2（a+1），设扩充后的新数为x，则总可以表示为x+1=（a+1）m•（b+1）n，式中m、n为整数，当a=2，b=3时，x+1=3m×4n，又∵5183+1=5184=34×43，故5183可以通过上述规则扩充得到．点评：此题考查了因式分解的应用，解题的关键是找到规律设扩充后的新数为x，则总可以表示为x+1=（a+1）m•（b+1）n，式中m、n为整数．。

八年级上册因式分解难题

八年级上册因式分解难题

八年级上册因式分解难题一、题目。

1. 分解因式：x^4 - 81解析：x^4-81=(x^2)^2 - 9^2 =(x^2 + 9)(x^2-9) =(x^2+9)(x + 3)(x - 3)2. 分解因式：9x^2 - 16y^2解析：根据平方差公式a^2 - b^2=(a + b)(a - b)，这里a = 3x，b=4y所以9x^2-16y^2=(3x + 4y)(3x - 4y)3. 分解因式：(a + b)^2 - 4(a + b)+4解析：将(a + b)看成一个整体，设m=a + b，则原式变为m^2-4m + 4，根据完全平方公式(a - b)^2=a^2-2ab + b^2，这里a=m，b = 2所以m^2-4m + 4=(m - 2)^2，即(a + b-2)^24. 分解因式：x^3 - 2x^2+x解析：x^3-2x^2+x=x(x^2-2x + 1) =x(x - 1)^25. 分解因式：25m^2 - 80m+64解析：根据完全平方公式(a - b)^2=a^2-2ab + b^2，这里a = 5m，b=8所以25m^2-80m + 64=(5m - 8)^26. 分解因式：x^2y - 4y^3解析：x^2y-4y^3=y(x^2-4y^2) =y(x + 2y)(x - 2y)7. 分解因式：a^2 - 2ab + b^2 - c^2解析：a^2-2ab + b^2-c^2=(a - b)^2-c^2 =(a - b + c)(a - b - c)8. 分解因式：x^3+27解析：根据立方和公式a^3+b^3=(a + b)(a^2 - ab + b^2)，这里a=x，b = 3所以x^3+27=(x + 3)(x^2-3x + 9)9. 分解因式：16x^4 - 1解析：16x^4-1=(4x^2)^2-1^2 =(4x^2 + 1)(4x^2-1) =(4x^2+1)(2x + 1)(2x - 1) 10. 分解因式：3ax^2+6axy+3ay^2解析：3ax^2+6axy + 3ay^2=3a(x^2+2xy + y^2) =3a(x + y)^211. 分解因式：m^2(m - 1)-4(1 - m)^2解析：m^2(m - 1)-4(1 - m)^2=m^2(m - 1)-4(m - 1)^2 =(m - 1)[m^2-4(m - 1)] =(m - 1)(m^2-4m + 4) =(m - 1)(m - 2)^212. 分解因式：(x + y)^2 - 10(x + y)+25解析：设m=x + y，则原式为m^2-10m + 25=(m - 5)^2=(x + y - 5)^213. 分解因式：x^2 - y^2 - z^2+2yz解析：x^2-y^2 - z^2+2yz=x^2-(y^2 - 2yz+z^2) =x^2-(y - z)^2 =(x + y - z)(x - y + z)14. 分解因式：8x^3 - 27y^3解析：根据立方差公式a^3 - b^3=(a - b)(a^2+ab + b^2)，这里a = 2x，b=3y所以8x^3-27y^3=(2x - 3y)(4x^2+6xy + 9y^2)15. 分解因式：a^4 - b^4解析：a^4 - b^4=(a^2)^2-(b^2)^2 =(a^2 + b^2)(a^2 - b^2) =(a^2 + b^2)(a + b)(a - b)16. 分解因式：x^2 - 4xy+4y^2 - 9解析：x^2-4xy + 4y^2-9=(x - 2y)^2-3^2 =(x - 2y + 3)(x - 2y - 3)17. 分解因式：2x^2 - 12x+18解析：2x^2-12x + 18=2(x^2-6x + 9) =2(x - 3)^218. 分解因式：x^3 - 6x^2+9x解析：x^3-6x^2+9x=x(x^2-6x + 9) =x(x - 3)^219. 分解因式：m^2 - 5m - 14解析：对于二次三项式ax^2+bx + c，这里a = 1，b=-5，c=-14 m^2-5m - 14=(m - 7)(m+ 2)20. 分解因式：a^2 - 4a - 21解析：对于二次三项式ax^2+bx + c，这里a = 1，b=-4，c = - 21 a^2-4a - 21=(a - 7)(a + 3)。

因式分解难题汇编及答案解析

因式分解难题汇编及答案解析
【详解】
解：多项式 的最高次数是3， 的最高次数是2，
∵多项式 含有因式 和 ，
∴多项式的最后一个因式的最高次数应为1，可设为 ，
即 ，
整理得： ，
比较系数得： ，
解得： ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】
此题考查了因式分解的应用，运用待定系数法设出因式进行求解是解题的关键．
17．下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是()
【详解】
解：A、（x+1）（x-1）=x2-1不是因式分解，是多项式的乘法，故本选项错误；
B、右边不全是整式积的形式，还有减法，故本选项错误；
C、右边不是整式积的形式，分母中含有字母，故本选项错误；
D、x2－5x＋6＝(x－2)(x－3)符合因式分解的定义，故本选项正确.
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了因式分解的定义，因式分解与整式的乘法是互为逆运算，要注意区分．
故选A．
【点睛】
此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
3．多项式x2y（a-b）-xy（b-a）+y（a-b）提公因式后，另一个因式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
解：x2y(a－b)－xy(b－a)＋y(a－b)=y(a－b)（x2+x+1）．故选B．
4．下列等式从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A．2018B．2019C．2020D．2021．
【答案】B
【解析】
【分析】
将 进行因式分解为 ，因为左右两边相等，故可以求出x得值．
【详解】
解：
∴
∴x=2019
故选：B．
【点睛】

初中数学因式分解难题汇编含答案解析

初中数学因式分解难题汇编含答案解析
不论x,y为任何实数,x²+y²－4x-2y+8的值总是大于等于3，
故选A.
【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是要明确要判断一个算式是正数时总是将其整理成一个完全平方公式加正数的形式．
12．下列各因式分解的结果正确的是（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
将多项式写成整式乘积的形式即是因式分解，且分解到不能再分解为止，根据定义依次判断即可．
故选B.
【点睛】
本题考查的知识点是因式分解定义和十字相乘法分解因式，解题关键是注意：（1）因式分解的是多项式，分解的结果是积的形式．（2）因式分解一定要彻底，直到不能再分解为止．
11．不论 , 为任何实数， 的值总是（）
A．正数B．负数C．非负数D．非正数
【答案】A
【解析】
x²+y²－4x-2y+8=(x²－4x+4)+(y²-2y+1)+3=(x-2)2+(y-1)2+3≥3，
【详解】
∵a+b=3，
∴a2-a+b2-b+2ab-5
=（a2+2ab+b2）-（a+b）-5
=（a+b）2-（a+b）-5
=32-3-5
=9-3-5
=1，
故选：A．
【点睛】
本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用完全平方公式解答．
8．已知 可以被在60～70之间的两个整数整除，则这两个数是（）
A．2B．﹣6C．5D．﹣3
【答案】B
【解析】
【分析】
先题提公因式xy，再用公式法因式分解，最后代入计算即可．

初二因式分解难题 (附答案及解析)

初二因式分解难题 (附答案及解析)

数学（因式分解难题）一．填空题（共10小题）1．已知x+y=10，xy=16，则x2y+xy2的值为．2．两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2（x﹣1）（x﹣9）；另一位同学因看错了常数项分解成2（x﹣2）（x﹣4），请你将原多项式因式分解正确的结果写出来：．3．若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值是．4．分解因式：4x2﹣4x﹣3=．5．利用因式分解计算：2022+202×196+982=．6．△ABC三边a，b，c满足a2+b2+c2=ab+bc+ca，则△ABC的形状是．7．计算：12﹣22+32﹣42+52﹣62+…﹣1002+1012=．8．定义运算a★b=（1﹣a）b，下面给出了关于这种运算的四个结论：①2★（﹣2）=3②a★b=b★a③若a+b=0，则（a★a）+（b★b）=2ab④若a★b=0，则a=1或b=0．其中正确结论的序号是（填上你认为正确的所有结论的序号）．9．如果1+a+a2+a3=0，代数式a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=．10．若多项式x2﹣6x﹣b可化为（x+a）2﹣1，则b的值是．二．解答题（共20小题）11．已知n为整数，试说明（n+7）2﹣（n﹣3）2的值一定能被20整除．12．因式分解：4x2y﹣4xy+y．13．因式分解（1）a3﹣ab2（2）（x﹣y）2+4xy．14．先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9=0，求m和n的值．解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0∴（m+n）2+（n﹣3）2=0∴m+n=0，n﹣3=0∴m=﹣3，n=3问题：（1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，求x y的值．（2）已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，请问△ABC是怎样形状的三角形？15．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20这三个数都是和谐数．（1）36和2016这两个数是和谐数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的和谐数是4的倍数吗？为什么？（3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和为．16．如图1，有若干张边长为a的小正方形①、长为b宽为a的长方形②以及边长为b的大正方形③的纸片．（1）如果现有小正方形①1张，大正方形③2张，长方形②3张，请你将它们拼成一个大长方形（在图2虚线框中画出图形），并运用面积之间的关系，将多项式a2+3ab+2b2分解因式．（2）已知小正方形①与大正方形③的面积之和为169，长方形②的周长为34，求长方形②的面积．（3）现有三种纸片各8张，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），求可以拼成多少种边长不同的正方形．17．（1）有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示，用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2．①用两种不同的方法，计算图2中长方形的面积；②由此，你可以得出的一个等式为：．（2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示．①请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图；②请你用拼图等方法推出2a2+5ab+2b2因式分解的结果，画出你的拼图．18．已知a+b=1，ab=﹣1，设s1=a+b，s2=a2+b2，s3=a3+b3，…，s n=a n+b n（1）计算s2；（2）请阅读下面计算s3的过程：因为a+b=1，ab=﹣1，所以s3=a3+b3=（a+b）（a2+b2）﹣ab（a+b）=1×s2﹣（﹣1）=s2+1=你读懂了吗？请你先填空完成（2）中s3的计算结果，再用你学到的方法计算s4．（3）试写出s n﹣2，s n﹣1，s n三者之间的关系式；（4）根据（3）得出的结论，计算s6．19．（1）利用因式分解简算：9.82+0.4×9.8+0.04（2）分解因式：4a（a﹣1）2﹣（1﹣a）20．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1=0，求x﹣y的值．（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣8b+25=0，求△ABC的最大边c的值．（3）已知a﹣b=4，ab+c2﹣6c+13=0，则a﹣b+c=．21．仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n），则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n∴n+3=﹣4m=3n 解得：n=﹣7，m=﹣21∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．问题：（1）若二次三项式x2﹣5x+6可分解为（x﹣2）（x+a），则a=；（2）若二次三项式2x2+bx﹣5可分解为（2x﹣1）（x+5），则b=；（3）仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+5x﹣k有一个因式是（2x ﹣3），求另一个因式以及k的值．22．分解因式：（1）2x2﹣x；（2）16x2﹣1；（3）6xy2﹣9x2y﹣y3；（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2．23．已知a，b，c是三角形的三边，且满足（a+b+c）2=3（a2+b2+c2），试确定三角形的形状．24．分解因式（1）2x4﹣4x2y2+2y4（2）2a3﹣4a2b+2ab2．25．图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．（1）图②中的阴影部分的面积为；（2）观察图②请你写出三个代数式（m+n）2、（m﹣n）2、mn之间的等量关系是．（3）若x+y=7，xy=10，则（x﹣y）2=．（4）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图③，它表示了．（5）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）=m2+4mn+3n2．26．已知a、b、c满足a﹣b=8，ab+c2+16=0，求2a+b+c的值．27．已知：一个长方体的长、宽、高分别为正整数a、b、c，且满足a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006，求：这个长方体的体积．28．（x2﹣4x）2﹣2（x2﹣4x）﹣15．29．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（x+1）+x（x+1）2=（1+x）[1+x+x（x+1）]=（1+x）2（1+x）=（1+x）3（1）上述分解因式的方法是，共应用了次．（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2004，则需应用上述方法次，结果是．（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）．30．对于多项式x3﹣5x2+x+10，如果我们把x=2代入此多项式，发现多项式x3﹣5x2+x+10=0，这时可以断定多项式中有因式（x﹣2）（注：把x=a代入多项式能使多项式的值为0，则多项式含有因式（x﹣a）），于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+x+10=（x﹣2）（x2+mx+n），（1）求式子中m、n的值；（2）以上这种因式分解的方法叫试根法，用试根法分解多项式x3﹣2x2﹣13x﹣10的因式．2017年05月21日数学（因式分解难题）2参考答案与试题解析一．填空题（共10小题）1．（2016秋•望谟县期末）已知x+y=10，xy=16，则x2y+xy2的值为160．【分析】首先提取公因式xy，进而将已知代入求出即可．【解答】解：∵x+y=10，xy=16，∴x2y+xy2=xy（x+y）=10×16=160．故答案为：160．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．2．（2016秋•新宾县期末）两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2（x﹣1）（x﹣9）；另一位同学因看错了常数项分解成2（x﹣2）（x﹣4），请你将原多项式因式分解正确的结果写出来：2（x﹣3）2．【分析】根据多项式的乘法将2（x﹣1）（x﹣9）展开得到二次项、常数项；将2（x﹣2）（x﹣4）展开得到二次项、一次项．从而得到原多项式，再对该多项式提取公因式2后利用完全平方公式分解因式．【解答】解：∵2（x﹣1）（x﹣9）=2x2﹣20x+18；2（x﹣2）（x﹣4）=2x2﹣12x+16；∴原多项式为2x2﹣12x+18．2x2﹣12x+18=2（x2﹣6x+9）=2（x﹣3）2．【点评】根据错误解法得到原多项式是解答本题的关键．二次三项式分解因式，看错了一次项系数，但二次项、常数项正确；看错了常数项，但二次项、一次项正确．3．（2015春•昌邑市期末）若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m 的值是±4．【分析】利用完全平方公式（a+b）2=（a﹣b）2+4ab、（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab计算即可．【解答】解：∵x2+mx+4=（x±2）2，即x2+mx+4=x2±4x+4，∴m=±4．故答案为：±4．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟记有关完全平方的几个变形公式是解题关键．4．（2015秋•利川市期末）分解因式：4x2﹣4x﹣3=（2x﹣3）（2x+1）．【分析】ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解，这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2），进而得出答案．【解答】解：4x2﹣4x﹣3=（2x﹣3）（2x+1）．故答案为：（2x﹣3）（2x+1）．【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确分解各项系数是解题关键．5．（2015春•东阳市期末）利用因式分解计算：2022+202×196+982=90000．【分析】通过观察，显然符合完全平方公式．【解答】解：原式=2022+2x202x98+982=（202+98）2=3002=90000．【点评】运用公式法可以简便计算一些式子的值．6．（2015秋•浮梁县校级期末）△ABC三边a，b，c满足a2+b2+c2=ab+bc+ca，则△ABC的形状是等边三角形．【分析】分析题目所给的式子，将等号两边均乘以2，再化简得（a﹣b）2+（a ﹣c）2+（b﹣c）2=0，得出：a=b=c，即选出答案．【解答】解：等式a2+b2+c2=ab+bc+ac等号两边均乘以2得：2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ac，即a2﹣2ab+b2+a2﹣2ac+c2+b2﹣2bc+c2=0，即（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2=0，解得：a=b=c，所以，△ABC是等边三角形．故答案为：等边三角形．【点评】此题考查了因式分解的应用；利用等边三角形的判定，化简式子得a=b=c，由三边相等判定△ABC是等边三角形．7．（2015秋•鄂托克旗校级期末）计算：12﹣22+32﹣42+52﹣62+…﹣1002+1012= 5151．【分析】通过观察，原式变为1+（32﹣22）+（52﹣42）+（1012﹣1002），进一步运用高斯求和公式即可解决．【解答】解：12﹣22+32﹣42+52﹣62+…﹣1002+1012=1+（32﹣22）+（52﹣42）+（1012﹣1002）=1+（3+2）+（5+4）+（7+6）+…+（101+100）=（1+101）×101÷2=5151．故答案为：5151．【点评】此题考查因式分解的实际运用，分组分解，利用平方差公式解决问题．8．（2015秋•乐至县期末）定义运算a★b=（1﹣a）b，下面给出了关于这种运算的四个结论：①2★（﹣2）=3②a★b=b★a③若a+b=0，则（a★a）+（b★b）=2ab④若a★b=0，则a=1或b=0．其中正确结论的序号是③④（填上你认为正确的所有结论的序号）．【分析】根据题中的新定义计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：①2★（﹣2）=（1﹣2）×（﹣2）=2，本选项错误；②a★b=（1﹣a）b，b★a=（1﹣b）a，故a★b不一定等于b★a，本选项错误；③若a+b=0，则（a★a）+（b★b）=（1﹣a）a+（1﹣b）b=a﹣a2+b﹣b2=﹣a2﹣b2=﹣2a2=2ab，本选项正确；④若a★b=0，即（1﹣a）b=0，则a=1或b=0，本选项正确，其中正确的有③④．故答案为③④．【点评】此题考查了整式的混合运算，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．9．（2015春•张掖校级期末）如果1+a+a2+a3=0，代数式a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8= 0．【分析】4项为一组，分成2组，再进一步分解因式求得答案即可．【解答】解：∵1+a+a2+a3=0，∴a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8，=a（1+a+a2+a3）+a5（1+a+a2+a3），=0+0，=0．故答案是：0．【点评】此题考查利用因式分解法求代数式的值，注意合理分组解决问题．10．（2015春•昆山市期末）若多项式x2﹣6x﹣b可化为（x+a）2﹣1，则b的值是﹣8．【分析】利用配方法进而将原式变形得出即可．【解答】解：∵x2﹣6x﹣b=（x﹣3）2﹣9﹣b=（x+a）2﹣1，∴a=﹣3，﹣9﹣b=﹣1，解得：a=﹣3，b=﹣8．故答案为：﹣8．【点评】此题主要考查了配方法的应用，根据题意正确配方是解题关键．二．解答题（共20小题）11．已知n为整数，试说明（n+7）2﹣（n﹣3）2的值一定能被20整除．【分析】用平方差公式展开（n+7）2﹣（n﹣3）2，看因式中有没有20即可．【解答】解：（n+7）2﹣（n﹣3）2=（n+7+n﹣3）（n+7﹣n+3）=20（n+2），∴（n+7）2﹣（n﹣3）2的值一定能被20整除．【点评】主要考查利用平方差公式分解因式．公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．12．（2016秋•农安县校级期末）因式分解：4x2y﹣4xy+y．【分析】先提取公因式y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．【解答】解：4x2y﹣4xy+y=y（4x2﹣4x+1）=y（2x﹣1）2．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．13．（2015秋•成都校级期末）因式分解（1）a3﹣ab2（2）（x﹣y）2+4xy．【分析】（1）原式提取a，再利用平方差公式分解即可；（2）原式利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）原式=a（a2﹣b2）=a（a+b）（a﹣b）；（2）原式=x2﹣2xy+y2+4xy=x2+2xy+y2=（x+y）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．14．（2015春•甘肃校级期末）先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9=0，求m和n的值．解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0∴（m+n）2+（n﹣3）2=0∴m+n=0，n﹣3=0∴m=﹣3，n=3问题：（1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，求x y的值．（2）已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，请问△ABC是怎样形状的三角形？【分析】（1）首先把x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，配方得到（x﹣y）2+（y+2）2=0，再根据非负数的性质得到x=y=﹣2，代入求得数值即可；（2）先把a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，配方得到（a﹣3）2+（b﹣3）2+|3﹣c|=0，根据非负数的性质得到a=b=c=3，得出三角形的形状即可．【解答】解：（1）∵x2+2y2﹣2xy+4y+4=0∴x2+y2﹣2xy+y2+4y+4=0，∴（x﹣y）2+（y+2）2=0∴x=y=﹣2∴；（2）∵a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，∴a2﹣6a+9+b2﹣6b+9+|3﹣c|=0，∴（a﹣3）2+（b﹣3）2+|3﹣c|=0∴a=b=c=3∴三角形ABC是等边三角形．【点评】此题考查了配方法的应用：通过配方，把已知条件变形为几个非负数的和的形式，然后利用非负数的性质得到几个等量关系，建立方程求得数值解决问题．15．（2015秋•太和县期末）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20这三个数都是和谐数．（1）36和2016这两个数是和谐数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的和谐数是4的倍数吗？为什么？（3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和为2500．【分析】（1）利用36=102﹣82；2016=5052﹣5032说明36是“和谐数”，2016不是“和谐数”；（2）设两个连续偶数为2n，2n+2（n为自然数），则“和谐数”=（2n+2）2﹣（2n）2，利用平方差公式展开得到（2n+2+2n）（2n+2﹣2n）=4（2n+1），然后利用整除性可说明“和谐数”一定是4的倍数；（3）介于1到200之间的所有“和谐数”中，最小的为：22﹣02=4，最大的为：502﹣482=196，将它们全部列出不难求出他们的和．【解答】解：（1）36是“和谐数”，2016不是“和谐数”．理由如下：36=102﹣82；2016=5052﹣5032；（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（n为自然数），∵（2k+2）2﹣（2k）2=（2k+2+2k）（2k+2﹣2k）=（4k+2）×2=4（2k+1），∵4（2k+1）能被4整除，∴“和谐数”一定是4的倍数；（3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和，S=（22﹣02）+（42﹣22）+（62﹣42）+…+（502﹣482）=502=2500．故答案是：2500．【点评】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解把所求的代数式进行变形，从而达到使计算简化．16．（2015春•兴化市校级期末）如图1，有若干张边长为a的小正方形①、长为b宽为a的长方形②以及边长为b的大正方形③的纸片．（1）如果现有小正方形①1张，大正方形③2张，长方形②3张，请你将它们拼成一个大长方形（在图2虚线框中画出图形），并运用面积之间的关系，将多项式a2+3ab+2b2分解因式．（2）已知小正方形①与大正方形③的面积之和为169，长方形②的周长为34，求长方形②的面积．（3）现有三种纸片各8张，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），求可以拼成多少种边长不同的正方形．【分析】（1）根据小正方形①1张，大正方形③2张，长方形②3张，直接画出图形，利用图形分解因式即可；（2）由长方形②的周长为34，得出a+b=17，由题意可知：小正方形①与大正方形③的面积之和为a2+b2=169，将a+b=17两边同时平方，可求得ab的值，从而可求得长方形②的面积；（3）设正方形的边长为（na+mb），其中（n、m为正整数）由完全平方公式可知：（na+mb）2=n2a2+2nmab+m2b2．因为现有三种纸片各8张，n2≤8，m2≤8，2mn≤8（n、m为正整数）从而可知n≤2，m≤2，从而可得出答案．【解答】解：（1）如图：拼成边为（a+2b）和（a+b）的长方形∴a2+3ab+2b2=（a+2b）（a+b）；（2）∵长方形②的周长为34，∴a+b=17．∵小正方形①与大正方形③的面积之和为169，∴a2+b2=169．将a+b=17两边同时平方得：（a+b）2=172，整理得：a2+2ab+b2=289，∴2ab=289﹣169，∴ab=60．∴长方形②的面积为60．（3）设正方形的边长为（na+mb），其中（n、m为正整数）∴正方形的面积=（na+mb）2=n2a2+2nmab+m2b2．∵现有三种纸片各8张，∴n2≤8，m2≤8，2mn≤8（n、m为正整数）∴n≤2，m≤2．∴共有以下四种情况；①n=1，m=1，正方形的边长为a+b；②n=1，m=2，正方形的边长为a+2b；③n=2，m=1，正方形的边长为2a+b；④n=2，m=2，正方形的边长为2a+2b．【点评】此题考查因式分解的运用，要注意结合图形解决问题，解题的关键是灵活运用完全平方公式．17．（2014秋•莱城区校级期中）（1）有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示，用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2．①用两种不同的方法，计算图2中长方形的面积；②由此，你可以得出的一个等式为：a2+2a+1=（a+1）2．（2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示．①请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图；②请你用拼图等方法推出2a2+5ab+2b2因式分解的结果，画出你的拼图．【分析】（1）要能根据所给拼图运用不同的计算面积的方法，来推导公式；（2）要能根据等式画出合适的拼图．【解答】解：（1）①长方形的面积=a2+2a+1；长方形的面积=（a+1）2；②a2+2a+1=（a+1）2；（2）①如图，可推导出（a+b）2=a2+2ab+b2；②2a2+5ab+2b2=（2a+b）（a+2b）．【点评】本题考查运用正方形或长方形的面积计算推导相关的一些等式；运用图形的面积计算的不同方法得到多项式的因式分解．18．（2013秋•海淀区校级期末）已知a+b=1，ab=﹣1，设s1=a+b，s2=a2+b2，s3=a3+b3，…，s n=a n+b n（1）计算s2；（2）请阅读下面计算s3的过程：因为a+b=1，ab=﹣1，所以s3=a3+b3=（a+b）（a2+b2）﹣ab（a+b）=1×s2﹣（﹣1）=s2+1=4你读懂了吗？请你先填空完成（2）中s3的计算结果，再用你学到的方法计算s4．（3）试写出s n﹣2，s n﹣1，s n三者之间的关系式；（4）根据（3）得出的结论，计算s6．【分析】（1）（2）利用完全平方公式进行化简，然后代入a+b，ab的值，即可推出结论；（3）根据（1）所推出的结论，即可推出S n﹣2+S n﹣1=S n；（4）根据（3）的结论，即可推出a6+b6=S6=S4+S5=2S4+S3．【解答】解：（1）S2=a2+b2=（a+b）2﹣2ab=3；（2）∵（a2+b2）（a+b）=a3+ab2+a2b+b3=a3+b3+ab（a+b），∴3×1=a3+b3﹣1，∴a3+b3=4，即S3=4；∵S4=（a2+b2）2﹣2（ab）2=7，∴S4=7；（3）∵S2=3，S3=4，S4=7，∴S2+S3=S4，∴S n﹣2+S n﹣1=S n；（3）∵S n﹣2+S n﹣1=S n，S2=3，S3=4，S4=7，∴S5=4+7=11，∴S6=7+11=18．【点评】本题主要考查整式的混合运算、完全平方公式的运用，关键在于根据题意推出S2=3，S3=4，S4=7，分析归纳出规律：S n﹣2+S n﹣1=S n．19．（2013春•重庆校级期末）（1）利用因式分解简算：9.82+0.4×9.8+0.04（2）分解因式：4a（a﹣1）2﹣（1﹣a）【分析】（1）利用完全平方公式因式分解计算即可；（2）先利用提取公因式法，再利用完全平方公式因式分解即可．【解答】解：（1）原式=9.82+2×0.2×9.8+0.22=（9.8+0.2）2=100；（2）4a（a﹣1）2﹣（1﹣a）=（a﹣1）（4a2﹣4a+1）=（a﹣1）（2a﹣1）2．【点评】此题考查因式分解的实际运用，掌握平方差公式和完全平方公式是解决问题的关键．20．（2013春•惠山区校级期末）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1=0，求x﹣y的值．（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣8b+25=0，求△ABC的最大边c的值．（3）已知a﹣b=4，ab+c2﹣6c+13=0，则a﹣b+c=7．【分析】（1）将多项式第三项分项后，结合并利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出x与y的值，即可求出x﹣y的值；（2）将已知等式25分为9+16，重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出a与b的值，根据边长为正整数且三角形三边关系即可求出c的长；（3）由a﹣b=4，得到a=b+4，代入已知的等式中重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出b与c的值，进而求出a的值，即可求出a﹣b+c的值．【解答】解：（1）∵x2+2xy+2y2+2y+1=0∴（x2+2xy+y2）+（y2+2y+1）=0∴（x+y）2+（y+1）2=0∴x+y=0 y+1=0解得x=1，y=﹣1∴x﹣y=2；（2）∵a2+b2﹣6a﹣8b+25=0∴（a2﹣6a+9）+（b2﹣8b+16）=0∴（a﹣3）2+（b﹣4）2=0∴a﹣3=0，b﹣4=0解得a=3，b=4∵三角形两边之和＞第三边∴c＜a+b，c＜3+4∴c＜7，又c是正整数，∴c最大为6；（3）∵a﹣b=4，即a=b+4，代入得：（b+4）b+c2﹣6c+13=0，整理得：（b2+4b+4）+（c2﹣6c+9）=（b+2）2+（c﹣3）2=0，∴b+2=0，且c﹣3=0，即b=﹣2，c=3，a=2，则a﹣b+c=2﹣（﹣2）+3=7．故答案为：7．【点评】此题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．21．（2012秋•温岭市校级期末）仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n），则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n∴n+3=﹣4m=3n 解得：n=﹣7，m=﹣21∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．问题：（1）若二次三项式x2﹣5x+6可分解为（x﹣2）（x+a），则a=﹣3；（2）若二次三项式2x2+bx﹣5可分解为（2x﹣1）（x+5），则b=9；（3）仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+5x﹣k有一个因式是（2x ﹣3），求另一个因式以及k的值．【分析】（1）将（x﹣2）（x+a）展开，根据所给出的二次三项式即可求出a的值；（2）（2x﹣1）（x+5）展开，可得出一次项的系数，继而即可求出b的值；（3）设另一个因式为（x+n），得2x2+5x﹣k=（2x﹣3）（x+n）=2x2+（2n﹣3）x ﹣3n，可知2n﹣3=5，k=3n，继而求出n和k的值及另一个因式．【解答】解：（1）∵（x﹣2）（x+a）=x2+（a﹣2）x﹣2a=x2﹣5x+6，∴a﹣2=﹣5，解得：a=﹣3；（2）∵（2x﹣1）（x+5）=2x2+9x﹣5=2x2+bx﹣5，∴b=9；（3）设另一个因式为（x+n），得2x2+5x﹣k=（2x﹣3）（x+n）=2x2+（2n﹣3）x ﹣3n，则2n﹣3=5，k=3n，解得：n=4，k=12，故另一个因式为（x+4），k的值为12．故答案为：（1）﹣3；（2分）（2）9；（2分）（3）另一个因式是x+4，k=12（6分）．【点评】本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．22．（2012春•郯城县期末）分解因式：（1）2x2﹣x；（2）16x2﹣1；（3）6xy2﹣9x2y﹣y3；（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2．【分析】（1）直接提取公因式x即可；（2）利用平方差公式进行因式分解；（3）先提取公因式﹣y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解；（4）把（x﹣y）看作整体，利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：（1）2x2﹣x=x（2x﹣1）；（2）16x2﹣1=（4x+1）（4x﹣1）；（3）6xy2﹣9x2y﹣y3，=﹣y（9x2﹣6xy+y2），=﹣y（3x﹣y）2；（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2，=[2+3（x﹣y）]2，=（3x﹣3y+2）2．【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，是因式分解的常用方法，难点在（3），提取公因式﹣y后，需要继续利用完全平方公式进行二次因式分解．23．（2012春•碑林区校级期末）已知a，b，c是三角形的三边，且满足（a+b+c）2=3（a2+b2+c2），试确定三角形的形状．【分析】将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题．【解答】解：∵（a+b+c）2=3（a2+b2+c2），∴a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，=3a2+3b2+3c2，a2+b2﹣2ab+b2+c2﹣2bc+a2+c2﹣2ac=0，即（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2=0，∴a﹣b=0，b﹣c=0，c﹣a=0，∴a=b=c，故△ABC为等边三角形．【点评】本题考查了配方法的运用，非负数的性质，等边三角形的判断．关键是将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题．24．（2011秋•北辰区校级期末）分解因式（1）2x4﹣4x2y2+2y4（2）2a3﹣4a2b+2ab2．【分析】（1）原式提取公因式后，利用平方差公式分解即可；（2）原式提取公因式，利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）2x4﹣4x2y2+2y4=2（x4﹣2x2y2+y4）=2（x2﹣y2）2=2（x+y）2（x﹣y）2；（2）2a3﹣4a2b+2ab2=2a（a2﹣2ab+b2）=2a（a﹣b）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，提取公因式后利用公式进行二次分解，注意分解要彻底．25．（2011秋•苏州期末）图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．（1）图②中的阴影部分的面积为（m﹣n）2；（2）观察图②请你写出三个代数式（m+n）2、（m﹣n）2、mn之间的等量关系是（m+n）2﹣（m﹣n）2=4mn．（3）若x+y=7，xy=10，则（x﹣y）2=9．（4）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图③，它表示了（m+n）（2m+n）=2m2+3mn+n2．（5）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）=m2+4mn+3n2．【分析】（1）可直接用正方形的面积公式得到．（2）掌握完全平方公式，并掌握和与差的区别．（3）此题可参照第（2）题．（4）可利用各部分面积和=长方形面积列出恒等式．（5）可参照第（4）题画图．【解答】解：（1）阴影部分的边长为（m﹣n），阴影部分的面积为（m﹣n）2；（2）（m+n）2﹣（m﹣n）2=4mn；（3）（x﹣y）2=（x+y）2﹣4xy=72﹣40=9；（4）（m+n）（2m+n）=2m2+3mn+n2；（5）答案不唯一：例如：．【点评】本题考查了因式分解的应用，解题关键是认真观察题中给出的图示，用不同的形式去表示面积，熟练掌握完全平方公式，并能进行变形．26．（2009秋•海淀区期末）已知a、b、c满足a﹣b=8，ab+c2+16=0，求2a+b+c 的值．【分析】本题乍看下无法代数求值，也无法进行因式分解；但是将已知的两个式子进行适当变形后，即可找到本题的突破口．由a﹣b=8可得a=b+8；将其代入ab+c2+16=0得：b2+8b+c2+16=0；此时可发现b2+8b+16正好符合完全平方公式，因此可用非负数的性质求出b、c的值，进而可求得a的值；然后代值运算即可．【解答】解：因为a﹣b=8，所以a=b+8．（1分）又ab+c2+16=0，所以（b+8）b+c2+16=0．（2分）即（b+4）2+c2=0．又（b+4）2≥0，c2≥0，则b=﹣4，c=0．（4分）所以a=4，（5分）所以2a+b+c=4．（6分）【点评】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了非负数的性质以及代数式求值的方法．27．（2010春•北京期末）已知：一个长方体的长、宽、高分别为正整数a、b、c，且满足a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006，求：这个长方体的体积．【分析】我们可先将a+b+c+ab+bc+ac+abc分解因式可变为（a+1）（b+1）（c+1）﹣1，就得（1+b）（c+1）（a+1）=2007，由于a、b、c均为正整数，所以（a+1）、（b+1）、（c+1）也为正整数，而2007只可分解为3×3×223，可得（a+1）、（b+1）、（c+1）的值分别为3、3、223，所以a、b、c值为2、2、222．就可求出长方体体积abc了．【解答】解：原式可化为：a+ab+c+ac+ab+abc+b+1﹣1=2006，a（1+b）+c（1+b）+ac（1+b）+（1+b）﹣1=2006，（1+b）（a+c+ac）+（1+b）=2007，（1+b）（c+1+a+ac）=2007，（1+b）（c+1）（a+1）=2007，2007只能分解为3×3×223∴（a+1）、（b+1）、（c+1）也只能分别为3、3、223∴a、b、c也只能分别为2、2、222∴长方体的体积abc=888．【点评】本题考查了三次的分解因式，做题当中用加减项的方法，使式子满足分解因式．28．（2007秋•普陀区校级期末）（x2﹣4x）2﹣2（x2﹣4x）﹣15．【分析】把（x2﹣4x）看作一个整体，先把﹣15写成3×（﹣5），利用十字相乘法分解因式，再把3写成（﹣1）×（﹣3），﹣5写成1×（﹣5），分别利用十字相乘法分解因式即可．【解答】解：（x2﹣4x）2﹣2（x2﹣4x）﹣15，=（x2﹣4x+3）（x2﹣4x﹣5），=（x﹣1）（x﹣3）（x+1）（x﹣5）．【点评】本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程，本题需要进行多次因式分解，分解因式一定要彻底．29．（2007春•镇海区期末）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（x+1）+x（x+1）2=（1+x）[1+x+x（x+1）]=（1+x）2（1+x）=（1+x）3（1）上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次．（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2004，则需应用上述方法2004次，结果是（1+x）2005．（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）．【分析】此题由特殊推广到一般，要善于观察思考，注意结果和指数之间的关系．【解答】解：（1）上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次．（2）需应用上述方法2004次，结果是（1+x）2005．（3）解：原式=（1+x）[1+x+x（x+1）]+x（x+1）3+…+x（x+1）n，=（1+x）2（1+x）+x（x+1）3+…+x（x+1）n，=（1+x）3+x（x+1）3+…+x（x+1）n，=（x+1）n+x（x+1）n，=（x+1）n+1．【点评】本题考查了提公因式法分解因式的推广，要认真观察已知所给的过程，弄清每一步的理由，就可进一步推广．30．（2007春•射洪县校级期末）对于多项式x3﹣5x2+x+10，如果我们把x=2代入此多项式，发现多项式x3﹣5x2+x+10=0，这时可以断定多项式中有因式（x﹣2）（注：把x=a代入多项式能使多项式的值为0，则多项式含有因式（x﹣a）），于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+x+10=（x﹣2）（x2+mx+n），（1）求式子中m、n的值；（2）以上这种因式分解的方法叫试根法，用试根法分解多项式x3﹣2x2﹣13x﹣10的因式．【分析】（1）根据（x﹣2）（x2+mx+n）=x3+（m﹣2）x2+（n﹣2m）x﹣2n，得出有关m，n的方程组求出即可；（2）由把x=﹣1代入x3﹣2x2﹣13x﹣10，得其值为0，则多项式可分解为（x+1）（x2+ax+b）的形式，进而将多项式分解得出答案．【解答】解：（1）方法一：因（x﹣2）（x2+mx+n）=x3+（m﹣2）x2+（n﹣2m）x ﹣2n，=x3﹣5x2+x+10，（2分）所以，解得：m=﹣3，n=﹣5（5分），方法二：在等式x3﹣5x2+x+10=（x﹣2）（x2+mx+n）中，分别令x=0，x=1，即可求出：m=﹣3，n=﹣5（注：不同方法可根据上面标准酌情给分）（2）把x=﹣1代入x3﹣2x2﹣13x﹣10，得其值为0，则多项式可分解为（x+1）（x2+ax+b）的形式，（7分）用上述方法可求得：a=﹣3，b=﹣10，（8分）所以x3﹣2x2﹣13x﹣10=（x+1）（x2﹣3x﹣10），（9分）=（x+1）（x+2）（x﹣5）．（10分）【点评】此题主要考查了因式分解的应用，根据已知获取正确的信息，是近几年中考中热点题型同学们应熟练掌握获取正确信息的方法．。

【八年级上册】因式分解专项训练(30道)(含答案)

【八年级上册】因式分解专项训练(30道)(含答案)

因式分解专项训练（30道）1．（拱墅区校级期中）因式分解（1）﹣a2+1；（2）2x3y+4x2y2+2xy3；（3）4（x+2y）2﹣25（x﹣y）2；（4）（a2+a）2﹣8（a2+a）+12．2．（拜泉县期中）因式分解（1）6x2﹣3x；（2）16m3﹣mn2；（3）25m2﹣10mn+n2；（4）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．3．（浠水县月考）分解因式：（1）3pq3+15p3q；（2）ab2﹣a；（3）4xy2﹣4x2y﹣y3；（4）（a2+1）2﹣4a2．4．（绿园区校级月考）把下列多项式分解因式．（1）3x2﹣3y2．（2）a2b+2ab2+b3．（3）（m﹣1）（m﹣3）+1．（4）2a2+4ab+2b2．5．（2021春•东昌府区期末）把下列各式进行因式分解：（1）2（x﹣y）﹣（x﹣y）2；（2）﹣x2+8x﹣15；（3）8m3n+40m2n2+50mn3；（4）a4﹣b4．6．（2021春•南山区校级期中）分解因式：（1）12ab2﹣6ab；（2）a2﹣6ab+9b2；（3）x4﹣1；（4）n2（m﹣2）+（2﹣m）．7．（2021春•邗江区期中）分解因式：（1）2x2﹣12x+18；（2）a3﹣a；（3）4ab2﹣4a2b﹣b3；（4）m3（a﹣2）+m（2﹣a）．8．（2020秋•丛台区期末）因式分解（1）（a﹣b）2+4ab；（2）x2﹣2x﹣8；（3）x4﹣6x3+9x2﹣16；（4）（x2+3x+5）（x2+3x+1）+3．9．（2021春•江北区校级期中）因式分解：（1）﹣8ab2+6a2b﹣2ab；（2）4a2﹣（a2+1）2；（3）x4﹣8x2﹣9；（4）（2﹣x2）2+2x（x2﹣2）+x2．10．（2021春•福田区校级期中）因式分解：（1）ab2﹣a；（2）2xy2﹣12x2y+18x3；（3）a4﹣8a2+16；（4）（x﹣4）（x+1）+3x．11．（2021秋•姜堰区月考）因式分解：（1）a4﹣1；（2）x3﹣2x2y+xy2．12．（2021春•平山区校级期中）分解因式：（1）x2（m﹣n）+y2（n﹣m）；（2）3x2﹣18xy+27y2．13．（2021春•鄄城县期末）因式分解：（1）（a﹣b）（x﹣y）﹣（b﹣a）（x+y）；（2）（x2+1）2﹣4x2．14．（2021春•福田区校级期中）分解因式：（1）4x2﹣（x2+1）2；（2）3（x﹣1）2﹣18（x﹣1）+27．15．（2021春•凤翔县期末）分解因式：（1）9a2（x﹣y）+y﹣x；（2）（x2﹣2xy+y2）+（﹣2x+2y）+1．16．（2021春•沈北新区期末）因式分解：（1）﹣10a2bc+15bc2﹣20ab2c；（2）（x2+1）2﹣4x2．17．（2021春•平顶山期末）把下列各式因式分解：（1）x2+2xy+y2﹣c2；（2）b2（a﹣2）+b（2﹣a）．18．（2021春•覃塘区期末）因式分解：（1）3x3﹣12x；（2）1﹣2x+2y+（x﹣y）2．19．（2021春•江宁区月考）分解因式：（1）4x2（x﹣y）+（y﹣x）；（2）（x2﹣5）2+8（x2﹣5）+16．20．（2021春•汉寿县期中）分解因式：3x2﹣xy﹣2y2﹣x+y．21．（2020秋•浦东新区期末）因式分解（1）5x2+6y﹣15x﹣2xy；（2）（1+ab）2﹣（a+b）2．22．（2020春•市南区校级期中）因式分解：4（x+y）2﹣16（x﹣y）2．23．（2020秋•宝山区期末）分解因式：2x3﹣2x2y+8y﹣8x．24．（2020秋•上海期末）分解因式：a4+4b2c2﹣a2b2﹣4a2c2．25．（2020秋•松江区期末）因式分解：x3+3x2y﹣4x﹣12y．26．（2020秋•浦东新区期末）分解因式：a4+4b2c2﹣a2b2﹣4a2c2．27．（2020秋•浦东新区期末）因式分解：（x2+2x）2﹣7（x2+2x）﹣8．28．（2021秋•浦东新区校级期中）分解因式：（x2+x+1）（x2+x+2）﹣12．29．（2020秋•海淀区校级期中）因式分解：64a6﹣48a4b2+12a2b4﹣b6．30．（2020秋•海淀区校级期中）请用两种方法对多项式x3﹣4x2+6x﹣4进行因式分解．（拆添项算一种方法）因式分解专项训练（30道）【答案版】1．（2021春•拱墅区校级期中）因式分解（1）﹣a2+1；（2）2x3y+4x2y2+2xy3；（3）4（x+2y）2﹣25（x﹣y）2；（4）（a2+a）2﹣8（a2+a）+12．【解题思路】（1）逆用平方差公式进行因式分解．（2）先逆用平方差公式，再提公因式．（3）先逆用平方差公式，再提公因式．（4）运用十字相乘法进行因式分解，注意分解彻底．【解答过程】解：（1）﹣a2+1＝（1+a）（1﹣a）．（2）2x3y+4x2y2+2xy3＝2xy（x2+2xy+y2）＝2xy（x+y）2．（3）4（x+2y）2﹣25（x﹣y）2＝[2（x+2y）+5（x﹣y）][2（x+2y）﹣5（x﹣y）]＝（2x+4y+5x﹣5y）（2x+4y﹣5x+5y）＝（7x﹣y）（﹣3x+9y）＝﹣3（7x﹣y）（x﹣3y）．（4）（a2+a）2﹣8（a2+a）+12＝（a2+a﹣2）（a2+a﹣6）＝（a+2）（a﹣1）（a+3）（a﹣2）．2．（2021秋•拜泉县期中）因式分解（1）6x2﹣3x；（2）16m3﹣mn2；（3）25m2﹣10mn+n2；（4）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．【解题思路】（1）原式提取公因式3x，分解即可；（2）原式提取公因式m，再利用平方差公式分解即可；（3）原式利用完全平方公式分解即可；（4）原式变形后，提取公因式（x﹣y），再利用平方差公式分解即可．【解答过程】解：（1）6x2﹣3x＝3x（2x﹣1）；（2）16m3﹣mn2＝m（16m2﹣n2）＝m（4m+n）（4m﹣n）；（3）25m2﹣10mn+n2＝（5m﹣n）2；（4）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）＝9a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）＝（x﹣y）（9a2﹣4b2）＝（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）．3．（2021秋•浠水县月考）分解因式：（1）3pq3+15p3q；（2）ab2﹣a；（3）4xy2﹣4x2y﹣y3；（4）（a2+1）2﹣4a2．【解题思路】（1）原式提取公因式3pq即可；（2）原式提取公因式a，再利用平方差公式分解即可；（3）原式提取公因式﹣y，再利用完全平方公式分解即可；（4）原式利用平方差公式，以及完全平方公式分解即可．【解答过程】解：（1）3pq3+15p3q＝3pq（q2+5p2）；（2）ab2﹣a＝a（b2﹣1）＝a（b+1）（b﹣1）；（3）4xy2﹣4x2y﹣y3＝﹣y（y2+4x2﹣4xy）＝﹣y（2x﹣y）2；（4）（a2+1）2﹣4a2＝（a2+1+2a）（a2+1﹣2a）＝（a+1）2（a﹣1）2．4．（2021秋•绿园区校级月考）把下列多项式分解因式．（1）3x2﹣3y2．（2）a2b+2ab2+b3．（3）（m﹣1）（m﹣3）+1．（4）2a2+4ab+2b2．【解题思路】（1）先提公因式，再利用平方差公式即可；（2）先提公因式，再利用完全平方公式即可；（3）先计算多项式乘多项式，整理后，再利用完全平方公式即可；（4）先提公因式，再利用完全平方公式即可；【解答过程】解：（1）原式＝3（x2﹣y2）＝3（x+y）（x﹣y）；（2）原式＝b（a2+2ab+b2）＝b（a+b）2；（3）原式＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）2；（4）原式＝2（a2+2ab+b2）＝2（a+b）2．5．（2021春•东昌府区期末）把下列各式进行因式分解：（1）2（x﹣y）﹣（x﹣y）2；（2）﹣x2+8x﹣15；（3）8m3n+40m2n2+50mn3；（4）a4﹣b4．【解题思路】（1）直接提取公因式；（2）先加上负括号，再利用十字相乘法；（3）先提取公因式2mn，再利用完全平方公式；（4）利用平方差公式因式分解．【解答过程】解：（1）2（x﹣y）﹣（x﹣y）2＝（x﹣y）[2﹣（x﹣y）]＝（x﹣y）（2﹣x+y）；（2）﹣x2+8x﹣15＝﹣（x2﹣8x+15）＝﹣（x﹣5）（x﹣3）；（3）8m3n+40m2n2+50mn3＝2mn（4m2+20mn+25n2）＝2mn（2m+5n）2；（4）a4﹣b4＝（a2+b2）（a2﹣b2）＝（a2+b2）（a+b）（a﹣b）．6．（2021春•南山区校级期中）分解因式：（1）12ab2﹣6ab；（2）a2﹣6ab+9b2；（3）x4﹣1；（4）n2（m﹣2）+（2﹣m）．【解题思路】（1）直接提取公因式6ab，进而分解因式即可；（2）直接利用完全平方公式分解因式得出答案；（3）直接利用平方差公式分解因式得出答案；（4）直接提取公因式（m﹣2），再利用平方差公式分解因式即可．【解答过程】解：（1）12ab2﹣6ab＝6ab（2b﹣1）；（2）a2﹣6ab+9b2＝（a﹣3b）2；（3）x4﹣1＝（x2+1）（x2﹣1）＝（x2+1）（x﹣1）（x+1）；（4）n2（m﹣2）+（2﹣m）＝n2（m﹣2）﹣（m﹣2）＝（m﹣2）（n2﹣1）＝（m﹣2）（n+1）（n﹣1）．7．（2021春•邗江区期中）分解因式：（1）2x2﹣12x+18；（2）a3﹣a；（3）4ab2﹣4a2b﹣b3；（4）m3（a﹣2）+m（2﹣a）．【解题思路】（1）首先提公因式2，再利用完全平方公式进行分解即可；（2）首先提公因式a，再利用平方差公式进行分解即可；（3）首先提公因式﹣b，再利用完全平方公式进行分解即可；（4）首先提公因式m（a﹣2），再利用平方差公式进行分解即可．【解答过程】解：（1）原式＝2（x2﹣6x+9）＝2（x﹣3）2；（2）原式＝a（a2﹣1）＝a（a+1）（a﹣1）；（3）原式＝﹣b（b2﹣4ab+4a2）＝﹣b（b﹣2a）2；（4）原式＝m（a﹣2）（m2﹣1）＝m（a﹣2）（m﹣1）（m+1）．8．（2020秋•丛台区期末）因式分解（1）（a﹣b）2+4ab；（2）x2﹣2x﹣8；（3）x4﹣6x3+9x2﹣16；（4）（x2+3x+5）（x2+3x+1）+3．【解题思路】（1）先根据完全平方公式展开，再根据完全平方公式分解因式即可；（2）根据十字相乘法分解因式即可；（3）先分组，根据完全平方公式进行计算，再根据平方差公式分解因式，最后根据“十字相乘法”分解因式即可；（4）把x2+3x当作一个整体展开，再根据“十字相乘法”分解因式即可．【解答过程】解：（1）（a﹣b）2+4ab＝a2﹣2ab+b2+4ab＝a2+2ab+b2＝（a+b）2；（2）x2﹣2x﹣8＝（x﹣4）（x+2）；（3）x4﹣6x3+9x2﹣16＝（x4﹣6x3+9x2）﹣16＝x2（x﹣3）2﹣42＝[x（x﹣3）+4][x（x﹣3）﹣4]＝（x2﹣3x+4）（x2﹣3x﹣4）＝（x2﹣3x+4）（x﹣4）（x+1）；（4）（x2+3x+5）（x2+3x+1）+3＝（x2+3x）2+6（x2+3x）+5+3＝（x2+3x）2+6（x2+3x）+8＝（x2+3x+2）（x2+3x+4）＝（x+1）（x+2）（x2+3x+4）．9．（2021春•江北区校级期中）因式分解：（1）﹣8ab2+6a2b﹣2ab；（2）4a2﹣（a2+1）2；（3）x4﹣8x2﹣9；（4）（2﹣x2）2+2x（x2﹣2）+x2．【解题思路】（1）原式提取﹣2ab，利用提公因式法因式分解即可；（2）原式利用平方差公式化简，再利用完全平方公式分解即可；（3）原式利用十字相乘法分解，再利用平方差公式分解即可；（4）利用完全平方公式变形，再利用提公因式分解即可．【解答过程】解：（1）原式＝﹣2ab（4b﹣3a+1）；（2）原式（2a）2﹣（a2+1）2＝（2a+a2+1）（2a﹣a2﹣1）＝﹣（a+1）2（a﹣1）2；（3）原式＝（x2+1）（x2﹣9）＝（x2+1）（x+3）（x﹣3）；（4）原式＝（x2﹣2）2+2x（x2﹣2）+x2＝（x2+x﹣2）2＝（x+2）2（x﹣1）2．10．（2021春•福田区校级期中）因式分解：（1）ab2﹣a；（2）2xy2﹣12x2y+18x3；（3）a4﹣8a2+16；（4）（x﹣4）（x+1）+3x．【解题思路】（1）提公因式后再利用平方差公式即可；（2）提公因式后再利用完全平方公式即可；（3）利用完全平方公式后再利用平方差公式；（4）根据多项式乘法计算，再利用平方差公式．【解答过程】解：（1）ab2﹣a＝a（b2﹣1）＝a（b+1）（b﹣1）；（2）原式＝2x（y2﹣6xy+9x2）＝2x（y﹣3x）2；（3）原式＝（a2﹣4）2＝（a﹣2）2（a+2）2；（4）原式＝x2﹣3x﹣4+3x＝x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）．11．（2021秋•姜堰区月考）因式分解：（1）a4﹣1；（2）x3﹣2x2y+xy2．【解题思路】（1）原式利用平方差公式分解即可；（2）原式提取公因式x，再利用完全平方公式分解即可．【解答过程】解：（1）原式＝（a2+1）（a2﹣1）＝（a2+1）（a+1）（a﹣1）；（2）原式＝x（x2﹣2xy+y2）＝x（x﹣y）2．12．（2021春•平山区校级期中）分解因式：（1）x2（m﹣n）+y2（n﹣m）；（2）3x2﹣18xy+27y2．【解题思路】（1）首先提取公因式（m﹣n），然后利用平方差公式继续进行因式分解；（2）先提取公因式，再利用完全平方公式把原式进行因式分解即可．【解答过程】解：（1）x2（m﹣n）+y2（n﹣m）＝（m﹣n）（x2﹣y2）＝（m﹣n）（x+y）（x﹣y）；（2）3x2﹣18xy+27y2＝3（x2﹣6xy+9y2）＝3（x﹣3y）2．13．（2021春•鄄城县期末）因式分解：（1）（a﹣b）（x﹣y）﹣（b﹣a）（x+y）；（2）（x2+1）2﹣4x2．【解题思路】（1）用提取公因式法分解因式；（2）用平方差公式、完全平方公式分解因式．【解答过程】解：（1）原式＝（a﹣b）（x﹣y）+（a﹣b）（x+y）＝（a﹣b）[（x﹣y）+（x+y）]＝2x（a﹣b），（2）原式＝（x2+1）2﹣（2x）2＝（x2+1+2x）（x2+1﹣2x）＝（x+1）2（x﹣1）2．14．（2021春•福田区校级期中）分解因式：（1）4x2﹣（x2+1）2；（2）3（x﹣1）2﹣18（x﹣1）+27．【解题思路】（1）先选择平方差公式分解因式，再运用完全平方公式进行因式分解；（2）先运用提取公因式法分解因式，再运用完全平方公式分解因式．【解答过程】解：（1）原式＝（2x）2﹣（x2+1）2＝（2x+x2+1）（2x﹣x2﹣1）＝﹣（x+1）2（x﹣1）2；（2）原式＝3[（x﹣1）2﹣6（x﹣1）+9]＝3[（x﹣1）﹣3]2＝3（x﹣4）2．15．（2021春•凤翔县期末）分解因式：（1）9a2（x﹣y）+y﹣x；（2）（x2﹣2xy+y2）+（﹣2x+2y）+1．【解题思路】（1）原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可；（2）原式整理后，利用完全平方公式分解即可．【解答过程】解：（1）原式＝9a2（x﹣y）﹣（x﹣y）＝（x﹣y）（9a2﹣1）＝（x﹣y）（3a+1）（3a﹣1）；（2）原式＝（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1＝（x﹣y﹣1）2．16．（2021春•沈北新区期末）因式分解：（1）﹣10a2bc+15bc2﹣20ab2c；（2）（x2+1）2﹣4x2．【解题思路】（1）直接提公因式﹣5bc即可；（2）先利用平方差公式，将原式化为（x2+1+2x）（x2+1﹣2x），再利用完全平方公式得出答案．【解答过程】解：（1）原式＝﹣5bc（2a2﹣3c+4ab）；（2）原式＝（x2+1+2x）（x2+1﹣2x）＝（x+1）2（x﹣1）2．17．（2021春•平顶山期末）把下列各式因式分解：（1）x2+2xy+y2﹣c2；（2）b2（a﹣2）+b（2﹣a）．【解题思路】（1）先分组，再分解．（2）先将b2（a﹣2）+b（2﹣a）变形为b2（a﹣2）﹣b（a﹣2），再运用提公因式法．【解答过程】解：（1）x2+2xy+y2﹣c2＝（x+y）2﹣c2＝（x+y+c）（x+y﹣c）．（2）b2（a﹣2）+b（2﹣a）＝b2（a﹣2）﹣b（a﹣2）＝b（a﹣2）（b﹣1）．18．（2021春•覃塘区期末）因式分解：（1）3x3﹣12x；（2）1﹣2x+2y+（x﹣y）2．【解题思路】（1）先提公因式，再用公式法进行因式分解．（2）先将1﹣2x+2y+（x﹣y）2变形为＝1﹣（2x﹣2y）+（x﹣y）2，再用公式法进行因式分解．【解答过程】解：（1）3x3﹣12x＝3x（x2﹣4）＝3x（x+2）（x﹣2）．（2）1﹣2x+2y+（x﹣y）2＝1﹣（2x﹣2y）+（x﹣y）2＝1﹣2（x﹣y）+（x﹣y）2＝[1﹣（x﹣y）]2＝（1﹣x+y）2．19．（2021春•江宁区月考）分解因式：（1）4x2（x﹣y）+（y﹣x）；（2）（x2﹣5）2+8（x2﹣5）+16．【解题思路】（1）可先将（y﹣x）变形为﹣（x﹣y），再根据因式分解的步骤进行分解即可；（2）将（x2﹣5）看作一个整体，利用完全平方公式进行因式分解，最后再利用平方差公式因式分解即可．【解答过程】解：（1）4x2（x﹣y）+（y﹣x）＝4x2（x﹣y）﹣（x﹣y）＝（x﹣y）（4x2﹣1）＝（x﹣y）（2x+1）（2x﹣1）；（2）（x2﹣5）2+8（x2﹣5）+16＝（x2﹣5+4）2＝（x2﹣1）2＝（x+1）2（x﹣1）2．20．（2021春•汉寿县期中）分解因式：3x2﹣xy﹣2y2﹣x+y．【解题思路】先将3x2﹣xy﹣2y2﹣x+y分组整理，然后利用公式即可解答．【解答过程】解：原式＝（3x2﹣xy﹣2y2）﹣（x﹣y）＝（3x+2y）（x﹣y）﹣（x﹣y）＝（x﹣y）（3x+2y﹣1）．21．（2020秋•浦东新区期末）因式分解（1）5x2+6y﹣15x﹣2xy；（2）（1+ab）2﹣（a+b）2．【解题思路】（1）将原式分为两组：（5x2﹣15x）、﹣（2xy﹣6y），然后利用提取公因式法进行因式分解；（2）利用平方差公式进行因式分解．【解答过程】解：（1）原式＝（5x2﹣15x）﹣（2xy﹣6y）＝5x（x﹣3）﹣2y（x﹣3）＝（x﹣3）（5x﹣2y）；（2）原式＝（1+ab﹣a﹣b）（1+ab+a+b）＝[（1﹣a）﹣b（1﹣a）][（1+a）+b（1+a）]＝（1﹣a）（1﹣b）（1+a）（1+b）．22．（2020春•市南区校级期中）因式分解：4（x+y）2﹣16（x﹣y）2．【解题思路】首先提公因式4，再利用平方差公式进行分解即可．【解答过程】解：4（x+y）2﹣16（x﹣y）2＝4[（x+y）2﹣4（x﹣y）2]＝4（x+y+2x﹣2y）（x+y﹣2x+2y）＝4（3x﹣y）（3y﹣x）．23．（2020秋•宝山区期末）分解因式：2x3﹣2x2y+8y﹣8x．【解题思路】两两分组：先分别提取公因式2x2，8；再提取公因式2（y﹣x）进行二次分解；最后利用平方差公式再次进行因式分解即可求得答案．【解答过程】解：原式＝2x2（x﹣y）﹣8（x﹣y）＝2（x﹣y）（x2﹣4）＝2（x﹣y）（x+2）（x﹣2）．24．（2020秋•上海期末）分解因式：a4+4b2c2﹣a2b2﹣4a2c2．【解题思路】先利用分组分解法进行恰当的分组，再利用提公因式法和公式法进行因式分解即可．【解答过程】解：原式＝（a4﹣a2b2）﹣（4a2c2﹣4b2c2）＝a2（a2﹣b2）﹣4c2（a2﹣b2）＝（a2﹣b2）（a2﹣4c2）＝（a+b）（a﹣b）（a+2c）（a﹣2c）．25．（2020秋•松江区期末）因式分解：x3+3x2y﹣4x﹣12y．【解题思路】分为两组：（x3+3x2y）和（﹣4x﹣12y），然后运用完全平方公式和平方差公式进行因式分解．【解答过程】解：x3+3x2y﹣4x﹣12y＝（x3+3x2y）﹣（4x+12y）＝x2（x+3y）﹣4（x+3y）＝（x+3y）（x2﹣4）＝（x+3y）（x+2）（x﹣2）．26．（2020秋•浦东新区期末）分解因式：a4+4b2c2﹣a2b2﹣4a2c2．【解题思路】利用加法的结合律和交换律，把整式的第一项和第三项，第四项和第二项分组，提取公因式后再利用公式．【解答过程】解：原式＝（a4﹣a2b2）﹣（4a2c2﹣4b2c2）＝a2（a2﹣b2）+4c2（a2﹣b2）＝（a2﹣b2）（a2﹣4c2）＝（a+b）（a﹣b）（a+2c）（a﹣2c）．27．（2020秋•浦东新区期末）因式分解：（x2+2x）2﹣7（x2+2x）﹣8．【解题思路】原式利用十字相乘法分解后，再利用完全平方公式分解即可．【解答过程】解：原式＝（x2+2x﹣8）（x2+2x+1）＝（x﹣2）（x+4）（x+1）2．28．（2021秋•浦东新区校级期中）分解因式：（x2+x+1）（x2+x+2）﹣12．【解题思路】将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．【解答过程】解：设x2+x＝y，则原式＝（y+1）（y+2）﹣12＝y2+3y﹣10＝（y﹣2）（y+5）＝（x2+x﹣2）（x2+x+5）＝（x﹣1）（x+2）（x2+x+5）．说明本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如令x2+x+1＝u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．故答案为（x﹣1）（x+2）（x2+x+5）29．（2020秋•海淀区校级期中）因式分解：64a6﹣48a4b2+12a2b4﹣b6．【解题思路】先利用分组分解法分解，再分别利用公式法和提取公因式法分解即可得出答案．【解答过程】解：64a6﹣48a4b2+12a2b4﹣b6＝（64a6﹣b6）﹣（48a4b2﹣12a2b4）＝（8a3+b3）（8a3﹣b3）﹣12a2b2（4a2﹣b2）＝（2a+b）（4a2﹣2ab+b2）（2a﹣b）（4a2+2ab+b2）﹣12a2b2（2a+b）（2a﹣b）＝（2a+b）（2a﹣b）[（4a2﹣2ab+b2）（4a2+2ab+b2）﹣12a2b2]＝（2a+b）（2a﹣b）[（4a2+b2）2﹣4a2b2﹣12a2b2]＝（2a+b）（2a﹣b）[（4a2+b2）2﹣16a2b2]＝（2a+b）（2a﹣b）（4a2﹣b2）2＝（2a+b）3（2a﹣b）3．30．（2020秋•海淀区校级期中）请用两种方法对多项式x3﹣4x2+6x﹣4进行因式分解．（拆添项算一种方法）【解题思路】分别利用拆添项及配方法和提取公因式法进行分解即可．【解答过程】解：方法一：x3﹣4x2+6x﹣4＝（x3﹣2x2）﹣（2x2﹣4x）+（2x﹣4）＝x2（x﹣2）﹣2x（x﹣2）+2（x﹣2）＝（x﹣2）（x2﹣2x+2）；方法二：x3﹣4x2+6x﹣4＝x（x2﹣4x2+4+2）﹣4＝x（x﹣2）2+2x﹣4＝（x﹣2）（x2﹣2x+2）．。

初二上册因式分解100题及答案

初二上册因式分解100题及答案

初二上册因式分解100题及答案一、提取公因式(1)4322+82a x a x(2)244-153xy z xy(3)3432-a y a x y832(4)(3)(52)(3)(64)+-+-+-a b a b(5)42243--xy x yz y z18945(6)423xy z x z+129(7)24322-a c ab c520(8)23222-5x y z x y(9)(4)(65)(4)(25)(4)(21)-++--+--+x x x x x x (10)(85)(43)(5)(85)---++-a b b a(11)(61)(32)(93)(61)++-++m n n m(12)(83)(23)(83)(51)(83)(81)x x x x x x+--++-+++ (13)(53)(53)(53)(65)-++--x y x y(14)3224+b c b c2016(15)3323-x yz x y z312(16)(72)(2)(72)(5)--+-+a b a b(17)4442-45a ab c(18)(25)(61)(25)(2)+-++++a b a b(19)(31)(75)(31)(83)-----x x x x (20)(31)(91)(85)(31)m n n m------二、公式法(21)22-x y256169(22)22625484-x y(23)2x-7291(24)2-+x x400760361(25)22-a b361100(26)22++x xy y84123216(27)22m mn n-+4001160841 (28)2x x++165649(29)22-+144264121m mn n (30)2729x-三、分组分解法(31)72542418mn m n+++ (32)61248-+-mn m n(33)22a c ab bc ca+-+-1676322 (34)22----54757654a b ab bc ca(35)22+--+x z xy yz zx264213(36)22a c ab bc ca++++16202548 (37)54455445+++xy x y(38)22--++52110632a c ab bc ca(39)630525xy x y--+(40)1050525-+-mx my nx ny (41)22-+--a b ab bc ca365113054 (42)2485418+++ab a b(43)2-+-255735a ab bc ca(44)15401848-+-mn m n (45)12203050--+ab a b(46)99010+--ax ay bx by (47)840420xy x y+++(48)728455-+-ab a b(49)327436----xy x y(50)56724254--+ab a b四、拆添项(51)22a b a b-++-4949709824 (52)22---+94541272a b a b(53)2225813010827m n m n --+-(54)4264814x x -+(55)4224368349x x y y ++(56)22449129840m n m n -+--(57)2236142445x y x y -+++(58)4224641625a a b b ++(59)22644322845m n m n --+-(60)2236361084865m n m n -+-+五、十字相乘法(61)2222018439611a b c ab bc ac+--+-(62)22245246743059x y z xy yz xz++--+(63)222979294x xy y x y -+-++(64)222024256525x xy y x y -----(65)226112391321x xy y x y --++-(66)2221823651842x y z xy yz xz--++-(67)2267203193x xy y x y ---+-(68)22248218221560a b c ab bc ac++--+(69)222183625724x y z xy yz xz-++--(70)22454142x xy y x y --+--(71)224073303542x xy y x y-++-(72)22240208572636x y z xy yz xz++-+-(73)2214311526174m mn n m n ++++-(74)22230282591516a b c ab bc ac++-+-(75)22242124461317x y z xy yz xz+-+++(76)22145728251525m mn n m n +++--(77)22182931421x xy y x y++++(78)222821624522x y z xy yz xz--+++(79)22251015159m mn n m n--++(80)228213836x xy x y +-+-六、双十字相乘法(81)2222018439611a b c ab bc ac+--+-(82)22245246743059x y z xy yz xz++--+(83)222979294x xy y x y -+-++(84)222024256525x xy y x y -----(85)226112391321x xy y x y --++-(86)2221823651842x y z xy yz xz--++-(87)22---+-x xy y x y67203193(88)222a b c ab bc ac++--+48218221560 (89)222x y z xy yz xz-++--183625724 (90)22--+--454142x xy y x y七、因式定理(91)32--+a a a3292(92)32x x x++-81873(93)32x x x+-+5101112(94)32+-+323232x x x(95)3225215x x x -+-(96)3266710m m m +-+(97)32519228x x x -+-(98)325334315y y y -+-(99)327240x x x ++-(100)3321x x --初二上册因式分解100题答案一、提取公因式(1)2222(41)a x a x+(2)2423(5)xy z y-(3)3328(4)a y y x-(4)(3)(116)a b-+-(5)322339(25)y xy x z y z--(6)423(43)xz y xz+(7)22225(4)a c c ab-(8)222(51)x y yz-(9)(4)(61)x x-+(10)(85)(32)a b---(11)(61)(61)m n-++ (12)(83)(113)x x+-(13)(53)(112)x y--(14)2224(54)b c b c+(15)323(14)x yz yz-(16)(72)(23)a b-+ (17)442(45)a b c-(18)(25)(53)a b-+-(19)(31)(2)x x--+(20)(31)(174)m n---二、公式法(21)(1613)(1613)x y x y+-(22)(2522)(2522)x y x y+-(23)(271)(271)x x+-(24)2(2019)x-(25)(1910)(1910)a b a b+-(26)2(294)x y+(27)2(2029)m n-(28)2(47)x+(29)2(1211)m n-(30)(27)(27)x x+-三、分组分解法(31)6(31)(43)m n++ (32)2(32)(2)m n+-(33)(2)(837)a c ab c---(34)(9)(676)a b a b c+--(35)(26)(2)x y z x z-++(36)(84)(25)a b c a c+++ (37)9(1)(65)x y++(38)(53)(27)a c ab c--+(39)(65)(5)x y--(40)5(2)(5)m n x y+-(41)(95)(46)a b a b c+--(42)2(49)(31)a b++(43)(57)(5)a c a b--(44)(56)(38)m n+-(45)2(25)(35)a b--(46)(10)(9)a b x y-+(47)4(21)(5)x y++(48)(85)(91)a b+-(49)(34)(9)x y-++(50)2(43)(79)a b--四、拆添项(51)(772)(7712)a b a b+--+(52)(326)(3212)a b a b+---(53)(599)(593)m n m n+--+ (54)22(872)(872)x x x x+---(55)2222(67)(67)x xy y x xy y++-+ (56)(2710)(274)m n m n++--(57)(65)(69)x y x y++-+(58)2222(885)(885)a ab b a ab b++-+(59)(829)(825)m n m n+--+ (60)(6613)(665)m n m n++-+五、十字相乘法(61)(43)(564)a b c a b c-+--(62)(566)(94)x y z x y z-+-+ (63)(4)(271)x y x y----(64)(575)(465)x y x y++--(65)(63)(27)x y x y+--+ (66)(26)(926)x y z x y z+--+ (67)(343)(251)x y x y+--+(68)(623)(86)a b c a b c-+-+ (69)(232)(93)x y z x y z+---(70)(56)(7)x y x y--++ (71)(56)(857)x y x y--+ (72)(542)(854)x y z x y z----(73)(234)(751)m n m n+++-(74)(672)(54)a b c a b c----(75)(64)(734)x y z x y z+-++ (76)(745)(275)m n m n+-++ (77)(97)(23)x y x y+++ (78)(236)(47)x y z x y z-++-(79)(553)(53)m n m n-++ (80)(436)(71)x y x+-+六、双十字相乘法(81)(43)(564)a b c a b c-+--(82)(566)(94)x y z x y z-+-+ (83)(4)(271)x y x y----(84)(575)(465)x y x y++--(85)(63)(27)x y x y+--+ (86)(26)(926)x y z x y z+--+ (87)(343)(251)x y x y+--+(88)(623)(86)a b c a b c-+-+ (89)(232)(93)x y z x y z+---(90)(56)(7)x y x y--++七、因式定理(91)2(2)(341)a a a-+-(92)(1)(23)(41)x x x++-(93)2(3)(554)x x x+-+ (94)(2)(34)(4)x x x--+ (95)2(3)(25)x x x-++ (96)2(2)(665)m m m+-+ (97)(1)(2)(54)x x x---(98)(1)(53)(5)y y y---(99)(2)(4)(5)x x x-++ (100)2(1)(331)x x x-++。

八年级数学《因式分解》单元测试题(有答案)

八年级数学《因式分解》单元测试题(有答案)

八年级数学《因式分解》单元测试题（有答案）一、选择题1．下列分解因式正确的是（）A. -x2＋4x＝-x(x＋4)B. x2＋xy＋x＝x(x＋y)C. x(x－y)＋y(y－x)＝(x－y)2D. x2－4x＋4＝(x＋2)(x－2)【分析】根据因式分解的步骤：先提取公因式，再用公式法分解即可求得答案，注意分解要彻底。

解：A.-x2＋4x＝-x(x－4),此项错误；B.x2＋xy＋x＝x(x＋y＋1),此项错误；C.x(x－y)＋y(y－x)＝(x－y)2正确；D.x2－4x＋4＝(x－2)2,此项错误。

【答案】C【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式．注意因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解．注意分解要彻底．2. 下列各式由左边到右边的变形，属于因式分解的是（）A．(x＋1)(x－1)＝x2－1 B．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1C．a2－4b2＝(a＋2b)(a－2b) D．a(x－y)＝ax－ay【答案】C3.多项式15a3b3＋5a2b－20a2b3中各项的公因式是（）A．a3b3B．a2b C．5a2b D．5a3b3【答案】C4．已知x2＋px＋q＝(x＋5)(x－1)，则p，q的值为（）A．4，5 B．4，－5 C．－4，5 D．－4，－5【答案】B5．若a为实数，则整数a2(a2－1)－a2＋1的值（）A．不是负数B．恒为正数C．恒为负数D．不等于0【答案】A6．下列多项式中不能用公式法分解的是（）A．－a2－b2＋2ab B．a2＋a＋1 4C．－a2＋25b2D．－4－b2【答案】D7．把代数式3x3－12x2＋12x分解因式，结果正确的是（）A．3x(x2－4x＋4) B．3x(x－4)2C．3x(x＋2)(x－2) D．3x(x－2)2【答案】D8．已知多项式x＋81b4可分解为(4a2＋9b2)(2a＋3b)(3b－2a)，则x的值是（）A．16a4B．－16a4C．4a2D．－4a2【答案】B二、填空题9．分解因式：16﹣x2=__________．【解析】16和x2都可写成平方形式，且它们符号相反，符合平方差公式特点，利用平方差公式进行因式分解即可．解：16-x2=（4+x）（4-x）．【答案】（4+x）（4﹣x）【点评】本题考查利用平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．10．分解因式：2x3﹣6x2+4x=__________．【解析】首先提取公因式2x，再利用十字相乘法分解因式得出答案．解：2x3﹣6x2+4x=2x（x2﹣3x+2）=2x（x﹣1）（x﹣2）．【答案】2x（x﹣1）（x﹣2）．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键．11．分解因式：a2-5a =________．【分析】利用提公因式法，将各项的公因式a提出，将各项剩下的因式写在一起，作为因式。

初中数学因式分解难题汇编及答案解析

初中数学因式分解难题汇编及答案解析

初中数学因式分解难题汇编及答案解析一、选择题1．将2x 2a -6xab +2x 分解因式，下面是四位同学分解的结果：①2x （xa -3ab ）， ②2xa （x -3b +1）， ③2x （xa -3ab +1）， ④2x （-xa +3ab -1）． 其中，正确的是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④【答案】C【解析】【分析】直接找出公因式进而提取得出答案．【详解】2x 2a-6xab+2x=2x （xa-3ab+1）．故选：C ．【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．2．把代数式322363x x y xy -+分解因式，结果正确的是（ ）A ．(3)(3)x x y x y +-B ．223(2)x x xy y -+C ．2(3)x x y -D ．23()x x y -【答案】D【解析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解．解答：解：322363x x y xy -+，=3x （x 2-2xy+y 2），=3x （x-y ）2．故选D ．3．下列各式中，由等式的左边到右边的变形是因式分解的是( )A ．(x ＋3)(x －3)＝x 2－9B ．x 2＋x －5＝(x －2)(x ＋3)＋1C ．a 2b ＋ab 2＝ab(a ＋b)D ．x 2＋1＝x 1()x x+ 【答案】C【解析】【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．【详解】A 、是整式的乘法，故A 错误；B 、没有把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B 错误；C 、把一个多项式转化成了几个整式积的形式，故C 正确；D 、没有把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D 错误；故选：C ．【点睛】本题考查了因式分解，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．4．把多项式分解因式，正确的结果是（ ）A ．4a 2+4a+1=（2a+1）2B ．a 2﹣4b 2=（a ﹣4b ）（a+b ）C ．a 2﹣2a ﹣1=（a ﹣1）2D ．（a ﹣b ）（a+b ）=a 2+b 2【答案】A【解析】【分析】本题考查的是因式分解中的平方差公式和完全平方公式【详解】解：A. 4a 2+4a+1=（2a+1）2，正确；B. a 2﹣4b 2=（a ﹣2b ）（a+2b ），故此选项错误；C. a 2﹣2a+1=（a ﹣1）2，故此选项错误；D. （a ﹣b ）（a+b ）=a 2﹣b 2，故此选项错误；故选A5．已知a ﹣b =2，则a 2﹣b 2﹣4b 的值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】B【解析】【分析】原式变形后，把已知等式代入计算即可求出值．【详解】∵a ﹣b =2，∴原式=(a +b )(a ﹣b )﹣4b =2(a +b )﹣4b =2a +2b ﹣4b =2(a ﹣b )=4．故选：B ．【点睛】此题考查因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．6．已知：3a b +=则2225a a b b ab -+-+-的值为（ ）A ．1B ．1-C ．11D ．11-【答案】A【解析】【分析】将2225a a b b ab -+++-变形为（a+b ）2-（a+b ）-5，再把a+b=3代入求值即可.【详解】∵a+b=3，∴a 2-a+b 2-b+2ab-5=（a 2+2ab+b 2）-（a+b ）-5=（a+b ）2-（a+b ）-5=32-3-5=9-3-5=1，故选：A ．【点睛】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用完全平方公式解答．7．若a 2-b 2=14，a-b=12，则a+b 的值为（ ） A ．-12 B ．1 C ．12 D ．2【答案】C【解析】【分析】已知第二个等式左边利用平方差公式分解后，将第一个等式变形后代入计算即可求出．【详解】∵a 2－b 2=（a+b ）(a-b)=12(a+b)=14∴a+b=12故选C. 点睛：此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．8．若()()21553x kx x x --=-+，则k 的值为（ ）A ．-2B ．2C ．8D ．-8【答案】B【解析】【分析】 利用十字相乘法化简()()253215x x x x -+=--，即可求出k 的值．【详解】∵()()253215x x x x -+=--∴2k -=-解得2k =故答案为：B ．【点睛】本题考查了因式分解的问题，掌握十字相乘法是解题的关键．9．将多项式x 2+2xy+y 2﹣2x ﹣2y+1分解因式，正确的是（ ）A ．（x+y ）2B ．（x+y ﹣1）2C ．（x+y+1）2D ．（x ﹣y ﹣1）2 【答案】B【解析】【分析】此式是6项式，所以采用分组分解法．【详解】解：x 2+2xy+y 2﹣2x ﹣2y+1=（x 2+2xy+y 2）﹣（2x+2y ）+1=（x+y ）2﹣2（x+y ）+1=（x+y ﹣1）2．故选：B10．下列因式分解正确的是( )A ．()2211x x +=+B ．()22211x x x +-=- C ．()()22x 22x 1x 1=-+- D ．()2212x x x x -+=-+ 【答案】C【解析】【分析】依据因式分解的定义以及提公因式法和公式法，即可得到正确结论．【详解】解：D 选项中，多项式x 2-x+2在实数范围内不能因式分解；选项B ，A 中的等式不成立；选项C 中，2x 2-2=2（x 2-1）=2（x+1）（x-1），正确．故选C ．【点睛】本题考查因式分解，解决问题的关键是掌握提公因式法和公式法的方法．11．下列因式分解中：①32(2)x xy x x x y ++=+；②2244(2)x x x ++=+；③22()()x y x y y x -+=+-；④329(3)x x x x -=-，正确的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】【分析】将各项分解得到结果，即可作出判断．【详解】①322(2+1)x xy x x x y ++=+，故①错误；②2244(2)x x x ++=+，故②正确；③2222()()x y y x x y y x -+=-=+-，故③正确；④39(+3)(3)x x x x x -=-故④错误.则正确的有2个.故选：B.【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．12．下列变形，属于因式分解的有（ ）①x 2﹣16＝（x +4）（x ﹣4）；②x 2+3x ﹣16＝x （x +3）﹣16；③（x +4）（x ﹣4）＝x 2﹣16；④x 2+x ＝x （x +1）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】【分析】【详解】解：①x 2-16=（x+4）（x-4），是因式分解；②x 2+3x-16=x （x+3）-16，不是因式分解；③（x+4）（x-4）=x 2-16，是整式乘法；④x 2+x =x (x +1))，是因式分解．故选B ．13．不论x ,y 为任何实数，22428x y x y +--+ 的值总是（ ）A ．正数B ．负数C ．非负数D ．非正数【答案】A【解析】x²+y²－4x-2y+8=(x²－4x+4)+(y²-2y+1)+3=(x-2)2+(y-1)2+3≥3，不论x,y 为任何实数,x²+y²－4x-2y+8的值总是大于等于3，故选A.【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是要明确要判断一个算式是正数时总是将其整理成一个完全平方公式加正数的形式．14．下面式子从左边到右边的变形中是因式分解的是（ ）A ．()2212x x x x --=--B ．()()22a b a b a b +-=-C ．()()2422x x x -=+-D ．()2222a b a b ab +=++ 【答案】C【解析】【分析】根据把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解进行分析即可．【详解】A 选项：等式右边不是乘积的形式，故不是因式分解，不符合题意.B 选项：等式右边不是乘积的形式，故不是因式分解，不符合题意.C 选项：等式右边是乘积的形式，故是因式分解，符合题意.D 选项：等式右边不是乘积的形式，故不是因式分解，不符合题意.故选：C.【点睛】考查了因式分解的意义，关键是掌握因式分解的定义（把一个多项式化为几个整式的积的形式）．15．下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（ ）A ．（a +3）（a -3）=a 2-9B ．x 2+x -5=（x -2）（x +3）+1C ．a 2b +ab 2=ab （a +b ）D ．x 2+1=x （x +1x） 【答案】C【解析】【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．【详解】A 、是整式的乘法，故A 错误；B 、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B 错误；C 、因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C 正确；D 、因式中含有分式，故D 错误；故选：C ．【点睛】本题考查了因式分解，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．16．下列因式分解结果正确的是( )．A ．10a 3+5a 2=5a(2a 2+a)B ．4x 2-9=(4x+3)(4x-3)C ．a 2-2a-1=(a-1)2D ．x 2-5x-6=(x-6)(x+1)【答案】D【解析】【分析】A 可以利用提公因式法分解因式(必须分解到不能再分解为止)，可对A 作出判断；而B 符合平方差公式的结构特点，因此可对B 作出判断；C 不符合完全平方公式的结构特点，因此不能分解，而D 可以利用十字相乘法分解因式，综上所述，即可得出答案.【详解】A 、原式=5a 2(2a+1)，故A 不符合题意；B 、原式=(2x+3)(2x-3)，故B 不符合题意；C 、a 2-2a-1不能利用完全平方公式分解因式，故C 不符合题意；D 、原式=(x-6)(x+1)，故D 符合题意；故答案为D【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法和十字相乘法分解因式，正确掌握公式法分解因式是解题关键．17．下列各因式分解的结果正确的是（ ）A ．()321a a a a -=-B ．2()b ab b b b a ++=+C ．2212(1)x x x -+=-D ．22()()x y x y x y +=+-【答案】C【解析】【分析】将多项式写成整式乘积的形式即是因式分解，且分解到不能再分解为止，根据定义依次判断即可．【详解】 ()321a a a a -=-=a （a+1）（a-1），故A 错误； 2(1)b ab b b b a ++=++，故B 错误；2212(1)x x x -+=-，故C 正确；22x y +不能分解因式，故D 错误，故选：C ．【点睛】此题考查因式分解的定义，熟记定义并掌握因式分解的方法及分解的要求是解题的关键．18．把代数式2x 2﹣18分解因式，结果正确的是（ ）A ．2（x 2﹣9）B ．2（x ﹣3）2C ．2（x +3）（x ﹣3）D ．2（x +9）（x ﹣9）【答案】C【解析】试题分析：首先提取公因式2，进而利用平方差公式分解因式得出即可．解：2x 2﹣18=2（x 2﹣9）=2（x+3）（x ﹣3）．故选C ．考点：提公因式法与公式法的综合运用．19．若n （）是关于x 的方程的根，则m+n 的值为（ ） A ．1B ．2C ．-1D ．-2 【答案】D【解析】【分析】将n 代入方程,提公因式化简即可.【详解】 解：∵是关于x 的方程的根， ∴，即n(n+m+2)=0, ∵∴n+m+2=0,即m+n=-2,故选D.【点睛】本题考查了一元二次方程的求解,属于简单题,提公因式求出m+n 是解题关键.20．下列因式分解正确的是（ ）A ．()22121x x x x ++=++B ．()222x y x y -=-C ．()1xy x x y -=-D ．()22211x x x +-=- 【答案】C【解析】【分析】根据平方差公式，提公因式法分解因式，完全平方公式，对各选项逐一分析判断即可得答案．【详解】A.x 2+2x+1=(x+1)2，故该选项不属于因式分解，不符合题意，B.x 2-y 2=(x+y)(x-y)，故该选项因式分解错误，不符合题意，C.xy-x=x(y-1)，故该选项正确，符合题意，D.x 2+2x-1不能因式分解，故该选项因式分解错误，不符合题意，故选：C ．【点睛】本题考查因式分解，因式分解首先看是否有公因式，如果有先提取公因式，然后再利用公式法或十字相乘法进行分解，要分解到不能再分解为止．。

(易错题精选)初中数学因式分解难题汇编含答案解析(1)

(易错题精选)初中数学因式分解难题汇编含答案解析(1)
10．下列因式分解正确的是（ ）
A．x3﹣x＝x（x2﹣1）B．x2+y2＝（x+y）（x﹣y）
C．（a+4）（a﹣4）＝a2﹣16D．m2+4m+4＝（m+2）2
【答案】D
【解析】
【分析】
逐项分解因式，即可作出判断．
【详解】
A、原式＝x（x2﹣1）＝x（x+1）（x﹣1），不符合题意；
B、原式不能分解，不符合题意；
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据因式分解的意义：把一个多项式转化成几个整式积的形式叫因式分解，可得答案．
【详解】
解：A、把一个多项式转化成几个整式积的形式，符合题意；
B、右边不是整式积的形式，不符合题意；
C、是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意；
D、是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意；
【详解】
A．4a2+4a+1=（2a+1）2，正确；
B．a2﹣4b2=（a﹣2b）（a+2b），故此选项错误；
C．a2﹣2a﹣1在有理数范围内无法运用公式分解因式，故此选项错误；
D．（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2，是多项式乘法，故此选项错误．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．
C、4x2+1+4x4=(2x2+1)2，能利用完全平方公式进行因式分解，故不符合题意；
D、4x2+1+4x=(2x+1)2，能利用完全平方公式进行因式分解，故不符合题意，
故选A.
【点睛】
本题考查了完全平方式，熟记完全平方式的结构特征是解题的关键.

(易错题精选)初中数学因式分解难题汇编附答案

(易错题精选)初中数学因式分解难题汇编附答案

（易错题精选）初中数学因式分解难题汇编附答案一、选择题1．若a b +=1ab =，则33a b ab -的值为（ ）A．±B． C．± D．【答案】C【解析】【分析】将原式进行变形，3322()()()a b ab ab a b ab a b a b -=-=+-，然后利用完全平方公式的变形22()()4a b a b ab -=+-求得a-b 的值，从而求解． 【详解】解：∵3322()()()a b ab ab a b ab a b a b -=-=+-∴33)a b b ab a =--又∵22()()4a b a b ab -=+-∴22()414a b -=-⨯=∴2a b -=±∴33(2)a b ab =±=±-故选：C ．【点睛】本题考查因式分解及完全平方公式的灵活应用，掌握公式结构灵活变形是解题关键．2．已知4821-可以被在60～70之间的两个整数整除，则这两个数是（ ）A ．61、63B ．61、65C ．61、67D ．63、65 【答案】D【解析】【分析】由()()()()()()24242412686421212121221121=+-=+++--，多次利用平方差公式化简，可解得.【详解】解：原式()()24242121=+-，()()()()()()()()()24121224126624122121212121212163652121=++-=+++-=⨯⨯++ ∴这两个数是63,65.选D.【点睛】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键.3．把代数式322363x x y xy -+分解因式，结果正确的是（ ）A ．(3)(3)x x y x y +-B ．223(2)x x xy y -+C ．2(3)x x y -D ．23()x x y -【答案】D【解析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解．解答：解：322363x x y xy -+，=3x （x 2-2xy+y 2），=3x （x-y ）2．故选D ．4．下列各式分解因式正确的是（ ）A ．22()()()(1)a b a b a b a b +-+=++-B ．236(36)x xy x x x y --=-C ．223311(4)44a b ab ab a b -=- D ．256(1)(6)x x x x --=+- 【答案】D【解析】【分析】 利用提公因式法、十字相乘法法分别进行分解即可．【详解】A. 22()()()(1)+-+≠++-a b a b a b a b ，故此选项因式分解错误，不符合题意；B. 23-6-(3-6-1)=x xy x x x y ，故此选项因式分解错误，不符合题意；C. 223211(4)44-=-a b ab ab a b ，故此选项因式分解错误，不符合题意； D. 256(1)(6)x x x x --=+-，故此选项因式分解正确，符合题意．故选：D【点睛】本题考查了提公因式法与十字相乘法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用其他方法进行分解．5．下列等式从左边到右边的变形，属于因式分解的是( )A ．2ab(a-b)=2a 2b-2ab 2B ．x 2+1=x(x+1x )C ．x 2-4x+3=(x-2)2-1D ．a 2-b 2=(a+b)(a-b)【答案】D【解析】【分析】 把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解(也叫作分解因式).分解因式与整式乘法为相反变形.【详解】解：A.不是因式分解，而是整式的运算B.不是因式分解，等式左边的x 是取任意实数，而等式右边的x ≠0C.不是因式分解，原式＝(x －3)(x －1)D.是因式分解.故选D.故答案为：D.【点睛】因式分解没有普遍适用的法则，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法、配方法、待定系数法、拆项法等方法.6．下列运算结果正确的是( )A ．321x x -=B ．32x x x ÷=C ．326x x x ⋅=D ．222()x y x y +=+【答案】B【解析】【分析】根据合并同类项法则、同底数幂乘除法法则、公式法分解因式逐项进行计算即可得.【详解】A 、3x ﹣2x ＝x ，故A 选项错误；B 、x 3÷x 2＝x ，正确；C 、x 3•x 2＝x 5，故C 选项错误；D 、x 2+2xy+y 2＝(x+y)2，故D 选项错误，故选B.【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂乘除、公式法分解因式，熟练掌握相关的运算法则以及完全平方公式的结构特征是解题的关键.7．多项式225a -与25a a -的公因式是( )A ．5a +B ．5a -C ．25a +D ．25a -【答案】B【解析】【分析】直接将原式分别分解因式，进而得出公因式即可．【详解】解：∵a 2-25=（a+5）（a-5），a 2-5a=a （a-5），∴多项式a 2-25与a 2-5a 的公因式是a-5．故选：B ．【点睛】此题主要考查了公因式，正确将原式分解因式是解题的关键．8．计算201200(2)(2)-+-的结果是（ ）A ．2002-B ．2002C ．1D ．2- 【答案】A【解析】【分析】直接提取公因式进而计算得出答案．【详解】（-2）201+（-2）200=（-2）200×（-2+1）=-2200．故选：A ．【点睛】此题考查提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．9．若()()21553x kx x x --=-+，则k 的值为（ ）A ．-2B ．2C ．8D ．-8 【答案】B【解析】【分析】利用十字相乘法化简()()253215x x x x -+=--，即可求出k 的值．【详解】∵()()253215x x x x -+=--∴2k -=-解得2k =故答案为：B ．【点睛】本题考查了因式分解的问题，掌握十字相乘法是解题的关键．10．已知a ，b ，c 满足3a b c ++=，2224a b c ++=，则222222222a b b c c a c a b+++++=---（ ）． A ．0B ．3C ．6D ．9【答案】D【解析】【分析】将等式变形可得2224+=-a b c ，2224+=-b c a ，2224+=-a c b ，然后代入分式中，利用平方差公式和整体代入法求值即可．【详解】解：∵2224a b c ++=∴2224+=-a b c ，2224+=-b c a ，2224+=-a c b∵3a b c ++= ∴222222222+++++---a b b c c a c a b=222444222---++---c a b c a b=()()()()()()222222222-+-+-+++---c c a a b b c ab=222+++++c a b=()6+++c a b=6＋3=9故选D ．【点睛】 此题考查的是分式的化简求值题和平方差公式，掌握分式的基本性质和平方差公式是解决此题的关键．11．下列分解因式错误的是（ ）.A ．()2155531a a a a +=+B ．()()22x y x y x y --=-+- C ．()()1ax x ay y a x y +++=++D ．()()2a bc ab ac a b a c --+=-+ 【答案】B【解析】【分析】利用因式分解的定义判断即可．【详解】解：A. ()2155531a a a a +=+，正确； B. ()2222x y x y --=-+，所以此选项符合题意；C. ()()()1ax x ay y a x y x y a x y +++=+++=++ ，正确；D. ()()2()()a bc ab ac a a b c a b a b a c --+=-+-=-+，正确 故选：B.【点睛】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．12．下列因式分解正确的是（ ）A ．x 3﹣x ＝x （x 2﹣1）B ．x 2+y 2＝（x+y ）（x ﹣y ）C ．（a+4）（a ﹣4）＝a 2﹣16D ．m 2+4m+4＝（m+2）2 【答案】D【解析】【分析】逐项分解因式，即可作出判断．【详解】A 、原式＝x （x 2﹣1）＝x （x+1）（x ﹣1），不符合题意；B 、原式不能分解，不符合题意；C 、原式不是分解因式，不符合题意；D 、原式＝（m+2）2，符合题意，故选：D ．【点睛】此题主要考查了提公因式法，以及公式法在因式分解中的应用，要熟练掌握．13．不论x ,y 为任何实数，22428x y x y +--+ 的值总是（ ）A ．正数B ．负数C ．非负数D ．非正数【答案】A【解析】x²+y²－4x-2y+8=(x²－4x+4)+(y²-2y+1)+3=(x-2)2+(y-1)2+3≥3，不论x,y 为任何实数,x²+y²－4x-2y+8的值总是大于等于3，故选A.【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是要明确要判断一个算式是正数时总是将其整理成一个完全平方公式加正数的形式．14．下面式子从左边到右边的变形中是因式分解的是（ ）A ．()2212x x x x --=--B ．()()22a b a b a b +-=-C ．()()2422x x x -=+-D ．()2222a b a b ab +=++ 【答案】C【解析】根据把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解进行分析即可．【详解】A选项：等式右边不是乘积的形式，故不是因式分解，不符合题意.B选项：等式右边不是乘积的形式，故不是因式分解，不符合题意.C选项：等式右边是乘积的形式，故是因式分解，符合题意.D选项：等式右边不是乘积的形式，故不是因式分解，不符合题意.故选：C.【点睛】考查了因式分解的意义，关键是掌握因式分解的定义（把一个多项式化为几个整式的积的形式）．15．下列因式分解结果正确的是( )．A．10a3+5a2=5a(2a2+a)B．4x2-9=(4x+3)(4x-3)C．a2-2a-1=(a-1)2D．x2-5x-6=(x-6)(x+1)【答案】D【解析】【分析】A可以利用提公因式法分解因式(必须分解到不能再分解为止)，可对A作出判断；而B符合平方差公式的结构特点，因此可对B作出判断；C不符合完全平方公式的结构特点，因此不能分解，而D可以利用十字相乘法分解因式，综上所述，即可得出答案.【详解】A、原式=5a2(2a+1)，故A不符合题意；B、原式=(2x+3)(2x-3)，故B不符合题意；C、a2-2a-1不能利用完全平方公式分解因式，故C不符合题意；D、原式=(x-6)(x+1)，故D符合题意；故答案为D【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法和十字相乘法分解因式，正确掌握公式法分解因式是解题关键．16．某天数学课上，老师讲了提取公因式分解因式，放学后，小华回到家拿出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，他突然发现一道题：-12xy2+6x2y+3xy=-3xy•（4y-______）横线空格的地方被钢笔水弄污了，你认为横线上应填写（）A．2x B．-2x C．2x-1 D．-2x-l【答案】C【分析】根据题意，提取公因式-3xy ，进行因式分解即可．【详解】解：原式=-3xy×（4y-2x-1），空格中填2x-1．故选：C ．【点睛】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力．一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止，同时要注意提取公因式后各项符号的变化．17．已知a b >，a c >，若2M a ac =-，N ab bc =-，则M 与N 的大小关系是（ ） A ．M N <B ．M N =C ．M N >D ．不能确定 【答案】C【解析】【分析】计算M-N 的值，与0比较即可得答案．【详解】∵2M a ac =-，N ab bc =-，∴M-N=a(a-c)-b(a-c)=(a-b)(a-c)，∵a b >，a c >，∴a-b ＞0，a-c ＞0，∴(a-b)(a-c)＞0，∴M ＞N ，故选：C ．【点睛】本题考查整式的运算，熟练掌握运算法则并灵活运用“作差法”比较两式大小是解题关键．18．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式1a +的是（ ）A ．21a -B ．221a a ++C ．2a a +D ．22a a +-【答案】D【解析】【分析】先把各个多项式分解因式，即可得出结果．【详解】解：21(1)(1)a a a -=+-Q ， ()2221=1a a a +++2(1)a a a a +=+，22(2)(1)a a a a +-=+-，∴结果中不含有因式1a +的是选项D ；故选：D ．【点睛】本题考查了因式分解的意义与方法；熟练掌握因式分解的方法是解决问题的关键．19．已知a 、b 、c 是ABC V 的三条边，且满足22a bc b ac +=+，则ABC V 是( ) A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形【答案】C【解析】【分析】已知等式左边分解因式后，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0得到a=b ，即可确定出三角形形状．【详解】已知等式变形得：（a+b ）（a-b ）-c （a-b ）=0，即（a-b ）（a+b-c ）=0，∵a+b-c ≠0，∴a-b=0，即a=b ，则△ABC 为等腰三角形．故选C ．【点睛】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．20．下列各式分解因式正确的是（ ）A ．2112(12)(12)22a a a -=+-B ．2224(2)x y x y +=+C ．2239(3)x x x -+=-D ．222()x y x y -=- 【答案】A【解析】【分析】根据因式分解的定义以及平方差公式，完全平方公式的结构就可以求解．【详解】 A. 2112(12)(12)22a a a -=+-，故本选项正确； B. 2222224(2)(2)=+44x y x y x y x xy y +≠+++，，故本选项错误；C. 222239(3)(3)=69x x x x x x -+≠---+，，故本选项错误；D. ()22()x y x y x y -=-+，故本选项错误. 故选A.【点睛】此题考查提公因式法与公式法的综合运用，解题关键在于掌握平方差公式，完全平方公式.。

初中数学因式分解难题汇编及答案

初中数学因式分解难题汇编及答案

初中数学因式分解难题汇编及答案一、选择题1．若实数a 、b 满足a+b=5，a 2b+ab 2=-10，则ab 的值是（ ）A ．-2B ．2C ．-50D ．50【答案】A【解析】试题分析：先提取公因式ab ，整理后再把a+b 的值代入计算即可．当a+b=5时，a 2b+ab 2=ab （a+b ）=5ab=-10，解得：ab=-2．考点：因式分解的应用．2．若()()21553x kx x x --=-+，则k 的值为（ ）A ．-2B ．2C ．8D ．-8【答案】B【解析】【分析】 利用十字相乘法化简()()253215x x x x -+=--，即可求出k 的值．【详解】∵()()253215x x x x -+=--∴2k -=-解得2k =故答案为：B ．【点睛】本题考查了因式分解的问题，掌握十字相乘法是解题的关键．3．已知12,23x y xy -==，则43342x y x y -的值为( )A ．23B ．2C ．83D ．163【答案】C【解析】【分析】利用因式分解以及积的乘方的逆用将43342x y x y -变形为(xy)3(2x-y)，然后代入相关数值进行计算即可．【详解】 ∵12,23x y xy -==，∴43342x y x y -=x 3y 3(2x-y)=(xy)3(2x-y)=23×1 3=83，故选C．【点睛】本题考查了因式分解的应用，代数式求值，涉及了提公因式法，积的乘方的逆用，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．4．下列等式从左到右的变形属于因式分解的是（）A．a2﹣2a+1＝（a﹣1）2B．a（a+1）（a﹣1）＝a3﹣aC．6x2y3＝2x2•3y3D．mx﹣my+1＝m（x﹣y）+1【答案】A【解析】【分析】直接利用因式分解的定义分析得出答案．【详解】解：A、a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，从左到右的变形属于因式分解，符合题意；B、a（a+1）（a﹣1）＝a3﹣a，从左到右的变形是整式乘法，不合题意；C、6x2y3＝2x2•3y3，不符合因式分解的定义，不合题意；D、mx﹣my+1＝m（x﹣y）+1不符合因式分解的定义，不合题意；故选：A．【点睛】本题考查因式分解的意义，解题关键是熟练掌握因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，注意因式分解与整式的乘法的区别．5．下列各式中不能用平方差公式进行计算的是( )A．(m－n)(m＋n) B．(－x－y)(－x－y)C．(x4－y4)(x4＋y4) D．(a3－b3)(b3＋a3)【答案】B【解析】A.(m－n)(m＋n)，能用平方差公式计算；B.(－x－y)(－x－y)，不能用平方差公式计算；C.(x4－y4)(x4＋y4)，能用平方差公式计算；D. (a3－b3)(b3＋a3)，能用平方差公式计算.故选B.6．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A．2a2﹣2a+1=2a（a﹣1）+1 B．（x+y）（x﹣y）=x2﹣y2C．x2﹣6x+5=（x﹣5）（x﹣1）D．x2+y2=（x﹣y）2+2x【答案】C【解析】【分析】根据因式分解是将一个多项式转化为几个整式的乘积的形式，根据定义，逐项分析即可．【详解】A、2a2-2a+1=2a（a-1）+1，等号的右边不是整式的积的形式，故此选项不符合题意；B、（x+y）（x-y）=x2-y2，这是整式的乘法，故此选项不符合题意；C、x2-6x+5=（x-5）（x-1），是因式分解，故此选项符合题意；D、x2+y2=（x-y）2+2xy，等号的右边不是整式的积的形式，故此选项不符合题意；故选C．【点睛】此题考查因式分解的意义，解题的关键是看是否是由一个多项式化为几个整式的乘积的形式．7．若a2-b2=14，a-b=12，则a+b的值为（）A．-12B．1 C．12D．2【答案】C【解析】【分析】已知第二个等式左边利用平方差公式分解后，将第一个等式变形后代入计算即可求出．【详解】∵a2－b2=（a+b）(a-b)=12(a+b)=14∴a+b=1 2故选C.点睛：此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．8．已知x﹣y＝﹣2，xy＝3，则x2y﹣xy2的值为（）A．2 B．﹣6 C．5 D．﹣3【答案】B【解析】【分析】先题提公因式xy，再用公式法因式分解，最后代入计算即可．【详解】解：x 2y ﹣xy 2＝xy （x ﹣y ）＝3×（﹣2）＝﹣6，故答案为B ．【点睛】本题考查了因式分解，掌握先提取公因式、再运用公式法的解答思路是解答本题的关键．9．将多项式x 2+2xy+y 2﹣2x ﹣2y+1分解因式，正确的是（ ）A ．（x+y ）2B ．（x+y ﹣1）2C ．（x+y+1）2D ．（x ﹣y ﹣1）2 【答案】B【解析】【分析】此式是6项式，所以采用分组分解法．【详解】解：x 2+2xy+y 2﹣2x ﹣2y+1=（x 2+2xy+y 2）﹣（2x+2y ）+1=（x+y ）2﹣2（x+y ）+1=（x+y ﹣1）2．故选：B10．若a b +=1ab =，则33a b ab -的值为（ ）A ．±B ．C ．±D ．【答案】C【解析】【分析】将原式进行变形，3322()()()a b ab ab a b ab a b a b -=-=+-，然后利用完全平方公式的变形22()()4a b a b ab -=+-求得a-b 的值，从而求解． 【详解】解：∵3322()()()a b ab ab a b ab a b a b -=-=+-∴33)a b b ab a =--又∵22()()4a b a b ab -=+-∴22()414a b -=-⨯=∴2a b -=±∴33(2)a b ab =±=±-故选：C ．【点睛】本题考查因式分解及完全平方公式的灵活应用，掌握公式结构灵活变形是解题关键．11．下列因式分解正确的是（ ）A ．x 3﹣x ＝x （x 2﹣1）B ．x 2+y 2＝（x+y ）（x ﹣y ）C ．（a+4）（a ﹣4）＝a 2﹣16D ．m 2+4m+4＝（m+2）2【答案】D【解析】【分析】逐项分解因式，即可作出判断．【详解】 A 、原式＝x （x 2﹣1）＝x （x+1）（x ﹣1），不符合题意；B 、原式不能分解，不符合题意；C 、原式不是分解因式，不符合题意；D 、原式＝（m+2）2，符合题意，故选：D ．【点睛】此题主要考查了提公因式法，以及公式法在因式分解中的应用，要熟练掌握．12．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）A ．x 2+2x ﹣1=（x ﹣1）2B ．x 2+4x+4=（x+2）2C ．（a+b ）（a ﹣b ）=a 2﹣b 2D ．ax 2﹣a=a （x 2﹣1）【答案】B【解析】【分析】因式分解是指将多项式和的形式转化成整式乘积的形式,因式分解的方法有:提公因式法,套用公式法,十字相乘法,分组分解法,解决本题根据因式分解的定义进行判定.【详解】A 选项,从左到右变形错误,不符合题意,B 选项,从左到右变形是套用完全平方公式进行因式分解,符合题意,C 选项, 从左到右变形是在利用平方差公式进行计算,不符合题意,D 选项, 从左到右变形利用提公因式法分解因式,但括号里仍可以利用平方差公式继续分解,属于分解不彻底,因此不符合题意,故选B.【点睛】本题主要考查因式分解的定义,解决本题的关键是要熟练掌握因式分解的定义和方法.13．若实数x 满足2210x x --=，则322742017x x x -+-的值为( )A ．2019B ．2019-C ．2020D ．2020-【答案】D【解析】【分析】根据2210x x --=推出x 2-2x=1，然后把-7x 2分解成-4x 2-3x 2，然后把所求代数式整理成用x 2-2x 表示的形式，然后代入数据计算求解即可．解：∵x 2-2x-1=0，∴x 2-2x=1，2x 3-7x 2+4x-2017=2x 3-4x 2-3x 2+4x-2017，=2x （x 2-2x ）-3x 2+4x-2017，=6x-3x 2-2017，=-3（x 2-2x ）-2017=-3-2017=-2020故选D.【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，利用因式分解整理出已知条件的形式是解题的关键，整体代入思想的利用比较重要．14．某天数学课上，老师讲了提取公因式分解因式，放学后，小华回到家拿出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，他突然发现一道题：-12xy 2+6x 2y+3xy=-3xy•（4y-______）横线空格的地方被钢笔水弄污了，你认为横线上应填写（ ）A ．2xB ．-2xC ．2x-1D ．-2x-l【答案】C【解析】【分析】根据题意，提取公因式-3xy ，进行因式分解即可．【详解】解：原式=-3xy×（4y-2x-1），空格中填2x-1．故选：C ．【点睛】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力．一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止，同时要注意提取公因式后各项符号的变化．15．多项式22ab bc a c -+-分解因式的结果是（ ）A ．()()a c a b c -++B ．()()a c a b c -+-C ．()()a c a b c ++-D ．()()a c a b c +-+【答案】A【解析】【分析】根据提取公因式和平方差公式进行因式分解即可解答.【详解】解：22))))))=((((((+)+(ab bc a c b a c a c a c a c b a c a c a b c -+--++-=-+=-+；【点睛】本题考查了利用提取公因式和平方差公式进行因式分解，熟练掌握是解题的关键.16．若x 2+mxy+y 2是一个完全平方式，则m=（ ）A ．2B ．1C ．±1D ．±2【答案】D【解析】根据完全平方公式：(a +b )2=a 2+2ab +b 2与(a -b )2=a 2-2ab +b 2可知，要使x 2+mxy +y 2符合完全平方公式的形式，该式应为：x 2+2xy +y 2=(x +y )2或x 2-2xy +y 2=(x -y )2. 对照各项系数可知，系数m 的值应为2或-2.故本题应选D.点睛：本题考查完全平方公式的形式，应注意完全平方公式有(a +b )2、(a -b )2两种形式. 考虑本题时要全面，不要漏掉任何一种形式.17．下列由左到右边的变形中，是因式分解的是（ ）A ．（x +2）（x ﹣2）＝x 2﹣4B ．x 2﹣1＝1()x x x-C ．x 2﹣4+3x ＝（x +2）（x ﹣2）+3xD ．x 2﹣4＝（x +2）（x ﹣2）【答案】D【解析】【分析】直接利用因式分解的意义分别判断得出答案．【详解】A 、（x+2）（x-2）=x 2-4，是多项式乘法，故此选项错误；B 、x 2-1=（x+1）（x-1），故此选项错误；C 、x 2-4+3x=（x+4）（x-1），故此选项错误；D 、x 2-4=（x+2）（x-2），正确．故选D ．【点睛】此题主要考查了因式分解的意义，正确把握定义是解题关键．18．下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）A ．()()2224x x x +-=-B ．2222()a ab b a b -+=-C ．()11am bm m a b +-=+-D ．()21(1)1111x x x x ⎛⎫--=--- ⎪-⎝⎭【答案】B【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，根据因式分解的定义，即可得到本题的答案．【详解】A ．属于整式的乘法运算，不合题意；B ．符合因式分解的定义，符合题意；C ．右边不是乘积的形式，不合题意；D ．右边不是几个整式的积的形式，不合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了因式分解的定义，即将多项式写成几个因式的乘积的形式，掌握定义是解题的关键．19．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）A ．2(3)(2)6x x x x +-=+-B ．24(2)(2)x x x -=+-C ．2323824a b a b =⋅D ．1()1ax ay a x y --=-- 【答案】B【解析】【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．【详解】解：A ．是整式乘法，故A 错误；B ．是因式分解，故B 正确；C ．左边不是多项式，不是因式分解，故C 错误；D ．右边不是整式积的形式，故D 错误．故选B ．【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．20．下列因式分解正确的是（ ）A ．()22121x x x x ++=++B ．()222x y x y -=-C ．()1xy x x y -=-D ．()22211x x x +-=- 【答案】C【解析】【分析】根据平方差公式，提公因式法分解因式，完全平方公式，对各选项逐一分析判断即可得答案．A.x2+2x+1=(x+1)2，故该选项不属于因式分解，不符合题意，B.x2-y2=(x+y)(x-y)，故该选项因式分解错误，不符合题意，C.xy-x=x(y-1)，故该选项正确，符合题意，D.x2+2x-1不能因式分解，故该选项因式分解错误，不符合题意，故选：C．【点睛】本题考查因式分解，因式分解首先看是否有公因式，如果有先提取公因式，然后再利用公式法或十字相乘法进行分解，要分解到不能再分解为止．。

(完整)初二数学因式分解提高版(附答案)

(完整)初二数学因式分解提高版(附答案)

初二数学因式分解提高版（附答案）1. 有一个因式是 , 另一个因式是（ ）A. B. C. D.2、把a4－2a2b2＋b4分解因式, 结果是（ ）A.a2(a2－2b2)＋b4B.(a2－b2)2C.(a －b)4D.(a ＋b)2(a －b)23.若a2-3ab-4b2=0,则 的值为（ ）A.1B.-1C.4或-1D.- 4或14.已知 为任意整数, 且 的值总可以被 整除, 则 的值为（ ）A. 13B. 26C. 13或26D. 13的倍数5.把代数式 分解因式, 结果正确的是A. B.C. D.6.把x2－y2－2y －1分解因式结果正确的是（ ）。

A. （x ＋y ＋1）(x －y －1)B. （x ＋y －1）(x －y －1)C. （x ＋y －1）(x ＋y ＋1)D. （x －y ＋1）(x ＋y ＋1)7、分解因式: 的结果是（ ）Ａ.Ｂ. Ｃ. Ｄ. 8、因式分解: 9x2－y2－4y －4＝__________.9、若 = , 则m=_______, n=_________。

10、已知,01200520042=+++++x x x x 则.________2006=x11.若 则 ___。

12.计算 的值是（ ）13、22414y xy x +--14、811824+-x x15.16、24)4)(3)(2)(1(-++++x x x x17、1235-+-x x x18、)()()(23m n n m n m +--+19、3)2(2)2(222-+-+a a a a20、已知 , , 求 的值。

21.已知 , 求 的值22.已知 , 求 的值；23.已知 , 求 的值；24.已知 , , 求（1） ；（2）25、已知 , 求x+y 的值；26、2222224)(b a b a c ---27、先分解因式, 然后计算求值: （本题6分）（a2+b2－2ab ）－6（a －b ）+9, 其中a=10000, b=9999。

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2017 年 05 月 21 日数学（因式分解难题） 2一．填空题（共10 小题）1．已知 x+y=10， xy=16，则 x2y+xy2的值为．2．两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成 2（x﹣1）（x﹣9）；另一位同学因看错了常数项分解成2（x﹣2）（ x﹣ 4），请你将原多项式因式分解正确的结果写出来：．3．若多项式 x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值是．24．分解因式： 4x ﹣4x﹣ 3=．5．利用因式分解计算： 2022+202× 196+982= ．6．△ ABC三边 a，b，c 满足 a2+b2 +c2=ab+bc+ca，则△ ABC的形状是．7．计算： 12﹣22+32﹣ 42 +52﹣ 62 +⋯﹣ 1002+1012 = ．8．定义运算 a★b=（ 1﹣ a） b，下面给出了关于这种运算的四个结论：①2★（﹣ 2）=3②a★b=b★a③若 a+b=0，则（ a★ a） +（ b★ b） =2ab④若 a★ b=0，则 a=1 或 b=0．其中正确结论的序号是（填上你认为正确的所有结论的序号）．9．如果 1+a+a2+a3 =0，代数式 a+a2+a3 +a4+a5+a6+a7+a8= ．10．若多项式 x2﹣6x﹣ b 可化为（ x+a）2﹣1，则 b 的值是．二．解答题（共20 小题）11．已知 n 为整数，试说明（ n+7）2﹣（ n﹣3）2的值一定能被 20 整除．12．因式分解： 4x2y﹣4xy+y．13．因式分解...（1）a3﹣ab2（2）（ x﹣ y）2 +4xy．14．先阅读下面的内容，再解决问题，2 2例题：若 m+2mn+2n﹣6n+9=0，求 m和 n 的值．2 2解：∵ m+2mn+2n﹣ 6n+9=02 2 2∴m+2mn+n+n﹣6n+9=0∴（ m+n）2+（n﹣ 3）2=0∴m+n=0， n﹣3=0∴m=﹣ 3， n=3问题：（1）若 x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，求 x y的值．（2）已知△ ABC的三边长 a， b， c 都是正整数，且满足a2 +b2﹣ 6a﹣6b+18+|3 ﹣c|=0 ，请问△ ABC是怎样形状的三角形？15．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如 4=22﹣ 02，12=42﹣22，20=62﹣ 42，因此 4，12， 20 这三个数都是和谐数．（1）36 和 2016 这两个数是和谐数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为 2k+2 和 2k（其中 k 取非负整数），由这两个连续偶数构造的和谐数是 4 的倍数吗？为什么？（3）介于 1 到 200 之间的所有“和谐数”之和为．16．如图 1，有若干张边长为 a 的小正方形①、长为 b 宽为 a 的长方形②以及边长为 b 的大正方形③的纸片．...（1）如果现有小正方形① 1 张，大正方形③ 2 张，长方形② 3 张，请你将它们拼成一个大长方形（在图 2 虚线框中画出图形），并运用面积之间的关系，将多项式 a2+3ab+2b2分解因式．（2）已知小正方形①与大正方形③的面积之和为169，长方形②的周长为34，求长方形②的面积．（3）现有三种纸片各8 张，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），求可以拼成多少种边长不同的正方形．17．（ 1）有若干块长方形和正方形硬纸片如图 1 所示，用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2．①用两种不同的方法，计算图 2 中长方形的面积；②由此，你可以得出的一个等式为：．（2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图 3 所示．①请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图；②请你用拼图等方法推出2a2+5ab+2b2因式分解的结果，画出你的拼图．18．已知 a+b=1， ab=﹣1，设 s1=a+b， s2 =a2+b2，s3=a3 +b3，⋯，sn=a n +b n...（1）计算 s2；（2）请阅读下面计算s3 的过程：因为 a+b=1，ab=﹣1，所以 s3=a3+b3=（ a+b）（ a2+b2）﹣ ab（ a+b）=1× s2﹣（﹣ 1）=s2+1=你读懂了吗？请你先填空完成（ 2）中 s3 的计算结果，再用你学到的方法计算 s4 ．（3）试写出 sn﹣ 2，sn﹣ 1， sn 三者之间的关系式；（4）根据（ 3）得出的结论，计算s6 ．219．（1）利用因式分解简算：9.8 +0.4 ×9.8+0.0420．阅读材料：若2 2m﹣ 2mn+2n﹣8n+16=0，求 m、n 的值．2 2 2 2 2解：∵ m﹣2mn+2n﹣8n+16=0，∴（ m﹣2mn+n）+（n ﹣8n+16）=0∴（ m﹣n）2 +（n﹣4）2 =0，∴（ m﹣n）2=0，（ n﹣4）2 =0，∴ n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知 x2+2xy+2y2+2y+1=0，求 x﹣y 的值．（2）已知△ ABC的三边长 a、 b、 c 都是正整数，且满足a2+b2﹣ 6a﹣8b+25=0，求△ ABC的最大边 c 的值．（3）已知 a﹣b=4，ab+c2﹣6c+13=0，则 a﹣b+c= ．21．仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2﹣ 4x+m 有一个因式是（ x+3），求另一个因式以及m 的值．2 2 2解：设另一个因式为（x+n），得 x ﹣ 4x+m=（x+3）（ x+n），则 x ﹣4x+m=x+（n+3）...x+3n∴n+3=﹣4m=3n 解得： n=﹣7，m=﹣21∴另一个因式为（ x ﹣7）， m的值为﹣ 21．问题：（1）若二次三项式 x2﹣5x+6 可分解为（ x﹣2）（x+a），则 a= ；（2）若二次三项式2可分解为（ 2x﹣1）（ x+5），则 b=；2x +bx﹣5（3）仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+5x﹣ k 有一个因式是（2x﹣ 3），求另一个因式以及k 的值．22．分解因式：（1）2x2﹣x；（2）16x2﹣ 1；（3）6xy2﹣ 9x2y﹣y 3；（4）4+12（x﹣ y） +9（x﹣y）2．23．已知 a，b，c 是三角形的三边，且满足（a+b+c）2 =3（a2+b2+c2），试确定三角形的形状．24．分解因式（1）2x4﹣4x2y2+2y4（2）2a3﹣4a2b+2ab2．25．图①是一个长为2m、宽为 2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．（1）图②中的阴影部分的面积为；（2）观察图②请你写出三个代数式（m+n）2、（m﹣ n）2、mn 之间的等量关系是．（3）若 x+y=7，xy=10，则（ x﹣y）2 = ．（4）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．...如图③，它表示了．（5）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（26．已知 a、b、c 满足 a﹣b=8，ab+c2+16=0，求27．已知：一个长方体的长、宽、高分别为正整数a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006，求：这个长方体的体积．28．（x2﹣4x）2﹣2（ x2﹣ 4x）﹣ 15．2 2 m+n）（ m+3n） =m+4mn+3n．2a+b+c 的值．a 、b 、c ，且满足29．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（x+1）+x（x+1）2=（ 1+x）[1+x+x （x+1）]=（ 1+x）2（ 1+x）=（ 1+x）3（1）上述分解因式的方法是，共应用了次．（2）若分解 1+x+x（x+1）+x（x+1）2+⋯+x（x+1）2004，则需应用上述方法次，结果是．（3）分解因式： 1+x+x（x+1）+x（x+1）2+⋯+x（ x+1）n（ n 为正整数）．30．对于多项式 x3﹣5x2+x+10，如果我们把 x=2 代入此多项式，发现多项式x3﹣5x2 +x+10=0，这时可以断定多项式中有因式（ x﹣ 2）（注：把 x=a 代入多项式能使多项式的值为 0，则多项式含有因式（ x﹣a）），于是我们可以把多项式写成： x3﹣5x2+x+10=（ x﹣ 2）（x2+mx+n），...（1）求式子中 m、n 的值；（2）以上这种因式分解的方法叫试根法，用试根法分解多项式x3﹣ 2x2﹣ 13x ﹣10 的因式．...2017 年 05 月 21 日数学（因式分解难题） 2参考答案与试题解析一．填空题（共10 小题）1．（2016 秋 ?望谟县期末）已知x+y=10，xy=16，则 x2y+xy2的值为160 ．【分析】首先提取公因式xy ，进而将已知代入求出即可．【解答】解：∵ x+y=10，xy=16，2 2∴x y+xy =xy（x+y） =10× 16=160．故答案为： 160．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．2．（2016 秋?新宾县期末）两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成 2（ x﹣ 1）（x﹣9）；另一位同学因看错了常数项分解成 2（x﹣2）（x﹣4），请你将原多项式因式分解正确的结果写出来：2（x ﹣3）2．【分析】根据多项式的乘法将2（x﹣1）（x﹣9）展开得到二次项、常数项；将2（ x﹣ 2）（x﹣ 4）展开得到二次项、一次项．从而得到原多项式，再对该多项式提取公因式 2 后利用完全平方公式分解因式．【解答】解：∵ 2（ x﹣ 1）（x﹣9）=2x2﹣20x+18；2（ x﹣ 2）（x﹣4）=2x2﹣ 12x+16；∴原多项式为 2x2﹣ 12x+18．2x2﹣ 12x+18=2（x2﹣ 6x+9）=2（x﹣3）2．【点评】根据错误解法得到原多项式是解答本题的关键．二次三项式分解因式，看错了一次项系数，但二次项、常数项正确；看错了常数项，但二次项、一次...项正确．3．（2015 春 ?昌邑市期末）若多项式x2 +mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值是±4 ．【分析】利用完全平方公式（ a+b）2=（a﹣b）2+4ab、（ a﹣ b）2=（a+b）2﹣ 4ab计算即可．【解答】解：∵ x2 +mx+4=（x±2）2，2 2即 x +mx+4=x±4x+4，∴m=± 4．故答案为：± 4．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟记有关完全平方的几个变形公式是解题关键．4．（2015 秋 ?利川市期末）分解因式： 4x2﹣ 4x﹣3= （2x﹣ 3）（2x+1）．【分析】ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解，这种方法的关键是把二次项系数 a 分解成两个因数 a1， a2 的积 a1?a2，把常数项 c 分解成两个因数 c1， c2 的积c1?c2，并使 a1c2+a2c1 正好是一次项 b，那么可以直接写成结果： ax2 +bx+c= （a1x+c1）（a2x+c2），进而得出答案．2【解答】解： 4x ﹣4x﹣3=（ 2x﹣3）（2x+1）．【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确分解各项系数是解题关键．5．（2015 春?东阳市期末）利用因式分解计算： 2022+202×196+982= 90000 ．【分析】通过观察，显然符合完全平方公式．【解答】解：原式 =2022+2x202x98+982 =（ 202+98）2...=3002=90000．【点评】运用公式法可以简便计算一些式子的值．6．（2015 秋 ?浮梁县校级期末）△ ABC三边 a，b，c 满足 a2+b2+c2=ab+bc+ca，则△ ABC的形状是等边三角形．【分析】分析题目所给的式子，将等号两边均乘以 2，再化简得（ a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2=0，得出： a=b=c，即选出答案．【解答】解：等式 a2+b2+c2 =ab+bc+ac等号两边均乘以 2 得：2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ac，即a2﹣ 2ab+b2+a2﹣2ac+c2+b2﹣ 2bc+c2=0，即（ a﹣b）2 +（a﹣c）2 +（ b﹣ c）2=0，解得： a=b=c，所以，△ ABC是等边三角形．故答案为：等边三角形．【点评】此题考查了因式分解的应用；利用等边三角形的判定，化简式子得a=b=c，由三边相等判定△ ABC是等边三角形．7．（2015 秋 ?鄂托克旗校级期末）计算：12﹣22+32﹣42 +52﹣62 +⋯﹣ 1002+1012= 5151 ．【分析】通过观察，原式变为 1+（32﹣22） +（ 52﹣ 42）+（1012﹣ 1002），进一步运用高斯求和公式即可解决．【解答】解： 12﹣ 22 +32﹣ 42 +52﹣ 62 +⋯﹣1002+1012 =1+（32﹣22）+（52﹣ 42）+（1012﹣ 1002）=1+（3+2）+（5+4） +（7+6） +⋯+（101+100）=（ 1+101）× 101÷ 2...=5151．故答案为： 5151．【点评】此题考查因式分解的实际运用，分组分解，利用平方差公式解决问题．8．（2015 秋?乐至县期末）定义运算 a★b=（1﹣a）b，下面给出了关于这种运算的四个结论：①2★（﹣ 2）=3②a★b=b★a③若 a+b=0，则（ a★ a） +（ b★ b） =2ab④若 a★ b=0，则 a=1 或 b=0．其中正确结论的序号是③④（填上你认为正确的所有结论的序号）．【分析】根据题中的新定义计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：① 2★（﹣ 2）=（1﹣2）×（﹣ 2）=2，本选项错误；②a★b=（1﹣a）b，b★a=（1﹣b）a，故 a★ b 不一定等于 b★ a，本选项错误；③若a+b=0，则（ a★a）+（b★b）=（1﹣a）a+（ 1﹣ b） b=a﹣a2+b﹣ b2 =﹣ a22 2﹣b =﹣2a =2ab，本选项正确；④若 a★ b=0，即（ 1﹣a）b=0，则 a=1 或 b=0，本选项正确，其中正确的有③④．故答案为③④．【点评】此题考查了整式的混合运算，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．9．（2015 春?张掖校级期末）如果 1+a+a2 +a3=0，代数式 a+a2+a3+a4+a5+a6 +a7+a8= 0．【分析】 4 项为一组，分成 2 组，再进一步分解因式求得答案即可．【解答】解：∵ 1+a+a2+a3=0，...∴a+a2+a3+a4 +a5+a6 +a7+a8，=a（1+a+a2+a3） +a5（ 1+a+a2+a3），=0+0，=0．故答案是： 0．【点评】此题考查利用因式分解法求代数式的值，注意合理分组解决问题．10．（2015 春?昆山市期末）若多项式 x2﹣ 6x﹣b 可化为（ x+a）2﹣ 1，则 b 的值是﹣8．【分析】利用配方法进而将原式变形得出即可．222【解答】解：∵ x ﹣6x﹣ b=（x﹣3）﹣9﹣b=（ x+a）﹣1，解得： a=﹣3，b=﹣ 8．故答案为：﹣ 8．【点评】此题主要考查了配方法的应用，根据题意正确配方是解题关键．二．解答题（共20 小题）11．已知 n 为整数，试说明（ n+7）2﹣（ n﹣3）2的值一定能被 20 整除．【分析】用平方差公式展开（ n+7）2﹣（ n﹣3）2，看因式中有没有20 即可．【解答】解：（n+7）2﹣（ n﹣3）2 =（ n+7+n﹣3）（n+7﹣n+3）=20（ n+2），∴（ n+7）2﹣（ n﹣3）2的值一定能被 20 整除．【点评】主要考查利用平方差公式分解因式．公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．12．（2016 秋?农安县校级期末）因式分解：4x2 y﹣ 4xy+y．【分析】先提取公因式 y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．【解答】解： 4x2y﹣4xy+y...=y（4x2﹣4x+1）=y（2x﹣1）2．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．13．（2015 秋?成都校级期末）因式分解32（1）a ﹣ab（2）（ x﹣ y）2 +4xy．【分析】（ 1）原式提取 a，再利用平方差公式分解即可；（2）原式利用完全平方公式分解即可．22【解答】解：（1）原式 =a（a ﹣ b ）=a（ a+b）（ a﹣ b）；22222（2）原式 =x ﹣2xy+y +4xy=x +2xy+y =（ x+y）．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．14．（2015 春?甘肃校级期末）先阅读下面的内容，再解决问题，2 2例题：若 m+2mn+2n﹣6n+9=0，求 m和 n 的值．2 2解：∵ m+2mn+2n﹣ 6n+9=02 2 2∴m+2mn+n+n﹣6n+9=0∴（ m+n）2+（n﹣ 3）2=0∴m+n=0， n﹣3=0∴m=﹣ 3， n=3问题：（1）若 x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，求 x y的值．（2）已知△ ABC的三边长 a， b， c 都是正整数，且满足a2 +b2﹣ 6a﹣6b+18+|3 ...﹣c|=0 ，请问△ ABC是怎样形状的三角形？【分析】（ 1）首先把x2+2y2﹣ 2xy+4y+4=0，配方得到（ x﹣y）2+（y+2）2=0，再根据非负数的性质得到x=y=﹣2，代入求得数值即可；（2）先把 a2+b2﹣6a﹣ 6b+18+|3﹣c|=0 ，配方得到（ a﹣ 3）2+（b﹣3）2+|3 ﹣c|=0 ，根据非负数的性质得到a=b=c=3，得出三角形的形状即可．【解答】解：（1）∵ x2+2y2﹣2xy+4y+4=02 2 2∴x +y ﹣2xy+y +4y+4=0，∴（ x﹣y）2 +（y+2）2=0∴x=y=﹣2∴；22（2）∵ a +b ﹣6a﹣ 6b+18+|3﹣c|=0 ，22∴a ﹣6a+9+b﹣ 6b+9+|3 ﹣ c|=0 ，22∴（ a﹣3） +（b﹣3） +|3 ﹣c|=0∴a=b=c=3∴三角形 ABC是等边三角形．【点评】此题考查了配方法的应用：通过配方，把已知条件变形为几个非负数的和的形式，然后利用非负数的性质得到几个等量关系，建立方程求得数值解决问题．15．（2015 秋?太和县期末）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如 4=22﹣02，12=42﹣ 22，20=62﹣42，因此 4，12，20 这三个数都是和谐数．（1）36 和 2016 这两个数是和谐数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2 和 2k（其中 k 取非负整数），由这两个连续偶数构造的和谐数是 4 的倍数吗？为什么？...（3）介于 1 到 200 之间的所有“和谐数”之和为2500 ．【分析】（ 1）利用 36=102﹣82； 2016=5052﹣ 5032说明 36 是“和谐数”，2016 不是“和谐数”；（2）设两个连续偶数为 2n，2n+2（n 为自然数），则“和谐数”=（2n+2）2﹣（ 2n）2，利用平方差公式展开得到（ 2n+2+2n）（2n+2﹣2n）=4（ 2n+1），然后利用整除性可说明“和谐数”一定是 4 的倍数；2 2（3）介于 1 到 200 之间的所有“和谐数”中，最小的为： 2 ﹣0 =4，最大的为：22【解答】解：（1）36 是“和谐数”，2016 不是“和谐数”．理由如下：2222（2）设两个连续偶数为2k+2 和 2k（n 为自然数），∵（ 2k+2）2﹣（ 2k）2=（2k+2+2k）（ 2k+2﹣ 2k）=（ 4k+2）× 2=4（2k+1），∵4（2k+1）能被 4 整除，∴“和谐数”一定是 4 的倍数；（3）介于 1 到 200 之间的所有“和谐数”之和，S=（22﹣ 02）+（ 42﹣22）+（62﹣ 42）+⋯+（502﹣482）=502=2500．故答案是： 2500．【点评】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解把所求的代数式进行变形，从而达到使计算简化．16．（2015 春?兴化市校级期末）如图 1，有若干张边长为 a 的小正方形①、长为 b 宽为 a 的长方形②以及边长为 b 的大正方形③的纸片．...（1）如果现有小正方形① 1 张，大正方形③ 2 张，长方形② 3 张，请你将它们拼成一个大长方形（在图 2 虚线框中画出图形），并运用面积之间的关系，将多项式 a2+3ab+2b2分解因式．（2）已知小正方形①与大正方形③的面积之和为 169，长方形②的周长为 34，求长方形②的面积．（3）现有三种纸片各8 张，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），求可以拼成多少种边长不同的正方形．【分析】（ 1）根据小正方形① 1 张，大正方形③ 2 张，长方形② 3 张，直接画出图形，利用图形分解因式即可；（2）由长方形②的周长为34，得出 a+b=17，由题意可知：小正方形①与大正方形③的面积之和为 a2+b2=169，将 a+b=17 两边同时平方，可求得 ab 的值，从而可求得长方形②的面积；（3）设正方形的边长为（ na+mb），其中（ n、 m为正整数）由完全平方公式可2 2 2 2 2知：（na+mb）=n a +2nmab+m．因为现有三种纸片各 8张，2 2n ≤8，m≤8，2mn≤8（n、m为正整数）从而可知 n≤2，m≤2，从而可得出答案．【解答】解：（1）如图：...拼成边为（ a+2b）和（ a+b）的长方形∴a2+3ab+2b2=（ a+2b）（a+b）；（2）∵长方形②的周长为34，∴a+b=17．∵小正方形①与大正方形③的面积之和为169，∴a2+b2=169．将a+b=17 两边同时平方得：（ a+b）2=172，整理得： a2+2ab+b2=289，∴2ab=289﹣169，∴ab=60．∴长方形②的面积为60．（3）设正方形的边长为（na+mb），其中（ n、m为正整数）2 2 2 2 2∴正方形的面积 =（ na+mb） =n a +2nmab+m ．∵现有三种纸片各8 张，2 2∴n ≤8，m≤8，2mn≤ 8（ n、 m为正整数）∴n≤2，m≤2．∴共有以下四种情况；①n=1，m=1，正方形的边长为a+b；②n=1，m=2，正方形的边长为a+2b；③n=2，m=1，正方形的边长为2a+b；④n=2，m=2，正方形的边长为2a+2b．【点评】此题考查因式分解的运用，要注意结合图形解决问题，解题的关键是...灵活运用完全平方公式．17．（2014 秋?莱城区校级期中）（1）有若干块长方形和正方形硬纸片如图 1 所示，用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2．①用两种不同的方法，计算图 2 中长方形的面积；②由此，你可以得出的一个等式为：a2+2a+1 = （a+1）2．（2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图 3 所示．①请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图；②请你用拼图等方法推出 2a2+5ab+2b2因式分解的结果，画出你的拼图．【分析】（ 1）要能根据所给拼图运用不同的计算面积的方法，来推导公式；（2）要能根据等式画出合适的拼图．2 2【解答】解：（1）①长方形的面积 =a +2a+1；长方形的面积 =（a+1）；②a2+2a+1=（a+1）2；222（2）①如图，可推导出（a+b） =a +2ab+b；22②2a +5ab+2b=（2a+b）（a+2b）．【点评】本题考查运用正方形或长方形的面积计算推导相关的一些等式；运用图形的面积计算的不同方法得到多项式的因式分解．...18．（2013 秋?海淀区校级期末）已知 a+b=1，ab=﹣1，设 s1=a+b，s2=a2+b2， s3 =a3+b3，⋯，sn=a n+b n（1）计算 s2；（2）请阅读下面计算s3 的过程：因为 a+b=1，ab=﹣1，所以 s3=a3+b3=（ a+b）（ a2+b2）﹣ ab（ a+b）=1× s2﹣（﹣ 1）=s2+1= 4你读懂了吗？请你先填空完成（ 2）中 s3 的计算结果，再用你学到的方法计算 s4 ．（3）试写出 sn﹣ 2，sn﹣ 1， sn 三者之间的关系式；（4）根据（ 3）得出的结论，计算s6 ．【分析】（1）（2）利用完全平方公式进行化简，然后代入 a+b，ab 的值，即可推出结论；（3）根据（ 1）所推出的结论，即可推出 Sn ﹣2+Sn﹣ 1=Sn ；（4）根据（ 3）的结论，即可推出 a6 +b6=S6=S4+S5=2S4+S3．【解答】解：（1）S2=a2 +b2=（a+b）2﹣2ab=3；22322333（2）∵（ a +b ）（a+b）=a +ab +a b+b =a +b +ab（a+b），∴a3+b3=4，即 S3=4；2222∵S4=（a +b ）﹣2（ ab） =7，...（3）∵S2=3，S3=4，S4=7，∴S2+S3=S4，∴Sn﹣ 2+Sn ﹣1=Sn；（3）∵ Sn﹣ 2+Sn ﹣1=Sn， S2 =3，S3=4，S4=7，∴S5=4+7=11，∴S6=7+11=18．【点评】本题主要考查整式的混合运算、完全平方公式的运用，关键在于根据题意推出S2=3， S3 =4，S4=7，分析归纳出规律： Sn﹣ 2 +Sn﹣ 1=Sn．219．（2013 春?重庆校级期末）（ 1）利用因式分解简算： 9.8 +0.4 × 9.8+0.04【分析】（ 1）利用完全平方公式因式分解计算即可；（2）先利用提取公因式法，再利用完全平方公式因式分解即可．【解答】解：（1）原式 =9.8 2+2×0.2 × 9.8+0.2 2=（ 9.8+0.2 ）2=100；（2）4a（ a﹣1）2﹣（ 1﹣a）=（ a﹣ 1）（4a2﹣4a+1）=（ a﹣ 1）（2a﹣ 1）2．【点评】此题考查因式分解的实际运用，掌握平方差公式和完全平方公式是解决问题的关键．20．（2013 春?惠山区校级期末）阅读材料：若2 2m﹣ 2mn+2n﹣8n+16=0，求 m、n的值．2 2 2 2 2 解：∵ m﹣2mn+2n﹣ 8n+16=0，∴（ m﹣2mn+n）+（n ﹣8n+16）=0...∴（ m﹣n）2 +（n﹣4）2 =0，∴（ m﹣n）2=0，（ n﹣4）2 =0，∴ n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知 x2+2xy+2y2+2y+1=0，求 x﹣y 的值．（2）已知△ ABC的三边长 a、 b、 c 都是正整数，且满足 a2+b2﹣ 6a﹣8b+25=0，求△ ABC 的最大边 c 的值．（3）已知 a﹣b=4，ab+c2﹣6c+13=0，则 a﹣b+c= 7 ．【分析】（1）将多项式第三项分项后，结合并利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0 求出 x 与 y 的值，即可求出 x﹣y 的值；（2）将已知等式 25 分为 9+16，重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为 0，两非负数分别为 0 求出 a 与 b 的值，根据边长为正整数且三角形三边关系即可求出 c 的长；（3）由 a﹣ b=4，得到 a=b+4，代入已知的等式中重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0 求出 b 与 c 的值，进而求出 a 的值，即可求出a﹣b+c 的值．【解答】解：（1）∵ x2+2xy+2y2+2y+1=02 2 2∴（ x +2xy+y ） +（ y +2y+1）=0∴（ x+y）2+（y+1）2=0∴x+y=0 y+1=0解得 x=1，y=﹣1∴x﹣y=2；（2）∵ a2+b2﹣6a﹣ 8b+25=0∴（ a2﹣ 6a+9）+（b2﹣ 8b+16）=0∴（ a﹣3）2 +（b﹣4）2 =0∴a﹣3=0，b﹣4=0解得 a=3，b=4∵三角形两边之和＞第三边...∴c＜a+b，c＜3+4∴c＜7，又 c 是正整数，∴c 最大为 6；（3）∵ a﹣b=4，即 a=b+4，代入得：（ b+4）b+c2﹣ 6c+13=0，整理得：（ b2 +4b+4）+（c2﹣6c+9）=（b+2）2+（c﹣ 3）2=0，∴b+2=0，且 c﹣3=0，即 b=﹣ 2， c=3，a=2，则a﹣b+c=2﹣（﹣ 2）+3=7．故答案为： 7．【点评】此题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．21．（2012 秋?温岭市校级期末）仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式 x2﹣ 4x+m 有一个因式是（ x+3），求另一个因式以及 m 的值．2 2 2解：设另一个因式为（x+n），得 x ﹣ 4x+m=（x+3）（ x+n），则 x ﹣4x+m=x+（n+3）x+3n∴n+3=﹣4m=3n 解得： n=﹣7，m=﹣21∴另一个因式为（ x ﹣7）， m的值为﹣ 21．问题：（1）若二次三项式x2﹣5x+6 可分解为（ x﹣2）（x+a），则 a= ﹣3 ；（2）若二次三项式2x2 +bx﹣5 可分解为（ 2x﹣1）（ x+5），则 b= 9 ；（3）仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+5x﹣ k 有一个因式是（2x﹣ 3），求另一个因式以及k 的值．【分析】（ 1）将（ x ﹣2）（ x+a）展开，根据所给出的二次三项式即可求出 a 的值；...（2）（ 2x﹣1）（ x+5）展开，可得出一次项的系数，继而即可求出 b 的值；（3）设另一个因式为（ x+n），得 2x2 +5x﹣k=（ 2x﹣3）（ x+n）=2x2+（2n﹣3）x﹣ 3n，可知 2n﹣ 3=5，k=3n，继而求出 n 和 k 的值及另一个因式．2 2 【解答】解：（1）∵（ x﹣ 2）（x+a） =x +（a﹣2）x﹣2a=x ﹣5x+6，∴a﹣2=﹣ 5，22（2）∵（ 2x﹣1）（ x+5）=2x +9x﹣ 5=2x +bx﹣5，（3）设另一个因式为（ x+n），得 2x2 +5x﹣k=（ 2x﹣3）（ x+n）=2x2+（2n﹣3）x﹣ 3n，则2n﹣3=5，k=3n，解得： n=4，k=12，故另一个因式为（ x+4），k 的值为 12．故答案为：（1）﹣ 3；（ 2 分）（2）9；（2 分）（ 3）另一个因式是 x+4，k=12（6分）．【点评】本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．22．（2012 春?郯城县期末）分解因式：2（1）2x ﹣x；（2）16x2﹣ 1；（3）6xy2﹣ 9x2y﹣y 3；（4）4+12（x﹣ y） +9（x﹣y）2．...【分析】（ 1）直接提取公因式x 即可；（2）利用平方差公式进行因式分解；（3）先提取公因式﹣ y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解；（4）把（ x﹣y）看作整体，利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：（1）2x2﹣x=x（2x﹣1）；2（2）16x ﹣ 1=（4x+1）（ 4x﹣1）；223（3）6xy ﹣ 9x y﹣y ，22=﹣ y（ 9x ﹣ 6xy+y ），=﹣ y（ 3x﹣y）2；2（4）4+12（x﹣ y） +9（x﹣y），=（ 3x﹣3y+2）2．【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，是因式分解的常用方法，难点在（ 3），提取公因式﹣ y 后，需要继续利用完全平方公式进行二次因式分解．23．（ 2012 春?碑林区校级期末）已知 a，b，c 是三角形的三边，且满足（ a+b+c）2222【分析】将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题．【解答】解：∵（ a+b+c）2=3（ a2 +b2+c2），∴a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，=3a2+3b2+3c2， a2 +b2﹣ 2ab+b2+c2﹣2bc+a2+c2﹣ 2ac=0，即（ a﹣b）2 +（b﹣c）2 +（ c﹣ a）2=0，...∴a﹣b=0，b﹣c=0， c﹣a=0，∴a=b=c，故△ ABC为等边三角形．【点评】本题考查了配方法的运用，非负数的性质，等边三角形的判断．关键是将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题．24．（2011 秋?北辰区校级期末）分解因式4224（1）2x ﹣4x y +2y（2）2a3﹣4a2b+2ab2．【分析】（ 1）原式提取公因式后，利用平方差公式分解即可；（2）原式提取公因式，利用完全平方公式分解即可．4224【解答】解：（1）2x ﹣4x y +2y=2（x2﹣ y2）2=2（x+y）2（x﹣y）2；（2）2a3﹣4a2b+2ab2=2a（a2﹣2ab+b2）=2a（a﹣b）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，提取公因式后利用公式进行二次分解，注意分解要彻底．25．（2011 秋?苏州期末）图①是一个长为2m、宽为 2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．（1）图②中的阴影部分的面积为（m﹣n）2；（2）观察图②请你写出三个代数式（m+n）2、（m﹣ n）2、mn 之间的等量关系...是（ m+n）2﹣（ m﹣ n）2=4mn ．（3）若 x+y=7，xy=10，则（ x﹣y）2 = 9 ．（4）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图③，它表示了2 2．（ m+n）（ 2m+n） =2m+3mn+n（5）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（2 2 m+n）（ m+3n） =m+4mn+3n．【分析】（ 1）可直接用正方形的面积公式得到．（2）掌握完全平方公式，并掌握和与差的区别．（3）此题可参照第（ 2）题．（4）可利用各部分面积和=长方形面积列出恒等式．（5）可参照第（ 4）题画图．【解答】解：（1）阴影部分的边长为（ m﹣n），阴影部分的面积为（ m﹣n）2；（2）（ m+n）2﹣（ m﹣ n）2=4mn；（3）（ x﹣ y）2 =（ x+y）2﹣ 4xy=72﹣ 40=9；2 2（4）（ m+n）（2m+n） =2m+3mn+n；（5）答案不唯一：例如：...．【点评】本题考查了因式分解的应用，解题关键是认真观察题中给出的图示，用不同的形式去表示面积，熟练掌握完全平方公式，并能进行变形．226．（ 2009 秋?海淀区期末）已知 a、b、c 满足 a﹣ b=8，ab+c +16=0，求 2a+b+c 的值．【分析】本题乍看下无法代数求值，也无法进行因式分解；但是将已知的两个式子进行适当变形后，即可找到本题的突破口．由 a﹣b=8 可得 a=b+8；将其代入 ab+c2+16=0得： b2 +8b+c2+16=0；此时可发现 b2+8b+16正好符合完全平方公式，因此可用非负数的性质求出 b、 c 的值，进而可求得 a 的值；然后代值运算即可．【解答】解：因为 a﹣b=8，所以 a=b+8．（1 分）又ab+c2+16=0，2所以（ b+8）b+c +16=0．（2 分）22即（ b+4） +c =0．又（ b+4）2≥0，c2≥ 0，则b=﹣4，c=0．（ 4 分）所以 a=4，（ 5 分）所以 2a+b+c=4．（ 6 分）【点评】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了非负数的性质以及代...数式求值的方法．27．（2010 春?北京期末）已知：一个长方体的长、宽、高分别为正整数a、b、c，且满足 a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006，求：这个长方体的体积．【分析】我们可先将 a+b+c+ab+bc+ac+abc分解因式可变为（ a+1）（b+1）（c+1）﹣1，就得（1+b）（c+1）（a+1）=2007，由于 a、b、c 均为正整数，所以（a+1）、（b+1）、（c+1）也为正整数，而 2007 只可分解为 3×3×223，可得（a+1）、（b+1）、（c+1）的值分别为 3、3、223，所以 a、b、c 值为 2、2、222．就可求出长方体体积abc 了．【解答】解：原式可化为： a+ab+c+ac+ab+abc+b+1﹣1=2006，a（ 1+b）+c（1+b） +ac（1+b）+（1+b）﹣ 1=2006，（1+b）（a+c+ac）+（1+b）=2007，（1+b）（c+1+a+ac） =2007，（1+b）（c+1）（ a+1）=2007，2007 只能分解为 3× 3×223∴（ a+1）、（b+1）、（ c+1）也只能分别为 3、3、223∴a、b、c 也只能分别为 2、2、222 ∴长方体的体积abc=888．【点评】本题考查了三次的分解因式，做题当中用加减项的方法，使式子满足分解因式．28．（2007 秋?普陀区校级期末）（x2﹣4x）2﹣ 2（x2﹣4x）﹣ 15．【分析】把（x2﹣ 4x）看作一个整体，先把﹣ 15 写成 3×（﹣ 5），利用十字相乘法分解因式，再把 3 写成（﹣ 1）×（﹣ 3），﹣5 写成 1×（﹣ 5），分别利用十字相乘法分解因式即可．...【解答】解：（x2﹣4x）2﹣ 2（ x2﹣4x）﹣ 15，=（ x2﹣4x+3）（x2﹣ 4x﹣5），=（ x﹣ 1）（x﹣3）（ x+1）（ x﹣ 5）．【点评】本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程，本题需要进行多次因式分解，分解因式一定要彻底．29．（2007 春?镇海区期末）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（x+1）+x（x+1）2=（ 1+x）[1+x+x （x+1）]=（ 1+x）2（ 1+x）=（ 1+x）3（1）上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了 2 次．（2）若分解 1+x+x（x+1）+x（ x+1）2+⋯+x（x+1）2004，则需应用上述方法2004 次，结果是（ 1+x）2005．（3）分解因式： 1+x+x（x+1）+x（x+1）2+⋯+x（ x+1）n（ n 为正整数）．【分析】此题由特殊推广到一般，要善于观察思考，注意结果和指数之间的关系．【解答】解：（1）上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了 2 次．（2）需应用上述方法2004 次，结果是（ 1+x）2005．（3）解：原式 =（1+x）[1+x+x （ x+1）]+x （x+1）3+⋯+x（ x+1）n，=（ 1+x）2（ 1+x） +x（x+1）3+⋯+x（x+1）n，=（ 1+x）3+x（x+1）3+⋯+x（ x+1）n，=（ x+1）n+x（x+1）n，...=（ x+1）n+1．【点评】本题考查了提公因式法分解因式的推广，要认真观察已知所给的过程，弄清每一步的理由，就可进一步推广．30．（2007 春?射洪县校级期末）对于多项式x3﹣5x2+x+10，如果我们把x=2 代入此多项式，发现多项式 x3﹣ 5x2+x+10=0，这时可以断定多项式中有因式（x﹣2）（注：把 x=a 代入多项式能使多项式的值为 0，则多项式含有因式（x﹣a）），于是我们可以把多项式写成： x3﹣5x2 +x+10=（x﹣2）（x2+mx+n），（1）求式子中 m、n 的值；（2）以上这种因式分解的方法叫试根法，用试根法分解多项式 x3﹣ 2x2﹣ 13x ﹣10 的因式．【分析】（ 1）根据（ x﹣2）（x2+mx+n）=x3+（m﹣2）x2+（n﹣2m）x﹣2n，得出有关 m，n 的方程组求出即可；（2）由把 x=﹣1 代入 x3﹣2x2﹣13x﹣ 10，得其值为 0，则多项式可分解为（x+1）（x2+ax+b）的形式，进而将多项式分解得出答案．2 3 2【解答】解：（1）方法一：因（ x﹣2）（x +mx+n）=x +（ m﹣ 2） x +（n﹣2m）x﹣2n，=x3﹣ 5x2+x+10，（2 分）所以，解得： m=﹣3，n=﹣ 5（ 5 分），方法二：在等式 x3﹣ 5x2+x+10=（x﹣2）（x2+mx+n）中，分别令x=0，x=1，即可求出： m=﹣ 3， n=﹣5（注：不同方法可根据上面标准酌情给分）（2）把 x=﹣1 代入 x3﹣2x2﹣13x﹣ 10，得其值为 0，...WORD 格式专业资料整理则多项式可分解为（ x+1）（x 2+ax+b ）的形式，（7 分）用上述方法可求得： a=﹣3，b=﹣ 10，（8 分）所以 x 3﹣2x 2 ﹣13x ﹣10=（x+1）（x 2﹣ 3x ﹣10），（9 分）=（ x+1）（ x+2）（x ﹣ 5）．（ 10 分）【点评】此题主要考查了因式分解的应用，根据已知获取正确的信息， 是近几年中考中热点题型同学们应熟练掌握获取正确信息的方法．单纯的课本内容，并不能满足学生的需要，通过补充，达到内容的完善教育之通病是教用脑的人不用手，不教用手的人用脑，所以一无所能。

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