微分方程数值方法习题二

并与真解u(x) 2e x

x 1相比较.

微分方程数值方法 常微分方程初值问题习题一

u' ax b, u(0) 0,

分别写出Euler 法和改进的Euler 法的近似解 府 的表达式，并求 它们与真解u(x) -ax 2 bx 的差u(X m ) U m .

2. 取步长h 0.1，分别用Euler 法和改进的Euler 法求下列初值问 题的解，并与真解相比较.

真解 u(x) .1 2x ；

2

，u x . c

(2) u

2

,1 x 2,

x u u(1) 2,

1

真解 u(x) x(8 31 n x)3 ；

u x

u

'広乔

u(1) 1,

3

1

真解 u(x) (4x 2 3x 2)3.

X 2

3. 用Euler 法计算0£dt 在x 0.1，0.2的近似值.

4. 取步长h 0.2，用四阶Runge-Kutta 法解

u' u

x, 0 x 1, u(0)

1,

1.对初值问题

(1)

u' u

2x

0x1,

u(0) u

1

,

(3) 1 x 1.5,

5. 设 f(x,u)关于 u 满足 Lipschitz 条件，证明 N 级 Runge-Kutta 法中的增量函数 (x,u,h)关于u 也满足

Lipschitz 条件.

6. 对初值问题

u' u x 1, u(0) 1,

写出四阶Taylor 级数法和四阶 Runge-Kutta 法的计算公式，它们 是否相同.

7. 证明改进的Euler 法的绝对稳定区间是(-2，0). 8.证明：当h( h)满足

3

4

h h

24

时，四阶 Runge-Kutta 法绝对稳定.

9. 用Tayor 展开确定下面多步法中的系数，使其阶尽可能高，并求 局部截断误差的主项.

10. 对初值问题 u'' f(x,u), u(X °) u °,u'(x 0)

u 10,

确定求解公式

(3) u m1

a 2u

m 1 h(

m 1 2

).

(1) u m 1

a 1u m a 2u m 1 h 0 f m 1

；

2u m u m 1

h 2( 0

中的系数

2

与局部截断误差主项

m 1

2 f m 1 )

11. 求公式

的阶和局部截断误差

12. 取步长h 0.1，用四阶Adams 方法的的预测-校正公式（72）解 初值问题

u' u X, 0 x 1, u(0) 1,

并与真解u(x) 2e x X 1相比较.

13. 讨论下列公式的相容性、稳定性、和绝对稳定性

(1) U m 1 4

U m 5

U m 1 h(4 J 2

f m 1)

；

1 3

~

(9u m

u m 2

)

~

h( f

m 1

2 f

m

8

8

14. 求，使线性多步法

h U m 2 (1

)U m 1

U m 尹3

) f m 1 (1

) f m ]

是相容的和稳定的

15. 证明三阶Adams 内插公式

的绝对稳定区间是（-6,0） 16. 证明中点公式（90）是A-稳定的.

17. 求下列方程组的刚性比.若用四阶Adams 内插公式求解时，最

大步长应小于多少？

u' 2000u

999.75v 1000.25, (1)

v' u v, u(0) 0,v(0)

2;

U

m 1

U m

4

[f (X m ，U m )3f (X m

3 h,

U m

2

-hf(X m ,U m ))] 3

(2) U m 1

u

m 1

U m 12(5f m 1

8f m

u' 0.1u 49.9v,

(2)V 50v,

'150v 200 ,

u(0) 2,v(0) 1, (0) 2.

18. 把下列高阶方程化为一届方程组，并写出它们的Euler公式和四

阶Runge-Kutta 公式.

u'' 2xu' 4x, u(0) 0,u'(0)

1; (2)

u'' 2u'(刍1)u,

x

1 1

u(1) e ,u'(1) e

点差分格式（8）相同.

4.证明三角形网格的差分方程（33）满足条件（36）

椭圆型方程的差分法习题三

1.用五点差分格式解下列椭圆型方程边值问题

u 2,

0 x, y 1,

(1) u(0, y) 0, u(1, y) 1 y,

u(x,0)

2 2

x ,u(x,1) x x,

取h

1 (真解 u x

2 xy

u 0, 0 x, y 3, (2)

u(0,y) y 2,u(3, y) 9 y 2, u(x,0) x 2, u(x,3) x 2 9,

取h 1 (真解 u x 2 y 2)

(3) 3 3

u 9sin(— x)sin(— y),

0 x, y 1

2 2 u 0,

取

h

-

3

u (x 2

y 2)s in (xy), 0 x, y 1, (4)

u(0,y) u(x,0) 0,

u(1, y)

sin y, u(x,1) sin x,

取

h

（真解 u sin

（x y

））；

(5)

u 2(x‘ u(1,y) 'y 2),

y 2,(- 0 x, y 1, u 、 u)

3x 2

u u

y y 1

0,

x

x0 y y 0

2.证明公式（34）

3.证明：对矩形网格，用积分守恒形式（

导出的差分方程与五

1 (真解 u

x 2y 2)